Nota sobre un problema de decision cuando se conoce un orden parcial de preferencias sobre un...
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NOTASNOTA SOBRE UN PROBLEMA DE DECISION
CUANDO SE CONOCE UN ORDEN PARCIAL
DE PREFERENCIAS SOBRE UN ESPACIO
DE CONSECUENCIAS
Miguel Mart {n D{az
Consideremos el siguiente modelo de decision:
EI decisor ha de elegir una accion (pura):
Ai i = 1 ... . m
de un espacio que representaremos por A
C es un espacio de consecuencias:
C, ... Cn
{ Pij1es una rnatriz en donde: n
P.. ~o ~II
;: 1
i = 1,2, .. .n j = 1,2, ... n
{Pi;Jes la probabilidad de que de la accion Ai se siga la consecuencia CrAdoptaremos como regia de decision la siguiente:Supongamos que la utilidad de la consecuencia C. es u. E R de-
. I I
cimos que:
(es preferida 0 indiferente) si y solo si se verifica:
n
E(A) = ~ Pi; ll; ~ E(A k ) = ~ Pk ; ll;;: 1 ;: 1
Si u; y Pi; son numeros conocidos, el problema de decision243
es trivial y existini, al menos; una accion preferida 0 indiferente a
las demas.En la praetica uf y Pij son valores que hay que estimar, y, aun
en este caso que el modelo es muy simple, el estudio se puede complicar segun el grado de conocimiento que tengamos de estos numeros.
Vamos a estudiar aquf un modelo presentado en: referencia 1pag. 212.
El objeto concreto de este trabajo es obtener un resultadomas preciso que el teorema basico de dicha referencia, que permiteresolver el problema sin tener que resolver un sistema de ecuaciones.
Planteamiento del problema.
El modelo de decision es el antes mencionadc.Ahora para abreviar la exposicion supondremos dos acciones
Al y A 2 •
Admitimos como regIa de decision la antes mencionada y su
ponemos que sobre las utilidades de las consecuencias solamente conocemos un orden parcial es decir:
Los numeros Ui son desconocidos pero tendremos conocimientos del
tipo: Ui ~ uj-
Podrfa ocurrir (sino dirfamos orden total) que dos consecuencuencias no sean comparables.
El orden parcial se puede representar par medio de un grafo.Por ejemplo:
Si son seis consecuencias un orden parcial seria:
El grafo correspondiente serfa:
244
Entonces el problema planteado es el siguiente:~A que relaciones deben satisfacer los numeros:
Pll,PI2,Pn Y P21 ,PZ2····· P2n
para, con el unico conocimiento del orden parcial de las utilidades
del espacio de consecuencias, se ~ueda considerar A I ;;;;;: A 2.
Llamando:
dj = PJj - P2j
El resultado demostrado en Ref.- 1 esta expresado por el siguiente:
TEOREMA.
La condici6n necesaria y suficiente para que sea A I ;;;;;: A 2 ,
cuando s610 se conoce un orden parcial de preferencias en el espa
cio de cosnsecuencias, es que el sistema:
admita soluci6n:
~iEc
d.u.=I I ~
jEC
,a. u .
/ /(j)
a. ;;;;;: 0 para "V j E C/
Y esto para toda componente conexa C del grafo.En. (1):
es un arco del grafo. El primer miembro es una suma extendida atodos los vertices; y el segundo miembro a todos los arcos de la
componente C.Nosotros vamos a dar un resultado, que permite obtener direc
tamente las relaciones a que han de satisfacer:
para que se verifique:
AI;;;;;: A
sin tener que resolver el sistema a (1).
245
Antes vamos a recordar algunas definiciones en teoria grafos.
Un grafo esta formado par:
Un conjunto U de vertices:
y un conjunto l! de pares ordenados de vertices (uju
j) llamados arcos.
Definicion 1.- Una cadena es una sucesion de arcos tales que u
no de los extremos de cada arco coincide con uno de los extremos
del siguiente.Un ciclo cs una cadena en la que un vertice del primer arco
coincide con un vertice del ultimo.Definicion 2.- Dado B C U se llama cociclo, w (B), al conjunto
de arcos para los que un extremo pertenece a B y no pertenece a
B el otro extrema
Llamamos w • (B) al conjunto de arcos que tienen el vertice inicial en B y el vertice final fuera de B..
Definicion 3.- Se llama componente conexa de un grafo, al mayor numero de vertices que pueden unirse entre sf por medio de unacadena, al menos.
Un grafo que tiene una sola componente conexa se llama conexo.Definicion 4.- Un subgrafo de un grafo esta formado por un
subconjunto cualquiera de arcos del grafo y todos sus vertices.
Definicion 6.- Un arbol es un grafo conexo y sin ciclos.Si un abol tiene n vertices: tiene n-1 arcos.
En un arbol existen al menos, dos vertientes colgantes: es decirque estan unidos al resto del arbol por un solo arco.
Definicion 5.- Dado un arco i del arbol, al suprimirle, queda
el arbol desconectado en dos arboles, llamaremos A (i) al conjuntode vertices para los que es:
w· [A (OJ
de acuerdo con deL 2.
TEOREMA.
llipotesis.- EI espacio de consecuencias:
246
esta parcialmente ordenado, y dicho orden viene re
presentado por un grafo de vertices:
G, C2 , ••• , Cn
Llamaremos (K) a la k-esima componente conexa de
grafo y H (k) a un arbol cuaiquiera que sea un sub
grafo de K.
TESIS.La condici6n necesaria y suficiente para que sea:
E [A 1 ] ~ E (A 2 ]
para cualquier conjunto de utilidades:
compatible con el orden parcial, es que se verifique:a)
~ d. = 0. iE[k] I
para toda componente conexa (K).
b)
para:
(K) y 'tIjEH[K]
j representa un arco.
en donde H (K) es un arbol cualquiera que sea sub
grafo de [K] y:
A k (j)
es un conjunto de vertices de H (K) tales que es:
en el arbol H (K).
(J)
247
DL'MOSTRACION
aJ es ncccsaria:
SlIpongamos, que sin perdida de gencralidad que [K) esta for
mada por los vertices: I, 2, ... , s.Se plIede escribir:
d.u. =I I
(Us.] - u) +(d j + d 2 + ... +dsJ Us +
Si fuera:
tomamo~:
d. u.I I
U. = - 1 paraI
i = 1, ... , n
compatible can el orden parcial, y resultaria:
Si fuera:
tomando
se tendria:
U. = 1 paraI
i = 1, ... , n
Es decir:
E[Ad<E[Ad
E[Ad;;;;'E[A 2 ] ~ d j +d2 + ... +ds = 0
bJ es necesario.
En efccto:
Sea H (KJ un arbol de [K] formado par los vertices:
i = 1,2, ... ,S
248
y los areos:
j = <1,2, ... ,(s - J)
con:
d 1 + d 2 + ... +ds = 0 [(condici6n a)]
Vamos a probar que se verifiea:sol
~j: ]
(j representa arcos).
en donde:
a.= ~ d./ jEAk (jJ I
siendo A k (j) definido por (1).
,U.=U -u
/ r
si (r, t) es un areo de H [K]
El teorema es trivial si K = 2, pues entonees seria:
ya que:
(2)
d 1 + d 2 = 0
Supongamos [2] eierto para un arbol eualquiera;-H (K-J) de
[K] formado ports -1 vertices.Se puede suponer, sin perdida de generalidad, que Us -] es un ver
tice eolgante de H [K] unido s6lamente a Us _]' Puede oeurrir:1) es:
es un area de H [K].
Se tendria:
~ ujdj= u1dt +... +(dS_]+ds)uS_] +j: ]
+ds(u-u ])=u1dt+ ... +(d ]+d)u ]+(d1+... +s s- s- s a-
249
+dS_I)(uS_I - us)
Aplicando (2) al arbol formado por los (s-1) primeros vertices
tendrfamos:
uidi = ~ u;.a'j+(sl+'" +dS_I)[US_I-US] (3)i: I
siendo:
aj = ~ diiEAk(j)
puesto que:
es el mismo en los dos arboles si:
j = 1, 2, . . . , s - 2
EI ultimo sumando de [3], es el que da [2] para el arco (s-]).
La otra posibilidad es:
2)
escribiendo:s
~ diui=d 1 Ul+... +(dS_I+ds)uS_I+ds(us-us_I)i: I
se prueba como en el caso anterior la validBz de [2]_
A partir de [2], es inmediato demostrar la necesidad de bJ.En efecto si a. < 0 podriamos tomar:
IX
U'. = 1 . u'. = 0 si J""* J-xIX • I
de acuerdo con el orden parcial y seria:
Reciprocamente:
Si~ se verifican a) y b) utilizando [2] para un arbol arbitrario
de cada componente conexa del grafo se tendria:
E [A 1 ] ~ E [A 2 1250
para cualquier conjunto de utilidades:
compatibles con el orden.Con esto queda demostrado el teorema.
Ejemplo:Supongamos que las utilidades en b verifican:
EI grafo correspondiente es:
CS
---4 _
Fig. 1 C6
C6Cs_-......_ ..... - ..
Fig. 2
Aplicando el resultado anterior al arvoL~de la Fig. 2 se tiene:
d4 # 0
d i + d3 + d4 # 0
d i + d2 + d s + d6 + d 7 # 0
d i + d2 + d 3 + d4 # 0
d i + d 2 + d3 + d4 + d s + d6 #O
d i + d2 + d 3 + d4 + d s ;;' 0
yademas:
desconectando por (C4 C3 )
desconectando por(C i C2 )
desconectando por (Ci C3 )
desconectando por (C2 Cs )
desconectando por (C6 CII )
desconectando por (Cs C6 )
Condiciones necesarias y suficientes para que se verifique:
E [Ad #E [Ad251
para cualquier conjunto de utilidades que cumplan [4].
BIBLIOGRAFIA
[l} PETER C. FISHBURN, Decision and Value Theory.
[2] C. BERGE y A. GHOUILA, Programas, Juegosy Sistemas de
Transporte. Houri.
252