5.2 Ncleo e imagen de una transformacin linealNcleo:Sea una transformacin lineal. El ncleo, de contiene todo los vectores en V que se mapean a 0 en W.

Recordemos que el contradominio R (T) de T es el conjunto de todas las imgenes de T en W.

Observen que tanto quedan (T) como R (T) de una transformacin lineal T son conjuntos no vacos: T(0)=0 implica que 0 V esta en Ker(T) y que 0 W esta en R (T)Ejemplo 1: Determine el ncleo y el contradominio(a) La transformacin lineal cero 0:VW;(b) La transformacin identidad lineal I:V V(c) La proyeccin P:Solucin (a) para todo de modo que el ncleo es . Como 0 es la nica imagen, el contradominio es .(b) (c) Ya que para todo todo vector no cero se mapea en un vector no cero. As, el ncleo es. Como todo es su propia imagen, el contradominio es.

(d) esta en si y solo si . As, y el ncleo consiste en los puntos . Tambin esta en el contradominio si y solo si hay tales que . Por lo consiguiente, , y el contradominio consiste en los puntos vase la figura 5.1:

Figura 5.1 El ncleo y el contradominio de la proyeccin sobre el eje x

Ejemplo 2: Determine el ncleo de

Solucin. es el conjunto de todos dos vectores tales que tales que al resolver el sistema , se obtiene .De ah que,

La propiedad fundamental del ncleo y del contradominio es que ambos son espacios vectoriales.Teorema 1Sea una transformacin lineal, entonces1.- es un subespacio de ;2.- es un subespacio de .

Demostracin1.- Sean y sea Como es no vacio, bastara demostrar que es lineal, de modo que

Por consiguiente, As es un subespacio de 2.-Sean y sea .Entonces hay vectores de tales que . Como es lineal,

Ya determinamos vectores que se mapean en y en , respectivamente.Por tanto, y estn en .En vista de lo anterior, es un subespacio de La dimensin de ncleo se llama nulidad de . La dimensin del contradominio se llama rango de

Figura 5.2 el ncleo y el contradominio de .Determinar el contradominio se observa que como es distinto de cero,

Por consiguiente, el numero distinto de cero est en el contradominio de .Asi, el contradominio contiene al generador de , que es de . Por tanto,(figura 5.3),

Figura 5.3 ncleo e imagen del producto punto por un vector fijo.Ejemplo 3. Determine el ncleo, el contradominio, la nulidad y el rango de Solucin. Obtendremos geomtricamente el ncleo y el contradominio, por ser ms fcil que un clculo algebraico. El ncleo est formado por todos los vectores tales que , los cuales son paralelos a .Por consiguiente, el nucleo es la recta que pasa por el origen en la direccin de . La nulidad de es 1.El contradominio contiene todos los vectores para los que hay un vector tal que . Por lo tanto, y son ortogonales. As, el contradonio est contenido en el conjunto de vectores ortogonales a . Ahora, si es un vector distinto de cero y ortogonal a. Comprobaremos que se encuentra en el contradominio de . Los vectores y . Son paralelos, porque cada uno es perpendicular a y a , a la vez. Asi, para algn escalar distinto de cero. De manera que,

Asi el vector se transforma en; por consiguiente, esta en el contradominio de. Con ello hemos demostrado que el contradonio es el plano que pasa por el origen cuya normal es . El rango de es 2 (figura 5.4)

Figura 5.4 nucleo e imagen del producto cruz por un vector fijo.

En el caso especial en el que la transformacin lineal es matricial, se cumple lo siguiente:Teorema 2Sea es una transformacin matricial cuya matriz estndar es . Entonces

Demostracin. Puesto que , entonces si y solo si . De aqu,.Igualmente, si est en , entonces hay un en tal que si y solo si . En consecuencia, .Las partes de las nulidades y los rangos se ven a continuacin.Ejemplo 3. Calcule las bases para el ncleo para el ncleo y el contradominio y determine la nulidad y el rango de

Solucin. De acuerdo con el teorema 2, basta expresar a como transformacin matricial y obtener las bases para las columnas y el espacio nulo de su matriz estndar se expresa con

Y esta en forma escalonada reducida por operaciones de rengln. Por consiguiente, los vectores forman una base para . Por otra parte, es una base para .De modo que el rango de es 3 y la nulidad es 1.El teorema 2 implica quesolo tiene la solucin trivial yY las columnas de generan a El teorema siguiente es fundamental en el lgebra lineal porque generaliza el teorema del teorema del rango.Teorema 3(El teorema de dimension)Si es una transformacin lineal de un espacio vectorial de dimensin finita a un espacio vectorial , entonces

Ejemplo 4.Verifique el teorema de la dimensin para Solucion. Dejaremos como ejercicio comprobar que

Por consiguiente,

El teorema 3 es muy til, porque con frecuencia es mucho ms fcil de determinar el espacio nulo y la nulidad de una trasformacin lineal que su contradominio y su rango.5.2.1 Transformaciones biunvocas, sobre e isomorfosYa sabemos que hay muchos espacios vectoriales en los que se interesan los matemticos y los cientficos. Sin embargo, haciendo a un lado las distintas notaciones de los ejemplos individuales, veremos que muchos de esos espacios son esencialmente el mismo. En este caso prrafo analizaremos la nocin de que dos espacios vectoriales son el mismo. A esos espacios se les llama isomorficos. Pero comencemos desde los bsicos.La definicin de una transformacin entre dos conjuntos permite que 1.-Dos o ms elementos de tengan la misma imagen;2.-El rango de este estrictamente contenido en el codominio .Si la condicin (1) no se aplica, es biunvoca.Transformacin biunvoca:Una transformacin se le llama biunivoca, o uno a uno, si para cada elemento del contradominio hay exactamente un elemento cuya imagen es . Esto puede enunciarse como sigue:

O bien, en forma equivalente,

figura 5.5 Transformaciones bunivoca y sobreSi la afirmacin 2 es falsa, es sobre.Transformacin sobre:Una transformacin se llama sobre si su contradominio es igual a su codominio, es decir,

Ejemplo 5. Cules de las transformaciones son biunvocas? Cules son sobre?a) b) Solucina) Si , entonces Por consiguiente, .As, .Por lo anterior, y es biunvoca. no es sobre, porque no es imagen de algn vector 2.b) no es biunvoca, porque es sobre, porque para todo vector 2 , hay al menos un vector -3 que se transforma en el anterior. Por ejemplo, .

El teorema siguiente dice que para demostrar que una transformacin lineal es biunvoca, solo basta basta demostrar que transforma a 0 y no fijarse en las dems imgenes. Esto reduce la cantidad de trabajo que se invierte para investigar si una transformacin lineal es biunvoca.Teorema 4Sea una transformacin lineal. Entonces.

Demostracin. Supongamos que es biunvoca. Si est en el ncleo de , entonces . Pero sabemos que . En consecuencia, , lo cual implica que , porque es biunivoca. Esto demuestra que todo elemento del nucleo es el vector cero. Por consiguiente, .A la inversa, supongamos que . Demostraremos que es biunivoca. Sean y vectores de tales que . Debemos comprobar que . Como es lineal,

Por tanto esta en el ncleo de , que supusimos era . Por lo anterior, , es decir, . As, es biunvoca (figura 5.6)