MIRTA VARGAS DE ARGENTINA MEDIA 9 CALZADA Cat B 2° grupo 1ª Actividad
Numero_Combinatorio
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VIII. BINOMIO DE NEWTON
1. FACTORIAL Factorial de un Nmero Natural. Se define como el producto que se obtiene de multiplicar todos los nmeros naturales consecutivos desde 1 hasta n.
N! = 1 x 2 x 3 .x (n-1).(n) ,n N, n > 1 * Obs. 1! = 1 0! = 1
Notacin:
n! ; n ; n
Propiedades:
n! = (n 1)!n , n > 1
n! = 1 n = 1 v n = 0
2. NMERO COMBINATORIO:
1.1. Definicin:
Se define como el nmero total de grupos que se pueden formar con n elementos tomados de k en k, en el cual cada grupo debe diferenciarse por lo menos en un elemento.
!k)!kn(
!nC
n
k ; donde n, k N
n k 0
1.2. Notacin:
k
n
kn
n
kC;C;C
1.3. Regla Prctica:
xk.....x3x2x1
)1kn).....(2n)(1n(nC
n
k
Ejm:
212x1
6x7C84
3x2x1
7x8x9C
7
2
9
3
1.4. Propiedades : Combinatorios Complementarios:
n
kn
n
kCC
Teorema :
Si : npkvpkCCnp
nk
1.5. Degradacin de ndices:
a) Ambos ndices:
1n
1k
n
kC
k
nC
b) Slo el Superior:
1
n
Knk
Ckn
nC
c) Slo el Inferior:
n
1k
n
kC
k
1knC
1.6. SUMA DE COMBINATORIOS:
1n1k
n1k
nk CCC
PROBLEMAS RESUELTOS
1) - Reduce: !33.!23
!24.!32E
Solucin:
E = !32.33.!23
!23.24.!32
E = 11
8
33
24
2).- Reduce:
179
125
178
127
179
125
CC2
CC3C4C3E
Solucin:
17
9
12
5
17
8
17
9
12
7
12
5
CC2
CC4C3C3E
Pero: 127
12
5CC 17
8
17
9CC
Luego :
E = 179
125
179
125
2
36
CC
CC
E = 3
3).- Reduce: EC C C
C C C
1222
1322
1422
721
821
921
2
2
Solucin:
21
9
21
8
21
8
21
7
22
14
22
13
22
13
22
12
CCCC
CCCCE
22
9
22
8
23
14
23
13
CC
CCE
!9x!14
!23
!4x!10
!24
C
CE
23
9
24
14
!23x!9x10
!9x!23x24
!23.!10
!9.!24E
E = 2,4
4).- Determina el valor de:
S = 6463
62 CCC
Solucin:
S = 4x3x2
3x4x5x6
3x2
4x5x6
2
5x6
S = 15 + 20 + 15
S = 50
5).- Halla A y da como respuesta la suma de sus cifras.
A =
)!6!5!4(
!4!3!2
!5!4
!6
Solucin:
A =
)5x651(!4
!4!3!2
!4x5!4
!4x5x6
A =
3051
6x2
6
5x6
A = 1236
3612 55 = 53
A = 125
6).- Reduce:
E = !18x!18
)!17x6(182
Solucin:
E = !17x18x!17x18
!17x6x1822
E = 18
36
E = 2
-
2
7).- Halla el valor de x, si :
20
1
)1!a(!a
6!a
Adems . x = !3
)!1a(
Solucin:
20
1
!a!a
6!a
2
20a! + 120 = a!2 + a!
Luego : a!2 19!a 120 = 0
a! -24 a! +5
a! = 24 a! = 5 no es posible a! = 4! a = 4
Adems :
x = 6
120
!3
!5
!3
)!14(
!3
)!1a(
= 20
x = 20
8).- Halla x en:
x! + 5 - 5!x
1
5!x
)1!x(22
Solucin:
x! + 5 = 5!x
1)1!x(22
(x! + 5) (x! 5) = 22(x! + 1) + 1 x!2 - 25 = 22x! + 23 x!2 22x! 48 = 0 x! -24 x! +2 (x! 24) (x! + 2)
x! = -2 no es posible.
x! = 24
x! = 4! x = 4
PRCTICA DIRIGIDA N 08 1).- Calcula n, si (n+1)! 7!n = n! a)0 b) 7 c) 5 d) 6 e) N.A.
2).- Halla x, si !3
!.6.5.4 x= 5!
a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3).- Si: 3 x 6 x 9 x 12 x . . . x 45 = 3k (q!) halla: k + q a)10 b) 20 c) 30 d) 400 e) 150 4).- Calcula el valor de n, si:
si: 20)!2(
)!1(
n
nn
a)-4 b) 5 4 c) 5 d) 4 e) 4 5 5).- Al reducir, se obtiene:
!11
!10
66...2418126
77...2821147
xxxxx
xxxxx
a)1/2 b) 10 c) 7/6 d) 40 e) 50 6).- Al efectuar:
!3!2!1
!0
!32)!8!7(
18...8642
xxxxx
a)1/2 b) 1/4 c) 1/3 d) 8 e) 1
7).- Reduce: !4
!2!1
!9!8
30..12963
xxxxx
a)2 b) 5 c) 33 d) 4 e) 8
8).- Calcula el valor de n.
Si: !
)!3(
n
n =(3!+1!)(0!+2!)(4!)
a)2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 9).- Halla n: n!+(n+1)!=144 a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
10).- Simplifica: !2!0
)!!1!4(
!24!23
a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
11).- Reduce: !11.!9
!12.!10E
a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) N.A.
12).- Reduce:
E
n n
n n
! !
! !
2
3 1
a) (n-2) / (n+1) b) (n+1) / (n-2) c) (n-2) / (n-1) d) (n-2) / n e) N.A.
13).- Sabiendo: 3 11777
7 176
C Ck k
Calcula: K !
a) 3 b) 6 c) 9 d) 11 e) N.A.
14).- Reduce: E C C C CX X X X
7 8 9 102
2
a) CX10
3 b) CX102 c) CX10
d) CX92 e) N.A.
15).- Reduce:EC C C
C C C
510
610
710
49
59
69
2
2
a) 12/7 b) 11/7 c) 9/7 d) 5/7 e) 2/7
16).- Halla n si:
C C C C Cn n n n n4 5 5
26
15
3
a) 2 b) 3 c) 8 d) 10 e) 18
17).- Reduce: EC
C
58
28
a) 2 b) -2 c) 1/2 d) 3 e) 1/3
18).- Reduce: 85
86
96
C
CCE
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 1/2
19).- Reduce: n3
n4
n2
n3
n1
n2
C
C4
C
C3
C
C2E
a) 3n-6 b) 3n-5 c) 3n-4 d) 3n-3 e) N.A.
20).- Si: n! ! ! ! 2 4 20
Calcula n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8
21).- Reduce: E 10 7 8 9! ! ! !
a) 9 ! b) 9 !/2 c) 8 ! d) 8 !/2 e) 7 !
-
3
22).- Da un posible valor de m+n
31n
m11
m10
m9
m8
m7
CCC4C6C4C
a) 41 b) 42 c) 43 d) 47 e) 18
23).- Calcula X en: 3/2
4
4
6
5 x
x
C
C
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) N.A.
24).- Si : (x+1)!- x! = 4320; Calcula (x-1)! a) 6 b) 24 c) 100 d) 120 e) 720
25).- Calcula el valor de :
!10
!11
!9
!10
!8
!9.....
!2
!3
!1
!2
!0
!1M
a) 55 b) 66 c) 67 d) 120 e) 100
26).- Dada la igualdad: 1n2
8n1n2
3 CC
Determina el valor de (n2 + n)
a) 10 b) 110 c) 120 d) 130 e) 132
27).- Halla el valor de la expresin:
n2 + 2n 1, si n2 =28 a) 79 b) 62 c) 98 d) 34 e) 47
28).- Halla el valor de 1n
1n
, si :
2( n5 ) = 3(n3 ) ; n Z
+
a) 5/4 b) 9/7 c) 11/9 d) 6/5 e) 4/3
29).- Reduce y determine el valor de n en:
C n1 + C n2 = 21
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
30).- Determina el valor de M en
M = 2n71n
6n5
n4 CCCC
Resulta igual a C 3n10
a) 14 b) 12 c) 10 d) 18 e) 20
31).- Luego de resolver la ecuacin:
2
n
C
CC
1n3
2n3
n2
;
halla el valor de: n2 n + 1 a) 21 b) 23 c) 25 d) 30 e) 35
32).- Si: 2x4x6x8x ... x20= )!(2 nm
halla: m+n a) 10 b) 20 c) 30 d) 400 e) N.A.
CLAVES DE RESPUESTAS
1) b 2) b 3) c
4) c 5) c 6) b
7) c 8) d 9) c
10)d 11)c 12)a
13)b 14)a 15)a
16)c 17)a 18)a
19)a 20)b 21)b
22)d 23)d 24)d
25)b 26)b 27)a
28)a 29)a 30)a
31)a 32)b