- Pgina 1 - En clase de fsica y qumica es frecuente que un alumno que est resolviendo un problema numrico pregunte por el nmero de decimales que debe escribir como resultado de una operacin aritmtica. Tambin es frecuente que, ante la duda, presente un resultado final como 3,0112345 10-6, es decir, escriba todos los decimales que la calculadora le ofrece. El principal objetivo que se plantea este artculo es recordar las reglas que permiten cumplir con una correcta utilizacin de las cifras significativas de un nmero cuando se realizan operaciones matemticas, pero tambin, puestos a conocer dichas reglas, analizar la idoneidad de las mismas respecto de la propagacin de errores. Finalmente, una vez cumplidos estos objetivos, se explican las estrategias a seguir, respecto de la utilizacin de cifras significativas, en la resolucin de problemas de fsica o qumica. La presentacin del resultado numrico de una medida directa, por ejemplo, de la longitud de una mesa, tiene poco valor si no se conoce algo de la exactitud de dicha medida. Una de las mejores maneras de trabajar consiste en realizar ms de una medida y proceder con el tratamiento estadstico de los datos para establecer as un resultado con un buen lmite de confianza. El procedimiento seguido en el registro de medidas en un laboratorio debe ir por este camino, con un tratamiento estadstico que genere un lmite de confianza superior al 90%, aunque lo ms normal es que ste sea del 68%, correspondiente a la desviacin estndar absoluta. Ahora bien, fuera del laboratorio (y en ocasiones dentro) lo ms comn es utilizar el llamado convenio de cifras significativas. Cifras significativas. Definicin. Las cifras significativas de un nmero son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna informacin. Toda medicin experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas. Veamos un ejemplo sencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en milmetros. El resultado se puede expresar, por ejemplo como:Longitud (L) = 85,2 cmNo es esta la nica manera de expresar el resultado, pues tambin puede ser:L = 0,852 mL = 8,52 dmL = 852 mmetc

Se exprese como se exprese el resultado tiene tres cifras significativas, que son los dgitos considerados como ciertos en la medida. Cumplen con la definicin pues tienen un significado real y aportan informacin. As, un resultado comoL = 0,8520 mno tiene sentido ya que el instrumento que hemos utilizado para medir no es capaz de resolver las diezmilsimas de metro. Por tanto, y siguiendo con el ejemplo, el nmero que expresa la cantidad en la medida tiene tres cifras significativas. Pero, de esas tres cifras sabemos que dos son verdaderas y una es incierta, la que aparece subrayada a continuacin:L = 0,852 mEsto es debido a que el instrumento utilizado para medir no es perfecto y la ltima cifra que puede apreciar es incierta. Cmo es de incierta? Pues en general se suele considerar que la incertidumbre es la cantidad ms pequea que se puede medir con el instrumento, aunque no tiene por qu ser as pues puede ser superior a dicha cantidad. La incertidumbre de la ltima cifra tambin se puede poner de manifiesto si realizamos una misma medida con dos instrumentos diferentes, en nuestro caso dos reglas milimetradas. Por extrao que pueda parecer no hay dos reglas iguales y, por tanto, cada instrumento puede aportar una medida diferente. Quedando claro que la ltima cifra de la medida de nuestro ejemplo es significativa pero incierta, la forma ms correcta de indicarlo (asumiendo por ahora que la incertidumbre es de 1 mm), es L = 0,852 0,001 mNo obstante, lo ms normal es omitir el trmino 0001 y asumir que la ltima cifra de un nmero siempre es incierta si ste est expresado con todas sus cifras significativas. Este es el llamado convenio de cifras significativas que asume quecuando un nmero se expresa con sus cifras significativas, la ltima cifra es siempre incierta.Asumiendo que cualquier problema de fsica o qumica de un libro de texto nos muestra las cantidades con sus cifras significativas, debemos saber expresar el resultado de las operaciones que hagamos con dichos nmeros con sus cifras significativas correspondientes. Es lo que veremos ms adelante pues antes es necesario ampliar conceptos y establecer procedimientos.Reglas para establecer las cifras significativas de un nmero dado.Regla 1. En nmeros que no contienen ceros, todos los dgitos son significativos. Por ejemplo: 3,14159 seis cifras significativas 3,14159

5.694 cuatro cifras significativas 5.694

Regla 2. Todos los ceros entre dgitos significativos son significativos. Por ejemplo: 2,054 cuatro cifras significativas 2,054

506 tres cifras significativas 506

Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dgito que no es cero sirven solamente para fijar la posicin del punto decimal y no son significativos. Por ejemplo: 0,054 dos cifras significativas 0,054

0,0002604 cuatro cifras significativas 0,0002604

Regla 4. En un nmero con dgitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.Por ejemplo:0,0540 tres cifras significativas 0,0540

30,00 cuatro cifras significativas 30,00

Regla 5. Si un nmero no tiene punto decimal y termina con uno o ms ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el nmero de cifras significativas, se requiere informacin adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el nmero en notacin cientfica, no obstante, tambin se suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos. Por ejemplo:1200 dos cifras significativas 1200

1200, cuatro cifras significativas 1200,

Regla 6. Los nmeros exactos tienen un nmero infinito de cifras significativas. Los nmeros exactos son aquellos que se obtienen por definicin o que resultan de contar un nmero pequeo de elementos. Ejemplos:- Al contar el nmero de tomos en una molcula de agua obtenemos un nmero exacto: 3.- Al contar las caras de un dado obtenemos un nmero exacto: 6.- Por definicin el nmero de metros que hay en un kilmetro es un nmero exacto: 1000.- Por definicin el nmero de grados que hay en una circunferencia es un nmero exacto: 360

Notacin cientfica

La notacin cientfica es un recurso matemtico empleado para simplificar clculos y representar en forma concisa nmeros muy grandes o muy pequeos. Para hacerlo se usan potencias de diez. Bsicamente, la notacin cientfica consiste en representar un nmero entero o decimal como potencia de diez. En el sistema decimal, cualquier nmero real puede expresarse mediante la denominada notacin cientfica. Para expresar un nmero en notacin cientfica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el nmero a convertir es mayor que 10, en cambio, si el nmero es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el nico dgito que quede a la izquierda de la coma est entre 1 y 9 y que todos los otros dgitos aparezcan a la derecha de la coma decimal. Es ms fcil entender con ejemplos: 732,5051 = 7,325051 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)0,005612 = 5,612 103 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).Ntese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendr la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y as sucesivamente.Nota importante: Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 ser positivo.Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10 ser negativo.

Otro ejemplo, representar en notacin cientfica: 7.856,1 1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella slo quede un dgito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7. 7,8561 La coma se desplaz 3 lugares. 2. El nmero de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103. 3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende. Por lo tanto, la notacin cientfica de la cantidad 7.856,1 es: 7,8561 103 Operaciones con nmeros en notacin cientficaMultiplicarPara multiplicar se multiplican las expresiones decimales de las notaciones cientficas y se aplica producto de potencias para las potencias de base 10.Ejemplo:(5,24 106) (6,3 108) = 5,24 6,3 106 + 8 = 33,012 1014 = 3,301215Veamos el procedimiento en la solucin de un problema: Un tren viaja a una velocidad de 26,83 m/s, qu distancia recorrer en 1.300 s? 1. Convierte las cantidades a notacin cientfica. 26,83 m/s = 2,683 101 m/s1.300 s = 1,3 103 s2. La frmula para calcular la distancia indica una multiplicacin: distancia (d) = velocidad (V) x tiempo (t). d = VtReemplazamos los valores por los que tenemos en notacin cientficad = (2,683 101 m/s) (1,3 103 s)3. Se realiza la multiplicacin de los valores numricos de la notacin exponencial,(2,683 m/s) x 1,3 s = 3,4879 m. 4. Ahora multiplicamos las potencias de base 10. Cuando se realiza una multiplicacin de potencias que tienen igual base (en este caso ambas son base 10) se suman los exponentes. (101) (103) = 101+3 = 1045. Del procedimiento anterior se obtiene: 3,4879 104Por lo tanto, la distancia que recorrera el ferrocarril sera de 3,4879 104 mLa cifra 3,4879 10 elevado a 4 es igual a 34.879 metros.DividirSe dividen las expresiones decimales de las notaciones cientficas y se aplica divisin de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notacin cientfica. Hagamos una divisin:(5,24 107)(6,3 104)=(5,24 6,3) 1074 = 0,831746 103 = 8,31746 101 103 = 8,31746 102

Suma y restaSi tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notacin cientfica, como en este ejemplo:5,83 109 7,5 1010 + 6,932 1012 = lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la ms pequea de las potencias de 10, en este caso el factor ser 109 (la potencia ms pequea), y factorizamos: 109 (5,83 7,5 101 + 6,932 103) = 109 (5,83 75 + 6932) = 6.862,83 109Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notacin cientfica y nos queda:6,86283 1012, si eventualmente queremos redondear el nmero con solo dos decimales, este quedar 6,86 1012.Ver: PSU: Matemtica, Pregunta 06 PotenciacinSi tenemos alguna notacin cientfica elevada a un exponente, como por ejemplo

(3 106)2qu hacemos?Primero elevamos (potenciamos) el 3, que est al cuadrado (32) y en seguida multiplicamos los exponentes pues la potencia es (106)2, para quedar todo:9 1012