Nuevas Relaciones de Incertidumbre Cuántica:

Incertidumbres entrópicas y mayorización

Daniel García Medranda

Trabajo Fin de Grado

Tutor:

Dr. Alfredo Luis Aina

Departamento de Óptica, Facultad de Ciencias Físicas Universidad Complutense de Madrid

Madrid, Septiembre 2014

Nuevas Relaciones de Incertidumbre Cuántica: Incertidumbres entrópicas y mayorización

RESUMEN

A lo largo del trabajo estudiamos las entropías de Renyi y Tsallis como medida de incertidumbre del número de fotones alternativa a la varianza. Hay muchos casos en los que aparecen contradicciones al comparar la incertidumbre de dos estados distintos, un mismo punto puede ser de máxima o mínima incertidumbre en función de la medida. Veremos entonces como la mayorización nos aporta una posible solución a este problema, permitiéndonos garantizar la unanimidad de todas las entropías para los casos en los que exista una relación definida de mayorización. Estudiamos esta condición para distintas distribuciones del número de fotones y comprobamos su relación con la varianza. Por último estudiamos las posibles relaciones de mayorización de la estadística de número entre estados de luz clásicos y no clásicos.

ABSTRACT

During our research project we studied both Tsallis and Renyi’s  entropies as a measure of the uncertainty of the number of photons that are alternative to the variance. There are many situations in which contradictions appear when comparing the uncertainty of two different states; the same point can have a maximum or minimum uncertainty criteria according to the type of measure used. We will see that the majorization gives us a possible solution to this problem allowing us to guarantee the unanimity of every type of entropy for those cases where a defined relationship exists in terms of majorization. We studied this condition for the different distributions of the number of photons and we carefully checked its relation with the variance. To finalize the research project we analyzed all the possible relationships of the statistic that indicates the number of classic and non-classic states of light in terms of majorization.

I.INTRODUCCIÓN

La varianza no es la única ni necesariamente la mejor medida de incertidumbre. De hecho fuera del ámbito de la distribución Gaussiana, puede no funcionar bien. En este trabajo vamos a analizar las contradicciones que surgen a la hora de estudiar las entropías de Tsallis, Renyi y Shannon como medida de incertidumbre, frente a lo predicho por la medida de la varianza. Recientemente ha surgido la idea de mayorización como una posible interpretación a estas, en las que tienen en cuenta que las entropías en su conjunto equivalen a una relación de mayorización entre estadísticas. Surge entonces el interés de ver cómo responden distintas estadísticas número de fotones a la mayorización entre estadísticas.

El método a seguir a lo largo del proyecto es comparar vía mayorización distintas estadísticas de la distribución número de fotones. Esto es, para distintos estados de luz (estados coherentes, estados comprimidos o luz térmica) buscamos si son mayorizables o no y cuando sean comparables, si la medida de fluctuaciones cuánticas a través de la varianza equivale a la de entropía.

En la primera parte compararemos las estadísticas de número de fotones entre estados de una misma familia de estados. Los estados coherentes, para un ⟨𝑛⟩ suficientemente grande, admiten una aproximación Gaussiana, al igual que los estados comprimidos para compresiones pequeñas. Por lo que el primer objeto será ver si cualquier par de Gaussianas cumplen una relación de mayorización. El siguiente paso será ver si esta relación se mantiene para distribuciones Poissonianas de los estados coherentes. También analizaremos el caso de luz térmica. Para el caso comprimido distinguiremos entre estados comprimidos subPoissonianos (∆𝑛) < ⟨𝑛⟩ y superPoissonianos (∆𝑛) > ⟨𝑛⟩. Del mismo modo que en el caso coherente, veremos cómo se relacionan vía mayorización sus estadísticas para distintos parámetros de compresión- dentro del régimen subPoissoniano y superPoissoniano. La razón de distinguir entre sub y super Poissoniana está en que el comportamiento subPoissoniano se considera típicamente una evidencia de comportamiento no clásico.

En la segunda parte del trabajo ampliaremos el estudio comparando la estadística Poissoniana de los estados coherentes (clásicos) con las distintas distribuciones sub y superPoissoniana de estados térmicos (clásicos) y comprimidos (no clásicos)

II.INTRODUCCION TEÓRICA

Antes de acercarnos al motivo particular del trabajo conviene introducir algunos aspectos importantes en óptica cuántica. El campo eléctrico de un haz de luz en forma de onda armónica y plana de frecuencia 𝑤 es

𝑬(𝒓, 𝑡) =  𝑎𝜖�̅� (𝒌𝒓 )

donde 𝜖 ̅es un vector constante que contiene las unidades y la polarización; 𝑎 es la amplitud compleja adimensional, que es un operador que debe satisfacer la relación de conmutación

[𝑎, 𝑎 ] = 1

Y que se puede expresar como

𝑎 = 𝑋 + 𝑖𝑌

siendo X  , Y   los operadores Hermíticos cuadratura

𝑋 =12(𝑎 + 𝑎 )

𝑌 = (𝑎 − 𝑎 )  .

Por la relación de conmutación anterior de la amplitud compleja, los operadores X  , Y han de satisfacer

[𝑋, 𝑌] =  .

En términos de estos operadores, la expresión del campo eléctrico puede escribirse como (suponiéndose épsilon real)

𝑬(𝒓, 𝑡) = 2𝜖 ̅ (  𝑋  𝑐𝑜𝑠(𝐤𝐫 − wt) + 𝑌  𝑠𝑖𝑛(𝒌𝒓 − 𝑤𝑡))

quedando entonces definidos como las amplitudes de las dos cuadraturas del campo, con una diferencia de fase de 𝜋/2. Siendo la relación de incertidumbre para las dos amplitudes

∆𝑋  ∆𝑌 ≥   .

Un estado será comprimido cuando las fluctuaciones de uno de los operadores cuadratura cumplan

(∆𝑋)  , (∆𝑌) <14

siendo para el estado coherente ∆𝑋 = ∆𝑌 = 1 2⁄ . De modo que en el plano de amplitud compleja el estado coherente se representa como un círculo de incertidumbre. Mientras que los estados comprimidos tienen una representación elíptica de la incertidumbre, ya que ∆𝑋 ≠ ∆𝑌. Representando por sencillez el caso ⟨𝑌⟩ = 0.

Figuras 1 y 2. Estados coherente y comprimido en el plano amplitud compleja.

Las fluctuaciones en una de las cuadraturas es menor que la de los estados coherentes, siguiendo la relación

∆𝑋 =exp  (2𝑟)2

 ,    ∆𝑌 =1

2 𝑒𝑥𝑝(2𝑟)

siendo 𝑟 un parámetro que indica la compresión, que puede ser positivo o negativo, con 𝑟 =0 para el caso coherente [10,6].

La incertidumbre es un aspecto fundamental de la física cuántica y en particular de la óptica cuántica. Frecuentemente se estima a través de la varianza, siendo una buena aproximación para distribuciones Gaussianas, pero que no tiene tal eficacia para otras estadísticas [2]. No todos los estados luz se pueden describir mediante una distribución Gaussiana, por lo que es conveniente tener otros estimadores de incertidumbre.

Otra forma utilizada para medir las fluctuaciones cuánticas es a través de las entropías de Renyi o Tsallis. Estas se definen respectivamente como

𝑅 =1

1 − 𝑞log 𝑝    ,    𝑇 =

1 − ∑ 𝑝𝑞 − 1

donde 𝑞 > 0 es un parámetro real que define la entropía de orden 𝑞 y 𝑝 es la estadística del observable correspondiente [1,5,9]. La entropía de Shannon en el límite 𝑞 → 1 de las otras dos.

𝑆 = − 𝑝 ln 𝑝

Como muestran los resultados de trabajos anteriores, el análisis a través de distintas medidas de incertidumbre en ocasiones lleva a contradicciones [3]. Se obtienen resultados de incertidumbre discordantes a la hora de comparar medidas de varianza y entropía, como por ejemplo contradicciones entre los resultados para distintos valores de 𝑞 [1]. Recientemente se ha llegado a una interpretación de estas contradicciones mediante la idea de mayorización. Más en concreto teniendo en cuenta que las entropías en su conjunto equivalen a una relación de mayorización entre estadísticas. Definamos entonces el concepto de mayorización y la vinculación con las entropías de Renyi, Tsallis y Shannon.

Para dos vectores reales dados 𝒑, 𝒈     ∈  ℝ siendo 𝒑 = (𝑝 , 𝑝 …𝑝 ) y 𝒈 = (𝑔 , 𝑔 …𝑔 ), ordenadosde modo decreciente de forma que

𝑝↓ ≥ 𝑝↓ ≥. . . 𝑔↓ ≥ 𝑔↓ ≥. ..

se dice que 𝒑 es mayorizado por 𝒈 y se escribe 𝒑 ≺ 𝒈 cuando para todo entero 𝑘 se tiene que

𝑝↓ ≤   𝑔↓

siendo

𝑝  =   𝑔

Esta última condición se cumple para cualquier distribución de probabilidad normalizada, para la que ∑ 𝑝  =  ∑ 𝑔 = 1 [4]. De modo que estudiar la relación de mayorización entre dos estadísticas se puede resumir como la comparación de las distribuciones acumuladas, sumas parciales de las probabilidades, estando estas previamente ordenadas en sentido decreciente.

Además, tanto la entropía de Tsallis como la de Renyi, son funciones Schur cóncavas para todo 𝑞 > 0, lo que supone que, al ser funciones 𝑅  , 𝑇 ∶  ℝ  →  ℝ Schur cóncavas, 𝒑 ≺ 𝒈 implica 𝑅 (𝑔) ≥ 𝑅 (𝑝)  , 𝑇 (𝑔) ≥ 𝑇 (𝑝) para todo 𝑞 [7,8].

Esto se relaciona con las contradicciones entre entropías ya que la mayorización es una relación de orden parcial. Es decir que hay estadísticas en que ni 𝒈 ≺ 𝒑 ni 𝒑 ≺ 𝒈. Para estas estadísticas no relacionables por mayorización podemos tener contradicciones del tipo 𝑇 (𝑔) >𝑇 (𝑝) para un valor de q y 𝑇 (𝑔) < 𝑇 (𝑝) para otro valor de q.

III. ESTADOS COHERENTES Y COMPRIMIDOS

Vamos a centrar el estudio en buscar cuando existe y cuando se rompe la relación de mayorización entre distintas estadísticas que siguen las distribuciones número de fotones. Y en caso de que exista, ver qué relación guarda entropía y varianza.

Estados coherentes:

Expresados en la base de los estados número o estados de Fock tenemos

|𝛼⟩ = 𝑒 | | / 𝛼√𝑛!

|𝑛⟩

con lo que la distribución de fotones en un estado coherente responde a una estadística de Poisson con |𝛼| = ∆𝑛 = ⟨𝑛⟩

𝑝(𝑛) = |⟨𝑛|𝛼⟩| =|𝛼|𝑛!

𝑒 | |  .

Para |𝛼| ≫ 1 puede aproximarse la variable discreta "𝑛" como continua, en cuyo límite la distribución de número admite una aproximación distribución Gaussiana

𝑝(𝑛) = |⟨𝑛|𝛼⟩| ≈1

∆𝑛√2𝜋𝑒𝑥𝑝 −

(𝑛 − ⟨𝑛⟩)2(∆𝑛)

con ⟨𝑛⟩ = |𝛼| y ∆𝑛 = |𝛼| [10].

El primer paso será por tanto el estudio de la mayorización en estadísticas con ⟨𝑛⟩ suficientemente grande, que siguen una distribución normal, como características de estados coherente.

Para ello se ordenan en sentido decreciente los distintos elementos 𝑝(𝑛) de la estadística Gaussiana, de desviación típica ∆𝑛 y media  ⟨𝑛⟩ = (∆𝑛)

𝑝↓ ≥ 𝑝↓ ≥…

Una vez ordenada, se obtiene la probabilidad acumulada de la distribución ordenada, como puede verse fácilmente al ordenar la estadística desaparece la dependencia en ⟨𝑛⟩. De modo que podamos comprobar si existe una relación de mayorización, es decir para distintas gaussianas de distintas varianzas, analizando el comportamiento de sus sumas parciales. Lo que significa ver si dado un par de Gaussianas con varianzas diferentes, la probabilidad ordenada y acumulada de una es siempre superior a la otra.

Tomando tres distribuciones Gaussianas con ⟨𝑛⟩ = (∆𝑛) suficientemente grande, vemos que efectivamente existe una relación de mayorización entre ellas. Para las distribuciones definidas con una varianza menor, la probabilidad ordenada acumulada es siempre superior.

De modo que este caso particular nos ilustra cómo se comporta la distribución Gaussiana en cuanto a la mayorización. Podemos establecer entonces una relación entre la mayorización y la varianza para el caso de distribuciones normales.

De modo que para distintas distribuciones de probabilidad 𝑝 , 𝑝 , 𝑝 … , con varianzas:

𝜎 > 𝜎 > 𝜎

Se cumple que:

𝑝 ≺ 𝑝 ≺  𝑝

Y como las funciones entrópicas de Tsallis, Renyi y Shannon son Schur cóncavas

Figura 3. Distribución ordenada acumulada. En azul ∆𝑛 = 40, en magenta ∆𝑛 = 50, en negro ∆𝑛 = 60, con (∆𝑛) = ⟨𝑛⟩.

𝑅 (𝑝 ) > 𝑅 (𝑝 ) > 𝑅 (𝑝 )    ,            𝑇 (𝑝 ) > 𝑇 (𝑝 ) > 𝑇 (𝑝 )

Para este caso podemos extender el resultado de forma analítica a todo par de Gaussianas, puesto que las probabilidades acumuladas, 𝑃 siendo 𝑘 el límite superior de la suma, tras un cambio de variables puede expresarse como

𝑃 =1√𝜋

𝑑𝑧𝑒

(√ ∆ )⁄

A partir de esta expresión podemos afirmar que mayor ∆𝑛 implica menor 𝑃 para todo 𝑘, por lo que la relación de mayorización anteriormente analizada para un caso concreto puede extenderse a la relación entre cualquier par de Gaussianas sin importar su ⟨𝑛⟩.

Generalizando el estudio de los estados coherentes analizamos el comportamiento de las estadísticas Poissonianas. Para este caso tomamos valores número esperado de fotones suficientemente bajos, para los que la aproximación Gaussiana no aporta una solución satisfactoria y por tanto es su distribución Poissoniana la que puede darnos resultados más concretos. Comparamos entonces distribuciones de Poisson con distintos valores de varianza, obteniendo para todos los valores analizados el mismo resultado que en el límite gaussiano y por tanto también las conclusiones anteriores.

Podemos concluir que la comparación entre estados coherentes admite una relación de mayorización, con las siguientes consecuencias. Como hemos visto este resultado es extensible a todo valor de ⟨𝑛⟩ que admita una aproximación Gaussiana. Para el caso en que no sea adecuada esta aproximación y siga una distribución de Poisson, no hemos encontrado valores en los que se rompa esta misma relación.

Además esta relación concuerda la medida de la varianza. Por lo que para el caso coherente, los resultados obtenidos para la medida de incertidumbre mediante entropía y varianza concuerdan.

Figura 4. En azul ∆𝑛 = √2, en magenta ∆𝑛 = √5 y en negro ∆𝑛 = √10

Estados comprimidos:

Para los estados comprimidos la estadística del número de fotones viene dada por

|𝜉⟩ = 𝑐 ||𝑛⟩  ,   𝑝 = |𝑐 |    ,

𝑐 =(− tanh 𝑟) /

√2 𝑛! cosh 𝑟exp −

𝑅2(1 − tanh 𝑟) 𝐻

𝑖𝑅√2

√tanh 𝑟 −1

√tanh 𝑟    ,

donde 𝐻 (𝑥) son los polinomios de Hermite, y el parámetro 𝑟, que puede ser positivo o negativo, indica la compresión[10]. El número medio y la varianza del número de fotones son

⟨𝑛⟩ = 𝑅 + sinh 𝑟  ,    (∆𝑛) = 𝑅 𝑒 +12sinh (2𝑟)  .  

Una característica importante de los estados comprimidos es que, al contrario que para el caso coherente ⟨𝑛⟩ ≠ (∆𝑛) . A raíz de esta desigualdad se diferencian dos casos posibles: el caso en el que (∆𝑛) > ⟨𝑛⟩, definidos como estados superPoissonianos, y el caso opuesto (∆𝑛) < ⟨𝑛⟩, subPoissonianos. A la hora de estudiar la mayorización o no entre estadísticas de estados comprimidos, vamos a mantener esta distinción. Esta distinción es importante en óptica cuántica, puesto que el carácter subPoissoniano se suele considerar como un ejemplo distinguido de propiedad incompatible con la electrodinámica clásica.

Un caso particular de los estados comprimidos, definido como vacío comprimido, es aquel en el que 𝑅 = 0, es decir ⟨𝑋⟩ = ⟨𝑌⟩ = ⟨𝛼⟩ = 0, quedando para este caso

𝑐 =1

√cosh 𝑟(2𝑛)! (tanh 𝑟)

2 𝑛!  ,    𝑐 = 0  .

Por otro lado tenemos

⟨𝑛⟩ = sinh 𝑟  ,    (∆𝑛) =12sinh (2𝑟)

siendo R la amplitud coherente |<a>| = R y r el parámetro de compresión de las cuadraturas

Antes hemos definido la distinción entre estados super y subPoissonianos, según el cociente (∆𝑛) ⟨𝑛⟩⁄ sea superior o inferior a uno. En este caso concreto, donde dicho cociente toma la forma:

(∆𝑛) ⟨𝑛⟩⁄ (  𝑟) = sinh (2𝑟) (2 sinh 𝑟⁄ )  .

Esta es una función siempre superior a uno para todo valor 𝑟 y, por tanto, el vacío es un caso particular de estados comprimidos superPoissonianos.

SuperPoissonianos:

La función ⟨𝑛⟩  (𝑅, 𝑟) = 𝑅 + sinh 𝑟 no es una función inyectiva, por lo que encontramos distintos pares (R, r), que definen la compresión, con mismo valor esperado ⟨𝑛⟩. Un punto interesante es estudiar qué ocurre en aquellos estados con mismo valor esperado del número de fotones, en los que debido a compresiones distintas, tienen distintas varianzas y, en este caso, superiores al coherente.

Para compresiones pequeñas exp  (2𝑟) ≈ 1 es de esperar que el estado comprimido sea similar a uno coherente, por lo que puede funcionar la misma aproximación Gaussiana en la base número para ⟨𝑛⟩ ≫ 1. Pero en este caso con ⟨𝑛⟩ ≠ (∆𝑛) .

Por tanto una buena forma de aproximarnos a la cuestión es ver si se mantiene la relación de mayorización que veíamos en distribuciones gaussianas, a las que le imponíamos la relación ⟨𝑛⟩ = (∆𝑛) , para casos en los que ⟨𝑛⟩ ≠ (∆𝑛) .

Comparando distribuciones normales con mismo valor medio y distinta varianza (Figura --), vemos que efectivamente se mayorizan unas a otras, tanto para estados subPoissonianos como superPoissonianos. Es el mismo resultado que teníamos para el caso coherente, manteniéndose la relación obtenida entre ∆𝑛 y 𝑅 , 𝑇 .

Figuras 5 y 6. (∆𝑛) ⟨𝑛⟩⁄ para el vacío comprimido a diferentes escalas.

Tratemos ahora de generalizar este resultado para los estados superPoissonianos que siguen la distribución de los estados comprimidos. Buscamos entonces estadísticas de estados comprimidos con (∆𝑛) > ⟨𝑛⟩, que tengan mismo valor esperado del número de fotones ⟨𝑛⟩ y suficientemente pequeño, definidas por parámetros de compresión (𝑅, 𝑟) distintos y, por tanto, que sigan distribuciones distintas.

En la figura 8 se muestra un caso particular, con ⟨𝑛⟩ = 6, en el que vemos no existe mayorización entre estadísticas. Las distribuciones acumuladas de probabilidad ordenada se cortan entre sí, rompiéndose entonces la relación ∑ 𝑝↓  ≤  ∑ 𝑔↓. Este mismo resultado loobservamos para distintos valores de ⟨𝑛⟩, de modo que las estadísticas de los estados comprimidos superPoissonianos no siguen distribuciones mayorizables para estadísticas de mismo ⟨𝑛⟩. Por lo que distintas entropías darán resultados contradictorios.

Figura 7. Comparación de distribuciones Gaussianas sub y superPoissonianas. En línea discontinua el caso ⟨𝑛⟩ = (∆𝑛)

Figura 8. Distintas distribuciones ordenadas acumuladas de estados

comprimidos superPoissonianos para ⟨𝑛⟩ = 6

Como hemos señalado antes, un caso de interés particular es el vacío comprimido. Son estados superPoissonianos en los el parámetro de la compresión 𝑅 = 𝑐𝑡𝑒 = 0. La función ⟨𝑛⟩  (𝑟) = 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑟 es una función inyectiva en las regiones 𝑟 < 0  , 𝑟 > 0, de modo que solo tenemos un valor ⟨𝑛⟩  (𝑟) = 𝑅 + 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑟 posible.

El estudio de la mayorización solo se puede realizar en este caso como en los estados coherentes, para estados de distinto valor esperado del número de fotones, ya que cada compresión define un ⟨𝑛⟩   distinto.

Estudiando la mayorización para estados que sigan la estadística del vacío comprimido, vemos que todos los estados observados son comparables vía mayorización. Por tanto tenemos las mismas conclusiones respecto a las entropías y su relación con la varianza

𝜎 > 𝜎 > 𝜎

implica

𝑅 (𝑝 ) > 𝑅 (𝑝 ) > 𝑅 (𝑝 )    ,            𝑇 (𝑝 ) > 𝑇 (𝑝 ) > 𝑇 (𝑝 )

Tratemos ahora de generalizar el estudio a todas las estadísticas superPoissonianas con mismo factor de compresión 𝑅 = 𝑐𝑡𝑒. El estudio del vacío comprimido nos anticipa que habrá mayorización entre estadísticas ya que en este caso también ⟨𝑛⟩  (𝑟) es inyectiva. Tomando distintos valores, vemos que efectivamente el resultado es el mismo que para el vacío comprimido, siendo ahora 𝑅 = 1.89.

De modo que hemos visto que los problemas a la hora de comparar estadísticas de estados comprimidos superPoissonianos vía mayorización, los casos en los que no son comparables, aparecen cuando tenemos mismo valor esperado del número de fotones para distintos parámetros de compresión, caracterizados por distribuciones de probabilidad distintas.

Figura 9. Mayorización para estados comprimidos 𝑅 = 1.89

SubPoissonianos:

Los estados subPoissonianos son especialmente interesantes por tener fluctuaciones en el número de fotones menores que en el caso coherente. Lo que significa que es una luz de propiedades cuánticas, que ya no se puede describir por medio de un campo electromagnético clásico.

Estos se dan para valores 𝑟 < 0, siendo simétrica respecto a 𝑅 = 0, obteniendo por tanto distribuciones de probabilidad idénticas para los casos ±𝑅. Como hemos visto en el caso general no es una función inyectiva, por lo que de nuevo encontraremos varias distribuciones que definan un mismo valor esperado ⟨𝑛⟩.

La forma de proceder será entonces como para el caso superPoissoniano, representamos la probabilidad acumulada de la distribución ordenada para distintas estadísticas de un mismo valor esperado de fotones.

El caso particular ⟨𝑛⟩ = 10 ilustra el resultado

Las distribuciones no son siempre superiores o inferiores unas respecto a otras, sino que se cortan, como pasaba en el caso análogo superPoissoniano, de modo que no existe una relación de mayorización entre las distribuciones. Luego al no cumplir el teorema de Schur concavidad, la relación entre varianza y entropía no es unívoca; pueden aparecer incongruencias a la hora de estimar la incertidumbre por la varianza o la entropía.

Figura 10. Distribuciones ordendas acumuladas con (𝑅, 𝑟) distintas para ⟨𝑛⟩ = 10

IV. COMPARACIÓN ENTRE ESTADÍSTICAS DE DISTINTAS FAMILIAS

En el apartado anterior hemos visto que la ruptura de mayorización aparece cuando comparamos distribuciones de fotones para estados comprimidos, caracterizadas por parámetros de compresión distintos pero con mismo valor esperado. Por ello el siguiente paso será ver qué relación guardan a este respecto distribuciones de distintas familias para las que (∆𝑛) = ⟨𝑛⟩    , (∆𝑛) > ⟨𝑛⟩    ó    (∆𝑛) < ⟨𝑛⟩. Podremos ver entonces si al comparar la incertidumbre del número de fotones de estados con estadísticas distintas, se llega a los mismos resultados usando diferentes entropías o la varianza.

A la hora de estudiar la distribución Gaussiana vimos como sí existía una relación de mayorización para cualquier par de Gaussianas, tanto si siguen la aproximación Poissoniana (∆𝑛) = ⟨𝑛⟩ como si no. Por ello de nuevo el caso que atrae nuestro interés es para ⟨𝑛⟩ pequeño.

Estado coherente versus estado térmico (superPoissoniano)

Los estados con fluctuaciones en el número de fotones mayores que el caso coherente pueden tener un carácter clásico o cuántico. Un ejemplo típico de luz clásica superPoissoniana son los estados térmicos. La probabilidad de encontrar 𝑛 fotones en el modo definido por la ley de Planck para el cuerpo negro en equilibrio térmico ⟨𝑛⟩ = 1 (𝑒 ⁄ − 1)⁄ , viene dada por

𝑝(𝑛) =1

⟨𝑛⟩ + 1⟨𝑛⟩

⟨𝑛⟩ + 1

con una varianza

(∆𝑛) = ⟨𝑛⟩ + ⟨𝑛⟩

que es siempre superior a ⟨𝑛⟩.

Figura 11. Distribuciones de probabilidad para los la luz térmica (magenta) y estado coherente (discontinua)

Esta distribución estadística nos permite llegar a un resultado analítico de las condiciones de mayorización, para todos los valores de ⟨𝑛⟩. Como muestra la Figura 11, la estadística está ordenada en modo decreciente de forma natural y las probabilidades acumuladas se pueden expresar como

𝐹 = 𝑝(𝑛) = 1 −⟨𝑛⟩

1 + ⟨𝑛⟩

si imponemos 𝐹   > 𝐹   , donde los subíndices 1, 2 indican que se trata de dos estados térmicos distintos (es decir con distinto <n>), implica que

⟨𝑛⟩1 + ⟨𝑛⟩

>⟨𝑛⟩

1 + ⟨𝑛⟩

que necesariamente implica ⟨𝑛⟩ > ⟨𝑛⟩ .

Por tanto mayor ⟨𝑛⟩, que es también mayor ∆𝑛, implica menor 𝐹 para todo 𝑘. Podemos afirmar entonces que la relación entre varianza y estadística es la que obteníamos en los casos anteriores: estados con varianzas mayores tienen también entropías superiores.

Veamos ahora qué relación guarda esta distribución con el caso coherente. Como hemos visto la luz térmica es un estado siempre superPoissoniano, por lo que van a tener para ⟨𝑛⟩ fijo, mayor varianza que el coherente.

La Figura 12 muestra las distribuciones ordenadas y acumuladas para el caso coherente y la luz térmica con ⟨𝑛⟩ = 10. En este caso, como en todos los valores observados, se establece una relación de mayorización, que como anticipábamos, nos lleva a las conclusiones

𝜎 > 𝜎        →         𝑝 ≺ 𝑝

y como las funciones entrópicas de Tsallis, Renyi y Shannon son Schur cóncavas

𝑅 (𝑝 ) > 𝑅 (𝑝 )    ,            𝑇 (𝑝 ) > 𝑇 (𝑝 )  .

Figura 12. Mayorización de la luz térmica (negro) al estado coherente (azul).

Estado coherente versus estados comprimidos (subPoissoniano)

Como hemos visto antes, para un valor de ⟨𝑛⟩  (𝑅, 𝑟) tenemos distintas distribuciones en función de los parámetros de compresión, no existe un único par (𝑅, 𝑟) que podamos comparar con el caso coherente.

Si imponemos por ejemplo ⟨𝑛⟩ = 10 y despejamos R en función de 𝑟 y ⟨𝑛⟩ podemos ver como se comporta (∆𝑛)   como función de 𝑟. Como ilustra la figura 13 existe un intervalo acotado de valores de r que satisfacen la condición de estadística subPoissoniana (∆𝑛) < 10.

Representando la distribución ordenada acumulada de varios estados luz de esta región con ⟨𝑛⟩ = 10, en función de los parámetros (𝑅, 𝑟), vemos como todos ellos se sitúan en una zona por encima del caso coherente. Aunque no exista mayorización de los estados comprimidos subPoissonianos entre sí, la condición (∆𝑛) < ⟨𝑛⟩ parece imponer en este caso concreto que a ⟨𝑛⟩ fijo todos los estados comprimidos mayorizan el estado coherente de mismo ⟨𝑛⟩. Se puede establecer por tanto la relación observada en casos anteriores para varianza y entropía también a la hora de comparar este caso subPoissoniano con el coherente.

La Figura 14 ilustra el caso particular descrito, vemos como todos los estados comprimidos subPoissonianos observados para ⟨𝑛⟩ = 10 están por encima del caso coherente, en línea discontinua. Por tanto nos indica que pueden existir estados que mayoricen al caso Poissoniano, aunque esta mayorización no se satisfaga entre los estados comprimidos entre sí.

Figura 13. (∆𝑛)  (𝑟) con ⟨𝑛⟩ = 10. La región inferior a (∆𝑛) = 10, subPoissoniana, está acotada.

Estado coherente versus vacío comprimido (superPoissoniano)

Como ya hemos visto el vacío comprimido como un caso particular de los estados subPoissoniano, sobre el que ⟨𝑛⟩  (𝑟) es una función inyectiva. Así para un determinado valor esperado, solo habrá una distribución posible para cada caso. Esta cualidad particular nos permite obtener una relación entre las probabilidades en función de ⟨𝑛⟩ = 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑟:

𝑝 = |𝑐 | =1

(1 + ⟨𝑛⟩) / ·(2𝑛)! − ⟨𝑛⟩

2 · 𝑛! (1 + ⟨𝑛⟩)

Aunque, al no estar ordenada la estadística de forma natural y no ser una estadística sencilla, como el caso gaussiano o la luz térmica, no podemos llegar a una solución analítica general.

Podemos hacer una representación gráfica de ∑ 𝑝↓ para el vacío comprimido y el caso coherente, para ver si existe mayorización entre estadísticas en los primeros valores de ⟨𝑛⟩, donde vemos como ambas superficies se cortan y por tanto la mayorización se rompe a lo largo de todo el dominio ⟨𝑛⟩ ∈ (0,45].

Figura 14. Distribución ordenada acumulada para estados subPoissonianos y coherente con ⟨𝑛⟩ = 10

Estado coherente versus estados comprimidos (superPoissoniano)

Para el caso general de los estados comprimidos superPoissonianos procedemos como en los subPoissonianos. Tenemos valores distintos de los parámetros (𝑅, 𝑟) que nos caracterizan un mismo valor esperado del número de fotones. Aunque en este caso no están acotados como nos pasaba en los estados subPoissonianos.

Figura 14. Distribuciones ordendas acumuladas a lo largo de ⟨𝑛⟩. En gris el caso coherente, en blanco el vacío comprimido.

Figura 15. En magenta varios estados comprimidos superPoissonianos, con ⟨𝑛⟩ = 6, en negro el caso coherente.

Comparando la distribución Poissoniana con distribuciones superPoissonianas de mismo ⟨𝑛⟩ =6 y distintas (∆𝑛) ≈ 11, 15, 50, 74, vemos que entre ellas se cortan y además cortan con el caso coherente. De modo que no existe mayorización entre los estados comprimidos superPoissonianos y el estado coherente. A pesar de tener una varianza mayor cualquiera de los casos con respecto al coherente, no son mayorizables y por tanto no es aplicable la condición de Schur concavidad para relacionarlo con las entropías. Por tanto, debido a la falta de relación de mayorización, las distintas medidas de incertidumbre (entre las que la varianza es una más) no son unánimes respecto si un estado tiene mayor incertidumbre que otro en este conjunto.

V. CONCLUSIONES

Como introducción al trabajo hemos analizado como todo par de Gaussianas admite una relación de mayorización de acuerdo con el valor de sus varianzas, tanto para casos Poissonianos como subPoissonianos. A la hora de analizar rangos inferiores de ⟨𝑛⟩, en los que la aproximación Gaussiana no es adecuada, encontramos distintos resultados en función de la distribución de fotones que sigan.

Para casos clásicos, como el estado coherente, con una distribución Poissoniana, hemos visto como todo par de estados comprimidos también admiten la relación de mayorización de acuerdo con el valor de sus varianzas. Así como para los estados de luz térmica, también luz clásica, en los que hemos obtenido una solución analítica que nos extiende el resultado a todo valor ⟨𝑛⟩. Por lo que en esos casos entropía equivale a varianza como indicadores de la incertidumbre.

En los estados comprimidos, todos ellos no clásicos, hemos comprobado que cuando tomamos el parámetro 𝑅 como constante, como es el caso del vacío comprimido, también se cumple la mayorización y la relación entre varianza y entropías para ese tipo de distribuciones es el mismo que los casos clásicos analizados, a pesar de estos ser no clásicos. Es cuando los dos parámetros de compresión son libres, cuando ⟨𝑛⟩  (𝑅, 𝑟) no es una función inyectiva y tenemos distintas compresiones para mismo valor esperado del número de fotones, cuando hemos encontrado rupturas de la mayorización. Por lo que la relación entre entropía y varianza en esos casos no es unívoca, pudiendo dar lugar a la aparición de contradicciones a la hora de definir las fluctuaciones cuánticas [1].

Después hemos comparado la distribución Poissoniana propia de estados coherentes con la distribución no Poissoniana de otros estados de luz siempre con el mismo con el mismo ⟨𝑛⟩. Hemos visto como hay una relación de mayorización para la luz térmica y como esta también puede existir para estados comprimidos subPoissonianos, pero no la hay para estados comprimidos superPoissonianos incluido el vacío.

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