CLASES Y SISTEMAS RESIDUALES

0.1. Clases y sistemas residuales

Para un m 2 Z+ jo y por el algoritmo de la division, todo entero a se puedeescribir de la forma a = mq+r, con 0 r < jmj es el residuo, es decir, puede tomarvalores en el siguiente conjunto: r = f0; 1; 2; : : :m 1g. Es decir, que tenemos lossiguientes conjuntos: mZ; 1 +mZ; 2 +mZ; : : : (m 1) +mZ.

Denicion 0.1 Sea m 2 Z+ y a 2 Z. El conjunto a + mZ se denomina claseresidual de a modulo m. Esta clase (la cual es un conjunto) se denota como a.

Por cierto, >cuantos elementos tiene a? Las siguientes propiedades sobre las clasesresiduales pueden ser demostradas a partir de la denicion.

Teorema 0.1 Sea a; b 2 Z. Se cumple:1. a = b si y solo si a b(modm)2. x; y 2 a si y solo si x y(modm)3. Las m clases residuales 0; 1; : : : ;m 1 son disjuntas y su union es Z.

DemostracionVeamos las pruebas:

1. Si a = b entonces a + mZ b + mZ de donde a 2 b + mZ. De aqu quea b 2 mZ y a b(modm).

2. Si a b(modm) entonces a b = mt, t 2 Z. Hay que probar que a+mZ =b + mZ. Si x 2 a + mZ entonces x a 2 mZ. Pero a b 2 mZ, luego(x a + a b) 2 mZ y as, x b 2 mZ. Se concluye que x 2 b + mZ.Analogamente, se tiene que b+mZ a+mZ. Se concluye que a = b

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Clases residuales 2

3. Ejercicio.

Denicion 0.2 El conjunto formado por m representantes, uno por cada claseresidual 0; 1; 2; : : : ;m 1 se denomina un sistema residual completo modulo m.Segun la denicion, >como te das cuenta que un sistema residual no es completo?

Ejemplo 0.1 Los conjuntos f0; 1; 2; : : : ;m 1g y f1; 2; : : : ;mg son sistemas re-siduales completos. >Cuales otros hay?

Ejemplos 1 Respecto un sistema residual completo, resuelve:

1. Escribe un sistema residual completo modulo 17 compuesto por multiplos de3.

2. Demostrar que f2; 4; 6; : : : ; 2mg es un sistema residual completo mod(m) sim es impar.

3. Si m es impar, demostrar que la suma de los elementos de cualquier sistemaresidual completo modulo m es divisible por m.

Teorema 0.2 Si (k;m) = 1 y A = fa1; a2; : : : ang es un sistema residual comple-to, entonces B = fka1; ka2; : : : kang tambien es un sistema residual completo.DemostracionArgumentemos por contradiccion y supongamos que si i 6= j y kai kaj(modm).Como (k;m) = 1 entonces ai aj(modm). Esto indica que los elementos ai; ajson congruentes lo cual es una contradiccion por lo que todos los elementos sonincongruentes entre s

Observacion 1 Si (a;m) = 1 entonces ax 1(modm) tiene solucion unica.Ademas, para cada 1 a < m 1 con (a;m) = 1 la solucion de ax 1(modm)se denomina recproco de a modulo m.

El numero de a-es que poseen recproco coincide con el numero de enteros positivosmenores que m, primos relativos con m. Este numero se denomina Funcion deEuler, la cual denimos a continuacion:

Denicion 0.3 La funcion ' : Z+ ! Z tal que '(n) proporciona el numero deenteros positivos primos relativos con n y menores que n se denomina funcion deEuler.

Ejemplo 0.2 Para los valores de n = 1; 2; 3; 6; 8 sus respectivas imagenes son0; 1; 2; 2; 4. Vericarlo.

Clases residuales 3

Algunos calculos con la funcion Euler para valores muy grandes, se pueden sim-plicar a partir de las siguientes propiedades, que simplica al maximo el calculode las imagenes y aunque son importantes en algunos calculos, omitimos su de-mostracion por no ser parte relevante en este captulo.

Teorema 0.3 La funcion de Euler ' satisface:

1. Si p es primo y 2 Z+ entonces '(p) = p1 1

p

.

Ejemplo 0.3 Halla '(32).

2. Si m;n 2 Z+ son tales que (m;n) = 1 entonces '(mn) = '(m)'(n).

Ejemplo 0.4 Halla '(42).

3. Si n 1 entonces '(n) = nYpjn

1 1

p

, con p primo divisor de n.

Ejemplo 0.5 Hallar '(42), '(20), '(100).

Denicion 0.4 Un sistema residual reducido modm es cualquier conjunto de en-teros incongruentes modm cada uno primo relativo con m

Ejemplo 0.6 Si p es primo entonces '(p) = p 1. As, A = f1; 2; : : : ; p 1g esun sistema residual completo. >Cual es el sistema residual reducido modulo 6?

Teorema 0.4 (Euler-Fermat) Si a 2 Z y (a;m) = 1 entonces a'(m) 1(modm).DemostracionSupongamos que r1; r2; : : : ; r'(m) es un sistema residual completo. Como (a;m) =1 entonces ar1; ar2; : : : ; ar'(m) es un sistema residual completo. Pero, este par deconjuntos tienen pares de elementos congruentes. Es decir que de alguna formay orden, ar1 ar2 ar'(m) r1 r2 r'(m)(modm). Al factorizar se tiene laconclusion del teorema

Ejemplo 0.7 Aplicar el teoremita de fermat para hallar el dgito de unidades de3400.

Teorema 0.5 Para todo a 2 Z y para todo p primo, se cumple ap a(modp).

Corolario 1 Si p es primo y (a; p) = 1 entonces ap1 1(modp).

Clases residuales 4

Ejemplo 0.8 Halle las dos ultimas cifras en el desarrollo decimal de 3400.Sabemos que 3400 = ak10

k + : : : + a110 + a0, con 0 ai < 10. Hay que hallar unnumero N de dos dgitos tal que N = a1a0. Ademas, este numero N es el unicoque satisface 3400 N(mod100), con 0 N 99 >Por que?. Por el teorema deEuler, 3'(100) 1(mod100). Como '(100) = 40, entonces 340 1(mod100). As,3400 1(mod100) >Por que?

Ejemplos 2 Usa los conceptos anteriores para solucionar:

1. Hallar el dgito de las unidades de 131275.

2. Hallar las dos ultimas cifras en el desarrollo decimal del numero 27123.

3. Probar que para todo entero n, n2 es de la forma 13k o de la forma 13k+1para algun entero k.

El teorema de Euler-Fermat es util en la solucion de algunas congruencias lineales.

Teorema 0.6 Si (a;m) = 1 entonces la solucion modm de ax b(modm)esta dada por x = ba'(m)1(modm).

DemostracionBasta probar que este valor de x satisface la congruencia lineal.

Ejemplo 0.9 Usando los resultados anteriores, resuelve:

1. Verique que x = 6 es solucion de la congruencia 3x 8(mod10) utilizandoel resultado anterior.

2. Hallar la(s) solucion (es) de la congruencia 25x 15(mod20).3. Verica que el conjunto solucion de 9x 18(mod42) es f2; 16; 30g.

Otros ejemplos mas interesantes:

Ejemplos 3 Usando los resultados anteriores, solucionar los siguientes ejerci-cios.

1. Demostrar que n7 n es multiplo de 42 para cualquier n 2 Z.2. Demostrar utilizando el teoremita de Fermat, que a2m1 a2n1(mod3) y

a2m a2n(mod3) para todos m;n 2 Z+ y a 2 Z.