M. en C. En INGENIERIA QUIMICA MATERIA: FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA IPROFESOR: DR. JOSE JAVIER CASTRO ARELLANO ALUMNA: IVEETE CECILIA GUZMAN RODRIGUEZ

TAREADEDUCCION DE ARTICULOFLUJO NO NEWTONIANO

Las ecuaciones que describen el flujo de un fluido compresible e isotérmico son las ecuaiones de continuidad y movimiento:

∂ γ∂ t

+(∇ ∙ γv )=0…(1)

γ [ ∂v∂ t + (v ∙∇ ) v ]=−∇ p−(∇ ∙ τ )+γg…(2)

El fluido isotérmico no solo implica que el campo de temperatura no impacta sino también que el término de disipación (τ :∇v ) en la ecuaion del balnce de energía es despreciable. En el desarrollo que se sigue se considera el flujo entre dos cilindros coaxiales. Y las siguientes consideraciones son hechas:

Donde: (γ=constante )

Para el sistema específico bajo las consideraciones, la ecuación 1 y 2 pueden ser escritas en coordenadas cilíndricas, combinadas y simplificadas como:

∂ γ∂ t

+ 1r∂∂ r

(γr vr )+1r∂∂θ

( γ vθ )+ ∂∂ z

( γ v z )=0

Por lo tanto;

∂∂ z

(v z )=0

Partiendo de las ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

γ [ ∂v∂ t + (v ∙∇ ) v ]=−∇ p−(∇ ∙ τ )+γg

Componentes en r tenemos:

γ ( ∂vr∂t+vr

∂ vr∂r

+vθr∂ vr∂θ

−vθ2

r+vz

∂vr∂ z )=∂vr

∂r−∂ p∂r

−[ 1r ∂∂r

(r τ rr )+1r∂ τ rθ∂θ

−τθθr

+∂ τ rz∂ z ]+γ gr

γ ( ∂vr∂t+vr

∂ vr∂r

+vθr∂ vr∂θ

−vθ2

r+vz

∂vr∂ z )=−∂ p

∂r−[ 1r ∂

∂ r(r τ rr )+

1r∂ τ rθ∂θ

−τθθr

+∂ τ rz∂ z ]+γ gr

Por lo tanto:

0=∂ τ rz∂ z

Componentes en Ѳ tenemos:

γ ( ∂vθ∂ t+vr

∂vθ∂ r

+vθr

∂vθ∂θ

−vr vθr

+v z

∂ vθ∂ z )=−1

r∂ p∂θ

−[ 1r 2 ∂∂ r

(r2 τ rθ )+ 1r

∂ τθθ∂θ

+∂ τθz∂ z ]+γ gθ

γ ( ∂vθ∂ t+vr

∂vθ∂ r

+vθr

∂vθ∂θ

−vr vθr

+v z

∂ vθ∂ z )=−1

r∂ p∂θ

−[ 1r 2 ∂∂ r

(r2 τ rθ )+ 1r

∂ τθθ∂θ

+∂ τθz∂ z ]+γ gθ

Componentes en z tenemos:

γ ( ∂v z

∂ t+vr

∂vz∂r

+vθr

∂v z

∂θ+v z

∂v z

∂z )=−∂ p∂z

−[1r ∂∂ r

(r τ rz )+1r

∂ τθz∂θ

+∂τ zz∂z ]+γ gz

γ ( ∂v z

∂ t+vr

∂vz∂r

+vθr

∂v z

∂θ+v z

∂v z

∂z )=−∂ p∂z

−[1r ∂∂ r

(r τ rz )+1r

∂ τθz∂θ

+∂τ zz∂z ]+γ gz

Por lo tanto:

0=−∂ p∂z

−1r∂∂ r

(r τ rz )+γ gz

En ambos términos son función de una variable, por lo tanto : −dpdz

=α

0=α−1rddr

(r τ rz )+γ gz

∫−dpdz

dz=∫ α dz+C1

−p=α z+C1

De las condiciones fronteras:

Condición 1: z=0 p=p0

Condición 2: z=L p=pL

Condición 1:

−p0=α (0 )+C1

C1=−p0

−p=α z−p0

Condición 2:

−pL=α L−p0

α=p0−pL

L

Asi:

0=α−1rddr

(r τ rz )+γ gz

0=p0−pLL

−1rddr

(r τ rz )+γ gz

En la cual p0 y pL son las presiones estáticas a z=0 y z=L, y gz es la componente de la aceleración gravitacional g en la dirección del flujo. P=p−γgz, asi :

1rddr

(r τ rz)=P0−PL

L

Donde P designa la suma de fuerzas por unidad de volumen en el lado derecho de la ecuación 1.

P=P0−PL

L

Asi:

1rddr

(r τ rz)=P

Resolviendo y separando la ecuacion tenemos:

ddr

(r τ rz )=Pr

∫ ddr

(r τ rz )dr=∫Pr dr+C1

∫ ddr

(r τ rz )dr=P∫r dr+C1

r τ rz=Pr2

2+C1

τ rz=Pr2

2 r+C1

r

τ rz=Pr2+C1

r

Donde: r=λR y τ rz=0, tenemos:

0=PλR2

+C1λR

C1=−P λR2

( λR )

C1=−P ( λR )2

2

τ rz=Pr2

−P ( λR )2

2 r

τ rz=P2 (r− ( λR )2

r )

La ecuación diferencial de primera orden válida sobre la región entera anular para cualquier tipo de fluido:

τ rz=P2 (r− ( λR )2

r )

Donde en la cual λ es la constante de integración.

La distancia radial r=λR representa la posición a la cual τ rz=0. La ecuación enterior entonces toma el punto de partida para la derivación del plástico de Bingham y el modelo de Ley de potencias.

MODELO DEL PLÁSTICO DE BINGHAM

Este modelo el esfuerzo de corte local, τ rz es relacionado con la rapidez de corte, d v z/dr donde:

τ rz=± τ0−μ0d vzdr

Donde (+) es usada cuando el momentum está siendo transportado en la dirección +r y (-) cuando el transporte es en la dirección –r. La introducción de las siguientes variables adimensionales es útil de modo que:

T=2 τ rz /PR

T 0=2 τ0/PR

∅=(2μ0 /P R2 ) vzρ=r /R=

Donde:

τ rz=P2 (r− ( λR )2

r )τ rz=

P R2 ( rR−

( λ )2Rr )

2 τ rzPR

=( rR− λ2Rr )

Cambiando variable por las adimensionales: T=ρ− λ2

ρ

La ecuación que describe el sistema es: T=ρ− λ2

ρ…(7)

Donde la ecuacion: τ rz=± τ0−μ0d vzdr

se multiplica por 2/PR, tenemos:

2 τ rzPR

=±2 τ0PR

−μ02d vzPRdr

dr=dρR

2 τ rzPR

=±2 τ0PR

−μ02d vzPRdρR

2 τ rzPR

=±2 τ0PR

−2μ0d v z

PR2dρ

Realizando un cambio de variable:

T=±T0−d∅dρ

T=±T0−d∅dρ

En donde λ+¿¿ y λ−¿¿ representa las fronteras en el flujo tapón.

Claramente hay valores de ρpara los cuales |T|=T 0

T=ρ− λ2

ρ=±T 0−

d∅dρ

ρ− λ2

ρ=±T 0

Así la ecuación obtenida es:

±T0=λ±−λ2

λ±

Eligiendo λ+¿¿ para ser consistentes con Mori & Ototake. Nos resulta la siguiente ecuación:

T 0=λ+¿−

λ2

λ+¿¿¿

λ2=λ+¿ ¿¿

λ2=λ+¿ ¿¿

Para los valores en el flujo tapón, donde el perfil de velocidades es constante: T 0=λ+¿− λ−¿ ¿¿ y λ−¿= λ+¿−T

0¿¿ obtenemo:

λ−¿=¿ ¿

De tal modo que aquí λ es solo el significado geométrico de λ+¿¿ y λ−¿¿. Igualando e integrando las ecuaciones nos da:

ρ− λ2

ρ=−Τ0−

dϕdρ

Τ 0+ ρ−λ2

ρ=−dϕ

dρ

dϕ=(−Τ0−ρ+ λ2

ρ )dρ

∫ dϕ=∫(−Τ 0−ρ+ λ2

ρ )dρ

ϕ=−Τ0 ρ−ρ2

2+λ2∗¿(ρ)

Realizando la evaluacion de λ−¿¿ agregamos es el termino k:

ϕ−¿=−Τ0 ( ρ−κ )−ρ2−κ 2

2+ λ2∗¿ (ρ )−λ 2∗¿(κ)¿

ϕ−¿=−Τ0 ( ρ−κ )−ρ2−κ 2

2+ λ2∗¿( ρκ )¿

Para ϕ0 tenemos que:

ϕ0=ϕ−¿¿ ¿

En donde:

λ−¿≤ ρ≤ λ+¿¿ ¿

asi para ϕ+¿ ¿

ϕ+¿=−Τ0 (1− ρ)− 1

2−ρ2

2+λ 2∗¿ (1)− λ2∗¿ ( ρ) ¿

ϕ+¿=−Τ0 (1−ρ)−1−ρ2

2+λ2∗¿( 1ρ )¿

Donde

λ+¿≤ ρ≤1¿

Realizando la evaluación con limites:

ϕ−¿=−Τ0 ( ρ−κ )−ρ2−κ 2

2+ λ2∗¿( ρκ )¿

ϕ=0 y ρ=κ

0=−Τ 0 (κ−κ )−κ2−κ2

2+ λ2∗¿( κκ )

0=λ2∗¿ (1 ) y ϕ=0 y ρ=1

0=−Τ 0 (1−κ )−12−κ2

2+λ2∗¿( 1κ )

ϕ+¿=−Τ0 (1−ρ)−1−ρ2

2+λ2∗¿( 1ρ )¿

ϕ=0 y ρ=κ

0=−Τ 0 (1−κ )−1−κ2

2+λ2∗¿( 1κ )

ϕ=0 y ρ=1

0=−Τ 0 (1−1 )−1−12

2+λ2∗¿( 11 )

0=λ2∗¿ (1 )

Por lo tanto la ecuación determinante para λ+¿¿ es la afirmación de que la velocidad ϕ−¿ ¿¿ es la misma que ϕ−¿ ¿¿ de modo que:

2 λ+¿ ¿¿

La velocidad de flujo para para el fluido plástico de Bingham se obtiene de integrar la velocidad de distribución en la Ecuación 11, 12 y 13 en la región anular y simplificar el resultado con la ayuda de la ecuación 14.

Q=2π R2∫κ

1

vz ρdρ

Q= π R4 P8μ0

¿

Esta expresión es válida para T 0>(1−κ); no hay flujo si T 0≤(1−κ). Para altos flujo cuando el flujo tapón es pequeño comparado con la dimensión anular. La Ec 15 se simplifica usando la expresión Newtoniana para λ y asumiendo que (λ+¿+ λ−¿¿≈2 λ¿:

Q= π R4 P8μ0

¿