Números complexos
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Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho
A forma algébrica de um número complexo Z é A forma algébrica de um número complexo Z é uma expressão da forma Z = a + bi, onde uma expressão da forma Z = a + bi, onde aa e e bb são são números reais e números reais e ii é a unidade imaginária. é a unidade imaginária.
No número complexo Z = a + bi,No número complexo Z = a + bi, aa é é chamada de parte real e chamada de parte real e bb de parte imaginária. de parte imaginária.
aa Re(Z)Re(Z)
bb Im(Z)Im(Z)
DEFINIÇÃO
1 i
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ExemplosExemplos::
a) Z = - 3 + 5i a) Z = - 3 + 5i
Re(Z) = -3 Re(Z) = -3 Im(Z) = 5Im(Z) = 5
b) Z = -i + 4 b) Z = -i + 4
Re(Z) = 4 Re(Z) = 4 Im(Z) = -1Im(Z) = -1
c) Z = 5c) Z = 5
Re(Z) = 5 Re(Z) = 5 Im(Z) = 0Im(Z) = 0
d) Z = -6id) Z = -6i
Re(Z) = 0 Re(Z) = 0 Im(Z) = -6Im(Z) = -6
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OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO: : 1) Quando Im(Z) = 0, o número complexo será 1) Quando Im(Z) = 0, o número complexo será chamado de chamado de REALREAL. .
2) Quando Re(Z) = 0 e Im(Z) = 0, o número 2) Quando Re(Z) = 0 e Im(Z) = 0, o número complexo será chamado de complexo será chamado de IMAGINÁRIO PUROIMAGINÁRIO PURO. .
Exemplo:Exemplo: Determine as condições para que o Determine as condições para que o complexo Z = (2m + 1) + (-n + 3)i seja: complexo Z = (2m + 1) + (-n + 3)i seja: a) Real;a) Real; b)Imaginário Puro.b)Imaginário Puro.
Ex: Z = 3Ex: Z = 3
Ex: Z = -7iEx: Z = -7i
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Dizemos que os complexos Z = a + bi e W = c + di Dizemos que os complexos Z = a + bi e W = c + di são iguais se, e somente se, a = c e b = d, ou seja:são iguais se, e somente se, a = c e b = d, ou seja:
Re(Z) =Re(W)Re(Z) =Re(W)
Im(Z) = Im(W)Im(Z) = Im(W)Z = WZ = W
**OBS.OBS.: Não podemos dizer que um número : Não podemos dizer que um número complexo é maior ou menor que outro número complexo é maior ou menor que outro número complexo, ou seja, no conjunto C não existe complexo, ou seja, no conjunto C não existe relação de ordem. relação de ordem.
IGUALDADE ENTRE COMPLEXOS
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1. SOMA E SUBTRAÇÃO1. SOMA E SUBTRAÇÃO
OPERAÇÕES ENTRE COMPLEXOS
Para somar ou subtrair dois complexos, Para somar ou subtrair dois complexos, efetuaremos as partes reais entre si e as partes efetuaremos as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si.imaginárias entre si.
Exemplo:Exemplo: Sendo Z = 5 + 3i e W = 4 - i, temos:Sendo Z = 5 + 3i e W = 4 - i, temos:
Z+W Z+W = 5 + 3i + 4 - i5 + 3i + 4 - i = 9 + 2i9 + 2i
Z-W Z-W = 5 + 3i - (4 - i)5 + 3i - (4 - i) = 5 + 3i - 4 + i5 + 3i - 4 + i 1 + 4i1 + 4i=
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2. MULTIPLICAÇÃO2. MULTIPLICAÇÃO O produto entre dois complexos é obtido O produto entre dois complexos é obtido aplicando-se a distributiva entre seus termos.aplicando-se a distributiva entre seus termos.
**LEMBRE-SELEMBRE-SE:: ii22 = = -1 -1
Exemplo:Exemplo: Sendo Z = 3 + 2i e W = 1 + 4i, temos:Sendo Z = 3 + 2i e W = 1 + 4i, temos:
Z .W Z .W == (3 + 2i).(1 + 4i)(3 + 2i).(1 + 4i) == ==3 + 12i + 2i + 83 + 12i + 2i + 8ii22
== 3 + 12i + 2i + 8(-1)3 + 12i + 2i + 8(-1) = -5 + 14i-5 + 14i
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Dado Z = a + bi, sendo i a unidade imaginária. Dado Z = a + bi, sendo i a unidade imaginária. Chamamos o conjugado de Z, denotado por Z, Chamamos o conjugado de Z, denotado por Z, ao complexo obtido pela troca de sinal da parte ao complexo obtido pela troca de sinal da parte imaginária de Z. imaginária de Z.
Z = a - biZ = a - bi
Exemplos:Exemplos:a) Z = 3 + 2ia) Z = 3 + 2i ZZ = 3 – 2i3 – 2i
b) W = -5ib) W = -5i WW = 5i5i
c) K = 2 c) K = 2 KK = 22
CONJUGADO DE UM COMPLEXO
**OBS.OBS.: Z = Z: Z = Z
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3. DIVISÃO3. DIVISÃO
Para efetuarmos a divisão entre dois complexos Para efetuarmos a divisão entre dois complexos Z e W, procederemos da seguinte maneira: Z e W, procederemos da seguinte maneira:
Z Z . WZ Z . WW W WW W W
ConclusãoConclusão: Devemos multiplicar numerador e : Devemos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.denominador pelo conjugado do denominador.
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Exemplo:Exemplo: Dividir Z = 5 + 3i por W = 4 – 2i.Dividir Z = 5 + 3i por W = 4 – 2i.
ZZ
WW
5 + 3i5 + 3i
4 – 2i4 – 2i. 4 + 2i4 + 2i
4 + 2i4 + 2i
20 + 10i + 12i + 6i20 + 10i + 12i + 6i22
4422 – (2i) – (2i)22
14 + 22i14 + 22i
16 - 4i16 - 4i22
14 + 22i14 + 22i
16 + 416 + 4
14 + 22i14 + 22i
20 2020 20
7 + 11i7 + 11i
10 1010 10
**OBSOBS.: Sempre que houver a unidade imaginária .: Sempre que houver a unidade imaginária no denominador, realizaremos o processo no denominador, realizaremos o processo acima.acima.
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ii0 0 =1=1ii1 1 = i= iii22 = -1 = -1ii33 = i = i22.i = (-1).i = -i.i = (-1).i = -iii44 = i = i22.i.i2 2 = (-1).(-1) = 1= (-1).(-1) = 1ii5 5 = i= i44.i = 1.i = i.i = 1.i = iii6 6 = i= i44.i.i2 2 = 1.(-1) = -1= 1.(-1) = -1ii7 7 = i= i44.i.i3 3 = 1.(-i) = -i= 1.(-i) = -i……………………………….ii18 18 = i= i44.. ii44.. ii44.. ii44.. ii2 2 = -1= -1
POTÊNCIAS DO i
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PROPRIEDADEPROPRIEDADEQuando o expoente de i for maior do que 3, Quando o expoente de i for maior do que 3, iremos dividí-lo por 4, sendo o resto desta iremos dividí-lo por 4, sendo o resto desta divisão o novo expoente de i.divisão o novo expoente de i.
66 3838 9922
restoresto
Logo, iLogo, i278278 = i = i22 = -1. = -1.
Ex: iEx: i278278 = ? = ?278 4278 4
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**OBSOBS.: A soma de quaisquer 4 potências .: A soma de quaisquer 4 potências consecutivas de i é sempre igual a zero.consecutivas de i é sempre igual a zero.
Ex: iEx: i55 + + ii6 6 ++ ii7 7 ++ ii8 8 == 00
ii3535 + + ii36 36 ++ ii37 37 ++ ii38 38 == 00
GeneralizandoGeneralizando: i: in n ++ iin+1 n+1 ++ iin+2 n+2 ++ iin+3 n+3 = 0= 0
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(1+ i)(1+ i)2 2
== 1 + 2i + i1 + 2i + i22 == 1 + 2i + (-1)1 + 2i + (-1) == 2i2i
== 1 - 2i + i1 - 2i + i22 == 1 - 2i + (-1)1 - 2i + (-1) == -2i-2i (1– i)(1– i)22
(1+ i)(1+ i)1010 == [[(1+ i)(1+ i)22]]55 == (2i)(2i)55 == 32i32i55 == 32i32i11 == 32i32i
(1- i)(1- i)77 == [[(1- i)(1- i)22]]33..(1- i)(1- i) == ((-2i)-2i)33.(1- i).(1- i) == -8i-8i33.(1- i).(1- i) ==== -8.(-i).(1- i)-8.(-i).(1- i) == ==8i - 8i8i - 8i22 8i + 88i + 8
ALGUMAS POTÊNCIAS DE COMPLEXOS
Como o resultado é imaginário puro, podemos Como o resultado é imaginário puro, podemos calcular outras potências:calcular outras potências:
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Todo número complexo na forma Z = a + bi Todo número complexo na forma Z = a + bi pode ser representado no plano de Argand-Gauss pode ser representado no plano de Argand-Gauss por um ponto de coordenadas Z(a;b). Esse ponto é por um ponto de coordenadas Z(a;b). Esse ponto é chamado de chamado de afixoafixo do complexo Z.do complexo Z.
ReRe
ImImZ = a + biZ = a + bi
Z (a;b)Z (a;b)
aa
bbZ(a;b)Z(a;b)
afixoafixo
PLANO DE ARGAND-GAUSS
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MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXOMÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Chamamos de Chamamos de módulomódulo de um número de um número complexo a distância do afixocomplexo a distância do afixo do complexo à do complexo à origem do plano de Argand-Gauss.origem do plano de Argand-Gauss.
aa
bb|z|
.
222|| baz
(rô) ρou z
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ARGUMENTO DE UM NÚMERO ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXOCOMPLEXO
Chamamos Chamamos argumentoargumento de um número complexo à de um número complexo à medida do arco com centro na origem do plano de Argand-medida do arco com centro na origem do plano de Argand-Gauss, tomado a partir do semi-eixo real positivo até o seu Gauss, tomado a partir do semi-eixo real positivo até o seu módulo, no sentido anti-horário.módulo, no sentido anti-horário.
aa
bb0 . a
btg
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FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXONÚMERO COMPLEXO
Podemos representar um complexo em função do seu Podemos representar um complexo em função do seu módulo e do seu argumento, chamada de módulo e do seu argumento, chamada de forma forma trigonométricatrigonométrica de um número complexo. de um número complexo.
).(cos seniZ
Ex: Sendo o complexo Z = 2 – 2i, determine a Ex: Sendo o complexo Z = 2 – 2i, determine a sua forma trigonométrica .sua forma trigonométrica .
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Na figura, estão representados, no plano complexo, os pontos M, N e P, afixos dos números complexos m, n e p. Sabendo-se que |m| = |n| = |p| = 1 e que = 45o, pode-se afirmar que
m – n + 2p é igual a:
P
MN
2i2 05)
i2 04)
i21 03)
i2 02)
2 01)
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OPERAÇÕES NA FORMA OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICATRIGONOMÉTRICA
1. MULTIPLICAÇÃO1. MULTIPLICAÇÃO ).i.senθ(cosθρ Ze )i.senθ(cosθρ ZSejam 22221111
)](.)[cos(.. 21212121 seniZZ
2. DIVISÃO2. DIVISÃO
)](.)[cos( 21212
1
2
1
seniZ
Z
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3. POTENCIAÇÃO (1ª fórmula de Moivre)3. POTENCIAÇÃO (1ª fórmula de Moivre)
: temosnulo, não
natural número umn e )i.senρ(cosθ ZSendo
)].(.).[cos( nseninZ nn
.calcular Z i,2
3
2
1 Zcomplexo o Sendo :Ex 6