ARITMÉTICA

Los números enteros

1. Los números enteros.

2. Operaciones con números enteros.

Leonard Euler

“Si a 8 le añadimos 4 y restamos 5, obtenemos 7”.

Esta afirmación, matemáticamente la escribimos así:

8 + 4 – 5 = 7

Para llegar a esta expresión tan sencilla, las matemáticas han tenido que recorrer un largo camino.

Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo III

a. C., en oriente, y no llega hasta occidente hasta el siglo IX. En

China se manipulaban números positivos y negativos usando

conjuntos de varillas, rojas para las positivas y negras para las

negativas, efectuando cálculos con extraordinaria destreza. Sin

embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número

negativo pudiera ser solución de un problema.

Corresponde a los Indios la sistematización en el uso de los números positivos y negativos,

que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente, estableciendo el cero y la

“famosa” regla de los signos (hacia el año 650 d. C.).

Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados universalmente.

Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars

Magna (1545) los estudió exhaustivamente. Jhon Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética

Infinitoum (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes

tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”.

Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata

de “demostrar” que (– 1)·( – 1) = + 1; argumentando que el producto tiene que ser + 1 ó – 1 y

que, sabiendo que se cumple (1)·(– 1)= – 1, tendrá que ser: (– 1)·( – 1) = + 1.

ÍNDICE

ANTES DE EMPEZAR.

UN POCO DE HISTÓRICA

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Los números enteros

1. LOS NÚMEROS ENTEROS.

NECESIDAD DE NÚMEROS ENTEROS En la vida real hay situaciones en las que los números naturales no son suficientes. Por ejemplo: Si tienes 5 € y debes 8 € ¿De cuánto dispones? Observa en las siguientes imágenes distintas situaciones en las que se necesitan los números enteros: TEMPERATURA CUENTA BANCARIA

ASCENSOR

ALTURA Y PROFUNDIAD

Los números enteros son una ampliación de los naturales: Los naturales se consideran enteros positivos (se escriben con el signo +). Los enteros negativos van precedidos del signo –. El cero es un entero pero no es ni negativo ni positivo.

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Los números enteros

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS: El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z), está formado por:

Los NATURALES (N), que son los positivos: _______ +1, +2, +3, +4,…

El CERO: _______________________________________________ 0

Los correspondientes NEGATIVOS: ____________ – 1, – 2, – 3, – 4,…

El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS, ordenados, ser representan en la RECTA NUMÉRICA:

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO El VALOR ABSOLUTO de un número entero es la distancia que lo separa del cero en la recta numérica, y obviamente las distancias siempre son POSITIVAS.

Se expresa escribiéndolo entre barras:

El valor absoluto de – 7 es 7 77

El valor absoluto de +4 es 4 44

En resumen, el VALOR ABSOLUTO de un Z, es el número natural que resulta al quitarle el signo. EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO El OPUESTO de un número entero es su simétrico del cero en la recta numérica. Es decir, el mismo número entero pero con el SIGNO CONTRARIO.

Los números 5 y – 5 son opuestos el uno del otro.

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2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS.

SUMA Y RESTA Para SUMAR (RESTAR) dos números enteros, distinguiremos 2 posibilidades:

Si tienen el MISMO SIGNO, se SUMAN sus VALORES ABSOLUTOS y se pone el SIGNO que TENÍAN LOS NÚMEROS.

Ejemplos: a) 945 b) 853 c) 20911 d) 19127

Si tienen DISTINTO SIGNO, se RESTAN los VALORES ABSOLUTOS y se pone el SIGNO del MAYOR EN VALOR ABSOLUTO.

Ejemplos: a) 145 b) 253 c) 2911 d) 5127

SUMA (RESTA) DE TRES O MÁS ENTEROS

Para sumar tres ó más enteros tenemos dos métodos:

1. Agrupar los dos primeros sumandos y sumar al resultado el tercer sumando:

+ 6 – 4 +3 = + 2 + 3 = + 5

En el caso de 4 sumandos se puede agrupar de dos en dos:

+ 6 – 4 + 3 – 2 = + 2 + 1 = + 3

2. Sumar los positivos por un lado (tener) y los negativos (deber) por el otro y finalmente hallar el resultado: deber tener

– 7 + 8 – 5 = – 12 + 8 = – 4

deber tener

+ 6 – 4 + 3 – 2 = – 6 + 9 = +3

SUMA (RESTA) CON PARÉNTESIS

Son los que conocemos como PARÉNTESIS DE SIGNO, ya que dentro de ellos únicamente tenemos un número entero, y no una operación. Deberemos quitar el paréntesis, atendiendo a la siguiente regla, y operar como se indica arriba:

SIGNOS IGUALES: Más +

ºº

ºº

nn

nn SIGNOS DISTINTOS: Menos –

ºº

ºº

nn

nn

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Los números enteros

También se puede hacer teniendo en cuenta que el MENOS DELANTE DE UN PARÉNTESIS CAMBIA EL SIGNO del NÚMERO DE DENTRO, mientras que un MÁS NO CAMBIA EL INTERIOR DE UN PARÉNTESIS.

Ejemplos: a) 4725725 b) 863116311

MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN MULTIPLICAMOS y DIVIDIMOS como siempre, pero deberemos aplicar la siguiente REGLA DE LOS SIGNOS (tanto para la multiplicación como para la división):

MISMO SIGNO: +

DISTINTO SIGNO: –

Ejemplos: a) 102·5 b) 34:12 c) 28:16 d) 605·12

OPERACIONES COMBINADAS EXPRESIONES MATEMÁTICAS en las que tenemos VARIAS OPERACIONES, incluidos PARÉNTESIS y CORCHETES.

En primer lugar, tendremos que tener claro cual es el orden en las operaciones a realizar. Es lo que en matemáticas se conoce como: JERAQUÍA DE LAS OPERACIONES

¿Qué hacemos primero y que hacemos en segundo, tercer lugar,…?

PRIMERO las operaciones que están dentro de los PARÉNTESIS y CORCHETES

DESPUÉS las MULTIPLICACIONES y DIVISIONES

POR ÚLTIMO, la SUMAS y RESTAS

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Ejemplo:

Ejemplo:

52·484

5884

5884

54

54

1