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Fundamentos de Derivados y Opciones Benavides

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Notas de Clase

Fundamentos de Derivados y Opciones

Julin Benavides Franco

Universidad Icesi, 2013


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Tabla de contenido 1. Introduccin a los Activos Derivados............................................................................. 3

1.1 Estructura de un Contrato de Futuros Peso/Dlar ........................................................ 16

1.2 Diagramas de Utilidad .................................................................................................. 20

1.3 Conceptos de Cobertura con Derivados ....................................................................... 24

1.4 Utilidad y Retorno de Inversin en opciones ............................................................... 36

2. Proceso Lognormal ....................................................................................................... 44

3. Valoracin de Derivados utilizando la Simulacin de Montecarlo .............................. 58

4. Valoracin de Derivativos, modelo discreto ................................................................ 63

5. Modelo de Black-Scholes (tiempo continuo) ............................................................... 81

6. Estrategias de Inversin con opciones, acciones, futuros y bonos ............................... 87

7. Convergencia Formula de Valoracin de Opciones, Discreta vs. Black-Scholes ........ 99

7.1 Ejercicio de convergencia, usando Macros.......................................................... 104

8. Como Calcular el Portafolio Insurance....................................................................... 110

9. Opciones Reales, una introduccin............................................................................. 122

10. Ejercicios Generales ................................................................................................... 127


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Fundamentos de Derivados y Opciones

1. Introduccin a los Activos Derivados

Activos Derivados

Un activo o instrumento derivado es un activo cuyo valor se asocia, se desprende o es

funcin de otro activo, llamado activo subyacente. Por ejemplo un futuro sobre caf es un activo derivado cuyo valor depende del precio futuro del caf. Es importante puntualizar que el valor del futuro de caf es diferente al precio futuro del caf. El valor del futuro est

dado por el valor presente de la diferencia entre el precio forward o futuro pactado inicialmente, X, (aunque este valor se modifica, cuando estamos hablando de un futuro

transado en bolsa) y el precio futuro del subyacente, F0, en el momento en que se valora el futuro:

( ) donde T es el tiempo al vencimiento y kf es la tasa libre de riesgo.

Los activos derivados ms importantes son los forward (o contratos a plazo), los futuros y las opciones. A continuacin se describen sus caractersticas.

Forward (Contratos a Plazo) y Futuros

Es un ttulo que da a su poseedor el derecho y la obligacin de comprar o vender un activo

S, por un precio especfico predeterminado, en una fecha particular. Denominaremos el

precio especfico predeterminado como Precio de Ejercicio X, aunque normalmente se conoce precio forward (futuro) . El tiempo que transcurre hasta que se debe realizar la

transaccin lo denominaremos T. Ejemplo

Suponga que usted suscribe un forward para comprar una accin de Ecopetrol por un

precio de $4500 (X) para dentro de 30 das. Si en 30 das la accin de Ecopetrol se transa por $4600 (ST) su utilidad ser de $100 (ST X), obtenida al comprar un activo (cuyo valor es superior) por un precio inferior al de

mercado. Por otro lado si en 30 das la accin de Ecopetrol se transa por $4400 la utilidad ser

negativa e igual a -$100, lo cual tambin equivale a ST-X.


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Por lo que se deduce que una funcin que describe el pago de un forward es ST-X. Donde el

subndice T corresponde al momento del vencimiento.

Puesto que un futuro es en esencia lo mismo que un forward, esta funcin tambin aplica para los futuros.

Recuerde que en cualquier transaccin financiera existe una contraparte, cual es entonces el pago que recibe la contraparte, quin se comprometi a venderle a usted la accin de

Ecopetrol en las condiciones antes descritas. Una conclusin que puede deducirse de estas funciones de pago es que los forward y los

futuros son operaciones de suma cero, donde la utilidad de uno es la perdida del otro.

En condiciones normales al suscribir un forward, o un futuro, ninguna de las contrapartes debe pagar una prima. Esto quiere decir que el valor esperado hoy de tal tipo de operacin es cero.

La diferencia entre forwards y futuros radica fundamentalmente en la intermediacin.

Mientras que el forward es una operacin sin intermediarios, la compra y venta de futuros se realiza a travs de instituciones similares a las bolsas de valores. Estas instituciones son las que organizan el mercado de futuros, produciendo estandarizacin en los tipos de

activos sobre los que se pueden contratar futuros, el monto, el vencimiento, las garantas requeridas, el ajuste de cuentas y la forma de liquidacin de los mismos.

Forward

ST 4600

X 4500

ST - X 100

Delta 100

ST Pago

100

4000 -500

4100 -400

4200 -300

4300 -200

4400 -100

4500 0

4600 100

4700 200

4800 300

4900 400

5000 500

Forward

-600

-400

-200

0

200

400

600

4000 4200 4400 4600 4800 5000

ST

Pago

ST-X


5

En un contrato forward, por el contrario, no existen garantas mas all de la credibilidad de

la respectiva contraparte, sin embargo esta limitacin tambin permite la versatilidad de los mismos en cuanto a montos y vencimientos.

Opcin

Es un ttulo que da a su poseedor el derecho, mas no la obligacin, de comprar o vender un

activo S (a veces tambin llamado activo subyacente) por un precio especfico predeterminado X (precio de ejercicio), en o antes de una fecha particular T (fecha de expiracin o vencimiento). Tipos de Opciones

Call (Compra)

Derecho de compra Put (Venta)

Derecho de venta

Cuando la opcin se puede ejercer ANTES del vencimiento se conoce como una opcin tipo Americano, cuando la opcin solo se puede ejercer EN la fecha de vencimiento se conoce como tipo Europeo.

A diferencia del forward (futuro) la opcin es lo que se denomina un activo contingente,

puesto que su utilidad no solo depende del precio futuro del activo subyacente, sino de una decisin que toma el poseedor del mismo.

Otra diferencia ms importante es que al comprar una opcin se debe pagar una Prima, que se entrega a la contraparte (el emisor de la opcin). Cuando calculamos el valor de una

opcin, en muchos casos estaremos calculando el valor de la prima. Ejemplo

Opcin CALL

Continuamos con la accin de Ecopetrol. Suponga que usted acaba de comprar una opcin Call sobre una accin de Ecopetrol. El precio de Ejercicio X es $4500 y el vencimiento es

dentro de 30 das.

Si en 30 das la accin de Ecopetrol se transa por $4600 (ST), es ptimo ejercer la opcin y comprar la accin, su utilidad ser de $100 (ST X), obtenida al comprar un activo (cuyo valor es superior) por un precio inferior al de mercado.

Por otro lado si en 30 das la accin de Ecopetrol se transa por $4400, no es ptimo ejercer

la opcin, ya que esta le da el derecho a comprar una accin por un valor superior al que


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tendra que pagar si la comprara en el mercado de acciones, por lo tanto la opcin expira sin

ser ejercida y la utilidad ser de cero.

Si adicionalmente se incluye el pago de la Prima se obtienen los flujos netos que produce la compra de la opcin. Cul sera entonces una funcin que describe los pagos recibidos por la compra de una

opcin Call?

Veamos: 1. ST > X: ST X 2. ST < X: 0

Una funcin que describe estos pagos es Mximo (ST-X,0).

Como se observa la opcin Call permite a su poseedor obtener utilidades en caso de un incremento en el precio del activo subyacente y limitar las perdidas en caso de una reduccin.

Naturalmente un esquema de pagos de este tipo tiene un valor, que en este caso es la prima

que se pag.

Opcin PUT

Continuamos con la accin de Ecopetrol. Suponga que usted acaba de comprar una opcin

Put sobre una accin de Ecopetrol. El precio de Ejercicio X es $4500 y el vencimiento es dentro de 30 das.

Opcion Call

ST 4600

X 4500

C=Max(ST - X,0) 100

ST Pago

100

4000 0

4100 0

4200 0

4300 0

4400 0

4500 0

4600 100

4700 200

4800 300

4900 400

5000 500

Opcion Call

-600

-400

-200

0

200

400

600

4000 4200 4400 4600 4800 5000

ST

Pago

Max(ST-X,0)


7

Si en 30 das la accin de Ecopetrol se transa por $4600 (ST), no es ptimo ejercer la

opcin, ya que esta le da el derecho a vender una accin por un valor inferior al que obtendra si la vendiera en el mercado de acciones, por lo tanto la opcin expira sin ser

ejercida y la utilidad ser de cero. Por otro lado si en 30 das la accin de Ecopetrol se transa por $4400, es optimo ejercer la

opcin y vender la accin, su utilidad ser de $100 (X ST), obtenida al vender un activo (cuyo valor es inferior) por un precio superior al de mercado.

Si adicionalmente se incluye el pago de la Prima se obtienen los flujos netos que produce la compra de la opcin.

Cual seria entonces una funcin que describe los pagos recibidos por la compra de una

opcin Put? Veamos:

3. ST > X: 0

4. ST < X: X - ST Una funcin que describe estos pagos es Mximo (X - ST ,0).

Como se observa la opcin Put permite a su poseedor obtener utilidades en caso de una

reduccin en el precio del activo subyacente y limitar las perdidas en caso de un incremento.

Opcion Put

ST 4600

X 4500

C=Max(X-ST,0) 0

ST Pago

0

4000 500

4100 400

4200 300

4300 200

4400 100

4500 0

4600 0

4700 0

4800 0

4900 0

5000 0

Opcion Put

-600

-400

-200

0

200

400

600

4000 4200 4400 4600 4800 5000

ST

Pago

Max(X-ST,0)


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Preguntas

1. Cul seria la funcin de pago de los emisores de los instrumentos derivados aqu

revisados? 2. Si usted pensara que es muy probable que el precio de la accin de Ecopetrol fuera a

cambiar radicalmente en los prximos das, aunque no puede estar seguro de si a la

baja o al alza, qu opcin o combinacin de opciones podra usted comprar o vender para obtener una utilidad sobre esta situacin?

Operaciones con opciones

Put Protectivo

Es un concepto de cobertura que resulta al implementar una estrategia sencilla de minimizacin de riesgo financiero que implica la combinacin de posiciones largas (lo que

quiere decir comprar) en las acciones o portafolio a asegurar y en una Opcin Put; esta estrategia es conocida como Put Protectivo. El Put Protectivo tiene un horizonte que esta

definido por el tiempo de maduracin o vencimiento de la opcin Put. Al comprar una accin S sabemos que el pago final recibido por la accin al momento de

venderla (liquidar la posicin) corresponde al precio spot St (Pago = St ), la Grfica 1a nos muestra este comportamiento. Para calcular el pago neto se debe restar el costo inicial de la

accin S0. El pago neto se expresa como St S0. La grfica 1b representa estos beneficios.

Grfica 1

a b

Pagos de una accin como funcin Pagos netos (o beneficios) por la del Precio Spot St compra de una Accin

Precio de Compra (S0) = 100 Pago = St Pago = St S0

Repetimos la definicin de la opcin Put: Una opcin Put es el derecho, mas no la obligacin, de venta de un activo (en este caso una accin o portafolio de acciones) a un

precio determinado, conocido como precio de ejercicio X, en una fecha futura determinada


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conocida como fecha de vencimiento o de maduracin. El tiempo hasta la expiracin (o

vencimiento) de la opcin se denomina T. Cuando la opcin puede ejercerse en cualquier momento entre su emisin y expiracin se conoce como una opcin tipo americano, en caso

contrario la opcin se denomina tipo europeo. Los pagos recibidos al ejercer la opcin se observan en la grfica 2a.

Cuando el precio de ejercicio es superior al precio spot de la accin (X>S t), el propietario de la opcin la ejerce, pues puede vender la accin S a un valor mayor al del mercado. Su

utilidad es entonces St-X. Cuando X < St el propietario no ejerce la opcin, pues puede vender la accin a un precio mayor que el pactado en la opcin, su utilidad en este caso es 0. En ambos casos debe restarse la prima pagada por la compra de la opcin si se quiere

obtener los pagos netos de la operacin (Grfica 2b).

Una funcin que describe este comportamiento es Mximo (X St,0).

Grfica 2

a b

Pagos de una Opcin Put en el momento Pagos netos (descontando la prima) de Ejercicio de una Opcin Put en el momento de

ejercicio Precio de Ejercicio X =90 Precio de Ejercicio X =90

Pago = Max (X-St,0) Prima = 10 Pago = Max (X-St,0) - Prima

La racionalidad que justifica la compra de una opcin como la descrita anteriormente estriba en que se elimina la posibilidad de prdidas ms all de un nivel pre-establecido por el precio de ejercicio X.

Un ejemplo sencillo clarifica el concepto. Supngase que se desea comprar una accin S

cuyo precio actual es de COL$ 100. Tambin se quiere eliminar la posibilidad de perdidas a un 10%, pero se desea conservar la posibilidad de ganancia que implica la valorizacin de la accin.

Pagos Put

0

20

40

60

80

100

2.5

27.5

52.5

77.5

102.5

127.5

152.5

177.5

St


10

La limitacin de las perdidas implica que se desea que en el momento de liquidar

posiciones se pueda vender la accin S al menos por COL$ 90. Esto se consigue comprando una opcin Put con precio de ejercicio X = COL$ 90.

Ahora debemos analizar el resultado de combinar las dos posiciones (la compra de la accin S y de la opcin Put).

El anlisis del resultado puede realizarse definiendo dos rangos (1: S t < X y 2: St >X):

La combinacin de las dos posiciones, la compra de la accin y del put, se muestra en la grfica 3.

Grfica 3

a b

Pagos de una Opcin Put y una accin Pagos netos (descontando la prima) en el momento de Ejercicio de una Opcin Put en el momento de

ejercicio Precio de Ejercicio X =90 Precio de Ejercicio X =90 Pago = Max (X-St,0) + St Prima = 10

Pago = Max (X-St,0) Prima + St - S0

Como se observa claramente el put protectivo (S+P), donde S es la accin y P es la prima un Put sobre 1 accin S, permite a su poseedor beneficiarse de un incremento en el precio

de la accin y reducir las perdidas en caso de ocurrir lo contrario. La erogacin inicial es S0 + P0, donde S0 es el precio de compra de la accin y P0 es la prima pagada por el Put.

Opcin

Accin

St < X St > X St < X St > X

Opcin X - St 0 X - St - P - P

+ Accin St St St - S0 St - S0

= Total X St X - S0 - P St - S0 - P

Rango

Estrategia

Pagos Pagos Netos

Max(X-St,0) - P

St - S0Funcin

Max(X-St,0)

St


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El ejemplo anterior nos muestra que las posiciones en diferentes tipos de activos pueden

combinarse o sumarse para producir utilidades (perfiles de pago) que favorezcan los intereses de su poseedor. Para los siguientes ejemplos nos concentraremos en hallar los

resultados de combinar posiciones sin descontar los pagos iniciales (prima o compra del activo).

Call Cubierto

En este caso se combina la compra de una accin con la venta de un Call. Esta estrategia permite obtener utilidades de la venta de un Call, minimizando el nivel de perdidas en caso de un incremento en el precio de la accin mas all del valor de la prima.

Ya vimos en el ejemplo anterior la funcin de pago que se obtiene por la compra de una

accin. La funcin de pago de la venta o emisin de un Call es el negativo de la obtenida por la compra del mismo. El Call Cubierto combina estas dos funciones.

Veamos: Suponga que se adquiere una accin por $500 y no se desea mantenerla por un largo

tiempo, se tiene la intencin de venderla en cuanto su precio supere los $600. Existe alguna manera de incrementar la ganancia? La respuesta es si: Puesto que ya se posee la accin se puede emitir una opcin Call con un precio de ejercicio de $600. El comprador de la opcin

solo la ejercer cuando el valor de la accin exceda los $600, puesto que este era el valor de venta originalmente establecido, el emisor se siente satisfecho puesto que ha obtenido la

ganancia establecida inicial y la ha incrementado con la prima recibida C0. El anlisis del resultado puede realizarse siguiendo la estrategia delineada para el Put Protectivo. Que sucede en caso de una reduccin en el valor de la accin?

A continuacin se presenta la funcin de pago de la accin, donde no se ha descontado el

valor de S0:

Accion

ST 500

- S0 0

= ST - S0 500

Delta 100

ST Pago

500

0 0

100 100

200 200

300 300

400 400

500 500

600 600

700 700

800 800

900 900

1000 1000

Accion

0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000 1200

ST

Pago

ST-S0


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En el caso de la venta o emisin de la opcin se tiene (sin tener en cuenta la prima recibida):

Ahora se combinan (suman) las dos funciones, lo que resulta en el Call Cubierto:

Venta Opcion Call

ST 500

X 600

-C=Max(ST - X,0) 0

+C0 0

= -C+C0 0

ST Pago

0

0 0

100 0

200 0

300 0

400 0

500 0

600 0

700 -100

800 -200

900 -300

1000 -400

Venta Opcion Call

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

0 200 400 600 800 1000 1200

ST

Pago

-Max(ST-X,0)+C0

Call Cubierto

ST - S0 500

-C+C0 0

= ST - S0-C+C0 500

ST Pago

500

0 0

100 100

200 200

300 300

400 400

500 500

600 600

700 600

800 600

900 600

1000 600

Call Cubierto

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

0 200 400 600 800 1000 1200ST

Pago

ST-S0-C+C0


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Paridad Put-Call

Uno de los resultados ms conocidos sobre las opciones europeas es la paridad Put-Call.

Este resultado establece que el valor actual de un Put y una unidad del activo subyacente S son iguales al valor de un Call (sobre el mismo subyacente, idntico precio de ejercicio X e igual vencimiento T) ms el valor presente de un bono libre de riesgo de descuento puro

con valor nominal de X, el precio de ejercicio, que madura en T. Esto es:

Put0 + S0 = Call0 + Pv(X) Si el subyacente fuera una accin que paga dividendos conocidos durante la vida de las

opciones, la anterior ecuacin se modifica a:

Put0 + S0 = Call0 + Pv(X) + Pv(Div) Cuando las opciones involucradas son americanas se obtiene la siguiente desigualdad:

S0-X Call0 - Put0 S0 - PV(X)

Ejercicio temprano

Se puede usar la paridad Put-Call para establecer particularidades respecto a la relacin entre el valor de las opciones americanas y europeas.

Analicemos el caso de las opciones Call, para esto re-expresamos la paridad de la siguiente manera, generalizando la expresin para cualquier momento t, entre la emisin y el

vencimiento:

Callt = St - Pv(X) + Putt, adicionalmente Pv(X) = X.exp(-kf.(T-t)). Definamos Des(X) = X-Pv(X) = X.(1-exp(-kfT))>0

Luego

Callt = St X + Des(X) + Putt

Por simple inspeccin podemos observar que el valor del Call siempre ser superior al valor intrnseco, cuando S0X. Puesto que la nica ventaja que un Call americano tiene sobre uno Europeo es su posibilidad de ejercicio temprano, y conociendo que la utilidad en este caso

sera St X, menor a la que se obtendra al venderlo, podemos concluir que no es ptimo ejercer el Call antes del vencimiento y que el valor de mercado de un Call americano es

igual al de uno europeo. Este no es el caso para el Put. Se deja al lector interesado la argumentacin para este caso.

Valor Intrnseco Valor Temporal


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Ejercicios

Realizar el anlisis anterior para las siguientes operaciones:

Long Straddle: Compra de un Call y un Put sobre una accin con el mismo precio de ejercicio suponga que X = $500. Para que sirve? Forma (V)

Spread: Compra de un Call con un precio de ejercicio de X1=450 y venta de un Call con un

precio de ejercicio de X2=550. Los spreads son combinaciones de Calls (2 o mas) o Puts (2 o mas) exclusivamente, las cuales se compran o se venden (emiten). Forma (_/)

Collar: Tenencia de una accin combinada con la compra de un put (X=400) y la venta de

un call (X=600). Paridad Put-Call:

Compare las siguientes estrategias, a. Put Protectivo: accin mas put con precio de ejercicio X

b. Call con precio de ejercicio X mas la compra de bonos libre de riesgo (cero cupn) y valor nominal de X.

Suponga una tasa libre de riesgo de k0. Que conclusin se desprende, si no hay posibilidad de arbitraje.

Compruebe que un Put americano vale ms que uno europeo.

Pruebe la relacin de desigualdad Put-Call para opciones americanas.

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Swaps

Un swap es un acuerdo entre dos empresas para intercambiar flujos de caja en el futuro. El

acuerdo normalmente incluye los vencimientos de dichos intercambios y la forma de calcular su monto. Desde este punto de vista un contrato forward (a plazo) es un swap, con un solo plazo.

Veamos un ejemplo.

Un swap de moneda es un intercambio de flujos de caja en 2 monedas diferentes, normalmente envuelve dos bonos con similares vencimientos expresados en las 2 monedas transadas. Se intercambian los cupones y el principal.

Suponga que General Motors ha emitido bonos denominados en yenes japoneses, debido a

que las condiciones del mercado japons son favorables. Sin embargo el grueso de sus ingresos esta denominado en dlares. Por otro lado Honda esta construyendo una fabrica en USA y requiere dlares, aunque el grueso de sus ingresos esta expresado en yenes. Como

resultado de sus necesidades de efectivo y sus ingresos GM y Honda acuerdan un swap.

GM recibir yenes que le permitirn cubrir los cupones y el principal de los bonos que emiti en el mercado japons y pagar dlares. Honda recibir dlares y pagar en yenes en su mercado local.

Pregunta Conceptual:

Establezca que el valor esperado (presente o futuro) de un swap es cero. Para tal fin utilice los flujos que acompaan la emisin de dos bonos.

Sea el bono a expresado en yenes (valor nominal 8000, cupn 5%) y el bono b expresado en US (valor nominal 100, cupn 7%). Suponga que la tasa actual es de 80Y/US y el

comportamiento esperado de la misma responde al efecto Fisher. Compruebe que el valor neto de los intercambios es de cero.

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1.1 Estructura de un Contrato de Futuros Peso/Dlar Un contrato de futuros se establece cuando el comprador de los futuros y el vendedor de los

mismos, cualquiera que sea el activo subyacente acuerdan su precio a la entrega, el nmero de contratos a intercambiar y el mes de entrega.

En una bolsa establecida el vencimiento (entrega) de los contratos (la fecha en que el intercambio se debe realizar) se realiza en un da especifico (normalmente hacia el final de mes) de determinados meses. La cmara de compensacin de la bolsa se encarga de realizar

los ajustes a las diferentes posiciones abiertas en los diferentes contratos transados.

Suponga que en Colombia existe una bolsa de futuros Peso/Dlar (TRM), que negocia contratos C de compraventa de dlares por un monto unitario de US$ 25.000, que maduran el 3er Mircoles de cada mes.

Garanta

La bolsa exige una garanta (Margin) en pesos igual a nxCxTRMx%n. Donde n es el numero de contratos abiertos, C es el tamao del contrato y TRM es la tasa de cambio spot COL/US del da en que se pacta el futuro y %n es un valor que puede variar segn la

volatilidad de la divisa y que actualmente es igual al 5%. Esta garanta tiene el propsito de reducir el riesgo de no pago y cada contraparte debe suscribirla

Ajuste de Garanta

Si la garanta llegara a reducirse al 75% de su valor original, en virtud de las oscilaciones

de la tasa de futuros, la contraparte afectada deber reponerla a su nivel original, realizndose un ajuste de la garanta (Margin Call). Este nivel original es el establecido en la fecha de apertura del contrato, no el que resulta del nuevo precio de la divisa (Esta es una

convencin, no hay ninguna razn por la cual no pudiera realizarse de esta forma).

Mecnica de operacin

Al cerrarse la operacin, las contrapartes depositan la garanta. Al finalizar la rueda de ese da, la bolsa calcula los ajustes que deben realizarse a cada posicin. Si F0 identifica a la

tasa a futuro pactada al cierre de la operacin y F1 a la tasa a futuro calculada por la bolsa al final del da, la perdida o ganancia para una posicin larga (compra de futuros) es igual a

n(C)(F1-F0). La racionalidad de este calculo estriba en que F1 es el precio de venta (o el valor final del activo subyacente) y F0 el precio de compra. Estos valores normalmente se expresan en la moneda legal donde opera la bolsa de futuros. Naturalmente la posicin

corta es el espejo de la larga con lo que la perdida o ganancia de la posicin larga es la ganancia o perdida de la corta (n(C)(F0-F1)). La cmara de compensacin abona o

descuenta este valor de la garanta depositada por cada contraparte. Al siguiente da la tasa de referencia es F1 y el calculo de la utilidad es n(C)(F2-F1) para el comprador de futuros. Toda vez que las perdidas acumuladas reduzcan la garanta por debajo de la cota mnima

aceptada (75%) la contraparte afectada deber reponerla a su nivel original. Al vencerse el contrato de futuros las utilidades o prdidas acumuladas para el comprador

de futuros corresponden a:

n

iii FFnCUtilidad

1

1 lo cual se simplifica en 0FFnC n .


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Si recordamos que la tasa Fn corresponde al precio spot de la divisa al vencimiento del

futuro (Sn)1, la formula para la utilidad total es:

0FSnCUtilidad n Otra forma de contabilizar la utilidad corresponde a:

AGGIGFUtilidad Donde GF corresponde al nivel final de la garanta (en caso de no existir ningn retiro), GI al depsito inicial y AG a los ajustes acumulados de la garanta.

Ejemplo:

Al finalizar la rueda (o al inicio de la rueda del siguiente da) de negociacin de cierto da, 2 personas, Lus y Ana, acuerdan por intermedio de sus respectivos comisionistas entrar en

un contrato de futuros Peso/Dolar. Lus acuerda comprar un (1) contrato de futuros a una tasa de 2.850 COL/US y Ana acuerda venderlo. El contrato vence en 10 das.

Al vencimiento del contrato la tasa de futuros ha oscilado de la siguiente manera:

Recuerde que un contrato de futuros se liquida diariamente.

Encuentre la utilidad diaria de ambas posiciones, los cambios en los niveles de garanta, y los ajustes requeridos a las garantas, si es que se requieren.

1 De existir diferencia entre el precio futuro al vencimiento y el spot habra lugar a arbitraje. Si Fn>Sn se

compran dlares en el mercado spot y se venden en el de futuros con ganancia inmediata, si Fn


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Encuentre los valores adecuados para cada casilla y realice un ejercicio similar para la

posicin opuesta.

Numero de contratos (n) 1

Caracteristicas del ContratoContrato (C) 25,000 US

%Garantia 5.00% Col

Garantia US 1,250

TC Spot COL/US 2,820

Garantia COL 3,525,000 por contrato

Ajuste Garantia 75.00% de Garantia inicial

Aj. Garantia COL 2,643,750 por contrato

Util Diaria

Ft TC COL/US UDi = (Fi - Fi-1)nC

0 2,850.00 - 3,525,000 3,525,000 -

1 2,842.00 (F1-F0)nC = 200,000- 3,325,000 - 3,325,000 200,000-

2 2,808.00 (F2-F1)nC = 850,000- 2,475,000 1,050,000 3,525,000 1,050,000-

3 2,815.00 : 175,000 3,700,000 - 3,700,000 875,000-

4 2,850.00 : 875,000 4,575,000 - 4,575,000 -

5 2,883.00 : 825,000 5,400,000 - 5,400,000 825,000

6 2,931.00 : 1,200,000 6,600,000 - 6,600,000 2,025,000

7 2,871.00 : 1,500,000- 5,100,000 - 5,100,000 525,000

8 2,865.00 : 150,000- 4,950,000 - 4,950,000 375,000

9 2,895.00 : 750,000 5,700,000 - 5,700,000 1,125,000

10 2,866.00 (F10-F9)nC = 725,000- 4,975,000 - 4,975,000 400,000

UDi = 400,000 Total AG 1,050,000

Balance Final Garantia 4,975,000

- Ajustes de Garantia 1,050,000-

- Garantia Inicial 3,525,000-

= Utilidad 400,000

Directo (F10-F0)nC = 400,000

Luego UDi = (F10-F0)nC = (S10-F0)nC

Comprobar esta igualdad

Compra US

Ajuste Garantia

(AG)Garantia

Balance

Garantia

Utilidad

Luis

Utilidad

acumulada


19

Plantilla Contrato de Futuros

La siguiente plantilla, una derivacin de la anterior, puede modificarse a voluntad para diferentes tipos de contratos.

PERFIL DE PAGOS De UN FUTURO Posicin Larga:

1ro

compra

Monto C US$ 5,000 2do

venta

Garantia pesos #COL COL$ 160 #Contratos

Mantenimiento %M 87.50% Posicion n 3 +:Larga/- Corta

Garanta en pesos GC COL$ 800,000 =C*#COL Gar. Total GT 2,400,000 =Abs(n)GC

Mantenimiento MC COL$ 700,000 =%M*GC Mtto Total M 2,100,000 =Abs(n)MC

Condicin Retiro 1 1:Si,2:No

U. diaria

Larga

Ui Gi Ai Bi UAi

=(Fi-Fi-1)nC =Bi-1+Ui =SI(Gi


20

1.2 Diagramas de Utilidad

Es usual con los activos derivados trabajar con funciones de pago. Estas funciones de pago

son aplicaciones al plano cartesiano (X-Y) de los resultados de las operaciones (o posiciones) con este tipo de activos. La funcin de X o variable independiente es asignada

al precio del activo subyacente (ST), en muchos casos una accin. La variable dependiente Y es el resultado de la estrategia de inversin.

Ejemplo:

Suponga que usted abre un contrato de compra de futuros sobre el activo S a un precio X el cual se vence en el periodo T. Su utilidad al vencimiento Y ser f(ST) = ST -X. El diagrama de utilidad es la expresin grfica de esta ecuacin. En los diagramas de utilidad

se pueden combinar los pagos de diferentes activos sea que estos se compren (posicin larga) o se vendan (posicin corta).

A continuacin se explica el procedimiento para realizar tal tarea en Excel.

Graficando Forwards

La ganancia final de una opcin depende del precio final del activo subyacente. Para un forward la ganancia al vencimiento es:

2. ST - X, cuando se compra el forward (Posicin larga).

3. X - ST , cuando se vende el forward (Posicin corta).

Graficaremos la posicin larga.

Para graficar la ganancia del forward como funcin del precio de la accin al vencimiento ST podemos acudir a la

funcin de tabla de datos de Excel, para

encontrar la ganancia final del forward para diferentes valores de ST . La tabla de

datos permite hallar el resultado de una formula o modelo cuando una o dos variables que la definen toman diferentes

valores.

En este caso la funcin o modelo es ST-X y la variable independiente es ST . Para tal fin deben organizarse los datos de la

siguiente forma:


21

Ahora debe seleccionarse la zona de la

tabla de datos (encerrada entre los bordes oscuros) e invocar el comando

[Herramientas de Datos/ Anlisis Y si/Tabla de datos], que muestra el siguiente men de dialogo. En este caso

la variable que cambia es ST (la columna izquierda del rea seleccionada) ubicada

en la celda B3 de la formula bsica. Para este ejemplo sencillo no existen cambios para una segunda variable, luego el men

debe llenarse as:

Una vez finalizado el procedimiento el siguiente es el resultado:

Grfica

Excel provee las herramientas para

graficar este resultado:


22

Graficando Opciones

La ganancia final de una opcin depende del precio final del activo subyacente.

Para una opcin Call se tienen las siguientes posibilidades: 4. ST>X, en este caso es ptimo ejercer la opcin y la ganancia corresponde a la

diferencia entre el precio de compra X y el valor de mercado ST . Considere que

usted vende la accin inmediatamente despus de ejercer la opcin, su ganancia corresponde al precio de venta menos el precio de compra: ST-X.

5. ST


23

Ejercicios

1. Realice un ejercicio similar para una opcin Put con X (precio de ejercicio) de

$1830.

2. Cul es el resultado de comprar una opcin Put con precio de ejercicio de $1800 y comprar una opcin Call con el mismo precio de ejercicio? En este caso una

condicin es que las dos opciones maduran simultneamente (aunque esta condicin no aplica si la opciones son tipo americano).

3. Al comprar una opcin se debe pagar una prima. Asuma que este valor es $40.

Incorpore este cambio en su modelo.

--------------------


24

1.3 Conceptos de Cobertura con Derivados

El concepto de cobertura puede entenderse fcilmente cuando un agente combina 2 posiciones

diferentes: 1) la posicin, natural, que implica la exposicin al riesgo; 2) la posicin en el derivado

que implica una exposicin opuesta al riesgo. El resultado puede implicar una eliminacin total o

parcial del riesgo o, mejor an, una exposicin al riesgo limitada al lado positivo (up side) del

mismo.

Cobertura de una posicin larga Examinemos la exposicin natural al riesgo, suponiendo, inicialmente, una posicin larga. Sin

prdida de generalidad asumamos que el agente ha emitido una factura o cuenta por cobrar (CxC)

en otra divisa que se har efectiva en algn momento en el futuro, por ejemplo 90 das. Supngase,

adems, que el agente considera que una tasa de cambio, que llamaremos precio de equilibrio (P eq),

no le produce ni ganancias ni perdidas en lo relativo a la exposicin al riesgo cambiario. Esto

implica que el agente al considerar esta venta al exterior considera que P eq es el valor adecuado que

debe recibir por sus productos. La ganancia (o prdida) que el agente recibira por su exposicin

cambiara por cada unidad de la divisa es: P90-Peq, donde P90 es el precio de mercado de la divisa el

da 90, al cual se liquida una transaccin en el mercado spot. Si el precio de equilibrio es $1,000 y

el precio de liquidacin de la divisa, cuando se paga la factura y se convierte a moneda local, es

$1,100, la utilidad por divisa es $100. Por el contrario si el precio de liquidacin es $900, la prdida

es $100.

Grficamente

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxC

Peq


25

a. Cobertura tomando posicin en Forwards o Futuros

Esta exposicin puede compensarse hoy tomando una posicin corta en forwards2 (-F) o

vendiendo futuros de esa divisa. Si la tasa pactada de venta, o precio de ejercicio, es X, la

ganancia (o prdida) que el agente recibira por cada unidad de divisa es: X-P90. Si X es

$1,000 y el precio de liquidacin de la divisa es $1,100, la prdida por divisa es $100. Por

el contrario si el precio de liquidacin es $900, la utilidad es $100.

Grficamente

Las posiciones combinadas son entonces CxC F= P90 Peq + X P90 = X Peq, lo cual es

constante para cualquier P90. Si X es igual a Peq, lo ideal, el resultado de la cobertura es

cero, lo que implica una indiferencia total al riesgo.

2 Esto implica un contrato para vender la divisa en un momento especfico en el futuro, en este caso en 90

das. Los contratos forward y los futuros son esencialmente el mismo contrato, solo difieren en su parte

operacional: Los forward se liquidan al vencimiento, mientras que los futuros son liquidados parcialmente en

forma diaria.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

-F

X


26

Grficamente

Si el precio de mercado es de $1,100, al combinar las ganancias de la cuenta por cobrar de

$100 (P90-Peq=$1,100-$1,000) con las prdidas del forward -$100 (X-P90=$1,000-$1,100),

el resultado neto es 0. Si el precio de mercado es de $900, al combinar las prdidas de la

cuenta por cobrar -$100 (P90-Peq=$900-$1,000) con las ganancias del forward $100 (X-

P90=$1,000-$900), el resultado neto tambin es 0. Como ya se dijo, esta posicin es

perfectamente neutral al riesgo.

b. Cobertura tomando posicin en Opciones

Sin embargo, el caso anterior descarta la posibilidad de obtener utilidades en caso de que la

tasa al vencimiento (P90) haya evolucionado favorablemente en relacin a la posicin del

agente. Una alternativa que permite aprovechar esta coyuntura, en caso de presentarse, es la

compra de opciones de venta (Put). En este caso el poseedor de la opcin obtiene un

derecho de venta de la divisa en el da 90, pero no la obligacin3. Esto significa que el

agente solo vende la divisa a la contraparte al precio establecido (X) si le conviene hacerlo,

lo cual sucede cuando el precio de mercado es inferior al precio de ejercicio; en este caso su

utilidad es igual a la de la venta del forward X-P90. Por el contrario, si el precio de mercado

es superior al precio de ejercicio, el agente simplemente no hace uso del derecho, y vende

las divisas en el mercado spot; en este caso la utilidad de la opcin es cero. Por supuesto,

por este derecho de venta el agente debe pagar una prima a la contraparte. Se puede

entonces plantear la siguiente tabla para describir la utilidad de una opcin de venta:

{

Esta funcin se describe mejor como Max(X-Pt,0), a la que se le resta la prima pagada por

la opcin.

3 Esta es una opcin de venta Europea, la cual solo puede ejercerse el da del vencimiento. Existen opciones

que pueden ejercerse durante la vida de la opcin, estas opciones se denominan Americanas.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxC -F CxC + -F

XPeq


27

Grficamente

La grfica anterior supone que el precio de ejercicio es $1,000 e incluye la reduccin en la

utilidad por una prima pagada de $30.

Al combinar las posiciones en la cuenta por cobrar y la opcin de venta (Put), obtenemos:

{

, lo cual se simplifica a

{

Si X=Peq, como es el caso de nuestro ejemplo, el agente ha limitado sus prdidas, cuando el

precio de la divisa cae por debajo de X, a 0 (X-Peq=$1,000 -$1,000) menos la prima;

mientras que si el precio sube por encima de X, su utilidad es P90-Peq, menos la prima.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

Put

X


28

Grficamente



El caso merece una explicacin un poco ms detallada, si, por ejemplo el precio de mercado

de la divisa al vencimiento es $1,100, la utilidad por la cuenta por cobrar es $100 (P 90-Peq=

$1,100 - $1,000); la opcin vence sin ser ejercida por lo que su utilidad es 0, y la utilidad

combinada sigue siendo $100 menos la prima. En caso de un precio de la divisa de $900, se

tiene una utilidad negativa por la cuenta por cobrar de -$100 (P90-Peq= $900 - $1,000); la

opcin se ejerce, puesto que el agente vende ptimamente a la contraparte la divisa a un

precio superior al del mercado, y se genera una utilidad de $100 (X-Pt=$1,000 - $900), al

combinar ambas la utilidad es 0, con lo que el agente ha eliminado el riesgo de down

side, pero aprovecha la subida de precio de la divisa.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxC Put CxC + Put

XPeq


29

Cobertura de una posicin corta

Examinemos la exposicin al riesgo de una posicin corta. Sin prdida de generalidad asumamos

que el agente tiene una cuenta por pagar (CxP) en otra divisa que se har efectiva en algn

momento en el futuro, por ejemplo los 90 das del caso anterior. Supngase, adems, que el agente

considera, al igual que antes, que una tasa de cambio, que llamaremos precio de equilibrio (P eq), no

le produce ni ganancias ni perdidas en lo relativo a la exposicin al riesgo cambiario. Esto implica

que el agente al considerar esta compra al exterior considera que Peq es el valor adecuado que debe

pagar por lo que ha adquirido. La ganancia (o prdida) que el agente recibira por su exposicin

cambiara por cada unidad de la divisa es: P eq-P90, donde P90 es el precio de mercado de la divisa el

da 90, al cual se liquida una transaccin en el mercado spot. Si el precio de equilibrio es $1,000 y

el precio de liquidacin de la divisa, cuando el agente adquiere la divisa y paga la factura, es

$1,100, la prdida por divisa es $100. Por el contrario si el precio de liquidacin es $900, la utilidad

es $100.

Grficamente

a. Cobertura tomando posicin en Forwards o Futuros

Esta exposicin puede compensarse hoy tomando una posicin larga en forwards (+F) o

comprando futuros de esa divisa. Si la tasa pactada de venta, o precio de ejercicio, es X, la

ganancia (o prdida) que el agente recibira por cada unidad de divisa es: P 90 - X. Si X es

$1,000 y el precio de liquidacin de la divisa es $1,100, la utilidad por divisa es $100. Por

el contrario si el precio de liquidacin es $900, la prdida es $100.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxP

Peq


30

Grficamente

Las posiciones combinadas son entonces CxP + F= P eq P90 + P90 X= Peq X, lo cual es

constante para cualquier P90. Si X es igual a Peq, lo ideal, el resultado de la cobertura es

cero, lo que implica una indiferencia total al riesgo.

Grficamente

Si el precio de mercado es de $1,100, al combinar las prdidas de la cuenta por pagar de -

$100 (Peq P90=$1,000 $1,100) con las ganancias del forward $100 (P90 X = $1,100

$1,000), el resultado neto es 0. Si el precio de mercado es de $900, al combinar las

ganancias de la cuenta por cobrar $100 (Peq P90=$1,000 $900) con las prdidas del

forward -$100 (P90 X = $900 $1,000), el resultado neto tambin es 0. Como ya se dijo,

esta posicin es perfectamente neutral al riesgo.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

F

X

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxP F CxP + F

XPeq


31

b. Cobertura tomando posicin en Opciones

Anlogamente al caso anterior, la cobertura con forwards (o futuros) descarta la posibilidad

de obtener utilidades en caso de que la tasa al vencimiento (P90) haya evolucionado

favorablemente en relacin a la posicin del agente. Una alternativa que permite aprovechar

esta coyuntura, en caso de presentarse, es la compra de opciones de compra (Call). En este

caso el poseedor de la opcin obtiene un derecho de compra de la divisa en el da 90, pero

no la obligacin. Esto significa que el agente solo compra la divisa a la contraparte al precio

establecido (X) si le conviene hacerlo, lo cual sucede cuando el precio de mercado es

superior al precio de ejercicio; en este caso su utilidad es igual a la de la compra del

forward P90-X. Por el contrario, si el precio de mercado es inferior al precio de ejercicio, el

agente simplemente no hace uso del derecho, y compra las divisas en el mercado spot; en

este caso la utilidad de la opcin es cero. Por este derecho de compra el agente debe pagar

una prima a la contraparte. Se puede entonces plantear la siguiente tabla para describir la

utilidad de una opcin de compra:

{

Esta funcin se describe mejor como Max(P t-X,0), a la que se le resta la prima pagada por

la opcin.

Grficamente



Al combinar las posiciones en la cuenta por pagar y la opcin de compra (Call), obtenemos:

{

, lo cual se simplifica a

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

Call

X


32

{

Si X=Peq, como es el caso de nuestro ejemplo, el agente ha limitado sus prdidas, cuando el

precio de la divisa sube por encima de X, a 0 (X-Peq=$1,000 -$1,000) menos la prima;

mientras que si el precio cae por debajo de X, su utilidad es P eq-P90, menos la prima.

Grficamente



Si el precio de mercado de la divisa al vencimiento $900, la utilidad por la cuenta por pagar

es $100 (Peq-P90= $1,000 - $900); la opcin vence sin ser ejercida por lo que su utilidad es

0, y la utilidad combinada sigue siendo $100 menos la prima. En caso de un precio de la

divisa de $1,100, se tiene una utilidad negativa por la cuenta por pagar de -$100 (Peq-P90=

$1,000 - $1,100); la opcin se ejerce, puesto que el agente compra ptimamente a la

contraparte la divisa a un precio inferior al del mercado, y se genera una utilidad de $100

(Pt-X=$1,100 - $1,000), al combinar ambas la utilidad es 0, con lo que el agente ha

eliminado el riesgo de down side, pero aprovecha la bajada de precio de la divisa.

Cabe preguntarse por qu es tan popular el uso de los futuros y los forwards vs. las opciones en lo

que se refiere a cobertura. La respuesta es la prima, usualmente el cambio en el valor del subyacente

debe ser relativamente muy grande para que el agente con cobertura termine en punto de equilibrio.

En nuestro ejemplo, el precio de la divisa debe subir o bajar $30 antes de que el agente, empiece a

obtener utilidades. Naturalmente un subyacente con mucha volatilidad puede subir o bajar mucho

de precio. Sin embargo, la volatilidad tambin incrementa el valor de la prima.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxP Call CxP + Call

XPeq


33

Prctica de Excel

El siguiente instructivo permite deducir el desempeo de las diferentes estrategias planteadas en

este captulo.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

A B C D E F G H

1 CxC Pt CxC -F CxC + -F

Pt 900 -100 100 0

X 1000 Delta 800 -200 200 0

Peq 1000 25 825 -175 175 0

Prima 30 850 -150 150 0

Utilidad 875 -125 125 0

CxC -100 =Pt-Peq 900 -100 100 0

-F 100 =X-Pt 925 -75 75 0

CxC + -F 0 950 -50 50 0

975 -25 25 0

1000 0 0 0

1025 25 -25 0

1050 50 -50 0

1075 75 -75 0

1100 100 -100 0

1125 125 -125 0

1150 150 -150 0

1175 175 -175 0

1200 200 -200 0


34

El rea sombreada de gris es una tabla de datos (Datos/Anlisis Y si/Tabla de Datos) , que cambia

con Pt,

Posteriormente se pueden graficar los resultados en forma independiente o conjunta como se

muestra en la seccin anterior.

Para cada estrategia descrita en el texto aplican las siguientes frmulas:

1. Cuenta por cobrar y Forward corto

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B C

1 CxC

Pt 900

X 1000

Peq 1000

Prima 30

Utilidad

=B1 =B2-B4 =Pt-Peq

-F =B3-B2 =X-Pt

=A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8)


35

2. Cuenta por cobrar y Opcin de Venta

3. Cuenta por pagar y Forward largo

4. Cuenta por pagar y Opcin de Compra

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B C

2 CxC

Pt 900

X 1000

Peq 1000

Prima 30

Utilidad

=B1 =B2-B4 =Pt-Peq

Put =MAX(B3-B2,0)-B5 =Max(X-Pt,0)-Prima

=A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B C

3 CxP

Pt 900

X 1000

Peq 1000

Prima 30

Utilidad

=B1 =B4-B2 =Peq-Pt

F =B2-B3 =Pt-X

=A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B C

4 CxP

Pt 900

X 1000

Peq 1000

Prima 30

Utilidad

=B1 =B4-B2 =Peq-Pt

Call =MAX(B2-B3,0)-B5 =Max(Pt-X,0)-Prima

=A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8)


36

1.4 Utilidad y Retorno de Inversin en opciones En captulos anteriores se defini la funcin de utilidad para las opciones de compra y de

venta. Es usual descontar el valor de la prima al mostrar la utilidad neta, ignorando el hecho de que son flujos que se dan en periodos de tiempo no coincidentes. Al llevar el pago de la

prima al momento del vencimiento t, a la tasa libre de riesgo kf, se elimina el problema. Luego, al vencimiento la utilidad por la compra de una opcin de compra o de venta sera:

Utilidad Opcin de Compra = ( ) ( )

Utilidad Opcin de Venta = ( ) ( )

C0 y P0 son el valor de las primas pagadas por la opcin de compra y la opcin de venta, respectivamente, recibidas en el momento 0. La expresin exp(kft) denota el factor que convierte los valores anteriores a valor futuro4.

Opcin de Compra

Puesto que una opcin de compra genera ms utilidades potenciales cuando el precio de ejercicio es menor, se infiere que la prima pagada por una opcin tal es mayor que la prima de una opcin equivalente, que solo difiere de la primera por tener un precio de ejercicio

superior. Este hecho se observa en la grfica a continuacin para una opcin de compra (Call) con las siguientes condiciones:

Valor del subyacente en el momento de compra S0=100 Tiempo al vencimiento t=3/12 aos

Tasa libre de riesgo kf=3.0% Precio de ejercicio X= 90 hasta 110 en incrementos de 5 y sus correspondientes primas5:

4 Esta es una tasa continua.

5 Las primas estn calculadas con la frmula de Black-Scholes. Se asume adicionalmente un tiempo al

vencimiento de 0.25 aos y volatilidad de 35%. Esto tambin aplica para las primas de la opcin de venta de

la siguiente seccin.

X 90 95 100 105 110

C(0) 13.26 10.01 7.33 5.21 3.60


37

La grfica ilustra la utilidad de una opcin de compra (Call) al vencimiento para diferentes precios de ejercicio y expresando las primas pagadas a valor futuro. Como se observa la

ms costosa es la que tiene un precio de ejercicio ms bajo, compensado por el hecho de que es la primera que ante un cambio favorable del precio, un incremento del valor del subyacente al vencimiento, obtiene utilidades positivas.

Si la utilidad neta es dividida por la inversin, la prima pagada expresada a valor futuro,

tenemos el retorno de la inversin, como se observa a continuacin:

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

80,00 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120,00

Utilidad Call

90

95

100

105

110


38

Es interesante observar que a pesar de ser la ms costosa, la opcin con precio de ejercicio de 90 es la menos agresiva de todas. La razn de este comportamiento es que el

inversionista que elige esta opcin en realidad asume un menor riesgo que el inversionista que opta por la opcin con precio de ejercicio mayor.

Opcin de Venta

Igual tipo de anlisis puede realizarse para la opcin de venta (Put). Como la utilidad potencial crece con precios de ejercicio inferiores, las primas son mayores entre mayor sea

el precio de ejercicio. Este hecho se observa en la grfica a continuacin para una opcin de venta (Put) con condiciones similares a las anteriores:

Valor del subyacente en el momento de compra S0=100 Tiempo al vencimiento t=3/12 aos

Precio de ejercicio X= 90 hasta 110 en incrementos de 5 y sus correspondientes primas:

-150%

-100%

-50%

0%

50%

100%

150%

200%

250%

80,00 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120,00

Retorno Call

90

95

100

105

110

X 90 95 100 105 110

P(0) 2.59 4.30 6.58 9.42 12.78


39

De manera anloga como sucede con la opcin de compra, la opcin de venta con el mayor

potencial de utilidad, en este caso la de mayor precio de ejercicio, es la ms costosa. Esto se compensa frente a variaciones favorables del subyacente al vencimiento.

Igualmente, al graficar el retorno se obtiene:

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

80,00 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120,00

Utilidad Put

90

95

100

105

110

-150%

-100%

-50%

0%

50%

100%

150%

200%

250%

300%

350%

80,00 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120,00

Retorno Put

90

95

100

105

110


40

La opcin ms costosa, como antes, es la menos agresiva de todas. Al elegir esta opcin el inversionista asume un riesgo menor que el inversionista que opta por la opcin con precio

de ejercicio menor. Adicionalmente debe observarse que la rentabilidad de este tipo de inversiones puede llegar, en el peor de los casos, a -100%, una perdida completa; lo que muestra a las claras lo agresivo de este tipo de operaciones.


41

Prctica en Excel

Opcin de Compra

El objetivo es observar numrica y grficamente el impacto de diferentes precios al vencimiento, St, en la utilidad neta de una posicin larga en una opcin de compra (Call). Inicialmente se almacena el precio al vencimiento St en la celda C7. Los precios de

ejercicio en incrementos de 5 se almacenan en el rango C8:G8. En las celdas C9 a G9 se formula la utilidad de la opcin Max(St-X,0), con la precaucin de fijar la celda C7. La

frmula almacenada en la celda C9 es =MAX($C$7-C8,0), al copiarla hacia la derecha hasta la celda G9, se calculan las funciones de utilidad para los diferentes precios de ejercicio. En las celdas C11 a G11 se proyecta a valor futuro el precio de la prima y en las

celdas C12 a G12 se calcula la utilidad neta. En ambos casos se usan las frmulas ya descritas.

Una vez calculada la utilidad para diferentes precios de ejercicio se evala el efecto que sobre ella tiene diferentes valores del activo subyacente al vencimiento (St). Esto se puede realizar a travs de una tabla de datos. Para esto se toman valores de St entre 80 y 120, en

incrementos de 2.5, los cuales se guardan en el rango B13:B29. Para calcular el resultado de la posicin se selecciona el rango B12:G29 y a travs de la tabla de datos

(Datos/Anlisis Y si/Tabla de datos) se define la celda C7, donde se almacena St, como la variable independiente que cambia entre los valores ya definidos. Los resultados se grafican como se mostr previamente.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A B C D E F G

Call Delta X 5 Fecha 01/11/2009Utilidad kf 3.0% t 0.25 aos

Sigma 35.0% Vto 31/01/2010

S0 100

St 100

X 90 95 100 105 110

Call VI(t):Max(St-X,0)

Prima(0) C(0) 13.26 10.01 7.33 5.21 3.60

Prima(t) C(0)*e(kf*t)

Utilidad Call =VI(t)-Prima(t)


42

Para el clculo de la rentabilidad dividimos la utilidad sobre la inversin:

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) .

Estos valores se almacenan en las celdas C33 a G33, en el mismo orden anterior. En el rango B34:B50 se guardan los valores para St entre 80 y 120, anlogamente al paso anterior, y finalmente con la funcin tabla se calculan las rentabilidades seleccionando el

rango B33:G50, con la celda de entrada C7, que es la celda donde se almacena el valor de St.


43

Opcin de Venta

La nica diferencia con el caso anterior es la utilidad de la opcin. En este caso se debe almacenar en las celdas C9 a G9 la funcin Max(X-St,0), la frmula almacenada en la celda C9 es =MAX(C8-$C$7,0).

En todo lo dems se procede como en el caso anterior.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A B C D E F G

Put Delta X 5 Fecha 01/11/2009Utilidad kf 3.0% T 0.25 aos

Sigma 35.0% Vto 31/01/2010

S0 100

St 100

X 90 95 100 105 110

Put VI(T):Max(X-St,0)

Prima(0) P(0) 2.59 4.30 6.58 9.42 12.78

Prima(T) P(0)*e(kf*T)

Utilidad Put =VI(T)-Prima(T)


44

2. Proceso Lognormal El proceso lognormal presupone que el precio de un activo nunca puede ser negativo. El

precio del activo tiene una tendencia (normalmente creciente) estable a lo largo del tiempo, sin embargo sus valores puntuales son esencialmente aleatorios.

El supuesto fundamental plantea que la distribucin de probabilidad de los retornos continuos es normal, as:

[ ] (2-1)

es el precio del activo en el periodo t, el retorno en el periodo.

Esto implica que

t

tt

tS

Str ln~

Puesto que asumimos que la distribucin de tr t es normal se tiene:

Distribucin de [( ) ]

Por lo que podemos re-expresar (1), como:

[( ) ] con Z~ ~ 0,1N

(2-2)

Si disponemos de series histricas de los precios de los activos podemos hallar los

parmetros y usando las siguientes formulas, que resultan de (2):

* (

)+ [( ) ]=( )

* (

)+ [( ) ]=

Finalmente se obtiene:

( ) [ (

)]

;

[ (

)]

Sabemos que t=T/n, donde T implica el horizonte sobre el cual se calculan los parmetros y n el nmero de periodos en el que se divide. T es usualmente igual a un ao, tomando el

valor de T = 1, por lo que t=1/n*, n* puede tomar el valor de 12 (si los datos son mensuales), alrededor de 242 (si los datos son diarios, solo das hbiles), 365 (si los datos

son diarios, das calendario), etc.


45

( ) * (

)+ ; * (

)+

(2-3)

Con esta expresin podemos hallar los parmetros de un proceso lognormal para un activo particular con base en los datos histricos y simular series de precios de activos con estos

parmetros.

Veamos

1. Clculo de la media y varianza anualizada:

En la tabla Tabla 2-1 se listan los precios de final de semana y mes del ADR6 de

Ecopetrol y se calcula su retorno de manera discreta y continua. Es usual en la prctica de negocios el uso de retornos y tasas discretas, aun cuando la manipulacin de las tasas discretas genera las diferencias entre tasas nominales y efectivas. Este problema

desaparece cuando se usan tasas continuas. El retorno discreto se calcula como

, su contraparte continua es (

). A menor t la diferencia

entre estos retornos se reduce.

Tabla 2-1

Precios y retornos mensuales y semanales ADR de Ecopetrol, de 03/2009 a 04/2013 Retornos discretos y continuos, no todos los periodos se muestran

6 ADR: American Depositary Receipt. Un ADR representa 1 o ms acciones de una empresa no

estadounidense, originalmente listada en otro pas, que se negocian en bolsas de EE. UU.

Rentabilidad y VarianzaRetorno Retorno

Mes-ao Mes (t) Precio Discreto Continuo

03/2009 0 16.07

04/2009 1 17.25 7.34% =(St+1/St)-1 7.09% =ln(St+1/St)

05/2009 2 20.34 17.91% : 16.48% :

06/2009 3 22.29 9.59% : 9.15% :

07/2009 4 25.16 12.88% : 12.11% :

08/2009 5 24.67 - 1.95% : - 1.97% :

09/2009 6 26.10 5.80% : 5.63% :

10/2009 7 24.10 - 7.66% : - 7.97% :

11/2009 8 24.76 2.74% : 2.70% :

12/2009 9 23.30 - 5.90% : - 6.08% :

01/2010 10 23.39 0.39% : 0.39% :

01/2013 46 63.59 2.27% : 2.24% :

02/2013 47 57.16 - 10.11% : - 10.66% :

03/2013 48 54.52 - 4.62% : - 4.73% :

04/2013 49 47.14 - 13.54% : - 14.54% :


46

Ahora calculamos la media y la varianza de este ttulo, tanto con datos mensuales como semanales:

Con datos mensuales, n es 12 y t es el inverso de n. Al calcular el retorno discreto promedio mes encontramos que esta estimacin no es correcta, puesto que al aplicar la

frmula de valor futuro discreta [F=P(1+)n] con el valor hallado de =2.51% el valor estimado de la accin para el mes 49 sera de 54.19, y no de 47.14, que es el valor correcto.

La tasa correcta se halla despejando de la frmula de valor futuro, lo cual resulta en un valor de 2.22% (discreta).

Como se ve en el clculo equivalente con retornos continuos, el problema es inexistente

para esta metodologa. La frmula de valor futuro continua [F=Pexp(n)] entrega el valor

correcto usando el promedio de las tasas continuas, que es de 2.20%. Este valor coincide

cuando en la ecuacin de valor futuro despejamos (=ln(P0/P49)/49). Incidentalmente

podemos hallar la equivalencia entre tasas continuas y discretas, puesto que para cualquier

frecuencia de datos se cumple que 1+d=exp(c). Finalmente se observa que la ecuacin

Retorno Retorno

Sem-ao Semana (t) Precio Discreto Continuo

30/03/2009 0 16.07

06/04/2009 1 16.35 1.74% =(St+1/St)-1 1.73% =ln(St+1/St)

13/04/2009 2 16.52 1.04% : 1.03% :

20/04/2009 3 17.09 3.45% : 3.39% :

27/04/2009 4 17.25 0.94% : 0.93% :

04/05/2009 5 19.15 11.01% : 10.45% :

11/05/2009 6 18.69 - 2.40% : - 2.43% :

18/05/2009 7 19.66 5.19% : 5.06% :

26/05/2009 8 20.34 3.46% : 3.40% :

01/06/2009 9 21.66 6.49% : 6.29% :

08/06/2009 10 22.6 4.34% : 4.25% :

16/02/2010 46 24.95 2.21% : 2.19% :

22/02/2010 47 25.84 3.57% : 3.50% :

01/03/2010 48 26.78 3.64% : 3.57% :

08/03/2010 49 27.03 0.93% : 0.93% :

15/03/2010 50 26.99 - 0.15% : - 0.15% :

08/04/2013 210 48.75 - 10.70% : - 11.31% :

15/04/2013 211 47.25 - 3.08% : - 3.13% :

22/04/2013 212 47.14 - 0.23% : - 0.23% :

Mensual n 12

t 0.083 =1/n

Discreto Continuo

Retorno ' = t 2.51% =promedio(ri) 2.20% =promedio(ri)

P49 54.19 =P0.(1+') 4^9 47.14 =P0.exp('.49)

Qu pasa?

' 2.22% =(P49/P0) (^1/49)-1 2.20% =ln(P49/P0)/49

Equivalencia

d' 2.22% =exp(c')-1

(Anual) 30.15% =(1+'d-mes) n^-1 26.36% ='c-mes.n

30.15% =exp(c')-1 = tc-mes.n


47

(3) solo se cumple para retornos continuos, =c.n, eliminando la diferencia entre tasas

efectivas y nominales, esto significa que el promedio de los retornos continuos si estima

correctamente la media que es 2/2, mientras que el promedio de los retornos discretos

debe ser corregido, puesto que solo estima . El clculo se repite para frecuencias semanales. Aqu solo cabe anotar que al convertir las tasas semanales a anuales encontramos, como es de esperar, los mismos valores. El nmero

de semanas por ao no es exactamente 52. Para calcular el nmero exacto de semanas en el periodo multiplicamos 12 por el nmero de semanas en el periodo dividido por el nmero

de meses en el mismo: 12x212/49.

Semanal n 51.92 =12.#Sem/#Mes

t 0.019 =1/n

Discreto Continuo

Retorno ' = t 0.58% =promedio(ri) 0.51% =promedio(ri)

P212 54.68 =P0.(1+') 2^12 47.14 =P0.exp('.212)

Qu pasa?

' 0.51% =(P212/P0) (^1/212)-1 0.51% =ln(P212/P0)/212

Equivalencia

d' 0.51% =exp(c')-1

(Anual) 30.15% =(1+'d-sem) n^-1 26.36% ='c-sem.n

30.15% =exp(c')-1 = tc-sem.n


48

Grfica 2-1

Evolucin precio del ADR de Ecopetrol.

Nota: La lnea azul solo presenta los datos mensuales

En el caso de los retornos la estimacin no cambia dependiendo de la frecuencia de

muestreo, puesto que el retorno solo depende de los datos iniciales y finales. Esto no sucede para el caso de la varianza; como se ve en la grfica Grfica 2-1, una menor frecuencia de muestreo soslaya importante informacin respecto a la variabilidad.

A continuacin se calcula la volatilidad de los retornos mensuales, usando tanto los

retornos discretos como los continuos.

Volatilidad Muestral (Datos Mensuales)

Discreto Continuo

Var. Mes 2m'=2m.t 0.49% =var(ri) 0.49% =var(ri)

2ao 0.0593 mes'.n 0.0586

mes'.n

Desv. Mes m 7.03% 2m')

1/2 6.99% 2m')1/2

ao 24.36% mes '.n1/2 24.21% mes '.n

1/2


49

Al calcular la varianza (muestral o poblacional), usando los retornos discretos o continuos, encontramos que el valor hallado para los datos semanales es diferente, y posiblemente ms cercano a la realidad, que el hallado con datos mensuales.

Finalmente, con el clculo de la varianza se puede mejorar el clculo del retorno discreto,

aplicando la siguiente correccin , que reporta un valor muy cercano a la

realidad:

Volatilidad Muestral (Datos Semanales)

Discreto Continuo

Var. Sem 2m'=2mt 0.09% =var(ri) 0.09% =var(ri)

2ao 0.04619826 m'.n 0.048361

m'.n

Desv. Sem m 2.98% 2m')

1/2 3.05% 2m)1/2

ao 21.49% sem '.n1/2 21.99% sem '.n

1/2

Correccin Retorno Discreto (Datos Mensuales)

Retorno d' 2.26% ='-2/2

Correccin Retorno Discreto (Datos Semanales)

Retorno d' 0.53% ='-2/2


50

Simulacin de una Trayectoria de Precios

En esta seccin se usarn los clculos previos para simular una trayectoria de precios de un

ao, con frecuencia semanal (52 semanas) para el ADR de Ecopetrol. Los datos bsicos son:

Con la media y la desviacin simulamos una posible realizacin de la trayectoria de precios

del ADR de Ecopetrol implementando la ecuacin (2-1): [ ]

en forma sucesiva.

Con base en los parmetros previos valores se desarrolla el siguiente modelo. Primero se

calcula [ ], posteriormente [

] y as sucesivamente hasta llegar a T.

Los valores en la columna Z son nmeros aleatorios que responden a una distribucin

normal estndar. Programas cuantitativos tales como Matlab o Mathematica tienen la capacidad de generar una serie de este tipo. Otra posibilidad es recurrir a Excel, usando la

funcin de generacin de nmeros aleatorios, procedimiento que detallamos a continuacin. En primer lugar seleccionamos [Datos/Anlisis de Datos] lo cual despliega la siguiente

pantalla:

Parmetros de SimulacinADR Ecopetrol

Media () 1.58%

Desviacin () 21.99%

t 1.93% semana

S0 47.14

Periodo Fecha Z Precio

0 22/04/2013 47.14

1 29/04/2013 -0.88 45.90


51

Al seleccionar generacin de nmeros aleatorios debemos a continuacin definir el nmero de variables (columnas) y la cantidad de datos (52 semanas), adems de la distribucin

deseada (Normal, media = 0, desviacin = 1) y la celda donde se desea ubicar el primer dato:

La grafica resultante se muestra a continuacin; los datos simulados no pretenden generar

un resultado cercano a los datos reales, puesto que apenas son una realizacin, entre muchas posibles, de un proceso aleatorio, por lo que su poder predictivo es nulo:


52

Grfica 2-2

Trayectoria simulada precio del ADR de Ecopetrol.

Intervalo de confianza 90%

Predicciones

Aunque el modelo lognormal no predice una trayectoria particular puede usarse para establecer rangos de posibles realizaciones, intervalos de confianza, futuras con una probabilidad definida (Hull, 2008). Se trabaja en este caso con el logaritmo del precio, que

segn los supuestos del modelo lognormal, tiene una distribucin normal. Por ejemplo, los valores de una variable y, en un tiempo x (e.g. 6 meses) estarn entre ymax y ymin con una

certeza del z%. A continuacin se plantea un modelo que permite tal tipo de clculos. Siguiendo con el ADR de Ecopetrol, podemos estimar el intervalo de confianza con probabilidad del 90% en 6 meses de la siguiente manera. En primer lugar se estima el valor

esperado del precio, en trminos del logaritmo, en un tiempo T: ( ) . Este valor es 3.86, el cual equivale a un valor de US 47.51 al calcular la exponencial. La

volatilidad acumulada semestral es 0.16. Puesto que la variable Z es normal estndar, podemos estimar su realizacin en los lmites superior e inferior del rango superior estimando el inverso de la distribucin normal estndar para una probabilidad del

95% (Excel: +/- INV.NORM.ESTAND(95%)). El resultado es Desv=1.64 desviaciones


53

estndar. En otras palabras entre -1.64 y +1.64 desviaciones estndar se encontrarn el 90%

de las realizaciones de la variable. Al multiplicar este valor por la volatilidad acumulada (0.16), obtenemos el Delta o la magnitud en la que se afecta el valor esperado,

=0.26, hacia abajo y hacia arriba. Estos valores son, en trminos del logaritmo de la variable, los lmites inferior y superior, Ln(STmin) y Ln(STmax), respectivamente, del

intervalo de confianza esperado. Los valores esperados STmin y STmax, se obtienen nuevamente al calcular la exponencial.

En la Grfica 2-2, se incorporaron los valores STmin y STmax para T variando entre 0 y 1

ao. Este clculo se puede realizar en Excel usando [Datos/Anlisis Y si/Tabla de Datos] definiendo como variable independiente a T, los valores se reportan a continuacin:

Intervalo de Confianza

T 1/2 Seis meses

Ln(ST) 3.86 Ln(S0)+T

E(ST) 47.51 Exp(Ln(ST))

Desviacin Semestral Acumulada

T1/2 0.16

Probabilidad

Certeza 95.00% Cola Superior

Desv. 1.64 N-1(Pr=95%)

=INV.NORM.ESTAND(H9)

Valores Extremos

Delta 0.26 Desv.T1/2

Ln(STmin) 3.61 Ln(ST)-Delta

Ln(STmax) 4.12 Ln(ST)+Delta

STmin 36.79 Exp(Ln(STmin))

STmax 61.36 Exp(Ln(STmax))


54

Intervalo de Confianza 5.00% 95.00%Fecha T 36.79 61.36

22/04/2013 - 47.14 47.14

1 20/05/2013 0.08 42.70 52.17

2 17/06/2013 0.15 41.01 54.45

3 15/07/2013 0.23 39.77 56.28

4 12/08/2013 0.31 38.77 57.88

5 09/09/2013 0.38 37.91 59.34

6 07/10/2013 0.46 37.15 60.69

7 04/11/2013 0.54 36.47 61.97

8 02/12/2013 0.61 35.85 63.19

9 30/12/2013 0.69 35.29 64.37

10 27/01/2014 0.77 34.76 65.50

11 24/02/2014 0.84 34.27 66.60

12 24/03/2014 0.92 33.81 67.68

13 21/04/2014 1.00 33.37 68.73


55

Simulacin de Trayectorias

Se presenta en este acpite un procedimiento y una macro7 que permite simular 3

trayectorias aleatorias.

Ahora continuamos con la generacin de trayectorias aleatorias y la envolvente de

probabilidad (90%) entre 0 y 26 semanas. La hoja de clculo luce de la siguiente forma:

En las columnas F a H tenemos nmeros aleatorios generados de la misma manera que en

la seccin anterior. Las columnas I a K contienen las trayectorias de precios producto de las realizaciones de los nmeros aleatorios. En la columna L se tiene el valor medio de la

variable (Equivalente a la celda B14, ntese que el valor en la semana 26 coincide con el valor calculado previamente). En las columnas M y N tenemos los valores mnimo y mximo que determinan el rango del 90% de probabilidad (Equivalentes a las celdas B24 y

B25, respectivamente)

7 Una macro es un programa en VBA que automatiza o realiza clculos diferentes a los pre-programados por

Excel.

4

5

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7

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25

26

27

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29

30

31

E F G H I J K L M N

t z1 z2 z3 Tray1 Tray2 Tray3 Media Min Max

0 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00

1 1.55529051 0.67966084 -0.71240947 104.87 102.35 98.48 100.44 95.96 105.13

2 2.08186975 0.65879817 -0.95084033 111.60 104.70 96.34 100.89 94.59 107.61

3 -1.02654212 0.52924293 -0.64573896 108.95 106.72 95.05 101.34 93.64 109.67

4 -0.230566 0.45768957 0.45420961 108.73 108.57 96.68 101.78 92.91 111.51

5 1.42113322 -2.47382559 -1.2405053 113.60 101.82 93.83 102.24 92.32 113.22

6 0.67235419 -0.06181153 -0.27845545 116.25 102.09 93.52 102.69 91.83 114.83

7 0.58554178 1.5365913 1.0641952 118.68 107.01 96.74 103.14 91.42 116.38

8 -0.49998675 -1.39455096 0.28793011 117.57 103.41 97.95 103.60 91.06 117.87

9 -0.68564759 0.91502216 0.54630391 115.86 106.53 99.89 104.06 90.75 119.32

10 0.35871381 -0.53135636 0.62747063 117.54 105.44 102.09 104.52 90.48 120.74

11 -0.33401989 0.25878535 -1.45424565 116.97 106.67 98.49 104.99 90.24 122.14

12 1.39799795 0.8563643 0.78230642 122.14 109.72 101.10 105.45 90.04 123.50

13 0.61781293 -0.34796585 -1.12923999 124.80 109.15 98.42 105.92 89.85 124.86

14 -1.60237505 -0.02758043 -0.17014713 119.90 109.55 98.39 106.39 89.69 126.19

15 0.62031404 -0.44152443 1.19007836 122.52 108.69 102.14 106.86 89.55 127.51

16 -0.9051837 1.41465307 0.62644631 120.02 113.54 104.39 107.33 89.43 128.82

17 1.17027639 -0.91607035 -1.19209972 124.52 111.19 101.44 107.81 89.32 130.12

18 -0.98879354 1.01035312 0.52291739 121.69 114.85 103.38 108.29 89.23 131.41

19 1.10131396 -0.38502776 1.39962594 126.02 114.14 107.95 108.77 89.15 132.70

20 0.61439096 -0.11249767 -0.9863038 128.76 114.29 105.50 109.25 89.09 133.97

21 0.94688176 0.47483127 -0.19238769 132.77 116.31 105.41 109.73 89.03 135.25

22 -0.84647127 0.36778374 -0.82424094 130.26 118.03 103.48 110.22 88.99 136.52

23 0.58010187 -0.19550725 0.12698365 132.96 117.91 104.31 110.71 88.95 137.78

24 -1.9901745 0.91154106 1.52108441 126.38 121.46 109.28 111.20 88.93 139.05

25 -1.10103429 -0.84144631 0.18678065 123.12 119.19 110.34 111.69 88.91 140.31

26 0.18724791 -0.73868705 0.59683885 124.31 117.29 112.68 112.19 88.90 141.57


56

A continuacin se muestran las frmulas para los clculos de estos valores para la semana

1, estas frmulas se repiten hasta la semana 26:

Grficamente el resultado es el siguiente:

4

5

6

I J

Tray1 Tray2

=B8 =I5

=I5*EXP($B$4*$B$7+F6*$B$5*$B$7^(1/2)) =J5*EXP($B$4*$B$7+G6*$B$5*$B$7^(1/2))

4

5

6

K L

Tray3 Media

=J5 =K5

=K5*EXP($B$4*$B$7+H6*$B$5*$B$7^(1/2)) =$L$5*EXP($B$4*$E6/$B$6)

4

5

6

M

Min

=L5

=$L$5*EXP($B$4*$E6/$B$6-$B$19*$B$5*($E6/$B$6)^(1/2))

4

5

6

N

Max

=M5

=$L$5*EXP($B$4*$E6/$B$6+$B$19*$B$5*($E6/$B$6)^(1/2))


57

Grfica 2-3

Trayectorias simulada modelo lognormal.

Intervalo de confianza 90%

Generacin automtica de una serie de Precios

El proceso anterior puede automatizarse fcilmente a travs de una macro simple. La macro

transcrita a continuacin permite generar tres series de nmeros aleatorios. Para tal fin se crean dos rangos de nombres: 1) Noal, F6:H31, donde se guardan los nmeros aleatorios; 2) celi, F6, la celda inicial.

A continuacin se transcribe la macro:

Sub Macro1() '

' Macro1 Macro ' Aleator

' ' Acceso directo: Ctrl+Mays+A '

Application.ScreenUpdating = False Sheets("Hoja1").Select

Range("Noal").Select

80,00

90,00

100,00

110,00

120,00

130,00

140,00

150,00

0 5 10 15 20 25 30

Precio

Semanas

Trayectorias

Tray1 Tray2 Tray3 Media Min Max


58

' Range(Selection, Selection.End(xlDown)).Select

Selection.ClearContents Application.Run "ATPVBAEN.XLAM!Random", ActiveSheet.Range("celi"), 3, 26 _

, 2, , 0, 1 Sheets("Grfico1").Select Application.ScreenUpdating = True

End Sub

--------------------- Ejercicios

1. Estime cuales son los valores mnimo y mximo para un intervalo de confianza del 80% dentro de 4 meses para una variable similar a la del ejemplo previo.

2. Genere 4 trayectorias de precios, el valor medio y la envolvente para un intervalo de confianza del 95% entre 0 y 1 ao, para una variable con precio inicial de 500, volatilidad del 25% y un retorno esperado del 14%.

3. Valoracin de Derivados utilizando la Simulacin de Montecarlo

Las herramientas desarrolladas en las secciones anteriores nos permiten estimar el valor de un derivado a travs de una simulacin. Se valorarn en este caso opciones de compra (Call) y venta (Put) europeas a 6 meses sobre el ADR de Ecopetrol, con un precio de

ejercicio de 50. Puesto que son derivados europeos, solo pueden ejercerse al vencimiento. Una opcin de compra (Call) se ejerce si el precio de ejercicio X es inferior al precio de

vencimiento del subyacente ST , la utilidad es en este caso de ST-X, la opcin no se ejerce si X es superior a ST , este resultado se esquematiza como el mximo entre ST-X y 0: Max(ST-X, 0). Para la opcin de venta (Put) la utilidad es mximo entre X-ST y 0: Max(X-ST , 0)

8.

Asumiremos que la volatilidad de los retornos es 21.99%, mantenindose en los valores estimados previamente, la tasa libre de riesgo es del 4% y el precio actual de la accin es

$47.14.

8 Ver Benavides (2010) y Benninga (2008).

Parmetros de SimulacinADR Ecopetrol

Tasa libre de riesgo (kf) 4%

Desviacin () 21.99%

Media () 1.58% =kf-2/2

T 0.50 aos

Fecha 0 22/04/2013

Fecha T 21/10/2013

S0 47.14


59

Puesto que nuestro inters es simular los precios al vencimiento (en 0.5 aos), modificamos

el procedimiento previo para obtener el valor final tal que [ ]. Es

importante destacar que = kf-2/2. La razn de este ajuste es que no tenemos mejor

informacin sobre el retorno esperado de la accin que la tasa libre de riesgo. Ya que el objetivo es una muestra representativa de los posibles valores finales, repetimos el clculo

un nmero suficiente de veces tal, que obtengamos la distribucin de . La similitud de la distribucin de la muestra y la terica para 3,000 realizaciones de se presenta en el grfico 4.


60

Grfica 4

Distribucin Muestra vs. Normal Histograma de frecuencia de la muestra vs. distribucin normal terica.

3000 simulaciones

Se calculan sucesivamente ST y el valor del derivado al vencimiento. Puesto que la

expectativa ms razonable respecto al rendimiento del activo es la tasa libre de riesgo,

expresamos =kf-2/2. A continuacin se presentan 2 realizaciones, de las 3000 requeridas,

de ST:

Periodo Precio (ST) 0

47.14

1 0.67 45.95


61

Grfica 5

Evolucin ADR Ecopetrol Las lneas verde (semana) y azul oscura (mes) representan la evolucin del precio histrico del ADR de Ecopetrol. Las lneas roja (95% superior) y violeta (5% inferior) representan la evolucin del intervalo de confianza del 90%, la lnea azul clara es una posible realizacin del precio. La lnea horizontal punteada negra representa el precio de ejercicio X. La lnea vertical negra representa el momento del vencimiento de los derivados T. Finalmente, la curva rosada representa la distribucin de los valores de ST al momento del ven

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