NÚMEROS COMPLEXOSthiago.alencar...Os números complexos são representados geometricamente no plano...
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NÚMEROS
COMPLEXOS
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ℚℤ
Conjunto dos números complexos
ℕ
𝕀ℝℂ
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Número imaginário
𝑥² + 1 = 0𝑥² = −1
𝑥 = ± −1 Número
imaginário
i𝑥 = ± 𝑖
𝑥² + 4 = 0𝑥² = −4
𝑥 = ± −4
𝑥 = ± −1 ∙ 4𝑥 = ± 2𝑖
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𝑖5 = 𝑖4 ∙ 𝑖 = 1 ∙ 𝑖 = 𝒊
𝑖6 = 𝑖5 ∙ 𝑖 = 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑖2 = −1 ² = −𝟏𝑖7 = 𝑖6 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝒊𝑖8 = 𝑖7 ∙ 𝑖 = −𝑖 ∙ 𝑖 = −𝑖2 = − −1 = 𝟏
Número imaginário
𝒊 = −1
𝑖² = −1 ² = −𝟏𝑖³ = 𝑖² ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝒊𝑖4 = 𝑖³ ∙ 𝑖 = −𝑖 ∙ 𝑖 = −𝑖2 = − −1 = 𝟏
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Número imaginário
A cada quatro potências consecutivas de i, iniciando com oexpoente 1, o conjunto solução sempre é o mesmo
{i, -1, i, 1}
Para determinar o valor de potências com expoentes maiores,basta dividir o expoente por 4 e considerar o resto da divisãocomo o novo expoente, que será o, 1, 2 ou 3.
𝑖2014 = ?5032012
–
2𝑖2014 = 𝑖² = -1
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Número complexo: Forma Algébrica
Um número complexo é todo número na forma
z = a + biNúmero
complexo
Parte real de zParte imaginária
de z
Quando a = 0, ⟹ z = bi
Quando b = 0, ⟹ z = aNº imaginário
puro
Nº real
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Número complexo
2 + 4i → número complexo
8 - i 2 → número complexo
6i → número complexo puro
4 → número real
-i → número complexo puro
i² → número real
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Operações com números
complexos
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
ADIÇÃO
𝑧 + 𝑤 =
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Operações com números
complexos
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
ADIÇÃO
𝑧 + 𝑤 = (7 + 2) + 8𝑖 + (−5𝑖 )
𝑧 + 𝑤 = 9 + 3𝑖 Soma parte real com
parte real e soma
parte imaginária com
parte imaginária.
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Operações com números
complexos
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
SUBTRAÇÃO
𝑧 − 𝑤 =
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Operações com números
complexos
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
SUBTRAÇÃO
𝑧 − 𝑤 = (7 − 2) + 8 − (−5 )𝑖
𝑧 − 𝑤 = 5 + 13𝑖
Subtrai parte real
com parte real e
subtrai parte
imaginária com
parte imaginária.
𝑧 − 𝑤 = 7 + 8𝑖 − (2 − 5𝑖)
𝑧 − 𝑤 = 7 + 8𝑖 − 2 + 5𝑖
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Operações com números
complexos
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
MULTIPLICAÇÃO
𝑧 ∙ 𝑤 =
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Operações com números
complexos
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
MULTIPLICAÇÃO
𝑧 ∙ 𝑤 = 14 − 35𝑖 + 16𝑖 − 40𝑖²
𝑧 ∙ 𝑤 = 14 − 19𝑖 + 40Aplica a propriedade
da distributividade.𝑧 ∙ 𝑤 = 54 − 19𝑖
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Conjugado de um número
complexo
O conjugado de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é ҧ𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖
𝑧 ∙ ҧ𝑧 = 𝑎2 − 𝑎𝑏𝑖 + 𝑎𝑏𝑖 − 𝑏2𝑖²
𝑧 ∙ ҧ𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2
1
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Operações com números
complexos
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
DIVISÃO
𝑧
𝑤=
7 + 8𝑖
2 − 5𝑖A ideia é a mesma
de quando tiramos
uma raiz de um
denominador.
ഥ𝑤 = 2 + 5𝑖Conjugado
de w
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Operações com números
complexos
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
DIVISÃO
𝑧
𝑤=
7 + 8𝑖
2 − 5𝑖
Multiplica numerador e
denominador pelo
conjugado do
denominador.
∙2 + 5𝑖
2 + 5𝑖=
14 + 35𝑖 + 16𝑖 + 40𝑖²
4 + 10𝑖 − 10𝑖 − 25𝑖²
= −26
29+
51
29𝑖
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Operações com números
complexos
Uma fonte de tensão de 220 V alimenta uma carga de impedância
Z = (10 + 10j) ohm. Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte?
𝑖 =𝑈
𝑍=
220
10+10𝑗= ?
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Operações com números
complexos
Uma fonte de tensão de 220 V alimenta uma carga de impedância
Z = (10 + 10j) ohm. Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte?
𝑖 =𝑈
𝑍=
220
10+10𝑗∙
10 − 10𝑗
10 − 10𝑗
=2200−2200𝑗
100+100=
2200
200−
2200𝑗
200
𝑖 = 11 − 11𝑗
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Operações com números
complexos
Sendo z=2+3i e w=-1+4i, obtenha:
a) z+wb) z-wc) 3z+6wd) z/we) (z+w)(z-w)f) (z+w)2
a) 1+7ib) 3-ic) 33 i
d)10
17−
11
17𝑖
e) 10+20if) -48+14i
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F = x + yi permitecalcular a força dearrasto responsável pelasustentação do corpo.
A partir da soluçãodessa equação, define-se o perfil aerodinâmicoque facilita a circulaçãodo fluido em torno daasa do avião.
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Os aviões da Air Race
seguem os mesmos
princípios de todos os
aviões, porém, para a
realização dos
malabarismos, a eficiência
aerodinâmica dessas
aeronaves precisam ser
potencializadas e o arrasto
reduzido.
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Representação gráfica do número
complexoNo plano cartesiano, podemos representar qualquernúmero complexo através de um ponto (x,y) onde x é aparte real e y a parte imaginária.
1 2 3 4
4
3
2
1
z = 3 + 2i
y (reta imaginária)
x (reta dos reais)
AFIXO de z
w =
1 +
i
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Os números complexos são representados geometricamente no plano XY, pela seguinte equivalênciaz = a + bi P = (a, b), conforme ilustração a seguir.
a) Represente, no plano XY anterior, os números complexosz1 = 2 + 2i e z2 = -2 + 2i.
RESPOSTA:
Exercício
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Módulo de um número complexo
Por definição, o módulo é a distância do número até a suaorigem.
No número complexo, o módulo será a distância do seu afixo àorigem.
z = a + bi
a
b
𝒛 = 𝒂² + 𝒃² 𝐄𝐱: 𝑧 = 1 + 3 𝑖
𝑧 = 1² + 3 ²
𝑧 = 1 + 3 = 2
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Forma polar ou trigonométrica
de um número complexo
z = a + bi
a
b
𝒔𝒆𝒏𝜽 =𝒃
|𝒛|⟹ 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 |𝒛|
𝒄𝒐𝒔𝜽 =𝒂
|𝒛|⟹ 𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 |𝒛|
𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒛 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒛 𝒊
𝒛 = 𝒛 (𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒊 )𝒕𝒈𝜽 =
𝒃
𝒂
𝒐𝒖
𝒛 = 𝒛 𝜽
𝜽 = 𝒂𝒓𝒈(𝒛)
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Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = 2 + .
RESPOSTA:
i32
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Considere a mira z e o alvo windicados na figura ao lado.Determine o tiro certeiro de z em w.
RESPOSTA:
NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR
Exercício
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Forma polar ou trigonométrica
de um número complexo
Um afixo de um número complexo pode variar em uma circunferência decentro na origem e raio igual a 1.
Assim, o número complexo Z tem módulo 1 e seu argumento (ângulo)varia.
𝒛′ = 𝒛 ∙ (𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒊)
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Operações de multiplicação,
utilizando a forma polar
𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 |𝒛𝟐|[𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 )𝒊
𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐
𝒐𝒖
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Operações de divisão, utilizando a
forma polar
𝒛𝟏
𝒛𝟐=
𝒛𝟏
|𝒛𝟐|[𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 )𝒊
𝒛𝟏
𝒛𝟐=
𝒛𝟏
|𝒛𝟐|𝜽𝟏 − 𝜽𝟐
𝒐𝒖
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Operações de potenciação,
utilizando a forma polar
𝒛𝒏 = |𝒛|[𝒄𝒐𝒔 𝒏𝜽 + 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝜽)𝒊
𝒛𝒏 = 𝒛 𝒏 n𝜽
𝒐𝒖
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Exercícios
Realize as operações com os números complexos abaixo:
Z1=2+5j, Z2=41 36º , Z3=3 98º , Z4=-5j, Z5=3[COS(60º)+jSEN(60º)], Z6=20-8j,
Z7=10-15j, Z8=Z5=4[COS(-30º)+jSEN(-30º)]
a) Z1+Z2+Z3b) Z3.Z7c) Z8+Z2.Z4d) (Z8+Z2)/Z7e) (Z6.Z7.Z4)/Z2f) Z2.Z4+Z1g) Z8+Z5+Z3
a) 5,04+5,97jb) 54,06 -41,17ºc) 6,54-19,32jd) 0,44 26,28ºe) 485,18 -138,1ºf) -8 -12,32jg) 4,55+3,57j
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Aplicações de Números
Complexos
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Um circuito elétrico que contém um resistor R, um indutor L e um capacitor C conectados em série ou em paralelo é
denominado circuito RLC.
A medida da resistência de um circuito RLC é chamada de impedância(Z).
A corrente elétrica i (não
confundir com o número
imaginário) é dada por𝑈
𝑍,
onde U é a tensão (diferença
de potencial ou voltagem).
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Z = R + j X, ou na forma polar, Z = |Z| 𝜽
j² = -1 (não usa i para não confundir com corrente elétrica);
f é o ângulo (argumento) de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito;
|Z| é o módulo de Z;
R é a resistência elétrica (em ohm);
X é a resultante (em ohm) das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito.
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Exercícios
Determine a corrente do circuito abaixo:
I=1,1 113,65º A