ARITMÉTICA

Números Primos y Compuestos

1. Números primos y compuestos.

2. Descomposición de un número en sus factores primos.

3. Curiosidad: La criba de Eratóstenes.

Fragmento de los Elementos de Euclides

Desde muy antiguo, los números primos han

sido objeto de interés y estudio:

Los Pitagóricos, discípulos de Pitágoras, adoraron especialmente estos números por su naturaleza indivisible, ya que pensaban que gobernaban el mundo y que tenían propiedades místicas y mágicas.

En el libro Los Elementos de Euclides (300 a.C.), uno de los tratados más importantes de la historia de las matemáticas, ya aparecen estudios sobre los números primos. El propio Euclides en su libro enuncia un teorema muy importante sobre números primos:

¡Hay infinitos números primos!

¿TENDRÁN RELACIÓN? Sí, los números primos.

La teoría de los números primos tiene una gran aplicación en la criptografía, ciencia que estudia formas de cifrar mensajes secretos que sólo puedan ser descifrados por el receptor. El proceso de cifraje requiere el uso de una clave secreta y para descifrar el mensaje, normalmente, al receptor solo le hace falta aplicar la clave al revés.

Los números primos facilitan claves con un cifraje fácil y un descifrado muy difícil. Basta utilizar números primos muy grandes, de al menos 80 cifras.

Así pues, hoy en día la criptografía facilita la comunicación entre gobiernos, compras por internet, llamadas por teléfono móvil, etc.

ÍNDICE

ANTES DE EMPEZAR.

UN POCO DE HISTORIA

ESPIONAJE Y LA VIDA DE LOS INSECTOS

ARITMÉTICA

Números Primos y Compuestos

Por otra parte, en 1996 cientos de miles de cigarras nacieron en EEUU, reproduciéndose y muriendo un mes después de haber esparcido sus huevos. En 2013, 17 años después, lo volvieron a hacer. Esta especie de cigarra aparece sólo cada 13 o 17 años, permaneciendo sus huevos bajo tierra durante todo ese tiempo. La próxima vez que las veamos será en el año 2030.

¿13 y 17 años? ¿Será casualidad que sean números primos?

Si el ciclo de reproducción de las cigarras fuera de, por ejemplo, 12 años, un depredador podría tener ciclos de 1, 2, 3, 4, 6 ó 12 años para coincidir con ellas. Con un ciclo de 17, sus opciones se reducen a 17 y a 1. ¿La evolución sabrá de números primos?

1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS. NÚMEROS PRIMOS

Los números primos son aquellos que tienen únicamente dos divisores: el 1 y él mismo.

El número 1, como sólo tiene un divisor, no se considera primo.

Como ya demostró Euclides, HAY INFINITOS. Ejemplo: Vamos a obtener los números primos menores de 30. Para ello descartaremos los múltiplos de 2, 3, 5, 7, 11, 13,… Los múltiplos de 2, , excepto el 2. Los múltiplos de 3, , excepto el 3. Los múltiplos de 5, , excepto el 5.

… y así, sucesivamente, con los múltiplos de 7, ; de 11, ; de 13, ; …

NÚMEROS COMPUESTOS

Todos aquellos números que no sean primos, es decir, que tengan más divisores aparte del 1 y él mismo.

PROPIEDADES INTERESANTES

Entre un número y su doble siempre tendremos al menos un número primo:

Entre el 3 y el 6 está el 5, que es primo.

Entre el 5 y el 10 está el 7, que también es primo. Y así sucesivamente.

ARITMÉTICA

Números Primos y Compuestos

Todos los números mayores que dos siempre se pueden descomponer en la suma de dos primos. Veamos algunos ejemplos:

48 = 31 + 17.

34 = 29 + 5. Y así sucesivamente.

2. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS. Para descomponer un número en sus factores primos, lo tenemos que dividir entre sus divisores primos como se indica a continuación:

IMPORTANTE: Deberás tener en cuenta los CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

Nº Primo que sea divisor

(dividimos el Nº entre el divisor primo)

Cociente división Repetimos: Dividimos entre un primo divisor

.

.

.

1 Terminamos cuando el último cociente sea 1.

Ejemplo: Vamos a obtener la descomposición en factores primos de 660: 660 2 Como 660 es divisible entre 2, 3, 5 y 11. Empezamos por el divisor o factor más

pequeño y lo colocamos a la derecha de la línea vertical.

660 2 Ahora dividimos 660 entre 2, o mejor, calculamos la mitad de 660 que es 330 y lo

colocamos debajo de 660. 330 660 2 Hacemos lo mismo que hemos hecho con 660, ahora con 330. Como sigue siendo

par, dividimos otra vez entre 2; y el resultado de la división lo ponemos debajo del 330 (165).

330 2

165

660 2 Dividimos 165 entre 3, ya que la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (1 + 6 + 5 = 12), y el resultado de la división lo ponemos a la izquierda de la línea vertical, debajo del 165 (55).

330 2

165 3

55

ARITMÉTICA

Números Primos y Compuestos

660 2 Ahora dividimos 55 entre 5, ya que termina en 5, y el resultado de la división lo volvemos a poner a la izquierda de la línea vertical, debajo del 55 (11). 330 2

165 3

55 5

11

660 2 Por último, como 11 es primo, lo dividimos entre él mismo (11). Como 11 entre 11 es 1, ya hemos terminado. 330 2

165 3

55 5

11 11

1

660 = 2·2·3·5·11 = 22·3·5·11

3. CURIOSIDAD: LA CRIBA DE ERATÓSTENES. La criba de Eratóstenes es un algoritmo (procedimiento matemático) que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado.

¿CÓMO?

Partimos de una lista de números que van desde el 2 hasta un determinado número.

Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.

Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente.

El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el número final de la lista.

Los números que permanecen en la lista son los primos. Ejemplo: Vamos a obtener los número primos hasta el 40.

1. Escribimos los números, en nuestro ejemplo serán los comprendidos entre 2 y 40.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

2. Eliminamos los múltiplos de 2.

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

ARITMÉTICA

Números Primos y Compuestos

3. El siguiente número es 3, como 32 < 40 eliminamos los múltiplos de 3.

2 3 5 7 11 13 17 19

23 25 29 31 35 37

4. El siguiente número es 5, como 52 < 40 eliminamos los múltiplos de 5.

2 3 5 7 11 13 17 19

23 25 29 31 37

5. El siguiente número es 7, como 72 > 40 el algoritmo termina y los números que nos quedan

son primos.

2 3 5 7 11 13 17 19

23 25 29 31 37

Eratóstenes nació en Cyrene (la actual Libia), en el norte de África. Vivió entre los años 275 y 195 antes de Cristo.

Por varias décadas, fue el director de la famosa Biblioteca de Alejandría. Fue una de las personas más reconocidas de la época, pero lamentablemente sólo pocos fragmentos de lo que escribió sobrevivieron en el tiempo.

Finalmente, murió en una huelga voluntaria de hambre, inducido por la ceguera que lo desesperaba.

Aún así, Erátostenes se hizo famoso por dos descubrimientos:

Por la medición increíblemente precisa que hizo del diámetro de la Tierra.

Por haber desarrollado una criba, o un filtro, para descubrir todos los primos inferiores un número dado.

¿QUIÉN ERA

ERATÓSTENES?