Enrie Nart

Notes d'álgebra lineal

Departament de Matematiques

Universitat Autónoma de BarcelonaServei de Publicacions

Bellaterra, 2003

Aquest Ilibre s'ha publicat amb la col-laboraeióde la Generalitat de Caralunya,

Primera edició: setembre de 2003

Edició i impressió:

Servei de PublicacionsUniversitat Autónoma de Barcelona

Edifici A. 08193 Bellaterra (Barcelona). Spainsp@uab.es

Irnpres a Catalunya

Diposit legal: B. 34.863-2003ISBN 84-490-2325-4

:r..latrius1.1 Escalars i matrius. Operacions amb matrius1.2 Matrius invertibles

712

_ Iatrius i sistemes d'equacions lineals

Transformacions elementals de matrius2.1 Transformacions elementals per files2.2 Resolució de sistemes d'equacions lineals2.3 Detecció de matrius invertibles i calcul d'inverses

172328

3. Determinant i rang3.1 Determinant d'una matriu quadrada3.2 Rang d'una matriu

3741

Espais vectorials i aplicacions lineals4. Espais vectorials

4.1 Definició d'espai vectorial i exemples 514.2 Subespais. Sistemes de generador s 544.3 Dependencia lineal d'una família de vectars 574.4 Bases i dimensió 594.5 Matrius de canvi de base 654.6 Suma directa. Subespais complementaris 674.7 Resolució de problemes basics d'espais vectarials 69

5. Aplicacions lineals5.1 Aplicacions entre conjunts 855.2 Definició d'aplicació lineal i exemples 895.3 Nucli i imatge d'una aplicació lineal 935.4 Matriu associada a una aplicació lineal respecte de bases fixades

als espais de sortida i arribada 985.5 Resolució de problemes basics d'aplicacions lineals 103

Diagonalització de matrius6. Diagonalització

6.1 Vectors propis i valars propis d'un endomorfisme6.2 Diagonalització d'endomorfismes6.3 Aplicacions de la diagonalització

113116119

_-ot,es d 'álgebra lineal Materials 5

Presentació

L'algebra lineal és la disciplina matemática que estudia els fenomens lineals,en qualsevol ámbit on es produeixen. La linealitat és la capacitat que tenenalguns objectes de ser sumats i/ o magnificats per nombres. Moltes entitats,procedents de diverses arees científiques, gaudeixen d'aquesta capacitat i les in-teraccions mútues que experimenten s'acostumen a reflectir en equacions lineals,com ara:

12 x - 11y + J5 z = O.

Al batxillerat s'estudien equacions lineals com aquesta, on les lletres x, y, zrepresenten nombres-incógnita que es volen determinar. En aquest curs, aspirema controlar els fenomens lineals en tota la seva extensió, de manera que estu-diarem equacions lineals on els símbols x, y, z podran designar objectes moltdiversos: nombres, matrius, polinomis, funcions, les cel-les de memoria d'un or-dinador, etc. Aquesta aspiració ens fa distingir dos nivells ben diferenciats enel contingut del curso En una primera part, d'unes quatre setmanes de durada,revisem a fons la problemática que envolta la resolució de sistemes d'equacionslineals classics. En tota aquesta part es treballa a un nivell de máxima con-creció i en són protagonistes exclusives les matrius i diferents tecniques permanipular-les: operacions amb matrius, inversió, esglaonament, calcul de rangsi determinants, etc. Aquestes técniques s'utilitzen constantment al llarg de totel curs i en constitueixen el fonament basic.

En una segona part, d'unes sis setmanes de durada, es fa un salt considerabled'abstracció i es passen a estudiar els espais vectorials i les aplicacions lineals,que són els conceptes que millor modelitzen els fenomens lineals. Aquestes sissetmanes constitueixen la part essencial del curso Un dels objectius prioritarisd'aquesta part és fer adquirir a l'alumne la capacitat de viatjar, en les dues direc-cions, entre els nivells concret-abstracte que s'hauran treballat. D'una banda,1elecció d'una base d'un espai vectorial permet assignar coordenades als seusvectors i amb aixo es pot traduir qualsevol problema lineal, plantejat en el nivellabstracte, a un problema numeric sobre matrius i sistemes d'equadons lineals.Un cop feta aquesta traducció, el problema es pot resoldre amb les tecniquesestudiades a la primera part del curs, i la solució obtinguda es pot reinterpretaren el món abstracte per obtenir una solució del problema original.

6 Materials Enric Nart

En l'altre sentit, certs problemes sobre matrius o sistemes d'equacions lineals,plantejats en el nivell concret, es comprenen millor quan es contemplen ambles ulleres dels espais vectorials posades, i sovint aixo permet la seva completaresolució. En aquesta línia, a la darrera part del curs, de dues setmanes dedurada, s'utilitza la maquinaria abstracta de la segona part del curs per obtenirtecniques de diagonalització de matrius. Aquest objectiu és rellevant per lesseves aplicacions en molts processos científics i tecnologics.

Aquestes notes estan basades en el contingut del programa de l'assignatu-ra semestral Algebra lineal, de la titulació d'Enginyeria Informática de l'EscolaTécnica Superior d'Enginyeria de la UAB. Són fruit de la meya experienciaimpartint aquest curs al llarg d'uns quants anys. He d'agrair als alumnes quehan seguit aquests cursos la seva atenció, la seva activa participació a les classesi els seus comentaris, que m'han permes anar perfilant el contingut de les notesper adaptar-les millor a les seves necessitats.

Les notes contenen una extensa col-lecció d'exercicis proposats, distribuitsal llarg de tots els temes. Les seccions 4.7 i 5.5, anomenades respectivamentResolució de problemes bcsics d'espais vectorials i Resolució de problemes bti-sics d'aplicacions lineals, contenen una resolució genérica dels problemes mésbasics que podem plantejar sobre aquestes qüestions. Aquestes seccions contenentambé la resolució completament desenvolupada de deu exercicis que giren alvoltant d'aquests problemes basics.

Bellaterra, maig del 2003

a + b = b + a, ab = ba, Va, s « K.

Matrius isisternes d'equacions lineals

1 Matrius1.1 Escalars i matrius. .Operacions amb matrius

A la natura tenen lloc fenomens lineals de molt diversa índole, en ambits moltdiferents. Per exemple, sempre que dos objectes són sumats o bé un objecte ésmagnificat per un nombre. Tot fenomen lineal pressuposa la intervenció d'unsnombres o escalars, que poden variar segons el contexto Si volem aprendrea controlar fenornens lineals de tota mena, hem de desenvolupar tecniques quefuncionin independentment del sistema de nombres emprat. Treballarem, dones,amb un sistema de nombres K generic, sense especificar. Tecnicament, perqueK estigui capacitat .per suportar fenomens lineals cal imposar que tingui lespropietats d'un cos commutatiu. Sota aquest nom s'agrupen una serie de propie-tats que podem resumir grosso modo dient que els elements de K es poden sumar)restar, multiplicar i dividir) excepte dividir per zero, i les operacions de suma imultiplicació són commutatives:

A la practica, en aquest curs només utilitzarem els següents cossos commu-tatius:

K=Q,K =]R.,K=C,K=Z2,

cos dels nombres racionals,cos dels nombres reals,cos dels nombres complexos,cos de la informática.

EIs tres primers són ben coneguts. Hi ha una relació natural entre ells,donada pel fet que cada cos és una ampliació de l'anterior:

En canvi, Z2 és un món aparto És un sistema que conté només dos nombres:

Z2 = {a, 1},

que se sumen i multipliquen segons s'indica a les taules següents:

+ a 1o a 11 1 Q/ #m=01

a o o101

7

8 Materials Enric Nart

La:relació que pot resultar més estranya és:

de la qual es dedueix una altra relació ben singular:

1= -1, a Z2.

En la transmissió digital d'informació, com per exemple la que es produeixquan escoltem música en un CD, la informació es codifica en forma d'una suc-cessió de zeros i uns. Sovint es produeixen errors en la transmissió d'aquestsdígits i es fa necessari incorporar mecanismes de correcció d'errors. La majoriad'aquests mecanismes correctors estan basats en sofisticats processos lineals, i elsistema numeric que els dóna suport és, essencialment, el cos K = Z2.

Matrius

Fixem un cos commutatiu K, els elements del qual seran els nostres nombres oescalars.

Una matriu m x n amb entrades de K és una taula rectangular d'elementsde K, amb m files i n columnes. Denotarem per Mmxn(K) el conjunt de totesles matrius m x n amb entrades de K. Per exemple,

S'acostuma a representar abreujadament una matriu m x n per:

A = (aij) , 1::; i ::;m, 1 ::; j ::; n,

entenent que el terme aij s'ubica a la fila i i la columna j.

La matriu transposada d'una matriu A E Mmxn(K) és la matriu At EMnxm(K) que s'obté escrivint ordenadament les files de A en columna. Així, lamatriu transposada de A = (aij) és la matriu At = (bij) que té per entrades:

Per exemple, les matrius transposades de les matrius A, B anteriors són:

Clarament, (At)t = A, per a tota matriu A.

Materials 9

na matriu cuadrada de mida n és una matriu n x n. Denotem simplementper JIn(K) el conjunt l\1nxn(K) de totes les matrius quadrades de mida n.

La diagonal principal d'una matriu quadrada esta formada per les entradessi uades a les posicions (1,1),(2,2), ... ,(n,n). Una matriu diagonal és unamatriu quadrada que té nul-les totes les entrades fora de la diagonal principal.E denota:

al O OO a2 O

diag(al"'" an) =

O O an

Una matriu simétrica és una matriu quadrada de mida n, que coincideixamb la seva transposada: A = At. Per exemple, les matrius diagonals sónsimetriques. En general, la simetria d'una matriu quadrada es visualitza com asimetria respecte de la diagonal principal.

o C45

) C·45

)4 '2, 6 4 '2, 67 8 \), 5 6 "'3,

no simétrica simétrica

Estudiarem tres operacions amb matrius: la suma de matrius, el productede matrius per escalars i el producte de matrius. Les dues primeres són moltenzilles i gaudeixen de les mateixes propietats que la suma i el producte de nom-

bre . En canvi, el producte de matrius és una operació delicada, amb propietatspecials, molt diferents de les que estem acostumats a atribuir a les operacions

amb nombres.

Suma de matrius

Donades dues matrius de la mateixa mida A = (aij), B = (bij) E Mmxn(K), lamatriu suma A + B és la matriu de la mateixa mida que té per entrada (i, j) elresultat de sumar les entrades de A i B en aquesta mateixa posició:

Denotarem simplement per OE Mmxn (K) la matriu que té totes les entradesnulles. Clarament,

O+A= A+O = A,

Producte de 'matr ius per escalar s

Donats un escalar A E K i una matriu A E Mmxn(K), la matriu producte AAc., la matriu m x n que s'obté multiplicant totes les entrades de A per A:

(A, B) f-+ AB.

10 Materials Enrie Nart

Exemple

( 2 1 O)A = -1 O ~ , (-2 O O)B = _~ 5 6 E 1112x3(Q),

( O 1 O)A + B = _~ 5 125 , (

12 6 O)6A = -6 O 9 E M2x3(Q).

Podem manipular aquestes dues operacions de suma de matrius i productede matrius per escalars de manera completament análoga a com manipulem lasuma i el producte de nombres. Per exemple, si ens demanen trobar totes lesmatrius X E M2x3(Q) que satisfan:

5X + 2A = 3B,

amb A, B les matrius de l'exemple anterior, podem resoldre aquesta equacióexactament com resoldríem una equació lineal amb una incógnita.

15X + 2A = 3B ~ 5X = 3B - 2A ~ X = 5(3B - 2A) =

25 28) - (!2 ~ ~)]= (~2 3;= ~ [(-65 -2

Producte de matrius

El producte AB de dues matrius A i B només té sentit si el nombre de columnesde la matriu situada a l'esquerra, A, coincideix amb el nombre de files de lamatriu situada a la dreta, B. En aquest cas, la matriu producte AB té elmateix nombre de files que A i el mateix nombre de columnes que B.

L'operació de multiplicar matrius es pot pensar, dones, com una aplicació:

¿Com es fabrica la matriu producte AB?Si A = (aij), B = (bij), aleshores AB = (Cij), amb:

En altres paraules, l'entrada (i, j) de la matriu producte AB és l'escalar ques'obté multiplicant cadascun dels ti elements de la fila i de la matriu A ambel corresponent element de la columna j de la matriu B, i sumant aquests ti

productes.

Exemple 1

G,-..,

D~"

(~i::n) 1-11 O = (11 ~i: -11 11~)

191 -11 ·1 -4 1 3~º~2

A B AB

_-otes d'algebra lineal Materials 11

Insistim en el fet que no sempre té sentit multiplicar dues matrius; depen dela seva mida i de l'ordre en que les vulguem multiplicar. A més a més, es tractad'una operació altament no commutativa,

Remarques

(1) Pot ser que el producte AE tingui sentit pero que el producte EA noestigui definit. Aixo passa amb les matrius de l'exemple 1: no té sentit fer BA,ja que no coincideixen el nombre de columnes de E (quatre) amb el nombre defi.les de A (dues).

(2) Pot ser que tinguin sentit els dos productes AE i EA, pero que no espuguin comparar porque siguin matrius de diferent mida. Per exemple:

A = (O 2 -3) E M'X3(Q), E = (~~) E M3x1(Q).

EA = G ~l T) E M3(Q)·

(3) Si A, B E Mn(K), aleshores els dos productes AE i EA tenen sentit ión també matrius quadrades de mida n. No obstant aixo, si n > 1, tindremovint AE i- BA. Per exemple:

Propietats del producte de matrius

1. Propietat associativa:

A(BC) = (AB)C, VA E Mmxn(K), VB E Mnxr(K), VC E Mrxs(K).

2. Propietat distributiva respecte de la suma, per la dreta i per l'esquerra:

A(B + C) = AB + AC,

(A + B)C = AC + BC,

VA E Mmxn(K), VE, C E Mnxr(K).

VA, E E Mmxn(K), VC E Mnxr(K).

3. Compatibilitat amb el producte per escalars:

(AA)B = A(AE) = A(AB), VA E Mmxn(K), VB E Mnxr(K), VA E K.

4. Anticommutativitat respecte de la transposició:

Parem atenció, en particular, al fet que cada fila de la mairiu AB és combi-nació lineal de les files de B i cada columna de AB és combinació lineal de lescolumnes de A.

Una combinació lineal d'una família d'objectes és el resultat de sumar aquestsobjectes multiplicats cadascun per algun escalar.

Per exemple, per a les matrius A, B de l'exemple 1 tenim:

12 Materials Enric Nart

Reinterpretació del producte de matrius

Vegem a continuació una altra manera d'identificar les files i les columnes d'unproducte de matrius, que utilitzarem sovint al llarg de tot el curso

Denotem per Al, ... , Am les m files i per Al, ... An les ti columnes, d'unamatriu A = (aij) E Mmxn(K) .. Analogament, denotem respectivament perBl, ... .B¿ i B", ... .B" les ti files i les r columnes d'una matriu B = (bij) EMnxr(K). La matriu producte AB té m files i r columnes; dones bé per aqualssevol 1 < i < m, 1 ::; j < r , tenim:

AB = z-esima fila de AB(1.1)

ABj = j-esima columna de AB

(2 1 O)B = (11 7 -1 4) =

=2(4 -1 O 2)+1(3 9 -1 0)+0(0 O 2 8),

1.2 Matrius invertibles

Per a cada nombre natural n hi ha una matriu quadrada de mida ti molt especial,anomenada matriu identitat. És la matriu diagonal diag(1, ... , 1), i la denotaremper I, o In quan vulguem especificar-ne la mida:

1 O OO 1 O

I = In = diag(l, ... ,1) =

O O 1

Aquesta matriu fa d'unitat respecte del producte de matrius, tant per ladreta com per l'esquerra:

Al = A, \fA E Mmxn(K), lB = B, \fB E Mnxr(K).

_-mes d'(ligebra lineal Materials 13

Definició. Una matriu quadrada A E 'Mn(K) , diem que és inverlible siexisteixalguna matriu quadrada B E Mn(K) que satisfa:

AB = BA = 1. (1.2)

Observació. Una matriu invertible no té cap fila. identicasnent tiul-la.

En efecte, si una matriu A té una fila nul-la, aleshores qualsevol producteAB tindrá també una fila nulla i cap d'aquests productes no podrá coincidirmai amb la matriu identitat.

Propietat fonamental de les matrius invertibles

La propietat que caracteritza les matrius invertibles és que es poden cancel-laren els dos membres d 'una igualtat quan es traben a la mateixa banda, dretao esquerra, d'un producte. En altres paraules, si A E Mn(K) és una matriuinvertible, aleshores:

eA = DA ===} e = D, ve, D E Mmxn(K),

Ae = AD ===} e = D, ve, DE Mnxr(K).

Raonem-ho. Imaginem que per a certes matrius e,D E Mmxn(K) es téeA = DA. En aquest cas, si multipliquem els dos membres d'aquesta igualtatper la dreta per una matriu B que satisfaci (1.2), tindrem:

(eA)B.= (DA)B ===} e(AB) = D(AB) ===} el = DI ===} e = D.

El raonament de la cancellacio de A per l'esquerra és analeg i el deixem com aexercici.

Estem acostumats que en el món dels nombres tothom, excepte el zero..cancel-la multiplicativament:

a =1= 0, ae = ad =====? e = d, Ve, d E K.

Aixo es deu al fet que tots els nombres, excepte el zero, són invertibles. Enel món de les matrius tenim la mateixa situació: només les matrius invertiblescancel-Ien multiplicativament (quan multipliquen per la mateixa banda). Lagran diferencia amb el món dels nombres rau en el fet que no tota matriu notiulla és inverlible. Per exemple, per a les matrius:

A = (~1 ~2),e = (~ ~ :), D = (~ ~ ~),

enim:Ae = (2 -12

-1 6

i. com que e =1= D, A no pot ser invertible.

°0) =AD,

/

14 Materials Enrie Nart

Una tasca pendent, dones, és caracteritzar les matrius invertibles. Aixó esfara a la secció 2.3.

La propietat de cancel-lacio permet deduir la unicitat de la matriu inversad'una matriu invertible. En efecte, si A E Mn(K) és invertible i hi ha duesmatrius B, B' E Mn(K) que satisfan (1.2), aleshores la relació AB = 1= AB'implica que B = B' perque podem cancel- lar A per l'esquerra.

Observació. Si A E Mn(K) és una matriu invertible, aleshores hi ha unaúnica matriu B E Mn(K) satisfent (1.2). Aquesta matriu s'anomena la matriuinversa de A i es denota per B = A -1.

Denotarem per GLn(K) el conjunt de totes les matrius quadrades i invertiblesde mida n. Amb l'operació de multiplicar matrius, el conjunt GLn(K) té unaestructura de grup, no commutatiu si ti > 1, que s'anomena grup lineal d'ordren de K. Aquesta estructura de grup de GLn(K) es resumeix tecnicament en lespropietats següents, ben evidents:

(1) La matriu identitat 1és invertible i coincideix amb la seva propia inversa:1= 1-1.

(2) Si A és invertible, la matriu inversa A -1 també és invertible i (A -1 )-1 = Aés la seva inversa.

(3) Si A, B E Mn(K) són invertibles, aleshores el seu producte AB tambéés invertible i (AB)-l = E-lA-l.

Aquesta darrera propietat és típica dels processos no commutatius. Si percalcar-nos ens posem primer els mitjons i després les sabates, per descalcar-nosho hem de fer en l'ordre invers: primer treure'ns les sabates i després els mitjons.

{O . --1.. . { O, i < j - 1 { O .., '/,I J . . ,'/, < J

aij = . .= . , bij = 1, Z = J - 1 , Cij = (_l)i+j . > .'/" 't J . . . . 1 ' '/,- J.'/,- J, i > J-

Exercicis

1. Siguin A = (aij) , B = (bij) , C = (Cij) les matrius 4 x 4 definid es per:

Escriviu explícitament A, B i C. Calculeu C2, C3 i An per a tot ti E N.

2. Es diu que dues matrius A, B E Mn(K) commuten si AB = BA. Trobeu totesles matrius de NI2(Q) que commuten respectivament amb:

(3 0),03' (~~), (~~).(2 0)"

03'

Materials 15- es dálgebra lineal

Trobeu totes les matrius 2 x 2 sobre e que commuten amb:

(~~), (~~),Trobeu totes les matrius 2 x 2 sobre Z2 que commuten amb:

(~~),(~~), (~~), (~~),3. Xlostreu amb exemples que a M2(K) les següents identitats són falses:

Proveu, en canvi que, si A i B commuten, les identitats són correctes.

-1. Suposem que A, B E Mn(K) són dues matrius simetriques, Proveu que lamatriu producte AB és simétrica si i només si A i B commuten.

u. Resoleu el següent sistema d'equacions amb incógnitos A, B E M2x3(K).

{

3A+4B = ¡2~

5A - 3B = 188

6 18)19 2610 3022 24

6. Considerem les matrius:

(2 1 -5 4)

B = -1 O 2 9 .

Calculeu la segona fila de la matriu producte AB de dues maneres diferents:com un producte de matrius CB (per a una matriu adequada C) i com unacombinació lineal de les files de B.

Calculeu la tercera columna de la matriu producte AB de dues maneresdiferents: com un producte de matrius AC (per a una matriu adequada C)com una combinació lineal de les columnes de A.

7. Comproveu que les següents matrius són inverses l'una de l'altra:

(=~ ~ ~)1 -2 -2

16 Materials Enric Nart

Trobeu l'única matriu X E M3x2(Q!) que satisfa:

(-1 2 3) (2 -1) (-4' 1 1 X - 5 -3 4 !11 -2 -2 O 12

) (20 -7)~ = i~~,

9. Siguin A, B E Mn(K) amb B invertible i A no invertible. Proveu que l'equacióAX = B no té solució a Mn(K).

8. Siguin A, B E Mn(K) invertibles. Trobeu totes les X E Mn(K) que satisfan:

AB-1 AXA-1 B + 9AB = O.

10. Proveu que hi ha infinites matrius X E M2(lR) que satisfan respectivament:

Proveu que, si X2 = I i X i=- L, aleshores I + X no és invertible.Proveu que, si X2 = O aleshores I + X és invertible.lndieaeió: calculeu (I + X) (I - X).

11. Comproveu que qualsevol matriu A = (~ ~) satisfá l'equació de segon grau:

A 2- (a + d) A + (ad - be) I = O.