7/17/2019 Números CompleJos

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Problemas de Matemáticas I Matilde Legua     1

Números complejos

1. Explicar el signi…cado geométrico de las siguientes relaciones

(a)¯̄z+5z¡3

¯̄ = 2

(b)   z  =   1z

(c) jz ¡ 1 + ij < 2

(d)   Re(1z

) <   12

(e) jz ¡ 1j · jz  + 1j

2. Expresar en forma binómica

a)   2+i3¡i

  b)   e(i¡1)2 c) (2 + 2i)27

d) (2 ¡ 3i)(1 + 4i)   e)¡1+i1¡i

¢10f )   (1+2i)3

(1+i)(2¡i)(1¡3i)

g)   i+i2+i3+i4+i5

1+i  h)   i4+i9+i16

2¡i5+i10¡i15  i) ln i

 j)   e¡9¼i

2   k)   ep i l) (1 + i)8

3. Encontrar todos los valores de las siguientes raíces:p ¡

8i,   4p ¡

1;   3p 

1 + i:

4. Resolver la ecuación

a)   z 6 + 64 = 0: b)   z 4 + z 2 + 1 = 0

c)   z 2 + (¡3 + 2i)z  + 5 ¡ i = 0   d)   z 5 ¡ 1 = 0

5. Resolver la siguiente ecuación, mediante el cambio  z 3 = t

z 6 ¡ 9z 3 + 8 = 0

6. Calcular(8p 

2 ¡ 8p 

2i)1=4

7. Hallar el valor de la siguiente expresión, con  n 2 N:

E  = (1 +p 

3i)n + (1 ¡p 

3i)n

Sugerencia: Pasar a forma trigonométrica y aplicar la fórmula de Moivre.

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8. Como aplicación de la fórmula de Moivre, obtener   sen(5®)   en función de

sen   ®,   cos ®   y las potencias de éstas. Sugerencia: Apliquese el binomio deNewton.

9. Representar en forma exponencial:   1 + i;   ip 2

4+4i; ¡3; 2 +

p 3i

10. Probar que la suma de las raíces n-ésimas de la unidad es   0. Sugerencia:expresar las raíces en forma exponencial.

11. Determina dos números reales a; b tales que

43 + bi

a¡

5i = 4 + 3i

12. Halla dos números reales tales que su suma es 1 + 4i; su cociente es imaginariopuro y la parte real de uno de ellos es ¡1:

13. Para todo z  2 C se de…ne  cos(z ) =   eiz+e¡iz

2  : Hallar todos los valores de  z  tales

quecos(z) = 4: