LOS NÚMEROS METÁLICOS

UN PRIMER CONTACTO

Uno de los actores principales en el estudio de la matemática son los números.

Siempre que pensamos en matemática nos viene a la memoria las operaciones numéricas y muchas veces decimos que el que tiene facilidad con los números, es bueno en matemática.Sin embargo muy poco sabemos sobre las teorías que ellos encierran.

Algunos números pueden ser considerados parte de una familia.La familia de los números metálicos está formada por números irracionales cuadráticos positivos.Su miembro más importante es el número de oro siendo algunos de sus parientes el número de plata, el de bronce, el de cobre, el de niquel, etc.

Los miembros de esta familia gozan de propiedades matemáticas comunes que son fundamentales en la investigación actual sobe la estabilidad de macro y micro sistemas físicos, desde la estructura interna del ADN, hasta las galaxias astronómicas.

Los resultados más notables de esta nueva investigación son los siguientes:

Los miembros de la familia intervienen en la determinación del comportamiento cuasi-periódico de sistemas dinámicos no lineales, constituyendo una herramienta invalorable en la búsqueda de rutas universales al caos.

Las sucesiones numéricas basadas en los miembros de esta familia, satisfacen muchas propiedades aditivas y simultáneamente son sucesiones geométricas, por lo que han sido utilizadas con frecuencia como base de muchos sistemas de proporciones.

Palabras clave: desarrollo en fracciones continuas, sucesiones de Fibonacci, caos,

atractor extraño, ecuación logística.

Parte de esta información fue encontrada enVera W. de Spinadel Centro de Matemática y Diseño MAyDIFacultad de Arquitectura, Diseño y UrbanismoUniversidad de Buenos Aires

La familia de los números metálicos, introducida por la matemática argentina Vera de Spinadel en 1994, está formada por las raíces positivas de las ecuaciones de la forma x2 = p x + q, o su equivalente x2 − p x − p = 0, donde p y q son números enteros positivos. 

Algunos de estos números metálicos tienen nombre propio y son muy conocidos. El más famoso de todos ellos se obtiene cuando p = 1 y q = 1. En tal caso la ecuación que nos resulta es x2 − x − 1 = 0, cuya raíz positiva es el número de oro:

Investiga el applet de Geogebra “Números metálicos” y luego realiza las siguientes actividades:

1. Observa la construcción. Fíjate que obtenemos en el eje horizontal el valor de un determinado número metálico a partir de la intersección de la recta que hemos dibujado y de la parábola.

a. ¿Cuál es la ecuación de la parábola que aparece dibujada? b. ¿Y la de la recta?  c. ¿Qué relación tienen esas gráficas con la ecuación que tratamos de resolver? d. ¿Por qué la intersección de la recta y la parábola nos permite calcular las raíces de la ecuación x2  – p x – q = 0?

2. Completa la siguiente tabla.

Para ello resuelve la ecuación x2 − p x − q = 0 para los valores de p y q que en cada caso corresponden y, a continuación, comprueba tus resultados con la aplicación:

3. ¿Cuál es la expresión general del número metálico de orden (p, q) que representamos como σp,q?

4. ¿Podemos expresar siempre en forma decimal el valor exacto de un número metálico? ¿Por qué?

5. ¿Qué relación debe existir entre p y q para que el número metálico σp,q sea un número entero?

6. Prueba que σ4,4 = 2 σ2,1

7. Halla la relación existente entre el número de bronce y el de níquel.

8. Prueba que: σ4,1= Φ3