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Unidad 1. Fracciones y decimales ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
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1 Números naturales
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1. Un ganadero compra 45 terneras a 475 €/cabeza y, durante el viaje, dos de ellas se accidentan, por lo que debe sacrificarlas. Seis meses después vende las restantes a 1 690 €/cabeza. Calculando que los gastos de mantenimiento y ceba han sido de 34 680 €, ¿qué ganancia ha obtenido por cada una de las terneras que compró?
En la compra de las terneras se gasta 45 · 475 = 21 375 €.
Por la venta obtiene 43 · 1 690 = 72 670 €.
Sus beneficios totales son: 72 670 – 21 375 – 34 680 = 16 615 €
Por cada ternera obtuvo una ganancia de 16 615 : 45 = 369,22 €.
2. En el obrador de la bollería, sacan del horno 7 bandejas de magdalenas con 65 piezas en cada una. Después las envasan en bolsas de 8 unidades y las venden a 2 € la bolsa.
¿Qué recaudación se obtiene en caja, teniendo en cuenta que durante el proceso de mani-pulación se malograron 13 piezas?
Del horno sacan 7 · 65 = 455 piezas, de las que quedan 455 – 13 = 442
Las envasan (442 : 8 = 55,25), obteniendo 55 bolsas.
Por la venta recaudan 55 · 2 = 110 €.
3. En la confitería han fabricado una partida de bombones. Si los envasaran en cajas de 12, de 18 o de 20, sobrarían 5. Pero lo hacen en cajas de 25 y así no sobra ninguno.
¿Cuántos bombones han fabricado, sabiendo que no pasan de 1 000?
12 = 22 · 3
18 = 2 · 32
20 = 22 · 5
mín.c.m. (12, 18, 20) = 22 · 32 · 5 = 180
Como al envasar los bombones en cajas de 12, 18 o 20 sobran 5, su número es múltiplo de 180 + 5 = 185.
185 · 5 = 925 y 185 · 6 = 1 110
Han fabricado 925 bombones.
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4. ¿De cuántas formas se pueden asignar 3 libros distintos a 6 estudiantes?
5 · 4 si el 1.º es para A. Lo mismo para los demás jugadores.
En total: 6 · 5 · 4 = 120 formas
B
C
D
E
F
A
3.º2.º1.º
CDEFBDEFBCEFBCDFBCDE
5. ¿De cuántas formas podemos ir de A a B? ¿Y de B a C?
¿Y de A a C pasando por B?
BC
A
B
A
B
A
B
A
•Hay10formasparairdeAaB.
C
B
•Hay5formasparairdeBaC.
•Hay10·5=50formasparairdeAaCpasandoporB.
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6. ¿De cuántas formas podemos repartir 6 entradas entre 7 personas? ¿Y si fueran 8 los can-didatos?
•Esmásfácilpensarenquiénsequedasinentrada:
1 2 3 4 5 6 7 → Hay 7 formas.
•Sison8:
1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8
2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8
3-4 3-5 3-6 3-7 3-8
4-5 4-6 4-7 4-8
5-6 5-7 5-8
6-7 6-8
7-8
Hay 28 formas.
7. Se organiza un torneo de pimpón entre seis jugadores. ¿Cuántas partidas han de dispu-tar? Descríbelas.
15 partidas si solo hay de ida:
AB,AC,AD,AE,AF
BC,BD,BE,BF
CD,CE,CF
DE,DF
EF
A B C D E F
A ×B ×C ×D ×E ×F ×
8. Cinco amigos organizan un torneo de ajedrez, en el que cada dos jugadores se enfrentan dos veces. ¿Cuántas partidas han de jugar? Descríbelas.
20 partidas:
AB AC AD AE
BA BC BD BE
CA CB CD CE
DA DB DC DE
A B C D E
A ×B ×C ×D ×E ×
EA EB EC ED
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9. ¿De cuántas formas se pueden sentar cinco amigos en las cinco butacas contiguas de la fila de un cine? Descríbelas.
LlamamosA,B,C,DyEacadaunodeloscincoamigos.
Si quien se sienta en la primera butaca es A, tenemos estas posibilidades:
DC
DB
E
B
D
AE
B
C
C
D
E
B
CE
D
EE DC EE CC DD CD EE DB EE BB DD EC EE CB EE BB CC BC DD CB DD BB CC B
Es decir, 1 · 4 · 3 · 2 = 24 formas distintas de sentarse.
OtrotantoocurriríasiquiensesentaseenlaprimerabutacafueseB,C,DoE.
En total hay 24 · 5 = 120 formas de sentarse.
10. Repite el problema anterior con el condicionante de que dos de ellos son novios y se sentarán juntos.
El que dos amigos se tengan que sentar juntos es equivalente a que haya 4 amigos. Por ejem-plo,AB,C,DyE.
DC
DAB
E
EE DC EE CC DD C
SienlasdosprimerasbutacassesientanAB,hay1·3·2=6casosposibles.
En total habrá 6 · 4 = 24 formas de sentarse.
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2 Números enteros
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1. Calcula:
a) [(1 – 4) – (5 – 3) – (–6)] · [–3 + (–7)]
b) |3 – 3 · (–7) – |5 · (–8)||
a) [(1 – 4) – (5 – 3) – (– 6)] · [–3 + (–7)] = [(–3) – (2)+6] · [–3 – 7] =
= [–3 – 2 + 6] · [–10] = [1] · [–10] = –10
b) |3 – 3 · (–7) – |5 · (–8)|| = |3 + 21 – |– 40|| = |24 – 40| = |–16| = 16
2. Simplifica y calcula.
a) 53 · 52 · 25
b) [(–3)11 : (–33)3] · 52
a) 53 · 52 · 25 = 53 + 2 · 25 = 55 · 25 = 3 125 + 32 = 3 157
b) [(–3)11 : (–33)3] · 52 = [(–3)11 : (–3)9] · 52 = [(–3)2] · 52 = [(–3) · 5]2 = (–15)2 = 225
3. Opera las siguientes expresiones:
a) [(1 – 7) – (8 – 3) – (–2)5] · (15 – 11)2
b) (7 – 3) · 12 + (5 – 1)2 · [6 – (–3)4]
c) (–3)2 – (–33) + 52 · (–2)2 – [2 – (– 4)2 · (–7)]
d) 17 – (– 4) · (–3 + 6) – 2[4 – 5(2 – 3)7]2
e) |26 – (– 4) · (–3)2 · (–3 + 2)3| – |–2 + 7| · (– 4)2
a) [(1 – 7) – (8 – 3) – (–2)5] · (15 – 11)2 = [(– 6) – (5) – (–32)] · (– 4)2 = [–11 + 32] · 16 =
= 21 · 16 = 336
b) (7 – 3) · 12 + (5 – 1)2 · [6 – (–3)4] = 4 · 12 + 42 · [6 – 81] = 48 + 16 · (–75) = 48 – 1 200 =
= –1 152
c) (–3)2 – (–33) + 52 · (–2)2 – [2 – (– 4)2 · (–7)] = 9 – (–27) + 25 · 4 – [2 – 16 · (–7)] =
= 36 + 100 – [2 + 112] = 136 – 114 = 22
d) 17 – (– 4) · (–3 + 6) – 2[4 – 5(2 – 3)7]2 = 17 – (–12) – 2[4 – 5 · (–1)]2 = 29 – 2 · 92 =
= –133
e) |26 – (– 4) · (–3)2 · (–3 + 2)3| – |–2 + 7| · (– 4)2 = |26 – (– 4) · 9 · (–1)| – 5 · 16 =
= |26 – 36| – 80 = 10 – 80 = –70
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4. Para el problema de arriba, y suponiendo que el izado del batiscafo continúa a la misma velocidad, escribe una expresión con la que calcular el tiempo que tarda en subir, desde el punto donde realizó el trabajo, hasta el nivel de la plataforma.
(|–14| + 30) : 2 = 44 : 2 = 22 min
5. Di con qué edad murió cada uno de los siguientes personajes, cuyos años de nacimiento y muerte se dan:
a) Pitágoras (–582, –507)
b) Platón (– 428, –347)
c) Al-Jwarizmi (780, 850)
d) Einstein (1879, 1955)
a) Pitágoras → –507 – (–582) = 75 años
b) Platón → –347 – (– 428) = 81 años
c) Al-Jwarizmi → 850 – 780 = 70 años
d) Einstein → 1 955 – 1 879 = 76 años
6. Varios amigos inventan el siguiente juego con el dado que ves:
3
–3 –21
–2 1
3
2
–1
A B C1 2 3 –1 –2 –3
— Cada uno tira 10 veces y suma los puntos obtenidos.
— Por cada resultado que se repita tres veces, se duplica el total de puntos.
— Por cada resultado que se repita cuatro o más veces, el total se triplica.
La tabla recoge los resultados de una partida entre tres jugadores.
¿Cuántos puntos ha obtenido cada uno?
A → 1 + 2 · 3 · 2 + 3 + 2 · (–1) + 2 · (–2) + (–3) · 1 = 1 + 12 + 3 – 2 – 4 – 3 = 7 puntos
B→ 1 · 1 + 4 · 3 · 3 + 1 · (–1) + 1 · (–2) + 3 · (–3) · 2 = 1 + 36 – 1 – 2 – 18 = 16 puntos
C → 2 · 1 + 2 · 2 + 5 · (–1) · 3 + 1 · (–2) = 2 + 4 – 15 – 2 = –11 puntos
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3 Números racionales. Fracciones
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1. Expresa como suma de un entero y una fracción.
a) 9
40 b) 5
86 c) 10
127
d) 12
127 e) 8
43–
a) 940 4 9
4= + b) 586 17 5
1= + c) 10127 12 10
7= +
d) 12127 10 12
7= + e) 843 5 8
3– – –=
2. Obtén la fracción irreducible.
a) 2118 b)
3514 c)
3642
d) 5614 e)
20075
a) 2118
76= b) 35
1452= c)
3642
67=
d) 5614
41= e) 200
7583=
3. Copia la recta en tu cuaderno y representa, aproximadamente, las fracciones.
–2 –1 0 1 2 3
, , , , , ,5
139
1857
411
2011
107
1017– –
–2 –1 0 1 2 3 7– — 5
17– — 10
7— 10
11— 20
11— 4
18— 9
13— 5
513 2 5
3= + 57 1 5
2– – –=
411 2
43= + 10
17 1 107– – –=
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4. Calcula.
a) 21
41
81+ + b)
43 2
1013–+
c) 131
61– +d n d)
37
62
95– +d n
e) 25 1
32
41– – –d n> H f )
31
43
54 1
201– – –+d n> H
a) 21
41
81
84
82
81
87+ + = + + =
b) 43 2 10
132015
2040
2026
2029– –+ = + =
c) 1 – 31
61 1
62
61 1
63
66
63
63
21– – –+ = + = = = =c cm m
d) 37
62
95
37
186
1810
37
1816
1842
1816
1826
913– – – –+ = + = = = =c cm m
e) 25 1 3
241
25 1 12
8123
25 1 12
5– – – – – – – –= =c cm m> > <H H F = = 2
51212
125
25
127
1230
127
1223– – – –= = =< F
f ) 31
43
54 1 20
131
43
54
55
201– – – – – –+ = +c cm m> >H H =
= 31
43
51
201
31
2015
204
201– – – – – –=< <F F =
= 31
2010
31
21
62
63
61– – – –= = =
5. Reduce a una única fracción.
a) : :1112 3
3316d n b)
35
1413
2621· ·d n
c) :3911
133
922·d n d) :
107
59
73·d n
a) : : :1112 3 33
163312
3316
1612
43= = =c m
b) · · · ·35
1413
2621
4265
2621
265
261
5265= = =c m
c) : · : ··
· ·· ·
· ·3911
133
922
3911
13 93 22
39 3 2211 13 9
3 3 29
21= = = =c cm m
d) : · : · · ·· ·
·107
59
73
107
59
73
10 9 77 5 3
2 93
61= = = =c cm m
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6. Calcula.
a) 51 de 275 b)
73 de 581 c)
2011 de 580
a) 51 de 275 = 5
275 = 55 b) 73 de 581 = ·
73 581 = 249 c) 20
11 de 580 = ·20
11 580 = 319
7. Halla la fracción resultante.
a) 21 de
31 b)
32 de
41 c)
95 de
53
a) ·21
31
61= b) ·3
241
122
61= = c) ·9
553
4515
31= =
8. Calcula.
a) 19
1051
41·+ +d n b) :1
21
31
41
23– –+d n
c) ( )125
71 2
101· – – ·< F d) ( )
31
92 2
65 2
75– – · – –+d dn n> H
e) :54
32
101 1
157– – –d dn n f ) :
41
73 1 5
21
52· – · –d dn n> >H H
a) 1 + · · ·910
51
41 1 9
10204
205 1 9
10209 1 2
123+ = + + = + = + =c cm m
b) 1 – : : :21
31
41
23 1 12
6124
123
23 1 12
723– – – –+ = + =c c cm m m =
= 1 – 3614 1 18
71811–= =
c) · ( ) · · ·125
71 2 10
1125
71
102
125
71
51– – = + = +< < <F F F =
= · ·125
355
357
125
3512
355
71+ = = =< F
d) ( ) · ( ) ·31
92 2
65 2 7
592
92 2
65
714
75– – – – – – – –+ = +c c c cm m m m> >H H =
= 0 – 2 · · ·65
79 2
4235
4254 2
4219
2119– – – – –= = =c m< <F F
e) : : :54
32
101 1 15
73024
3020
303
1515
157
301
158– – – – – –= =c c c cm m m m =
= ·30 815
161=
f ) · ·: · : ·41
73 1
41
73
775 2
152 5 10
5104– –– –=c c c cm m m m> > > >H H H H =
= · : · :41
74 5 10
171
21
72– – –= =c m> <H F
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9. Un terreno se divide en tres partes. Dos de ellas son 2/5 y 1/3 del total. ¿Cuál es la más grande?
1.ª parte → 52
156= 2.ª parte → 3
1155= 3.ª parte → 1 – 5
231
154– =
La más grande es la primera, 52
10. En el problema anterior, la menor de las partes mide 240 m2. ¿Cuál es la superficie total del terreno?
La menor de las partes es 154 de 240 m2 = ·
15240 4 = 64 m2.
La superficie total es (240 : 4) · 15 = 900 m2.
11. Los 2/5 de los chicos de una clase llevan gafas. En la lista de esa clase hay 36 personas, de las que 7/12 son chicas. ¿Cuántos chicos llevan gafas?
1 127
125– = son chicos.
36 · 125 = 15 son chicos.
15 · 52 = 6 chicos llevan gafas.
12. Jorge se ha gastado 2/7 de la paga en música y 1/5 en libros. ¿Qué fracción de la paga se ha gastado? ¿Qué fracción le queda?
Ha gastado 72
51
3510
357
3517+ = + = en música y libros.
La fracción que le queda es 1 – 3517
3535 17
3518–= = .
13. En una frutería se venden, por la mañana, 3/5 de la fruta que había y, por la tarde, la mitad de lo que quedaba.
a) ¿Qué fracción queda por vender?
b) Si al empezar el día había 750 kg, ¿cuántos kilos se vendieron?
a) mañana: Se venden 53 del total. Quedan 1 – 5
352= del total.
tarde: Se vende 21 de lo que queda → ·2
152
51= del total.
Se han vendido 53
51
54+ = del total. Queda sin vender 1 – 5
451= .
b) En total se vendieron 54 de 750 kg = ·
54 750 = 600 kg de fruta.
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14. De un sueldo de 1 500 €, se gasta en comida la sexta parte, y en el pago de la hipoteca, 350 € más que en comida. ¿Qué fracción del sueldo queda para otros gastos?
En comida se gasta 61 de 1 500 = 250 €.
En el pago de la hipoteca se gasta 250 + 350 = 600 €.
En total, se gasta 250 + 600 = 850 €.
Para otros gastos quedan 1 500 – 850 = 650 €.
La fracción que corresponde a esa cantidad es 1500650
5013= .
15. Al cerrar su puesto del mercadillo, el melonero piensa:
“Hoy he vendido bastantes melones. Solo me han quedado once, que son la décima parte de los vendidos”.
¿Cuántos melones tenía cuando abrió el puesto?
101 de x = 11 → x = 110. Ha vendido 110 melones.
Abrió el puesto con 110 + 11 = 121 melones.
16. El presupuesto anual de una oficina es 297 000 €. Los gastos fijos suponen la quinta parte y los 2/11 del resto se invierten en equipamiento. ¿Cuánto queda para otros gastos?
Fraccióndegastosfijosmásequipamiento→ ·51
112
54
51
558
5511 8
5519+ = + = + =
Otros gastos → 1 – 5519
5555 19
5536–= =
Fraccióndeotrosgastos→ 1 – 5519
5555 19
5536–= =
Otros gastos → 5536 de 297 000 = 194 400 €
17. Un club dispone de 1 200 entradas para un partido. Asigna 3/5 partes a su hinchada y 5/8 del resto a la visitante. ¿Cuántas entradas quedan para venta libre?
A su hinchada asigna 53 de 1 200 = 720 entradas.
Quedarán 1 200 – 720 = 480 entradas, y 85 de 480 = 300 entradas asigna a la visitante.
Para la venta libre quedarán 480 – 300 = 180 entradas.
18. Un dentista dedica 1 h y 3/4 a su consulta. Si recibe a 15 pacientes, ¿qué fracción de hora puede dedicar a cada uno? ¿Cuántos minutos son?
1 + 43
47= h dedica a la consulta.
:47 15
607= h dedica a cada paciente.
607 · 60 = 7 → Dedica 7 minutos a cada paciente.
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
12
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
19. Reparto entre cuatro: A y B se llevan, respectivamente, 2/7 y 13/21 del total. C recibe 7/10 del resto. Y D, finalmente, 390 €. ¿Cuánto dinero se repartió?
EntreAyB: 72
2113
2119+ = . Quedan 21
2 .
C → 107 de 21
2151 . Quedan 21
2 – 151
351= = .
D se lleva 351 del total, que son 390 €. En total se repartieron 35 · 390 = 13 650 €.
20. Un corredor ciclista abandona la carrera cuando lleva cubiertos los 2/3 del recorrido. Si hubiera aguantado 10 kilómetros más, habría cubierto las tres cuartas partes. ¿Cuántos kilómetros hicieron los que llegaron a la meta?
Los 10 km suponen 43
32
129
128
121– –= = del recorrido total.
Por tanto, 121 de x = 10 → x = 120 km hicieron los corredores que llegaron a la meta.
Esteproblematambiénsepuedehacerdeformamuysencillaplanteandolasiguienteecua-ción:
x x32 10
43+ = → x = 120 km
21. Seis amigos compran solidariamente un regalo para el séptimo miembro de la pandi-lla. A la hora de pagar, uno no tiene dinero y, así, cada uno de los demás debe poner 1,50 euros más. ¿Cuánto costaba el regalo?
Llamamos x a lo que cada uno tenía que poner al principio.
6x = 5 · (x + 1,50) → 6x = 5x + 7,50 → x = 7,50
El regalo costaba 6 · 7,50 = 45 €.
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
13
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4 Potencias de exponente entero
Página 20
1. Ordena de menor a mayor.
2–3, 2–1, 20, 2–2, 2– 4, (–2)–3, (–2)–1
(–2)–1 < (–2)–3 < 2– 4 < 2–3 < 2–2 < 2–1 < 20
2. Calcula el valor de estas potencias:
a) 5–1 b) 2–3 c) (– 6)0
d) 21
2–d n e)
32
1–d n f )
41
2–
g) 101
1–d n h)
25
2 1–
d n> H i) 0,2– 4
a) 5–1 = 51 = 0,2 b) 2–3 = 8
1 = 0,125 c) (– 6)0 = 1
d) 21
21
2
2
–
–=c m = 22 = 4 e) 32
231–
=c m = 1,5 f ) 41
2– = 42 = 16
g) 101
1–c m = 10 h) 2
525
52
254
2 1 2 2– –= = =c c cm m m> H = 0,16
i) 0,2– 4 = , /0 21
2 101
4 4=c cm m = 54 = 625
3. Expresa como una potencia de base 3.
( )31
31
31 3 3· · · ·
1 2 32 5 7
– ––d d dn n n
· ·31
31
31
1 2 3– –c c cm m m · (3–2)5 · 37 = 31 · 3–2 · 33 · 3–10 · 37 = 3–1
4. Expresa como potencias de base 2.
a) 4–2 b) 81
2–d n c)
( )24 8·
3 3
1 1
– –
– –
a) 4–2 = (22)–2 = 2– 4
b) 81
21
2
3
2– –=c cm m = (2–3)–2 = 26
c) ( )
·· ·2
4 82 2 2
13 3
1 12 3 9– –
– –= = 2–14
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
14
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5. Reduce y expresa como una potencia.
a) ( )77–
2
4
– b) :5 51
2 4
c) 2 36 2
··
2 1
4 2
–
– d)
21
21·3
2
3
2–
–d dn n
e) ( )51 5·3
23 2–e o f )
93
3
4
–
–
g) 2
5 10·2
2 2– h)
15 812 5
··
2 1
2 5
–
–
i) ( )5
310
95
3 2· · ·7
4
2
3 3
7 2–
– –
– –d en o
a) ( )77–
2
4
– = 74 · 72 = 76 b) :5 51
51
2 4 2–= = 52
c) ··
·· ·
2 36 2
2 22 3 3
2 14 2
2 2
4 4
––
= = 35 d) ·21
21
3
2
3
2–
–c cm m = (23)2 · (23)2 = 212
e) 513
2e o · (53)–2 = 5– 6 · 5– 6 = 5–12 f )
( )93
33
33
3
4
2 3
4
6
4
–
–
–
–
–
–= = = 3– 4 · 36 = 32
g) · · ·2
5 102
5 2 52
2 2
2
2 2 2– – –= = 2– 4 h)
··
· ·· ·
··
15 812 5
3 5 53 2 2
3 53 2
52
2 1
2 5
2 2 5
2 4 3
2 7
2 7 7
–
–= = = c m
i ) · ·( )
· ··
·· · · ·
·53
109
53 2
35
2 53
5 3 21
3 2 55 37
4
2
3 3
7 2
7
7
8 8
4
9 7 2 14 10 17
7 4–
– –
– –= =c em o =
= · · · ·3 2 5
13 2 5
1301
10 10 10
10 10= =c cm m
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
15
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Ejercicios y problemas
Página 21
Practica
Números enteros
1. Calcula.
a) 5 + (–3) – (–2) + (4 – 6) – [3 – (6 – 4)]
b) (3 + 6 – 11) · (4 – 2 – 9) · (–1)
c) 5 · [8 – (2 + 3)] – (–4) · [6 – (2 + 7)]
d) (–7) · [4 · (3 – 8) – 5 · (8 – 5)]
a) 5 + (–3) – (–2) + (4 – 6) – [3 – (6 – 4)] = 5 – 3 + 2 + 4 – 6 – 3 + 6 – 4 = 17 – 16 = 1
b) (3 + 6 – 11) · (4 – 2 – 9) · (–1) = (–2) · (–7) · (–1) = –14
c) 5 · [8 – (2 + 3)] – (– 4) · [6 – (2 + 7)] = 5 · (8 – 5) – (– 4) · (6 – 9) = 15 – 12 = 3
d) (–7) · [4 · (3 – 8) – 5 · (8 – 5)] = (–7) · [4 · (–5) – 5 · 3] = (–7) · (–35) = 245
2. Elimina paréntesis y simplifica.
a) ( )
[( ) ]5
5–
–6
3 2 b)
( )39
– 4
2
c) [(–3)5 : (–3)3]2 d) [24 · (–2)2] : (–4)3
a) ( )( )
55
––
6
6 = 1 b) [(–3)2]2 = (–3)4 = 81
c) ( )( )33 3
3–
2 2
4 4
4= = 1 d) ·
( )42 2
22
22
– – –34 2
2 36
6
6= = = –1
3. Calcula.
a) 646 b) 64
c) 100 0005 d) 27 000–3
e) 484 f ) 814
a) 2 266 = b) 26 = 23 = 8
c) 1055 = 10 d) ( )30– 33 = –30
e) ·2 112 2 = 2 · 11 = 22 f ) 344 = 3
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
16
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Fracciones
4. Calcula mentalmente.
a) Los dos quintos de 400. b) El número cuyos dos quintos son 160.
c) Los tres séptimos de 140. d) El número cuyos cinco sextos son 25.
a) 52 de 400 = 2 · 80 = 160 b) 5
2 de = 160 → el número es 400
c) 73 de 140 = 3 · 20 = 60 d)
65 de = 25 → el número es 30
5. Reduce a una sola fracción.
a) 53
41 2
43
52 1– – –+ +d dn n b) 1
31
43
21
31
41– –+ + +d d dn n n
c) 53
31 1
43
21
32
203– – – –+ +d dn n> H
a) 53
41 2
43
52 1 20
12205
2040
2015
208
2020
2047
2027– – – – – – –+ + = + + =c c c cm m m m = 1
b) 1 31
43
21
31
41 1 3
143
21
31
41
32
21
61– – – – – –+ + + = + + = =c c cm m m
c) 53
31 1
43
21
32
203
159
155 1
43 2
32
203– – – – – – – –+ + = + +c c c cm m m m> >H H =
= 1514 1
41
32
203
1514 1
41
32
203
6056
6060
6015
6040
609
31– – – – – – – –+ = + + = + + =c m
6. Calcula.
a) 43
98
65– · ·
–c m b) :1
21
81 3
71–+ +d dn n
c) –
21
143
43
21
81
–
+d n d)
·
:35
67
23
35–d n
a) · ·· ·
4 9 63 8 5
95=
b) : : ··
88
84
81
721
71
811
722
22 811 7
167–+ + = = =c cm m
c) – – – –
21
143
43
21
81
147
143
86
84
81
14481
7281
167
– –= = = =
d) –
····
··
7 35 62 33 5
71025
2 105 7
47
–– –= = =
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
17
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Potencias de exponente entero
7. Calcula.
a) 35–
2c m b)
73–
1–d n c)
61–
2–c m d)
21
3–d n e)
34
3d n f )
41–
3–d n
a) 35
925
2
2= b) 3
7– c) (– 6)2 = 36
d) 23 = 8 e) 34
2764
33
= f ) –(4)3 = – 64
8. Expresa como potencias de base 10.
a) Cien millones. b) Diez billones.
c) Una milésima. d) Cien mil millones.
e) Una millonésima. f ) Cien milésimas.
g) Diez mil billones. h) Mil centésimas.
a) 100 · 1 000 000 = 102 · 106 = 108 b) 10 · 1012 = 1013
c) 0,001 = 10–3 d) 100 000 · 1 000 000 = 105 · 106 = 1011
e) 0,000001 = 10– 6 f ) 100 · 0,001 = 102 · 10–3 = 10–1
g) 10 000 · 1012 = 104 · 1012 = 1016 h) 1 000 · 0,01 = 103 · 10–2 = 10
9. Calcula.
a) –3 · (4 – 2)–2 + 10 · (5)–1 b) ( )52
51
23 2 5· · –
1 2– –+d dn n c)
53
25
32– · ·
1 2 3– – –d d dn n n
d) :23
47
89
45– –
3 2d dn n e)
23
43
31
97 4– · –
2 1– –+d dn n f )
41
127
45
25
41 4– – · –
1–+d d dn n n
a) –3 · (4 – 2)–2 + 10 · (5)–1 = –3 · (2)–2 + 10 · (5)–1 = 23
510
2015
2040
2025
45– –
2 + = + = =
b) · · ( ) · · ( )52
51
23 2 5 5
2 532 3 2 3
436
34
32– – – –
1 2
22– –
+ = + = = =c cm m
c) · · · · ·53
25
32
35
52
23
5 23
109– – – –
1 2 3
22
3
3 2– – –= = =c c cm m m
d) : : : :23
47
89
45
46
47
89 10
41
81
21
21– – – – – – –
3 2 3 2 3 2 6 6= = =c c c c c c c cm m m m m m m m = –1
e) · ·23
43
31
97 4
46
43
93
97 4– – – –
2 1 2 1– – – –+ = +c c c cm m m m =
= · ··
·43
94 4 3
449 4
3 44 9– – –2 1 2 2– –
+ = + =c c c cm m m m + 4 = –12 + 4 = –8
f ) · ·41
127
45
25
41 4 12
3127
45
410
41
416– – – – – –
1 1– –+ = +c c c c c cm m m m m m =
= · ·124
45
415
31
45
154
31
31– – – – – – –
1–+ = + = +c c c cm m m m = 0
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
18
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
10. Reduce como en el ejemplo.
• ( ) [( ) ]
( ) ( )16 864 4 2
2 22 2 2
2 22 2 2
· –· ·
· –· ·
·· ·
2
2 3
4 3 2
6 2 3
4 6
12 6= = =
22 215
19 9=
a) ( )32
2 4– ·3 2 b)
( )25 5125· –2 2 c)
( )33 9·
5 2
2 4
a) · ( ) ·2
2 22
2 222– – –
5
3 2 2
53 4
57
= = = –22 = – 4
b) ( ) · ( ) ·5 5
55 5
555
51
1251
–2 2 2
3
4 2
3
6
3
3= = = =
c) · ( ) ·3
3 33
3 333
10
2 2 4
10
2 8
10
10= = = 1
Aplica lo aprendido11. La temperatura de un congelador baja 2 °C cada 3 minutos hasta llegar a –18 °C.
¿Cuánto tardará en llegar a –12 °C si cuando lo encendemos la temperatura es de 16 °C?
La diferencia de temperatura entre 16 °C y –12 °C es de 16 + 12 = 28 °C.
Cada 3 minutos, la temperatura baja 2 °C. En bajar 28 °C tardará:
228 · 3 minutos = 14 · 3 = 42 minutos
12. Aristóteles murió en el año 322 a. C. y vivió 62 años. ¿En qué año nació?
(Año en que murió) – (Año en que nació) = N.º de años vividos
(322 a.C.) – (Año en que nació) = 62 → (–322) – (Año en que nació) = 62
–322 – 62 = Año en que nació → –384 = Año en que nació
Aristóteles nació en el año 384 a.C.
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
19
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 22
13. Con una barrica que contiene 510 litros de vino, ¿cuántas botellas de 3/4 de litro se pueden llenar? ¿Cuántas de litro y medio?
510 : ·43
3510 4= = 680 → Se pueden llenar 680 botellas de
43 de litro.
1 litro y medio = 1 + 21
23=
510 : ·23
3510 2= = 340 → Se pueden llenar 340 botellas de litro y medio.
Esteúltimocasotambiénsepuederesolverobservandoque1botelladelitroymedioequivalea 2 botellas de 3/4 de litro. Por tanto, el número de botellas de litro y medio que se pueden
llenar será la mitad del número de botellas de 3/4 de litro: 2680 = 340.
14. Ana se gasta 2/3 del dinero en ropa y 1/4 del total en comida.
a) ¿Cuál es la fracción gastada?
b) ¿Qué fracción le queda por gastar?
c) Si salió de casa con 180 €, ¿qué cantidad no se ha gastado?
a) 32
41
128
123
1211+ = + =
b) 1 – 1211
1212
1211
121–= =
c) 121 de 180 € = 12
180 = 15 € es la cantidad que no se ha gastado.
15. En cierta parcela se cultivan 4/5 partes de trigo y el resto, 100 m2, de maíz. ¿Cuál es la superficie de la parcela?
8 8
8
Trigo 54 partes sobra 5
1
Maíz 51 parte que equivale a 100 m2
_
`
a
bb
bb
Superficie de la parcela = 100 · 5 = 500 m2
16. Con una garrafa de 5/2 de litro se llenan 25 vasos. ¿Qué fracción de litro entra en un vaso?
25 de litro : 25 vasos = :2
5 25 505
101= =
En 1 vaso entra 101 de litro.
17. De una botella de 3/4 de litro se ha consumido la quinta parte. ¿Qué fracción de litro queda?
Si se ha consumido la quinta parte, quedan sin consumir 54 de la botella:
54 de
43 de litro = ·5
443
53= de litro quedan sin consumir.
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
20
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Técnicas de conteo18. En cada caso, ¿cuántos caminos distintos hay para llegar de A a B, sin retroceder
nunca?
a) b) c)
A
B
A
B
A
B
a)
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
Hay5formasdeirdeAaB.
b) Para calcular las diferentes posibilidades, organizamos el problema de la siguiente manera:
•CalculamosloscaminosquehaydeAaBpasandoporC:
A
C DE F
B DeAaChay1caminoydeCaB,4caminos→ 1 · 4 = 4 formas.
C
B
C
B
C
B
C
B
•CalculamosloscaminosquehaydeAaB,pasandoporDysinpasarporC:
DeAaDhay2caminos,ydeDaB,otros3→ 2 · 3 = 6 formas.
A
D
A
D
D
B
D
B
D
B
•CalculamosloscaminosquehaydeAaBpasandoporEperonoporCniD:
DeAaEhay3caminos,ydeEaB,otros2→ 3 · 2 = 6 formas.
A
E
A
E E
A
B
E
B
E
•CalculamosloscaminosquehaydeAaBpasandoporFysinpasarporC,DyE:
DeAaFhay4caminos,ydeFaB,uno→ 4 · 1 = 4 formas.
A
F F
A A
F
A
F
•Portanto,elnúmerototaldecaminosdeAaBes:4+6+6+4=20
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
21
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c)
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
Hay 10 caminos distintos.
19. ¿Cuántos triángulos rectángulos ves en cada una de estas figuras?
a) b)
a) 3 pequeños, 2 medianos y 1 grande. En total, 6 triángulos rectángulos.
b) 4 triángulos pequeños: 3triángulos cuyos catetos miden 2:
2 triángulos cuyos catetos miden 3: 1 triángulo grande:
En total, 4 + 3 + 2 + 1 = 10 triángulos rectángulos.
20. Una manifestación ocupa una superficie de 3 600 m2. Si en un metro cuadrado ca-ben 3 personas, ¿cuántas personas han acudido a la manifestación?
Si en 1 m2 caben 3 personas, en 3 600 m2 cabrán 3 600 · 3 = 10 800 personas.
21. Marta tiene 4 pantalones y 5 camisas. ¿De cuántas formas se puede vestir? ¿Y si ade-más tiene 3 pares de zapatos?
Por cada pantalón que elija, tiene 5 camisas para ponerse; como tiene 4 pantalones, en total tiene 4 · 5 = 20 formas diferentes de vestirse.
Por cada una de las 20 formas anteriores, puede elegir 3 pares de zapatos. En total tendrá 20 · 3 = 60 formas diferentes de vestirse.
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
22
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
22. A la fase final de un campeonato de tenis llegan 4 jugadores. Hay una copa para el campeón y una placa para el subcampeón. ¿De cuántas formas se pueden repartir los premios? Descríbelas.
LlamamosalosjugadoresA,B,CyD.
Hacemos un diagrama en árbol:
En total hay 3 · 4 = 12 formas de repartir los premios.
A
B
C
D
A-BA-CA-DB-AB-CB-DC-AC-BC-DD-AD-BD-C
RESULTADOSUBCAMPEÓNCAMPEÓNBCDACDABDABC
23. Seis amigos organizan un campeonato de pádel, jugando todos contra todos.
a) ¿Cuántos partidos han de jugar?
b) ¿Cuántos partidos jugarían si el campeonato fuera a doble vuelta?
En cada caso, descríbelos usando una tabla.
a)LlamamosalosjugadoresA,B,C,D,EyF.
Usamos la siguiente tabla para contar el número de partidos y describirlos:
En la tabla se refleja que el campeo-nato no es a doble vuelta y que un jugador no juega contra sí mismo. Hay, por tanto, 15 partidos.
a B c d e f
a × A·B A · C A · D A · E A·FB × × B·C B·D B·E B·Fc × × × C · D C · E C·Fd × × × × D · E D·Fe × × × × × E·Ff × × × × × ×
b) Jugarán el doble de partidos que en el apartado anterior, es decir:
15 · 2 = 30 partidos.
Los describimos usando la siguiente tabla:
a B c d e f
a × A·B A · C A · D A · E A·FB B·A × B·C B·D B·E B·Fc C · A C·B × C · D C · E C·Fd D · A D·B D · C × D · E D·Fe E · A E·B E · C E · D × E·Ff F·A F·B F·C F·D F·E ×
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
23
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Resuelve problemas24. Una pelota cae al suelo y se eleva cada vez a los 2/3 de la altura anterior. Tras botar
tres veces, se ha elevado a 2 m. ¿Desde qué altura cayó?
La pelota se encuentra a x metros de altura. Tras el primer bote, se eleva 32 x, tras el segun-
do, ·32
32 x, y tras el tercero, · ·3
232
32 x.
Es decir, 278 x = 2 → x = ·
827 2 = 6,75
La pelota cayó desde 6,75 metros de altura.
25. Un jardinero riega en un día 2/5 partes del jardín. ¿Cuántos días tardará en regar todo el jardín? ¿Cuánto ganará si cobra 50 € por día?
Si en 1 día riega 2/5 partes, en medio día riega 1/5 del jardín.
Todo el jardín lo regará en 5 medios días, es decir, en 2 días y medio.
En 1 día cobra 50 €, en 2 días y medio cobra: 50 · 2,5 = 125 €.
26. En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un día corres-ponden a frutas. De lo recaudado por fruta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a 89 €, ¿qué caja ha hecho el establecimiento?
Naranjas: 83 de ·
65
83
65
4815
165= = =
165 equivale a 89 € →
161 equivale a 17,80 €
Total recaudado: 17,80 · 16 = 284,80 €
27. A Pablo le descuentan al mes, del sueldo bruto, la octava parte de IRPF y la décima parte para la Seguridad Social. Si el sueldo neto es 1 302 €, ¿cuál es su sueldo bruto mensual?
8
88
IRPF 81
S. Social 101 8
1101
405
404
409 Cobra 1 –
409
4031 .+ = + = =
_
`
a
bb
bb
4031 del sueldo bruto = 1 302 → Sueldo bruto = 1302 40
31· = 1 680 €
28. De una clase, 3/7 del total de los estudiantes han ido al museo de ciencias y 2/5 a un concierto.
a) ¿Adónde han ido más estudiantes?
b) Si 6 estudiantes no han ido a ninguna actividad, ¿cuántos estudiantes hay en la clase?
a) Comparamos las fracciones 73 y 5
2 :
873
3515
52
3514 35
153514
73
52> >
=
=
_
`
a
bb
bb
. Han ido más estudiantes al museo de Ciencias.
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
24
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
b)Fraccióndeestudiantesquehanidoaalgunaactividad: 73
52
3515
3514
3529+ = + =
Fraccióndeestudiantesquenohanidoaningunaactividad:1– 3529
3535
3529
356–= =
356 equivale a 6 estudiantes → 35
35 equivaldrá a 35 estudiantes.
En la clase hay 35 estudiantes.
29. De un solar se venden los 2/3 de su superficie y después los 2/3 de lo que quedaba. El ayuntamiento expropia los 3 200 m2 restantes para un parque público. ¿Cuál era la superficie del solar?
1.ª venta → 32 , queda por vender 3
1 2.ª venta → 32 de 3
192=
Fracciónquerepresentaelsolarvendido= 32
92
96
92
98+ = + =
Fracciónquerepresentaelsolarsinvender, 99
98
91– = , que equivale a 3 200 m2.
La superficie del solar será 3 200 · 9 = 28 800 m2.
30. Un obrero ha tardado 1 hora y tres cuartos en acuchillar 3/5 partes de un piso. Si ha empezado a las 10 de la mañana, ¿a qué hora acabará?
1 hora y tres cuartos = 1 + 43
44
43
47= + = de hora
53 partes del piso tarda
47 de hora → 5
1 tardará :47 3 12
7= de hora =
= 127 de 60 minutos = ·
127 60 = 35 minutos
En acuchillar todo el piso tardará 35 · 5 = 175 minutos; es decir, 2 horas y 55 minutos.
Si ha empezado a las 10 de la mañana, acabará a la una menos cinco de la tarde (12 h 55 min) de acuchillar todo el piso.
31. Un tren tarda 3 horas y cuarto en recorrer 5/9 de un trayecto de 918 km.
a) Calcula el tiempo que tarda en realizar el trayecto si sigue a la misma velocidad.
b) ¿Cuál ha sido su velocidad media?
a) 3 horas y cuarto = 3 + 41
413= de hora
En recorrer 95 del trayecto tarda
413 de hora → En recorrer 9
1 tardará:
:413 5 20
13= de hora = 2013 de 60 minutos = ·
2013 60 = 39 minutos
En realizar todo el trayecto tardará 9 · 39 = 351 minutos; esto es, 5 horas y 51 minutos.
b) velocidad = tiempoespacio 5 h y 51 minutos = 5 h +
6051
60351h = h
velocidad /351 60 351
918 60h
918 km ·= ≈ 156,92 km/h
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
25
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 23
32. Una tela para tapizar encoge, al lavarla, 3/20 a lo largo y 7/25 a lo ancho. ¿Cuántos metros se han de comprar de una pieza de 125 cm de ancho para cubrir una superficie de 39,9 m2?
8
8
A lo largo encoge 203 quedan 20
17
A lo ancho encoge 257 quedan 25
18En total, queda 20
17 · 2518
500306=
_
`
a
bb
bb
= 0,612
Despuésdelavarla,queda0,612delasuperficieinicial.
Hay que comprar 39,9 : 0,612 = 65,196 m2 de superficie de tela.
Como el ancho es de 125 cm = 1,25 m, entonces:
Hay que comprar 65,196 : 1,25 = 52,16 m de largo de tela.
33. Ejercicio resuelto.
Ejercicio resuelto en el libro del alumnado.
34. En una bolsa hay bolas rojas y negras, en total casi 250. Sabemos que dos terceras partes de las rojas equivalen a tres quintas partes de las negras. ¿Cuántas hay de cada color?
Llamamos R al número de bolas rojas, y N al de bolas negras.
32
53R N= → 10R = 9N → 9
10RN =
Busquemosunafracciónequivalentea 910 de forma que la suma del numerador y del deno-
minador es próxima a 250 y menor que 250 (10 + 9 = 19, y 250 : 19 = 13, …).
RN
910
117130= =
En la bolsa hay 130 bolas negras y 117 bolas rojas.
Comprobamos que se cumplen las condiciones del enunciado:
130 + 117 = 247 32 · 117 = 78 5
3 · 130 = 78
35. Para construir esta escalera de 3 peldaños se han necesitado 6 bloques.
a) ¿Cuántos bloques se necesitarían para montar una de 4 peldaños? ¿Y una de 5 peldaños?
b) ¿Cuántos bloques son necesarios para formar una de 15 peldaños?
c) Generaliza para una escalera de n peldaños.
a) 3 peldaños → 6 bloques 4 peldaños → 6 + 4 = 10 bloques
5 peldaños → 10 + 5 = 15 bloques
b) 15 peldaños → 15 + 6 + 7 + … + 15 = 120 bloques
c) n peldaños → 1 + 2 + 3 + … + n = ( ) ·n n21+ bloques
Unidad 1. Fracciones y decimales ESO
26
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
36. Esta escalera de 3 peldaños tiene 9 bloques. Calcula:
a) El número de bloques que se habrían necesitado para una de 4 peldaños.
b) Los peldaños que tendría una con 64 bloques.
a) 3 peldaños → 9 bloques (9 = 32) 4 peldaños → 9 + 7 = 16 bloques (16 = 42)
b) Para consumir 64 bloques se necesitan 8 peldaños:
Comprobación: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = ( ) ·2
15 1 8+ = 64
37. Esta escalera de 3 peldaños está construida con 35 bloques. Calcula:
a) Los bloques necesarios para una de 4 peldaños.
b) Los peldaños que tendría una con 286 bloques.
a) 3 peldaños → 35 bloques 4 peldaños → 35 + 72 = 84 bloques
b) 5 peldaños → 84 + 92 = 165 bloques 6 peldaños → 165 + 112 = 286 bloques
Tendría 6 peldaños.
Curiosidades matemáticas
Relaciona
Reproduce esta espiral en un papel cuadriculado y anímate a hacerla un poco más gran-de.
¿Sabrías explicar qué relación tiene con la sucesión de Fibonacci ?
Los radios de los sucesivos arcos que componen la espiral miden:
1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8…
Esdecir,componenlasucesióndeFibonacci.
Cuenta larga
1 + 3 + 5 + 7 + … + 997 + 999– 2 – 4 – 6 – … – 996 – 998
1 + 1 + 1 + 1 + … + 1 + 1 = 2999 1+ = 500
Unidad 2. Números decimales ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
1 Importancia del sistema de numeración decimal
Página 25
Ejemplo
•La tabla recoge la población estimada al 01/01/2016 de los tres países del mundo con ma-yor número de habitantes:
país n.° de habitantes
China 1 374 198 000
India 1 310 214 000
EE.UU. 322 439 000
a) Escribe cómo se lee: ¿Cuántos habitantes tiene EE.UU.?
b) ¿Qué país tiene más habitantes, India o China? ¿Cuántos más?
c) Redondea a la centena de millón las poblaciones de China, India y EE.UU.
•Variación mensual del índice de paro en cierta comunidad autónoma:
Marzo → 1,089 % Abril → –1,11 %
d) ¿En cuál de esos meses el paro sufrió mayor variación?
e) ¿En qué mes subió más el paro?
f ) ¿Cuál es la diferencia entre la variación de marzo y la de abril?
•Estas dos cantidades corresponden a la masa de la Tierra (T) y de un átomo de hidrógeno (H). Ambas están expresadas con todas sus cifras y en notación abreviada:
T → 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg = 5,98 · 1024 kg
H → 0,000 000 000 000 000 000 000 001 660 kg = 1,66 · 10–24 kg
g) ¿Cuál de las dos notaciones te parece más adecuada para esta clase de números? Explica por qué.
• a) Trescientos veintidós millones cuatrocientos treinta y nueve mil habitantes.
b) Tiene más habitantes China. 63 984 000 habitantes más.
c) China → 1 400 000 000
India → 1 300 000 000
E.E.U.U. → 300 000 000
• d) Sufrió más variación en abril.
e) Subió más el paro en marzo.
f ) La diferencia de variación es del 2,199 %
• g) La notación abreviada, puesto que es la más adecuada para números muy grandes y números muy pequeños por ser más práctica y manejable.
Unidad 2. Números decimales ESO
2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 Tipos de números decimales
Página 26
1. Pasa a forma decimal.
a) 65 b)
163 c) 2
d) 227 e)
21
a) ,0 83!
b) 0,1875 c) 1,142135…
d) ,0 318#
e) 0,8755…
2.¿Qué puedes decir de cada correspondiente decimal?
a) 95 b)
94
c) 95
94– d)
95
94+
a) ,0 5!
→ Periódico puro b) ,0 4!
→ Periódico puro
c) ,0 1!
→ Periódico puro d) 1 → Exacto
3.En el problema que se propone a continuación, sustituye m y p por números enteros para obtener, en cada caso, un decimal exacto, otro periódico puro y otro periódico mix-to:
Un caminante avanza m metros en p pasos.
¿Cuántos metros avanza en cada paso?
Decimal exacto: m = 18 metros; p = 4 pasos
En cada paso avanza 418 = 4,5 metros.
Periódico puro: m = 10 metros; p = 3 pasos
En cada paso avanza ,3 3310 =
! metros.
Periódico mixto: m = 13 metros; p = 15 pasos
En cada paso avanza ,1513 0 86=
! metros.
Unidad 2. Números decimales ESO
3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3 De decimal a fracción
Página 27
1. Completa el proceso para expresar como fracción el número A.
A = ,,,
AA0 485
1 000 485 555100 48 555
· …– · – …
==
*!
1 000 · A = 485,555…–100 · A = – 48,555…
900 · A = 437 Luego A = 900
437
2.Identifica cuáles de los números siguientes son racionales y halla la fracción que les co-rresponde:
a) 6,78 b) ,6 78$
c) ,6 78!
d) 3,101001000100001…
e) ,0 004!
f ) π = 3,14159265359…
g) ,0 004&
Son racionales a), b), c), e) y g).
a) 6,78 = 100678
50339=
b) N = ,6 78#
→ 100N = ,678 78#
–N = – ,6 78#
99N = 672
Luego N = 99672
33224=
c) N = ,6 78!
→ 100N = ,678 8!
–10N = – ,67 8!
90N = 611
Luego N = 90611
d) No es racional.
e) N = ,0 004!
→ 1 000N = ,4 4!
–100N = – ,0 4!
900N = 4
Luego N = 9004
2251=
f ) No es racional.
g) N = ,0 004&
→ 1 000N = ,4 004&
–N = – ,0 004&
999N = 4
Luego N = 4999
Unidad 2. Números decimales ESO
4
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3.En la información nutricional de las mermeladas de cierta marca, figuran los siguientes contenidos en azúcar por kilo de producto:
ciruela: 0,240 kg fresa: ,0 4!
kg
melocotón: ,0 36$
kg naranja: ,0 36!
kg
Indica, con una fracción, el contenido en azúcar de cada clase de mermelada.
ciruela: 0,240 kg = 1000240
256= kg fresa: ,0 4 9
4kg =!
N = ,0 4!
→ 10N = ,4 4!
–N = – ,0 4!
9N = 4
melocotón: ,0 36 9936
114kg = =
# naranja: ,0 36 90
333011kg = =
!
N = ,0 36#
→ 100N = , 3636#
–N = – , 360#
99N = 36
N = ,0 36!
→ 100N = ,36 6!
–10N = – ,3 6!
90N = 33
Unidad 2. Números decimales ESO
5
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4 Utilización de cantidades aproximadas
Página 28
1. Aproxima, con un número adecuado de cifras significativas, las siguientes cantidades:
a) Superficie de la Península Ibérica: 583 254 km2.
b) Media de visitas semanales a la página web de una empresa de venta de casas: 13 585.
c) Número de granos en un kilo de arroz: 11 892 583.
d) Número de turistas llegados a cierta localidad costera en el mes de agosto: 87 721.
e) Cantidad de leche en cada uno de los 6 vasos entre los que se ha distribuido una bote-lla de litro.
f ) Peso de cada una de las 12 cadenetas fabricadas con un kilo de oro.
a) La cantidad se puede dar con todas sus cifras: 583 254 km2
Para simplificar se puede decir que la superficie es de 580 000 km2.
b) 14 000 visitas semanales de media.
c) 12 000 000 granos de arroz.
d) 90 000 turistas.
e) Cada vaso contiene, aproximadamente, 0,17 litros.
f ) Aproximadamente 83 gramos.
Unidad 2. Números decimales ESO
6
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 29
2.¿Qué cota darías para el error absoluto, tomando las siguientes aproximaciones en el ejercicio resuelto?
Trozo de cinta → 266,7 cm
Visitantes de un museo → 184 000
Manifestantes → 230 000
Trozo de cinta → error absoluto < 0,05 cm
Visitantes de un museo → error absoluto < 500
Manifestantes → error absoluto < 5 000
3.Da una cota del error absoluto en estos redondeos:
23 483 215 → 23 000 000
0,0034826 → 0,0035
error absoluto < 500 000
error absoluto < 0,00005
4.Da una cota del error absoluto en cada valoración de la actividad 1 de la página anterior.
a) E.A. < 5 000
b) E.A. < 500
c) E.A. < 500 000
d) E.A. < 500
e) 0,005 l
f ) 0,5 g
Unidad 2. Números decimales ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
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5.Berta compra una báscula de baño. En las explicaciones de funcionamiento trae el si-guiente ejemplo:
62,7 kg ≤ < 62,8 kg
a) ¿Con qué error absoluto trabaja la báscula?
b) La báscula marca para Berta 52,3 kg, y para su marido, 85,4 kg. Da una cota del error relativo para cada pesada.
a) E.A. < 0,05 kg
b) Berta: E.R. < ,,
52 30 05 = 9,56 · 10– 4
Marido: E.R. < ,
,85 40 05 = 5,84 · 10– 4
6.Da una cota del error relativo en las valoraciones del ejercicio 4 de la página anterior.
a) E.R. < 5850005000 = 8,54 · 10–3
b) E.R. < 13500500 = 0,037
c) E.R. < 11000 000500 000 = 0,045
d) E.R. < 85500500 = 5,85 · 10–3
e) E.R. < ,,0 170 005 = 0,029
f ) E.R. < ,830 5 = 6,02 · 10–3
7. ¿Verdadero o falso?
a) El error relativo es siempre menor que uno.
b) Cuanto más pequeño sea el error absoluto, más fina es la medición.
c) Cuanto mayor sea el error relativo mayor es también la finura de la medición.
d) El error absoluto nunca es menor que el relativo.
a) Verdadero.
b) Verdadero.
c) Falso.
d) Falso.
Unidad 2. Números decimales ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5 La notación científica
Página 31
1. Expresa con todas sus cifras.
a) 2,63 · 108 b) 5,8 · 10–7
a) 2,63 · 108 = 263 000 000 b) 5,8 · 10–7 = 0,00000058
2.Pon en notación científica, con tres cifras significativas.
a) 262 930 080 080 000 b) 2 361 · 109
c) 0,000000001586 d) 0,256 · 10–10
a) 262 930 080 080 000 ≈ 2,63 · 1014 b) 2 361 · 109 ≈ 2,36 · 1012
c) 0,000000001586 ≈ 1,59 · 10–9 d) 0,256 · 10–10 = 2,56 · 10–11
3.Expresa en gramos, utilizando la notación científica.
a) La masa de la Tierra: 5 974 trillones de toneladas.
b) La masa de un electrón: 9,10 · 10–31 kilos.
a) 5,974 · 1027 g (trillones, 1018; mover la coma, 103; toneladas → g, 106)
b) 9,10 · 10–28 g (kg → g, 103)
4.Considera el dato del ejemplo de arriba:
Población de China: 1 330 140 000 habitantes
Toma una aproximación con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo.
Aproximación: 1 330 000 000 habitantes.
error absoluto < 5 000 000
error relativo < 1330 000 0005000 000 = 3,76 · 10–3
5.El volumen de la Tierra, aproximadamente, es:
1 083 210 000 000 km3
Exprésalo en metros cúbicos, con tres cifras significativas, y da una cota del error absolu-to y otra del error relativo.
1,08 · 1021
error absoluto < 5 · 1018
error relativo < , ·
·1 08 10
5 1021
18 = 4,63 · 10–3
Unidad 2. Números decimales ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 32
6.Calcula.
a) 2,25 · 1015 – 3,44 · 1014 b) 1,05 · 10–9 + 1,8 · 10–9
c) 1,8 · 1011 · 1,4 · 10 – 4 d) 4,25 · 106 : 1,7 · 10 –9
e) ,,
4 60 106 21 10
··
6
7– f )
,, ,
4 1 109 5 10 3 4 10
·· – ·
11
7 8
a) 2,25 · 1015 – 0,344 · 1015 = (2,25 – 0,344) · 1015 = 1,906 · 1015
b) (1,05 + 1,8) · 10–9 = 2,85 · 10–9
c) (1,8 · 1,4) · 1011 – 4 = 2,52 · 107
d) (4,25 : 1,7) · 106 –(–9) = 2,5 · 1015
e) ,,
4 606 12 · 10–7 – 6 = 1,35 · 10–13
f ) , ·
( , , ) ·, ·, ·
,,
4 1 100 95 3 4 10
4 1 102 45 10
4 12 45– – –
11
8
11
8= = · 108 – 11 = –0,59 · 10–3 = –5,9 · 10– 4
7.Busca los datos necesarios y calcula.
a) ¿Cuántas veces cabría la Luna dentro de la Tierra?
b) ¿Cuántas Lunas habría que juntar para conseguir la masa de la Tierra?
a) Volúmenes: Tierra = 1,0833 · 1012 km3 Luna = 2,199 · 1010 km3
, ·, ·2 199 101 0833 10
10
12 = 0,49 · 102 = 49 veces cabría la Luna dentro de la Tierra.
b) Masas: Tierra = 5,972 · 1024 kg Luna = 7,349 · 1022 kg
, ·, ·
7 349 105 972 10
22
24 = 0,81 · 102 = 81 Lunas habría que juntar
8.Busca los datos necesarios y calcula.
Si explotara una estrella en Alfa Centauri, ¿cuánto tiempo tardaríamos en saberlo en la Tierra?
La estrella Alfa Centauri se encuentra a 4,5 años luz de la Tierra. La luz tardará entonces 4,5 años en llegar a la Tierra.
4,5 años = 4,5 · 365,25 días = 4,5 · 365,25 · 24 h = 3,9 · 104 horas.
9.Calcula la masa, en gramos, de una molécula de agua con los datos siguientes:
— Masa molar del agua: 18 g/mol
— N.° de Avogadro: 6,022 · 1023
(Busca información sobre el significado del número de Avogadro).
El número de Avogadro es el número de moléculas en un mol de una sustancia cualquiera.
Por tanto, en un mol de agua que pesa 18 g, hay 6,022 · 1023 moléculas, por lo que cada una pesará:
, ·6 022 1018
23 = 2,99 · 10–23 g
Unidad 2. Números decimales ESO
10
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 33
10.Halla con calculadora.
a) 1/3005
b) (3,145 · 10–7) · (2,5 · 1018)
c) 5,83 · 109 + 6,932 · 1012 – 7,5 · 1010
a) · ·
·300
13 100
1243 10
12431 105 5 5 10
10–= = = ≈ 0,00412 · 10–10 = 4,12 · 10–13
b) (3,145 · 10–7) · (2,5 · 1018) = (3,145 · 2,5) · 1011 = 7,863 · 1011
c) 5,83 · 109 + 6,932 · 1012 – 7,5 · 1010 = 0,00583 · 1012 + 6,932 · 1012 – 0,075 · 1012 =
= (0,00583 + 6,932 – 0,075) · 1012 = 6,863 · 1012
Unidad 2. Números decimales ESO
11
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Ejercicios y problemas
Página 34
Practica
Relación entre número decimal y fracción
1. Calcula mentalmente el número decimal equivalente a cada fracción.
a) 43 b)
51 c)
58 d)
1017
e) 10015 f )
245 g)
207 h)
2531
a) 0,75 b) 0,2 c) 1,6 d) 1,7
e) 0,15 f ) 22,5 g) 0,35 h) 1,24
2. Transforma en número decimal las siguientes fracciones:
a) 9
121 b) 4
753 c) 181 d)
112 e)
849
a) ,13 4!
b) 188,25 c) ,0 05!
d) ,0 18#
e) 6,125
3. Clasifica los siguientes números racionales en decimales exactos y decimales perió-dicos:
a) 8
13 b) 27
139 c) 1125
d) 250
9 e) 66
131 f ) 18
223
a) 1,625 b) ,5 148&
c) ,2 27#
d) 0,036 e) ,1 984#
f) ,12 38!
Son decimales exactos a) y d), y decimales periódicos, b), c), e) y f ).
4. Expresa en forma de fracción irreducible.
a) 1,321 b) ,2 4!
c) 0,008 d) ,5 54$
e) ,2 35$
f ) ,0 036$
g) ,0 945&
h) ,0 116!
a) 1,321 = 10001321
b)
, …, …
NN
10 24 4442 44410 2
==
4 Restando: 10N – N = 22 → 9N = 22 → N = ,8922 2 4 9
22=!
c) 0,008 = 10008
1251=
d)
, …, …
NN
100 554 5454545 545454100 55
==
4 Restando: 100N – N = 549 → N = ,899549
1161 5 54 11
61= =#
Unidad 2. Números decimales ESO
12
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
e)
, …, …
NN
100 235 35352 3535100 22
==
3 Restando: 100N – N = 233 → N = ,899233 2 35 99
233=#
f )
, …, …
NN
1000 36 363610 0 363600 3
==
3 Restando: 1 000N – 10N = 36 → N = 99036
552=
Por tanto: ,0 036 552=
#
g)
, …, …
NN
1000 945 9459450 9459451000 94
==
4 Restando: 1 000N – N = 945 → N = 999945
3735=
Por tanto: ,0 945 3735=
&
h)
, …, …
NN
1000 116 6666100 11 66660 6
==
3 Restando: 1 000N – 100N = 105 → N = 900105
607=
Por tanto: ,0 116607=
!
5. Comprueba, pasando a fracción, que los siguientes números decimales corresponden a números enteros:
, ; , ; , ; ,1 9 2 9 7 9 11 9! ! ! !
Observando el resultado obtenido, ¿qué número entero le corresponde a ,126 9!
?
•Llamamos:N = 1,999… → 10N = 19,999…
10N – N = 19 – 1 → 9N = 18 → N = 2
Luego: ,1 9!
= 2
•Llamamos:N = 2,99… → 10N = 29,99…
10N – N = 29 – 2 → 9N = 27 → N = 3
Luego: ,2 9!
= 3
•Llamamos:N = 7,99… → 10N = 79,99…
10N – N = 79 – 7 → 9N = 72 → N = 8
Por tanto: ,7 9!
= 8
•Llamamos:N = 11,99… → 10N = 119,99…
10N – N = 119 – 11 → 9N = 108 → N = 12
Luego: ,11 9!
= 12
A ,126 9!
, le corresponde el número entero 127.
6. Ordena de menor a mayor.
5,53; ,5 53$
; ,5 53!
; 5,5; 5,56; ,5 5!
5,5 < 5,53 < , , ,5 53 53 55 5< <! # !
< 5,56
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13
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7. ¿Cuáles de los siguientes números pueden expresarse como fracción?:
3,45; ,1 003!
; 2; 2 + 5; π; ,1 117&
Escribe la fracción que representa a cada uno en los casos en que sea posible.
Se pueden expresar como fracción: 3,45; ,1 003!
y ,1 142857*
•3,45= 100345
2069=
• ,1 003!
, …, …
NN
1000 1003 333100 100 3330 0
==
3 1 000N – 100N = 903 → N = ,8900903
300301 1 003 300
301= =!
• ,1 142857*
, …, …
NN
1000 000 1142857 1428571 1428571000 000 142 857
==
4 1 000 000N – N = 1 142 856 → N = 999 9991142856
78=
,1 142857 78=
*
8. Escribe, en cada caso, un decimal exacto y un decimal periódico comprendidos en-tre los números dados:
a) 3,5 y 3,6 b) ,3 4!
y ,3 5!
c) ,3 25!
y ,3 256$
a) Exacto → 3,55 Periódico → ,3 51!
b) Exacto → 3,47 Periódico → ,3 452#
c) Exacto → 3,26 Periódico → ,3 258!
Números aproximados. Errores
9. Aproxima a las centésimas.
a) 0,318 b) 3,2414 c) 18,073
d) 71
100 e) 1325 f )
765
a) 0,32
b) 3,24
c) 18,07
d) 71100 = 1,4084507 → la aproximación a las centésimas es 1,41
e) 1325 = 1,9230769 → la aproximación a las centésimas es 1,92
f ) 765 = 9,2857142 → la aproximación a las centésimas es 9,29
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14
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10. Calcula:
a) El error absoluto cometido en cada una de las aproximaciones realizadas en el ejerci-cio anterior.
b) Una cota del error relativo cometido en cada caso.
a) a) E. absoluto = |0,318 – 0,32| = 0,002 b) E. absoluto = |3,2414 – 3,24| = 0,0014
c) E. absoluto = |18,073 – 18,07| = 0,003 d) E. absoluto = ,71100 1 41– ≈ 0,0015
e) E. absoluto = ,1325 1 92– ≈ 0,003 f ) E. absoluto = ,7
65 9 29– ≈ 0,004
b) En todos los casos, al haber redondeado a las centésimas, el error absoluto es menor que 0,005.
a) Error relativo < ,,
0 3180 005 < 0,016 b) Error relativo <
,,
3 24140 005 < 0,002
c) Error relativo < ,,
18 0730 005 < 0,0003 d) Error relativo <
/,
100 710 005 < 0,004
e) Error relativo < /
,25 130 005 < 0,003 f ) Error relativo <
/,65 7
0 005 < 0,00054
11. Expresa con un número adecuado de cifras significativas.
a) Audiencia de cierto programa de televisión: 3 017 849 espectadores.
b) Tamaño de un virus: 0,008375 mm.
c) Resultado de 157.
d) Precio de un coche: 18 753 €.
e) Presupuesto de un ayuntamiento: 987 245 €.
f) Porcentaje de votos de un candidato a delegado: 37,285 %.
g) Capacidad de un pantano: 3 733 827 000 l.
a) 3 000 000 espectadores. b) 0,008 mm
c) 157 = 170 859 375 → 170 000 000 d) 19 000 €
e) 1 000 000 € f ) 37 %
g) 3 750 000 000 l
12. Calcula, en cada uno de los apartados del ejercicio anterior, el error absoluto y el error relativo de las cantidades dadas como aproxima ciones .
a) Error absoluto = 17 849; Error relativo = 3 017 849
17 849 ≈ 0,006
b) Error absoluto = 0,000375; Error relativo = ,,
0 0083750 000375 ≈ 0,04
c) Error absoluto = 859 375; Error relativo = 170859 375859 375 ≈ 0,005
d) Error absoluto = 247; Error relativo = 18 753247 ≈ 0,013
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15
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e) Error absoluto = 12 755; Error relativo = 987 24512 755 ≈ 0,013
f ) Error absoluto = 0,285; Error relativo = ,,
37 2850 285 ≈ 0,008
g) Error absoluto = 16173 000; Error relativo = 3 733827 00016173 000 ≈ 0,004
13. Indica, en cada caso, en cuál de las aproximaciones se comete menor error absoluto:
a) ,1 37$
≈ ,,
1 31 4
b) 6
17 ≈ ,,
2 82 9
a) Si tomamos 1,3 como aproximación de 1,37 → Error absoluto = |1,37 – 1,3| = 0,07.
Si tomamos 1,4 → Error absoluto = |1,37 – 1,4| = 0,03.
Se comete menor error absoluto tomando 1,4 como valor aproximado.
b) Tomando 2,8 como aproximación → Error absoluto = , ,617 2 8 30 0– =
!.
Tomando 2,9 → Error absoluto = , ,617 2 9 60 0– =
!.
Hay menor error absoluto tomando 2,8 como aproximación.
Notación científica
14. Expresa con una potencia de base 10.
a) 1 000 b) 1 000 000 c) 1 000 000 000
d) 0,001 e) 0,000001 f ) 0,000000001
a) 103 b) 106 c) 109
d) 10–3 e) 10– 6 f ) 10–9
15. Expresa con todas las cifras.
a) 6,25 · 108 b) 2,7 · 10–4 c) 3 · 10–6
d) 5,18 · 1014 e) 3,215 · 10–9 f ) –4 · 10–7
a) 625 000 000 b) 0,00027 c) 0,000003
d) 518 000 000 000 000 e) 0,000000003215 f ) –0,0000004
16. Escribe en notación científica.
a) 4 230 000 000 b) 0,00000004
c) 84 300 d) 0,000572
a) 4,23 · 109 b) 4 · 10–8
c) 8,43 · 104 d) 5,72 · 10– 4
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16
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Página 35
17. Relaciona cada uno de estos números con la medida de una de las magnitudes indi-cadas debajo:
Números: 5,97 · 1021; 1,5 · 10–1; 9,1 · 10–31
Magnitudes:
Paso de un tornillo en milímetros.
Masa del electrón en kilogramos.
Masa de la Tierra en toneladas.
5,97 · 1021 → Masa de la Tierra en toneladas.
1,5 · 10–1 → Paso de un tornillo en milímetros.
9,1 · 10–31 → Masa del electrón en kilogramos.
18. Expresa en notación científica.
a) Recaudación de las quinielas en una jornada de liga de fútbol: 1 628 000 €.
b) Diámetro, en metros, de una punta de alfiler: 0,1 mm.
c) Presupuesto destinado a Sanidad: 525 miles de millones.
d) Diámetro de las células sanguíneas: 0,00075 mm.
a) 1,628 · 106 €
b) 10–1 mm = 10– 4 m
c) 525 miles de millones = 525 · 103 · 106 = 525 · 109 = 5,25 · 1011 € 103 106
d) 7,5 · 10– 4 mm
19. Reduce.
a) 10
10 10·6
5 2 b)
1010 10·
8
2 4 c)
10 1010 10
··
4 8
5 7 d)
10 1010 10
··
2 3
0 1
a) 10
101010
6
5 2
6
7=
+ = 107 – 6 = 10 b)
1010
1010
82 4
86
=+
= 106 – 8 = 10–2
c) 1010
1010
4 8
5 71212
=+
+ = 100 = 1 d)
1010
51
= 10– 4
20. Calcula mentalmente:
a) (1,5 · 107) · (2 · 105) b) (3 · 106) : (2 · 10–3)
c) (4 · 10–12) : (2 · 10–4) d) 9 10· 4
e) (2 · 10–3)3 f ) 8 10· 6–
a) (1,5 · 2) · 107 + 5 = 3 · 1012 b) (3 : 2) · 106 – (–3) = 1,5 · 109
c) (4 : 2) · 10–12 – (– 4) = 2 · 10–8 d) ·9 104 = 3 · 104/2 = 3 · 102
e) 23 · (10–3)3 = 8 · 10–9 f ) ·8 103 63 – = 2 · 10– 6/3 = 2 · 10–2
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21. Calcula con lápiz y papel, expresa el resultado en notación científica y compruébalo con la calculadora.
a) (3,5 · 107) · (4 · 108) b) (5 · 10–8) · (2,5 · 105) c) (1,2 · 107) : (5 · 10–6)
d) (6 · 10–7)2 e) 121 10· 6– f ) (5 · 104)3
a) (3,5 · 4) · 107 + 8 = 14 · 1015 = 1,4 · 1016
b) (5 · 2,5) · 10–8 + 5 = 12,5 · 10–3 = 1,25 · 10–2
c) (1,2 : 5) · 107 – (– 6) = 0,24 · 1013 = 2,4 · 1012
d) 36 · 10–14 = 3,6 · 10–13
e) 11 · 10– 6/2 = 11 · 10–3 = 1,1 · 10–2
f ) 125 · 1012 = 1,25 · 1014
22. Calcula utilizando la notación científica y comprueba, después, con la calculadora.
a) 5,3 · 108 – 3 · 1010 b) 3 · 10–5 + 8,2 · 10–6
c) 3,1 · 1012 + 2 · 1010 d) 6 · 10–9 – 5 · 10–8
a) 5,3 · 108 – 300 · 108 = (5,3 – 300) · 108 = –294,7 · 108 = –2,947 · 1010
b) 3 · 10–5 + 0,82 · 10–5 = (3 + 0,82) · 10–5 = 3,82 · 10–5
c) 310 · 1010 + 2 · 1010 = (310 + 2) · 1010 = 312 · 1010 = 3,12 · 1012
d) 0,6 · 10–8 – 5 · 10–8 = (0,6 – 5) · 10–8 = – 4,4 · 10–8
23. Expresa en notación científica y calcula.
a) (75 800)4 : (12 000)2 b) ,
,1 520 000 0 00302
0 000541 10 318 000·
· c) , ,0 00003 0 00015
2 700 000 13 000 000––
a) (7,58 · 104)4 : (1,2 · 104)2 = [(7,58)4 · 1016] : [(1,2)2 · 108] = ( , )( , )
1 27 58
2
4 · 1016 – 8 =
= 2 292,52 · 108 = 2,29252 · 1011 ≈ 2,29 · 1011
b) , · · , ·
, · · , ·( , · , ) ·
( , · , ) ·,
,1 52 10 3 02 10
5 41 10 1 0318 101 52 3 02 10
5 41 1 0318 104 5904
5 5820386 3
4 7
3
3
–
–= = ≈ 1,216
c) ,( )
( , ) , ,3 10 15 102 7 10 13 10
3 15 102 7 13 10
12 1010 3 10 0 8583
· – ·· – ·
– ·– ·
– ·– ·
5 5
6 6
5
6
5
6
– – – –= = =!
· 1011
24. Utiliza la calculadora para efectuar las siguientes operaciones y expresa el resultado con dos y con tres cifras significativas.
a) (4,5 · 1012) · (8,37 · 10–4) b) (5,2 · 10–4) · (3,25 · 10–9)
c) (8,4 · 1011) : (3,2 · 10–6) d) (7,8 · 10–7)3
a) (4,5 · 8,37) · 1012 – 4 = 37,665 · 108 ≈ 3,7665 · 109
Con 3 cifras significativas → 3,77 · 109
Con 2 cifras significativas → 3,8 · 109
b) (5,2 · 3,25) · 10– 4 – 9 = 16,9 · 10–13 = 1,69 · 10–12 ≈ 1,7 · 10–12
c) (8,4 : 3,2) · 1011 – (– 6) = 2,625 · 1017 ≈ 2,63 · 1017 ≈ 2,6 · 1017
d) (7,8)3 · 10–7 · 3 = 474,552 · 10–21 = 4,74552 · 10–19 ≈ 4,75 · 10–19 ≈ 4,8 · 10–19
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18
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25. Calcula utilizando la notación científica. Expresa el resultado con tres cifras signifi-cativas y da una cota del error absoluto cometido en cada caso:
a) (7,5 · 106) : (0,000086)
b) , ,0 00015 0 00003
13 000 000 2 700 000·–
c) 328 000 000 · (0,0006)2
d) (45 000)2 – 85 400 000
a) (7,5 · 106) : (8,6 · 10–5) = (7,5 : 8,6) · 106 –(–5) = 0,872093023 · 1011 = 8,72093023 · 1010
El resultado con tres cifras significativas es 8,72 · 1010.
error absoluto < 5 · 107
b) · ·
, · , ··
, ·, ·, · , · , ·
15 10 3 101 3 10 0 27 10
12 101 03 10
1 2 101 03 10 0 8583 310 8 58 10
––5 5
7 7
5
7
4
711 10
– – – –= = = =
! !
Tomando tres cifras significativas, obtenemos 8,58 · 1010.
error absoluto < 5 · 107
c) 3,28 · 108 · (6 · 10– 4)2 = 3,28 · 108 · 36 · 10–8 = 3,28 · 36 = 118,08 = 1,1808 · 102
El resultado, con tres cifras significativas, es 1,18 · 102.
error absoluto < 5 · 10–1
d) (4,5 · 104)2 – 8,54 · 107 = 20,25 · 108 – 8,54 · 107 = 193,96 · 107 = 1,9396 · 109
Tomando tres cifras significativas, obtenemos 1,94 · 109.
error absoluto < 5 · 106
Aplica lo aprendido26. Comprueba, pasando a fracción, que el resultado de estas operaciones es un número
entero.
a) , ,6 17 3 82+$ $
b) , : ,4 36 0 16$ $
c) , ,2 69 9 3+!
d) , : , ,1 4 1 5 0 1+!
a)•Pasamos ,6 17#
a fracción:
N = 6,1717… 100N = 617,1717…
100N – N = 617 – 6 → 99N = 611 → N = 99611 → ,6 17 99
611=#
•Pasamos , 823#
a fracción:
N = 3,8282… 100N = 382,8282…
100N – N = 382 – 3 → 99N = 379 → N = ,899 3 8237999379=
#
Por tanto: , ,6 17 823 99611
99379
99990+ = + =
# # = 10
Unidad 2. Números decimales ESO
19
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
b)•Pasamos ,4 36#
a fracción:
N = 4,3636… 100N = 436,3636…
100N – N = 436 – 4 → 99N = 432 → N = ,899432 4 36 99
432=#
•Pasamos ,0 16#
a fracción:
N = 0,1616… 100N = 16,1616…
100N – N = 16 – 0 → 99N = 16 → N = ,89916 0 16 99
16=#
Por tanto: , : , :4 36 1630 99432
9916
16432= =
# # = 27
c)•Pasamosafracciónelnúmero ,2 69!
:
N = 2,6999… 10N = 26,9999… 100N = 269,9999…
100N – 10N = 269 – 26 → 90N = 243 → N = ,890243 2 69 90
243=!
•Pasamosafracciónelnúmero9,3:9,3= 1093
Por tanto: , ,2 69 9 3 90243
1093
90243
90837
901080+ = + = + =
! = 12
d)•Pasamosafracciónlosnúmerosdecimalesexactos:
1,4 = 1014 0,1 = 10
1
•Pasamosafracciónelnúmero ,1 5!
:
N = 1,555… 10N = 15,555…
10N – N = 15 – 1 → 9N = 14 → N = ,8914 1 5 9
14=!
Por tanto: , : , , :1 4 1 5 0 1 1014
914
101
109
101
1010+ = + = + =
! = 1
27. Utiliza la calculadora para expresar en forma decimal las siguientes fracciones:
, , , , ,5
1796
238
5920
1299
4257
45
Observa los denominadores y razona sobre qué condición ha de cumplir una fracción para que pueda transformarse en un decimal exacto o periódico.
579 = 15,8 ,
623 3 83=
! 8
59 = 7,375
20129 = 6,45 ,9
425 47 2=!
,745 6 428571=
*Una fracción se transforma en un número decimal exacto si el denominador de la fracción
solo tiene como factores primos el 2 y el 5. Eso le ocurre a las fracciones 579 , 8
59 y 20129 .
Sin embargo, si el denominador tiene factores distintos de 2 o 5, la expresión decimal corres-
pondiente es periódica. Eso le ocurre a las fracciones 623 , 9
425 y 745 .
Unidad 2. Números decimales ESO
20
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
28. Di cuál es la vigésima cifra decimal de estos números cuando los expresamos como decimales.
a) 11147 b)
990123 c)
1345
a) ,11147 0 423=
& → La vigésima cifra decimal (20 = 6 · 3 + 2) coincidirá con la que ocupa la
segunda posición; en este caso, el 2.
b) ,990123 0 124=
# → La vigésima cifra decimal coincidirá con la primera cifra del periodo
(20 – 1 = 19 y 19 = 9 · 2 + 1); en este caso, el 2.
c) ,1345 3 461538=
* → La vigésima cifra decimal coincidirá con la que ocupa el segundo
lugar (20 = 6 · 3 + 2); en este caso, el 6.
29. Los números 2,5 y 2,6 son dos aproximaciones del valor n = 18/7.
a) Calcula el error absoluto en cada caso. ¿Cuál de los dos es más próximo a n ?
b) Calcula en cada caso una cota del error relativo.
a) 718 ≈ 2,571
La aproximación 2,6 está más próxima a 718 .
Aproximando a 2,5 → Error absoluto = 2,571 – 2,5 = 0,071
Aproximando a 2,6 → Error absoluto = 2,6 – 2,571 = 0,029
b) Tomando como aproximación 2,5 → Error relativo = /
,18 7
0 071 < 0,028.
Tomando como aproximación 2,6 → Error relativo = /
,18 7
0 029 < 0,0113.
Unidad 2. Números decimales ESO
21
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 36
30. Escribe una aproximación de los siguientes números con un error menor que cinco milésimas:
a) 5,7468 b) 12,5271 c) 8,0018
a) Tomando 5,75 como aproximación, el error absoluto que se comete es:
5,75 – 5,7468 = 3,2 · 10–3 < 0,005
b) Aproximando a 12,53 el error absoluto será: 2,53 – 12,5271 = 2,9 · 10–3 < 0,005
c) Tomando 8 como aproximación, el error absoluto será: 8,0018 – 8 = 1,8 · 10–3 < 0,005
31. Indica cuánto ha de valer n para que se verifique cada igualdad:
a) 0,0000000023 = 2,3 · 10n
b) 87,1 · 10–6 = 8,71 · 10n
c) 1 250 000 = 1,25 · 10n
d) 254,2 · 104 = 2,542 · 10n
e) 0,000015 · 10–2 = 1,5 · 10n
a) 0,0000000023 = 2,3 · 10–9 → n = –9
b) 87,1 · 10– 6 = ,10
87 1 · 10– 6 · 10 = 8,71 · 10–5 → n = –5
c) 1 250 000 = 1,25 · 106 → n = 6
d) 254,2 · 104 = ,100
254 2 · 104 · 102 = 2,542 · 106 → n = 6
e) 0,000015 · 10–2 = 1,5 · 10–5 · 10–2 = 1,5 · 10–7 → n = –7
32. Un coche comprado hace 7 años por 17 500 €, se vende hoy por 5 800 €. ¿Cuál ha sido el coste por día? Da una cota del error absoluto y otra del error relativo de tu res-puesta.
El valor que ha perdido el coche es 17 500 – 5 800 = 11 700 €.
7 años = 7 · 365 días = 2 555 días
El coste por día será 2 55511700 = 4,58 €.
error absoluto < 0,005
error relativo < ,,4 580 005 < 1,09 · 10–3
Unidad 2. Números decimales ESO
22
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
33. Un caminante se entretiene contando sus pasos en un circuito de senderismo, seña-lizado con banderolas cada 100 metros.
En 100 metros → 123 pasos
En 500 metros → 622 pasos
En un kilómetro → 1 214 pasos
¿Cuánto avanza por término medio en cada paso?
¿Qué dato has utilizado? Explica por qué.
Eln los 100 primeros metros avanza, en cada paso, 123100 = 0,81 metros.
En los 500 primeros metros avanza, en cada paso, 622500 = 0,8 metros.
En los 1 000 primeros metros avanza, en cada paso, 12141000 = 0,82 metros.
Por término medio, en cada paso avanza 0,82 metros. Se ha utilizado el último dato, los pasos que ha dado en los últimos 1 000 metros, ya que en este dato están incluidos los anteriores.
34. Ejercicio resuelto.
Ejercicio resuelto en el libro del alumnado.
35. El presupuesto destinado a infraestructuras para cierta región es de 3 430 millones de euros.
a) Expresa la cantidad en notación científica.
b) Da una cota del error absoluto y otra del error relativo cometido al tomar dos cifras significativas.
a) 3 430 millones = 3 430 · 106 = 3,43 · 109 €.
b) Con dos cifras significativas, la cantidad es 3,4 · 109; es decir, 34 cientos de millones de euros.
error absoluto < 0,5 cientos de millones = 0,5 · 102 · 106 = 5 · 107
error relativo < 3 430
503 430 millones
0,5 cientos de millones = < 0,02
36. El consumo de agua en España es, aproximadamente, de 142 litros por habitante y día.
¿Cuál es el consumo anual, en metros cúbicos, de toda la población? Da el resultado en notación científica con una cota del error absoluto y otra del error relativo.
142 l por habitante y día, luego serán 142 · 365 = 51 830 = 5,183 · 104 l al año.
En España, al finalizar 2015, había una población de aproximadamente 46,5 millones de personas, es decir, 4,65 · 107 personas.
Luego: (5,183 · 104) · (4,65 · 107) = 24,1 · 1011 = 2,41 · 1012 l será el consumo de toda la población en un año.
Pasamos el resultado a m3: 2,41 · 1012 l = 2,41 · 1012 dm3 = 2,41 · 109 m3
error absoluto < 0,005 · 109
error relativo < , ·
, ·2 41 10
0 005 109
9 = 2,07 · 10–3
Unidad 2. Números decimales ESO
23
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
37. La masa del Sol es unas 330 000 veces la de la Tierra, y esta es 5,97 · 1021 t. Expresa en notación científica la masa del Sol en kilogramos.
MSol = 330 000 · 5,97 · 1021 = 33 · 5,97 · 1025 = 1,9701 · 1027 t
MSol = 1,9701 · 1030 kg
Resuelve problemas38. Dos problemas inversos.
a) Un ciclista avanza a la velocidad de 22,7 km/h. ¿Cuál es su velocidad en metros por segundo?
b) Un peatón camina a razón de dos pasos por segundo, avanzando 0,85 m en cada pa-so. ¿Cuál es su velocidad en kilómetros por hora?
a) , ·3 600
22 7 1000 = 6,3 m/s
b) v = te
1 s1,7 m= = 1,7 m/s →
/, : ,1 3 600
1 7 10001000
1 7 3 600·= = 6,12 km/h
39. Un conductor se detiene a repostar en una gasolinera cuando se enciende la luz de reserva. Pone 54,8 litros de gasoil, a 1,047 €/l y no vuelve a repostar hasta que se vuel-ve a encender el piloto de reserva, 912 km después.
a) ¿Cuánto abona en la gasolinera?
b) ¿Cuál es el gasto en combustible de su vehículo? (en litros/100 km)
c) ¿Cuál es el gasto, en euros, por cada 100 km?
a) 54,8 · 1,047 = 57,38 €
b) Ha gastado, en 912 km, 54,8 l. Por tanto en 100 km habrá gastado:
,91254 8 · 100 = 6,01 l
c) Por cada 100 km, gastará 6,01 · 1,047 = 6,29 €
40. Una máquina embotelladora llena 5 botellas de refresco cada 1,55 segundos. ¿Cuán-to tardará en llenar una tanda de 20 000 botellas?
Botellas de refresco Tiempo5 1,55
20 000 x
Luego x = , ·5
1 55 20 000 = 6 200 segundos
Tardará 6 200 segundos en llenar una tanda de 20 000 botellas
Unidad 2. Números decimales ESO
24
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
41. Un hostelero compra una partida de 100 botellas de vino, de 75 cl, a 6,80 €/botella, y lo ofrece en el restaurante a 11,90 € la botella y 3,50 € la copa de 15 cl.
¿Cuál es finalmente la ganancia si ha colocado 73 botellas enteras y el resto por copas?
•Lacompralesupone100·6,80=680€
•Las73botellasenteraslasvendepor:73·11,90=868,70€
•Con100–73=27botellasrestantespuedeservir135copas
27 · 75 = 2 025 cl en las 27 botellas
152 025 = 135 copas
Luego con las copas gana: 135 · 3,50 = 472,50 €
•Entotalgana868,70+472,50=1341,20€
•Lasgananciasson1341,20–680=661,20€
Unidad 2. Números decimales ESO
25
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 37
42. Una fábrica de alimentos para ganado prepara cierto tipo de pienso con los siguien-tes componentes, cantidades y precios:
cantidad precio
maíz 1,75 t 178 €/t
cebada 2,150 t 164 €/t
colza 0,5 t 327 €/t
salvado 0,85 t 275 €/t
harina de pescado 250 kg 1,58 €/kg
otros 375 €
Después comercializa el pienso envasado en sacos de 20 kilos. ¿A cuánto sale cada saco?
Maíz → 1,75 · 178 = 311,50 €
Cebada → 2,150 · 164 = 352,60 €
Colza → 0,5 · 327 = 163,50 €
Salvado → 0,85 · 275 = 233,75 €
Harina de pescado → 250 · 1,58 = 395 €
Otros → 375 €
En total: 1 831,35 €
El total de pienso asciende a: Maíz = 1 750 kg
Cebada = 2 150 kg
Colza = 500 kg 5 500 kg
Salvado = 850 kg
Harina de pescado = 250 kg
Podemos envasar 205500 = 275 sacos
Cada saco costará: ,275
1831 35 = 6,66 €
43. Vamos a comprar un tablero de aglomerado de 1,20 m × 0,80 m.
a) ¿Cuánto nos costará si se vende a 13,85 €/m2?
b) ¿Cuánto pesará si el catálogo anuncia 6,99 kg/m2?
a)
0,80 m Super�cie = 0,96 m2
1,20 m
Costará 0,96 · 13,85 = 13,30 €
b) Pesará 0,96 · 6,99 = 6,71 Kg
Unidad 2. Números decimales ESO
26
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
44. El ser vivo más pequeño es un virus que pesa del orden de 10–18 g, y el más grande es la ballena azul, que pesa, aproximadamente, 138 t. ¿Con cuántos virus igualaríamos el peso de una ballena?
1 t tiene 106 g; por tanto, 138 t tendrán 1,38 · 108 g.
Como un virus pesa 10–18 g, entonces la ballena azul necesita:
, ·10
1 38 1018
8
– = 1,38 · 1026 virus para conseguir su peso.
45. Si en 50 kg de arena hay unos 3 · 106 granos, ¿cuántos granos habrá en una tonela-da?
1 tonelada = 1 000 kg = 20 · 50 kg
En 50 kg hay 3 · 106 granos. En 1 tonelada habrá 20 · 3 · 106 = 60 · 106 = 6 · 107 granos.
46. La dosis de una vacuna es 0,05 cm3. Si tiene 100 000 000 bacterias por cm3, ¿cuán-tas bacterias hay en una dosis? Exprésalo en notación científica.
En 1 cm3 hay 108 bacterias → en una dosis habrá:
0,05 · 108 = 5 · 10–2 · 108 = 5 · 106 bacterias
47. Si la velocidad de crecimiento del cabello humano es 1,6 · 10–8 km/h, ¿cuántos cen-tímetros crece el pelo en un mes? ¿Y en un año?
Calculamos el número de horas que hay en un mes: 30 · 24 = 720 h
Crecimiento del pelo en 1 mes:
1,6 · 10–8 · 720 km = 1 152 · 10–8 km = 1,152 · 10–5 km ≈ 1,15 · 10–5 km = 1,15 cm
Calculamos el número de horas que hay en un año:
365 · 24 = 8 760 h
El crecimiento será:
8 760 · 1,6 · 10–8 km = 1,4 · 10– 4 km = 14 cm
48. El coeficiente de dilatación del cobre es 16 · 10– 6 (alargamiento de una unidad de longitud al elevar la temperatura un grado).
¿Cuánto se alargará un cable de cobre de 100 metros, al subir la temperatura de 8 ºC a 22 ºC?
Longitud final = longitud inicial · (1 + 16 · 10– 6 · 14)
L = 100 · (1 + 224 · 10– 6)
L = 100 · (1 + 2,24 · 10– 4) = 100 · (1 + 0,000224) = 100 · (1,000224) = 100,0224 m
Unidad 2. Números decimales ESO
27
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
49. Consigue los datos necesarios y responde.
La población mundial actual ronda los 7,4 · 109 habitantes.
a) ¿Cuánto ha tardado en doblarse?
b) ¿Cuánto tardó la vez anterior? ¿Y la anterior? Y …
c) Compara los tiempos invertidos en las cuatro últimas duplicaciones.
El dato de la población mundial corresponde al año 2016, que es el que se usará para el pri-mer apartado.
a) La población mundial alcanzó los 3 700 millones, la mitad de la actual, en 1970.
Por tanto, ha tardado en doblarse 46 años.
b) La población mundial era de 1 850 millones en 1915, aproximadamente.
Por tanto, tardó en doblarse 55 años.
Era de 925 millones en 1775, es decir, tardó 140 años.
Era de 462,5 millones en 1375, luego esta vez tardó 400 años.
c) Se aprecia que la población mundial ha tardado muchísimo menos en duplicarse cuanto más nos acercamos a la época actual.
nota: la información de la población mundial se ha tomado de la página www.apuntesdedemografia.com
50. Consigue los datos necesarios y resuelve:
Piensa en una nave imaginaria que fuera capaz de cubrir en un segundo una distancia equivalente a la que separa la Tierra del Sol.
Estima el tiempo que esa nave tardaría en llegar desde la Tierra al centro de nuestra ga-laxia.
La distancia que separa la Tierra y el Sol es de 150 millones de kilómetros, es decir, 1,5 · 108 km.
Si la nave imaginaria cubre esta distancia en 1 segundo, llevaría una velocidad de 1,5 · 108 km/s.
Aunque las informaciones que aparecen en Internet son muy dispares, vamos a considerar que la distancia de la Tierra al centro de nuestra galaxia es aproximadamente 25 000 años luz. Un año luz equivale aproximadamente a 9,46 · 1012 km, luego la distancia de la Tierra al centro de nuestra galaxia es:
(2,5 · 104) · (9,46 · 1012) = 23,65 · 1016 = 2,365 · 1017 km
v = 8te t v
e1,5 ·10 km/s
2,365 ·10 km8
17= = = 1,577 · 109 segundos
Unidad 2. Números decimales ESO
28
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Curiosidades matemáticas
Opina: ¿decimal o entero?
Calcula la fracción generatriz del decimal periódico puro:
0,999999…Reflexiona sobre el resultado.
¿Te parece coherente?
Razona tu respuesta.
Al calcular la fracción generatriz del decimal periódico N = 0,999…, obtenemos la unidad:
10N = 9,999… → 10N – N = 9 → 9N = 9 → N = 1
¡Y no hay ningún error! Observa que 0,999… tiene infinitas cifras decimales, todas nueves. Y si te propones imaginar un decimal exacto muy, muy, muy pequeño, tan pequeño como quieras, resulta que la diferencia 1 – N es aún menor que tu número imaginado.
Es decir, que N está “pegado” al 1, tan cerca del uno, que no hay nada en medio (aquí tocamos el concepto de “límite”, que se estudia en cursos superiores). Podemos decir tranquilamente que el valor de 0,999… es 1.
Peso medio
Un arriero lleva en su carro veinte sacos de trigo que pesan, por término medio, 35,5 kg.
Tras pernoctar en una venta, paga al posadero en especie, para lo cual quita 1 kg de trigo del primer saco, 2 kg del segundo, 3 kg del tercero y así, sucesivamente, hasta el último. ¿Cuál es ahora el peso medio de los sacos?
Ha retirado, por término medio 21 20+ = 10,5 kilos por saco.
O bien: …1 2 3 2020 20
210+ + + + = = 10,5 kg por saco.
Por tanto, ahora el peso medio será 35,5 – 10,5 = 25 kg.
Una larga cuenta
S = 0,001 – 0,002 + 0,003 – 0,004 + … + 0,997 – 0,998 + 0,999
S = (0,001 – 0,002) + (0,003 – 0,004) + … + (0,997 – 0,998) + 0,999
Observa que la expresión aritmética se ha propuesto como una suma de 500 sumandos, los 499 primeros entre paréntesis y 0,999 al final. El valor de cada paréntesis es de una milésima negativa (–0,001). Por tanto:
S = 499 · (–0,001) + 0,999 = 0,999 – 0,499 = 0,5
Unidad 3. Números reales ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
2 Números reales: la recta real
Página 41
1. a) Justifica que el punto representado es 21.
√—210 1
b) Representa 27 (27 = 36 – 9) y 40 (40 = 36 + 4).
a) Aplicando Pitágoras:
52 = x 2 + 22
25 = x 2 + 4 → x 2 = 25 – 4 = 21 → x = 21
√—210 1 5
2x
b)
0 1 √
—27
√—27 √
—27 = √
—62 – 32
6
2
0 1 √—40
√—40
7
2. ¿Qué número es el que hemos señalado con una flecha?
0 1 2
Representa, del mismo modo, el 2,716.
0 1
1,7 1,8
1,73 1,741,732
2
10 2
2,7 2,8
2,71 2,722,716
3
Unidad 3. Números reales ESO
2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3 Tramos en la recta real: intervalos y semirrectas
Página 43
1. Escribe los conjuntos siguientes en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso:
a) Comprendidos entre 5 y 6, ambos incluidos.
b) Mayores que 7.
c) Menores o iguales que –5.
a) [5, 6]
b) (7, +∞)
c) (–∞, –5]
5 6
7
–5
2. Escribe en forma de intervalo y representa:
a) {x / 3 ≤ x < 5} b) {x / x ≥ 0}
c) {x / –3 < x < 1} d) {x / x < 8}
a) [3, 5)
b) [0, +∞)
c) (–3, 1)
d) (–∞, 8)
3 5
0
–3 1
8
3. Escribe en forma de desigualdad y representa:
a) (–1, 4] b) [0, 6] c) (–∞, – 4) d) [9, +∞)
a) {x / –1 < x ≤ 4}
b) {x / 0 ≤ x ≤ 6}
c) {x / x < –4}
d) {x / x ≥ 9}
–1 4
0 6
–4
9
Unidad 3. Números reales ESO
3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4 Raíces y radicales
Página 44
Cálculo mental
1. Di el valor de k en cada caso:
a) k3 = 2 b) 243 3– –k = c) k324 = d) 1 024 2k =
a) k 23 = → k = 23 = 8
b) 243–k = –3 → –243 = (–3) k → (–3)5 = (–3)k → k = 5
c) 8k k32
32
81164 4
= = =a k
d) 1024k = 2 → 1 024 = 2k → 210 = 2k → k = 10
2. Calcula las raíces siguientes:
a) 8–3 b) 325 c) 32–5
d) 08 e) 814 f ) 1253
a) ( )8 2 2– – –3 33= = b) 32 2 25 55= =
c) ( )32 2 2– – –5 55= = d) 0 08 =
e) 81 3 34 44= = f ) 125 5 53 33= =
1. Expresa en forma exponencial cada una de las siguientes raíces:
a) x5 b) x23 5` j c) a615
d) aa
6
13 e) x3 f ) akmn
a) x5 = x 1/5 b) x23 5` j = (x 2/3)5 = x 10/3
c) a615 = a 6/15 = a 2/5 d) aa
6
13 = (a 7)1/2 = a 7/2
e) x3 = (x 1/2)1/3 = x 1/6 f ) akmn = a k/(n · m)
2. Calcula.
a) 41/2 b) 1251/3 c) 6251/4
d) 82/3 e) 645/6 f ) 363/2
a) 41/2 = (22)1/2 = 2
b) 1251/3 = (53)1/3 = 5
c) 6251/4 = (54)1/4 = 5
d) 82/3 = (23)2/3 = 22 = 4
e) 645/6 = (26)5/6 = 25 = 32
f ) 363/2 = (62)3/2 = 63 = 216
Unidad 3. Números reales ESO
4
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3. Expresa en forma radical.
a) x 7/9
b) (m 5 · n 5)1/3
c) a 1/2 · b 1/3
d) [(x 2)1/3]1/5
e) [(x 1/2)5]1/3
f ) (y 3 · z 2)2/3
a) x 7/9 = x79
b) (m 5 · n 5)1/3 = ( )m n· 53
c) a 1/2 · b 1/3 = a b· 3
d) [(x 2)1/3]1/5 = x x x· / · / /2 1 3 1 5 2 15 215= =
e) [(x 1/2)5]1/3 = x x x/ · · / /1 2 5 1 3 5 6 56= =
f ) (y 3 · z 2)2/3 = ( · ) ·y z y z3 2 23 6 43=
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5
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5 Operaciones con radicales
Página 46
1. Simplifica.
a) x912 b) x812 c) y105
d) 86 e) 649 f ) 818
a) x34 b) x23 c) y 2
d) 2 236 = e) 2 2 469 23 3= = f ) 81 3 38 48= =
2. Simplifica.
a) 39
3 b) 2165
c) ab ca b c
3 3
3 54
d) a23 6` j e) x x·3 3` `j j f ) 2
8a k
a) 39
3 = 39
33 3 32
36
2
66 46 23= = = b)
2165
= ( )22
22 35
4 210
5
810 210= =
c) ·
· ·ab ca b c
3 3
3 54 =
· ·· ·
·a b ca b c
b ca
c b ca1·2 6 6
3 54
54 4= = d) a23 6
` j = a a123 4=
e) ·x x3 3` `j j = x x x x x·96 26 116 56= = f ) 2
8a k = 2 28 8 =^ h
3. Reduce.
a) 2 2·3 5 b) 6 3·3 6 c) a b4 610
a) ·2 23 5 = ·2 2 251 315 8155 =
b) 6 3·3 6 = ·6 3 6 3 108·26 6 26 6= =
c) ·a b4 610 = ·a b2 35
4. Saca del radical los factores que sea posible.
a) x32 43 b) a b c81 3 53 c) 643
a) ·x x x x2 2 2 423 3= b) ·ab b c3 3 23 c) 4
5. Efectúa.
a) 18 50 2 8– –+ b) 20 45 80–+
a) · ·3 2 5 2 2 2 3 2 5 2 2 2 2 5 2– – – –2 2 3+ = + =
b) 2 5 3 5 2 5 2 5 3 5 4 5 5· · – · –2 2 4+ = + =
Unidad 3. Números reales ESO
6
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
6. Suprime el radical del denominador.
a) 31 b)
32 c)
53
3
d) 58
23 e) 32
25 f )
21
34
a) 31 =
·33
33
3=
b) 32 =
··
32
36
33 =
c) 5
33 = · ·
·53 5
53 25
53
23 3
23 =
d) 58
23 = · ··5
8 55
8 5523
3 3
3=
e) 32
25 = ·3 32 3
32 27
32 27
··25 35
35
35
5 5= =
f ) 21
34 = ·
·21 2
22
22
234
4
44
4 4
4= =
Unidad 3. Números reales ESO
7
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Ejercicios y problemas
Página 47
PracticaNúmeros racionales e irracionales
1. a) ¿Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos enteros?
–2; 1,7; 3; ,4 2!
; – ,3 75!
; 3π; –2 5
b) Expresa como fracción aquellos que sea posible.
c) ¿Cuáles son irracionales?
a) No pueden expresarse como cociente: 3; 3π y –2 5.
b) –2 = ; , ; , ; ,24 1 7 10
17 4 2 5942 4
938 3 7 90
375 3790338
45169– – – – – – –= = = = = =
! !c) Son irracionales: ,3 2 5– y 3π.
2. a) Clasifica en racionales o irracionales.
; , ; ; ; ; π23 0 87 4
37
21 2– –
!
b) Ordénalos de menor a mayor.
c) ¿Cuáles son números reales?
a) Racionales: , ; ;0 87 4 37– –
! Irracionales: ;2
321 ; 2π
b) – ,37 4 7
21
23 0 8–< < < <
! < 2π
c) Todos son números reales.
3. Sitúa los siguientes números en un diagrama como el adjunto:
1; ,7 23$
; 1 – 2; 3,5; 9
11 ; 41 ; 6; π
4; –104
1
–104
3,5
1 – √—2
7,�)23
π—4
1—4
11—9
√—6
√—
Unidad 3. Números reales ESO
8
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Intervalos y semirrectas
4. Escribe los siguientes conjuntos de números en forma de intervalo o semirrecta:
a) Mayores que 2 y menores que 7.
b) Comprendidos entre –1 y 3, ambos incluidos.
c) Mayores o iguales que 5.
d) Menores que 10.
a) (2, 7)
b) [–1, 3]
c) [5, +∞)
d) (–∞, 10)
5. Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos y semirrectas:
A = [–2, 4] B = (1, 6) C = [–7, –3)
D = (0, 5] E = (– ∞, 1] F = (–1, +∞)
A B C
–2 0 4 0 1 6 –7 –3 0
D E F
0 5 0 1 –1 0
6. Representa gráficamente y expresa como intervalo o semirrecta estas desigualdades:
a) –3 ≤ x ≤ 2 b) 5 < x c) x ≥ –2
d) –2 ≤ x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f ) –3 ≤ x
a) –3 ≤ x ≤ 2 [–3, 2] b) 5 < x (5, +∞) c) x ≥ –2 [–2, +∞)
–3 0 2 0 5
0 54
4 4,1 4,2 4,3
–2 0
–3 0–2 0 2 3— = 1,5 2
d) –2 ≤ x < 23 ,2 2
3– m< e) 4 < x < 4,1 (4; 4,1) f ) –3 ≤ x [–3, +∞)
–3 0 2 0 5
0 54
4 4,1 4,2 4,3
–2 0
–3 0–2 0 2 3— = 1,5 2
7. Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos:
a) (1; 2,5) b) [–2, 3] c) [–7, 0)
d) [–3, +∞) e) (2, +∞) f ) (–5, 2]
a) {x / 1 < x < 2,5}
b) {x / –2 ≤ x ≤ 3} 0 1
0
–7 0
–1–2 1 2 3
2 32,5
–3 0
20
–5 20
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9
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c) {x / –7 ≤ x < 0}
d) {x / –3 ≤ x}
e) {x / x > 2}
f ) {x / –5 < x ≤ 2}
0 1
0
–7 0
–1–2 1 2 3
2 32,5
–3 0
20
–5 20
8. Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los con-juntos de números representados:
a) –1 0 3
b) 1 5
c) –2 0
d) 0 4
a) [–1, 3]; –1 ≤ x ≤ 3 b) (1, 5]; 1 < x ≤ 5
c) [–2, +∞); x ≥ –2 d) (–∞, 4); x < 4
9. a) Indica cuáles de los números siguientes están incluidos en A = [–3, 7) o en B = (5, +∞):
–3; 10; 0,5; 7; – 4; 5; ,6 3!
; π; 5
27 ; 48; 1 – 2
b) ¿Cuál de estos intervalos representa a los números incluidos en A y en B ?
(–3, 5) [2, 7) [5, 7] (5, 7)
a) A = [–3, 7) B = (5, +∞) A∪B = [–3, +∞)
Los números incluidos en A o en B son: –3; 10; 0,5; 7; ; ,5 36!
; π; ; ;527 48 1 2–
Es decir, todos excepto – 4.
b) A∩B = (5, 7)
Potencias y raíces
10. Expresa en forma exponencial.
a) x25 b) 2 c) 1063 d) 2024
e) ( )3– 35 f ) a4 g) x 25 3–` j h) a515
a) x 2/5 b) 21/2 c) 102 d) 201/2
e) (–3)3/5 f ) a 1/4 g) x – 6/5 h) a 1/3
11. Pon en forma de raíz.
a) 51/2 b) (–3)2/3 c) 34
/1 3d n
d) (a 3)1/4 e) (a 1/2)1/3 f ) (a –1)3/5
a) 5 b) ( )3– 23 c) 343
d) a34 e) a3 f ) a 35 –
Unidad 3. Números reales ESO
10
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
12. Resuelve, sin utilizar la calculadora:
a) 325 b) 3433 c) 6254
d) ,0 25 e) 843 f ) ,0 0013
a) 325 = 2 255 =
b) 3433 = 7 733 =
c) 6254 = 5 544 =
d) ,0 25 = 41
21=
e) 843 = ( )2 2 2 163 43 123 4= = =
f ) ,0 0013 = ,10 10 0 133 1– –= =
13. Obtén con la calculadora.
a) 127–3 b) ,0 2 35 – c) ,1 534
d) 12–2/3 e) 3 56 – f ) ( )3– 25 –
a) 127–3 ≈ –5,03 b) ,0 2 35 – ≈ 2,63
c) ,1 534 ≈ 1,36 d) 12–2/3 = ≈ ,12 0 1923 –
e) 3 56 – ≈ 0,40 f ) ( )3– 25 – ≈ 0,64
14. Calcula.
a) 251/2 b) 271/3 c) 1252/3 d) 813/4
e) 95/2 f ) 165/4 g) 493/2 h) 85/3
a) 25 5= b) 27 33 =
c) 125 5 253 2 2= =^ h d) ( )81 3 274 3 3= =
e) ( )9 3 2435 5= = f ) ( )16 2 324 5 5= =
g) ( )49 7 3433 3= = h) ( )8 2 323 5 5= =
15. Expresa los radicales como potencias de exponente fraccionario y efectúa como en el ejemplo resuelto:
• : :8 2 2 2 2 2/ / / / /4 3 3 4 1 3 3 4 1 3 5 12–= = =
a) 2 4· 3 b) 3 9· 4 c) 3 93
d) :5 54 e) :16 43 3 f ) :25 53
a) 2 2· 23 = 21/2 · 22/3 = 27/6
b) ·3 324 = 31/2 · 32/4 = 3
c) 3 · 323 = 3 · 32/3 = 35/3
d) 51/2 : 51/4 = 51/4
e) :2 243 23 = 24/3 : 22/3 = 22/3
f ) :5 523 = 52/3 : 51/2 = 51/6
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11
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Página 48
Radicales
16. Simplifica.
a) 96 b) 625 c) 21215
d) 494 e) 1256 f ) 3155
a) 9 3 3 3 3/ /6 26 2 6 1 3 3= = = =
b) 625 25 252= =
c) 2 2 2 2 16/ /1215 12 15 4 5 45 5= = = =
d) 49 7 7 7 7/ /4 24 2 4 1 2= = = =
e) 125 5 5 5 5/ /6 36 3 6 1 2= = = =
f ) 3 3 3 27/155 15 5 3= = =
17. Simplifica los siguientes radicales:
a) a810 b) a124 c) a312
d) a b2 28 e) a b6 63 f ) a b2 46
a) a8/10 = a4/5 = a45
b) a12/4 = a3
c) a3/12 = a1/4 = a4
d) (ab)2/8 = (ab)1/4 = ab4
e) (ab)6/3 = (ab)2 = a2b2
f ) a2/6 · b4/6 = a1/3 · b2/3 = ab23
18. Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales:
a) 163 b) 28 c) 2104
d) 8 e) 200 f ) 300
a) 163 = 2 2 243 3=
b) 28 = ·7 2 2 72 =
c) 2104 = · ·2 2 2 4 44 4 24 4=
d) 8 = 2 2 23 =
e) 200 = · ·5 2 5 2 2 10 22 3 = =
f ) 300 = · ·2 5 3 10 32 2 =
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12
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
19. Multiplica y simplifica el resultado.
a) 2 3 6· ·
b) a a·3 23
c) 5 10 8· ·
d) a a· 3
a) · ·2 3 6 = · ·2 3 6 36 6= =
b) ·a a3 23 = ·a a a a23 33= =
c) · ·5 10 8 = · ·5 10 8 400 20= =
d) ·a a3 = ·a a a a3 4 2= =
20. Divide y simplifica.
a) :75
21 b) :53
354 4 c) :
65
4453 3
a) :7 521 = :7
521
2135
35= =
b) :53
354 4 = :
53
35
53
534
2
24= =
c) :65
4453 3 =
·: ·
· ··
2 35
23 5
2 3 55 2
32
32
2
23
3
23
33
3= = =
21. Reduce a un solo radical.
a) 13 b) 23 c) 1535
d) 2543 e) 33 f ) 115
a) 134 b) 26 c) 1515
d) 2512 e) 334 f ) 1110
22. Calcula y simplifica si es posible.
a) 210` j b) 23 4` j c) 324 8` j
d) 84 e) 210` j f ) 23 6` j
a) 2 325 = b) 2 2 243 3= c) 3 3 81164 4= =
d) 88 e) 2 2104 5= f ) 2 266 =
23. Ejercicio resuelto.
Ejercicio resuelto en el libro del alumnado.
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24. Efectúa.
a) 2 8 4 72 7 18–+
b) 12 75 27–+
c) 32 3 50 2 8–+
d) 3 2 18 3 8–+
a) · · · · · ·2 2 4 3 2 7 3 2 2 2 2 4 3 2 2 7 3 2– –3 2 3 2+ = + =
( )4 2 24 2 21 2 4 24 21 2 7 2– –= + = + =
b) · · ( )2 3 5 3 3 2 3 5 3 3 3 2 5 3 3 4 3– – –2 2 3+ = + = + =
c) 2 3 2 5 2 2 2 2 3 5 2 2 2 2 4 2 15 2 4 2 15 2· · · – · ––5 2 3 2+ = + = + =
d) · · ( )3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 6 2 3 3 6 2 0– – – –2 3+ = + = + = + =
25. Efectúa.
a) 48 12 3– +
b) 81 24–3 3
c) 28 7 63– +
d) 54 23 3+
a) 48 12 3– + = · · ( )2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 4 2 1 3 3 3– – –4 2 2+ = + = + =
b) 81 24–3 3 = · ( )3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3– – –43 33 3 3 3 3= = =
c) 28 7 63– + = · · ( )2 7 7 3 7 2 7 7 3 7 2 1 3 7 4 7– – –2 2+ = + = + =
d) 54 23 3+ = · ( )2 3 2 3 2 2 3 1 2 4 233 3 3 3 3 3+ = + = + =
26. Racionaliza y simplifica.
a) 33 b)
22 3 c)
153
d) 124 e)
2 63 f )
52
3
a) 33 = ·
·33 3
33 3
33 3 3
3 2= = =
b) 2
2 3 = ··
22 3
22 6
22 6 6
22
2= = =
c) 153 = ·
·153 15
153 15
515
15= =
d) 124 = ·
·124 12
124 12
124 12
32 3
32 3
12·
2
2= = = =
e) 2 6
3 = ·· ··2 6
3 62 6
3 62 63 6
123 6
46
6 2= = = =
f ) 5
23 = ·
·52 5
52 25
52 25
53
23
33
3 3
23 = =
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27. Suprime el radical del denominador y simplifica.
a) 22 b)
64 c)
126 d)
153
a) 22 =
22 2 2=
b) 64 =
64 6
32 6=
c) 126 =
126 12
212
22 3 3= = =
d) 153 =
153 15
515=
Aplica lo aprendido28. Representa los intervalos A = (2, 5] y B = [–1, 4) y di si tienen puntos en común.
Si es un intervalo, di cuál es.
A = (2 ,5]
B = [–1 ,4) 2 5
–1 4
Los puntos comunes a A y B están entre 2 y 4 → (2, 4)
29. Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á pertenecen:
– 4; 6
13 ; 5; ,2 7!
; 152; π; 2
1 3+
racionales (Q)
reales (Á)
enteros (Z)naturales (N) → 152
enteros negativos → – 4
irracionales → 5 ; π; 21 3+
fraccionarios → ; ,613 2 7
!
30. Extrae del radical los factores que sea posible.
a) a16 33 b) a b81 5 34 c) a8 5
d) a24
43 e)
75162 f )
3295
a) 2a 23 b) 3a ab34 c) 2a 2 a2
d) a a2 33 e) 5
932 f ) 2
1 95
Unidad 3. Números reales ESO
15
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
31. Efectúa.
a) (2 + 3)(2 – 3) b) (3 2 + 2)2
c) ( ) ( )5 2 3 5 2 3– + d) ( )2 5 3– 2
a) (2 + 3)(2 – 3) = ( ) ( )2 3 4 3 1– –2 2 = =
b) (3 2 + 2)2 = ( ) ( )3 2 2 3 2 2 2 9 2 12 2 4 22 12 2· · ·2 2+ + = + + = +
c) ( ) ( )5 2 3 5 2 3– + = ( ) ( ) ·5 2 3 5 4 3 5 12 7– – – –2 2 = = =
d) ( )2 5 3– 2 = ( ) · · ( ) ·2 5 2 2 5 3 3 4 5 4 15 3 20 4 15 3 23 4 15– – – –2 2+ = + = + =
32. Di el valor de k en cada caso:
a) 243 3k = b) k 2–3 = c) k234 =
d) 125 5– –k = e) k 1–3 = f ) 6449
87k =
a) 33k 5 = → k = 5 b) k = (–2)3 → k = – 8
c) k 23 4
= c m → k = 1681 d) ( ) 55 ––k 3 = → k = 3
e) k = (–1)3 → k = –1 f ) 87
87k
2=c m → k = 2
33. Introduce dentro de la raíz y simplifica.
a) 553 b)
318 c) 2
473
d) 21254 e)
21 12 f )
32
493
a) ·5
5 3 152
= b) 318 22 = c) ·
42 7 14
33 3=
d) ·12
2 53204
4 4= e) 212 32 = f )
··
3 42 9
32
3
33 3=
34. Suprime el radical del denoninador.
a) 5
33 b)
a1
58 c)
x1
3 d) 2
54
a) 5
33 = · ·
·53 5
53 5
53 25
53
23
33
23 3
23 = =
b) a1
58 =
·aa
aa
aa
a58
38
88
38 38
38 = =
c) x
13 =
·xx
xx
xx
x3
23
33
23 23
23 = =
d) 2
54
= ··2
5 22
5 22
5 824
34
44
34 4
34 = =
Unidad 3. Números reales ESO
16
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 49
Resuelve problemas35. Indica si el número que se obtiene en cada caso es racional o irracional:
a) La diagonal de un cuadrado de lado 2 cm.
b) El área de un círculo de radio 2 cm.
c) El cateto de un triángulo rectángulo cuyos lados miden 24 cm y 25 cm.
a) La diagonal de un cuadrado de lado 2 cm. → Irracional
Por el teorema de Pitágoras:
d 2 = 22 + 22 → d 2 = 8 → d = 8 cm
d 2
2
b) El área de un círculo de radio 2 cm. → Irracional
Área = π · r2 → Área = π · 22 = 4π (n.º irracional)
c) El cateto del triángulo rectángulo de lados 24 cm y 25 cm. → Racional
252 = 242 + c2 → 625 = 576 + c2 → c2 = 49 8 c = 7
c
24 cm 25 cm
36. Averigua para qué valores de x se pueden calcular las siguientes raíces:
a) x 5– b) x5 – c) x 12 +
d) x– e) ( ) ( )x x1 2 –+ f ) ( )x x3 –
En todos los apartados aplicaremos el siguiente resultado: A se puede calcular si A ≥ 0
a) x 5– se puede calcular si x – 5 ≥ 0 → x ≥ 5 → x = [5, + ∞)
b) x5 – se puede calcular si 5 – x ≥ 0 → 5 ≥ x → x = (– ∞, 5]
c) x 2 + 1 > 0, para cualquier x ∈ Á → x 12 + se puede calcular para cualquier x ∈ Á.
d) x– se puede calcular si –x ≥ 0 → x ≤ 0 → x ∈ (– ∞, 0]
e) ( ) ( )x x1 2 –+ se puede calcular si (1 + x) · (2 – x) ≥ 0
•Six = –1 o x = 2 → (1 + x) · (2 – x) = 0
•Six < –1 → ( )( )
xx
1 02 0–
–><
( → (1 + x) · (2 – x) < 0
•Si–1<x < 2 → ( )( )
xx
1 02 0–
>>
+( → (1 + x) · (2 – x) > 0 –∞ –1 2 +∞
– + –
•Six > 2 → ( )( )
xx1 0
2 0–><
+( → (1 + x) · (2 – x) < 0
Por tanto, ( ) ( )x x1 2 –+ se puede calcular si x ∈ [–1, 2].
Unidad 3. Números reales ESO
17
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
f ) · ( )x x3 – se puede calcular si x · (3 – x) ≥ 0.
•Six = 0 o x = 3 → x · (3 – x) = 0
•Six < 0 → ( )x
x0
3 0–<
>( → x · (3 – x) < 0
•Si0<x < 3 → ( )x
x0
3 0–>
>( → x · (3 – x) > 0 –∞ 0 3 +∞
– + –
•Six > 3 → ( )x
x0
3 0–>
<( → x · (3 – x) < 0
Por tanto, · ( )x x3 – se puede calcular si x ∈ [0, 3].
37. ¿Cuál de los números 1 – 3 o 3 + 2 es solución de la ecuación x 2 – 6x + 7 = 0?
•(1– 3)2 – 6 · (1 – 3) + 7 = 1 + 3 – 2 3 – 6 + 6 3 + 7 = 5 + 4 3 ≠ 0
El número (1 – 3) no es solución.
•(3+ 2)2 – 6 · (3 + 2) + 7 = 9 + 2 + 6 2 – 18 – 6 2 + 7 = 0
El número (3 + 2) es solución.
38. Un cuadrado de 6 cm de lado está inscrito en un círculo. Calcula:
a) El radio del círculo y su área.
b) El perímetro del triángulo ABC, del que AB es un lado del cuadrado y C es el pun-to medio del lado opuesto.
Expresa los resultados con radicales y π.
a) Sea d = diámetro del círculo.
Por el teorema de Pitágoras:
d 2 = 62 + 62 → d 2 = 36 + 36 → d 2 = 72 →
→ d = · ·72 2 3 2 3 2 6 23 2= = = cm
Si el diámetro del círculo mide d = 6 2 cm, entonces el radio es r = 3 2 cm.
6 cm
d
6 cm
Área = π · r 2 = π · ( )3 2 2 = π · 9 · 2 = 18π cm2
b) Por el teorema de Pitágoras:
AC 2 = 62 + 32 → AC 2 = 36 + 9 → AC 2 = 45 →
→ AC = ·45 3 5 3 52= = cm
6 cm
6 cm
3 cm
BA
C
Como BC AC= → Perímetro = ·AB AC2+ = 6 + 2 · ( )3 5 = 6 6 5+ cm
Unidad 3. Números reales ESO
18
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
39. El volumen de un cilindro de 5 cm de altura es 60 π cm3.
a) ¿Cuánto mide su radio?
b) Calcula su área lateral. Da en ambos casos el valor exacto (utiliza radicales y π).
a) Volumen del cilindro = π · r 2 · h
60π = π · r 2 · 5 → r 2 = ππ
560 → r 2 = 12 → r = ·12 2 3 2 32= = cm
b) Área lateral = 2 · π · r · h
Alateral = 2 · π · 2 3 · 5 = 20 3 π cm2
40. Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es 3 cm. Expresa el resultado con radicales.
Por el teorema de Pitágoras:
h2 = ( )2 323–2
2c m = 12
43– =
445 →
→ h = ·445
23 5
23 52
2= = cm
Área = 2
base · altura = ·
2
3 3 1523 5
4= cm2
h
√—3 cm
2√—3 cm2√
—3 cm
√—3/2
41. Los puntos A y B dividen la diagonal del cuadrado en tres partes iguales.
Si el área del cuadrado es 36 cm2, ¿cuánto medirá el lado del rombo? Expresa el resultado con radicales
A
B
A
D
M
C
B
•Áreadelcuadrado=36cm2 → lado = 36 = 6 cm
•Diagonalmayordelrombo=diagonaldelcuadrado= CD
Por el teorema de Pitágoras:
8CD 6 6 722 2 2= + = · ·CD 72 2 3 2 3 2 6 23 2= = = = cm
D
6 cm
6 cmC
Unidad 3. Números reales ESO
19
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
•Diagonalmenor= AB CD3 3
6 2 2 2= = = cm
•Elladodelromboeslahipotenusadeltriángulorectángulo AMD& .
AM
MD
AB
CDAD AM MD2
2
23 2
cm
cm2 2 2
= =
= == +
_
`
a
bb
bb →
→ ( ) ( )AD 2 3 2 2 18 202 2 2= + = + =
8 AD 20 2 5 2 5·2= = = cm
Por tanto, el lado del rombo mide 2 5 cm.
42. Calcula la altura de un tetraedro regular de 8 cm de arista. Expresa el resultado con radicales.
Altura de una cara:
x = 64 16 48 4 3– = = cm
·AH 32 4 3 3
8 3= = cm
8
4
8h
V
HA
x
Altura del tetraedro: h = 8 28 3 64
4192 64 48 16– – –2
2
= = =e o = 4 cm
43. Calcula el volumen de un octaedro regular cuya arista mide 6 cm. Expresa el resul-tado con radicales.
d = 6 6 12 2 3+ = = cm
d2 3= cm
Altura de la pirámide = ( ) ( )6 3 3–2 2 = cm
hd
√—6 √
—6
√—6
Volumen del octaedro = 2 ( )31 6 3 4 32 =c m cm3
Unidad 4. Problemas aritméticos ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
1 Proporcionalidad simple
Página 51
1. Resuelve mentalmente.
a) Una botella de aceite de tres cuartos de litro cuesta 3,60 €. ¿A cómo sale el litro?
b) Dos máquinas cortacésped siegan un prado en media hora. ¿Cuánto tardarían tres má-quinas?
c) Un cicloturista ha recorrido 4 km en 12 minutos. ¿Qué distancia recorrerá en media hora?
d) Un camión, a 60 km/h, tarda en ir de A a B 40 minutos. ¿Cuánto tardará un coche a 80 km/h?
a) El precio de la botella de aceite es directamente proporcional a su capacidad.
aceite (litros) coste (€)0,75 3,60
1 x
D
, ,,
, · ,8x
x3 601
0 750 75
3 60 1 4 80= = = €
Un litro de aceite cuesta 4,80 €.
b) El tiempo que se tarda en segar el prado es inversamente proporcional al número de máqui-nas cortacésped que se utilizan.
máquinas tiempo (min)2 303 x
I
·8x
x3023
330 2 20= = = minutos
Tres máquinas tardarían 20 minutos en segar el prado.
c) La distancia recorrida por el cicloturista es directamente proporcional al tiempo.
distancia (km) tiempo (min.)4 12x 30
D
·8x
x43012
124 30 10= = = km
En media hora el cicloturista recorrerá 10 km.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
d) El tiempo que un camión tarda en recorrer una distancia es inversamente proporcional a la velocidad a la que circula.
velocidad (km/h) tiempo (min)60 4080 x
I
·8x
406080
8040 60 30= = min.
Si circula a 80 km/h el camión tardará media hora en ir de A a B.
2. Si cada día gasto 3,60 €, mis ahorros durarán 15 días.
¿Cuánto durarían si gastase 4,50 € diarios?
La duración del dinero ahorrado es inversamente proporcional al gasto diario.
gasto diario días que duran3,60 154,50 x
I
,,
,, ·8x x
4 53 6
15 4 53 6 15 12= = =
Gastando 4,50 € al día, los ahorros durarían 12 días.
3. Cinco metros y medio de cable eléctrico han costado 4,51 €.
¿Cuánto costarán 8 m 35 cm del mismo tipo de cable?
El coste del cable es directamente proporcional a su longitud.
cable (m) coste (€)5,5 4,51
8,35 x
D
,,,
,, · , ,8
xx4 51
8 355 5
5 54 51 8 35 6 85= = = €
8 m y 35 cm del mismo tipo de cable costarán 6,85 €.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4. Un ganadero tiene reservas de pasto para alimentar a 35 vacas durante 60 días.
¿Cuánto le durarán sus reservas si vende 15 vacas?
El tiempo que un ganadero puede alimentar a sus vacas, con una cantidad fija de pasto, es inversamente proporcional al número de estas.
vacas tiempo (días)35 6020 x
I
·8x
x603520
2060 35 105= = = días
Sus reservas le durarán 105 días si tiene que alimentar a 20 vacas.
5. En el comedor del colegio se han consumido 132 barras de pan durante tres días.
Si una barra cuesta 0,35 €, ¿qué presupuesto debe destinar el administrador para la com-pra de pan a la semana?
El número de días es directamente proporcional al número de barras de pan consumidas.
Consideramos que el comedor se abre 5 días a la semana.
n.° de días barras de pan3 1325 x
D
·8x
x53 132
3132 5 220= = =
Presupuesto = 220 · 0,35 = 77 € a la semana.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
4
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 Proporcionalidad compuesta
Página 52
1. Por el alquiler de dos bicicletas, durante 3 horas, pagamos ayer 11,10 €. ¿Cuánto nos costará hoy alquilar tres bicicletas durante cinco horas?
bicicletas tiempo (horas) coste (€)2 3 11,103 5 x
D
D
, · , , · ,8 8x x
x11 1032
53 11 10
52
211 10 5 27 75= = = = €
El alquiler de tres bicicletas durante 5 horas costará 27,75 €.
2. Un caño que arroja medio litro por segundo llena un camión cisterna en 3 horas. ¿Qué caudal debería proporcionar para llenar dos cisternas a la hora?
El número de cisternas que se llenan es directamente proporcional al caudal. El tiempo que tarda en llenarse una cisterna es inversamente proporcional al caudal.
n.° de cisternas tiempo (h) caudal (l /s)1 3 0,52 1 x
I
D
·· , · · ,8
xx
2 31 1 0 5
12 3 0 5 3= = =
Para llenar dos cisternas en una hora, es necesario un caudal de 3 l /s.
3. Un jardinero cobra 120 € por dar seis cortes de césped a una parcela de 250 m2.
a) ¿Cuánto cobrará por dar ocho cortes a una parcela de 400 m2?
b) ¿Cuántos cortes ha contratado para una parcela de 300 m2, con un coste de 72 €?
a)
superficie (m2) cortes de césped coste (€)250 6 120400 8 x
D
D
···
··8 8
x xx120
400250
86 120
400 8250 6
250 6120 400 8 256= = = =
Dar 8 cortes de césped a una parcela de 400 m2 costará 256 €.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
5
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
b)
superficie (m2) cortes de césped coste (€)250 6 120300 x 72
I D
···
·· ·8 8
x xx6
250300
72120 6
250 72300 120
300 1206 250 72 3= = = = cortes
Con 72 € se pueden dar 3 cortes de césped a una parcela de 300 m2.
4. Una cadena de cines, con cinco locales, vende 15 000 entradas en tres semanas. ¿Cuántas entradas puede estimar que vendería a la semana si tuviera siete locales?
locales semanas entradas5 3 15 0007 1 x
D
D
···
·· ·8 8
x xx15 000
75
13 15 000
7 15 3
5 315 000 7 1 7 000= = = =
Si tuviera 7 locales vendería 7 000 entradas en 1 semana.
5. Tres pintores, trabajando 8 horas al día, pintan un muro en 10 días. ¿Cuánto tardarían 5 pintores trabajando 6 horas cada día?
pintores horas/día días3 8 105 6 x
I
I
···
·· ·8 8
x xx10
86
35 10
8 36 5
6 510 8 3 8= = = = días
5 pintores, trabajando 6 horas al día, tardarán 8 días en pintar el muro.
6. Una cuadrilla de 5 obreros ha cobrado 1 050 € por un trabajo que ha durado tres días. ¿Cuántos obreros forman otra cuadrilla que, cobrando las mismas tarifas, ha presentado una factura de 1 680 € por un trabajo de 6 días?
obreros factura (€) tiempo (días)5 1 050 3x 1 680 6
D
I
···
·· ·8 8
x xx5
16801050
36 5
1680 31050 6
1050 65 1680 3 4= = = = obreros
La cuadrilla que, por un trabajo de 6 días, ha presentado una factura de 1 680 € está formada por 4 obreros.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
6
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3 Repartos proporcionales
Página 53
1. Dos hermanas compran cinco juegos de toallas por 175 €. Una se queda con tres juegos, y la otra, con dos. ¿Cuánto debe pagar cada una?
Cada juego de toallas cuesta 175 : 5 = 35 €.
Quien se queda con 3 juegos pagará 3 · 35 = 105 €.
Quien se queda con 2 juegos pagará 2 · 35 = 70 €.
2. Tres amigas que comparten piso reciben una factura de la compañía eléctrica por un importe de 62,40 €. Amelia llegó al piso hace 60 días; Laura, 20 días después, y Cristina solo lleva en la casa 20 días. ¿Cuánto debe pagar cada una?
Amelia lleva en el piso 60 días.
Laura lleva en el piso 40 días.
Cristina lleva en el piso 20 días.
Se divide el importe de la factura entre el número total de días, 60 + 40 + 20 = 120.
42,4 : 120 = 0,52 € por día
El pago de la factura se hará como sigue:
Amelia → 60 · 0,52 = 31,20 €
Laura → 40 · 0,52 = 20,80 €
Cristina → 20 · 0,52 = 10,40 €
3. Reparte 660 en partes directamente proporcionales a 1, 2 y 3.
1 + 2 + 3 = 6 → 660 : 6 = 110
•1→ 110 · 1 = 110
•2→ 110 · 2 = 220
•3→ 110 · 3 = 330
4. Reparte 660 en partes inversamente proporcionales a 1, 2 y 3.
Repartir 660 en partes inversamente proporcionales a 1, 2 y 3 es equivalente a repartir 660 en
partes directamente proporcionales a 1, 21 y
31 .
121
31
66
63
62
611+ + = + + =
660 : 611 = 360
•1→ ·360 1 360=
•2→ ·36021 180=
•3→ ·36031 120=
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
7
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5. Un conductor profesional ha realizado un viaje de A a B, con un vehículo pesado, a una media de 50 km/h.
A continuación ha regresado conduciendo un utilitario, a 100 km/h. Y por último ha viajado otra vez a B, con una furgoneta, a 80 km/h.
¿Cuánto tiempo ha invertido en cada trayecto, si ha tardado cuatro horas y cuarto en los tres recorridos?
Repartir 255 en partes inversamente proporcionales a 50, 100 y 80 es equivalente a repartir
255 en partes directamente proporcionales a , .501
1001
801y
501
1001
801
4008 4 5
40017+ + = + + =
255 : 40017 = 6 000
•Vehículopesado→ 501 · 6 000 = 120 minutos = 2 horas
•Utilitario→ 1001 · 6 000 = 60 minutos = 1 hora
•Furgoneta→ 801 · 6 000 = 75 minutos = 1 hora y cuarto
Por tanto, cuando realizó el trayecto de A a B con un vehículo pesado tardó 2 horas, con un utilitario, tardó 1 hora, y en furgoneta, 1 hora y cuarto.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
8
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4 Cálculos con porcentajes
Página 54
Cálculo mental
a) 10 % de 500 b) 20 % de 400 c) 5 % de 360
d) 75 % de 280 e) 25 % de 88 f ) 50 % de 250
a) 10 % de 500 = 0,10 · 500 = 50 b) 20 % de 400 = 0,20 · 400 = 80
c) 5 % de 360 = 0,05 · 360 = 18 d) 75 % de 280 = 0,75 · 280 = 210
e) 25 % de 88 = 0,25 · 88 = 22 f ) 50 % de 250 = 0,50 · 250 = 125
1. Copia y completa la tabla asociando porcentaje, fracción y número decimal.
82 % 53 % 43 % 9 % 7 % 3 %
10082
10053
10043
1009
1007
1003
0,82 0,53 0,43 0,09 0,07 0,03
2. Calcula.
a) 32 % de 500 b) 86 % de 60
c) 7 % de 850 d) 5 % de 347
e) 11,4 % de 4 000 f ) 2,5 % de 88
g) 0,4 % de 900 h) 0,01 % de 5 000
i) 150 % de 398 j) 400 % de 740
a) 32 % de 500 = 0,32 · 500 = 160 b) 86 % de 60 = 0,86 · 60 = 51,6
c) 7 % de 850 = 0,07 · 850 = 59,5 d) 5 % de 347 = 0,05 · 347 = 17,35
e) 11,4 % de 4 000 = 0,114 · 4 000 = 456 f ) 2,5 % de 88 = 0,025 · 88 = 2,2
g) 0,4 % de 900 = 0,004 · 900 = 3,6 h) 0,01 % de 5 000 = 0,0001 · 5 000 = 0,5
i) 150 % de 398 = 1,50 · 398 = 597 j) 400 % de 740 = 4 · 740 = 2 960
3. Un agricultor, que dispone de 40 hectáreas de terreno, siembra el 65 % de cebada; el 15 %, de trigo, y el resto, de avena. ¿Cuántas hectáreas ocupa la avena?
El porcentaje del terreno sembrado de avena es:
100 % – (65 % + 15 %) = 20 %
Por tanto, de las 40 ha de terreno la avena ocupa:
20 % de 40 ha = 0,2 · 40 = 8 ha
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4. Dos hermanos compran un balón que cuesta 42 €. El mayor paga el 60 %. ¿Qué porcen-taje paga el pequeño? ¿Cuánto ha de pagar?
Si el mayor paga el 60 %, el pequeño paga el 40 %.
Por tanto, el pequeño paga 40 % de 42 € = 0,4 · 42 = 16,80 €.
5. Un trabajador tiene un salario bruto de 1 400 € al mes, del que le retienen un 15 % de impuestos. ¿Cuánto le retienen? ¿Qué porcentaje del salario bruto se lleva? ¿Cuál es el salario neto?
•Leretienenel15%de1400€ = 0,15 · 1 400 = 210 €.
•Selleva100%–15%=85%delsalariobruto.
•Salarioneto=85%de1400€ = 0,85 · 1 400 = 1 190 €
6. El ayuntamiento de cierta ciudad sacó a concurso 150 plazas de funcionarios municipa-les. Se presentaron 2 840 aspirantes de los que un 95 % fue eliminado durante la selec-ción. ¿Se cubrieron todas las plazas?
Si fueron eliminados el 95 % de aspirantes, entonces pasaron la selección el 5 % de 2 840 as-pirantes:
0,05 · 2 840 = 142 aspirantes
El ayuntamiento sacó a concurso 150 plazas y únicamente pasaron la selección 142 aspirantes del total presentados. Por tanto, no se cubrieron todas las plazas.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 55
Cálculo mental
a) El 50 % de … es 32. b) El 25 % de … es 12.
c) El 75 % de … es 15. d) El 20 % de … es 50.
e) El 10 % de … es 21. f ) El 5 % de … es 12.
g) El 30 % de … es 45.
a) 0,5 · x = 32 → x = ,0 5
32 = 64 b) 0,25 · x = 12 → x = ,0 2512 = 48
c) 0,75 · x = 15 → x = ,0 7515 = 20 d) 0,20 · x = 50 → x =
,0 2050 = 250
e) 0,10 · x = 21 → x = ,0 1021 = 210 f ) 0,05 · x = 12 → x =
,0 0512 = 240
g) 0,30 · x = 45 → x = ,0 3045 = 150
Cálculo mental
a) 5 es el … % de 20. b) 8 es el … % de 80.
c) 9 es el … % de 12. d) 6 es el … % de 18.
e) 4 es el … % de 80. f ) 6 es el … % de 40.
g) 9 es el … % de 150.
a) x5 = 20 → x = 0,25 → 25 % b)
x8 = 80 → x = 0,10 → 10 %
c) x9 = 12 → x = 0,75 → 75 % d)
x6 = 18 → x = 0,33 → 33 %
e) x4 = 80 → x = 0,05 → 5 % f )
x6 = 40 → x = 0,15 → 15 %
g) x9 = 150 → x = 0,06 → 6 %
7. Calcula el valor de T en cada caso:
a) 16 % de T = 52 b) 24 % de T = 156 c) 18 % de T = 58,5
d) 8 % de T = 10,8 e) 0,8 % de T = 5,8 f ) 0,25 % de T = 3
a) 0,16 · T = 52 → T = 52 : 0,16 = 325
b) 0,24 · T = 156 → T = 156 : 0,24 = 650
c) 0,18 · T = 58,5 → T = 58,5 : 0,18 = 325
d) 0,08 · T = 10,8 → T = 10,8 : 0,08 = 135
e) 0,08 · T = 5,8 → T = 5,8 : 0,008 = 725
f ) 0,0025 · T = 3 → T = 3 : 0,0025 = 1 200
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
8. Calcula el valor de P en cada caso:
a) P % de 380 = 57 b) P % de 225 = 9 c) P % de 190 = 51,3
d) P % de 46 = 2,88 e) P % de 2 500 = 5 f ) P % de 1 800 = 27
a) · · %8P P100
380 5738057 100 15= = = b) %8P P
100100225 9
2259 4· ·= = =
c) %, ,8P P100
100190 51 319051 3 27· ·= = = d) %, , ,8P P
10010046 2 88
462 88 6 26· ·= = =
e) %,8P P100
5 5 1002 5002 500
0 2· ·= = = f ) , %8P P100
100 1 51800 271800
27· ·= = =
9. Hoy había en el estadio de fútbol 24 000 aficionados, lo que supone un 80 % de su ca-pacidad total. ¿Cuántos aficionados hay en el campo cuando se llena?
T = capacidad total del campo
80 % de T = 24 000 → 0,8 · T = 24 000 → T = 24 000 : 0,8 = 30 000 aficionados
Por tanto, cuando el campo se llena hay en él 30 000 aficionados.
10. Elena tenía en su cuenta 5 000 € y ha adquirido un televisor por 750 €. ¿Qué porcenta-je de sus ahorros ha gastado?
De un total de 5 000 €, se ha gastado 750 €. ¿Cuánto se ha gastado de cada 100 €?
total parte5 000 750100 x
·8x
x100
5 000 7505 000
750 100 15= = =
Se ha gastado el 15 % de sus ahorros.
11. En mi clase somos 16 chicas, lo que supone un ,53 3!
% del total de alumnos y alumnas. ¿Cuál es el porcentaje de chicos? ¿Cuántos somos en total?
•Sielporcentajedechicasesel ,53 3!
%, entonces el porcentaje de chicos es:
100 % – ,53 3!
% = ,46 7!
%
• ,53 3!
% = % %9
533 533
160– =
En clase hay 16 chicas que son el %3
160 del total, por tanto:
alumnos porcentaje16 160/3 x 100
D
//
·8x
x16100
160 3160 3
16 100 30= = =
Por tanto, el número total de alumnos de la clase es 30.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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12. Compré un ordenador portátil por 490 € y una pantalla supletoria por 135 €. ¿Qué porcentaje del gasto efectuado supone el ordenador? ¿Y la pantalla?
Portátil = 490 €
Pantalla supletoria = 135 € → Gasto total = 490 € + 135 € = 625 €
total parte625 490100 x
D
El precio del ordenador representa el 78,4 % del gasto total y el precio de la pantalla es el 100 % – 78,4 % = 21,6 % del total.
13. Bernardo ha comprado una bicicleta. Sus padres le han subvencionado el 50 %, y su abuela, el 30 %. Alejandro ha puesto el resto que son 108 euros. ¿Cuál era el precio de la bicicleta?
Si sus padres le han subvencionado el 50 % y su abuela el 30 %, Bernardo ha puesto:
100 % – (50 % + 30 %) = 20 % del precio total de la bicicleta (T ).
20 % de T = 108 € → 0,2 · T = 108 € → T = 108 : 0,2 = 540 €
La bicicleta costó 540 €.
14. En un campamento internacional de verano había 16 españoles, 12 ingleses, 14 portu-gueses, 18 franceses, 3 argentinos y 5 japoneses.
¿Qué porcentaje había de cada nacionalidad?
Total de personas = 16 + 12 + 14 + 18 + 3 + 5 = 68
Españoles:
personas porcentaje68 10016 x
D
· ,8x
x1001668
6816 100 23 53= = = %
Ingleses:
personas porcentaje68 10012 x
D
· ,8x
x1001268
6812 100 17 65= = = %
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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Portugueses:
personas porcentaje68 10014 x
D
· ,8x
x100 686814 100 20 59
14= = = %
Franceses:
personas porcentaje68 10018 x
D
· ,8x
x1001868
6818 100 26 47= = = %
Argentinos:
personas porcentaje68 1003 x
D
· ,8x
x100368
683 100 4 41= = = %
Japoneses:
personas porcentaje68 1005 x
D
· ,8x
x100568
685 100 7 35= = = %
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 57
15. Copia y completa en tu cuaderno.
Cinicial aumento ivariación Cfinal
850 32 % 1,32 1 1221 080 25 % 1,25 1 350325 2 % 1,02 331,5
Cinicial descuento ivariación Cfinal
630 20 % 0,80 50485,87 8 % 0,92 79338,27 2 % 0,98 331,5
16. En una tienda de informática han subido todos los productos un 7 %. Un ordenador valía 840 €, y una impresora multifunción, 80 €. ¿Cuánto valen ahora?
Ordenador: ·840100
7 840+ = 898,80 €
Impresora: ·80100
7 80+ = 85,60 €
17. Un inversor compra acciones por valor de 15 000 €. Una semana después, se ve obliga-do a venderlas, a pesar de que han bajado un 4 %. ¿Cuánto dinero obtiene de la venta?
Las acciones han bajado un 4 % → Ivariación = 1 – 0,04 = 0,96
Cfinal = Ivariación · Cinicial → Cfinal = 0,96 · 15 000 = 14 400 €
El inversor obtuvo 14 400 € por la venta de las acciones.
18. ¿Cuánto pagará Iván por un traje que costaba 685 €, si le hacen una rebaja del 25 %?
El traje está rebajado un 25 % → Ivariación = 1 – 0,25 = 0,75
Cfinal = Ivariación · Cinicial → Cfinal = 0,75 · 685 = 513,75 €
Iván pagará 513,75 € por el traje.
19. Un grupo de amigos y amigas cena en un restaurante que carga en los precios de la carta un 6 % de IVA. La cuenta, sin IVA, asciende a 360 €. ¿Cuánto pagarán por la cena?
IVA=6%→ Ivariación = 1 + 0,06 = 1,06
Cfinal = Ivariación · Cinicial → Cfinal = 1,06 · 360 = 381,60 €
Lacuenta,IVAincluido,asciendea381,60€.
20. ¿Cuánto costaba un vestido que, rebajado un 25 %, sale por 84 €?
Rebaja del 25 % → Ivariación = 1 – 0,25 = 0,75
Cfinal – Ivariación · Cinicial → 84 = 0,75 · Cinicial → Cinicial = 84 : 0,75 = 112 €
El vestido costaba 112 €.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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21. El coste de una reparación de fontanería asciende a 143,99 €, IVA incluido (21 %). ¿Cuál era el importe de la factura antes de cargar el IVA?
IVA=21%→ Ivariación = 1 + 0,21 = 1,21
Cfinal = Ivariación · Cinicial → 143,99 = 1,21 · Cinicial → Cinicial = 143,99 : 1,21 = 119 €
Lafactura,antesdecargarelIVA,ascendíaa119€.
22. Un automovilista concierta con su seguro una cuota anual de 520 € el primer año, que bajará a 442 € el segundo año en caso de no sufrir incidencias.
¿En qué porcentaje se rebajará la cuota si se cumple la condición exigida?
Cfinal = Ivariación · Cinicial → 442 = Ivariación · 520 → Ivariación = 442 : 520 = 0,85
Ivariación = 0,85 → Rebaja del (1 – 0,85) · 100 = 15 %
En caso de no sufrir incidencias el primer año, la cuota anual del seguro se rebajará un 15 % el segundo año.
23. Un cine recibió 4 600 espectadores con el estreno de la semana pasada, y ya lleva 5 200 para el de esta semana. ¿En qué porcentaje se ha superado ya el número de espectadores de la semana pasada?
Cfinal = Ivariación · Cinicial → 5 200 = Ivariación · 4 600 → Ivariación = 5 200 · 4 600 = 1,13
Ivariación = 1,13 → Aumentao del (1,13 – 1) · 100 = 13 %
El número de espectadores se ha superado en un 13 % respecto a la semana pasada.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
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24. Un pueblo tenía 25 000 habitantes en 1950. Hasta 1975 su población aumentó un 18 % y, después, en el último cuarto del siglo xx, volvió a aumentar un 25 %. ¿Cuántos habi-tantes tenía en el año 2000?
Aumento del 18 % → IV1 = 1,18
Aumento del 25 % → IV2 = 1,25
Índice de variación total: IVT = IV1 · IV2 = 1,18 · 1,25 = 1,475
Cfinal = IVT · Cinicial → Cfinal = 1,475 · 25 000 = 36 875 habitantes
En el año 2000, el pueblo tenía 36 875 habitantes.
25. Un agricultor vende sus melocotones y sus albaricoques, en el árbol, a un intermediario.
— El intermediario recoge la fruta y la pone en el almacén cargando el precio en un 25 %.
— El almacén, en el proceso de limpia, selección y envasado, revaloriza el producto en un 60 %.
— Del almacén, pasa al transporte refrigerado que lo lleva al mercado central de una gran ciudad europea, proceso en el que se dobla el precio.
— Del mercado central pasa al minorista encareciéndose en un 50 %.
a) ¿Qué variación porcentual hay entre el precio cobrado por el agricultor y el pagado por el consumidor?
b) ¿A qué precio paga los melocotones el consumidor, si el agricultor los cobró a 0,45 €/kg?
c) ¿A cuánto vendió el agricultor los albaricoques, si el consumidor los paga a 2,40 €/kg?
a)•Aumentodel25%→ IV1 = 1,25
•Aumentodel60%→ IV2 = 1,60
•Sedoblaelprecio→ IV3 = 2
•Aumentodel50%→ IV4 = 1,50
Índice de variación total: IVT = IV1 · IV2 · IV3 · IV4 → IVT = 1,25 · 1,60 · 2 · 1,50 = 6
IVT = 6 → Entre el precio cobrado por el agricultor y el pagado por el consumidor, ha habido un aumento del (6 – 1) · 100 = 500 %
b) Cfinal = IVT · Cinicial → Cfinal = 6 · 0,45 = 2,7 €/kg
El consumidor paga los melocotones a 2,7 €/kg.
c) Cfinal = IVT · Cinicial → 2,40 = 6 · Cinicial → Cinicial = 2,40 : 6 = 0,4 €/kg
El agricultor vendió los albaricoques a 0,4 €/kg.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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26. El agua almacenada en un pantano sufre los siguientes cambios a lo largo de un año:
1.er trimestre: sube el 27 %.
2.° trimestre: sube el 11 %.
3.er trimestre: baja el 48 %.
4.° trimestre: sube el 32 %.
a) ¿Cuál es la variación durante el primer semestre? ¿Y durante el segundo semestre?
b) Si el día 30 de junio había 2 422 hm3, ¿cuánto había el 1 de enero? ¿Y el 31 de diciem-bre?
a) A lo largo del primer semestre:
Ivariación = 1,27 · 1,11 = 1,41 → hay una subida del 41 %
A lo largo del segundo semestre:
Ivariación = 0,52 · 1,32 = 0,69 → hau una bajada del 31 %
b) El 1 de enero había:
Cinicial · 1,41 = 2 422
Cinicial = 2 422 : 1,41 = 1 717,73 hm3
El 31 de3 diciembre había:
Cfinal = 2 422 · 0,69 = 1 671,18 hm3
27. Un balón, lanzado a 8 metros de altura, pierde el 60 % de energía en cada bote, y deja de botar cuando cae desde una altura inferior a 25 cm. ¿Cuántos botes dará hasta parar-se? (Sugerencia: Utiliza la calculadora).
En cada bote el balón pierde el 60 % de energía → IV = 1 – 0,6 = 0,4
•Alturainicial:h=8m=800cm
•Primerbote:h=800·0,4=320cm
•Segundobote:h=320·0,4=128cm
•Tercerbote:h=128·0,4=51,2cm
•Cuartobote:h=51,2·0,4=20,48cm<25cm
Da 4 botes hasta pararse.
28. Un comerciante poco honesto, antes de anunciar unas rebajas del 40 %, aumenta el 40 % el precio de referencia de los artículos, creyendo que, de esa forma, las cosas que-darán igual. Sin embargo, sí hay un cierto descuento.
a) ¿Cuál es el verdadero descuento?
b) Si un traje valía 550 €, ¿cuál será su valor en cada paso del proceso?
a)
Aumento del 40 % → Índice de variación: 1,4Descuento del 40 % → Índice de variación: 0,6
→ Índice de variación: 0,6 · 1,4 = 0,84
Por tanto, se ha aplicado una rebaja total del 16 %.
b) Tras la primera subida → 550 · 1,4 = 770 €
Tras la rebaja del 40 % → 770 · 0,6 = 462 €
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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5 Depósitos y préstamos
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1. Un banco paga el 6 % anual por el dinero depositado. Un inversor pone 20 000 €. Al cabo de un año deja el dinero y los intereses y añade otros 10 000 €. ¿Cuánto dinero le darán al acabar otro año?
•Tras el primer año tendrá: 20 000 · 1,06 = 21 200 €.
•Trasañadir10000€ tendrá: 21 200 + 10 000 = 31 200 €.
•Alacabarotroañotendrá:31200·1,06=33072€.
2. Se depositan 6 000 € al 3 %. Al acabar el año, se saca todo el dinero, se añaden 3 820 € y se deposita todo en otro banco al 5 %. ¿Cuánto dinero hay al final de otro año?
•Tras el primer año: 6 000 · 1,03 = 6 180 €•Seañaden3820€: 6 180 + 3 820 = 10 000 €
•Traselsegundoaño:10000·1,05=10500€
3. ¿Qué intereses producen 1 000 € en cuatro meses, colocados al 4 % anual? ¿En cuánto se convierten?
Cuatro meses suponen 124
31= de año.
Un 4 % anual significa · ,431 1 3=
!% en cuatro meses:
1 000 € , %1 3!
1 000 · ,0 013!
= 13,33 €
1 000 €, al 4 % anual, producen unos intereses de 13,33 € en cuatro meses. Por tanto, 1 000 € en cuatro meses se convierten en 1 013,33 €.
4. ¿Qué capital, colocado al 3,2 % durante 9 meses, produce unos intereses de 448,80 €?
Nueve meses suponen 129
43= de año.
Un 3,2 % al año significa 3,2 · 43 = 2,4 % en nueve meses.
· , ,C C 0 024 448 80, %2 4 = € → C = 448,80 : 0,024 = 18 700 €
El capital ascendía a 18 700 €.
5. Un capital de 120 000 €, colocado en una cuenta a seis meses, se convierte en 126 750 €. ¿Qué tanto por ciento anual abona la cuenta?
Capital inicial = 120 000 €Capital final = 126 750 €
→ Intereses = 126 750 – 120 000 = 6 750 €
•I = interés semestral aplicado → 120 000 · I = 6 750 → I = 6 750 : 120 000 = 0,05625
Abona un 5,625 % de interés semestral.
•Un5,625%enseismesessupone2·5,625=11,25%alaño.
Por tanto, la cuenta abona un 11,25 % anual.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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6. Un inversor coloca 24 000 € al 4,8 % anual durante cinco años. ¿Cuánto tendrá al final de ese periodo?
Tendrá 24 000 · (1,048)5 ≈ 30 340,15 €.
7. ¿En cuánto se transforman 24 000 € durante 5 años al 4,8 % anual, si los periodos de capitalización son mensuales?
4,8 : 12 = 0,4. Un 4,8 % anual significa un 0,4% mensual.
Como en 5 años hay 5 · 12 = 60 meses:
CF = 24 000 · (1,004)60 ≈ 30 495,38 €
8. Colocando en un banco 10 000 € durante cinco años, se convierten en 13 000 €.
a) ¿Qué interés paga el banco?
b) ¿Qué cantidad se habría retirado si los periodos de capitalización hubieran sido men-suales?
a) Llamando x al índice de variación anual:
10 000 · x 5 = 13 000 → x 5 = 13 000 : 10 000 → x 5 = 1,3 → x = ,1 35 ≈ 1,054
El banco pagaba un 5,4 % anual.
b) 5,4 : 12 = 0,45
Un 5,4 % anual significa un 0,45 % mensual. En 5 años hay 5 · 12 = 60 meses.
CF = 10 000 · 1,004560 ≈ 13 092 €
Si los periodos de capitalización hubieran sido mensuales, la cantidad que se habría retirado tras cinco años habría sido 13 092 €.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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6 Otros problemas aritméticos
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1. Si mezclamos 12 kg de café de 12,40 €/kg con 8 kg de café de 7,40 €/kg, ¿cuál será el precio de la mezcla?
cantidad precio coste
café a 12 kg 12,40 €/kg 12 · 12,40 = 148,8 €café B 8 kg 7,40 €/kg 8 · 7,40 = 59,2 €mezcla 20 kg 208 €
Precio de la mezcla = 20208 10,40
CANTIDAD TOTALCOSTE TOTAL = = €/kg
2. Si mezclamos un lingote de 3 500 g con un 80 % de oro con otro lingote de 1 500 g con un 95 % de oro, ¿qué proporción de oro habrá en el lingote resultante?
•El lingote resultante pesará 3 500 g + 1 500 g = 5 000 g.
•Enelprimerlingotehay0,8·3 500=2 800gdeoro.
•En el segundo lingote hay 0,95 · 1 500 = 1 425 g de oro.
•En el lingote resultante hay 2 800 + 1 425 = 4 225 g de oro.
•Laproporcióndeoroenellingotefinalserá:5 0004 225 = 0,845 → 84,5 %
3. Un barril contiene 1 hl de vino de alta graduación, cotizado a 3,60 €/l. Para rebajar el grado alcohólico, se le añaden 20 litros de agua. ¿Cuál es ahora el precio del vino?
•Tenemos 100 + 20 = 120 l de “vino aguado”.
•Suponiendoqueelaguaesgratis,elpreciototaldelamezclaseráelmismoqueeldelvino;es decir: 100 · 3,60 = 360 €.
•Portanto,elpreciodelvinoaguadoserá: €
l120360 = 3 €/l
4. ¿Qué cantidad de café superior, a 15 €/kg, hay que mezclar con 100 kilos de otro café, de peor calidad, a 9,50 €/kg, para que la mezcla resulte a 12,50 €/kg?
(Da el resultado con un error menor de 100 g).
cantidad precio coste
café superior x 15 €/kg 15x
café inferior 100 9,50 €/kg 9,50 · 100 = 950mezcla 100 + x 12,50 €/kg 12,50 · (100 + x)
Coste café superior + Coste café inferior = Coste mezcla
15x + 950 = 12,50 · (100 + x) → 15x + 950 = 1 250 + 12,50x
2,5x = 300 → x = ,2 5
300 → x = 120 kg
Hay que mezclar 120 kg de café superior.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
21
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5. Se mezcla un barril de vino, que se vende a 7,40 € la cántara, con tres barriles de otro vino, que se vende a 5,20 € la cántara.
¿A cómo se ha de vender la cántara de la mezcla para obtener el mismo rendimiento que vendiéndolos por separado?
cantidad precio coste
primer vino 1 7,40 €/cántara 1 · 7,40 = 7,40 €segundo vino 3 5,20 €/cántara 3 · 5,20 = 15,60 €
mezcla 4 x 7,40 + 15,60 = 23 €
Precio de la mezcla = 423
CANTIDAD TOTALCOSTE TOTAL = = 5,75 €/cántara
Se debe vender a 5,75 €.
6. Un litro de agua pesa 999,2 g, y un litro de alcohol, 794,7 g. ¿Cuál es el peso de un litro de la disolución obtenida al mezclar 3 l de agua con 7 l de alcohol?
En total, tenemos 10 l de mezcla.
Los 3 l de agua pesan 3 · 999,2 = 2 997,6 g.
Los 7 l de alcohol pesan 7 · 794,7 = 5 562,9 g.
La mezcla, en total, pesa 2 997,6 + 5 562,9 = 8 560,5 g.
Por tanto, el peso por litro de la disolución será: ,l10
8 560 5 g = 856,05 g/l
7. Un joyero quiere fundir un lingote de 2 kg de oro de ley 0,85 con otro lingote de 1,5 kg de oro y cuya ley es 0,9. ¿Cuál es la ley del lingote resultante?
(La ley de una aleación es el cociente entre el peso del metal precioso y el peso total de la aleación).
El lingote resultante pesará 2 + 1,5 = 3,5 kg.
El primer lingote contiene 0,85 · 2 = 1,7 kg de oro.
El segundo lingote contiene 0,9 · 1,5 = 1,35 kg de oro.
El lingote resultante contiene 1,7 + 1,35 = 3,05 kg de oro.
La ley del lingote final será: ,,3 53 05 ≈ 0,87
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
22
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 62
8. Un coche va a 120 km/h y un camión a 90 km/h.
a) Si el coche sigue al camión a 75 km de distancia, ¿cuánto tardará en alcanzarlo?
b) Si están a 504 km y se dirigen uno hacia el otro, ¿cuánto tardarán en cruzarse?
a) El coche se aproxima al camión a una velocidad de 120 – 90 = 30 km/h.
Por tanto, en salvar los 75 km que les separan, tardará: 3075 = 2,5 h.
b) Ahora, el coche y el camión se aproximan a 120 + 90 = 210 km/h.
Por tanto, tardarán en cruzarse: 210504 = 2,4 h.
9. Dos poblaciones A y B distan 240 km. A las nueve de la mañana sale de A hacia B un ca-mión a una velocidad de 70 km/h. Simultáneamente, un coche sale de B hacia A a 110 km/h. ¿A qué hora se cruzan?
El camión y el coche se aproximan, el uno al otro, a razón de:
70 + 110 = 180 km/h
El tiempo en encontrarse será:
t = Velocidad a la que se acercan
Distancia que los separa180240
34= = hora = 1 h 20 min.
10. Un ciclista profesional avanza por una carretera a una velocidad de 38 km/h. Más ade-lante, a 22 km, un cicloturista avanza en la misma dirección a 14 km/h. ¿Cuánto tarda el uno en alcanzar al otro?
El ciclista profesional se aproxima al cicloturista a razón de:
38 – 14 = 24 km/h
El tiempo hasta el encuentro será:
t = Velocidad a la que se acercan
Distancia que los separa2422
1211= = hora = 55 minutos
11. Unos delincuentes roban un coche y, creyéndose a salvo, se alejan tranquilamente por la autopista a 120 km/h. Sin embargo, un testigo avisa a la policía, que sale en su per-secución cinco minutos después y tarda otros doce minutos en darles alcance. ¿A qué velocidad iba la policía?
•Delincuentes:
8Velocidad 120 km/h
tiempo 5 min 12 min 17 min6017 h Distancia 120 ·
6017 34 km
=
= + = = = =4
•Cuando la policía da alcance a los delincuentes también ha recorrido 34 km pero en
12 minutos → 6012 h = 0,2 h.
•Policía:
8Distancia 34 kmtiempo 0,2 h
Velocidad0,234 170 km/h
==
= =3
La policía iba a 170 km/h.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
23
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
12. Julián y Cristina viven a una distancia de 3,2 km. Julián telefonea a Cristina y acuerdan salir de inmediato uno al encuentro del otro.
Julián lo hace a pie, al ritmo de 70 metros por minuto. Cristina sale en bici y el encuen-tro se produce en 10 minutos. ¿A qué velocidad avanzaba Cristina?
•Julián:
elocidad 70 m/min
tiempo 10 minv =
=3 → Distancia recorrida = 70 · 10 = 700 m
•HastaqueseencuentranJuliánharecorrido700m,portanto,Cristinaharecorridoelrestode la distancia que los separaba:
3 200 m – 700 m = 2 500 m
•Cristina:
istancia recorrida 2 500 m
tiempo 10 mind =
=3 →Velocidad=
102 500 = 250 m/min
Cristina avanzaba a 250 m/min.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
24
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 63
13. Dos grifos, A y B, abastecen un depósito de agua. Abriendo el primero, el depósito se llena en 5 horas, y abriendo el segundo, en 7 horas.
¿Cuánto tarda en llenarse el depósito si se abren los dos?
•ElgrifoAllena51 del depósito en una hora.
•ElgrifoBllena71 del depósito en una hora.
•AyBjuntosllenan51
71
3512+ = del depósito en una hora.
•AyBllenanjuntoseldepósitoen1235 de hora = 2 h 55 min.
14. Un depósito dispone de dos grifos de abastecimiento. Abriendo el primero, se llena en 3 horas, y abriendo los dos se llena en 2 horas.
¿Cuánto tarda en llenarse el depósito si se abre solo el segundo?
•Elprimergrifollena31 del depósito en una hora.
•Losdosgrifosjuntosllenan21 del depósito en una hora.
•Elsegundogrifollena21
31
61– = del depósito en una hora.
•Elsegundogrifollenaráeldepósitoen6horas.
15. El embalse que abastece de agua a una ciudad, A, tiene reservas para 8 meses. Por un problema temporal, debe prestar servicio, también, a una ciudad vecina, B, con lo que se calcula que las reservas, para ambas ciudades, se reducen a 5 meses.
¿Cuánto tiempo podría asegurar el abastecimiento en exclusiva de la ciudad B?
•LaciudadAconsume81 del embalse cada mes.
•AyBconsumen51 del embalse cada mes.
•LaciudadBconsume51
81
403– = del embalse en un mes.
•ElembalsepodríaasegurarelabastecimientodelaciudadBdurante340 meses = 13 meses
y 10 días (considerando que un mes tiene 30 días).
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
16. Una bañera dispone de un grifo de agua fría y otro de agua caliente. Abriendo solo el agua fría, se llena en 8 minutos, y abriendo la caliente, en 12 minutos. Dispone también de un desagüe que, cuando está llena, la vacía en 4 minutos.
a) ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse si se abren los dos grifos a la vez para obtener agua templada?
b) ¿Qué ocurrirá si, estando vacía, se abren los dos grifos y se olvida colocar el tapón del desagüe?
a) El grifo de agua fría llena, en un minuto, 81 de la bañera.
El grifo de agua caliente llena, en un minuto, 121 de la bañera.
Los dos grifos juntos, en un minuto, llenan 81
121
245+ = de la bañera.
Si se abren los dos grifos a la vez la bañera se llena en 524 minutos = 4 minutos y 48 se-
gundos.
b) Los dos grifos juntos, en un minuto, llenan 245 de la bañera.
El desagüe, en un minuto, vacía 41 de la bañera.
Como 245
41< , si se abren los dos grifos y se olvida colocar el tapón del desagüe, la bañera
no se llenará nunca.
17. Un peatón ha tardado 35 minutos en el recorrido A-B. Un ciclista ha tardado14 minu-tos en el recorrido contrario, B-A. Si ambos han salido a la par:
a) ¿Cuánto han tardado en cruzarse?
b) ¿Qué fracción del recorrido ha cubierto cada uno?
a) El peatón recorre, cada minuto, 351 de la distancia entre A y B.
El ciclista recorre, cada minuto, 141 de la distancia entre B y A.
Los dos juntos recorren, cada minuto, 351
141
707
101+ = = de la distancia entre A y B,
entonces el peatón y el ciclista tardan 10 minutos en cruzarse.
b) El peatón ha cubierto 3510
72= del recorrido y el ciclista
1410
75= del recorrido.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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Ejercicios y problemas
Página 64
Practica1. Calcula mentalmente.
a) 50 % de 360 b) 25 % de 88 c) 10 % de 1 375
d) 20 % de 255 e) 75 % de 800 f ) 30 % de 150
a) 180 b) 22 c) 137,5
d) 51 e) 600 f ) 45
2. Calcula.
a) 20 % de 1 240 b) 12 % de 175
c) 87 % de 4 000 d) 95 % de 60
e) 13 % de 2 400 f ) 7 % de 250
g) 22 % de 1 353 h) 5 % de 421
a) ·100
20 1240 248= b) ·100
12 175 21=
c) ·100
87 4 000 3 480= d) ·100
95 60 57=
e) ·100
13 2 400 312= f ) · ,100
7 250 17 5=
g) · ,100
22 1353 297 66= h) · ,100
5 421 21 05=
3. Copia y completa en tu cuaderno.
a) Para calcular el 12 %, se multiplica por 0,12.
b) Para calcular el 35 %, se muliplica por 0,35.
c) Para calcular el 5 %, se multiplica por 0,05.
d) Para calcular el 2 %, se multiplica por 0,02.
4. Calcula el tanto por ciento que representa:
a) 42 respecto de 200 b) 45 respecto de 1 500 c) 432 respecto de 960
d) 117 respecto de 650 e) 575 respecto de 2 500 f ) 195 respecto de 1 300
g) 8 respecto de 50 h) 75 respecto de 625
a) 10042 · 100 = 21 % b)
150045 · 100 = 3 % c)
960432 · 100 = 45 %
d) 650117 · 100 = 18 % e)
2 500575 · 100 = 23 % f )
1300195 · 100 = 15 %
g) 508 · 100 = 16 % h)
62575 · 100 = 12 %
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
27
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5. ¿Qué índice de variación corresponde a estos aumentos porcentuales?
a) 8 % b) 3 % c) 17 % d) 95 % e) 110 %
a) I.V.=1,08 b)I.V.=1,03 c)I.V.=1,17 d)I.V.=1,95 e)I.V.=2,10
6. ¿Qué índice de variación corresponde a estas disminuciones porcentuales?
a) 96 % b) 13 % c) 35 % d) 6 % e) 63 %
a) I.V.=0,04 b)I.V.=0,87 c)I.V.=0,65 d)I.V.=0,94 e)I.V.=0,37
7. Piensa y completa en tu cuaderno.
a) Al multiplicar por 1,3 se aumenta un 30 %.
b) Al multiplicar por 1,08 se aumenta un 8 %.
c) Al multiplicar por 0,90 se disminuye un 10 %.
d) Al multiplicar por 0,65 se disminuye un 35 %.
8. Calcula el valor de x en cada caso.
a) El 30 % de x es 21.
b) El 85 % de x es 187.
c) El 32 % de x es 384.
d) El 13 % de x es 97,24.
a) 30 % de x = 21 → 0,3 · x = 21 → x = 21 : 0,3 = 70
b) 85 % de x = 187 → 0,85 · x = 187 → x = 187 : 0,85 = 220
c) 32 % de x = 384 → 0,32 · x = 384 → x = 384 : 0,32 = 1 200
d) 13 % de x = 97,24 → 0,13 · x = 97,24 → x = 97,24 : 0,13 = 748
9. Expresa en un solo porcentaje.
a) El 40 % del 20 %.
b) El 15 % del 30 %.
c) El 12,5 % del 80 %.
d) El 120 % del 10 %.
a) 8% b) 4,5% c) 10% d) 12%
Aplica lo aprendidoProblemas de proporcionalidad simple y compuesta
10. Un coche consume 6,4 l de combustible cada 100 km. ¿Cuánto gasta en 300 km? ¿Y en 375 km?
En 300 km gasta 6,4 · 3 = 19,2 l.
En 375 km gasta 6,4 · 3,75 = 24 l.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
28
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
11. Trabajando 8 horas al día, he tardado 5 días en poner el suelo de una vivienda. ¿Cuántos días habría tardado trabajando 10 horas diarias?
El número de horas trabajadas al día es inversamente proporcional al número de días que se tarda en hacer un trabajo.
horas/día n.° de días8 510 x
I
·8x x108
5 108 5 4= = =
Trabajando 10 horas al día, habría tardado 4 días.
12. Un campesino ha obtenido una cosecha de 40 000 kilos de trigo de un campo que tiene una superficie de 2,5 hectáreas. ¿Qué cosecha puede esperar de un campo próximo de hectárea y media?
La superficie de un campo y el número de kilos de trigo que se obtienen son magnitudes directamente proporcionales.
superficie (ha) trigo (kg)2,5 40 0001,5 x
D
,,
,, ·8
xx
1 52 5 40 000
2 51 5 40 000 24 000= = =
Puede esperar una cosecha de 24 000 kg.
13. Un grifo con un caudal de 45 l/h llena un depósito en 8 horas. ¿Cuál debería ser el caudal para llenar la mitad del depósito en 6 horas?
El grifo en 1 hora arroja 45 l → En 8 horas arrojará 45 · 8 = 360 l.
La mitad del depósito será l2
360 = 180 l .
Si se quiere llenar en 6 horas, el caudal será: l6
180h
= 30 l /h
14. Una empresa ha cobrado 30 € por el alquiler de una máquina cortacésped durante 5 días. ¿Cuánto recibirá por el alquiler de dos cortacéspedes durante 4 días?
El número de máquinas cortacéspedes y el número de días son directamente proporcionales al coste del alquiler.
n.° de máquinas n.° de días coste (€)1 5 302 4 x
D
D
··
·· ·8
xx
2 41 5 30
1 530 2 4 48= = =
La empresa ha cobrado 48 € por el alquiler de 2 máquinas durante 4 días.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
29
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15. Un taller fabrica en 10 días 1 600 chaquetas, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuánto tardará en hacer 2 000 chaquetas trabajando 10 horas al día?
El número de chaquetas que se han de confeccionar es directamente proporcional al número de días que se han de trabajar.
Sin embargo, el número de horas de trabajo al día es inversamente proporcional al número de días trabajados.
chaquetas horas/día n.º de días1 600 8 102 000 10 x
I
D
··
·· ·8
xx
2 000 81600 10 10
1600 1010 2 000 8 10= = =
Tardará 10 días en hacer 2 000 chaquetas.
16. Un pintor ha cobrado 480 € por cuatro jornadas de 8 horas. ¿Cuánto cobrarán dos pintores por tres jornadas de 10 horas?
El número de pintores que trabajan y el número de jornadas trabajadas son directamente proporcionales al sueldo cobrado.
n.º de pintores jornadas sueldo1 4 4802 3 x
D
D
··
·· ·8
xx
2 31 4 480
1 4480 2 3 720= = =
720 € es lo que cobrarían 2 pintores trabajando 3 jornadas de 8 h.
Por 3 jornadas de 1 h, 2 pintores cobrarían 8
720 = 90 €.
Por 3 jornadas de 10 h, 2 pintores cobrarían 90 · 10 = 900 €.
17. Un tablero de 2,80 m × 1,20 m cuesta 42 €. ¿Cuánto costará otro tablero de 1,65 m × 0,80 m?
largo del tablero (m) ancho del tablero (m) coste (€)2,80 1,20 421,65 0,80 x
D
D
,, ·
,,
, · ,, · ,
, · ,· , · , ,8 8
x xx42
1 652 80
0 801 20 42
1 65 0 802 80 1 20
2 80 1 2042 1 65 0 80 16 50= = = = €
Un tablero de 1,65 m × 0,80 m costará 16,50 €.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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Problemas de porcentajes
18. Para comprar un piso de 180 000 €, se ha de pagar, además, un 8 % de IVA y 5 400 € de gastos de notaría y gestión. ¿Cuál es el gasto total?
180 000 · 1,08 = 194 400
El gasto total es de 194 400 + 5 400 = 199 800 €.
19. Un especulador compra 6 000 m2 de terreno a 80 €/m2. Un año después, vende 2 000 m2 un 20 % más caro, y el resto, por un 25 % más de lo que le costó. ¿Cuál ha sido su ganancia?
Precio pagado por el terreno = 6 000 · 80 = 480 000 €
Precio de venta:
2 000 m2 un 20 % más caro → 1,20 · 80 = 96 €/m2
Ventade2 000m2 8 2 000 · 96 = 192 000 €
4 000 m2 un 25 % más caro → 1,25 · 80 = 100 €/m2
Ventade4 000m2 → 4 000 · 100 = 400 000 €
Dinero total conseguido por la venta: 400 000 + 192 000 = 592 000 €
Ganancia = 592 000 – 480 000 = 112 000 €
La ganancia obtenida es de 112 000 €.
20. De 1 232 hombres encuestados, 924 declaran que colaboran en las tareas del hogar. ¿Qué porcentaje de hombres dice trabajar en casa?
De un total de 100 hombres, colaboran en las tareas del hogar x.
total parte1 232 924100 x
·8x
x100
1232 9241232
924 100 75= = =
El 75 % de los hombres dice trabajar en casa.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 65
21. En un examen de Matemáticas han aprobado 22 estudiantes, lo que supone el 88 % del total de la clase. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?
88 % del total = 22 estudiantes
Total · 0,88 = 22 → Total = 22 : 0,88 = 25
En la clase hay 25 estudiantes.
22. En la sesión de tarde de un teatro se han ocupado hoy 693 butacas, lo que supone el 77 % del total. ¿Cuál es el aforo del teatro?
El aforo es 693 : 0,77 = 900 plazas.
23. En una tienda se anuncian rebajas del 35 %.
a) ¿En cuánto se queda un jersey de 60 €?
b) ¿Cuánto costaba, sin rebaja, una camisa que se queda en 39 €?
a) Rebaja del 35 % → Ivariación = 1 – 0,35 = 0,65
Cfinal = Ivariación · Cinicial → Cfinal = 0,65 · 60 = 39 €
El jersey, con la rebaja, se queda en 39 €.
b) Del apartado anterior se deduce que la camisa, sin rebaja, costaba 60 €.
24. Paula ha pagado 76,50 € por un vestido que costaba 85 €. ¿Qué tanto por ciento le han rebajado?
precio inicial (€) precio final (€)85 76,5100 x
, , ·8x
x10085 76 5
8576 5 100 90= = =
En un artículo que hubiera costado 100 €, habría pagado 90 €, luego le han rebajado el 10 %.
25. A Irene le han subido el sueldo un 5 % y ahora gana 2 205 €. ¿Cuánto ganaba antes de la subida?
Subida del 5 % → Ivariación = 1 + 0,05 = 1,05
Cfinal = Ivariación · Cinicial → 2 205 = 1,05 · Cinicial →
→ Cinicial = 2 205 : 1,05 = 2 100 €
Antes de la subida Irene ganaba 2 100 €.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
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26. En las rebajas pagamos 344,40 € por un anorak rebajado un 18 %. ¿Cuál era el pre-cio sin rebaja?
Rebaja del 18 % → Ivariación = 1 – 0,18 = 0,82
Cfinal = Ivariación · Cinicial → 344,40 = 0,82 · Cinicial → Cinicial = 344,40 : 0,82 = 420 €
El precio sin rebajar del anorak era de 420 €.
27. Una empresa automovilística ha exportado, durante este trimestre, 6 210 coches, frente a los 5 400 del trimestre pasado. ¿En qué porcentaje ha aumentado este trimestre respecto al anterior?
Cfinal = Ivariación · Cinicial → 6 210 = Ivariación · 5 400 → Ivariación = 6 210 : 5 400 = 1,15
La exportación de coches ha aumentado un 15 % respecto al trimestre anterior.
28. El precio de la vivienda subió un 8 % hace dos años, un 15 % el año pasado y un 10 % este año. ¿Cuál ha sido el porcentaje total de subida?
El índice de variación en los últimos tres años será:
1,08 · 1,15 · 1,1 = 1,3662 → 1,3662 – 1 = 0,3662
El porcentaje de subida es 36,62 %.
29. Un trabajador, que tenía un sueldo de 1 800 €, es ascendido a jefe de sección con un sueldo de 2 200 €. ¿En qué tanto por ciento ha mejorado el sueldo?
Cfinal = Ivariación · Cinicial → 2 200 = Ivariación · 1 800 → Ivariación = 2 200 : 1 800 = 1,22
Su sueldo ha mejorado un 22 %.
Problemas de depósitos y préstamos
30. Se depositan 15 000 € al 2,5 % anual. Al acabar el año se saca todo el dinero, se aña-den 10 000 € y se deposita todo en otro banco al 4 %. ¿Cuánto dinero habrá al acabar el segundo año?
Dinero al finalizar el primer año = 15 000 · 1,025 = 15 375 €
Añade otros 10 000 € → 15 375 + 10 000 = 25 375 €
Se depositan en otro banco al 4 % durante otro año → 25 375 · 1,04 = 26 390 €
Al acabar el segundo año habrá 26 390 €.
31. Un comerciante pide una prórroga de dos meses por una letra de 2 000 €, con unos intereses del 16 % anual. ¿Cuánto le cuesta la prórroga?
Si la prórroga fuera de un año, tendría que pagar como intereses de demora el 16 % de 2 000:
16 % de 2 000 = ·100
16 2 000 320= €
Como solo pide una prórroga de 2 meses (sexta parte del año), deberá pagar unos intereses de 320 : 6 = 53,33 €.
La prórroga le cuesta 53,33 €.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
33
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
32. Un comerciante pide una prórroga de 4 meses por una letra de 5 000 €, lo que le supone una penalización de 225 €. ¿A qué tanto por ciento le ponen los intereses de demora?
i = interés cuatrimestral aplicado
5 000 · i = 225 → i = 225 : 5 000 = 0,045
Se le impone un 4,5 % de interés cuatrimestral por la demora.
Un 4,5 % en cuatro meses significa un 3 · 4,5 = 13,5 % al año.
Por tanto, le aplican un 13,5 % anual por los intereses de demora.
33. Jorge tiene 24 000 €, y pacta mantener el dinero en un banco durante cinco años, cobrando los beneficios cada año, a un 6 % anual.
¿Qué beneficio obtiene anualmente? ¿Y en los cinco años del acuerdo?
Dado que los beneficios los retira anualmente, el interés que pacta con el banco es simple.
Beneficio que obtiene en 1 año:
6 % de 24 000 = ·100
6 24 000 = 1 440 €
Beneficio que obtiene en 5 años:
5 · 1 440 = 7 200 €
En 1 año obtiene un beneficio de 1 440 €, y en 5 años, 7 200 €.
34. Tengo 28 500 € colocados al 4,25 % anual. Al terminar el año, sumo los intereses a lo que tenía y lo dejo en el banco con las mismas condiciones. ¿Qué cantidad tendré al cabo de cinco años?
CF = 28 500 · 1,04255 = 35 093,38 €
35. ¿En cuánto se transforman 20 600 € durante 3 años al 6 % anual si los periodos de capitalización son mensuales?
6 % anual significa 0,5% mensual (6 : 12 = 0,5).
En 3 años hay 36 meses. Por tanto:
Capital final = 20 600 · 1,00536 = 24 651,62 €
36. Rosa y María colocan, cada una, 6 000 € al 4 % anual durante cuatro años. Rosa re-tira anualmente los beneficios obtenidos. María da orden de que los beneficios se sumen cada año al capital. ¿Cuál es la diferencia entre los beneficios obtenidos por cada una?
Rosa negocia su capital bajo un interés simple:€C
rt
6 00044
===
_
`
a
bb
b Beneficio → I = · · · ·C r t
100 1006 000 4 4= = 960 €
María negocia su capital bajo un interés compuesto:
Capital final: 6 000 · 1,044 = 7 019,15 €
María gana: 7 019,15 – 6 000 = 1 019,15 €
María obtiene: 1 019,15 – 960 = 59,15 € más de beneficio que Rosa.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
34
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Problemas de repartos
37. Se ha encargado a un orfebre el diseño y la fabricación de un trofeo que ha de pesar 5 kg y ha de estar fabricado con una aleación que contenga tres partes de oro, tres de plata y dos de cobre. ¿Qué cantidad se necesita de cada metal?
Número total de partes = 3 + 3 + 2 = 8
Cantidad de metal en cada parte = 85 = 0,625 kg
Cantidad de oro → 3 · 0,625 = 1,875 kg = 1 kg 875 g
Cantidad de plata → 3 · 0,625 = 1,875 kg = 1 kg 875 g
Cantidad de cobre → 2 · 0,625 = 1,25 kg = 1 kg 250 g
38. Tres vecinos de una aldea alquilan una máquina motosierra durante 12 días. Juan la tiene 2 días; Pedro, 3 días; y Rufino, 7 días. El importe del alquiler asciende a 264 euros. ¿Cuánto debe pagar cada uno?
Número total de días que se alquila la máquina = 12
Precio por día = N.° de díasPrecio total =
12264 = 22
Juan debe pagar → 2 · 22 = 44 €
Pedro debe pagar → 3 · 22 = 66 €
Rufino debe pagar → 7 · 22 = 154 €
39. En un concurso de televisión se distribuyen 155 000 € entre los tres finalistas. El reparto se realiza en partes inversamente proporcionales al número de fallos cometidos durante la prueba:
A: 3 fallos B: 5 fallos C: 2 fallos
¿Cuánto se lleva cada uno de los finalistas?
Repartir 155 000 € en partes inversamente proporcionales a 3, 5 y 2 es equivalente a repartir
dicha cantidad en partes directamente proporcionales a ,31
51
21y :
31
51
21
3010 6 1
30315+ + = + + =
155 000 : 3031 = 150 000
FinalistaA(3fallos)→ 31 · 150 000 = 50 000 €
FinalistaB(5fallos)→ 51 · 150 000 = 30 000 €
FinalistaC(2fallos)→ 21 · 150 000 = 75 000 €
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
35
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Otros problemas aritméticos
40. Un fabricante de churros usa una mezcla de aceite que contiene dos partes de aceite de oliva por cada parte de aceite de girasol. Sabiendo que compra el de oliva a 3,40 €/litro y el de girasol a 1,60 €/litro, ¿a cómo le sale el litro de mezcla?
cantidad (l ) precio (€/l ) coste total (€)
aceite oliva 2 3,40 6,80aceite girasol 1 1,60 1,60
mezcla 3 8,40
Precio de un litro de mezcla = n.° de litros
Coste3
8,40= = 2,8 €
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
36
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 66
41. Dos poblaciones A y B distan 270 km. A las 12 de la mañana sale de A hacia B un coche que circula a 100 km/h. En el mismo instante, un coche sale de B hacia A circu-lando a 80 km/h. ¿A qué hora se cruzan?
A B100 km/h 80 km/h
Ambos vehículos se aproximan a la velocidad de 100 + 80 = 180 km/h.
A una velocidad de 180 km/h, el tiempo que tardan en recorrer los 270 km que separan
A de B es t = ve
180270= = 1,5 h.
Por tanto, se cruzarán a las 13 horas y media (una y media de la tarde).
42. Un ciclista sale de un lugar a 18 km/h. Media hora más tarde sale en su persecución, desde el mismo lugar, otro ciclista a 22 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el segundo en alcanzar al primero?
Cuando sale el segundo ciclista, el primero, en media hora, lleva recorridos 9 km.
Los ciclistas se aproximan a 22 – 18 = 4 km/h.
Y 9 km, a una velocidad de 4 km/h se recorren en 2 horas y cuarto.
El segundo ciclista dará alcance al primero en 2 h 15 min.
43. Una furgoneta circula por una carretera a una velocidad de 70 km/h. Treinta kiló-metros más atrás, avanza en el mismo sentido un turismo a 100 km/h.
Calcula el tiempo que tarda el turismo en alcanzar a la furgoneta y la distancia que re-corre hasta lograrlo.
El turismo se aproxima a la furgoneta a razón de 100 – 70 = 30 km/h
El tiempo hasta que el turismo alcanza a la furgoneta es:
t = Velocidad a la que se acerca
Distancia que los separa3030 1= = hora
Por tanto, el turismo tarda una hora en alcanzar a la furgoneta y, dado que su velocidad es de 100 km/h, habrá recorrido 100 km hasta lograrlo.
44. Dos manantiales vierten sus aguas en un depósito de 345 litros de capacidad. Si el caudal del primero es de 50 l /min, y el del segundo, 40 l /min, ¿cuánto tiempo tardarán en llenar el depósito?
El caudal de los dos manantiales será:
50 + 40 = 90 l/min.
Los dos manantiales juntos invertirán 90345 ≈ 3,83 minutos en llenar 345 l.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
37
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
45. El depósito de agua potable de cierta población se abastece del manantial del que siempre bebió el pueblo y de un pozo abierto recientemente, cuando aumentó la de-manda. El manantial es capaz de llenar el depósito en 6 horas, y la bomba que extrae el agua del pozo, en 10 horas.
¿En cuánto tiempo se llenará el depósito, actuando ambos recursos conjuntamente?
El manantial, en una hora, llena 61 del depósito.
La bomba que extrae el agua del pozo, en una hora, llena 101 del depósito.
Ambos recursos juntos llenan en una hora:
61
101
308
154+ = = del depósito
Por tanto, el manantial y la bomba llenan el depósito en 415 horas = 3 h 45 min
46. Un depósito de riego se abastece de dos bombas que extraen agua de sendos pozos. La primera, funcionando en solitario, llena el depósito en 10 horas, pero cuando se po-nen las dos en funcionamiento, se llena en 6 horas.
¿Cuánto tiempo tardaría la segunda bomba, conectada en solitario?
La primera bomba llena, en una hora, 101 del depósito.
Las dos bombas juntas llenan en una hora, 61 del depósito.
La segunda bomba llena, en una hora:
61
101
302
151– = = del depósito.
Por tanto, la segunda bomba conectada en solitario llenaría el depósito en 15 horas.
47. Los autobuses que cubren el servicio entre dos urbanizaciones tardan 30 minutos en el recorrido A-B y 24 minutos en el recorrido contrario, B-A.
¿Cuánto tardan en cruzarse dos autobuses que salen a la misma hora, para hacer los recorridos opuestos?
El primer autobús recorre, cada minuto, 301 del recorrido A-B.
El segundo autobús recorre, cada minuto, 241 del recorrido B-A.
Los dos juntos recorren, cada minuto:
301
241
1209
403+ = = del recorrido entre ambas urbanizaciones
Por tanto, los autobuses tardan en cruzarse 340 minutos = 13 minutos y 20 segundos.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
38
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Resuelve problemas48. Tres socios invierten en un negocio 272 000 €. El primero pone el 65 %; el segundo,
el 20 %, y el tercero, el resto. Si a final de año han conseguido una rentabilidad del 8 % del capital invertido, ¿qué cantidad recibirá cada uno?
La cantidad que obtienen es 272 000 · 1,08 = 293 760 €.
El primer socio recibe 293 760 · 0,65 = 190 944 €.
El segundo socio recibe 293 760 · 0,20 = 58 752 €.
El tercer socio recibe 293 760 · 0,15 = 44 064 €.
49. Una carrera ciclista está dotada con un premio de 5 000 € para el ganador más otros 7 200 € a distribuir entre los cuatro siguientes, de forma que a cada uno se le asig-nará una cantidad inversamente proporcional al puesto conseguido en la carrera.
¿Cuánto se llevará cada uno de esos cuatro?
Repartir 7 200 € en partes inversamente proporcionales a 2, 3, 4 y 5 es equivalente a repartir
dicha cantidad en partes directamente proporcionales a , ,21
31
41
51y .
21
31
41
51
6030 20 15 12
6077+ + + = + + + =
7 200 : ·6077
777 200 60=
Al segundo clasificado le corresponden · ·77
7 200 6021a k = 2 805,19 €.
Al tercer clasificado le corresponden · ·77
7 200 6031a k = 1 870,13 €.
Al cuarto clasificado le corresponden 77
7 200 60 14
· ·a k = 1 402,60 €.
Al quinto clasificado le corresponden 77
7 200 60 15
· ·a k = 1 122,08 €.
50. Un estudiante ocupa un piso de alquiler el día uno de septiembre con la idea de compar-tirlo con otros dos compañeros. El día 10 entra el segundo inquilino, y el día 25, el tercero.
¿Cómo deben repartir ese primer mes el recibo del alquiler, que asciende a 605 €?
Elprimerestudianteocupaelpisodurante30días;elsegundo,21díasyeltercero,6días.Total, 57 días.
Precio por día = 57605 = 10,6 €
El primer estudiante debe pagar 30 · 10,6 = 318 €.
El segundo estudiante debe pagar 21 · 10,6 = 222,6 ≈ 223 €.
El tercer estudiante debe pagar 6 · 10,6 = 63,6 ≈ 64 €.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
39
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
51. Un automóvil ha ido a 90 km/h durante 20 min y a 120 km/h durante los 10 min siguientes. ¿Cuál ha sido la velocidad media en ese tiempo?
Calculamos el espacio que ha recorrido en cada periodo:•Durante20minutoslavelocidadhasidode90km/h.
El espacio que ha recorrido es de 390 = 30 km (20 minutos es la tercera parte de 1 hora).
•Durante10minutoslavelocidadhasidode120km/h.
En este tiempo ha recorrido 6
120 = 20 km (10 minutos es la sexta parte de 1 hora).
Espacio total recorrido 30 20 50 kmTiempo invertido 20 10 30 min 0,5 h
= + == + + =
3 Velocidadmedia=,0 5
50 = 100 km/h
52. Un camión sale de A hacia B a 80 km/h. Un cuarto de hora después sale un coche, en la misma dirección, a 120 km/h, llegando ambos a B simultáneamente. ¿Cuál es la distancia entre A y B?
A B
120 km/h 80 km/h
Ambos vehículos se aproximan a una velocidad de 120 – 80 = 40 km/h.
•Calculamosladistanciaquellevarecorridaelcamióncuandoelcochesale:
En 1 h recorre 80 km. En 41 h recorre
480 = 20 km.
•Eltiempoenrecorrerlos20kmquelesseparan,aunavelocidadde40km/hes:
t = ve → t =
4020 = 0,5 h
El coche y el camión tardan media hora en encontrarse, momento que se produ-ce al final del trayecto. Por tanto, el coche tarda 0,5 h en llegar a B a una velocidad de 120 km/h. Así, la distancia de A a B será de: e = 0,5 h · 120 km/h = 60 km.
53. Un comerciante compra 30 sacos de 50 kilos de café a 10,50 €/kg y 15 sacos de 40 kilos de otro café, a 14 €/kg. Después, los mezcla y los envasa en bolsas de 400 gra-mos. ¿A cómo debe vender la bolsa si desea ganar 1,50 céntimos por cada kilo?
El coste de lo que ha comprado es:
30 · 50 · 10,5 + 15 · 40 · 14 = 24 150 €
Ha comprado 30 · 50 + 15 · 40 = 2 100 kg de café.
Cada kilo de café le ha salido a:
24 150 : 2 100 = 11,50 €/kg
Envasándolos en bolsas de 400 g = 0,4 kg, emplea:
2 100 : 0,4 = 5 250 bolsas
Al venderlo, quiere obtener:
11,50 + 1,50 = 13 €/kg.
Es decir, quiere obtener, en total, 2 100 · 13 = 27 300 €.
Así, debe vender cada bolsa a 27 300 : 5 250 = 5,20 €.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
40
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
54. Para la fabricación de cierto refresco, se mezclan 200 litros de un concentrado de zumo de frutas, 50 litros de sirope y 250 litros de agua tratada.
¿A cómo sale el litro de refresco, si el concentrado de zumo cuesta 2,50 €/l; el sirope, 1,50 €/l, y el tratamiento del agua sale a 100 € el metro cúbico?
€
€
€ € €
El coste del zumo es 200 · 2,5 500El coste del sirope es 50 ·1,50 75El coste del agua (100 /m 0,1 / ) es 250 · 0,1 25l3
==
= =
_
`
a
bb
bb Total: 600 €
En la mezcla hay un total de 200 + 50 + 250 = 500 l.
El litro de refresco sale a 500 : 600 = 0,83 €.
55. Ejercicio resuelto.
Ejercicio resuelto en el libro del alumnado.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
41
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 67
56. Se mezclan 300 kg de pintura de 30 € el kilo con 200 kg de otra pintura más bara-ta. De esta forma, la mezcla sale a 24 € el kilo.
¿Cuál es el precio de la pintura barata?
cantidad (kg ) precio (€/kg ) coste (€)
pintura Barata 200 ? ?pintura cara 300 30 9 000
mezcla 500 24 12 000
Para que el coste de la mezcla sea de 12 000 €, el coste de la pintura barata ha de ser:
12 000 – 9 000 = 3 000 €
El precio por kilo de la pintura barata será:
kilosCoste
2003 000= = 15 €
57. Se funde un collar de oro de 450 gramos y ley 0,95 junto con un brazalete, también de oro, de 300 gramos y ley 0,75.
¿Cuál es la ley del oro resultante?
peso ley peso de oro
collar 450 g 0,95 427,5 gBrazalete 300 0,75 225 g
mezcla 750 g 652,5 g
Ley de la mezcla = , ,750652 5 0 87=
58. El 34 % de los asistentes a un congreso sobre la paz son europeos; el 18 %, africanos; el 32 %, americanos, y el resto, asiáticos.
Sabiendo que hay 51 europeos, ¿cuántos hay de cada uno de los demás continentes?
Llamamos x al número de asistentes al congreso.
34 % de x = 51 → 0,34 · x = 51 → x = 51 : 0,34 = 150
El número total de asistentes es de 150 personas.
Calculamos el número de africanos, americanos y asiáticos que hay:
Africanos → 18 % de 150 = 0,18 · 150 = 27
Americanos → 32 % de 150 = 0,32 · 150 = 48
Asiáticos → 150 – 27 – 48 – 51 = 24
Hay 27 africanos, 48 americanos y 24 asiáticos.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
42
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
59. Celia ha comprado en las rebajas un jersey con un descuento del 15 % y una falda con un descuento del 20 %, y le han salido ambas prendas por el mismo precio.
Si en total se ha gastado 136 €, ¿cuánto se habría gastado si las hubiera comprado antes de las rebajas?
Se ha gastado 136 € y ambas prendas rebajadas le han salido por el mismo precio. Por tanto, el precio rebajado, tanto del jersey como de la falda, es de 68 €.
Jersey:
15 % de descuento → Ivariación = 1 – 0,15 = 0,85
68 = 0,85 · Cinicial → Cinicial = 68 : 0,85 = 80 €
Antes de la rebaja, el jersey costaba 80 €.
Falda:
20 % de descuento → Ivariación = 0,80
68 = 0,80 · Cinicial → Precio sin rebajar = 68 : 0,80 = 85 €
Antes de la rebaja, la falda costaba 85 €.
Por tanto, si se hubiera comprado ambas prendas antes de la rebaja se habría gastado:
80 € + 85 € = 165 €
60. Una pareja, al pactar la compra de un piso, acuerda abonar como señal un 5 % del precio, un segundo pago del 65 % a la firma de las escrituras, y el resto en 12 mensuali-dades de 7 000 euros cada una.
¿Cuál es el precio del piso?
Señal → 5 % del precio del piso
Firmadeescrituras→ 65 % del precio del piso
Resto → 12 · 7 000 = 84 000 , que corresponde al 30 % del valor del piso.
Llamando x al precio del piso:
30 % de x = 84 000 → 0,3 · x = 84 000 → x = 84 000 : 0,3 → x = 280 000
El precio del piso es de 280 000 €.
61. Se colocan 5 600 € en una cuenta bancaria, al 1,60 % anual, y se retiran al cabo de un año y tres meses.
a) ¿Qué cantidad se retirará si el periodo de capitalización es anual?
b) ¿Y si el periodo de capitalización es mensual?
c) ¿Cuál de las opciones es más beneficiosa?
a)
, %€C
r
t
5 6001 6
1
anual
año y 3 meses45 años 1,25 años
==
= = =
_
`
a
bb
bb
CF = 5 600 · (1 + 0,016)1,25
Se retirarán: 5 600 · 1,0161,25 = 5 712,22 €
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
43
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
b) 1,6 : 12 = ,0 13!
→ Un 1,6 % anual significa un ,0 13!
% mensual.
En un año y tres meses hay 15 meses.
Por tanto, CF = 5 600 · (1 + ,0 0013!
)15 = 5 600 · ,1 0013! 15 = 5 713,05 €
c) La segunda opción es ligeramente más beneficiosa que la primera.
62. ¿En qué cantidad se convierte un euro, colocado al 5 % durante 25 años?
%€C
rt
1525
anualaños
===
_
`
a
bb
b CF = 1 · (1 + 0,05)25 = 1,0525 = 3,39 €
Problemas “+”63. Un camión ha tardado 3,5 h en el recorrido A-B entre dos ciudades. Un turismo,
que salió a la misma hora, ha tardado 2,5 h en el recorrido contrario, B-A.
a) ¿Cuánto han tardado en cruzarse?
b) ¿Qué fracción del recorrido ha cubierto cada uno?
a)•Elcamiónhatardado3,5h= 27 h en el recorrido A-B, por tanto, el camión recorre cada
hora /7 21
72= de la distancia entre A y B.
•Elturismohatardado2,5h=25 h en el recorrido B-A, por lo que el turismo recorre cada
hora /5 21
52= de la distancia entre B y A.
•Losdosjuntosrecorren,cadahora,72
52
3524+ = de la distancia entre ambas ciudades.
•Enconclusión,elcamiónyelturismotardanencruzarse2435 horas = 1 h 27 min 30 s.
b) El camión ha cubierto ·2435
72
125= del recorrido, y el turismo ·
2435
52
127= del recorrido.
64. Vicente ha pagado 1 003 € por un televisor que estaba rebajado un 15 %. Teniendo en cuenta que le han cargado un 18 % de IVA, ¿cuál era el precio de catálogo, sin rebaja ni IVA?
Llamamos x al precio del televisor en catálogo.
Sehaceunarebajadel15%(secobrael85%)yseaplicaun18%deIVA.Portanto:
x · 0,85 · 1,18 = 1 003 → x = 1 000 €
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
44
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
65. Pablo colocó hace tiempo 48 000 € al 4 % en un banco, dando orden de acumular anualmente los intereses al capital. Si en la actualidad tiene 56 153,21 €, ¿cuántos años dura ya la inversión?
Llamamos x al número de años que dura la inversión:
48 000 · (1,04)x = 56 153,21 → (1,04)x = 1,1699
Observamos que:
(1,04)2 = 1,0816 (1,04)3 = 1,124864 (1,04)4 = 1,1699
Se obtiene x = 4 años.
66. ¿Cuántos años tarda en doblarse un capital colocado al 4 % anual?
CC2
Capital inicialCapital finalRédito 4% anual
==
=
_
`
a
bb
b → 2C = C · (1 + 0,04)t = C · 1,04t →
CC2 = 1,04t → 2 = 1,04t
Dando valores a t con la calculadora tenemos:
t = 15 → 1,0415 = 1,80
t = 16 → 1,0416 = 1,87
t = 17 → 1,0417 = 1,95
t = 18 → 1,0418 = 2,02
Un capital colocado al 4 % anual tarda en doblarse, aproximadamente, 18 años.
67. Se funden dos lingotes, el primero con un 84 % de oro y el segundo con un 90 % de oro, formando un único bloque que tiene una riqueza del 88 %. Si el primero pesaba 1,5 kg, ¿cuál era el peso del segundo?
84 % +4 % –2 %A
90 %B
88 %A + B
El 4 % que “gana” A se compensa con el 2 % que “pierde” B. Por tanto, el peso de B debe ser doble que el de A.
B debe pesar el doble que A para que un +4% de A se compense con un –2% de B. Por tanto, B pesaba 3 kg.
68. Se funden dos lingotes, el primero con un 85 % de plata y el segundo con un 75 %, formando un único bloque de 1,5 kg con una riqueza del 81 % de plata. ¿Cuál era el peso de los lingotes originales?
85 % –4 % +6 %A
75 %B
81 %A + B
AB
= 64
Los pesos de A y B deben estar en la proporción 46 . Es decir, A =
46 B =
23 B.
A + B = 1,5 8 23 B + B = 1,5 8
25 B = 1,5 8 B =
53 = 0,6 kg
A = 1,5 – 0,6 = 0,9 kg
El primer bloque, A, pesaba 900 gramos y el segundo, B, 600 gramos.
Unidad 4. Problemas aritméticos ESO
45
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Curiosidades matemáticas
El precio baja
Cuatro supermercados de un barrio compiten con sus rebajas.
SI COMPRAS 3,
TE REGALAMOS
OTRO
PAGA DOSLLEVA TRES
3 × 2REBAJAS30 %
EL SEGUNDO, A MITAD DE PRECIO¡50 %!
¿Cuál de las cuatro tiendas hace una rebaja mayor?
PAGA DOSLLEVA TRES
3 × 2 → Pagas , ,8
32 0 6 66 6=
! ! %
EL SEGUNDO, A MITAD DE PRECIO
¡50 %! → Pagas , ,1 5 0 75
2= %
REBAJAS30 % → Pagas 70 %
SI COMPRAS 3, TE REGALAMOS
OTRO → Pagas
43 = 0,75 → 75 %
La primera tienda es la que hace mayor rebaja.
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
1 Monomios, polinomios y otras expresiones algebraicas
Página 72
1. ¿Cuáles de los siguientes monomios son semejantes a 5x 2?
7x 2, 5x 3, 5x, 5xy, x 2, 3x 2 y
7x 2 y x 2 son semejantes a 5x 2.
2. Di el grado de cada uno de estos polinomios:
a) x 5 – 6x 2 + 3x + 1 b) 5xy 4 + 2y 2 + 3x 3 y 3 – 2xy
c) x 4 + 3x 3 – 5x 2 – 3 d) 2x 2 – 3x – 10
a) Grado 5. b) Grado 6
c) Grado 4. d) Grado 2.
3. La base de un ortoedro es un cuadrado de lado x. Su altura es y. Expresa mediante un polinomio:
a) El área de la base. b) El área de una cara lateral.
c) El perímetro de la base. d) El volumen.
a) Abase = x · x = x 2 b) Acara lat. = x · y xx
y
c) Pbase = x + x + x + x = 4x d) Vort. = x · x · y = x 2y
4. Expresa mediante un polinomio cada uno de estos enunciados:
a) La suma de un número más su cubo.
b) La suma de dos números naturales consecutivos.
c) El perímetro de un triángulo isósceles (llama x al lado desigual e y a los otros dos lados).
d) El área total de un cilindro de 4 m de altura en función del radio de la base, r.
e) El área total de un ortoedro cuya base es un cuadrado de lado l y cuya altura es 5 m.
a) x + x 3
b) n + (n + 1) = 2n + 1
c) x + 2y
d) 2πr · 4 + 2πr 2 = πr (8 + 2r)
e) 2l 2 + 4 · 5l = 2l (l + 10)
5. Calcula el valor numérico de la siguiente fracción para x = 5:
x xx
22 +
·5 2 55
25 105
355
71
2 += + = =
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 Operaciones con monomios
Página 73
1. Efectúa las siguientes sumas de monomios. Cuando el resultado no pueda simplificarse, déjalo indicado:
a) 7x – 3x + 8x + 5x – 10x + 2x
b) x x x x x8 532
3 37– –2 2 2 2 2+ +
c) x + 7x – x 2 + 3x + 5x 2 – 2x 2
d) 4xy 2 – 9xy 2 + xy 2 + 3xy 2
e) 9x 5 + y 2 + 6y 2 – 13x 5 – 5 + y 3
a) 7x – 3x + 8x + 5x – 10x + 2x = 9x
b) 8x 2 – 5x 2 + x x x x32
3 37
317–2 2 2 2+ =
c) x + 7x – x 2 + 3x + 5x 2 – 2x 2 = 11x + 2x 2
d) 4xy 2 – 9xy 2 + xy 2 + 3xy 2 = –xy 2
e) 9x 5 + y 2 + 6y 2 – 13x 5 – 5 + y 3 = – 4x 5 + 7y 2 – 5 + y 3
2. Opera.
a) (3x 2) · (5xy) b) x y3 3·` `j jc) (3xy)2 : (2x 2) d) ( )x x3 2·
2` ja) 15x 3y b) 3xy
c) 29 y 2 d) 6x 3
3. Siendo A = 5x 2, B = 4x y C = –2x 2, calcula:
a) A + C b) 2A + 3C
c) A 2 – C d) (A · B ) : C
e) (A : C ) · B f ) B 2 : C 2
a) 5x 2 – 2x 2 = 3x 2 b) 10x 2 – 6x 2 = 4x 2
c) 25x 4 + 2x 2 d) (20x 3) : (–2x 2) = –10x
e) – 25 · 4x = –10x f ) (16x 2) : (4x 4) =
x42
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4. Reduce a una sola fracción, como en el ejemplo:
• x x x x
xx
x131
33
3 33
2 2 2 2+ = + = +
a) x x2
332–
b) x x1 1
2+
c) x x2
21
2 +
d) x x x1 2 3
2 3+ +
a) x x x x x23
32
69
64
65– –= =
b) x x xx
x xx1 1 1 1
2 2 2 2+ = + = +
c) x x x x
xx
x221
24
2 24
2 2 2 2+ = + = +
d) x x x xx
xx
x xx x1 2 3 2 3 2 3
2 3 32
3 3 3
2+ + = + + = + +
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
4
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3 Operaciones con polinomios
Página 74
1. Quita paréntesis y reduce.
a) (x 4 + 2x 3 + 5x 2 – 3x) + (4x 3 – 9x 2 + 7x – 1)
b) (5x 4 – 5x 2 – 3x) – (x 3 + 3x 2 + 6x – 11)
c) (7x 2 – 9x + 1) – (x 3 – 5x 2 – 4) + (x 3 – 4x 2)
a) x 4 + 2x 3 + 5x 2 – 3x + 4x 3 – 9x 2 + 7x – 1 = x 4 + 6x 3 – 4x 2 + 4x – 1
b) 5x 4 – 5x 2 – 3x – x 3 – 3x 2 – 6x + 11 = 5x 4 – x 3 – 8x 2 – 9x + 11
c) 7x 2 – 9x + 1 – x 3 + 5x 2 + 4 + x 3 – 4x 2 = 8x 2 – 9x + 5
2. Efectúa.
a) 2 · (3x 2 – 4x)
b) –5 · (x 3 – 3x)
c) x · (–2x + 3)
d) x 2 · (x 2 – x + 1)
a) 6x 2 – 8x
b) –5x 3 + 15x
c) –2x 2 + 3x
d) x 4 – x 3 + x 2
3. Sean P = x 5 – 3x 4 + 5x + 9, Q = 5x 2 + 3x – 11.
Halla:
a) P + Q
b) P – Q
c) 2P – 3Q
a)
x 5 – 3x 4 + 5x + 9+ 5x 2 + 3x – 11
P + Q = x 5 – 3x 4 + 5x 2 + 8x – 2
b)
x 5 – 3x 4 + 5x + 9– 5x 2 + 3x – 11
P – Q = x 5 – 3x 4 – 5x 2 + 2x + 20
c)
2P → 2x 5 – 6x 4 + 10x + 183Q → – 15x 2 + 9x – 33
2P – 3Q = 2x 5 – 6x 4 – 15x 2 + x + 51
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
5
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4. Halla los productos siguientes:
a) 3x · (2x + y + 1)
b) 3a · (a 2 + 2a 4)
c) ab 2 · (a – b )
d) –5x 3 · (3x 2 + 7x + 11)
e) x 2y · (2x – y + 2)
f ) 7x 2y · (3x + y)
g) 5x 3y 3 · (x 2 + x – 1)
h) 3a 2 b 3 · (3a – b + 1)
a) 6x 2 + 3xy + 3x
b) 3a 3 + 6a 5
c) a 2b 2 – ab 3
d) –15x 5 – 35x 4 – 55x 3
e) 2x 3y – x 2y 2 + 2x 2y
f ) 21x 3y + 7x 2y 2
g) 5x 5y 3 + 5x 4y 3 – 5x 3y 3
h) 9a 3b 3 – 3a 2b 4 + 3a 2b 3
5. Calcula el polinomio P en cada caso.
a) 2 · P = 6x 3 – 4x 2 – 8x + 2
b) x · P = x 3 – 3x 2 – 5x
c) 4x 2 · P = –12x 5 + 4x 3 – 8x 2
d) 2xy 2 · P = 2x 2y 2 + 4xy 3 + 6x 2y 3
a) P = 3x 3 – 2x 2 – 4x + 1
b) P = x 2 – 3x – 5
c) P = –3x 3 + x – 2
d) P = xy
x yxyxy
xyx y
22
24
26
2
2 2
2
3
2
2 3+ + = x + 2y + 3xy
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
6
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 75
6. Dados los polinomios P = 5x2 – 3, Q = x2 – 4x + 1, R = –5x + 2, calcula:
a) P · R
b) Q · R
c) P · Q
a) (5x 2 – 3) · (–5x + 2) = –25x 3 + 10x 2 + 15x – 6
b) c)
x 2 – 4x + 1× – 5x + 2
2x 2 – 8x + 2– 5x 3 + 20x 2 – 5x– 5x 3 + 22x 2 – 13x + 2
x 2 – 4x + 1× 5x 2 – 3– 3x 2 + 12x – 3
5x 4 – 20x 3 + 5x 2
5x 4 – 20x 3 + 2x 2 + 12x – 3
7. Opera y simplifica:
a) 3x 2 (2x 3 – 1) + 6 (4x 2 – 3)
b) (x – 3)(x 2 + 1) – x 2 (2x 3 + 5x 2)
c) (x – 3)(2x + 5) – 4 (x 3 + 7x)
a) 6x 5 – 3x 2 + 24x 2 – 18 = 6x 5 + 21x 2 – 18
b) x 3 + x – 3x 2 – 3 – 2x 5 – 5x 4 = –2x 5 – 5x 4 + x 3 – 3x 2 + x – 3
c) 2x 2 + 5x – 6x – 15 – 4x 3 – 28x = – 4x 3 + 2x 2 – 29x – 15
8. Efectúa P(x) : Q(x) en cada caso y expresa el resultado así:
P(x) = Q(x) · cociente + resto
a) P(x) = 3x2 – 11x + 5 Q(x) = x + 6
b) P(x) = 6x3 + 2x2 + 18x + 3 Q(x) = 3x + 1
c) P(x) = 6x3 + 2x2 + 18x + 3 Q(x) = x
d) P(x) = 5x2 + 11x – 4 Q(x) = 5x – 2
a)
3x 2 – 11x + 5 = (x + 6)(3x – 29) + 179
3x 2 – 11x + 5 x + 6– 3x 2 – 18x 3x – 29
– 29x + 5+ 29x + 174
179
b)
6x 3 + 2x 2 + 18x + 3 = (3x + 1)(2x 2 + 6) – 3
6x 3 + 2x 2 + 18x + 3 3x + 1– 6x 3 – 2x 2 2x 2 + 6
0 + 18x + 3– 18x – 6
– 3
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
7
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c)
6x 3 + 2x 2 + 18x + 3 = x (6x 2 + 2x + 18) + 3
6x 3 + 2x 2 + 18x + 3 x– 6x 3 6x 2 + 2x + 18
0 + 2x 2
– 2x 2
0 + 18x– 18x
0 + 3
d)
5x 2 + 11x – 4 = (5x – 2) x 513
56+ +c m
5x 2 + 11x – 4 5x – 2– 5x 2 + 2x x + 5
13
13x – 4
– 13x +526
56
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
8
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4 División de un polinomio por (x – a)
Página 76
1. Calcula el cociente y el resto en cada caso:
a) (x 3 – 7x 2 + 9x – 3) : (x – 5)
b) (2x 3 + 7x 2 + 2x + 4) : (x + 3)
c) (x 4 – 2x 3 – 5x 2 + 3x – 6) : (x + 2)
d) (4x 4 – 3x 3 – x 2 + 5x – 1) : (x – 1)
e) (x 5 – 32) : (x – 2)
a)
1 –7 9 –35 5 –10 –5
1 –2 –1 –8
C (x) = x 2 – 2x – 1
R = –8
b)
2 7 2 4–3 – 6 –3 3
2 1 –1 7
C (x) = 2x 2 + x – 1
R = 7
c)
1 –2 –5 3 – 6–2 –2 8 – 6 6
1 – 4 3 –3 0
C (x) = x 3 – 4x 2 + 3x – 3
R = 0
d)
4 –3 –1 5 –11 4 1 0 5
4 1 0 5 4
C (x) = 4x 3 + x 2 + 5
R = 4
e)
1 0 0 0 0 –322 2 4 8 16 32
1 2 4 8 16 0
C (x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16
R = 0
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
9
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 77
2. Sea el polinomio M (x) = x 4 – 8x 3 + 15x 2 + 7x + 8.
a) Calcula M (4) = 44 – 8 · 43 +15 · 42 + 7 · 4 + 8.
b) Divide, con la regla de Ruffini, M (x) : (x – 4).
c) Comprueba que el resultado del apartado a) coincide con el resto de la división que has realizado en b).
a) M (4) = 256 – 512 + 240 + 28 + 8 = 20
b)
1 –8 15 7 84 4 –16 – 4 12
1 – 4 –1 3 20
c) El resto de dividir por (x – 4) coincide con el valor del polinomio en x = 4.
3. El valor de un polinomio, A(x), para x = 7 es 54. ¿Qué puedes decir de la división A(x) : (x – 7)?
El resto de la división será 54.
4. Del polinomio H (x) sabemos:
H(5) = 18 H(–5) = 13
a) ¿Cuál es el resto de la división H(x) : (x – 5)?
b) ¿Y el de la división H(x) : (x + 5)?
a) Sabemos entonces que R = 18
b) R = 13
5. Considera los polinomios siguientes:
P (x) = 3x 3 – 5x 2 – 9x + 3
Q (x) = x 4 – 12x 2 – 11x + 9
Calcula, utilizando la regla de Ruffini:
a) P (3) b) P (–1) c) Q (3) d) Q (–1)
a) b)
3 –5 –9 33 9 12 9
3 4 3 12
3 –5 –9 3–1 –3 8 1
3 –8 –1 4
P (3) = 12 P (–1) = 4
c) d)
1 0 –12 –11 93 3 9 –9 – 60
1 3 –3 –20 –51
1 0 –12 –11 9–1 –1 1 11 0
1 –1 –11 0 9
Q (3) = –51 Q (–1) = 9
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
10
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6. Calcula, con ayuda de la regla de Ruffini, el valor del polinomio 2x 3 – 7x 2 – 17x +10 para:
a) x = –2
b) x = –3
c) x = 5
a)
2 –7 –17 10–2 – 4 22 –10
2 –11 5 0
P (–2) = 0
b)
2 –7 –17 10–3 – 6 39 – 66
2 –13 22 –56
P (–3) = –56
c)
2 –7 –17 105 10 15 –10
2 3 –2 0
P (5) = 0
7. De un polinomio P (x), sabemos que se anula para el valor x = 8, es decir, P (8) = 0.
¿Qué puedes decir de la división P (x) : (x – 8)?
El resto de la división P (x) : (x – 8) será 0 y, por tanto, la división es exacta.
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11
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5 Raíces de un polinomio
Página 79
1. Averigua si alguno de los valores 1, –3, 5, –7 es raíz del polinomio x 4 – 4x 3 + 2x 2 + 5x – 4.
•x=1 •x = –3
1 – 4 2 5 – 41 1 –3 –1 4
1 –3 –1 4 0
1 – 4 2 5 – 4–3 –3 21 – 69 192
1 –7 23 – 64 188
x = 1 sí es raíz del polinomio x = –3 no es raíz del polinomio
•x=5 •x = –7
1 – 4 2 5 – 45 5 5 35 200
1 1 7 40 196
1 – 4 2 5 – 4–7 –7 77 –553 3 836
1 –11 79 –548 3 832
x = 5 no es raíz del polinomio x = –7 no es raíz del polinomio
2. ¿Cuáles son las raíces de P (x) = (x – 2)(x + 5)(x – 6)?
x = 2; x = –5 y x = 6
3. Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean 2, –2 y 3.
P (x) = (x – 2) · (x + 2) · (x – 3)
4. Calcula mentalmente alguna raíz de cada uno de estos polinomios:
a) x 2 – x b) x 3 – 1 c) x 4 + x
a) x = 0 b) x = 1 c) x = 0
x = 1 x = –1
5. Busca una raíz entera de cada uno de estos polinomios. Si no la hay, justifica por qué.
A (x) = 4x 3 + 2x 2 + 5x + 7 B (x) = x 3 + 2x 2 + 3x + 1
C (x) = x 4 – 2x 3 – x 2 – 7x + 3 D (x) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
Las raíces enteras deben ser un divisor del término independiente. En este caso los únicos di-visores de 7 son ±1 y ±7 y vemos cuáles son raíz:
4 2 5 71 4 6 11
4 6 11 18
4 2 5 7–1 – 4 2 –7
4 –2 7 0
x = –1 es raíz de A (x)
4 2 5 77 28 210 1 505
4 30 215 1 512
4 2 5 7–7 –28 182 –1 309
4 –26 187 –1 302
En conclusión, solo tiene una raíz entera, x = –1.
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
12
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
B (x) no tiene ninguna raíz entera por la comprobación anterior, ya que deberían ser divisores de 1, luego las únicas posibilidades son 1 y –1, y vemos que ninguna es raíz.
1 2 3 11 1 3 6
1 3 6 7
1 2 3 1–1 –1 –1 –2
1 1 2 –1
x = 3 es una raíz de C (x) ya que:
1 –2 –1 –7 33 3 3 6 –3
1 1 2 –1 0
Ya solo podría tener como raíz ±1, pero ninguno hace que el polinomio resultante valga 0. Solo tiene una raíz entera, x = 3.
x = –1 es una raíz de D (x) ya que:
1 1 1 1 1 1–1 –1 0 –1 0 –1
1 0 1 0 1 0
Viendo que x = 1 no es raíz, concluimos que solo tiene una solución entera, x = –1.
6. El polinomio x 3 + 2x 2 – 8x tiene tres raíces enteras.
Calcúlalas por tanteo.
Las raíces de x 3 + 2x 2 – 8x son x = 0, x = 2 y x = – 4.
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
13
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6 Factorización de polinomios
Página 81
1. Descompón en factores sacando factor común y utilizando los productos notables.
a) x 3 + 6x 2 + 9x b) 2x 3 – 4x 2 + 2x
c) 3x 4 – 12x 2 d) 8x 5 – 24x 4 + 18x 3
a) x (x 2 + 6x + 9) = x · (x + 3)2 b) 2x (x 2 – 2x + 1) = 2x (x – 1)2
c) 3x 2 (x 2 – 4) = 3x 2 (x + 2)(x – 2) d) 2x 3 (4x 2 – 12x + 9) = 2x 3 (2x – 3)2
2. Factoriza con ayuda de la regla de Ruffini.
a) x 3 – 6x 2 + 11x – 6 b) 2x 3 + 6x 2 – x – 30
c) x 3 + 7x 2 + 14x + 8 d) 3x 5 + x 2 – 24x + 36
a)
x 3 – 6x 2 + 11x – 6 = (x – 1) · (x – 3) · (x – 2)
1 – 6 11 – 61 1 –5 6
1 –5 6 0
x 2 – 5x + 6 = 0 → x = ± ±2
5 25 242
5 1– = = 32
b) Después de probar con todos los divisores de 30, deducimos que este polinomio no tiene raíces enteras.
c)
x 3 + 7x 2 + 14x + 8 = (x + 1) · (x + 4) · (x + 2)
1 7 14 8–1 –1 – 6 –8
1 6 8 0
x 2 + 6x + 8 = 0 → x = ± ±2
6 36 322
6 2– – –= = 24
––
d) Después de probar con todos los divisores de 36, deducimos que este polinomio no tiene raíces enteras.
3. Descompón en el máximo número de factores que sea posible.
a) 2x 4 – 12x 3 + 10x 2 b) 5x 3 + 10x 4 + 25x 2
c) x 3 – x 2 – x – 2 d) x 4 – 2x 3 – 8x 2 + 18x – 9
e) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 f ) x 3 – 6x 2 + 12x – 8
a) 2x 2 (x 2 – 6x + 5) = 2x 2 (x – 5)(x – 1)
x = ± ±2
6 36 202
6 4– = = 51
b) 5x 2 (x + 2x 2 + 5) → No se puede seguir factorizando.
2x 2 + x + 5 = 0 → x = ±4
1 1 40– – No tiene solución.
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
14
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c) x 3 – x 2 – x – 2 = (x – 2) · (x 2 + x + 1)
1 –1 –1 –22 2 2 2
1 1 1 0
x 2 + x + 1 = 0 → x = ±2
1 1 4– – No tiene solución.
d) x 4 – 2x 3 – 8x 2 + 18x – 9 = (x – 1)2 · (x 2 – 9) = (x – 1)2 · (x + 3) · (x – 3)
1 –2 –8 18 –91 1 –1 –9 9
1 –1 –9 9 01 1 0 –9
1 0 –9 0
e) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = (x + 1) · (x 2 + 2x + 1) = (x + 1) · (x + 1)2 = (x + 1)3
1 3 3 1–1 –1 –2 –1
1 2 1 0
f ) x 3 – 6x 2 + 12x – 8 = (x – 2) · (x 2 – 4x + 4) = (x – 2) · (x – 2)2 = (x – 2)3
1 – 6 12 –82 2 –8 8
1 – 4 4 0
4. Simplifica.
a) x x x
x x3 24 48
5 20–3 2
3 2
++ b)
x x xx
3 7 217
– –3 2
2
++
a) ( )
( )( )
( )( )
( )x x x
x xx x x
x xx xx x
xx x
3 24 485 20
3 8 165 4
3 45 4
3 45 4
– – – –3 2
3 2
2
2
2
2
2++ =
++ = + = +
b) ( ) ( )x x x
xx x
xx3 7 21
73 7
73
1– – ––3 2
2
2
2
++ =
++ =
El polinomio de arriba no se puede factorizar. El polinomio del denominador quedará:
1 –3 7 –213 3 0 21
1 0 7 0
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
15
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7 Preparación para ecuaciones
Página 82
1. Simplifica las siguientes expresiones:
a) 3(x – 1) + 5(x – 2) – 7x
b) 2(2x – 3) + 1 – (x – 5)
c) 5x + 3(1 – x) – 12 – 2(x – 5)
d) 10(x – 1) + 2(x + 9) – 4(2 + 3x)
e) 3x – 1 – (2x + 1) – 1 + (x + 2) + 3
a) 3x – 3 + 5x – 10 – 7x = x – 13
b) 4x – 6 + 1 – x + 5 = 3x
c) 5x + 3 – 3x – 12 – 2x + 10 = 1
d) 10x – 10 + 2x + 18 – 8 – 12x = 0
e) 3x – 1 – 2x – 1 – 1 + x + 2 + 3 = 2x + 2
2. Multiplica por el número indicado y simplifica.
a) ( ) ( )x x x2
3 25
15
2 11037– – –+ + + por 10
b) x x x2
2 34
3 42
1– – –+ + + por 4
c) x + x x x9
2 33
19
12 4– – –+ + por 9
d) x y3
223
– – 2(x + y ) + 3 por 6
e) ( )x y3
2 12
1– –+ por 6
a) 10 · ( ) · · ( ) ·x x x2
3 2 10 51 10 5
2 1 10 1037– – –+ + + =
= 15(x + 2) + 2(x – 1) – 4(x + 1) – 37 = 15x + 30 + 2x – 2 – 4x – 4 – 37 = 13x – 13
b) 4 · · · ·x x x2
2 3 44
3 4 4 4 21– – –+ + + = 2(2x – 3) – (x + 3) + 16 + 2(x – 1) =
= 4x – 6 – x – 3 + 16 + 2x – 2 = 5x + 5
c) 9 · x + 9 · · ·x x x9
2 3 9 31 9 9
12 4– – –+ + = 9x + 2x – 3 + 3(x – 1) – (12x + 4) =
= 9x + 2x – 3 + 3x – 3 – 12x – 4 = 2x – 10
d) · ·x y6 3
2 6 23
– – 6 · 2(x + y) + 6 · 3 = 2 · 2x – 3 · 3y – 12(x + y) + 18 =
= 4x – 9y – 12x – 12y + 18 = –8x – 21y + 18
e) 6 · ( ) ·x y3
2 1 6 2–+ – 6 · 1 = 2 · 2(x + 1) – 3y – 6 = 4x + 4 – 3y – 6 = 4x – 3y – 2
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
16
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3. Expresa algebraicamente y simplifica.
a) La suma de un número más su tercera parte.
b) La suma de las edades de Ana y Raquel, sabiendo que Ana tiene 8 años más que Ra-quel.
c) Invertí una cantidad, x, y ha aumentado un 12 %. ¿Qué cantidad tengo ahora?
d) Invertí una cantidad, x, y he perdido el 5 %. ¿Qué cantidad tengo ahora?
e) La suma de tres números consecutivos.
f ) El triple de un número menos su cuarta parte.
g) La suma de las edades de Alberto y su padre, sabiendo que este tiene 28 años más que aquel.
h) Un ciclista va a una velocidad v. Otro ciclista viene 10 km/h más rápido. ¿A qué velo-cidad se acerca el uno al otro?
a) x + x x3 34=
b) x + (x + 8) = 2x + 8
c) 1,12x
d) 0,95x
e) x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3
f ) 3x – x x4 4
11=
g) x + (x + 28) = 2x + 28
h) v + (v + 10) = 2v + 10
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17
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 83
4. Simplifica las siguientes expresiones:
a) (x – 1)(x + 1) + (x – 2)2 – 3
b) (x + 2)(x – 3) + x – 3
c) (x + 1)2 – 2x(x + 2) + 14
d) (x + 1)2 – (x – 1)2 + 2 – x 2 – 6
a) x 2 – 1 + x 2 + 4 – 4x – 3 = 2x 2 – 4x
b) x 2 + 2x – 3x – 6 + x – 3 = x 2 – 9
c) x 2 + 1 + 2x – 2x 2 – 4x + 14 = –x 2 – 2x + 15
d) x 2 + 1 + 2x – x 2 – 1 + 2x + 2 – x 2 – 6 = –x 2 + 4x – 4
5. Multiplica por el número indicado y simplifica:
a) x (2x + 1) – ( )x21– 2
– 3 por 2 b) ( ) ( )x x x2
331
31–
2+ + + por 6
a) 2 · x (2x + 1) – 2 · ( )x21– 2
– 2 · 3 = 4x 2 + 2x – x 2 – 1 + 2x – 6 = 3x 2 + 4x – 7
b) 6 · ( ) · ( ) ·x x x2
3 6 31 6 3
1–2+ + + = 3x 2 + 9x – 2(x 2 + 1 + 2x) + 2 = x 2 + 5x
6. Expresa algebraicamente y simplifica.
a) El producto de dos números naturales consecutivos.
b) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden x y x + 5.
c) El área de un rectángulo cuyas dimensiones (largo y ancho) suman 11 dm.
d) El área de un rectángulo de 200 m de perímetro.
a) n (n + 1) = n 2 + n
b) x 2 + (x + 5)2 = 2x 2 + 10x + 25
c) x (11 – x) = 11x – x 2
d) x (100 – x) = 100x – x 2
7. La diferencia de dos números es 20. Si al menor lo llamamos x :
a) ¿Cómo se designa al mayor?
b) ¿Cómo se designa su producto?
c) ¿Cómo se designa la suma de sus cuadrados?
a) 20 + x
b) x (20 + x) = 20x + x 2
c) x 2 + (20 + x)2 = x 2 + 202 + x 2 + 40x = 2x 2 + 40x + 400
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18
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Ejercicios y problemas
Página 84
Practica
Monomios
1. Considera los siguientes monomios:
a) 2x 2 b) –3x 3
c) 21 x 2 d)
43 x
e) – 31 x f ) x 3
•Indica el grado y el coeficiente en cada caso.
•Calcula el valor numérico de cada uno para x = –1 y para x = 1/2.
a) 2x 2 b) –3x 3
Grado = 2; coeficiente = 2 Grado = 3; coeficiente = –3
x = –1 → 2 · (–1)2 = 2 · 1 = 2 x = –1 → –3 · (–1)3 = –3 · (–1) = 3
x = 21 → 2 · ·2
1 241
21
2= =c m x = 2
1 → –3 · 21 13 8 8
3·– –3
= =c m
c) 21 x 2 d)
43 x
Grado = 2; coeficiente = 21 Grado = 1; coeficiente =
43
x = –1 → 21 · (–1)2 = 2
1 x = –1 → 43 · (–1) = –
43
x = 21 → · ·2
121
21
41
81
2= =c m x = 2
1 → ·43
21
83=
e) 13– x f ) x 3
Grado = 1; coeficiente = 13– Grado = 3; coeficiente = 1
x = –1 → 13– · (–1) = 3
1 x = –1 → (–1)3 = –1
x = 21 → ·3
121
61– –= x = 2
1 → 21
81
3=c m
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19
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2. Opera y simplifica todo lo posible.
a) –2x 3 + x 3 – 3x 3 b) –3x 2 – 52 x 2 + 5x 2
c) 21 xy –
43 xy + xy d)
52 x 2 –
101 x 2 + x 2
e) 2x · (–3x 2) · (–x) f ) 43 x 3 · (–2x 2) · 2x
g) – xx
315
2
6 · x h) –
xx
27
2
3 · x
a) –2x 3 + x 3 – 3x 3 = (–2 + 1 – 3)x 3 = – 4x 3
b) –3x 2 – x x x x x52 5 5
1552
525
58– –2 2 2 2 2+ = + = x 2
c) xy xy xy xy xy xy21
43
21
43 1
42
43
44
43– – –+ = + = + =c cm m
d) x x x x x x52
101
52
101 1 10
4101
1010
1013– – –2 2 2 2 2 2+ = + = + =c cm m
e) 6x 4
f ) 43 · (– 4)x 6 = –3x 6
g) –5x 5
h) – 27 x 2
3. Expresa mediante un monomio estos enunciados:
a) La mitad de un número más su tercera parte.
b) El área de un círculo de radio r .
c) El producto de un número por el triple de otro.
d) El volumen de un ortoedro de dimensiones x, 2x y 5 cm.
e) El volumen de una pirámide de altura h cuya base es un cuadrado de lado l.
a) x x x21
31
65+ = b) πr 2 c) x · 3y = 3xy
d) x · 2x · 5 = 10x 2 e) l3h2
Polinomios
4. Reduce e indica el grado de cada polinomio:
a) 2x 4 – 3x 2 + 4x b) x 2 – 3x 3 + 2x
c) 3x 3 – 2x 2 – 3x 3 d) 2x + 3
a) Grado 4 b) Grado 3
c) –2x 2 → Grado 2 d) Grado 1
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
20
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5. Dados los polinomios P (x) = 2x 4 – 5x 3 + 3x – 1 y Q (x) = 6x 3 + 2x 2 – 7, calcula P + Q y P – Q.
P + Q = (2x 4 – 5x 3 + 3x – 1) + (6x 3 + 2x 2 – 7) = 2x 4 + x 3 + 2x 2 + 3x – 8
P – Q = (2x 4 – 5x 3 + 3x – 1) – (6x 3 + 2x 2 – 7) = 2x 4 – 5x 3 + 3x – 1 – 6x 3 – 2x 2 + 7 =
= 2x 4 – 11x 3 – 2x 2 + 3x + 6
6. Efectúa.
a) 3x (2x 2 – 5x + 1) b) 7x 3(2x 3 + 3x 2 – 2)
c) –5x (x 4 – 3x 2 + 5x) d) –x 2(x 3 + 4x 2 – 6x + 3)
a) 3x (2x 2 – 5x + 1) = 6x 3 – 15x 2 + 3x
b) 7x 3 (2x 3 + 3x 2 – 2) = 14x 6 + 21x 5 – 14x 3
c) –5x (x 4 – 3x 2 + 5x) = –5x 5 + 15x 3 – 25x 2
d) –x 2 (x 3 + 4x 2 – 6x + 3) = –x 5 – 4x 4 + 6x 3 – 3x 2
7. Opera y simplifica.
a) (5x – 2)(3 – 2x) b) x (x – 3)(2x – 1)
c) (x 2 – 5x)(x 3 + 2x) d) (3x 3 + 1)(2x 2 – 3x + 5)
a) (5x – 2)(3 – 2x) = 15x – 10x 2 – 6 + 4x = –10x 2 + 19x – 6
b) x (x – 3)(2x – 1) = (x 2 – 3x)(2x – 1) = 2x 3 – x 2 – 6x 2 + 3x = 2x 3 – 7x 2 + 3x
c) (x 2 – 5x)(x 3 + 2x) = x 5 + 2x 3 – 5x 4 – 10x 2 = x 5 – 5x 4 + 2x 3 – 10x 2
d) (3x 3 + 1)(2x 2 – 3x + 5) = 6x 5 – 9x 4 + 15x 3 + 2x 2 – 3x + 5
8. Calcula el cociente y el resto en estas divisiones:
a) (3x 2 – 7x + 5) : (3x + 1)
b) (4x 3 – x) : (2x + 3)
c ) (5x 3 – 3x 2 + 8x) : (5x + 2)
a)
Cociente = x – 38
Resto = 323
3x 2 – 7x + 5 3x + 1–3x 2 – x
x – 38
– 8x + 5
8x +38
323
b)
Cociente = 2x 2 – 3x + 4
Resto = –12
4x 3 – x 2x + 3– 4x 3 – 6x 2 2x 2 – 3x + 4
– 6x 2 – x6x 2 + 9x
8x– 8x – 12
– 12
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
21
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c)
Cociente = x 2 – x + 2
Resto = – 4
5x 3 – 3x 2 + 8x 5x + 2–5x 3 – 2x 2 x 2 – x + 2
– 5x 2 + 8x5x 2 + 2x
10x– 10x – 4
– 4
9. Las siguientes divisiones son exactas. Efectúalas y expresa el dividendo como pro-ducto de dos factores:
a) (x 5 + 2x 4 + x + 2) : (x + 2) b) (3x 3 + 7x 2 + 7x + 4) : (3x + 4)
c) (x 3 – x 2 + 9x – 9) : (x – 1) d) (2x 3 – 3x 2 + 10x – 15) : (2x – 3)
a) b)
x 5 + 2x 4 + x + 2 x + 2–x 5 – 2x 4 x 4 + 1
x + 2– x – 2
0
3x 3 + 7x 2 + 7x + 4 3x + 4–3x 3 – 4x 2 x 2 + x + 1
3x 2 + 7x– 3x 2 – 4x
3x + 4– 3x – 4
0
x 5 + 2x 4 + x + 2 = (x + 2)(x 4 + 1) 3x 3 + 7x 2 + 7x + 4 = (3x + 4)(x 2 + x + 1)
c) d)
x 3 – x 2 + 9x – 9 x – 1–x 3 + x 2 x 2 + 9
9x – 9– 9x + 9
0
2x 3 – 3x 2 + 10x – 15 2x – 3–2x 3 + 3x 2 x 2 + 5
10x – 15– 10x + 15
0
x 3 – x 2 + 9x – 9 = (x – 1)(x 2 + 9) 2x 3 – 3x 2 + 10x – 15 = (2x – 3)(x 2 + 5)
10. Expresa mediante un polinomio cada uno de estos enunciados:
a) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos.
b) El área total de un ortoedro de dimensiones x, 2x y 5 cm.
c) La cantidad de leche envasada en “x” botellas de 1,5 l y en “y” botellas de 1 l.
d) El área de un triángulo rectángulo en el que un cateto mide 3 cm más que el otro.
a) x 2 + (x + 1)2 = x 2 + x 2 + 1 + 2x = 2x 2 + 2x + 1
b) 2 · x · 2x + 2 · x · 5 + 2 · 2x · 5 = 4x 2 + 30x
c) 1,5x + y
d) ( )x x x x2
32
32+ = +
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
22
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Factor común e identidades notables
11. Saca factor común en cada polinomio:
a) 9x 2 + 6x – 3
b) 2x 3 – 6x 2 + 4x
c) 10x 3 – 5x 2
d) x 4 – x 3 + x 2 – x
e) 410x 5 – 620x 3 + 130x
f ) 72x 4 – 64x 3
g) 5x – 100x 3
h) 30x 6 – 75x 4 – 45x 2
a) 9x 2 + 6x – 3 = 3(3x 2 + 2x – 1)
b) 2x 3 – 6x 2 + 4x = 2x (x 2 – 3x + 2)
c) 10x 3 – 5x 2 = 5x 2 (2x – 1)
d) x 4 – x 3 + x 2 – x = x (x 3 – x 2 + x – 1)
e) 410x 5 – 620x 3 + 130x = 10x (41x 4 – 62x 2 + 13)
f ) 72x 4 – 64x 3 = 8x 3 (9x – 8)
g) 5x – 100x 3 = 5x (1 – 20x 2)
h) 30x 6 – 75x 4 – 45x 2 = 15x 2 (2x 4 – 5x 2 – 3)
12. Completa estas expresiones en tu cuaderno:
a) (x – 3)2 = x 2 – x + 9 b) (2x + 1)2 = 4x 2 + x + 1
c) (x + )2 = x 2 + x + 16 d) (3x – )2 = x 2 – x + 4
a) (x – 3)2 = x 2 – 6x + 9 b) (2x + 1)2 = 4x 2 + 4x + 1
c) (x + 4)2 = x 2 + 8x + 16 d) (3x – 2)2 = 9x 2 – 12x + 4
13. Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio (hazlo en tu cua-derno):
a) x 2 + 12x + 36 = (x + )2 b) 49 + 14x + x 2 = ( + )2
c) 4x 2 – 20x + 25 = ( – 5)2 d) 1 + 4x + 4x 2 = ( + )2
a) x 2 + 12x + 36 = (x + 6)2 b) 49 + 14x + x 2 = (7 + x)2
c) 4x 2 – 20x + 25 = (2x – 5)2 d) 1 + 4x + 4x 2 = (1 + 2x)2
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
23
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Página 85
14. Expresa en cada caso como producto de dos binomios (hazlo en tu cuaderno):
a) x 2 – 16 = (x + )(x – ) b) x 2 – 1
c) 9 – x 2 d) 4x 2 – 1
e) 25 – 9x 2
a) (x + 4)(x – 4) b) (x + 1)(x – 1)
c) (3 + x)(3 – x) d) (2x – 1)(1 + 2x)
e) (5 + 3x)(5 – 3x)
Expresiones de primer grado
15. Opera y simplifica.
a) 6(x + 3) – 2(x – 5) b) 3(2x + 1) + 7(x – 3) – 4x
c) 5(3 – 2x) – (x + 7) – 8 d) 4(1 – x) + 6x – 10 – 3(x – 5)
e) 2x – 3 + 3(x – 1) – 2(3 – x) + 5 f ) 2(x + 3) – (x + 1) – 1 + 3(5x – 4)
a) 6x + 18 – 2x + 10 = 4x + 28 b) 6x + 3 + 7x – 21 – 4x = 9x – 18
c) 15 – 10x – x – 7 – 8 = –11x d) 4 – 4x + 6x – 10 – 3x + 15 = –x + 9
e) 2x – 3 + 3x – 3 – 6 + 2x + 5 = 7x – 7 f ) 2x + 6 – x – 1 – 1 + 15x – 12 = 16x – 8
16. Multiplica por el número indicado en cada caso y simplifica:
a) x x9
1 2 16
4– – + + por 18
b) x x x x5
3 210
4 18
5 24
1– – – –+ + + por 40
c) x x x2
33
5 16
1 9– – – –+ por 6
a) 18 x x9
1 2 16
4– – + +c m = 2(1 – 2x) – 18 + 3(x + 4) = 2 – 4x – 18 + 3x + 12 = –x – 4
b) 40 x x x x5
3 210
4 18
5 24
1– – – –+ + +c m = 8(3x + 2) – 4(4x – 1) + 5(5x – 2) – 10(x + 1) =
= 24x + 16 – 16x + 4 + 25x – 10 – 10x – 10 = 23x
c) 6 x x x2
33
5 16
1 9– – – –+c m = 3(x – 3) – 2(5x + 1) – (1 – 9x) =
= 3x – 9 – 10x – 2 – 1 + 9x = 2x – 12
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
24
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
17. Multiplica en cada caso por el mínimo común múltiplo de los denominadores y simplifica la expresión resultante:
a) x x x x2
15
3 2 65
8– – – –+ + +
b) ( ) ( )x x x x4
1 1212
48
3 1 1– – – – –+ +
c) ( )x x x6
3 210
4 1152
42 3– – –+ + +
a) 10 x x x x2
15
3 2 6 58– – – –+ + +c m = 5(x + 1) + 2(x – 3) – 20x + 60 – 2(x – 8) =
= 5x + 5 + 2x – 6 – 20x + 60 – 2x + 16 = –15x + 75
b) ( ) ( ) [ ( ) ( )]x x x x24
6 1 1224
2 424
3 3 1 1– – – – –+ + =
= x x x x x x x x24
6 7224
2 824
9 9 3 324
6 72 2 8 9 9 3 3– – – – – – – –+ + + = + + + =
= x x24
8 5812
4 29+ = +
c) 60 ( )x x x6
3 210
4 1152
42 3– – –+ + +e o = 10(3x – 2) – 6(4x + 1) + 4 · 2 + 15 · 2(x – 3) =
= 30x – 20 – 24x – 6 + 8 + 30x – 90 = 36x – 108
Expresiones de segundo grado
18. Opera y simplifica.
a) (x – 3)(x + 3) + (x – 4)(x + 4) – 25
b) (x + 1)(x – 3) + (x – 2)(x – 3) – (x 2 – 3x – 1)
c) 2x (x + 3) – 2(3x + 5) + x
d) (x + 1)2 – 3x – 3
e) (2x + 1)2 – 1 – (x – 1)(x + 1)
f ) x(x – 3) + (x + 4)(x – 4) – (2 – 3x)
a) x 2 – 9 + x 2 – 16 – 25 = 2x 2 – 50
b) x 2 – 3x + x – 3 + x 2 – 3x – 2x + 6 – x 2 + 3x + 1 = x 2 – 4x + 4
c) 2x 2 + 6x – 6x – 10 + x = 2x 2 + x – 10
d) x 2 + 2x + 1 – 3x – 3 = x 2 – x – 2
e) 4x 2 + 4x + 1 – 1 – (x 2 – 1) = 4x 2 + 4x – x 2 + 1 = 3x 2 + 4x + 1
f ) x 2 – 3x + x 2 – 16 – 2 + 3x = 2x 2 – 18
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
25
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
19. Multiplica por el número indicado y simplifica.
a) (3x + 1)(3x – 1) + ( )x2
2– 2 – 1 + 2x por 2
b) x x x3
24
112
15– –2 2+ + + por 12
c) ( ) ( )x x x x3
2 1 2 16
3 23
– – – –2+ por 6
a) 2 ( ) ( ) ( )x x x x3 1 3 1 22 1 2– – –
2+ + +e o = 2(3x + 1)(3x – 1) + (x – 2)2 – 2 + 4x =
= 2(9x 2 – 1) + x 2 – 4x + 4 – 2 + 4x = 18x 2 – 2 + x 2 + 2 = 19x 2
b) 12 x x x3
24
112
5– –2 2+ + +e o = 4(x 2 + 2) – 3(x 2 + 1) – (x + 5) =
= 4x 2 + 8 – 3x 2 – 3 – x – 5 = x 2 – x
c) 6 ( ) ( )x x x x3
2 1 2 16
3 23
– – – –2+e o = 2(2x – 1)(2x + 1) – (3x – 2) – 2x 2 =
= 2(4x 2 – 1) – 3x + 2 – 2x 2 = 8x 2 – 2 – 3x + 2 – 2x 2 = 6x 2 – 3x
20. Multiplica por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica.
a) ( ) ( )x x x x2
1 34
– –+ +
b) x x x x2
3 13
2 2– – – 2+ + +
c) ( ) ( )x x x x x3
14
112
3 4– – –+ +
a) 4 ( ) ( )x x x x2
1 34
– –+ +e o = 2(x + 1)(x – 3) + 4x – x = (2x + 2)(x – 3) + 3x =
= 2x 2 – 6x + 2x – 6 + 3x = 2x 2 – x – 6
b) 6 x x x x23 1
32 2– – – 2+ + +c m = 6x + 3(3x + 1) – 2(x – 2) – 6x 2 + 12 =
= 6x + 9x + 3 – 2x + 4 – 6x 2 + 12 = – 6x 2 + 13x + 19
c) 12 ( ) ( )x x x x x3
14
112
3 4– – + + +e o = 4x (x – 1) – 3x (x + 1) + 3x + 4 =
= 4x 2 – 4x – 3x 2 – 3x + 3x + 4 = x 2 – 4x + 4
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
26
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Regla de Ruffini
21. Divide aplicando la regla de Ruffini.
a) (x 2 – 5x + 1) : (x – 2) b) (x 3 – 3x 2 + 5x + 2) : (x + 1)
c) (2x 3 – 15x – 7) : (x – 3) d) (3x 4 + 5x 3 – 2x 2 + x – 1) : (x + 2)
a) b)
1 –5 12 2 – 6
1 –3 –5
1 –3 5 2–1 –1 4 –9
1 – 4 9 –7
C (x) = x – 3 C (x) = x 2 – 4x + 9
R = –5 R = –7
c) d)
2 0 –15 –73 6 18 9
2 6 3 2
3 5 –2 1 –1–2 – 6 2 0 –2
3 –1 0 1 –3
C (x) = 2x 2 + 6x + 3 C (x) = 3x 3 – x 2 + 1
R = 2 R = –3
22. Calcula el cociente y el resto de estas divisiones:
a) (5x 2 + 13x + 4) : (x + 3) b) (x 3 – x 2 – 15x – 11) : (x – 5)
c) (3x 3 – 2x 2 + 8x – 6) : (x + 1) d) (x 4 – 2x 3 – 16x 2 – 7x) : (x – 2)
a) b)
5 13 4–3 –15 6
5 –2 10
1 –1 –15 –115 5 20 25
1 4 5 14
C (x) = 5x – 2 C (x) = x 2 + 4x + 15
R = 10 R = 14
c) d)
3 –2 8 – 6–1 –3 5 –13
3 –5 13 –19
1 –2 –16 –7 02 2 0 –32 –78
1 0 –16 –39 –78
C (x) = 3x 2 – 5x + 13 C (x) = x 3 – 16x – 39
R = –19 R = –78
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
27
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
23. Calcula el valor numérico de cada polinomio para el valor de la incógnita que se indica:
a) 5x 2 – 4x + 4 para x = –1 b) x 4 – 2x 3 – 3x 2 + 9 para x = 2
c) 3x 3 – 4x 2 – 16x + 15 para x = –2 d) x 4 – x 3 – 17x 2 – 11x para x = 4
a) b)
5 – 4 4–1 –5 9
5 –9 13
1 –2 –3 92 2 0 – 6
1 0 –3 3
Valor numérico = 13 Valor numérico = 7
c) d)
3 – 4 –16 15–2 – 6 20 –8
3 –10 4 7
1 –1 –17 –11 04 4 12 –20 –124
1 3 –5 –31 –124
Valor numérico = 7 Valor numérico = –124
24. Busca el valor que debe tomar en cada polinomio el término independiente, m, pa-ra que la división sea exacta:
a) (6x 2 – 5x + m) : (x – 2) b) (2x 4 – 2x 3 – 5x 2 + 9x – m) : (x + 1)
c) (x 3 – 9x 2 – 10x + m) : (x – 1) d (2x 4 – 9x 3 – 18x + m) : (x – 5)
a) b)
6 –5 m2 12 14
6 7 m + 14
2 –2 –5 9 –m–1 –2 4 1 –10
2 – 4 –1 10 –m – 10
m + 14 = 0 → m = –14 –m – 10 = 0 → m = –10
c) d)
1 –9 –10 m1 1 –8 –18
1 –8 –18 m – 18
2 –9 0 –18 m5 10 5 25 35
2 1 5 7 m + 35
m – 18 = 0 → m = 18 m + 35 = 0 → m = –35
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
28
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 86
25. Observa y contesta.
1 –3 –13 151 1 –2 –15
1 –2 –15 0–3 –3 15
1 –5 0
a) ¿Cuáles con las raíces del polinomio P (x)?
P (x) = x 3 – 3x 2 – 13x + 15
b) Factoriza P (x).
a) x = 1 x = –3 x = 5
b) P (x) = (x – 1)(x + 3)(x – 5)
Aplica lo aprendido26. Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes
polinomios:
a) x 3 – 6x 2 + 9x b) x 3 – x
c) 4x 4 – 81x 2 d) x 3 + 2x 2 + x
e) 3x 3 – 27x f ) 3x 2 + 30x + 75
a) x (x 2 – 6x + 9) = x (x – 3)2 b) x (x 2 – 1) = x (x – 1)(x + 1)
c) x 2 (4x 2 – 81) = x 2 (2x + 9)(2x – 9) d) x (x 2 + 2x + 1) = x (x + 1)2
e) 3x (x 2 – 9) = 3x (x + 3)(x – 3) f ) 3(x 2 + 10x + 25) = 3(x + 5)2
27. Factoriza los polinomios siguientes:
a) x 4 – 8x 3 + 16x 2 b) x 3 – 4x
c) 9x 3 + 6x 2 + x d) 4x 2 – 25
a) x 2 (x 2 – 8x + 16) = x 2 (x – 4)2 b) x (x 2 – 4) = x (x + 2)(x – 2)
c) x (9x 2 + 6x + 1) = x (3x + 1) d) (2x + 5)(2x – 5)
28. Encuentra las raíces de estos polinomios y factorízalos:
a) x 3 + 2x 2 – x – 2
b) x 3 – 19x 2 + 34x
c) x 3 – x 2 – 5x – 3
d) x 3 + 2x 2 – 9x – 18
a)
1 2 –1 –21 1 3 2
1 3 2 0 x 2 + 3x + 2 = 0 → x = ± ±
23 9 8
23 1– – –= =
21
––
x 3 + 2x 2 – x – 2 = (x – 1)(x + 1)(x + 2)
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
29
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
b) x 2 – 19x + 34 = 0 → x = ± ±2
19 361 1362
19 15– = = 172
x 3 – 19x 2 + 34x = x (x – 17)(x – 2)
c)
1 –1 –5 –3–1 –1 2 3
1 –2 –3 0 x 2 – 2x – 3 = 0 → x = ±
2 22 4 12 2 4± =+ = 3
1–
x 3 – x 2 – 5x – 3 = (x + 1)(x – 3)(x + 1) = (x + 1)2(x – 3)
d)
1 2 –9 –18–2 –2 0 18
1 0 –9 0
x 3 + 2x 2 – 9x – 18 = (x + 2)(x 2 – 9) = (x + 2)(x + 3)(x – 3)
29. Simplifica.
a) x xx x
3 62
3 2
2
++ b)
x xx
10 2525
––
2
2
+
c) x xx x
6 920 2 3
–– –
2
2
+ d)
x x xx x6 5 12
2 3–
–3 2
2
+ ++
a) ( )
( )x xx x
x xx x
x3 62
3 22
31
3 22
2++ =
++ =
b) ( )
( ) ( )x x
xx
x xxx
10 2525
55 5
55
––
––
–2
2
2+= + = +
c) 20x 2 – 2x – 3 = 0 → x = ± ±40
2 4 24040
2 244+ = → No da raíces enteras.
( )x x
x xx
x x6 9
20 2 33
20 2 3–– –
–– –
2
2
2
2
+=
d)•x 2 + 2x – 3 = 0 → x = ± ±2
2 4 122
2 4– –+ = = 13–
Luego x 2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)
•x 3 + 6x 2 + 5x – 12 = (x – 1)(x + 3)(x + 4)
1 6 5 –12
1 1 7 121 7 12 0
x 2 + 7x + 12 = 0 → x = ± ±2
7 49 482
7 1– – –= = 34–
–
( ) ( ) ( )
( ) ( )x x x
x xx x x
x xx6 5 12
2 31 3 4
1 34
1––
––3 2
2
+ ++ =
+ ++ =
+
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
30
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
30. En cada caso, desarrolla A + B y simplifica:
a) A = 4(x – 3) + y B = 3(x + 3) – y – 18
b) A = x5
4+ – y + 1 B = x5
6– + y + 1
c) A = –2 x y3
1 1–+ +d n B = x4
3– + 2y – 1
d) A = 6(x + 2) – 2(y + 7) B = x + 2(y + 1)
a) A + B = 4(x – 3) + y + 3(x + 3) – y – 18 = 4x – 12 + y + 3x + 9 – y – 18 = 7x – 21
b) A + B = x y x y x x x5
4 1 56 1 5
2 2 2 52 2 10
52 8– – ––+ + + + + = + = + = +
c) A + B = –2 x y x y x y x3
1 14
3 2 1 32 2 2 2
43– – – – – – –+ + + + = + +c m + 2y – 1 =
( ) ( )x x x x x3
2 24
3 1 124 2 2 3 3 12
125 5– – – – – – – –+ + = + + =
d) A + B = 6(x + 2) – 2(y + 7) + x + 2(y + 1) = 6x + 12 – 2y – 14 + x + 2y + 2 = 7x
31. Expresa algebraicamente.
a) La edad de Alberto dentro de 22 años, si hoy tiene x años.
b) La cantidad que se obtiene al invertir x euros y ganar el 11 %.
c) Por un ordenador y un reproductor de música se pagan 2 500 €. Si el ordenador cuesta x euros, ¿cuánto cuesta el reproductor de música?
d) Se compra un artículo por x euros y pierde el 15 % de su valor. ¿Cuánto costaría ahora?
e) El perímetro de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide x cm, un cateto, los 3/5 de la hipotenusa, y el otro cateto, 5 cm menos que esta.
f ) Los lados iguales de un triángulo isósceles de 24 cm de perímetro, si el desigual mide x cm.
a) x = “Edad actual de Alberto”. Dentro de 22 años tendrá x + 22.
b) % , ,8
xx11 1 11 1 11
InversiónGanancia de un I.V. es Cantidad obtenida
==3
c) Ordenador = x €
Equipo de música = 2 500 – x €
d) %
“, ,8 x
x0 85 0 85I.V. es
precio de compra”Pérdida del 15 Precio final =
=4
e) Los lados son: Hipotenusa = x ; Catetos = x – 5 y 53 x
Perímetro = x + x – 5 + x x53
513 5–=
f ) x = “longitud del lado desigual”
Por tanto: x2
24 – medirá cada uno de los lados iguales.
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
31
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
32. Expresa algebraicamente y simplifica cada expresión obtenida:
a) El área de una lámina rectangular de bronce cuya base mide 5/3 de su altura.
b) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 16 – x y 9 – x.
c) El área de un cuadrado de lado x + 3.
d) La diferencia de áreas de dos cuadrados de lados x y x + 3, respectivamente.
e) La superficie de un jardín rectangular de base x metros y perímetro 70 m.
f ) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles si un cateto mide x cm, y el perímetro, 24 cm.
g) El área de un rombo sabiendo que la longitud de una diagonal, x, es el triple de la otra.
a) Base = x35 Altura = x → Área = ·x x x3
535 2=
b) Cuadrado de la hipotenusa = (9 – x)2 + (16 – x)2 = 81 – 18x + x 2 + 256 – 32x + x 2 =
= 2x 2 – 50x + 337
c) Área = (x + 3)2 = x 2 + 6x + 9
d)
8 Área = x2
8 Área = (x + 3)2
Diferencia de áreas = (x + 3)2 – x2 == x2 + 6x + 9 – x2 = 6x + 9
°§§¢§§£x + 3
x
e) Perímetro = 70 m → Semiperímetro = 35 m → Altura = 35 – x
Área = x (35 – x) = 35x – x 2 x
35 – x
f ) Sea h la hipotenusa del triángulo.
Podemos expresar su cuadrado de dos formas distintas:
1. Como el triángulo rectángulo h2 = x 2 + x 2 = 2x 2
x
x h
2. Además, como el perímetro es 24, h = 24 – 2x, luego: h2 = (24 – 2x)2 = 576 + 4x 2 – 96x
g) ·8
xx
x x x3 2
32
3Diagonal menorDiagonal mayor Área
2== = =4
33. Expresa algebraicamente cada enunciado:
a) El cuadrado de la diferencia de dos números.
b) La suma de los cuadrados de dos números.
c) La diagonal de un rectángulo de dimensiones x e y.
d) El coste de la mezcla de dos tipos de café, cuyos precios son 8 €/kg y 10 €/kg.
e) El dinero que tengo si llevo monedas de 2 € y de 50 céntimos.
a) (x – y )2 b) x 2 + y 2 c) x y2 2+
d) x yx y8 10
++
e) 2x + 0,50y
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
32
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 87
Resuelve problemas34. Expresa algebraicamente el área de esta corona circular:
x + 2x
A = π(x + 2)2 – πx 2 = π(x 2 + 4 + 4x – x 2) = 4π(x + 1)
35. Expresa algebraicamente el perímetro y el área de este trapecio rectángulo:
x + 3
5
x
h = 5 3–2 2 = 4
Perímetro = x + 5 + x + 3 + 4 = 2x + 12 = 2(x + 6)
A = x x23+ + · 4 = 2(2x + 3) = 4x + 6
36. Observa la figura y expresa algebraicamente:
a) El área del triángulo.
b) El radio de la semicircunferencia.
c) El área de la zona coloreada. x + 2
x
a) Atriángulo = ( )x x x x2
22
22+ = +
b) El radio de la semicircunferencia es la mitad de la hipotenusa del triángulo rectángulo.
r = ( )x x x x x x21 2 2
1 2 4 4 22 2 22 2 2 2+ + = + + = + +
c) Azona coloreada = Asemicírculo – Atriángulo = · ( )π x x x x2 2
1 2 2 22–2 2
+ + + =
= π x x x x42 2
22–
2 2+ + +e o
37. Dos números suman 40. Expresa algebraicamente la suma del menor más la raíz cuadrada del mayor.
Si un número es x, el otro es 40 – x.
Consideramos, por ejemplo: x = número mayor, 40 – x = número menor
Suma del menor más la raíz cuadrada del mayor = 40 – x + x
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
33
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
38. El cateto de un triángulo rectángulo isósceles es y
51–
. Expresa algebraicamente la longitud de la hipotenusa y simplifica.
h2 = ·y y y
51
51
2 51– – –
2 2 2
+ =e e eo o o
h = · ·y y
2 51
2 51– –
2
=e oy – 1—
5
y – 1—
5
39. Un grupo de x estudiantes alquilan un piso por 700 € al mes. Se apuntan 2 más para alquilarlo. Expresa algebraicamente la diferencia de precio en ambos casos (con el grupo inicial y con 2 más).
•x estudiantes alquilan un piso por 700 € al mes → cada uno paga x700 €.
•Sifueranx + 2 estudiantes, cada uno pagaría x 2700+ €.
Diferencia de precio = ( )
( )( )x x x x
x xx x
7002
7002
700 2 7002
1400– –+ =
++ =
+
40. Un grupo de x amigos queda para comprar un regalo por 75,60 €. Tres de ellos se presentan sin dinero. Expresa algebraicamente el sobrecoste que eso supone para los demás.
•x amigos pagan por un regalo 75,60 € → cada uno pone ,x
75 60 €.
•Sifueran3menos(x – 3), cada uno pondría ,x 375 60
– €.
Diferencia de precio = , ,( )
, , ( )( )
,x x x x
x xx x3
75 60 75 603
75 60 75 60 33
226 8– –
–– –
–= =
41. En una parcela de lados x e y se construye una casa en la zona que se indica en el dibujo.
30 m
50 my
CASA
x
Expresa, en función de x e y, el área de la zona no edificada.
Acasa = (x – 50)( y – 30)
Azona no edificada = xy – (x – 50)( y – 30) = 50y + 30x – 1 500
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
34
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
42. Completa las tablas en tu cuaderno y expresa algebraicamente, con una igualdad, cada enunciado:
a) Dentro de dos años, mi padre tendrá el doble de mi edad.
yo mi padre
hoy x ydentro de
2 años
b) Si te doy 4 €, entonces tendrás 1 € más que yo.
yo tú
tenemos x y
te doy 4 €
a) y + 2 = 2(x + 2)
y + 2 = 2x + 4
y = 2x + 2
yo mi padre
hoy x ydentro de
2 añosx + 2 y + 2
b) y + 4 = (x – 4) + 1
y = x – 4 + 1 – 4
y = x – 7
yo tú
tenemos x y
te doy 4 € x – 4 y + 4
Unidad 5. Expresiones algebraicas ESO
35
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Curiosidades matemáticas
Reflexiona y exprésate utilizando el lenguaje algebraico
Piensa en tres dígitos de forma que, al menos, dos de ellos sean distintos.
Por ejemplo, 5, 8 y 3.El número mayor ……………… 853El número menor ……………… 358La diferencia … 853 – 358 = 495
Forma con ellos el mayor número posible…………… x y z
Forma con ellos el menor número posible…………… z y x
Réstalos…………… x y z – z y x
• Comprueba que la diferencia es siempre múltiplo de 9 y de 11 y que sus cifras suman 18.
• Demuestra, utilizando el lenguaje algebraico, que las observaciones anteriores resul-tan ciertas para cualquier trío de cifras, x, y, z, siendo x > z.
ayuda: Los números de tres cifras se codifican algebraicamente así:
x y z = 100x + 10y + z z y x = 100z + 10y + x
x y z – z y x = (100x + 10y + z) – (100z + 10y + x) = 99x – 99z = 99(x – z)
La diferencia siempre es múltiplo de 99 y, por tanto, lo es de 9 y de 11.
Unidad 6. Ecuaciones ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
1 Identidades y ecuaciones
Página 89
1. Las siguientes ecuaciones tienen alguna solución entera. Hállala tanteando.
a) 5x = 25 b) (x – 5)2 = 4
c) 3x = 81 d) 3x – 1 = 81
e) x 3+ = 4 f ) x x = 256
a) x = 2 b) (x – 5)2 = 4 8
8x xx x
5 2 35 2 7
– ––
= == =
)
c) 3x = 81 → 3x = 34 → x = 4 d) 3x – 1 = 81 → 3x – 1 = 34 → x = 5
e) x 3+ = 4 → x + 3 = 16 → x = 13 f ) x x = 256 → x x = 44 → x = 4
2. Las siguientes ecuaciones no tienen solución entera.
Tanteando, obtén la solución de cada una de ellas aproximando hasta las décimas.
a) x 5 = 400 b) x 4 = 5 000
c) 4x = 200 d) x x = 1 000
a) 35 = 243; 3,55 = 525,22; 3,35 = 391,35; 3,45 = 454,35
x 5 = 400 → x ≈ 3,3
b) 8,34 = 4 745,83; 8,44 = 4 978,71; 8,54 = 5 220,06
x 4 = 5 000 → x ≈ 8,4
c) 43,7 = 168,90; 43,8 = 194,01; 43,9 = 222,86
4x = 200 → x ≈ 3,8
d) 4,54,5 = 869,87; 4,64,6 = 1 118,63
x x = 1 000 → x ≈ 4,6
Unidad 6. Ecuaciones ESO
2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 Resolución de ecuaciones de primer grado
Página 91
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x + 11 + 2x = 5 + x – 6 b) 5 – 7x + 2 – 6x = 10x – 7 – 2x
c) 6x – 15 + 3x = x – 8 + 8x + 1 d) 5x + 4 – 13x – 9 – 2x = 0
e) 0 = 4x – 3 – x + 1 – 3x + 2
a) 3x + 11 + 2x = 5 + x – 6 b) 5 – 7x + 2 – 6x = 10x – 7 – 2x
3x + 2x – x = 5 – 6 – 11 7 – 13x = 8x – 7
4x = –12 14 = 21x
x = –412 = –3 x = 21
1432=
c) 6x – 15 + 3x = x – 8 + 8x + 1 d) 5x + 4 – 13x – 9 – 2x = 0
9x – 15 = 9x – 7 –10x – 5 = 0
9x – 9x = –7 + 15 –10x = 5
0 = 8 → No hay solución. x = – 105
21–=
e) 0 = 4x – 3 – x + 1 – 3x + 2
0 = 0 → Infinitas soluciones.
2. Quita paréntesis y resuelve.
a) 8 + (5x – 6) = 3x – (x + 4) b) x – (1 – 4x) – (6x – 5) + 1 = 0
c) 3x – 1 – (2x + 1) = 1 – (x + 2) – 3 d) 0 = (1 – x) + 2(x + 1) – 3(1 – x)
e) 3(5x – 7) + 2(x – 1) = 5x – 3 f ) 5x + 3(1 – x) = 12 + 2(x – 5)
g) 4(2 + 3x) = 10(x – 1) + 2(x + 9) h) 2(x – 3) – 5x + 7 = 11(1 – x) – (1 + 3x) – x
i) 10[2x – (x – 1)] + 3 = 8x – 5(x + 3) j) 2x + 3 = 8 – 3[9 – 2(3x + 5)]
k) 3x – 5[1 – 3(2x + 4)] = 3[1 – 4(x – 1)]
a) 8 + (5x – 6) = 3x – (x + 4) b) x – (1 – 4x) – (6x – 5) + 1 = 0
8 + 5x – 6 = 3x – x – 4 x – 1 + 4x – 6x + 5 + 1 = 0
2 + 5x = 2x – 4 –x + 5 = 0
5x – 2x = – 4 – 2 5 = x
3x = – 6
x = – 36 = –2
Unidad 6. Ecuaciones ESO
3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c) 3x – 1 – (2x + 1) = 1 – (x + 2) – 3 d) 0 = (1 – x) + 2(x + 1) – 3(1 – x)
3x – 1 – 2x – 1 = 1 – x – 2 – 3 0 = 1 – x + 2x + 2 – 3 + 3x
x – 2 = –x – 4 0 = 4x
x + x = – 4 + 2 x = 40 = 0
2x = –2
x = – 22 = –1
e) 3(5x – 7) + 2(x – 1) = 5x – 3 f ) 5x + 3(1 – x) = 12 + 2(x – 5)
15x – 21 + 2x – 2 = 5x – 3 5x + 3 – 3x = 12 + 2x – 10
17x – 23 = 5x – 3 2x + 3 = 2x + 2
17x – 5x = –3 + 23 2x – 2x = 2 – 3
12x = 20 0 = –1 No hay solución.
x = 1220
35=
g) 4(2 + 3x) = 10(x – 1) + 2(x + 9) h) 2(x – 3) – 5x + 7 = 11(1 – x) – (1 + 3x) – x
8 + 12x = 10x – 10 + 2x + 18 2x – 6 – 5x + 7 = 11 – 11x – 1 – 3x – x
8 + 12x = 12x + 8 Infinitas soluciones. –3x + 1 = –15x + 10
–3x + 15x = 10 – 1
12x = 9
x = 129
43=
i ) 10[2x – (x – 1)] + 3 = 8x – 5(x + 3) j ) 2x + 3 = 8 – 3[9 – 2(3x + 5)]
10[2x – x + 1] + 3 = 8x – 5x – 15 2x + 3 = 8 – 3[9 – 6x – 10]
20x – 10x + 10 + 3 = 3x – 15 2x + 3 = 8 – 27 + 18x + 30
10x + 13 = 3x – 15 2x + 3 = 11 + 18x
10x – 3x = –15 – 13 3 – 11 = 18x – 2x
7x = –28 –8 = 16x
x = – 728 = – 4 x = –
168
21–=
k) 3x – 5[1 – 3(2x + 4)] = 3[1 – 4(x – 1)]
3x – 5[1 – 6x – 12] = 3[1 – 4x + 4]
3x – 5 + 30x + 60 = 3 – 12x + 12
33x + 55 = –12x + 15
33x + 12x = 15 – 55
45x = – 40
x = –4540
98–=
Unidad 6. Ecuaciones ESO
4
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3. Quita denominadores y resuelve.
a) 2x – 1 = x – x5
b) x x x53
23
2– + =
c) x x15 10
1– = + d) x x x2
15
–+ =
e) x x x5
22 10
3+ = + f ) x x2 6
13 4
1+ = +
a) 2x – 1 = x – x5 b) 5x – x
3 + 2 = x32
5[2x – 1] = 5 x x5–: D 3 x x x5 3 2 3
23– + =: <D F 10x – 5 = 5x – x 15x – x + 6 = 2x
10x – 5x + x = 5 15x – x – 2x = – 6
6x = 5 12x = – 6
x = 65 x = 12
621– –=
c) 1 – x x5 101= + d) x x x2 1 5 –+ =
10 x x1 5 10110– +=: <D F 10 x xx
2 1 10 5 –+ =: :D D 10 – 2x = 10x + 1 5x + 10 = 2x – 10x
10 – 1 = 10x + 2x 10 = 2x – 10x – 5x
9 = 12x 10 = –13x
x = 129
43= x = – 13
10
e) x x x52
2 103+ = + f ) x x
2 61
3 41+ = +
10 x x x52
2 10310+ +=< <F F 12 x x
2 61
3 4112+ +=< <F F
4x + 5x = 10x + 3 6x + 2 = 4x + 3
9x – 10x = 3 6x – 4x = 3 – 2
–x = 3 2x = 1
x = –3 x = 21
4. Resuelve.
a) x x x23 5
3 1 1– –= + b) x x x4
2 32 3
1– + = +
c) x x x2
2 34
32
1– – –+ = d) x x x x9
2 33
19
14 6– – –+ + =
e) ( ) ( )x x x9
3 24
5 1127– –+ = + f ) ( ) ( )x x x
23 2
51
52 1
1037–+ + = + +
g) ( ) ( )x x x6
112
3 59
2 11 6– – – – –+ =
Unidad 6. Ecuaciones ESO
5
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
a) 2x – x x3 5
3 1= + – 1 b) x – x x4
2 32 3
1+ = +
15 x x x2 3 53 1 115– –+=: <D F 12 x x x
42 3
2 3112– + +=< <F F
30x – 5x = 3(3x + 1) – 15 12x – 3(2x + 3) = 6x + 4
25x = 9x + 3 – 15 12x – 6x – 9 = 6x + 4
25x – 9x = 3 – 15 12x – 6x – 6x = 4 + 9
16x = –12 0 = 13 No hay solución.
x = –1612
43–=
c) x x x2
2 34
32
1– – –+ = d) x + x x x9
2 33
19
14 6– – –+ =
4 x x x2
2 34
32
14– – –+ =< <F F x x x x9
9 2 3 3 39
14 6– – –+ + =
2(2x – 3) – (x + 3) = 2(x – 1) x x9
14 69
14 6– –= Infinitas soluciones.
4x – 6 – x – 3 = 2x – 2
4x – x – 2x = –2 + 6 + 3
x = 7
e) x + ( ) ( )x x9
3 24
5 1127– –= + f ) ( ) ( )x x x
23 2
51
52 1
1037–+ + = + +
36 x x x9
3 64
5 512736– –+ +=< <F F 10 ( ) ( )x x x
23 2
51
52 1
103710–+ + + +== =G G
36x + 4(3x – 6) = 9(5x – 5) + 21 15(x + 2) + 2(x – 1) = 4(x + 1) + 37
36x + 12x – 24 = 45x – 45 + 21 15x + 30 + 2x – 2 = 4x + 4 + 37
48x – 24 = 45x – 24 17x + 28 = 4x + 41
48x – 45x = –24 + 24 17x – 4x = 41 – 28
3x = 0 13x = 13
x = 30 = 0 x = 13
13 = 1
g) ( ) ( )x x x6
112
3 59
2 11 6– – – – –+ =
36 ( ) ( )x x x6
112
3 59
2 11 636– – – – –+ == =G G 6(–x – 1) – 9(x + 5) = 8(11 – x) – 216
– 6x – 6 – 9x – 45 = 88 – 8x – 216
–15x – 51 = –8x – 128
–51 + 128 = –8x + 15x
77 = 7x
x = 777 = 11
Unidad 6. Ecuaciones ESO
6
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 92
5. Si al doble de un número le sumamos la cuarta parte de dicho número, el resultado es 189. ¿Cuál es el número?
Llamamos x a ese número.
2x + 41 x = 189 → 8x + x = 756 → 9x = 756 → x = 84
6. Eloisa tiene 26 años menos que su madre. Entre las dos suman medio siglo. ¿Qué edad tiene cada una?
x = edad de Eloisa
x + 26 = edad de la madre de Eloisa
x + x + 26 = 50 → 2x = 24 → x = 224 = 12
Solución: Eloisa tiene 12 años. Su madre tiene 38 años.
7. Un bote de tomate y un frasco de mostaza pesan 800 gramos. El bote pesa 150 gramos más que el frasco. ¿Cuánto pesa cada uno?
x = peso del bote de tomate (g)
x – 150 = peso del frasco de mostaza (g)
x + x – 150 = 800 → 2x = 950 → x = 2950 = 475
Solución: el bote de tomate pesa 475 g. El frasco de mostaza pesa 325 g.
8. Tres hermanos se llevan, cada uno al siguiente, un año, y entre los tres suman 48 años. ¿Cuáles son sus edades?
x = edad del hermano pequeño
x + 1 = edad del hermano mediano
x + 2 = edad del hermano mayor
x + x + 1 + x + 2 = 48 → 3x + 3 = 48 → 3x = 45 → x = 345 = 15
Solución: las edades de los hermanos son 15, 16 y 17 años.
9. La suma de tres números consecutivos es cuatro veces el menor de ellos. ¿Qué números son?
Llamamos x al menor de los números.
x + (x + 1) + (x + 2) = 4x → 3x + 3 = 4x → x = 3
Los números son el 3, el 4 y el 5.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
7
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
10. Entre mi amigo y yo llevamos en los bolsillos 8,20 €. Si yo le diera 80 céntimos, ten-dríamos los dos lo mismo. ¿Cuánto llevamos cada uno?
x = dinero que llevo (€)
8,20 – x = € que lleva mi amigo
x – 0,80 = 8,20 – x + 0,80 → x + x = 8,20 + 0,80 + 0,80 → 2x = 9,80 → x = ,2
9 80 = 4,90
Solución: yo llevo 4,90 € y mi amigo lleva 3,30 €.
11. En un concurso de televisión, dotado con un premio total de 1 000 €, el concursante A se llevó el doble que el concursante B pero 100 € menos que el concursante C. ¿Cuánto se llevó cada uno?
x = € que se lleva B
2x = € que se lleva A
2x + 100 = € que se lleva C
x + 2x + 2x + 100 = 1 000 → 5x = 1 000 – 100 → 5x = 900 → x = 5900 = 180
Solución: A se lleva 180 · 2 = 360 €. B se lleva 180 €. C se lleva 360 + 100 = 460 €.
12. Doña Laura lleva una vida muy regular, y duerme todos los días una hora menos de la mitad del tiempo que está despierta. ¿Cuánto tiempo duerme?
x = horas que duerme Laura.
24 – x = horas que está despierta Laura.
x = x2
24 – – 1 → x + 1 = x2
24 – → 2(x + 1) = 24 – x → 2x + 2 = 24 – x →
→ 2x + x = 24 – 2 → 3x = 22 → x = 322 7 3
1= +
Solución: Laura duerme 7 h y 31 de hora, es decir, 7 horas y 20 minutos.
13. Por tres cafés y dos cruasanes hemos pagado 7,70 €. ¿Cuál es el precio de un cruasán, sabiendo que cuesta 60 céntimos menos que un café?
x = precio de un café (€)
x – 0,60 = € que cuesta un cruasán
3x + 2(x – 0,60) = 7,70 → 3x + 2x – 1,20 = 7,70 → 5x = 7,70 + 1,20 → 5x = 8,90 →
→ x = ,5
8 90 = 1,78
Solución: un café cuesta 1,78 €. Un cruasán cuesta 1,18 €.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
8
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 93
14. Moliendo juntas dos clases de café, la primera de 7,50 €/kg y la segunda de 5,70 €/kg, se han obtenido 90 kg de mezcla que sale a 6,50 €/kg. ¿Cuánto café de cada clase se ha utilizado en la mezcla?
cantidad (kg) precio (€/kg) valor (€)
café caro x kg 7,50 €/kg 7,50xcafé barato 90 – x kg 5,70 €/kg 5,70 (90 – x)
mezcla 90 kg 6,50 €/kg 90 · 6,50
7,50x + 5,70 (90 – x) = 90 · 6,50 → 7,50x + 513 – 5,70x = 585 →
→ 7,50x – 5,70x = 585 – 513 → 1,80x = 72 →
→ x = ,1 8072 = 40
Solución: se han mezclado 40 kg de café caro con 50 kg de café barato.
15. Los ahorros de Adela quintuplican a los de su hermana Beatriz, pero si Adela hiciera a Beatriz una transferencia de 800 €, solo serían el triple. ¿Cuánto tiene cada una?
x = ahorros de Beatriz (€)
5x = ahorros de Adela (€)
5x – 800 = 3(x + 800) → 5x – 800 = 3x + 2 400 → 5x – 3x = 2 400 + 800 →
→ 2x = 3 200 → x = 23 200 = 1 600
Solución: Beatriz tiene ahorrados 1 600 €. Adela tiene ahorrados 5 · 1 600 = 8 000 €.
16. Aumentando un número en un 20 % y restándole dos unidades, se obtiene el mismo resultado que sumándole su séptima parte. ¿Qué número es?
x = número buscado
120 % de x – 2 = x + x7 → x x x
100120 2 7– = + → 1,2x – 2 = x + x
7 →
→ 7[1,2x – 2] = 7 x x7+: D → 8,4x – 14 = 7x + x →
→ 8,4x – 7x – x = 14 → 0,4x = 14 → x = ,0 4
14 = 35
Solución: el número buscado es 35.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
9
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
17. Hace dos años compré una bicicleta y un equipo de música por 260 €. Los acabo de vender por un total de 162 €, habiendo perdido el 30 % con la bicicleta y el 40 % con el equipo de música.
¿Cuánto me costó cada objeto?
x = precio de la bicicleta (€)
260 – x = precio del equipo de música (€)
70 % de x + 60 % de (260 – x) = 162
0,7x + 0,6(260 – x) = 162 → 0,7x + 156 – 0,6x = 162 → 0,7x – 0,6x = 162 – 156 →
→ 0,1x = 6 → x = ,0 16 = 60
Solución: la bicicleta costó 60 €. El equipo de música costó 260 – 60 = 200 €.
18. Una finca rectangular es 40 metros más larga que ancha. Al urbanizar la zona, se le re-cortan 8 m a lo largo y 5 m a lo ancho. Así, su perímetro se reduce en una décima parte.
¿Cuáles eran las dimensiones primitivas de la finca?
x
x + 40 x + 40 – 8
x – 5A B
Perímetro de B = 109 de Perímetro de A.
2(x + 40 – 8) + 2(x – 5) = 109 · [2(x + 40) + 2x] →
→ 2(x + 32) + 2(x – 5) = [ ( ) ]x x10
9 2 40 2+ + →
→ 10[2(x + 32) + 2(x – 5)] = 9[2(x + 40) + 2x] →
→ 10[2x + 64 + 2x – 10] = 9[2x + 80 + 2x] → 10[4x + 54] = 9[4x + 80] →
→ 40x + 540 = 36x + 720 → 40x – 36x = 720 – 540 → 4x = 180 → x = 4
180 = 45
Solución: la finca mediá en su origen 45 m de ancho y 85 m de largo.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
10
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3 Ecuaciones de segundo grado
Página 94
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 2 – 7x + 6 = 0 b) x 2 – 20x + 100 = 0
c) 3x 2 + 5x + 11 = 0 d) 6x 2 + 5x + 1 = 0
e) 10x 2 – 3x – 1 = 0 f ) 2x 2 – 8x + 8 = 0
a) x 2 – 7x + 6 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ± ±
2 17 7 4 1 6
27 49 24
27 5– – – – –2
= = = 27 5
212 6
27 5
22 1–
+ = =
= =
Soluciones: x = 6, x = 1
b) x 2 – 20x + 100 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ± ±
2 120 20 4 1 100
220 400 400
220 0
220– – – – –2
= = = = 10
Solución: x = 10 (doble)
c) 3x 2 + 5x + 11 = 0
x = ·± · · ± ±
2 35 5 4 3 11
65 25 132
65 107– – – – – –2
= =
No tiene solución.
d) 6x 2 + 5x + 1 = 0
x = ·
± · · ± ±2 6
5 5 4 6 112
5 25 24125 1– – – – –2
= = = 12 12
125 1
12 21
5 1 431
6
–
– – – –
– –= =
= =
+
Soluciones: x = 31– , x = 2
1–
e) 10x 2 – 3x – 1 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 103 3 4 10 1
203 9 40
203 7– – – – –2
= + = = 203 7
201
1
102
203 7
204
5– ––
+ = =
= =
Soluciones: x = 12 , x = 1
5–
f ) 2x 2 – 8x + 8 = 0 → x 2 – 4x + 4 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ± ±
2 14 4 4 1 4
24 16 16
24 0
24– – – – –2
= = = = 2
Solución: x = 2 (doble)
Unidad 6. Ecuaciones ESO
11
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2. Resuelve estas ecuaciones:
a) 2x 2 – 50 = 0 b) x 2 – 1 = 0
c) 3x 2 + 5 = 0 d) 2x 2 + 10x = 0
e) 4x 2 – 3 = 0 f ) 7x 2 – 5x = 0
a) 2x 2 – 50 = 0 → 2x 2 = 50 → x 2 = 250 → x 2 = 25 → x = ± 25 = ±5
Soluciones: x1 = 5, x2 = –5
b) x 2 – 1 = 0 → x 2 = 1 → x = ± 1 = ±1
Soluciones: x1 = 1, x2 = –1
c) 3x 2 + 5 = 0 → 3x 2 = –5 → x 2 = – 35 → x = ± 3
5– No existe solución.
d) 2x 2 + 10x = 0 → 2x (x + 5) = 0 → 8
8x xx x2 0 0
5 0 5–= =
+ = =
Soluciones: x1 = 0, x2 = –5
e) 4x 2 – 3 = 0 → 4x 2 = 3 → x 2 = 43 → x = ± ±
43
23=
Soluciones: x1 = 23 , x2 = – 2
3
f ) 7x 2 – 5x = 0 → x (7x – 5) = 0 → /88
xx x x
07 5 0 7 5 5 7–
== = =
Soluciones: x1 = 0, x2 = 75
Unidad 6. Ecuaciones ESO
12
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 95
3. Elimina los paréntesis, si los hay, y resuelve.
a) 2x 2 – 7 = 3x – x 2 – 1 b) 3(x – 1) + 5x 2 = x (x + 3) + 1
c) 3x (2 – x) – 2 = 4x (x – 1) + x 2 d) 16 – 5x (2x – 3) = x – 2x (3x – 1)
a) 2x 2 – 7 = 3x – x 2 – 1 → 2x 2 + x 2 – 3x – 7 + 1 = 0 → 3x 2 – 3x – 6 = 0 →
→ x 2 – x – 2 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 11 1 4 1 2
21 1 8
21 3– – – – –2
= + = = 21 3
2 2
1
4
21 3
22– ––
+ = =
= =
Soluciones: x1 = 2, x2 = –1
b) 3(x – 1) + 5x 2 = x (x + 3) + 1 → 3x – 3 + 5x 2 = x 2 + 3x + 1 →
→ 5x 2 – x 2 + 3x – 3x – 3 – 1 = 0 → 4x 2 – 4 = 0 →
→ 4x 2 = 4 → x 2 = 44 = 1 → x = ± 1 = ±1
Soluciones: x1 = 1, x2 = –1
c) 3x(2 – x) – 2 = 4x (x – 1) + x 2 → 6x – 3x 2 – 2 = 4x 2 – 4x + x 2 →
→ –8x 2 + 10x – 2 = 0 → 4x 2 – 5x + 1 = 0
x = ± ±8
5 25 168
5 3– = = 3 1
341
85
85 –
+ =
=
Soluciones: x1 = 1, x2 = 41
d) 16 – 5x (2x – 3) = x – 2x (3x – 1) → 16 – 10x 2 + 15x = x – 6x 2 + 2x →
→ –10x 2 + 6x 2 + 15x – x – 2x + 16 = 0 →
→ – 4x 2 + 12x + 16 = 0 → x 2 – 3x – 4 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 13 3 4 1 4
23 9 16
23 5– – – – –2
= + = = 23 5
28
23 5 1
4
22– ––
+ = =
= =
Soluciones: x1 = 4, x2 = –1
Unidad 6. Ecuaciones ESO
13
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4. Opera y resuelve.
a) x 2 + 2x = (x + 2)(1 – x) b) (x + 2)(x – 1) + 2 = x (2 – x)
c) 3x – (x – 2)(x + 2) = 2(x 2 – 1) d) x (x – 5) + x 2 = (3x – 1)(x – 1)
e) (3x – 2)(5x + 1) = 4(x – 1) f ) 15 – (x + 2)2 = (x – 3)2 + 2x
a) x 2 + 2x = (x + 2)(1 – x) → x 2 + 2x = x – x 2 + 2 – 2x → x 2 + x 2 + 2x + 2x – x – 2 = 0 →
→ 2x 2 + 3x – 2 = 0
x = ± ±4
3 9 164
3 5– –+ = = 43 5
21
43 5 2
–
– – –
+ =
=
Soluciones: x1 = 21 , x2 = –2
b) (x + 2)(x – 1) + 2 = x (2 – x) → x 2 + 2x – x – 2 + 2 = 2x – x 2 →
→ x 2 + x 2 + 2x – x – 2x – 2 + 2 = 0 → 2x 2 – x = 0 →
→ x (2x – 1) = 0 → /8
xx x
02 1 0 1 2–
== =
Soluciones: x1 = 0, x2 = 21
c) 3x – (x – 2)(x + 2) = 2(x 2 – 1) → 3x – (x 2 – 4) = 2x 2 – 2 → 3x – x 2 + 4 – 2x 2 + 2 = 0
→ –3x 2 + 3x + 6 = 0 → x 2 – x – 2 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 11 1 4 1 2
21 1 8
21 3– – – – –2
= + = = 2 2
22
21 3 4
21 3 1– ––
= =
= =
+
Soluciones: x1 = 2, x2 = –1
d) x (x – 5) + x 2 = (3x – 1)(x – 1) → x 2 – 5x + x 2 = 3x 2 – 3x – x + 1 →
→ 2x 2 – 5x – 3x 2 + 4x – 1 = 0 → –x 2 – x – 1 = 0 →
→ x 2 + x + 1 = 0
x = ·± · · ± ±
2 11 1 4 1 1
21 1 4
21 3– – – – – –2
= = No tiene solución.
e) (3x – 2)(5x + 1) = 4(x – 1) → 15x 2 + 3x – 10x – 2 = 4x – 4 →
→ 15x 2 – 7x – 2 – 4x + 4 = 0 → 15x 2 – 11x + 2 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ± ±
2 1511 11 4 15 2
3011 121 120
3011 1– – – – –2
= = = 11
52
31
301
3012
3011 1
3010–
+ = =
= =
Soluciones: x1 = 52 , x2 = 3
1
f ) 15 – (x + 2)2 = (x – 3)2 + 2x → 15 – (x 2 + 4 + 4x) = x 2 + 9 – 6x + 2x →
→ 15 – x 2 – 4 – 4x – x 2 – 9 + 6x – 2x = 0 →
→ –2x 2 + 2 = 0 → 2x 2 = 2 → x 2 = 22 = 1 → x = ± 1 = ±1
Soluciones: x1 = 1, x2 = –1
Unidad 6. Ecuaciones ESO
14
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5. Elimina los denominadores y resuelve.
a) x (2x + 1) – ( )x21 3– 2
= b) ( ) ( )x x x2
331
31 0–
2+ + + =
c) x x8
721
42 1– –
2 2= + d) ( )x x x1
6 22
32– –= +
e) ( ) ( ) ( )x x x x x5
2 3 32 2
2– –+ + = f ) ( ) ( )x x x x72
24 1– –2+ = +
g) ( ) ( )x x x9
2 32 6
1 5– –2 2+ = +
a) x (2x + 1) – ( )x21– 2
= 3 → 2 ( ) ( )x x x2 1 21– – 2
+= G = 2 · 3
→ 2x (2x + 1) – (x – 1)2 = 6 → 4x 2 + 2x – (x 2 + 1 – 2x) – 6 = 0
→ 4x 2 + 2x – x 2 – 1 + 2x – 6 = 0 → 3x 2 + 4x – 7 = 0
x = ·± · · ( ) ± ±
34 4 4 3 7
64 16 84
64 10
2– – – – –2
= + = = 64 10
66 1
64 10
614
37
–
– – – –
+ = =
= =
Soluciones: x1 = 1, x2 = 37–
b) ( ) ( )x x x2
331
31 0–
2+ + + = → 6 ( ) ( )x x x2
331
31–
2+ + += G = 6 · 0
→ 3x (x + 3) – 2(x + 1)2 + 2 = 0 → 3x 2 + 9x – 2(x 2 + 1 + 2x) + 2 = 0 →
→ 3x 2 + 9x – 2x 2 – 2 – 4x + 2 = 0 → x 2 + 5x = 0 →
→ x (x + 5) = 0 → 8
xx x
05 0 5–
=+ = =
Soluciones: x1 = 0, x2 = –5
c) x x8
721
42 1– –
2 2= + → 8 x x
87
21
42 18– –
2 2 +== =G G → → 7 – x 2 – 4 = 2(2x 2 + 1) → 3 – x 2 = 4x 2 + 2 → –x 2 – 4x 2 = 2 – 3 →
→ –5x 2 = –1 → x 2 = 51
51
–– = → x = ± ± ±5
151
55= =
Soluciones: x1 = 55 , x2 = – 5
5
d) 1 – ( )x x x6 2
232–= + → 6 ( )x x x1
6 22
326– – +=: =D G → 6 – x = 3x (x – 2) + 4 →
→ 6 – x = 3x 2 – 6x + 4 → 3x 2 – 6x + 4 – 6 + x = 0 → 3x 2 – 5x – 2 = 0
x = ± ±6
5 25 246
5 7+ = = 65 7 2
65 7
31– –
+ =
=
Soluciones: x1 = 2, x2 = – 31
Unidad 6. Ecuaciones ESO
15
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e) ( ) ( ) ( )x x x x x5
2 3 32 2
2– –+ + = → 10 ( ) ( ) ( )x x x x x5
2 3 32 2
210– –+ + == <G F → → 4(x + 3)(x – 3) + 5x = 5x (x – 2) → 4(x 2 – 9) + 5x = 5x 2 – 10x →
→ 4x 2 – 36 + 5x – 5x 2 + 10x = 0 → –x 2 + 15x – 36 = 0
x = ( )
± ( ) ( ) ± ±2 1
15 15 4 1 362
15 225 1442
15 9–
– – – ––
– ––
–2= = = 2
15 926 3
215 9
224 12
––
––
–– –
––
+ = =
= =
Soluciones: x1 = 3, x2 = 12
f ) ( ) ( )x x x x72
24 1– –2+ = + → 14 ( ) ( )x x x x
72
24 114– –2+ +== =G G →
→ 2(x + 2)2 – 14x = 7x (x – 4) + 14 → 2(x 2 + 4 + 4x) – 14x = 7x 2 – 28x + 14 →
→ 2x 2 + 8 + 8x – 14x – 7x 2 + 28x – 14 = 0 → –5x 2 + 22x – 6 = 0
x = ( )
± ( ) ( ) ± ±2 5
22 22 4 5 610
22 484 12010
22 364–
– – – ––
– ––
–2= = =
= ±10
22 2 91–
– = 1022 2 91
511 91
1022 2 91
511 91
–– –
–– –
+ =
= +
Soluciones: x1 = 511 91– , x2 = 5
11 91+
g) ( ) ( )x x x9
2 32 6
1 5– –2 2+ = + → 18 ( ) ( )x x x
92 3
2 61 518– –2 2
+ +== =G G → → 2(2x – 3)2 + 9x = 3[(x – 1)2 + 5] → 2(4x 2 + 9 – 12x) + 9x = 3[x 2 + 1 – 2x + 5] →
→ 8x 2 + 18 – 24x + 9x = 3x 2 + 3 – 6x + 15 → 8x 2 + 18 – 15x – 3x 2 + 6x – 18 = 0 →
→ 5x 2 – 9x = 0 → x (5x – 9) = 0 → /8
xx x
05 9 0 9 5–
== =
Soluciones: x1 = 0, x2 = 59
Unidad 6. Ecuaciones ESO
16
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Página 96
6. El producto de dos números naturales consecutivos es 90. ¿Qué números son?
x (x + 1) = 90 → x 2 + x – 90 = 0
x = ± ±2
1 1 3602
1 19– –+ = = 910–
Como los números son naturales, la solución x = –10 no es válida. Los números son 9 y 10.
7. Si multiplico mi edad por la que tenía el año pasado, obtengo el mismo resultado que si multiplico la que tenía hace cuatro años por la que tendré dentro de cuatro. ¿Cuántos años tengo?
x = mi edad actual
x (x – 1) = (x – 4)(x + 4) → x 2 – x = x 2 – 16 → x 2 – x – x 2 + 16 = 0 → –x + 16 = 0 →
→ x = 16
Solución: tengo 16 años actualmente.
8. El producto de dos números es 10, y su suma, 6,5. ¿Qué números son?
Si un número es x, el otro es 6,5 – x.
x · (6,5 – x) = 10 → 6,5x – x 2 = 10 → x 2 – 6,5x + 10 = 0
x = , ± , , ± ,2
6 5 42 25 402
6 5 1 5– = = ,
42 5
6,5 – x = , ,, ,
6 5 2 5 46 5 4 2 5
––
==
Los números son 2,5 y 4.
9. La superficie de un rectángulo es 150 cm2, y su perímetro, 50 cm. ¿Cuáles son sus di-mensiones?
Base del rectángulo → x
Altura del rectángulo → x2
50 2– = 25 – x
Área = x · (25 – x) = 150 → 25x – x 2 – 150 = 0 → x 2 – 25x + 150 = 0
x = ± ±2
25 625 6002
25 5– = = 1510
25 – x = 25 15 1025 10 15
––
==
Las dimensiones del rectángulo son 10 cm y 15 cm.
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17
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10. Los tres lados de un triángulo miden 15 cm, 22 cm y 23 cm. Si a los tres les restamos la misma longitud, el triángulo resultante es rectángulo. ¿Qué longitud es esa?
Llamamos x a la cantidad que restamos.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
(23 – x)2 = (15 – x)2 + (22 – x)2 →
→ 529 + x 2 – 46x = 225 + x 2 – 30x + 484 + x 2 – 44x → x 2 – 28x + 180 = 0
x = ± ±2
28 784 7202
28 8– = = 1018
La solución x = 18 no es válida, ya que uno de los lados mide 15.
La longitud buscada es 10 cm.
11. Si el lado de un cuadrado aumenta 2 cm, su superficie aumenta 28 cm2. ¿Cuánto mide el lado?
x
x x + 2
x + 2SA
SB
SB = SA + 28
(x + 2)2 = x 2 + 28
x 2 + 4 + 4x = x 2 + 28
x 2 + 4 + 4x – x 2 – 28 = 0
4x – 24 = 0
4x = 24
x = 424 = 6
Solución: el lado del cuadrado mide 6 cm.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
18
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Página 97
12. El área total de un cilindro de 22 m de altura es 1 110π m2. Halla su radio.
Atotal = 2πr 2 + 2πrh = 2π(r 2 + rh) = 1 110π → 2(r 2 + rh) = 1 110 →
→ r 2 + 22r = 555 → r 2 + 22r – 555 = 0
r = ± ±2
22 484 2 2202
22 52– –+ = = 8
15–37 No vale.
Radio del cilindro = 15 m
13. Un depósito cilíndrico de combustible, de 22 m de altura, tiene una superficie total de 2 380 m2. ¿Cuánto mide su radio?
2π(r 2 + rh) = 2 380 → π(r 2 + 22r) = 1 190 → πr 2 + 22πr – 1 190 = 0 →
→ r 2 + 22r – (1 190/π) = 0
r = ( / ) ,π2
22 4842
224 760 44 71– ± – ±+ = = ,, 8
11 3633 36 No vale.–
El radio mide, aproximadamente, 11,36 m.
14. Un inversor deposita 20 000 € a un cierto porcentaje. Al cabo de un año, añade 10 000 € y mantiene todo el capital al mismo porcentaje. Al finalizar el segundo año le devuelven 35 200 €.
¿A qué porcentaje impuso su capital inicial?
Primer año → 20 000x
Segundo año → (20 000x + 10 000)x
20 000x 2 + 10 000x = 35 200 → 200x 2 + 100x – 352 = 0 → 50x 2 + 25x – 88 = 0
x = ± ±100
25 625 17 600100
25 135– –+ = = ,, 8
1 101 60– No vale.
El índice de crecimiento anual es 1,10. Por tanto, el porcentaje de aumento anual es del 10 %.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
19
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4 Otros tipos de ecuaciones
Página 98
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) (x – 4)(x – 6) = 0 b) (x + 2)(x – 3) = 0
c) (x + 1)(3x – 5) = 0 d) (3x + 1)(2x – 3) = 0
e) x(x2 – 64) = 0 f ) 3x (x 2 + x – 2) = 0
g) (x + 1)(x 2 – 4) = 0 h) (2x + 1)(x2 + 5x – 24) = 0
i) (x + 3)x1 4–d n = 0 j) (x – 4)
x3 14 2–
–d n = 0
a) (x – 4)(x – 6) = 0 88x x
x x4 0 46 0 6
––
1
2
= == =
Soluciones: x1 = 4, x2 = 6
b) (x + 2)(x – 3) = 0 88
x xx x
00
2 23 3–
–1
2
= == =
+
Soluciones: x1 = –2, x2 = 3
c) (x + 1)(3x – 5) = 0 8
8
x x
x x
1 0 1
3 5 0 35
–
–
1
2
+ = =
= =
Soluciones: x1 = –1, x2 = 35
d) (3x + 1)(2x – 3) = 0 8
8
x x
x x
3 1 0 31
2 3 0 23
–
–
1
2
+ = =
= =
Soluciones: x1 = – 31 , x2 = 2
3
e) x (x 2 – 64) = 0 xx
064 0–
12
==
xx
88–
2
3
==
Soluciones: x1 = 0, x2 = 8, x3 = –8
f ) 3x (x 2 + x – 2) = 0 8 xxx x
03 02 0–
12
= =+ =
x 2 + x – 2 = 0
x = ·± · · ( ) ± ±
2 11 1 4 1 2
21 1 8
21 3– – – – –2
= + = = x
x
21 3
22 1
21 3
24 2
–
– – – –
2
3
= + = =
= = =
Soluciones: x1 = 0, x2 = 1, x3 = –2
Unidad 6. Ecuaciones ESO
20
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
g) (x + 1)(x 2 – 4) = 0 ,
88 8
xx x x xx
4 0 4 2 21 0 1–– –
12 2
2 3
== = = =
+ =
Soluciones: x1 = –1, x2 = 2, x3 = –2
h) (2x + 1)(x 2 + 5x – 24) = 0 8 x
xx
x1 0 2
125 24 0
––
12
+ = =+ =
x 2 + 5x – 24 = 0 → x = ± ±2
5 25 962
5 11– –+ = = xx
38–
2
3
==
Soluciones: x1 = – 21 , x2 = 3, x3 = –8
i ) (x + 3) x1 4–c m = 0
8
8 8
x x
x x x
3 0 3
1 4 0 1 441
–
–
1
2
+ = =
= = =
Soluciones: x1 = –3, x2 = 41
j ) (x – 4) x3 14 2– –c m = 0
8x x
x
04 4
3 14 2–
–
–
1= =
x3 14– – 2 = 0 → x3 1
4– = 2 → x
43 1
21– = → 4 x
43 1
214– =< <F F →
→ 3x – 1 = 2 → 3x = 3 → x2 = 1
Soluciones: x1 = 4, x2 = 1
2. Elimina los denominadores y resuelve.
a) x
x12 1 2+ = + b) x
xx
7 2 4– = +
c) x x1
5 11
102 2+
+ =+
d) x
xx
x3 1
23 1
3– –
+ = +
e) x
x3
5 1–
– = f ) x x8 3
35– =+
g) x x115 12 1–
= + h) x x2
7 22
9–+
+ =
a) x12 + 1 = x + 2 → x x
12 1+< F = x [x + 2] → 12 + x = x 2 + 2x →
→ x 2 + 2x – x – 12 = 0 → x 2 + x – 12 = 0
x = ·± · · ( ) ± ±
2 11 1 4 1 12
21 1 48
21 7– – – – –2
= + = = 2 2 3
2 4
1 7 6
1 728 –
–
– – –
= =
= =
+
Comprobamos si x = 3 y x = – 4 son soluciones:
•Six=3 •Six = – 4
312 + 1 = 3 + 2
412–
+ 1 = – 4 + 2
4 + 1 = 5 (Sí es solución) –3 + 1 = –2 (Sí es solución)
Soluciones: x1 = 3, x2 = – 4
Unidad 6. Ecuaciones ESO
21
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
b) x7 – 2 = x + x
4 → x x x x x7 2 4– = +< <F F → 7 – 2x = x 2 + 4 →
→ x 2 + 4 + 2x – 7 = 0 → x 2 + 2x – 3 = 0
x = ·± · · ( ) ± ±
2 12 2 4 1 3
22 4 12
22 4– – – – –2
= + = = 22 4
2
22 4
2 3
2 1
6
–
– – – –
+ = =
= =
Comprobamos si son válidos los valores:
•Six=1 •Six = –3
17 2 1 1
4– = + 37 2 3 3
4– – – –= +
7 – 2 = 1 + 4 (Sí es solución) 37 6
39 4– – – –=
313
313– –= (Sí es solución)
Soluciones: x1 = 1, x2 = –3
c) x x1
5 11
102 2+
+ =+
→ (x 2 + 1) ( )x x
x1
5 11
1012 22
++
+= += <G F →
→ 5 + x 2 + 1 = 10 → x 2 = 10 – 1 – 5 → x 2 = 4 → x = ± 4 = ±2
Comprobamos si son válidos:
•Six=2 •Six = –2
2 1
5 12 1
102 2+
+ =+
( ) ( )2 1
5 12 110
– –2 2++ =
+
55 1 5
10+ = 55 1 5
10+ =
2 = 2 (Sí es solución) 2 = 2 (Sí es solución)
Soluciones: x1 = 2, x2 = –2
d) x x xx
3 12
3 13
– –+ = + → (3x – 1) ( )x x x xx
3 12 3 1 3 1
3– – –+ = +< <F F →
→ 2 + x (3x – 1) = x + 3 → 2 + 3x 2 – x – x – 3 = 0 → 3x 2 – 2x – 1 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 32 2 4 3 1
62 4 12
62 4– – – – –2
= + = = 2 4 1
62 4 2
31
6 66
6– – –
+ = =
= =
Comprobamos si son válidos los valores:
•Six=1 •Six = – 31
· ·3 1 12 1 3 1 1
1 3– –+ = +
( / )/
( / )3 1 3 12 1 1 3 3
3 1 3 1– ––– –
+ = +
22 1 2
4+ = /1 12 1 1 1
8 3– – – –
–+ =
1 + 1 = 2 (Sí es solución) 0 = /2
8 3–
– (No es solución)
Solución: x = 1
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22
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e) x 35– – 1 = x → x 3
5– = x + 1 → 5 = (x + 1)(x – 3) → 5 = x 2 – 3x + x – 3 →
→ x 2 – 2x – 8 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 12 2 4 1 8
22 4 32
22 6– – – – –2
= + = = 2
2 2
26
28 4
26
24– – –
+ = =
= =
Comprobamos si son valores válidos:
•Six=4 •Six = –2
4 3
5–
– 1 = 4 2 35
– – – 1 = –2
5 – 1 = 4 (Sí es solución) –1 – 1 = –2 (Sí es solución)
Soluciones: x1 = 4, x2 = –2
f ) x x8 3 3
5– = + → xx
x8 3
35– = + → (8 – 3x)(x + 3) = 5x →
→ 8x + 24 – 3x 2 – 9x – 5x = 0 → –3x 2 – 6x + 24 = 0 → x 2 + 2x – 8 = 0
x = ·± · · ( ) ± ±
2 12 2 4 1 8
22 4 32
22 6– – – – –2
= + = = 22 6
28 4
22 6
24 2
– – –
–
– = =
= =+
Comprobamos si son valores válidos:
•Six=–4 •Six = 2
4
8 34 35
––
–=
+ 2
8 3 2 35– = +
–2 – 3 = –5 (Sí es solución) 1 = 1 (Sí es solución)
Soluciones: x1 = – 4, x2 = 2
g) x x115 12 1– = + → x x
x1
15 12– = + → 15x = (x – 1)(12 + x) →
→ 15x = 12x + x 2 – 12 – x → x 2 + 12x – x – 12 – 15x = 0 → x 2 – 4x – 12 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 14 4 4 1 12
24 16 48
24 8– – – – –2
= + = = 24
2
24
24 2
8 12 6
8 – ––
= =
= =
+
Comprobamos si son valores válidos:
•Six=6 •Six = –2
6 115
612 1
–= + 2 1
152
12 1– – –= +
515 = 2 + 1 (Sí es solución) –5 = – 6 + 1 (Sí es solución)
Soluciones: x1 = 6, x2 = –2
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23
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h) x x27 2 2
9–+ + = → ( )
xx
x27 2 2
29–+
+ + = → (x – 2)[7 + 2(x + 2)] = 9(x + 2) →
→ (x – 2)[7 + 2x + 4] = 9x + 18 → (x – 2)(2x + 11) – 9x – 18 = 0 →
→ 2x 2 + 11x – 4x – 22 – 9x – 18 = 0 → 2x 2 – 2x – 40 = 0 →
→ x 2 – x – 20 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 11 1 4 1 20
21
21 91 80– – – – –2
= =+ = 2 21
2 28
1 9 0 5
1 9 4– – –
+ = =
= =
Comprobamos si son valores válidos:
•Six=5 •Six = – 4
5 27 2 5 2
9–+ + =
4 27 2
4 29
– – –++ =
77 2 3
9+ = 27 2
69– –+ =
1 + 2 = 3 (Sí es solución) – 23
23–= (Sí es solución)
Soluciones: x1 = 5, x2 = – 4
Unidad 6. Ecuaciones ESO
24
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 99
3. Resuelve.
a) x 3 0– = b) x + 2 = x
c) x4 5+ = x + 2 d) x 1+ – 3 = x – 8
e) x x3 1 2 11– –= f ) x x2 1–2=
g) x2 2–2 = 1 – x h) x x3 4 5 62 + = +
a) x – 3 = 0 → x = 3 → x = 9
b) x + 2 = x → x = x – 2 → x = (x – 2)2 → x = x 2 – 4x + 4 →
→ x 2 – 5x + 4 = 0 → x = ± ± ±2
5 25 162
5 92
5 3– = = = 41
Comprobación:
Si x = 4 → 4 + 2 = 2 + 2 = 4 x1 = 4 es válida.
Si x = 1 → 1 + 2 = 1 + 2 = 3 ≠ 1 x2 = 1 no es válida.
Solución: x = 4
c) x4 5+ = x + 2
x4 52
+` j = (x + 2)2 → 4x + 5 = x 2 + 4x + 4 → x 2 + 4x + 4 – 4x – 5 = 0 →
→ x 2 – 1 = 0 → x 2 = 1 → x = ±1
Comprobación:
8x x1 4 5
1 2 39 3Si = +
+ == =
4 Coinciden → x = 1 es solución.
8x x1 4 5
1 21 11
Si ––
= + = =+ =
4 Coinciden → x = –1 es solución.
Soluciones: x1 = 1, x2 = –1
d) x 1+ = x – 8 + 3 → x 1+ = x – 5 → x 12
+` j = (x – 5)2 →
→ x + 1 = x 2 – 10x + 25 → x 2 – 11x + 24 = 0
x = ± ± ±2
11 121 962
11 252
11 5– = = = 83
Comprobación:
8x 3 9 3 08 8 1 3 3
8 8 0Si – ––
–= = = =+
=4 Coinciden → x = 8 es válida.
8x 1 3 3 3
83 3 4 2 1
3 5Si – – –
––
–= + = = =
=4 No coinciden → x = 3 no es válida.
Solución: x = 8
Unidad 6. Ecuaciones ESO
25
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
e) 3 x 1– = 2x – 11 → x3 1–2
` j = (2x – 11)2 → 9(x – 1) = 4x 2 + 121 – 44x →
→ 9x – 9 = 4x 2 + 121 – 44x → 4x 2 – 53x + 130 = 0
x = ( ) ± ± ±8
53 2 809 2 0808
53 7298
53 27– – – = = = / /
1026 8 13 4=
Comprobación:
·
·8x 3 10 110 3 3 9
2 10 11 9Si –
–= = =
=4 Coinciden → x = 10 es solución.
// / /
/ /8x 3 1 3 9 2
2 1113 4 13 4 3 2
13 4 9 2Si – ·
· – –= = =
=4 No coinciden → x = 13/4 no es solución.
Solución: x = 10
f ) x = x2 1–2 → x 2 = x2 1–2 2` j → x 2 = 2x 2 – 1 → 2x 2 – 1 – x 2 = 0 →
→ x 2 – 1 = 0 → x 2 = 1 → x = ± 1 = ±1
Comprobación:
Si x = 1 → 1 = ·2 1 1–2 → 1 = 1 x1 = 1 es solución.
Si x = –1 → –1 = · ( )2 1 1– –2 → –1 ≠ 1 x2 = –1 no es solución.
Solución: x = 1
g) x2 2–2 2` j = (1 – x)2 → 2x 2 – 2 = 1 – 2x + x 2 → x 2 + 2x – 3 = 0
x = ± ± ±2
2 4 122
2 162
2 4– – –+ = = = 31–
Comprobación:
·
( )8x 18 23 2 9 2 16 4
1 3 1 3 4Si –– –
– –= = = =
= + =4 Coinciden → x = –3 es solución.
·8x 2 1 21 2 2 0
1 1 0Si – –
–= = =
=4 Coinciden → x = 1 es solución.
Soluciones: x1 = –3, x2 = 1
h) x x3 4 5 62 2 2+ = +` `j j → 3x 2 + 4 = 5x + 6 → 3x 2 – 5x – 2 = 0
x = ± ± ±6
5 25 246
5 496
5 7+ = = = /
21 3–
Comprobación:
··
8x 3 4 42 12 4 16 45 2 6 10 6 16 4
Si = + = + = =+ = + = =
4 Coinciden → x = 2 es solución.
xSi –= 8 ·
·
3 91 4
5 31
31
31 4 3
13
6 35 6 3
13– –
+ = + =
+ = + =c m4 Coinciden → x = – 3
1 es solución.
Soluciones: x1 = 2, x2 = – 31
Unidad 6. Ecuaciones ESO
26
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4. Un comerciante de un mercadillo ha obtenido 240 € por la venta de cierta cantidad de camisas. Habría obtenido lo mismo vendiendo 6 unidades menos, pero dos euros más caras. ¿Cuántas camisas ha vendido?
x = número de camisas vendidas
x240 = precio de una camisa (€)
240 = (x – 6) x240 2+c m → 240 = 240 + 2x – x
1440 – 12 → 2x – x1440 – 12 = 0 →
→ 2x 2 – 1 440 – 12x = 0 → x 2 – 6x – 720 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 16 6 4 1 720
26 36 2 880
26 54– – – – –2
= + = = 26 54
260 30
26 54–
+ = =
La solución negativa no es solución del problema, ya que el número de camisas vendidas no puede ser negativo.
Solución: se han vendido 30 camisas.
5. Piensa en un triángulo rectángulo y escribe el enunciado de un problema que se resuelva
con la ecuación x 82 2+ = x + 2. Da la solución.
posible enunciado: De un triángulo rectángulo conocemos la medida de uno de sus catetos, 8 cm, y sabemos que la hipotenusa mide 2 cm más que el otro cateto. Calcula la medida de los tres lados.
x 82 2+ = x + 2 → x 82 2 2+` j = (x + 2)2 → x 2 + 64 = x 2 + 4x + 4 → 64 – 4 = 4x →
→ 60 = 4x → x = 460 = 15
Solución: Los catetos miden 8 y 15 cm. La hipotenusa mide 17 cm.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
27
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Ejercicios y problemas
Página 100
Practica
Ecuaciones: soluciones por tanteo
1. Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 2x + 3 = 32 b) x2 1+ = 9
c) xx + 1 = 8 d) (x – 1)3 = 27
a) 2x + 3 = 32 → 2x + 3 = 25 → x + 3 = 5 → x = 2
b) x2 1+ = 9 → 2x + 1 = 81 → 2x = 80 → x = 40
c) x x + 1 = 8 → x = 2 (porque 22 + 1 = 23 = 8)
d) (x – 1)3 = 27 → (x – 1)3 = 33 → x – 1 = 3 → x = 4
2. Las siguientes ecuaciones tienen más de una solución entera. Búscalas tanteando.
a) (x + 1)2 = 4 b) (x + 1)(x – 3) = 0
c) x2 = 2x d) 3(x – 2)2 = 3
a) (x + 1)2 = 4 → x + 1 puede ser 2 o –2, esto es x1 = 1 o x2 = –3
b) (x + 1)(x – 3) = 0 → x1 = –1, x2 = 3
c) x 2 = 2x → x1 = 0 o x2 = 2
d) 3(x – 2)2 = 3 → (x – 2)2 = 1 → x – 2 es 1 o –1, esto es, x1 = 3 o x2 = 1
3. Busca por tanteo, con la calculadora, una solución aproximada hasta las décimas.
a) x3 + x2 = 20 b) xx = 35
c) 3x = 1 000 d) x3 = 30
a)
2 2 8 4 123 3 27 9 36
Por tanto, la solución está entre 2 y 3.Probemos con 2,4; 2,5; 2,6; …
3 2
3 2+ = + =+ = + =
4
, , ,, , ,
2 4 2 4 19 5842 5 2 5 21 875
3 2
3 2+ =+ =
4 Por tanto, la solución es x = 2,4.
b) La solución está entre 3 y 4. Probemos con 3,1; 3,2; …
3 274 256
3
4==
4
, ,, ,
3 1 33 363 2 41 35
,
,
3 1
3 2==
4 La solución más próxima es x = 3,1.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
28
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c) , ; , ; …
7293 2187
6 7 6 2 6 33
La solución está entre y . Probemos con6
7==
4
,,
3 908 143 1013 59
,
,
6 2
6 3==
4 La solución más próxima es x = 6,3.
d) . , ; , ; …
274 64
3 4 3 1 3 23
La solución está entre y Probemos con3
3==4
, ,, ,
3 1 29 7913 2 32 768
3
3==
4 La solución es x = 3,1.
Ecuaciones de primer grado
4. Quita paréntesis y resuelve.
a) 5(x – 1) – 6x + 2 = 3(1 – x) – (1 – 3x)
b) 7[x – 2(x + 1)] – 4 = 3x – 4(x + 3)
c) x + 5 = 3x – 2[1 – 3(2x – 1)]
d) 2x – 3[8 – 4(x – 1)] = 2[14 – 3(x – 1)]
a) 5x – 5 – 6x + 2 = 3 – 3x – 1 + 3x → –x – 3 = 2 → –3 – 2 = x → x = –5
b) 7[x – 2x – 2] – 4 = 3x – 4x – 12 → 7x – 14x – 14 – 4 = –x – 12 →
→ –7x – 18 = –x – 12 → –7x + x = –12 + 18 → – 6x = 6 → x = –66 = –1
c) x + 5 = 3x – 2 + 6(2x – 1) → x + 5 = 3x – 2 + 12x – 6 →
→ x – 3x – 12x = –2 – 6 – 5 → –14x = –13 → x = 1413
1413
–– =
d) 2x – 3[8 – 4x + 4] = 2[14 – 3x + 3] → 2x – 24 + 12x – 12 = 28 – 6x + 6 →
→ 2x + 12x + 6x = 28 + 6 + 24 + 12 → 20x = 70 → x = 2070
27=
5. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x x9
1 2 16
4– –= + b) x x x x5
3 210
4 18
5 24
1– – –+ + = +
c) x x x2
33
5 16
1 9– – –+ = d) x x x4
2 55
1 120
2 1– – – –= +
a) Multiplicamos ambos miembros por 18 y simplificamos:
2(1 – 2x) = 18 – 3(x + 4) → 2 – 4x = 6 – 3x → 2 – 6 = 4x – 3x → x = – 4
b) Multiplicamos la expresión por 40 y simplificamos:
8(3x + 2) – 4(4x – 1) + 5(5x – 2) = 10(x + 1) →
→ 24x + 16 – 16x + 4 + 25x – 10 = 10x + 10 → 23x = 0 → x = 0
c) Multiplicamos ambos miembros por 6 y simplificamos:
3(x – 3) – 2(5x + 1) = 1 – 9x → 3x – 9 – 10x – 2 = 1 – 9x → 2x = 12 → x = 6
d) Multiplicamos la expresión por 20 y simplificamos:
5(2x – 5) – 4(x – 1) = 20 – 2x – 1 → 10x – 25 – 4x + 4 = 19 – 2x → 8x = 40 → x = 5
Unidad 6. Ecuaciones ESO
29
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
6. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) ( ) ( )x x x2
33
2 2 49
7 2 1– – – – –= b) ( ) ( )x x x x4
1 122
48
3 1 1– – –+ + = +
c) ( )x x x6
3 210
4 115
24
2 3– – – – –+ = d) ( ) ( )x x x6
2 34
3 16
2 385 0– – – – – + =
a) Multiplicamos la ecuación por 18:
9(3 – x) – 12(x – 2) = 72 – 14(2x – 1) → 27 – 9x – 12x + 24 = 72 – 28x + 14 →
→ –9x – 12x + 28x = 72 + 14 – 27 – 24 → 7x = 35 → x = 735 = 5
b) Multiplicamos toda la ecuación por 8:
2(1 + 12x) + 4(x – 4) = 3(x + 1) – (1 – x) → 24x – 16 = 0 → x = 2416
32=
c) Multiplicamos la ecuación por 60:
10(3x – 2) – 6(4x + 1) = –2 · 4 – 30(x – 3) → 30x – 20 – 24x – 6 = –8 – 30x + 90 →
→ 36x = 108 → x = 36108 = 3
d) Multiplicamos toda la ecuación por 24:
4(2x – 3) – 18(x – 1) – 8(3 – x) + 3 · 5 = 0 → 8x – 12 – 18x + 18 – 24 + 8x + 15 = 0 →
→ –2x = 3 → x = – 23
7. Las siguientes ecuaciones son de primer grado. Compruébalo y resuélvelas:
a) (x + 1)2 + (x – 2)2 = (x + 2)2 + (x – 1)2
b) 4(x – 3)(x + 3) – (2x + 1)2 = 3
c) ( )x x x5
341
41– 2 2+ + = +
d) ( ) ( )x x43
162 1
1635– – –2 2
=
Para comprobar que son ecuaciones de primer grado, simplificamos las ecuaciones al máximo antes de resolverlas:
a) x 2 + 2x + 1 + x 2 – 4x + 4 = x 2 + 4x + 4 + x 2 – 2x + 1 →
→ –2x + 5 = 2x + 5 (es de primer grado) → – 4x = 0 → x = 0
b) 4(x 2 – 9) – 4x 2 – 4x – 1 = 3 → 4x 2 – 36 – 4x 2 – 4x – 1 = 3 →
→ – 4x = 40 (es de primer grado) → x = 4
40–
= –10
c) Multiplicamos la ecuación por 20:
4(x + 3) + 5(x – 1)2 = 5(x 2 + 1) → 4x + 12 + 5(x 2 – 2x + 1) = 5x 2 + 5 →
→ 4x + 12 + 5x 2 – 10x + 5 = 5x 2 + 5 → – 6x = –12 (es de primer grado) →
→ x = 612 = 2
d) 4(x 2 + 9 – 6x) – (4x 2 + 1 – 4x) = 35 → 4x 2 + 36 – 24x – 4x 2 – 1 + 4x = 35 →
→ 20x = 0 (es de primer grado) → x = 0
Unidad 6. Ecuaciones ESO
30
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Ecuaciones de segundo grado
8. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 2 – 2x – 3 = 0 b) 2x 2 – 7x – 4 = 0
c) 2x 2 – 5x – 3 = 0 d) x 2 + x + 2 = 0
a) x = ± ± ±2
2 4 122
2 162
2 4+ = = = xx
31–
1
2
==
Soluciones: x1 = 3, x2 = –1
b) x = ± ± ±4
7 49 324
7 814
7 9+ = = = / /
xx
42 4 1 2– –
1
2
== =
Soluciones: x1 = 4, x2 = – 21
c) x = ± ± ±4
5 25 244
5 494
5 7+ = = = / /
xx 2 4 1 2
3– –
1
2
== =
Soluciones: x1 = 3, x2 = – 21
d) x = ± ±2
1 1 82
1 7– – – –=
No tiene solución.
9. Resuelve.
a) 4x 2 – 64 = 0 b) 3x 2 – 9x = 0
c) 2x 2 + 5x = 0 d) 2x 2 – 8 = 0
a) 4x 2 = 64 → x 2 = 464 → x 2 = 16 → Soluciones: x1 = 4, x2 = – 4
b) 3x (x – 3) = 0 8
xx x
03 0 3–
== =
Soluciones: x1 = 0, x2 = 3
c) x (2x + 5) = 0 /8
xxx
02 5 0 5 2–
==+ =
Soluciones: x1 = 0, x2 = – 25
d) 2x 2 = 8 → x 2 = 28 → x 2 = 4 → Soluciones: x1 = 2, x2 = –2
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31
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10. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado:
a) –2x 2 – x + 3 = 0 b) 25 – 100x 2 = 0
c) 25 x 2 + 3x = 0 d) –x 2 + 3x + 10 = 0
a) x = ± ± ±4
1 1 244
1 254
1 5– – –
+ = = = / /xx
6 4 3 21– –= =
=
Soluciones: x1 = – 23 , x2 = 1
b) Despejamos x 2 → x 2 = 10025 → x = ± ±100
25105= → Soluciones: x1 = – 2
1 , x2 = 21
c) Sacamos x factor común → x x25 3+c m = 0
8
x
x x
0
25 3 0 5
6–
=
+ = =
Soluciones: x1 = 0, x2 = – 56
d) x = ± ±2
3 9 402
3 7–
––
–+ = = xx
52–
==
Soluciones: x1 = 5, x2 = –2
11. Resuelve.
a) (x – 3)(x + 3) + (x – 4)(x + 4) = 25 b) (x + 1)(x – 3) + (x – 2)(x – 3) = x 2 – 3x – 1
c) x(x – 3) + (x + 4)(x – 4) = 2 – 3x d) 3x(x + 4) – x(x – 1) = 13x + 8
a) x 2 – 9 + x 2 – 16 = 25 → 2x 2 = 50 → x 2 = 25 xx
55–
==
Soluciones: x1 = 5, x2 = –5
b) x 2 + x – 3x – 3 + x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 1 → x 2 – 4x + 4 = 0 → (x – 2)2 = 0 → x = 2
Solución: x = 2
c) x 2 – 3x + x 2 – 16 = 2 – 3x → 2x 2 = 18 → x 2 = 9 xx
33–
==
Soluciones: x1 = 3, x2 = –3
d) 3x 2 + 12x – x 2 + x = 13x + 8 → 2x 2 = 8 → x 2 = 4 xx
22–
==
Soluciones: x1 = 2, x2 = –2
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32
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12. Las siguientes ecuaciones son de segundo grado e incompletas. Resuélvelas sin apli-car la fórmula general.
a) (3x + 1)(3x – 1) + ( )x2
2– 2 = 1 – 2x
b) x x x3
24
112
5–2 2+ + = +
c) ( ) ( )x x x x3
2 1 2 16
3 23
– – 2+ = +
a) 9x 2 – 1 + x x24 4–2 + = 1 – 2x → 18x 2 – 2 + x 2 – 4x + 4 = 2 – 4x →
→ 19x 2 = 0 → x = 0
b) Multiplicamos toda la ecuación por 12:
4(x 2 + 2) – 3(x 2 + 1) = x + 5 → 4x 2 + 8 – 3x 2 – 3 = x + 5 → x 2 – x = 0 →
→ x (x – 1) = 0
Soluciones: x1 = 0, x2 = 1
c) Multiplicamos la ecuación por 6:
2(2x – 1)(2x + 1) = 3x – 2 + 2x 2 → 2(4x 2 – 1) = 3x – 2 + 2x 2 → 6x 2 – 3x = 0 →
→ 3x (2x – 1) = 0 /8
xx x
02 1 0 1 2–
== =
Soluciones: x1 = 0, x2 = 21
13. Resuelve.
a) (2x – 3)2 – 19 = 3x (x – 5) b) x (1 – 2x) = (1 – 2x)2
c) (x – 4)2 + 8(x + 1) = 17 d) (x – 2)2 + (2x + 1)2 = 0
e) (x – 3)2 + 17 = (2x + 5)2 – 28x
a) (2x – 3)2 – 19 = 3x (x – 5) → 4x 2 + 9 – 12x – 19 = 3x 2 – 15x →
→ 4x 2 + 9 – 12x – 19 – 3x 2 + 15x = 0 → x 2 + 3x – 10 = 0
x = ·± ± ±· · ( )
2 13
23 9 40
23 73 4 1 10– – –– –2
= + = = 23 7
24 2
27
210 53
–
– – – –
= =
= =
+
Soluciones: x1 = 2, x2 = –5
b) x (1 – 2x) = (1 – 2x)2 → x – 2x 2 = 1 + 4x 2 – 4x → 4x 2 – 4x + 1 + 2x 2 – x = 0 →
→ 6x 2 – 5x + 1 = 0
x = ·
( ) ± ( ) · · ± ±2 6
5 5 4 6 112
5 25 2412
5 1– – – – –2= = = 12
5 112 2
1
12 124
31
6
5 1–
+ = =
= =
Soluciones: x1 = 21 , x2 = 3
1
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33
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c) (x – 4)2 + 8(x + 1) = 17 → x 2 + 16 – 8x + 8x + 8 – 17 = 0 → x 2 + 7 = 0 → x 2 = –7
No existe solución.
d) (x – 2)2 + (2x + 1)2 = 0 → x 2 + 4 – 4x + 4x 2 + 1 + 4x = 0 → 5x 2 + 5 = 0 → 5x 2 = –5
No existe solución.
e) (x – 3)2 + 17 = (2x + 5)2 – 28x → x 2 + 9 – 6x + 17 = 4x 2 + 25 + 20x – 28x →
→ 4x 2 + 25 – 8x – x 2 – 9 + 6x – 17 = 0 →
→ 3x 2 – 2x – 1 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 32 2 4 3 1
62 4 12
62 4– – – – –2
= + = = 1
3
62 4
62 4 1––
=
=
+
Soluciones: x1 = 1, x2 = – 31
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34
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Página 101
14. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) (2x + 1)2 = 1 + (x – 1)(x + 1) b) ( ) ( )x x x x2
1 34
–+ + =
c) x + x x2
3 13
2– –+ = x 2 – 2 d) ( ) ( )x x x x x3
14
112
3 4 0– – + + + =
a) 4x 2 + 1 + 4x = 1 + x 2 – 1 → 3x 2 + 4x + 1 = 0
x = ± ±6
4 16 126
4 2– – –= = /xx
1 31
––
==
Soluciones: x1 = – 31 , x2 = –1
b) x x x x22 3
4– –2
+ = → 2x 2 – 4x – 6 + 4x = x → 2x 2 – x – 6 = 0
x = ± ±4
1 1 484
1 7+ = = /
xx
23 2–
==
Soluciones: x1 = 2, x2 = – 23
c) 6x + 9x + 3 – 2x + 4 = 6x 2 – 12 → 6x 2 – 13x – 19 = 0
x = ± ±12
13 169 45612
13 25+ = = /xx
19 61–
==
Soluciones: x1 = 619 , x2 = –1
d) 4x (x – 1) – 3x (x + 1) + 3x + 4 = 0 → 4x 2 – 4x – 3x 2 – 3x + 3x + 4 = 0 →
→ x 2 – 4x + 4 = 0 → x = ±2
4 16 16– = 2
Solución: x = 2
Otros tipos de ecuaciones
15. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) (2x – 5)(x + 7) = 0 b) (x – 2)(4x + 6) = 0
c) (x + 2)(x 2 + 4) = 0 d) (3x + 1)(x 2 + x – 2) = 0
a) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
,8
8
x x
x xx x
2 5 0 25
7 0 77 2
5–
–Soluciones: –1 2
= =
+ = == =4
b) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
,8
8
x
xx x
x
x
0 2
46
23 2
2
4 6 0 23
– –Soluciones: –
–
1 2
= =
= == =
+ =4
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c) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
88
x xx x
2 0 24 0 4
–– No tiene solución.2 2
+ = =+ = =
3 Solución: x = –2
d) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
Soluciones:
x1 = –2, x2 = 31– , x3 = 1
3x + 1 = 0 → x = – 31
x 2 + x – 2 = 0 → x = ± ±2
1 1 82
1 3– –+ = = 2
1–
16. Di cuáles son las soluciones de estas ecuaciones:
a) (x – 2)(x + 3)(2x – 5) = 0 b) x 2(x – 6)(3x – 1) = 0
c) (2 – x)(x – 7)(x 2 – 9) = 0 d) x (x 2 + 1)(6x – 3) = 0
a) (x – 2)(x + 3)(2x – 5) = 0 /
88
8x xx xx x
2 0 23 0 3
2 5 0 5 2
––
–
= =+ = =
= =
Soluciones: x1 = 2, x2 = –3, x3 = 25
b) x 2(x – 6)(3x – 1) = 0 /
888
xxx xx x
0 06 0 6
3 1 0 1 3––
2 === == =
Soluciones: x1 = 0, x2 = 31 , x3 = 6
c) (2 – x)(x – 7)(x 2 – 9) = 0 ±
888 8
x xx xx x x
2 0 27 0 79 0 9 3
–––2 2
= == == = =
Soluciones: x1 = –3, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 7
d) x (x 2 + 1)(6x – 3) = 0 / /
88
xx xx x
01 0 1
6 3 0 3 6 1 2– No tiene solución.
–
2 2=+ = =
= = =
Soluciones: x1 = 0, x2 = 21
17. Resuelve estas ecuaciones:
a) x x
x221
23– = b)
x x800 50
4600– =
+ c)
x xx1 2
33– –
2 2= d) xxx
21
42 4–= +
+
a) x xx2
21
23– = . Multiplicamos la ecuación por 2x :
4 – 1 = 3x 2 → 3x 2 = 3 → x 2 = 1 → x = ±1
Comprobación: Si x = –1 → ( )
( ) 812
2 11
23 1 2 2
123
– –– – –= = + = Solución válida.
Si x = 1 → 2 – 21
23= Solución válida.
Soluciones: x1 = –1, x2 = 1
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b) x x800 50
4600– =+
. Multiplicamos la ecuación por x (x + 4):
800(x + 4) – 50x (x + 4) = 600x → 800x + 3 200 – 50x 2 – 200x = 600x →
→ –50x 2 + 3 200 = 0 → x 2 – 64 = 0 → x 2 = 64 → x = ±8
Comprobación: Si x = –8 → 88800 50
8 4600 150
4600
– ––
––
=+
= Solución válida.
Si x = 8 → 100 – 50 = 12600 → 50 = 50 Solución válida.
Soluciones: x1 = –8, x2 = 8
c) x x
x1 23
3– –2 2= . Multiplicamos la ecuación por 3x 2:
3 – 6x 2 = 3 – x → 6x 2 – x = 0 → x (6x – 1) = 0 /8
xx x
06 1 0 1 6–
== =
Comprobación: Si x = 0 → 01 no existe, luego no es válida.
Si x = 61 →
3 –
·611 2
36161
–2 2=c cm m
→ 36 – 2 =
36
617
3 →
→ 34 = 17 · 2 Solución válida.
Solución: x = 61
d) xxx
2 14
2 4–= ++
. Multiplicamos la ecuación por 2(x + 4):
x (x + 4) = 2(x + 4) · 2(2x + 4) → x 2 + 4x = 2x + 8 + 4x – 8 → x 2 – 2x = 0 →
→ x (x – 2) = 0 8
xxx
002 2–
== =
Comprobación: Si x = 0 → 20 1
0 40 4–= +
+ → 0 = 1 – 1 Solución válida.
Si x = 2 → 22 1
2 44 4–= +
+ → 1 = 1 + 0 Solución válida.
Soluciones: x1 = 0, x2 = 2
18. Resuelve.
a) x x
100 54
90–
+ = b) ( )x
x1
250 5 3 4 1– –+
=
c) x x1 2
95
2+ = d) xx2
22
4 1– ++
=
a) x x100 5
490–
+ = . Multiplicamos la ecuación por x (x – 4):
100(x – 4) + 5x (x – 4) = 90x → 100x – 400 + 5x 2 – 20x = 90x →
→ 5x 2 – 10x – 400 = 0 → x 2 – 2x – 80 = 0
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x = ± ±2
2 4 3202
2 18+ = = 108–
Comprobación: Si x = –8 → 88100 5
8 490
215
215
– – –– –+ = = Solución válida.
Si x = 10 → 10 510 4
90–
+ = → 15 = 15 Solución válida.
Soluciones: x1 = –8, x2 = 10
b) x 1250
+ – 5 = 3(4x – 1). Multiplicamos la ecuación por x + 1:
250 – 5(x + 1) = 3(4x – 1)(x + 1) → 250 – 5x – 5 = 3(4x 2 + 4x – x – 1) →
→ 250 – 5x – 5 = 12x 2 + 9x – 3 → 12x 2 + 14x – 248 = 0 → 6x 2 + 7x – 124 = 0
x = ± ± ±12
7 49 2 97612
3 02512
7 557– – –+ = = = 1248 4
1262
631– –
=
=
Comprobación:
· · ·
8x631
631 1
250 5
625
250 5 65
3 4631 1 3 3
62 1 3 365 65
Si –
––
–– –
– – – – – –
Coincide.
=+
= =
= = =f c c cm p m m> H4
· ( · ) ·
8x 4 5250 5 50 5 45
3 4 4 1 3 15 45
Si – –
–Coincide.
= = =
= =4
Soluciones: x1 = –631 , x2 = 4
c) x x1 2
95
2+ = . Multiplicamos la ecuación por 9x 2:
9x + 18 = 5x 2 → 5x 2 – 9x – 18 = 0 →
x = ± ± ±10
9 81 36010
9 44110
9 21+ = = = 1030 3
1012
56– –
=
=
Comprobación: Si x = – 56 →
56
1
562
65
3650
3620
95
– ––2+ = + = =
c m
Solución válida.
Si x = 3 → 31
92
93 2
95+ = + = Solución válida.
Soluciones: x1 = – 56 , x2 = 3
Unidad 6. Ecuaciones ESO
38
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
d) xx2
22
4 1– + + = . Multiplicamos la ecuación por 2(2 + x):
(2 – x)(2 + x) + 4 · 2 = 2(2 + x) → 4 – x 2 + 8 = 4 + 2x → x 2 + 2x – 8 = 0
x = ± ±2
2 4 322
2 6– –+ = = 24–
Comprobación: Si x = – 4 → 26
24–+ = 3 – 2 = 1 Solución válida.
Si x = 2 → 20
44+ = 0 + 1 = 1 Solución válida.
Soluciones: x1 = – 4, x2 = 2
19. Resuelve.
a) x x 2– = b) x x25 1– – 2 =
c) x x169 17– – 2 = d) x x5 10 8+ + =
e) x x2 7 5 4–2 + = f ) x x2 3 1–+ + =
a) (x – 2) = x → Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x 2 – 4x + 4 = x → x 2 – 5x + 4 = 0 → x = ± ±2
5 25 162
5 3– = = xx
41
1
2
==
Comprobación:
≠88
xx
4 4 41 1 1
20 2
––
1
2
==
== 4 Solución: x = 4
b) (x – 1)2 = x25 – 2 2` j → Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x 2 – 2x + 1 = 25 – x 2 → 2x 2 – 2x – 24 = 0 → x 2 – x – 12 = 0
x = ± ±2
1 1 482
1 7+ = = xx
43–
1
2
==
Comprobación:
88
xx
4 4 25 16 4 3 13 3 25 9 3 4 7 1
–– ≠
– –– – – – – –
1
2
= == =
== 4 Solución: x = 4
c) (x – 17)2 = x169 – 2 2` j → Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x 2 + 289 – 34x = 169 – x 2 → 2x 2 – 34x + 120 = 0 → x 2 – 17x + 60 = 0
x = ± ±2
17 289 2402
17 7– = = xx
125
1
2
==
Comprobación:
≠8
8xx
17
12 12 169 44 12 5 7 175 5 169 25 5 12 17
– – –– – – ≠–
1
2
= = == = = 4 No tiene solución.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
39
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
d) x5 102
+` j = (8 – x)2 → Elevamos al cuadrado ambos miembros:
5x + 10 = 64 + x 2 – 16x → x 2 – 21x + 54 = 0
x = ± ±2
21 441 2162
21 15– = = xx
183
1
2
==
Comprobación:
· ≠
·8
8xx
18 18 5 18 10 28 83 3 5 3 10 3 5 8
1
2
= == =
+ ++ + + = 4 Solución: x = 3
e) Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos: 2x 2 + 7 = 5 – 4x
2x 2 + 4x + 2 = 0 → x 2 + 2x + 1 = 0 → x = ± ±2
2 4 42
2 0– – –= = –1
Comprobación: Si x = –1 → · ( ) · ( ) 82 1 7 5 4 1 9 9– – –2 + = = Solución válida.
Solución: x = –1
f ) Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x + 2 = (x – 4)2 → x + 2 = x 2 + 8x + 16 → x 2 – 9x + 14 = 0
x = ± ± ±2
9 81 562
9 252
9 5– = = = xx
72
1
2
==
Comprobación:
≠88
xx 5
7 7 2 3 6 7 12 2 2 3 2 1
––
1
2
== =
+ + = =+ + 4 Solución: x = 7
20. Busca una solución en cada caso:
a) xx
x1 6– = b) x
x2
25– =+
c) x x12
31
3 18
– –+ = d)
x xx
26 1
222
––
––=
a) xx
x1 6– = →
xx
x6 1– = →
xx 6 1– = → x – 6 = x → (x – 6)2 = x
2` j →
→ x 2 + 36 – 12x = x → x 2 – 13x + 36 = 0
x = ·( ) ± ( ) · ·
2 113 13 4 1 36– – – –2
= ± ±2
13 169 1442
13 5– = = 2 9
4
213 5 18
213 5
28–
= =
= =
+
Comprobación:
•Six=9 • Six = 4
99 1
96– =
44 1
46– =
39 1 3
6– = 24 1 2
6– =
3 – 1 = 2 (Sí es solución) 2 – 1 ≠ 3 (No es solución)
Solución: x = 9
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40
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
b) 8xx
x x22
5 2 2– –=+
+` `j j = 5 → x – 4 = 5 → x = 9
Comprobación: 9 29 2
5– =+
(Sí es válido) → Solución: x = 9
c) 8 8x x x
xx1
231
3 18
3 16 1
3 18
– ––
– –+ = + = 6 + x 1– = 8 →
→ x 1– = 8 – 6 → x 1– = 2 → x 1–2
` j = 22 → x – 1 = 4 → x = 5
Comprobación:
5 12
31
3 5 18
– –+ = → ·2
231
3 28+ = →
66 2
68+ = (Sí es válido)
Solución: x = 5
d) x x
x6 1 222 2
– –– –
= → xx
xx
x22
6 1 22
22––
– ––
–= `` jj= =G G → → 6 – 1 x 2–` j = x – 22 → 6 – x + 2 = x – 22 → 8 – x + 22 = x →
→ 30 – x = x → (30 – x)2 = x2
` j → 900 + x 2 – 60x = x → x 2 – 61x + 900 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ± ±
2 161 61 4 1 900
261 3 721 3 600
261 11– – – – –2
= = = 2 36
2 25
261 11 72
61 11250–
= =
= =
+
Comprobación:
•Six=36 • Six = 25
36
6 136
36 222 2
– –– –
= 25
6 125
25 222 2
– –– –
=
6 2
6 16 2
14–
––
= 5 26 1 5 2
3– – –=
46 1
414– = 2 – 1 = 3
3 (Sí es solución)
≠23 1 2
7– (No es solución)
Solución: x = 25
Aplica lo aprendido21. Traduce a lenguaje algebraico y resuelve.
a) El triple de un número menos 18 unidades es igual que su mitad más 7. ¿Qué número es?
b) El cuadrado de un número es igual que su doble más 15. ¿De qué número se trata?
a) 3x – 18 = x2 + 7 → 2[3x – 18] = 2 x
2 7+: D → 6x – 36 = x + 14 →
→ 6x – x = 14 + 36 → 5x = 50 → x = 550 = 10
Solución: el número buscado es 10.
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41
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b) x 2 = 2x + 15 → x 2 – 2x – 15 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 12 2 4 1 15
22 4 60
22 8– – – – –2
= + = = 2 5
3
22 8 10
22 8
26– ––
= =
= =
+
Solución: hay dos soluciones posibles. Los números buscados son 5 y –3.
22. Reflexiona y busca todas las soluciones.
a) ¿Qué número natural multiplicado por su siguiente da 182?
b) ¿Qué número entero multiplicado por su siguiente da 182?
c) La suma de tres números pares consecutivos es 102. ¿Cuáles son esos números?
a) x (x + 1) = 182 → x 2 + x – 182 = 0
x = ·± · · ( ) ± ±
2 11 1 4 1 182
21 729
21 27– – – – –2
= = = 2 13
2 14
1 27
1 27 – o es válido.
–
– – N
=
=
+
El número natural buscado es 13.
b) Hay dos soluciones posibles: 13 y –14. (Ver ecuación resuelta en el apartado anterior).
c) 2x = primer número par
2x + 2 = siguiente número par a 2x
2x + 4 = siguiente número par a 2x + 2
2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 102 → 6x = 102 – 2 – 4 → 6x = 96 → x = 696 = 16
Los números buscados son 16, 18 y 20.
23. Observa la tabla:
ecuación soluciones
x (x – 1) = 42 7 y (– 6)
2x (2x – 2) = 24
3x (3x + 3) = 54
La primera ecuación resuelve el problema: “¿Qué número multiplicado por su anterior da 42?”.
Escribe un enunciado para cada una de las otras dos ecuaciones y resuélvelas.
Posibles enunciados:
2ª ec.: El producto de un número par y el anterior número par es 24. Halla los números.
3ª ec.: El producto de un múltiplo de 3 y el siguiente múltiplo de 3 es 54. Halla los números.
2ª ec.: 2x (2x – 2) = 24 → 4x 2 – 4x – 24 = 0 → x 2 – x – 6 = 0
x = ·( ) ± ( ) · · ( ) ± ±
2 11 1 4 1 6
21 25
21 5– – – – –2
= = = –2 (esta solución no es válida)3
Los números son 4 y 6.
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42
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3ª ec.: 3x (3x + 3) = 54 → 9x 2 + 9x – 54 = 0 → x 2 + x – 6 = 0
x = ·± · · ( ) ± ±
2 11 1 4 1 6
21 25
21 5– – – – –2
= = = 23– (esta solución no es válida)
Los números son 6 y 9.
24. La suma de dos números consecutivos es menor que 27. ¿Cuáles pueden ser esos números si sabemos que son de dos cifras?
x + x + 1 < 27 → 2x < 26 → x < 13 y además x > 9
Los números pueden ser 10 y 11, 11 y 12 o 12 y 13.
25. Calcula la edad de Alberto sabiendo que dentro de 22 años tendrá el triple de su edad actual.
x = “Edad actual de Alberto”
Dentro de 22 años tendrá x + 22 años.
Edad dentro de 22 años = 3 · Edad actual
x + 22 = x → x + 22 = 3x → 22 = 2x → x = 11
Alberto tiene 11 años.
26. Una tostada cuesta el doble que un café. Por tres cafés y dos tostadas hemos pagado 9,80 €. ¿Cuánto cuesta el café y cuánto la tostada?
x → precio de un café
2x → precio de una tostada
3x + 2 · 2x = 9,80 → 3x + 4x = 9,80 → 7x = 9,80 → x = ,7
9 80 = 1,40
Un café cuesta 1,40 €, y una tostada, 2,80 €.
27. El área de una lámina rectangular de bronce es de 60 cm2 y su base mide 5/3 de su altura. Halla las dimensiones de la lámina.
Área del rectángulo: ·x x35
35= x 260 cm2x
––x53
La ecuación que hay que resolver es: 35 x 2 = 60 → x 2 = 36 → x = 6 (la solución negativa
x = – 6 no es válida, por ser x una longitud).
x35
35= · 6 = 10
Las dimensiones de la lámina son: altura 6 cm y base 10 cm.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
43
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
28. Una persona compra un reproductor de música y un ordenador por 2 500 €, y los vende, después de algún tiempo, por 2 157,50 €. Con el reproductor de música perdió el 10 % de su valor, y con el ordenador, el 15 %. ¿Cuánto le costó cada uno?
Llamamos x = precio de compra del equipo de música.
El ordenador costó, pues, 2 500 – x.
Con el equipo de música perdió un 10 % → el precio de venta fue el 90 % de x = 0,9x.
Con el ordenador perdió un 15 % → el precio de venta fue 0,85(2 500 – x).
La ecuación que hay que resolver es:
0,9x + 0,85(2 500 – x) = 2 157,50 € → 0,9x + 2 125 – 0,85x = 2 157,50 →
→ 0,05x = 32,50 → x = 650
El equipo de música costó 650 €, y el ordenador, 2 500 – 650 = 1 850 €.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
44
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 102
29. En una papelería, el precio de una copia en color es 0,75 € y el de una en blanco y negro es 0,20 €. En una semana, el número de copias en color fue la décima parte que en blanco y negro y se recaudaron 110 €. Calcula cuántas copias se hicieron de cada tipo.
, ,, · , ;8
x y
x y y y y x0 75 0 20 110
101 0 75 10
1 0 20 110 400 40+ =
= + = = =4
Se hicieron 400 copias en blanco y negro y 40 en color.
30. Se mezclan 8 l de aceite de 4 €/l con otro más barato para obtener 20 l a 2,50 €/l. ¿Cuál es el precio del aceite barato?
Se mezclaron 20 – 8 = 12 litros de aceite barato.
· · x20
8 4 12+ = 2,5 → 12x = 18 → x = 1,5
El precio del aceite barato era de 1,50 €/l.
Resuelve problemas31. Hoy, la edad de Alberto cuadruplica la de su hija Marta, pero dentro de cinco años
solo la triplicará. ¿Cuántos años tiene cada uno?
hoy dentro de 5 años
marta x x + 5alberto 4x 4x + 5
x → edad de Marta hoy
4x → edad de Alberto hoy
4x + 5 = 3 · (x + 5) → 4x + 5 = 3x + 15 → x = 10
Marta tiene 10 años, y Alberto, 40 años.
32. Tengo 3 600 euros en el banco, repartidos en dos cuentas. Si hiciera una transferen-cia de la que más tiene a la que menos tiene, la primera aún seguiría teniendo el doble. ¿Cuánto hay en cada cuenta?
x = Dinero que tengo en la cuenta A.
3 600 – x = Dinero que tengo en la cuenta B.
y = Dinero que transfiero.
x – y = 2 · (3 600 – x + y) → x – y = 7 200 – 2x + 2y → 3x – 3y = 7 200 →
→ x – y = 2 400
x = 2 400 + y → En la cuenta A tengo más de 2 400 €.
3 600 – y – 2 400 = 1 200 – y → En la cuenta B tengo menos de 1 200 €.
Por ejemplo:
Pueden haberse transferido 1 000 €, en cuyo caso, en A había 3 400 €, y en B, 200 €.
Pueden haberse transferido 400 € y, en este caso, en A había 2 800 €, y en B, 800 €.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
45
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33. Problema resuelto.
Ejercicio resuelto en el libro del alumnado.
34. Un granjero quiere vender una partida de botellas de leche a 0,50 € la botella. Se le rompen 60 botellas. Para obtener el mismo beneficio, aumenta en 0,05 € el precio de cada botella. ¿Cuántas botellas tenía? ¿Cuánto dinero pretende ganar?
Llamamos x = n.º de botellas de leche con las que salió de la granja.
x botellas a 0,50 € cada una → 0,50x es el dinero obtenido.
Se rompen 60 botellas. Le quedan para vender x – 60 a 0,50 + 0,05 = 0,55 € cada una → → 0,55(x – 60) es el dinero obtenido.
El dinero conseguido vendiendo x o x – 60 botellas es el mismo.
0,50x = 0,55(x – 60) → 0,50x = 0,55x – 33 → 33 = 0,55x – 0,50x →
→ 33 = 0,05x → x = 660
Salió de la granja con 660 botellas y pretende ganar 0,50 · 660 = 330 €.
35. Un grupo de estudiantes alquila un piso por 700 € al mes. Si fueran dos más, cada uno pagaría 40 € menos. ¿Cuántos son?
Si hubiese x estudiantes, cada uno pagaría x700 .
Si hubiese x + 2 estudiantes, cada uno pagaría 40 € menos → x700 – 40
(x + 2) x700 40–c m = 700 → 700 – 40x + x
1400 – 80 = 700 →
→ – 40x 2 – 80x + 1 400 = 0 → x 2 + 2x – 35 = 0
x = ± ± ±2
2 4 1402
1442
2 122– – –+ = = = xx
57– No válida.
1
2
==
Han alquilado el piso 5 estudiantes.
36. Un tipo de aceite de 3,20 €/l se obtiene mezclando un 60 % de aceite virgen de 4 €/l y el resto con otro más barato. ¿Cuál es el precio de ese otro?
Precio aceite barato → x
0,6 · 4 + 0,4 · x = 3,2 → 2,4 + 0,4x = 3,2 → x = 2
El precio del aceite barato es de 2 €/l.
37. El gerente de cierto negocio familiar, al cerrar el balance del mes, hace cuentas y concluye: si durante el próximo trimestre consiguiera, cada mes, un aumento progresi-vo del 10 % respecto al mes anterior, obtendría unos beneficios de 7 289 €. ¿Cuánto ha ganado este mes?
x = beneficio de este mes.
110 % de [110 % de (110 % de x)] = 7 289
1,1 · 1,1 · 1,1 · x = 7 289 → 1,331x = 7 289 → x = ,1 3317 289 ≈ 5 476,34
Este mes ha ganado 5 476,34 €.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
46
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38. Problema resuelto.
Ejercicio resuelto en el libro del alumnado.
39. Un profesor de lengua calcula la nota final de sus estudiantes mediante un examen escrito, que es el 75 % de la nota final, y otro de expresión oral, que es el 25 %. Ana ob-tiene en el segundo un 6.
¿Qué tiene que sacar en el escrito para obtener como nota final al menos un notable (a partir de 7)?
Llamamos x = nota obtenida en el examen escrito.
Nota final = 75 % escrito + 25 % lectura → 0,75x + 0,25 · 6 ≥ 7 x 6
0,75x + 1,5 ≥ 7 → 0,75x ≥ 5,5 → x ≥ 7,33
En el examen escrito tiene que sacar al menos un 7,33.
40. Algunos de los miembros de un equipo de atletismo deciden regalar a su entrenador un cronómetro que cuesta 150 €. Al conocer la idea, se apuntan cinco atletas más, con lo que a cada uno le toca pagar 5 € menos. ¿Cuántos participan finalmente en la com-pra del regalo?
x = número de atletas originales x + 5 = número de atletas finales
y = dinero que iba a poner cada uno y – 5 = dinero que pone cada uno al final
·( ) ( )x yx y
1505 5 150–=
+ =4
( )
x y
y y
150
150 5 5 150–
=
+ =e o
4
(150 + 5y)(y – 5) = 150y → 150y + 5y 2 – 750 – 25y = 150y → 5y 2 – 25y – 750 = 0 →
→ y 2 – 5y – 150 = 0 → y = ± ±2
5 25 6002
5 25+ =
De las dos soluciones que se obtienen para y, solo es válida la positiva, y = 15. Para este valor, se obtiene x = 10.
En el regalo participan 10 + 5 = 15 atletas y cada uno pone 15 – 5 = 10 €.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
47
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 103
41. Un vendedor del mercadillo lleva un cierto número de relojes, por los que piensa sa-car 200 €, pero comprueba que dos de ellos están deteriorados. Aumentando el precio de los restantes en 5 €, consigue recaudar la misma cantidad. ¿Cuántos relojes lleva?
x = número de relojes que lleva el vendedor
x200 = dinero por el que vende, inicialmente, cada reloj
(x – 2) x200 5+c m = 200 → (x – 2)(200 + 5x) = 200x → 200x + 5x 2 – 400 – 10x = 200x →
→ 5x 2 – 10x – 400 = 0 → x 2 – 2x – 80 = 0
x = ± ±2
2 4 3202
2 18+ =
De las dos soluciones que se obtienen, 10 y –8, solo es válida la positiva.
El vendedor llevaba 10 relojes.
42. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide los 3/5 de la hipotenusa, y el otro cateto mide 5 cm menos que esta. Halla su perímetro.
x 2 = x53 2c m + (x – 5)2 → x 2 = 25
9 x 2 + x 2 + 25 – 10x → 9x 2 – 250x + 625 = 0
x = ± ±18
250 62 500 22 50018
250 200– = = x
x
25
1850
925 5<
1
2
=
= =
Para que la longitud de los lados sea positiva, se ha de tener x > 5, luego la solución es x = 25.
Perímetro = 53 · 25 + 25 – 5 + 25 = 15 + 20 + 25 = 60 cm
43. La base de un rectángulo es 2 cm mayor que la altura, y si se hace 2 cm más largo y otros 2 cm más ancho, se dobla su superficie. ¿Cuáles son las dimensiones de ese rectán-gulo?
x
x + 2 x + 4
x + 2SA
SB
SB = 2 · SA(x + 4)(x + 2) = 2x (x + 2) → x 2 + 6x + 8 = 2x 2 + 4x → x 2 – 2x – 8 = 0
x = ± ±2
2 4 322
2 6+ = . De las dos soluciones, 4 y –2, solo es válida la positiva.
El rectángulo inicial tiene 4 m de altura y 6 m de base.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
48
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Problemas “+”44. Un pilón de riego se abastece mediante dos bombas que extraen el agua de sendos
pozos. La primera, actuando sola, tarda cinco horas en llenar el pilón, y conectadas ambas a la vez, el pilón se llena en tan solo dos horas. ¿Cuánto tarda la segunda bomba actuando en solitario?
Llamamos x a las horas que tarda la 2.ª bomba.
— La 1.ª bomba, en una hora, llena 1/5 del pilón.
— La 2.ª bomba, en una hora, llena 1/x del pilón.
— Las dos juntas, en una hora, llenan 1/2 del pilón.
x = número de horas que tarda la segunda bomba en llenar el pilón.
En una hora, la primera bomba llena 1/5 del pilón, y la segunda, 1/x.
Actuando juntas, en una hora llenan 1/2 del pilón. Por tanto:
x51 1
21+ = → 2x + 10 = 5x → 3x = 10 → x = 3
10 3 31= +
La segunda bomba tarda en llenar el pilón 3 31+c m h = 3 h 20 min.
45. Una persona tarda 4 horas más que otra en hacer un trabajo. Si lo hacen entre las dos, tardan una hora y media en acabarlo. ¿Cuánto tarda cada una por separado?
En una hora, la primera persona hace x 4
1+
del trabajo, y la otra, x1 del trabajo (suponien-
do que la segunda hace el trabajo en x horas). Juntas, en una hora, hacen ,1 51 del trabajo.
Por tanto:
,x x1
41
1 51+
+= →
( ) ,x xx x
44
1 51
++ + = → 3x + 6 = x 2 + 4x → x 2 + x – 6 = 0 →
x = ±2
1 25– = xx
23–
1
2
==
La única solución válida es x1 = 2
La primera persona tarda 6 horas en hacer el trabajo, y la segunda, 2 horas.
46. Un camión ha salido de A hacia B a la vez que una furgoneta sale de B hacia A. Han tardado en cruzarse una hora y 12 minutos (6/5 de hora) y ambos vehículos han marchado a una velocidad constante. ¿Cuánto tiempo ha invertido cada vehículo en su recorrido sabiendo que el camión ha tardado una hora más que la furgoneta?
x = Tiempo que tarda la furgoneta en ir de B hasta A (horas).
En una hora, la furgoneta recorre x1 de esa distancia.
(x + 1) = Tiempo que tarda el camión de ir de A hasta B (horas).
En una hora, el camión recorre x 11+ de esa distancia.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
49
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
La fracción de la distancia AB que recorren entre los dos en una hora es /6 51
65= .
( )8x x x x
x x11
165
11
65+ + =
++ + = → 6(2x + 1) = 5x 2 + 5x → 5x 2 – 7x – 6 = 0
x = ± ±10
7 49 12010
7 13+ =
De las dos soluciones que se obtienen, 2 y – 6/10, solo es válida la solución positiva.
La furgoneta ha tardado 2 horas en recorrer la distancia que hay de A a B, y el camión, 3 horas.
47. Una caja de embalaje es 2 cm más ancha que alta y 3 cm más larga que ancha. En su construcción se han empleado 900 cm2 de plancha de cartón, de los que el 20 % se usa para las solapas. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
x
x + 2x + 2
x
xx
x + 2
x + 5
x + 5
B
A CC
B
A
2(x + 5)(x + 2) + 2(x + 2)x + 2x (x + 5) = 80 % de 900 →
→ 2(x 2 + 2x + 5x + 10) + 2x 2 + 4x + 2x 2 + 10x = 0,8 · 900 →
→ 2x 2 + 4x + 10x + 20 + 4x 2 + 14x = 720 → 6x 2 + 28x – 700 = 0 → 3x 2 + 14x – 350 = 0
x = ( )2 3
14 14 4 3 3506
14 196 4 200·
– ± – · · – – ±2= + =
= ,6
14 66 3– ± = ≈ ,, ,
, 8
68 71
6
614 66 3 52 3
14 66 3
cm–
– – No vale por ser negativa.
=+
Las dimensiones de la caja son: 8,71 cm de alto; 10,71 cm de ancho y 13,71 cm de largo.
48. En un terreno circular se quiere construir un polideportivo rectangular de 2 600 m2 de área y en el que uno de los lados mida 2 m más que el otro.
¿Cuál es la superficie de la zona que quedará sin edificar?O
La zona rectangular tiene dimensiones x y x + 2.
El radio del círculo es la mitad de la longitud de la diagonal del rectángulo:
r = ( )x x x x21 2 2
2 2 22 2 2+ + = + +x + 2
xr
· · ( )
( )
π πA r x x
A x x x x21 2 2 2 600
2 2 2 600
–2 2
2
SIN EDIFICAR
RECTÁNGULO
= = + +
= + = + =4 Asin edificar = π · 2
1 (2 600 + 2) – 2 600 =
= 1 301π – 2 600 ≈ 1 487 m2
Unidad 6. Ecuaciones ESO
50
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
49. En un rectángulo en el que la base mide 3 cm más que la altura, el perímetro es ma-yor que 50 pero no llega a 54. ¿Qué puedes decir de la medida de la base?
88
88
x xx x
xx
xx
xx
2 2 6 502 2 6 54
1112
3 143 15
4 444 48
><
><
><
><
+ ++ +
++
3
x + 3
x
La base mide entre 14 y 15 cm, sin incluir ninguna de estas dos medidas. Por tanto, no puede medir un número natural.
Curiosidades matemáticas
Sabías que…
Ecuación viene del término latino aequatio, que, a su vez, se deriva de aequare (igualar) o aequus (igual).
Aquí tienes otras palabras del castellano con la misma raíz:
EQUIVALENTES: Que tienen igual valor.
ECUADOR: Circunferencia máxima a igual distancia de los polos.
EQUIDISTANTE: Que está a igual distancia.
ECUANIMIDAD: Igualdad o constancia de ánimo.
EQUILÁTERO: Con los lados iguales.
• Busca otras cuatro palabras que tengan la misma raíz que ecuación.
Ejemplos de palabras con la misma raíz:
Adecuado, equilibrio, igual, equinocio, equiparar, equivocación, equidiferente, ecualizador.
En equilibrio
Observa la balanza. Si cada bola pesa un gramo, ¿cuánto pesa cada caja?
Llamamos x al peso de una caja.
Nos queda la siguiente ecuación:
3x + 1 – (3 – x) = 8 + x – (2 + x) → 3x + 1 – 3 + x = 8 + x – 2 – x → 4x – 2 = 6 →
→ 4x = 8 → x = 2
Cada caja pesa 2 gramos.
Unidad 6. Ecuaciones ESO
51
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Ingéniatelas como puedas
Encuentra una solución a esta ecuación:
7 81 5– 30– 13 x+ =+ +
7 + 88x x x1 5 30 13 8 1 5 30 13 8 7 1 5 30 13 1– – – – – – –+ + = + + = + + =
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
1 + x5 30 13– – + = 1 → x5 30 13– – + = 0
Volvemos a elevar al cuadrado:
5 – x30 13– + = 0 → x30 13– + = 5
Elevamos al cuadrado nuevamente:
30 – x13 + = 25 → x13 + = 5
Elevamos al cuadrado:
13 + x = 25 → x = 12 → x = 144
Comprobamos:
7 + 1 5 30 13 144 7 1 5 30 13 12– – – –+ + = + + + =
= 7 + 1 5 30 25– –+ = 7 + 1 5 30 5– –+ =
= 7 + 1 5 25–+ = 7 + 1 5 5–+ = 7 + 1 0+ = 7 + 1 = 8
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
1 Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Página 105
1. Obtén dos soluciones de cada ecuación y representa las rectas correspondientes.
a) 2x + y = 3 b) x + y = 4
a) 2x + y = 3 b) x + y = 4
Dos soluciones son (0, 3) y (1, 1). (0, 4) y (4, 0) son soluciones de la ecuación.
1
3 (0, 3)
(1, 1)
(0, 4)
(4, 0)
2. Representa gráficamente.
a) y = 3 b) y = – 21 c) x = –2 d) x =
23
a) b) c) d)
11
–1
y = 3x = –2
2 21 1y = – — 2
3x = — 2
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 Sistemas de ecuaciones lineales
Página 106
1. Representa las rectas en cada caso y di si el sistema tiene una solución, si es indetermi-nado (tiene infinitas) o si es incompatible (no tiene solución). En el caso de que tenga solución, di cuál es:
a) xx
yy
2 54
++
==
* b) xx
yy
24 2
58
++
==
* c) xx
yy
24 2
510
++
==
* d) xyy
x3
22
– ++
==
*
a) xx
yy
2 54
++
==4 2x + y = 5 x + y = 4
x y2 1
1 3
x y0 4
4 0
El sistema tiene una solución, x = 1, y = 3, punto de corte de ambas rectas.
(4, 0)
(1, 3)
(2, 1)2
2
(0, 4)
b) xx
yy
24 2
58
++
==4 4x + 2y = 8
x y0 4
2 0
Las dos rectas son paralelas. El sistema no tiene solución. (2, 0)
(1, 3)
(2, 1)2
(0, 4)
c) xx
yy
24 2
510
Antes de representarlas observamos que la segunda ecuaciónes la primera multiplicada por 2.
++
==4
4x + 2y = 10
x y0 5
2 1
Se trata de la misma recta. El sistema tiene infinitas soluciones.
(1, 3)
(2, 1)
(0, 5)
d) xyy
x3
22
– ++
==4 –x + y = 2 3x + y = 2
x y0 2
–2 0
x y1 –1
–1 5
Las dos rectas se cortan en el punto (0, 2).
El sistema tiene una solución: x = 0, y = 2.
(–2, 0)
(–1, 5)
(1, –1)
(0, 2)
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3 Resolución de sistemas de ecuaciones
Página 108
1. Resuelve por el método de sustitución.
a) xx
yy
43 2
98
++
==
* b) xx
yy
42
11
––
++
==
*
c) xx
yy
23
3 910
––
==
* d) yx y
2 53 4 0
+ =+ =
*
a) xx
yy
yy x
43 2
98 9 4
Despejamos de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:–
++
== =4
( )
·8 8x x x x x
y3 2 9 4 8 3 18 8 8 2
9 4 2 9 8 1– –
– –+ = + = =
= = =4 Solución: x = 2, y = 1
b) :x
xyy
xx y
42
11 4 1
––
Despejamos de la primera ecuación y sustituimos en la segunda–
++
== =4
·8 8y y y y
x4 1 2 1 6 0 0
4 0 1 1– –
– –+ = = =
= =3 Solución: x = –1, y = 0
c) xx
yy
yy x
23
3 910 3 10
––
Despejamos de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:–
== =4
( )
·8 8x x x x x
y2 3 3 10 9 2 9 30 9 3
3 3 10 9 10 1– – –
– – –= + = =
= = =4 Solución: x = 3, y = –1
d) ª
ª, .
: · 8 8y
x yy y
x x x2 5
3 4 05 2 3
3 4 3 0 3 12 4Despejamos de la 1. ecuación –Sustituimos en la 2. ecuación – –
+ =+ =
= =+ = = =
4
Solución: x = – 4, y = 3
2. Resuelve aplicando el método de igualación.
a) xx
yy
53
44– –
+ ==
* b) y x
x y2
3 1
2 4
= +
+ =*
c) xx
yy
52
33– –
+ ==
* d) xx
yy
42
36
33
++
==
*
a) xx
yy
53
44– –
+ ==
4 Despejamos x de ambas ecuaciones e igualamos:
·8 8x
xyy
y y y yx
44
53
4 5 4 3 8 8 14 5 1 4 5 1–
– – –Luego – – –
== +
= + = == = =
4 4 Solución: x = –1, y = 1
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
4
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
b) y x
x y2
3 1
2 4
= +
+ =
Z
[
\
]]
] Despejamos y de la segunda ecuación y la igualamos con la primera:
y = 4 – 2x
·
8 8 8x x x x x x
y2
3 1 4 2 3 1 8 4 7 7 1
4 2 1 4 2 2
– –
– –
+ = + = = =
= = =4 Solución: x = 1, y = 2
c) xx
yy
52
33– –
+ ==4 Despejamos y de ambas ecuaciones e igualamos:
·8 8
8y xy x
x x x xy
3 52 3
3 5 2 3 7 0 03 5 0 3
– – ––
== +
= + = == =
4 4 Solución: x = 0, y = 3
d) xx
yy
42
36
33
++
==4 Despejamos x de cada ecuación e igualamos:
· ( / )
8 8 8xy
xy
y yy y y y
x
43 3
23 6
43 3
23 6
3 3 6 12 9 3 31
43
43 1
42
213 1 3
–
–
– –– –
– –
=
=
= = = =
= = = =4 4
Solución: x = 21 , y = 3
1
3. Resuelve por reducción.
a) xx
yy
42–
+ ==
* b) xx
yy
45
33
513–
+ ==
*
c) xx
yy
25
36
1114
–+
==
* d) xx
yy
73
25
251– –
+ ==
*
a) xx
yy
42–
+ ==4 Sumando ambas ecuaciones obtenemos el valor de x :
8
8x x
y y2 6 33 4 1
= =+ = =
4 Solución: x = 3, y = 1
b) xx
yy
45
33
513–
+ ==4 Sumando ambas ecuaciones obtenemos el valor de x :
·8
8 8 8x x
y y y y9 18 24 2 3 5 8 3 5 3 3 1– –
= =+ = + = = =
4 Solución: x = 2, y = –1
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
5
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c) xx
yy
25
36
1114
–+
==4 Multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos:
4x – 6y = 22
5x + 6y = 14
·8
8 8 8x x
y y y yy9 36 4
2 4 3 11 8 3 11 3 3 16– – – –
– = == = = =
4 Solución: x = 4, y = –1
d) xx
yy
73
25
251– –
==
+4 Multiplicamos la primera ecuación por 5, la segunda por 2 y sumamos:
35x + 10y = 125
6x – 10y = –2
8
8 8
x x
y y y
y41123 341 123
7 3 2 25 2 4 2
10
·
– = = =
= = =+4 Solución: x = 3, y = 2
4. Representa gráficamente cada par de ecuaciones:
a) xx
yy
3 52
14
–+
==
* b) xx
yy
23
35
1321
––
==
*
Resuelve los sistemas por alguno de los métodos algebraicos que conoces y comprueba que la solución coincide con el punto de corte del par de rectas.
a) 8xx
yy x y
3 52
14 4 2
– Aplicamos el método de sustitución:–+
== =4
3(4 – 2y) – 5y = 1 → 12 – 6y – 5y = 1 → –11y = –11 → y = 1
Si y = 1 → x = 4 – 2 · 1 = 2
Solución: x = 2, y = 1
3x – 5y = 1x + 2y = 4
b) xx
yy
23
35
1321
––
==4 Aplicamos reducción:
xx
yy
23
35
1321
––
==4
· 3⎯→· (–2)⎯→
xx
yy
66
910
3942–
––+
==
y = –3
xx
yy
23
35
1321
––
==4
· 5⎯→· (–3)⎯→
xx
yy9
10 1515
6563–
––+
==
x = 2
Solución: x = 2, y = –3 3x – 5y = 21
2x – 3y = 13
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
6
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4 Sistemas de ecuaciones lineales más complejos
Página 109
1. Resuelve simplificando previamente.
a)
x y
x y2 3
3
82
– =
+=
Z
[
\
]]
]] b)
( )
( )
x y x
x y
5 12
1
54 1 6 1
– –+ =
+ = +
Z
[
\
]]
]]
c)
( )
( )
x y x
x y
2 3 3 0
32 1
21
– –
–
+ =
+ =
Z
[
\
]]
]] d)
( )x yx y
x y3
223
2 3
3 35
–
–
= + +
=
Z
[
\
]]
]]
a) 88 8
x y
x y
x y
x y x y2 3 3
8 2
3 2 18
16 16
– – Método de sustitución:–
=
+=
=
+ = =4 4
3(16 – y) – 2y = 18 → 48 – 3y – 2y = 18 → –5y = –30 → y = 6
Si y = 6 → x = 16 – 6 = 10
Solución: x = 10, y = 6
b) ( )
( )( )
( ) ( )
88
88
x y x
x y
x y x
x y
5 1 21
54 1 6 1
2 10 1 1
4 1 5 6 1
– –– –+ =
=+ +
+ =
+ = +4 4
88
x y xx y
x yx y
2 10 10 14 4 30 5
10 94 30 1
– ––
+ =+ = +
+ ==
4 4
Método de reducción:
xx
yy4
1030
91–
+ ==4
· 3⎯→
xx
yy
34
030 13 27
–+ =
=4
7x = 28 → x = 4
xx
yy4
1030
91–
+ ==4
· (– 4)⎯→ x y
x y4 30 14 40 36
–– – –=
=4
–70y = –35 → y = 21
Solución: x = 4, y = 21
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
7
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c) Simplificamos cada una de las dos ecuaciones:
( ) 88x y xx y
xx
yy
x yx y
2 2 6 3 04 1 3 6 4
23
62
2 64 4 3 6
– –– –
– – ––
+ =+ =
+ ==
=+ =
4 4 4
Despejamos x de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
x = 6 – 2y
( )
,8 8 8y y y y y y
x x y4 6 2 3 2 24 8 3 2 11 22 2
6 2 2 6 4 2 2 2– – – – – –– · –
Solución:= = = == = = = =
3
d) Simplificamos previamente cada una de las ecuaciones:
( )
8 8xx
yy
x y x yx y
x y x yx y
8 214 9 12 185
4 9 12 12 185
185
– ––
––
––
==
= + +=
= + +=
4 4 4
Multiplicamos la segunda ecuación por 8 y sumamos:
–8x – 21y = 18
8x – 8y = 40
( )
8 8
8 8
y y y
x x x
x 29 58 2958 2
2 5 2 5 3
8 – – –
– –
– = = =
= + = =4 Solución: x = 3, y = –2
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
8
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5 Sistemas no lineales
Página 110
1. Resuelve simplificando previamente.
a) ·xx
yy
15100
– ==
* b) x y
x xy2 2
0–
2=
+ =* c)
y xy x
15 –
= +=
*
d) xx
yy
35
–2
2
2
2+==
* e) x y
x y xy
71 1 5
2+ =
+ =
Z
[
\
]]
]
a) · ( )88 8 8
x y x yx y y y y y y y
15 15100 15 100 15 100 15 100 0
––2 2
= = += + = + = + =
*
y = ± ±2
15 225 4002
15 25– –+ = = yy
520–
1
2
==
y1 = 5 → x1 = 20 → Solución: x1 = 20, y1 = 5
y2 = –20 → x2 = –5 → Solución: x2 = –5, y2 = –20
b) x y
x xyy
y x2 2
0 2 2– Despejamos de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
–2=
+ = =4
x 2 + x (2x – 2) = 0 → x 2 + 2x 2 – 2x = 0 → 3x 2 – 2x = 0 →
→ x (3x – 2) = 0 8
x
x x
0
3 2 0 32–
=
= =
·
8
8
x y
x y
0 2
32 2 3
2 2 34 2 3
2
Si –
Si – – –
= =
= = = =4 Soluciones:
,
,
x y
x y
0 2
32
32
–
–
1 1
2 2
= =
= =
c) y xy x
15 –
= +=*
Igualamos ambas ecuaciones y resolvemos la ecuación radical que nos queda:
x 1+ = 5 – x → x 12
+` j = (5 – x)2 → x + 1 = 25 – 10x + x 2 → x 2 – 11x + 24 = 0
x = ± ± ±2
11 121 962
11 252
11 5– = = = 83
Si x = 8 → y = 5 – 8 = –3. Si x = 3 → y = 5 – 3 = 2
Comprobación:
x = 8, y = –3 no verifica la primera ecuación: 8 1 9 3+ = = ; –3. No es solución.
x = 3, y = 2 cumple ambas ecuaciones: 3 1 4+ = = 2; 5 – 3 = 2.
Solución: x = 3, y = 2
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
9
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
d) 8xx
yy
x y35
3–2
2
2
2
2 2
+==
= +4
3 + y 2 + y 2 = 5 → 2y 2 = 2 → y 2 = 1 → y = ±1
Si y = 1 → x 2 = 3 + 12 → x 2 = 4 → x = ±2
Si y = –1 → x 2 = 3 + (–1)2 → x 2 = 4 → x = ±2
Soluciones: x1 = 2, y1 = 1; x2 = –2, y2 = 1; x3 = 2, y3 = –1; x4 = –2, y4 = –1
e) x y
x y xy
7
1 1 5
2+ =
+ =4 → 8
x yy x y y
75 7 5–
–2
2=+ = + =4
y 2 + y – 12 = 0
y = ·± · · ( ) ± ±
2 11 1 4 1 12
21 1 48
21 7– – – – –2
= + = = 2 3
2 4
1 7
1 7 –
–
– –
=
=
+
Si y = 3 → x = 32 – 7 = 2 → x = 2
Si y = – 4 → x = (– 4)2 – 7 = 9 → x = 9
Comprobamos:
Si x1 = 2, y1 = 3
·
2 7 3
21
31
2 35
2+ =
+ =4 Sí
Si x2 = 9, y2 = – 4
( )
( )
7
1 1 5
9 4
9 4 9 4·
–
– –
2+ =
+ =4 Sí
Soluciones: x1 = 2, y1 = 3; x2 = 9, y2 = – 4
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
10
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
6 Resolución de problemas mediante sistemas
Página 111
1. La suma de dos números es 323, y su diferencia, 47. ¿Cuáles son esos números?
x → número mayor
y → número menor
xx
yy
32347–
+ ==
4 Sumando: xx
yy
32347–
+ ==
2x = 370 → x = 2370 = 185
xx
yy
32347–
+ ==
4 · (–1)⎯→
xx
yy
32347
––
–– ==
–2y = –276 → y = 2276–
– = 138
Los números buscados son 185 y 138.
2. Tres kilos de peras y dos de naranjas cuestan 6,70 €; un kilo de peras y cinco de naranjas cuestan 7 €. ¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el de naranjas?
,88
xy
x yx y3 2 6 70
5 7precio de un kilo de perasprecio de un kilo de naranjas
+ =+ =
4 4
Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:
( ) , , , ,8 88x y
y y y y y y7 5
3 7 5 2 6 70 21 15 2 6 70 13 14 30 1 1–
– – – –=
+ = + = = =4
x = 7 – 5 · 1,1 = 7 – 5,5 = 1,5
Solución: Un kilo de peras cuesta 1,50 €, y uno de naranjas, 1,10 €.
3. En un test de 50 preguntas se suman dos puntos por cada acierto y se resta medio punto por cada fallo. ¿Cuántos aciertos y cuántos fallos dan un resultado de 65 puntos?
x = número de aciertos
y = número de fallos
,8x y
x yx y50
2 0 5 6550
––+ =
==
4
Sustituyendo:
2(50 – y) – 0,5y = 65 → 100 – 2y – 0,5y = 65 → –2,5y = –35 → y = ,2 535
–– = 14
Si y = 14 → x = 50 – 14 = 36
Tiene 36 aciertos y 14 fallos.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
11
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4. En un cine, tres entradas y dos bolsas de palomitas nos han costado 23 €. Si hubiera ve-nido también Andrea, habrían sido una entrada y una bolsa de palomitas más, y habría-mos pagado 31,50 €. ¿Cuánto cuesta cada entrada y cada bolsa de palomitas?
x = precio de una entrada (€)
y = precio de unas palomitas (€)
x y3 2 23+ =
,
8
8
xy
xy
323 2
431 50 3
–
–
=
=,x y4 3 31 50+ =
Igualamos las variables:
,y y3
23 24
31 50 3– –= → 4(23 – 2y) = 3(31,50 – 3y) → 92 – 8y = 94,50 – 9y →
→ 9y – 8y = 94,50 – 9y → y = 2,50
Si y = 2,50 → x = · ,3
23 2 2 503
23 5318– –= = = 6
La entrada de cine cuesta 6 €. Las palomitas cuestan 2,50 €.
5. Un empresario aceitero ha envasado 10 000 litros de aceite en 12 000 botellas, unas de litro y otras de tres cuartos de litro. ¿Cuántas botellas de cada clase ha utilizado?
x = número de botellas de 1 l que ha usado.
y = número de botellas de 3/4 l que ha usado.8 x y12 000 –=x y
x y
12 000
43 10 000
+ =
+ = 4
Sustituimos:
12 000 – y + 43 y = 10 000 → 12 000 – 10 000 =
y4
→ y4
= 2 000 → y = 8 000
Si y = 8 000 → x = 12 000 – 8 000 = 4 000
Usó 4 000 botellas de 1 l y 8 000 botellas de 3/4 l.
6. Dos números se diferencian en 35 unidades. Si al mayor se le resta la quinta parte del menor, se obtiene la misma cantidad que si al menor se le suma la quinta parte del ma-yor. ¿Qué números son?
x = número mayor
y = número menor
x y
xy
y x
35
5 5
–
–
=
= +4 → 8 8 8x y
x y y xx yx y
x yx y
x y355 5
354 6
352 3
35––
– –== +
==
==
= +4 4 4
Sustituimos:
2(35 + y) = 3y → 70 + 2y = 3y → 70 = y
Si y = 70 → x = 35 + 70 = 105
Los números buscados son 105 y 70.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
12
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
7. La base de un rectángulo mide 13 cm más que la altura, y el perímetro mide 142 m. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
y xx y
132 2 142
= ++ =
4x
y
2x + 2(x + 13) = 142 → 2x + 2x + 26 = 142 → 4x = 116 → x = 4
116 = 29
Si x = 29 → y = 29 + 13 = 42
Solución: la base mide 42 cm, y la altura, 29 cm.
8. En un triángulo isósceles, el perímetro mide 21 cm y el lado desigual es 3 cm más corto que cada uno de los lados iguales. ¿Cuánto mide cada lado?
y xx y
32 21
–=+ =
4xx
y
2x + x – 3 = 21 → 3x = 24 → x = 8
Si x = 8 → y = 8 – 3 = 5
Solución: el lado desigual mide 5 cm. Cada lado igual mide 8 cm.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
13
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 112
9. Un bodeguero mezcla un tonel de vino de 4,80 €/l con otro tonel de un vino inferior, de 3,50 €/l, obteniendo 1 300 litros que salen a 4 € el litro. ¿Cuánto vino de cada clase hay en la mezcla?
x = litros de vino de 4,80 €/l
y = litros de vino de 3,50 €/l
, , ·8x y
x yx y1300
4 80 3 50 4 13001300 –+ =
+ ==
4
4,80(1 300 – y) + 3,50y = 5 200 → 6 240 – 4,80y + 3,50y = 5 200 →
→ 1 040 = 1,30y → y = ,1 301040 = 800
Si y = 800 → x = 1 300 – 800 = 500
Usa 500 l de vino caro y 800 l de vino barato.
10. Dos ciudades, A y B, distan 113 km. Un coche sale de A hacia B a 100 km/h, y media hora después sale de B hacia A un camión a 80 km/h. ¿Qué distancia recorre cada uno hasta que se cruzan?
x = kilómetros que recorre el coche hasta encontrarse con el camión.
y = kilómetros que recorre el camión hasya encontrarse con el coche.
x y
x y113
100 80 21
+ =
= +4 → ( )8
x yx y
x yy y
1134 5 200
1134 113 5 200
––
+ == +
== +
4 4
4(113 – y) = 5y + 200 → 452 – 4y = 5y + 200 → 9y = 252 → y = 28
Si y = 28 → x = 113 – 28 = 85
Hasta que se cruzan, el coche recorre 85 km, y el camión, 28 km.
11. Jaime tiene 20 000 €. Coloca una parte, en un banco, al 7 %, y el resto, al 3 %. Gana 760 € en un año. ¿A cuánto ascendía cada parte?
Llamamos x al dinero que puso al 7 % e y, al que puso al 3 %.
, ,8x y
x yy x20 000
0 07 0 03 76020 000 –+ =
+ ==
4
0,07x + 0,03(20 000 – x) = 760 → 0,07x + 600 – 0,03x = 760 → 0,04x = 160 →
→ x = ,0 04
160 → x = 4 000
Si x = 4 000 → y = 20 000 – 4 000 = 16 000
Jaime puso 4 000 € al 7 % y 16 000 € al 3 %.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
14
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
12. Sofía tenía un capital de 200 000 €. Depositó una parte en un banco al 4 % anual. El resto lo invirtió en acciones, con las que perdió el 11 %. Al final del año ganó 4 250 €.
¿Cuánto destinó a cada inversión?
Llamamos x al capital que depositan en el banco e y al que invierte en acciones.
, , , , ( )8 88x y
x yy x
x x200 000
0 04 0 11 4 250200 000
0 04 0 11 200 000 4 250––
– –+ =
==
=4
→ 0,04x – 22 000 + 0,11x = 4 250 → 0,15x = 26 250 → x = ,0 1526 250 → x = 175 000
y = 200 000 – 175 000 = 25 000
Sofía invirtió 175 000 € en el banco y 25 000 € en acciones.
13. Un inversor reparte su capital en dos fondos de riesgo medio y un tiempo después los rescata, ganando un 3,25 % en el primero y perdiendo un 0,75 % en el segundo.
¿Qué tanto por ciento colocó en cada fondo si, en total, obtuvo un beneficio del 2,85 %?
Por cada 100 euros, coloca x euros en el primer fondo y 100 – x en el segundo.
1,0325x + 0,9925(100 – x) = 100 · 1,0285 → 1,0325x + 99,25 – 0,9925x = 102,85 →
→ 0,04x = 102,85 – 99,25 → 0,04x = 3,6 → x = 90
Colocó el 90 % en el primer fondo, y el 10 %, en el segundo.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
15
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 113
14. La valla de una finca rectangular mide 148 m, y su superficie, 1 200 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones?
8 8x yx y
x yx y
x y2 2 1481200
741200
74· ·
–+ ==
+ ==
=4 4x
y
(74 – y) · y = 1 200 → 74y – y 2 – 1 200 = 0 → y 2 – 74y + 1 200 = 0
y = ·( ) ± ( ) · · ± ±
2 174 74 4 1 1200
274 5 476 4 800
274 26– – – – –2
= = = 2 50
2
74 26
74 26 24–
=
=
+
Si y = 50 → x = 74 – 50 = 24
Si y = 24 → x = 74 – 24 = 50
Solución: Largo de la finca: 50 m
Ancho de la finca: 24 m
15. Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que un cateto es 10 cm más largo que el otro y que el área mide 150 cm2.
· ( )y xx y x x
10
2 150 210
= +
= + ( )8 8 x x150 10 300= + =4
x
zy
x 2 + 10x – 300 = 0
x = ± · · ( ) ± ±2
10 10 4 1 3002
10 100 12002
10 1300– – – – –2= + = ≈
≈ ± ,2
10 36 06– = , ,
, 8
2
2
10 36 06 13 03
10 36 06 No es solución del problema.
–
– –
=+
Si x = 13,03 → y = 13,03 + 10 = 23,03
Por el teorema de Pitágoras:
z 2 = 13,032 + 23,032 = 169,7809 + 530,3809 = 700,1618 → z = ,700 1618 ≈ 26,46 cm
Solución:
Perímetro del triángulo = 13,03 + 23,03 + 26,46 = 62,52 cm
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
16
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
16. Un depósito dispone de dos grifos de llenado. Si se abre solo el primero, el depósito tarda en llenarse el doble que si se abre solo el segundo. Pero si se abren los dos a la vez, se llena en 10 minutos. ¿Cuánto tarda cada grifo en llenar el depósito actuando en solitario?
x = número de horas que tarda el grifo 1 en llenar el pilón.
y = número de horas que tarla el grifo 2 en llenar el pilón.
El grifo 1 en 1 hora llena x1 del pilón.
El grifo 2 en 1 hora llena y1 del pilón.
Los grifos 1 y 2 juntos en 1 hora llenan 6 pilones.
8 8 8 8
x y
x y y y y y y
2
1 1 6 21 1 6 1 2 12 12 3 12
341
=
+ = + = + = = = =4
x = 2 · 41
42
21= =
Solución: el grifo 1 tarda 21 hora = 30 minutos en llenar el pilón, y el grifo 2 tarda
41 hora = 15 minutos en llenar el pilón.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
17
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Ejercicios y problemas
Página 114
Practica
Sistemas lineales
1. Comprueba si el par (3, –1) es solución de alguno de los siguientes sistemas:
a) xx
yy
23 2
511–
+ ==
* b) xx
yy4
2 58
–+
==
*
El par (3, –1) es solución de un sistema si al sustituir x por 3 e y por –1, se verifican ambas igualdades:
a) ·· · ( )
xx
yy
23 2
511
2 3 1 6 1 53 3 2 1 9 2 11–
– –– –
+ ==
= == + =
4 4 → (3, –1) es solución del sistema.
b) · ( )
· ≠ ( , )8xx
yy4
2 58
3 2 1 3 2 54 3 1 12 1 11 8 3 1
– – –– –
La segunda ecuación no se cumple.– no es solución del sistema.+
==
= + == =
4 3
2. Completa en tu cuaderno para que los siguientes sistemas tengan como solución x = –1, y = 2:
a) ……
xx
yy2
3–+
==
* b) ……
yy
xx2
–+
==
)
c) … /…x y
y3
2 0++
==
* d) …
…yx
32 4
1–+
==
*
a) ……
xx
yy2
3–+
==4 Si x = –1, y = 2 →
·· ( )1 3 2 1 6 7
2 1 2 2 2 0– – – – –
– –= =
+ = + =*
Así, xx
yy2
3 70
– –+
==
* es el sistema buscado.
b) ……
yy
xx2
–+
==3 Si x = –1, y = 2 →
( )·
2 1 2 1 32 2 1 4 1 3
– –– –
= + == =
)
El sistema que tiene como solución x = –1, y = 2 es: yy
xx2
33
–+
==
*
c) …
…
x y
y
3
2 0
+ =
+ =4 Si x = –1, y = 2 →
… …
· ( )
8 x2 0 1
3 1 2 3 2 1
2 – luego … es
– – –
+ = =
+ = + =*
El sistema buscado es x y
xy2 0
3 1–
+ =
+ =*
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
18
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
d) …
…yx
32 4
1–+
==4 Si x = –1, y = 2 →
… · ( ) … …· … …
8 88
yx
2 1 4 2 4 23 2 1 5 5
– –– luego … es
= + = = =+ = =
*
El sistema buscado es: yy
xx3
25
41
–+
==
*
3. Busca dos soluciones para cada una de estas ecuaciones y representa las rectas co-rrespondientes:
a) 3x + y = 5 b) 2x – y = 4
a) Soluciones de esta ecuación son, b) Soluciones de esta ecuación son, por ejemplo: (1, 2) y (3, – 4). por ejemplo: (0, – 4) y (2, 0).
2 (1, 2)
–2
–4 (3, –4)
2
2
(2, 0)
–2
(0, –4)
4. Resuelve gráficamente cada uno de los siguientes sistemas:
a) xx
yy
3 51
++
==
* b) xy
y41
70
––
==
*
c) xx
yy2
54–
+ ==
* d) x yx
2 13 0
+ =+ =
)
a) Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones:
3x + y = 5 x + y = 1
x y0 5
2 –1
x y0 1
1 0
Las rectas se cortan en el punto (2, –1) → La solución del sistema es x = 2, y = –1.
2
–2
x + y = 13x + y = 5
(0, 1)
–2
(1, 0)
(2, –1)2
b) La segunda ecuación representa a una recta paralela al eje X, y = 1.
La primera ecuación tiene como soluciones, por ejemplo, los puntos (1, –3) y (2, 1).
La solución del sistema es x = 2, y = 1, punto de intersección de ambas rectas.
2
–2
y – 1 = 0
4x – y = 7
–2(1, –3)
(2, 1)
2
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
19
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c) Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones:
x + y = 5 2x – y = 4
x y0 5
5 0
x y2 0
3 2
Las dos rectas se cortan en el punto (3, 2), luego x = 3, y = 2 es la solución del sistema.
2
2x – y = 4
x + y = 5
4
(2, 0)(5, 0)
(3, 2)
4
d) La primera ecuación tiene como soluciones, por ejemplo, los puntos (1, 0) y (3, –1). La segunda ecuación es la de una recta al eje Y, x = –3.
Las dos rectas se cortan en el punto (–3, 2) → La solución del siste-ma es x = –3, y = 2.
2
x + 2y = 1
x + 3 = 0
(1, 0)
(3, –1)–2
5. Dos de los siguientes sistemas tienen solución única; uno de ellos es incompatible (no tiene solución) y otro es indeterminado (tiene infinitas soluciones). Intenta averi-guar de qué tipo es cada uno, simplemente observando las ecuaciones. Después, resuél-velos gráficamente para comprobarlo:
a) x yy x
2 54–
+ ==
* b) xx
yy
24 2
32
++
==
*
c) xx
yy3 3
26
++
==
* d) xx
yy
3 22– –
+ ==
*
•Elsistemac)tieneinfinitassoluciones,pueslasegundaecuacióneslaprimeramultiplicadapor 3. Por tanto, las dos ecuaciones dicen lo mismo.
•Elsistemab)esincompatible,sinsolución,yaquelasecuacionessoncontradictorias:
8xx
yy
xx
yy
24 2
32
2 32 1
++
==
++
==
4 4 Imposible que se cumplan ambas a la vez.
•Lossistemasa)yd)tienensolución.
Resolvemos gráficamente todos los sistemas para comprobarlo:
a) x + 2y = 5 y – x = 4
x y1 2
–1 3
x y–2 2
0 4
Las dos rectas se cortan en (–1, 3).
La solución del sistema es x = –1, y = 3.
2
–2
(1, 2)(0, 4)
(–2, –2)(–1, 3)
–2 2
b) 2x + y = 3 4x + 2y = 2
x y0 3
2 –1
x y0 1
1 –1
Las rectas son paralelas → El sistema no tiene solución.
–2
(2, –1)(1, –1)
(0, 3)
(0, 1)–2
2
2
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
20
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c) x + y = 2 3x + 3y = 6
x y0 2
2 0
x y1 1
3 –1
Se trata de la misma recta → El sistema tiene infinitas soluciones. –2
(0, 2)(1, 1)
(2, 0)
(3, –1)–2 2
2
d) 3x + y = 2 x – y = –2
x y0 2
–1 5
x y–2 0
1 3
El sistema tiene solución única x = 0, y = 2, punto de corte de ambas rectas.
–2
(0, 2)(1, 3)
x – y = –2
3x + y = 2
(–2, 0)
(–1, 5)
2
6. Dada la ecuación x + 3y = 1, busca otra ecuación que forme con ella un sistema cuya única solución sea x = –2, y = 1. Busca también otra ecuación que forme con ella un sistema incompatible y otra que forme con ella un sistema indeterminado.
xx
yy2
3 13–
++
==4 Es un sistema que tiene como solución x = –2, y = 1.
xx
yy2
36
11–
++
==4 Es un sistema que no tiene solución, es incompatible.
–2x – 6y = –22x + 6y = –1
0 = –3x yx y
3 1
3 313
+ =
+ = 4 Es un sistema que tiene infinitas soluciones, es indeterminado (la 2.ª ecuación es la tercera parte de la primera).
7. Resuelve estos sistemas por el método de sustitución:
a) xx
yy
34
5 51
––+
==
* b) xx
yy
8 76
155
––+
==
*
c) xx
yy
23
5 17–
–+ ==
* d) xx
yy
35
24
27
–+
==
*
a) xx
yy
34
5 51
––+
==4 Despejamos y de la 2.ª ecuación y sustituimos en la 1.ª: y = –1 – 4x
( )
· ,8 8 8x x x x x x
y x y3 5 1 4 5 3 5 20 5 23 0 0
1 4 0 1 0 1– – –– – –
Solución:–
= + + = = == = = =
4
b) xx
yy
8 76
155
––+
==4 Despejamos x de la 2.ª ecuación y sustituimos en la 1.ª: x = –5 – 6y
( )
· ( )8 8y y y y
x8 5 6 7 15 55 55 1
5 6 1 5 6 1– – – – –
– – – –= = =
= = + =4 Solución: x = 1, y = –1
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
21
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c) xx
yy
23
5 17–
–+ ==4 Despejamos y de la 2.ª ecuación y sustituimos en la 1.ª: y = 3x – 7
( )
· ,8 8 8x x x x x x
y x y2 5 3 7 1 2 15 35 1 17 34 2
3 2 7 6 7 1 2 1– – – –
– – –Solución:
–+ = + = = =
= = = = =4
d) xx
yy
35
24
27
–+
==4 Despejamos y de la 1.ª ecuación y sustituimos en la 2.ª: y = x
23 2–
·
·,
8 8x x
y
x x xx y
5 4 23 2
23 1 2
21
7 5 6 4 7 11 2
1–
–
–Solución:
+
= =
= + = == =
c m
4
8. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:
a) y x
y x2 3
23
––
=
=* b) xx
yy
52
81– –
+ ==
*
c) xx
yy
63
21–
–+ ==
* d) xx
yy
43
52
210
– –+
==
*
a) 8 88y x
y x x x x x x x2 3
23 2 3 2
3 4 6 3 3 3 1–
– – – – –=
= = = = =4
y = 2 · 1 – 3 = –1
Solución: x = 1, y = –1
b) Despejamos y de cada una de las ecuaciones e igualamos:
·8 8
8y xy x
x x x xy
8 52 1
8 5 2 1 7 7 12 1 1 3
– –== +
= + = == + =
4
Solución: x = 1, y = 3
c) Despejamos x de cada ecuación e igualamos:
/
· ( / )88 8x y
x yy y y y
x2 6
1 32 6 1 3 3 9 1 3
2 6 1 3 2 2 0– – – – – –
– – – –== +
= + = == = + =
4
Solución: x = 0, y = – 31
d) Despejamos x de cada ecuación e igualamos:
( ) ( )
·
8 88xy
xy x
y yy y y y4
5 2
310 2
48 2
45 2
310 2
3 5 2 4 10 2 23 46 2
45 2 2
–
–
– –– –
–
=
= = = =
= = = =4
Solución: x = 2, y = 2
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
22
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
9. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:
a) xx
yy
35
22
44–
+ ==
* b) xx
yy
24
53
114– –
+ ==
*
c) xx
yy3
65
411––+ =
=* d)
xx
yy
510
23
31
––+
==
*
a) · /8
8 8xx
yy
x xy y y
35
22
44
8 8 13 1 2 4 2 1 1 2–Sumando ambas ecuaciones obtenemos+ =
== =
+ = = =4 4
Solución: x = 1, y = 21
b) xx
yy
24
53
114– –
+ ==
4 · (–2)⎯→
xx
yy
44
103
224
– ––
––
==
–13y = –26 → y = 2
2x + 5 · 2 = 11 → 2x = 1 → x = 21
Solución: x = 21 , y = 2
c) xx
yy
43
65 11–
–+ ==
4 · (–3)⎯→
xx
yy
3 13
85
1211
– ––
==
–23y = 23 → y = –1
x + 6 · (–1) = – 4 → x = 2
Solución: x = 2, y = –1
d) yy
xx
510
23
31
––
==+4
· (–2)⎯→
xx
yy
1010
43
61
– ––
==
++
7y = –7 → y = –1
5x – 2 · (–1) = 3 → 5x + 2 = 3 → x = 51
Solución: x = 51 , y = –1
10. Resuelve por el método que consideres más adecuado:
a) x y
y7 6 2
5 3+ =
+ =* b)
xx
yy
54
32
114
–+
==
* c) ( )
( )x y
x y3 2 7
2 1 0+ = +
+ + =*
d) 3+ =
( )
x y
x y
3 2
2 16+ =
Z
[
\
]]
] e)
x y
y x4 3 2 21
32
15–
–= +
=* f )
y 4= +x
xy
27
25
3 10
–
–
+
=
Z
[
\
]]
]]
a) x y
y7 6 2
5 3+ =
+ =4 Despejamos y de la 2.ª ecuación y la sustituimos en la 1.ª: y = –2
7x + 6 · (–2) = 2 → 7x – 12 = 2 → 7x = 14 → x = 2
Solución: x = 2, y = –2
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
23
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
b) xx
yy
54
32
114
–+
==4
· 2⎯→· 3⎯→
xx
yy
1012
66
242
–+
==
22x = 44 → x = 2
5 · 2 – 3y = 1 → 9 = 3y → y = 3 Solución: x = 2, y = 3
c) ( )
( ) 88x y
x yxx
yy
x yx y
3 2 72 1 0
32
12
3 6 72 2 0
––
+ = ++ + = +
==
+ = ++ + =
4 4 4
Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y = 3x – 1
( )·
8 8 8x x x x x xy
2 3 1 2 6 2 2 7 0 03 0 1 1
– – – –– –
+ = + = = == =
4 Solución: x = 0, y = –1
d) ( )
x y
x y3 2 3
2 16
+ =
+ =4 → :
xx
yy
xx y
2 3 188 8
Despejamos de la segunda ecuación ysustituimos en la primera –
++
== =4
· ( ) 8 8y y y y y
x2 8 3 18 16 2 3 18 2
8 2 6– ––
+ = + = == =
3 Solución: x = 6, y = 2
e) x y
y x
4 3 2 21
3 215
– –
–
=
=4 → :x y
xx
x yy6
4 2 1815 15 6
Despejamos de la segunda ecuación ysustituimos en la primera
– ––+
== =
4
( )
· ,8 8 8y y y y y y
x x y4 15 6 2 18 60 24 2 18 78 26 3
15 6 3 15 18 3 3 3– – – – – –– – –
Solución:–
= = = == = = = =
3
f )
x y
xy
27 4
2 53 10
–
–
+ = +
=4 →
( )8
x yx y
xx
yy
7 2 410 3 10 10
23
110
––
– –– –
+ = +=
==
4 4
Aplicamos el método de reducción: multiplicamos la primera ecuación por 10 y sumamos ambas ecuaciones:
xx
yy
1010
203
1010
– –– –
==
–23y = 0 → y = 0
–x – 2 · 0 = 1 → –x = 1 → x = –1 Solución: x = –1, y = 0
11. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes por el método que consideres opor-tuno y comprueba la solución que obtengas:
a) xx
yy
24 3
47
––+
==
* b) ,xx
yy3
2 11 25–
––
+ ==
*
c) /xx
yy
3 24
25 3
––+
==
* d) y 1+ =x
x y
31
43 2 1–
+
+ =
Z
[
\
]]
]]
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
24
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
a) Por reducción. Multiplicamos la 1.ª ecuación por –2 y sumamos:
xx
yy
44
23
87
– ––
++
==
5y = –15 → y = –3
x = y
24 +
→ x = 21 Solución: x = 2
1 , y = –3
Comprobación: · ( )
· · ( )
2 21 3 1 3 4
4 21 3 3 2 9 7
– –
– – –
= + =
+ = =*
b) Por reducción. Multiplicamos la 2.ª ecuación por 2 y sumamos:
,yy
xx
26 2
12 5
–––
+ ==
7x = –3,5 → x = –0,5
y = x2
1– – → y = –0,25 Solución: x = –0,5, y = –0,25
Comprobación: , ( , )
( , ) ( , ) ,0 5 2 0 25 1
3 0 5 0 25 1 25– – –
– – – –+ =
=*
c) Por reducción. Multiplicamos la 2.ª ecuación por –3 y sumamos:
yx
x y23
3 1225–
––
==
–14y = 7 → y = –1/2
x = 35– – 4y → x = 1
3 Solución: x = 1
3 , y = – 12
Comprobación: ·
· ·
31 4 2
1
3 31 2 2
1 2
35–
– –
–+
=
=c
c
m
m
*
d) ·8 8 88
8xx
yy
xx
yy
xx
yy
y y yx x
13
38
34
38
27
27
38
2 3 7 8 17 8 1 1–
––
– –– –
+ ++
==
++
==
==
= == =
4 4 4
Solución: x = –1, y = 1
Comprobación: ·
31 1 1 0 1 1
41 3 2 1 1 2 1
–
– – –
+ + = + =
+ = + =*
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
25
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 115
Sistemas no lineales
12. Halla las soluciones de estos sistemas:
a) x yxy y
12 2
+ =+ =
* b) x y
x y2 3
22 2+ =+ =
*
c) x y
xy y2 3
0– 2+ =
=* d)
x yx y
3 32 9
–2 2
=+ =
*
a) ( ) 8 8x y
y y y y y y y y1
1 2 2 2 2 3 2 0–
– – – –2 2=
+ = + = + =*
y = ± ±2
3 9 82
3 1–
– ––
–= = 88y x
y x1 02 1–
1 1
2 2
= == =
Soluciones: x1 = 0, y1 = 1; x2 = –1, y2 = 2
b) ( ) 8 8y xx x x x x x x
3 23 2 2 9 4 12 2 5 12 7 0–
– – –2 2 2 2 2=+ = + + = + =
*
x = ·± ±
2 512 144 140
1012 2– = =
8
8
x y
x y57 3 2 5
751
1 3 2 1 1
– ·
– ·
1 1
2 2
= = =
= = =
Soluciones: x1 = 57 , y1 = 5
1 ; x2 = 1, y2 = 1
c) ( ) ( ) ( ) ( ( ))8y xx x x x x x
3 23 2 3 2 0 3 2 3 2 0
–– – – – – –2
== =
*
(3 – 2x) · (3x – 3) = 0 8
8
x y
x y1 123 01 1
2 2
= =
= =
Soluciones: x1 = 23 , y1 = 0; x2 = 1, y2 = 1
d) ( ) 8 8y xx x x x x x x
3 32 3 3 9 2 9 9 18 9 11 18 0
–– – –2 2 2 2 2
=+ = + + = =
*
x (11x – 18) = 0 8
8
x y
x y
0 3
1118
1121
–1 1
2 2
= =
= =
Soluciones: x1 = 0, y1 = –3; x2 = , y1118
1121
2 =
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
26
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
13. Resuelve los sistemas siguientes por el método de reducción y comprueba que tie-nen cuatro soluciones:
a) xx
yy2 3
7423–
2
2
2
2+ =
=* b)
x yx y
3 5 72 11 3
––
2 2
2 2=
=*
a) xx
yy2 3
7423–
2
2
2
2+ =
= 4 Multiplicamos por –2 la 1.ª ecuación y sumamos:
–2x 2 – 2y 2 = –148
2x 2 – 3y 2 = 23
–5y 2 = –125 → y 2 = 5125 = 25
yy
55–
1
2
==
Si y1 = 5 → x 2 = 74 – 25 = 49 xx
77–
1
2
==
Si y2 = –5 → x 2 = 74 – 25 = 49 xx
77–
3
4
==
Soluciones: x1 = 7, y1 = 5; x2 = –7, y2 = 5; x3 = 7, y3 = –5; x4 = –7, y4 = –5
b) ª ªx yx y
3 5 72 11 3
––
Lo resolvemos por el método de reducción multiplicandola 1. ecuación por 2 y la 2. por –3.
2 2
2 2=
=4
6x 2 – 10y 2 = 14
– 6x 2 + 33y 2 = 9
23y 2 = 23 → y 2 = 1
3x 2 – 5 · 1 = 7 → 3x 2 = 7 + 5 → 3x 2 = 12 → x 2 = 4 → x = ±2
Si y = 1 → x = ±2. Si y = –1 → x = ±2.
Las soluciones son: x1 = –2, y1 = –1; x2 = –2, y2 = 1; x3 = 2, y3 = –1; x4 = 2, y4 = 1
14. Resuelve los siguientes sistemas (no olvides comprobar las soluciones):
a) y xx y
22 1–
= +=
* b) y x
y x
17
= += +
* c) xy
yx
2
225
=
=* d) xy
x y
2 32 4=
+ =*
a) y xx y
22 1–
= += 4 → x = 1 + 2y
Sustituyendo en la 1.ª ecuación: y = 8y y y1 2 2 3 2+ + = +
Elevamos al cuadrado ambos miembros: y 2 = 3 + 2y → y 2 – 2y – 3 = 0
y = ± ± ±2
2 4 122
2 162
2 4+ = = = ·· ( )
88
xx
1 2 3 731 1 2 1 1– – –
= + == + =
Comprobamos si las soluciones obtenidas cumplen la primera ecuación del sistema:
x1 = 7, y1 = 3 → 3 = 87 2 3 9+ = → 3 = 3 → Solución válida.
x2 = –1, y2 = –1 → –1 = 81 2 1 1– –+ = → –1 ≠ 1 → Solución no válida.
Por tanto, la solución es x = 7, y = 3.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
27
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b) ( )8 8
8 88y x
y x x xx x x x x x
x x x x1
1 771 7 6 6
12 36 0 13 36 0– –– –
2
2 2= += + = ++
+ = + = =+ = + =
4
x = ± ± ±2
13 169 1442
13 252
13 5– = = = 88
yy
94
9 1 104 1 5
= + == + =
Comprobación (de la 2.ª ecuación):
x1 = 9, y1 = 10 → 9 + 7 = 3 + 7 = 10 → Solución válida.
x2 = 4, y2 = 5 → 4 + 7 = 9 ≠ 5 → Solución no válida.
Solución: x = 9, y = 10.
c) 8
xy
yx x
y2
225
225
=
= =4
xy = 2 → 225 y · y = 2 → 2
25 y 2 = 2 → y 2 = 254 → y = ± ±25
452=
Si y = 52 → x = ·2
2552 = 5
Soluciones: ,
,
x y
x y
5 52
5 52– –
1 1
2 2
= =
= =*
y = – 52 → x = –5
d) 8xy
x y x y2 3
2 4 4 2–=
+ = =4 2(4 – 2y) · y = 3 → 8y – 4y 2 = 3 → 4y 2 – 8y + 3 = 0
y = ± ± ±8
8 64 488
8 168
8 4– = = = ·
·
8
8
x
x
2 4 2 23 1
4 2 21 3
812 3
84
21
–
–
= = =
= = =
Soluciones: x1 = 1, y1 = 23 ; x2 = 3, y2 = 2
1
15. Resuelve los siguientes sistemas:
a) x y
x y x
111 3
––2 2
=+ =
* b) ( ) ( )x y
x x y y
3 2 02 4– –2
+ ==
*
a) ( ) ( ) 8x y
y y y y y y y1
1 11 3 1 1 2 11 3 3– – –2 2 2 2= ++ + = + + + + =
*
2y 2 + 5y – 7 = 0 → y = ·± ±
2 25 25 56
45 9– –+ = =
/ /88y x
y x1 2
7 2 5 2– –1 1
2 2
= == =
Soluciones: x1 = 2, y1 = 1; x2 = – 25 , y2 = – 2
7
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
28
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b) 8
y x
x x x x x x x
23
23 82
49 4 2
32
9
–
– – –– –2 2 2 2
=
= + =c em o*
2x 2 + 3x 2 – 9x 2 = –16 → 4x 2 = 16
x 2 = 4 ,
,8
88
8y x y
xx
y x y2 3
22
33
2 3Solución: ––
– Solución: –2 2 2
1
2
1 1 1= = =
==
= = =
Aplica lo aprendido16. La suma de dos números es 15. La mitad de uno de ellos más la tercera parte del
otro es 6. ¿De qué números se trata?
Llamamos x e y a los números buscados.
La suma es 15 → x + y = 15
La mitad de x + tercera parte de y es 6 → x y2 3+ = 6
( )8
8 88xx
yy
y x yx x x x x3 2
1536
15 15 6 93 2 15 36 3 30 2 36 6
– –– –
++
==
= = =+ = + = =
4
Los números buscados son 6 y 9.
17. La suma de dos números es 14. Añadiendo una unidad al mayor se obtiene el doble del menor. Halla los dos números.
8xy
x yx y x y
141 2 2 1
número mayornúmero menor –
==
+ =+ = =
4
2y – 1 + y = 14 → 3y = 15 → y = 5 → x = 2 · 5 – 1 = 9
Los números son 5 y 9.
18. Encuentra dos números tales que añadiendo tres unidades al primero se obtenga el segundo y, en cambio, añadiendo dos unidades al segundo se obtenga el doble del pri-mero.
Llamamos x e y a los números pedidos: x es el primero e y el segundo.
x yy x
32 2
+ =+ =
4 x + 3 + 2 = 2x → 5 = x → y = 5 + 3 = 8
Los números son 5 y 8.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
29
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
19. Un número es triple que otro. Pero si al menor se le suman 7 unidades y al mayor se le resta su quinta parte, quedan igualados. ¿Qué números son?
x número mayor=
8
x y
y x x y yy
3
7 5 7 3 53– –
=
+ = + =y número menor= 4
5y + 35 = 15y – 3y → 35 = 7y → y = 735 = 5
Si y = 5 → x = 3 · 5 = 15
Solución: los números buscados son 15 y 5.
20. Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,80 €; tres barras de pan y cua-tro litros de leche cuestan 4,70 €. ¿Cuánto vale una barra de pan? ¿Cuánto cuesta un litro de leche?
x → precio de una barra de pan (€)
y → precio de un litro de leche (€)
,,
xx
yy
43
64
6 84 7
++
==
4 · 3⎯⎯→
· (– 4)⎯⎯→
,,
xx
yy
1212
1816
20 418 8– – –
+ ==
2y = 1,6 → y = 0,8
4x + 6 · 0,8 = 6,8 → 4x + 4,8 = 6,8 → 4x = 2 → x = 42 = 0,5
Una barra de pan cuesta 0,50 €, y un litro de leche, 0,80 €.
21. Una empresa aceitera ha envasado 3 000 l de aceite en 1 200 botellas de 2 l y de 5 l. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?
x = número de botellas de aceite de 2 l
y = número de botellas de aceite de 5 l
xx
yy2 5
12003 000
++
==
4 · (–2)⎯⎯→
xx
yy
22
25
2 4003 000
– – –+
==
3y = 600 → y = 200 → x = 1 200 – 200 = 1 000
Se han utilizado 1 000 botellas de 2 l y 200 de 5 l.
22. Un test consta de 48 preguntas. Por cada acierto se suman 0,75 puntos y por cada error se restan 0,25. Mi puntuación fue de 18 puntos. ¿Cuántos aciertos y errores tuve, si contesté a todas las preguntas?
, ,8x
yxx
yy
x y0 75 0 25
4818
48númeronúmero –
de aciertosde errores
–==
+ ==
=4
, ( ) ,, ,
y yy y
yx
0 75 48 0 25 1836 0 75 0 25 18
1848 18 30
– –– –
==
== =
4
Tuve 30 aciertos y 18 errores.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
30
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
23. Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,80 € por cada pieza que sale de su taller para la venta, pero sufre una pérdida de 1 € por cada pieza defectuosa que debe retirar. En un día ha fabricado 2 255 bombillas, obteniendo unos beneficios de 1 750 €. ¿Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se fabricaron ese día?
x = número de bombillas válidas
y = número de bombillas defectuosas
,88€
xx
yy0 80
2 2551750
En un día fabrica 2 255 bombillasEn un día obtiene 1750 de beneficio –
+ ==
4
1,80x = 4 005 → x = 2 225
y = 2 255 – 2 225 = 30
Hay 2 225 bombillas válidas y 30 defectuosas.
24. En una pescadería, un cliente se lleva una pescadilla de kilo y medio y tres cuartos de kilo de boquerones. Tras él, una señora pide media pescadilla que pesa 600 gramos y un kilo de boquerones. El primero paga 21 € por su compra, y la señora, 12,60 € por la suya. ¿A cómo está el kilo de pescadilla? ¿Y el de boquerones?
x = precio de la pescadilla (€/kg)
y = precio de los boquerones (€/kg)
,,
,,
88
xx
yy
1 50
0 75 2112 66
El cliente se gastaLa señora paga
+ ==+
4 · (– 4)⎯→· 10⎯→
xx
yy
66
310
84126
– – –+
==
4
7y = 42 → y = 6 → x = 11
Solución: la pescadilla cuesta 11 €/kg y los boquerones 6 €/kg.
25. En un aparcamiento cobran un fijo por entrar y un tanto a la hora. Hoy, por hora y media, he pagado 2,60 € y ayer pagué 3,40 € por dos horas y diez minutos. ¿Cuál es el fijo y cuál es el coste por hora?
x = precio por entrar (€)
y = precio por hora (€)
( / ), ,
,xx
yy
52 1 6
1 2 63 4
++ +
==
4 · (– 6)⎯→
· 6⎯→
,,
xx
yy
66
913
1520 4
6– – –+
==
4
4y = 4,80 → y = 1,20 → x = 0,80
Solución: se cobra por entrar 0,80 € y 1,20 €/h.
26. Andrés tiene dos cuentas en el banco. Si pasara 600 € de la primera a la segunda, esta quedaría con saldo doble. Pero si la transferencia fuera de 300 € en sentido contra-rio, sería la primera la que tendría el doble. ¿Cuánto hay en cada una?
x = euros en la primera cuenta
y = euros en la segunda cuenta
( )( ) ( )
8 88 8 8
x yx y
y x yx x x x
2 600 600300 2 300
2 1800 1200300 2 2 1800 300 3 4 500 1500
––
–– –
= ++ =
= =+ = = =
4
Solución: en la primera cuenta tiene 1 500 € y en la segunda 1 200 €.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
31
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
27. Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 160 € por 3 días y 400 km, y otro pagó 175 € por 5 días y 300 km. Averi-gua cuánto cobran por día y por km.
x → días
y → kilómetros recorridos
xx
yy
35
400300
160175
++
==
4 · 5⎯→
· (–3)⎯→
xx
yy
1515
2 000900
800525– – –
+ ==
1 100y = 275 → y = 0,25
3x + 0,25 · 400 = 160 → 3x = 60 → x = 20
La empresa cobra 20 € por día y 0,25 € por cada kilómetro recorrido.
28. La diferencia de dos números es 6, y la de sus cuadrados, 144. Halla los números.
Llamamos x e y a los números buscados.
( )8
8 8 88x
xy
yx y x
y y y y y y y6
1446 6 9 15
6 144 36 12 144 12 108 9–– – –2 2 2 2 2 2
==
= + = + =+ = + + = = =
4
Los números son 15 y 9.
29. Calcula dos números cuya suma sea 24, y su producto, 135.
Llamamos x e y a los números buscados.
( ) 8 88x yxy
y xx x x x x x
24135
2424 135 24 135 24 135 0
–– – –2 2
+ ==
== = + =
4
x = ± ± ±2
24 576 5402
24 362
24 6– = = = 88 y
y15 24 15 99 24 9 15
––
= == =
Los números son 9 y 15.
30. Halla dos números cuya suma sea 20, y la de sus cuadrados, 232.
Llamamos x e y a los números buscados.
( )8 8 8x y y xx y x x x x x x x
20232
2020 232 400 40 232 20 84 0
–– – –2 2 2 2 2 2 2
+ = =+ = + = + + = + =
4
x = ± ± ±2
20 400 3362
20 642
20 8– = = = 88
yy
11
14 20 4 66 20 6 4
––
= == =
Los números son 6 y 14.
31. El perímetro de un rectángulo es de 20 cm, y su área, de 21 cm2. ¿Cuáles son sus dimensiones?
·88
x yx y
x yxy
y x2 2 2021
1021
10 –+ ==
+ ==
=4 4
x
y
x (10 – x) = 21 → –x 2 + 10x – 21 = 0 → x = ±2
10 100 84–
– – = ±2
10 16–
– =
= ±2
10 4–
– = 88
xx
yy
73
10 7 310 3 7
––
1
2
1
2
==
= == =
Las dimensiones del rectángulo son 3 cm y 7 cm.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
32
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 116
Resuelve problemas32. La edad de un padre es hoy el triple que la del hijo y hace 6 años era cinco veces la
edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?
edad actual edad hace 6 años
padre x x – 6
hijo y y – 6
( )x yx y
x yx y
36 6
35 5 24– – – –
==
==
4 4 Método de sustitución
3y – 5y = –24 → –2y = –24 → y = 12
El hijo tiene 12 años, y el padre, 3 · 12 = 36 años.
33. La edad de un padre es hoy siete veces la edad del hijo y dentro de 10 años será solo el triple. Calcula la edad actual de cada uno.
Recogemos los datos en la siguiente tabla:
( )x yx y
710 3 10
=+ = +
4
edad actual edad dentro de 10 años
padre x x + 10hijo y y + 10
7y + 10 = 3y + 30 → 4y = 20 → y = 5 → x = 7 · 5 = 35
El padre tiene 35 años, y el hijo, 5 años.
34. Se sabe que Noelia le saca 27 años a Marcos y que dentro de 12 años le doblará en edad. ¿Qué edad tiene cada uno?
Recogemos los datos en la siguiente tabla:
( )x yx y
2712 2 12
= ++ = +
4
edad actual edad dentro de 12 años
noelia x x + 12marcos y y + 12
y + 27 + 12 = 2y + 24 → y + 39 = 2y + 24 → 15 = y → x = 15 + 27 = 42
Noelia tiene 42 años, y Marcos, 15 años.
35. El año que viene, la edad de Raquel será el triple que la de su hijo Iván, pero dentro de 12 años solo será el doble. ¿Cuántos años tiene cada uno?
edad dentro de 1 año edad dentro de 12 años
raquel x + 1 x + 12iván y + 1 y + 12
( )( ) 8 88
x yx y
x yy y y x
1 3 112 2 12
3 23 12 2 2 24 10 32
+ = ++ = +
= ++ + = + = =
4
Raquel tiene 32 años e Iván tiene 10 años.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
33
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
36. Ejercicio resuelto.
Ejercicio resuelto en el libro del alumnado.
37. Un inversor dispone de 100 000 €. Invierte una parte en un banco que le paga el 4 % anual, y el resto, en unas acciones que le producen un 5 % al final del año. En total, gana 4 700 €. ¿Qué cantidad ha destinado a cada operación?
x = inversión en el banco (€)
y = inversión en las acciones (€)
% % , ,8x y
x yx y
x y100 000
4 5 4 700100 000
0 04 0 05 4 700de de+ =
+ =+ =
+ =4 4 →
→ 8x y
x yx y100 000
4 5 470 0004 5 100 000 –+ =
+ ==
4
4(100 000 – y ) + 5y = 470 000 → 400 000 – 4y + 5y = 470 000 → y = 70 000
x = 100 000 – 70 000 = 30 000
Solución: en el banco invierte 30 000 €.
En las acciones invierte 70 000 €.
38. Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2 500 €. Después de algún tiempo, los vende por 2 157,50 €. Con el equipo de música perdió el 10 % de su valor, y con el ordenador, el 15 %. ¿Cuánto le costó cada uno?
p. compra p. venta
e. música x 0,9x
ordenador y 0,85y
, , , , , ( ) ,8xx
yy
y xx x0 9 0 85
2 50021 5
2 5000 9 0 85 2 500 2157 557
––
++
==
=+ =
4 3
0,9x + 2 125 – 0,85x = 2 157,5 → 0,05x = 32,5 → x = 650 → y = 2 500 – 650 = 1 850
El equipo de música le costó 650 €, y el ordenador, 1 850 €.
39. Por una calculadora y un cuaderno habríamos pagado, hace tres días, 10,80 €. El precio de la calculadora ha aumentado un 8 %, y el cuaderno tiene una rebaja del 10 %. Con estas variaciones, los dos artículos nos cuestan 11,34 €. ¿Cuánto costaba cada uno de los artículos hace tres días?
x = precio inicial de la calculadora (€)
y = precio inicial del cuaderno (€)
,% % ,
,, , ,
,8 8x yx y
x yx y
x y10 80108 90 11 34
10 801 08 0 9 11 34
10 80de de
–+ =+ =
+ =+ =
=4 4
1,08(10,80 – y ) + 0,9y = 11,34 → 11,664 – 1,08y + 0,9y = 11,34 →
→ 11,664 – 11,34 = 1,08y – 0,9y → 0,324 = 0,18y → y = ,,0 180 324 = 1,80
x = 10,80 – 1,80 = 9
Solución: la calculadora costaba 9 €, y el cuaderno, 1,80 €.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
34
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
40. En una cafetería utilizan dos marcas de café, una de 6 €/kg y otra de 8,50 €/kg. El encargado quiere preparar 20 kg de una mezcla de los dos cuyo precio sea 7 €/kg. ¿Cuánto tiene que poner de cada clase?
cantidad precio coste
café a x 6 6xcafé B y 8,50 8,50y
mezcla 20 7 140
,8x
xyy
x y6 8 5
20140
20 –++
==
=4
6(20 – y ) + 8,5y = 140 → 120 – 6y + 8,5y = 140 → 2,5y = 20 → y = 8
x = 20 – 8 = 12
Necesitan 12 kg de café inferior y 8 kg de café superior.
41. Por la mezcla de 5 kg de pintura verde y 3 kg de pintura blanca he pagado 63 €. Calcula el precio de la pintura blanca y de la pintura verde sabiendo que si mezclase un kilogramo de cada una el coste de la mezcla sería 15 €.
xx
yy
5 3 6315
++
==4 · (–3)⎯⎯→
xx
yy
53
33
6345– – –
+ ==
2x = 18 → x = 9 → y = 15 – 9 = 6
La pintura verde cuesta 9 € el kilogramo, y la blanca, 6 €.
42. La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 400 km. Un coche sale desde A hacia B a una velocidad de 90 km/h. Simultáneamente, sale otro coche desde B hacia A a 110 km/h. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse? ¿A qué distancia de A se producirá el encuentro?
A x 400 – x
90 km/h 110 km/h
B
espacio velocidad tiempo
a x 90 km/h tB 400 – x 110 km/h t
v = ts
8
8 8tx x t
tx x t
t t
t t
90 90
110 400 400 110
400 90 110
400 200 2– –
–= =
= =
=
= =4
Se encontrarán al cabo de 2 h a 90 · 2 = 180 km de A.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
35
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
43. Dos pueblos, A y B, están en la misma carretera, a una distancia de 8 km. Un ciclista sale de A, alejándose de B, a una velocidad de 15 km/h. Veinte minutos más tarde, sale de B otro ciclista, a 20 km/h, con la intención de alcanzar al anterior. ¿Qué distancia habrá recorrido cada uno hasta el momento en que se produce el alcance?
A B8 km
C2C1VC1
= 13 km/h VC2 = 20 km/h
x = horas que tarda C1 hasta que es alcanzado por C2.
y = horas que tarda C2 en alcanza a C1.
/88x y
x yC CC C
1 315 8 20
sale 20 min más tarde querecorre 8 km más que
2 1
2 1
= ++ =
4
15 y 31+c m + 8 = 20y → 15y + 5 + 8 = 20y → 13 = 5y → y = 5
13 horas tarda C2
x = 513
31
1539 5
1544+ = + = horas tarda C1
El ciclista 1 recorre: 1544 h · 15 km/h = 44 km
El ciclista 2 recorre: 513 h · 20 km/h = 52 km
44. Un transportista va a una ciudad que está a 300 km de distancia. Al volver, su velo-cidad media ha sido superior en 10 km/h a la velocidad de ida, y ha tardado una hora menos. Calcula las velocidades y los tiempos empleados a la ida y a la vuelta.
( ) ( ) 8vtv t vt t v
30010 1 300 10 10 300– – –
=+ = + =
3
( ) 8 8vtt v
t t t t t tv t
30010 10 0
10 10 300 10 10 300 0 30 010 10– –
– – – – ––
2 2==
= = ==
3
t = ± ±2
1 1 1202
1 11+ = = –65 No vale.
300 : 6 = 50; 300 : 5 = 60
A la ida va a 50 km/h y tarda 6 horas. A la vuelta va a 60 km/h y tarda 5 horas.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
36
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 117
45. Ejercicio resuelto.
Ejercicio resuelto en el libro del alumnado.
46. La suma de las dos cifras de un número es 5. Si invertimos el orden de las cifras, el número es 9 unidades menor que el inicial. ¿De qué número se trata?
x = cifra de las unidades
y = cifra de las decenas
8 8 8x y
y x x yxx
yy
xx
yy x y
510 9 10 9 9
59
51 1– –
+ =+ + = +
+ ==
+ == = +
4 4 4
1 + y + y = 5 → 2y = 4 → y = 2
x = 1 + 2 = 3
Solución: el número buscado es 23.
47. La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añaden 18 unidades, el número resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. ¿Cuál es ese número?
Número → x y → y + 10x
Número inverso → y x → x + 10y
( ) 8 88x yy x x y
x yy y y y x
810 18 10
89 9 8 18 0 18 90 5 3
–– – – –
+ =+ + = +
=+ + = = = =
4
El número es el 35.
48. La edad actual de Rosa es el cuadrado de la de su hija y dentro de 9 años será sola-mente el triple. ¿Qué edad tiene cada una?
Organizamos los datos en la siguiente tabla:
( )
xx y
y39 9
2=+ = +
4
edad actual edad dentro de 9 años
rosa x x + 9hija y y + 9
y 2 + 9 = 3y + 27 → y 2 – 3y – 18 = 0
x = ± ± ±2
3 9 722
3 812
3 9+ = = = 8 x6 6 36–3 No es válida.
2= =
Rosa tiene 36 años, y su hija, 6 años.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
37
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
49. Halla las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 34 m, y su diagonal, 13 m.
13 m
x
y
Aplica el teorema de Pitágoras.
( )8x
xy
yx y y xx x
2 2 3413
17 1717 169
––2 2 2 2 2
++
==
+ = =+ =
4
2x 2 – 34x + 120 = 0 → x 2 – 17x + 60 = 0 → 8
8x yx y
12 55 12
m mm m
= == =
4
Los lados del rectángulo miden 12 m y 5 m.
50. Una pista rectangular de patinaje, con un perímetro de 100 metros, va a sufrir una reforma que le hará ganar un 10 % a lo ancho y otro 10 % a lo largo. Así aumentará su superficie en 126 m2. ¿Cuáles eran las medidas primitivas de la pista?
SA
x
y SB = SA + 126
110% de x = 1,1 x
110% de y = 1,1 y
, · , · , ,8 88x y
x y x yx y
xy xyx y
xyx y2 2 100
1 1 1 1 12650
1 21 12650
0 21 12650
––+ =
= ++ =
=+ =
==
4 4 4
0,21(50 – y ) · y = 126 → 10,5y – 0,21y 2 – 126 = 0 → 21y 2 – 1 050y + 12 600 = 0 →
→ y 2 – 50y + 600 = 0
y = ·( ) ± ( ) · · ± ±
2 150 50 4 1 600
250 100
250 10– – – –2
= = = 2 30
2
50 10
50 10 20–
=
=
+
Si y = 30 → x = 50 – 30 = 20
Si y = 20 → x = 50 – 20 = 30
Solución: las dimensiones iniciales de la pista son 30 m de largo y 20 m de ancho.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
38
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
51. Un tren de mercancías sale de A hacia B a la vez que uno de viajeros de B hacia A, y tardan 20 minutos en cruzarse. ¿Cuánto tarda cada uno en cubrir el recorrido comple-to, sabiendo que el de mercancías lo hace en 30 minutos más que el de viajeros?
Para hacer su recorrido, el tren de mercancías tarda x minutos. Así, en un minuto recorre
x1 de la distancia total.
Por otro lado, el tren de pasajeros tarda y minutos en hacer ese mismo recorrido, en sentido
contrario. Por tanto, en un minuto recorre y1 de la distancia total.
Entre los dos tardan en hacer el recorrido 20 minutos: x y1 1
201+ = .
El tren de mercancías tarda 30 minutos más que el de pasajeros en hacer el recorrido: x = y + 30
8x yx y
y x xy
x y
1 1201
30
20 20
30+ =
= +
+ =
= +4 4 → 20y + 20( y + 30) = ( y + 30)y →
→ 40y + 600 = y 2 + 30y → y 2 – 10y – 600 = 0
y = ± ±2
10 100 2 4002
10 50+ = = yy
3020– No vale.
1
2
==
Si y = 30 → x = 30 + 30 = 60
El tren de mercancías tarda 60 minutos, y el de pasajeros, 30 minutos.
Problemas “+”52. Un joyero tiene dos lingotes de oro, uno con un 80 % de pureza y otro con un 95 %.
¿Cuánto debe fundir de cada uno para obtener un lingote de 5 kg con un 86 % de pureza?
, , , ( )8
xx
yy
x yx y
0 8 0 95 0 865 5 –
++
==
+=
4
0,8(5 – y) + 0,95y = 0,86(5 – y + y) → 4 – 0,8y + 0,95y = 4,3 → 0,15y = 0,3 → y = 2
x = 3
Debe fundir 3 kg de 80 % de pureza con 2 kg del lingote que tiene un 95 % de pureza.
53. ¿Cuántos litros de leche con un 10 % de grasa hemos de mezclar con otra leche que tiene un 4 % de grasa para obtener 18 litros con un 6 % de grasa?
x → litros de leche con un 10 % de grasa
y → litros de leche con un 4 % de grasa
, , , ( )x y x yx y0 1 0 04 0 06
18+ = +
+ =4 0,04x = 0,02y → y = 2x
x + 2x = 18 → 3x = 18 → x = 6, y = 12
Hemos de mezclar 6 litros de leche de un 10 % de grasa con 12 litros de leche de un 4 % de grasa.
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
39
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
54. La edad actual de una madre es el cuadrado de la que tendrá su hija dentro de dos años, momento en el que la edad de la hija será la sexta parte de la edad que tiene ahora la madre. Calcula la edad de ambas.
Organizamos los datos en la siguiente tabla:
edad actual edad dentro de 2 años
madre x x + 2hija y y + 2
( )x y
y x
2
261
2= +
+ = 4 x = x61
2c m →
361 x 2 – x = 0 → x x
361 1–c m = 0 →
361 x – 1 = 0 →
→ 361 x = 1 → x = 36 → y = 4
La madre tiene 36 años, y su hija, 4 años.
Curiosidades matemáticas
Ecuaciones diofánticas
Las ecuaciones diofánticas se caracterizan por tener soluciones naturales (algunas ve-ces, enteras). Se llaman así en honor a Diofanto de Alejandría, matemático del siglo iii, considerado el primer algebrista.
Te proponemos dos problemas para resolver con ecuaciones diofánticas.
Son problemas abiertos que pueden tener varias soluciones, pero eso lo tienes que ave-riguar tú. Si hay varias, has de encontrarlas todas.
proBlema 1
Tenemos un mueble del que se ha roto una pata de 4 cm de altura. Para equilibrarlo pro-visionalmente, disponemos de varios discos de madera, unos de 5 mm de grosor y otros de 3 mm. ¿Cuántos discos de cada clase usaremos?
4 cm = 40 mm
x → número de discos de 5 mm.
y → número de discos de 3 mm.
5x + 3y = 40
Como 40 es múltiplo de 5 y con los discos x siempre cubriremos un múltiplo de 5, necesitamos que 3y sea múltiplo de 5 y menor que 40.
Como también es múltiplo de 3:
3y = 15 → y = 5 → 5x + 15 = 40 → x = 5
3y = 30 → y = 10 → 5x + 30 = 40 → x = 2
Soluciones: x1 = 5, y1 = 5; x2 = 2, y2 = 10
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones ESO
40
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
proBlema 2
En un test de 20 preguntas se consiguen 5 puntos por cada respuesta correcta, se pier-den 3 por cada respuesta errónea, y otros 2 por cada pregunta sin contestar. ¿Qué tiene que ocurrir para obtener una calificación de 0 puntos? ¿Y para obtener 50?
x → número de aciertos
y → número de errores
z → número de preguntas sin contestar
Para obtener 0 puntos se debe cumplir que:
x y zx y z
205 3 2 0– –
+ + ==4
Para obtener 50 puntos necesitamos:
x y zx y z
205 3 2 50– –
+ + ==4
Unidad 8. Funciones. Características ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
1 Conceptos básicos
Página 121
1. Esta gráfica describe la temperatura a la que sale el agua de un grifo que se mantiene un rato abierto.
a) ¿Cuáles son las dos variables?
b) Explica por qué es una función.
c) ¿Cuáles son el dominio de definición y el recorrido?
1
102030405060
2 3 4 5 6TIEMPO (min)
TEMPERATURA (°C)
a) Variable independiente → tiempo (min)
Variable dependiente → temperatura (°C)
b) Para cada valor del tiempo hay un único valor de temperatura.
c) Dominio = [0, 6]; Recorrido = [10, 58]
2. Indica el dominio y el recorrido de estas funciones:
a) b) c)
1
1
Y
X 1
2
Y
X 10
1
Y
X
a) Dom f = [–1, 4] b) Dom f = [– 4, 1] c) Dom f = [–5, 20]
Rec f = [–2, 3] Rec f = [– 4, 6] Rec f = [–2, 2]
3. Representa una función cuyos dominio y recorrido sean, respectivamente, [–2, 5] y [2, 7]. Inventa otra con dominio [0, 5] y recorrido {1}.
Ejercicio de respuesta abierta. Una posible solución sería:
51
5–2
2
7
Dom f = [–2, 5] Dom f = [0, 5]
Rec f = [2, 7] Rec f = {1}
Unidad 8. Funciones. Características ESO
2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 Cómo se presentan las funciones
Página 122
1. Vamos a analizar la gráfica de arriba correspondiente al precio de la vivienda:
a) ¿Qué quiere decir que la gráfica arranque en el 100 %? ¿Te parece razonable?
b) El máximo fue del 115 %. ¿En qué momento ocurrió? Contesta aproximadamente.
c) ¿Cuál fue el mínimo? ¿En qué momento sucedió?
d) ¿Cuál fue el índice del precio en el 2006?
a) La gráfica describe la variación (en %) del precio de la vivienda en una región desde 1992 hasta 2016.
Que comience en 100 % significa que se toma como precio de referencia para analizar dicha variación el precio de la vivienda en 1992; lo cual es razonable ya que en ese año comienza el estudio.
b) En el año 2005.
c) El mínimo fue del 87 % aproximadamente. Sucedió en 2013.
d) 110 %, es decir, en el año 2006 el precio de la vivienda había aumentado un 10 % respecto al año 1992.
2. Fíjate en las funciones altura sobre el nivel del mar - tiempo transcurrido que se han des-crito más arriba referentes a las excursiones realizadas por Félix y María.
a) Representa la gráfica correspondiente a Félix.
b) Representa la gráfica correspondiente a María.
c) Si compararas las dos gráficas anteriores con las de tus compañeros, ¿cuáles serían más parecidas, las de Félix o las de María? Explica por qué.
a) Respuesta abierta (la información proporcionada en el enunciado hace que existan diferen-tes respuestas a esta pregunta).
b)
30 45 55 855
100
200
300
TIEMPO TRANSCURRIDO (min)
ALTURA SOBRE EL NIVEL DEL MAR (m)
c) Las de María, porque tenemos datos (situación de la casa respecto al nivel del mar, tiempo que tarda en ascender la colina, altura de esta respecto al nivel del mar…) que permiten representar la gráfica con mayor precisión. En el caso de Félix, al no disponer de dicha infor-mación, existen diferentes posibilidades para representar el enunciado en una gráfica.
Unidad 8. Funciones. Características ESO
3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 123
3. En el ejemplo 1, ¿cuántas fotocopias debes pedir como mínimo para que te salga más caro que hacer 199?
Hacer 199 fotocopias cuesta 199 · 0,08 = 15,92 €. Con esa cantidad, y a un precio de 0,07 € por unidad, se pueden hacer 15,92 : 0,07 = 227,43.
Es decir, hay que pedir 228 fotocopias o más para que salga más caro que hacer 199 fotocopias.
4. En el ejemplo 2, calcula la distancia que recorre la bola en 1 s, 2 s y 3 s. ¿Cuánto tarda en recorrer 2 m?
t = 1 segundo → e = 10 · 12 = 10 cm
t = 2 segundos → e = 10 · 22 = 40 cm
t = 3 segundos → e = 10 · 32 = 90 cm
Calculamos en qué tiempo la bola recorre 2 m = 200 cm:
200 = 10 · t 2 → t 2 = 20 → t = 20 = 4,47 segundos
5. En el ejemplo 3:
a) Calcula el periodo de un péndulo de 1 m de largo.
b) ¿Cuál es la longitud de un péndulo cuyo periodo es de 6 segundos?
a) l = 1 m → T = ·4 1 4= = 2 segundos
b) T = 6 segundos → 6 = l4 → 36 = 4l → l = 9 m
Unidad 8. Funciones. Características ESO
4
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3 Funciones continuas. Discontinuidades
Página 124
1. Construye una función similar a la 1 , pero para el caso de que se pague 1 € cada media hora. ¿Cuál de las opciones de pago te parece más justa?
Esta opción de pago es más justa que la del ejemplo.
COSTE (€)
1
2
2 3 4TIEMPO (h)
4
6
8
2. Analiza la función 3 para valores “próximos a 2”. Comprueba que cuando x vale 1,9; 1,99; 1,999; 2,01; 2,001, la y toma valores “muy grandes”.
x = 1,9 → y = ( , )1 9 2
1– 2 = 100
x = 1,99 → y = ( , )1 99 2
1– 2 = 104
x = 1,999 → y = ( , )1 999 2
1– 2 = 106
x = 2,01 → y = ( , )2
12 01 – 2 = 104
x = 2,001 → y = ( , )2 001 2
1– 2 = 106
Unidad 8. Funciones. Características ESO
5
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4 Crecimiento, máximos y mínimos
Página 125
1. Observa la función de la derecha y responde:
a) ¿En qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente?
b) ¿Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos?
a) Crece en (–5, –3) ∪ (5, +∞).
Decrece en (–∞, –5) ∪ (–3, 5).
b) Máximo relativo en el punto (–3, 5).
Mínimos relativos en los puntos (–5, 3) y (5, –2).
Unidad 8. Funciones. Características ESO
6
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5 Tasa de variación media (T.V.M.)
Página 126
1. Halla la tasa de variación media (T.V.M.) de la función f representada, en los intervalos [1, 3], [3, 6], [6, 8], [8, 9] y [3, 9].
1 3 6 8 9
f
T.V.M. [1, 3] = 3 13 6
23
–– –= T.V.M. [3, 6] =
6 32 3
31
–– –=
T.V.M. [6, 8] = 8 64 2
–– = 1 T.V.M. [8, 9] = 9 8
8 4–– = 4
T.V.M. [3, 9] = 9 38 3
65
–– =
2. Halla la T.V.M. de la función y = x 2 – 4x + 5 (problema resuelto 2) en [0, 2], [1, 3] y [1, 4].
T.V.M. [0, 2] = 21 5– = –2
T.V.M. [1, 3] = 3 12 2
–– = 0
T.V.M. [1, 4] = 4 15 2
–– = 1
3. Halla la velocidad media de la piedra del problema resuelto 3 en los intervalos [0, 1], [0, 3], [3, 4] y [4, 8].
T.V.M. [0, 1] = 1 035 0
–– = 35 T.V.M. [0, 3] = 3 0
75 0–– = 25
T.V.M. [3, 4] = 4 3
80 75–– = 5 T.V.M. [4, 8] =
8 40 80
–– = –20
Los resultados están expresados en m/s.
Unidad 8. Funciones. Características ESO
7
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
6 Tendencia
Página 127
1. La cantidad de radiactividad que posee una sustancia se reduce a la mitad cada año. La gráfica adjunta describe la cantidad de radiactividad que hay en una porción de esa sus-tancia al transcurrir el tiempo.
¿A cuánto tiende la radiactividad con el paso del tiempo?
1TIEMPO (años)
1 2
RADIACTIVIDAD
La radiactividad, con el paso del tiempo, tiende a cero.
Unidad 8. Funciones. Características ESO
8
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
7 Periodicidad
Página 128
1. La cisterna de unos servicios públicos se llena y se vacía, automáticamente, cada dos minutos, siguiendo el ritmo de la gráfica adjunta.
a) Dibuja la gráfica correspondiente a 10 min.
b) ¿Cuánta agua habrá en la cisterna en los siguientes instantes?
I) 17 min II) 40 min 30 s III) 1 h 9 min 30 s
1
10
20
30
2
VOLUMEN (l )
TIEMPO (min)a)
TIEMPO (min)
1
10
20
30
VOLUMEN (l )
2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) I) f (17) = f (1) = 20 litros
II) f (40 min 30 s) = f (30 s) = 10 litros
III) f (1 h 9 min 30 s) = f (1 min 30 s) = 30 litros
2. Representa en unos ejes la altura a la que está el niño con el paso del tiempo, si cada ba-lanceo (ida y vuelta) dura 4 segundos.
2 m
1 m
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
TIEMPO (s)
ALTURA (m)
Unidad 8. Funciones. Características ESO
9
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Ejercicios y problemas
Página 129
Practica
Interpretación de gráficas
1. La siguiente gráfica relaciona la resistencia de un tipo de sedal de pesca con su gro-sor:
0,30,20,1
1000
3000
5000
7000
RESISTENCIA (g)
GROSOR (mm)0,60,50,4
a) ¿Qué grosor debe tener el sedal de un pescador que quiera pescar truchas que no su-peren los 2 kg?
b) ¿Con cuántos gramos se podría romper un sedal de 0,22 de grosor? ¿Y de 0,35 mm?
a) 0,2 mm
b) Un sedal de 0,22 mm de grosor se podría romper con unos 2 400 gramos y uno de 0,35 mm de grosor con unos 7 200 gramos.
2. Hemos sacado de la nevera un vaso con agua. Esta gráfica muestra la temperatura del agua (en grados centígrados) al pasar el tiempo:
a) ¿Qué temperatura hay dentro de la nevera? ¿Y fuera?
b) Sacamos del microondas un vaso con agua a 98 °C. Dibuja una gráfica que muestre la temperatura del agua al pasar el tiempo. 2
8
1622
TEMPERATURA (°C)
TIEMPO (min)20 40 60
a) Dentro de la nevera hay 2 °C y fuera 22 °C.
b)
10
TEMPERATURA (°C)
TIEMPO (min)22
98
Unidad 8. Funciones. Características ESO
10
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3. Esta curva muestra la audiencia de televisión en España en un día promedio de abril de 2016. ¿Cuáles son los momentos de más audiencia? Descríbela.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
10
20
30
40
50 AUDIENCIA (%)
TIEMPO (h)
La audiencia (en %) disminuye entre las 0 h (24 h del día anterior) y las 4 h, alcanzando a esta hora su mínimo absoluto.
A partir de este momento aumenta hasta las 15 h, instante en el que vuelve a decrecer hasta las 18,5 h. Desde las 18,5 h hasta las 22 h aumenta, alcanzando a esta hora su máximo absoluto. A partir de las 22 h vuelve a decrecer.
Enunciados, fórmulas y tablas
4. Cuando una persona sana toma 50 g de glucosa en ayunas, su glucemia (% de gluco-sa en la sangre) se eleva, en una hora aproximadamente, desde 90 mg/dl, que es el nivel normal, hasta 120 mg/dl. Luego, en las 3 h siguientes, disminuye hasta valores algo por debajo del nivel normal, y vuelve a la normalidad al cabo de 5 h.
a) Representa la curva de glucemia en el tramo desde que ingiere la glucosa hasta que vuelve a su nivel normal.
b) Indica en qué momentos alcanza su máximo y en cuáles su mínimo.
a)
1
30
60
90
120
GLUCEMIA (mg/dl )
TIEMPO (horas)2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) El máximo es de 120 mg/gl al cabo de 1 h de iniciar la toma. El mínimo está ligeramente por debajo de 90 mg/dl y se alcanza a las 4 h de iniciar la toma.
La tendencia de la función es 90 mg/dl (tener la glucemia en un nivel normal).
Unidad 8. Funciones. Características ESO
11
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5. Un nadador se deja caer desde un trampolín. Su entrenador ha medido el espacio que recorre cada cuatro décimas de segundo mediante un método fotográfico. Obtiene la siguiente tabla:
tiempo (s) 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8
espacio (m) 0 0,8 3,1 7,1 12,5 14 14,5 15
El nadador frena por completo a los 15 m.
a) Representa la gráfica espacio-tiempo.
b) ¿Podrías decir en qué momento entró en el agua?
c) ¿Qué velocidad estimas que llevaba en el momento de entrar en el agua?
d) ¿Qué altura tiene el trampolín?
a) b) Entró en el agua a los 1,6 segundos de haber saltado.
c) Estimamos la velocidad calculando la T.V.M. en el intervalo [1,2; 1,6]:
T.V.M. [1,2; 1,6] = , ,, ,
1 6 1 212 5 7 1
–– =
= ,,
0 45 4 = 13,5
Estimamos que la velocidad era de 13,5 m/s.
d) El trampolín tiene unos 12 m de altura.
ESPACIO (m)
0,40
2
0,8 1,2 1,6 2 2,4 TIEMPO (s)
4
6
8
10
12
14
16
18
6. El aumento, A, del tamaño de un objeto que se mira a través de una lupa viene dado por esta fórmula y la gráfica de la derecha:
La variable d es la distancia de la lupa al objeto, en cm, y la variable A es el aumento (número por el que se multiplica el tamaño real).
d (cm)
A
A = d2
2–
a) Calcula el tamaño aparente, A, de un objeto para los siguientes valores de d :
0; 0,5; 1; 1,5; 1,9; 1,99
b) Para d = 4 se obtiene A = –1. Eso significa que el objeto se ve del mismo tamaño, pero invertido. Interpreta los valores de A para estos valores de d:
10; 5; 2,4; 2,1; 2,01
a) d = 0 → A = 1 d = 0,5 → A = 4/3 d = 1 → A = 2
d = 1,5 → A = 4 d = 1,9 → A = 20 d = 1,99 → A = 200
b) d = 10 → A = –41 El objeto se ve a
41 de su tamaño e invertido.
d = 5 → A = – 32 El objeto se ve a 3
2 de su tamaño e invertido.
d = 2,4 → A = –5 El objeto se ve a 5 veces su tamaño e invertido.
d = 2,1 → A = –20 El objeto se ve a 20 veces su tamaño e invertido.
d = 2,01 → A = –200 El objeto se ve a 200 veces su tamaño e invertido.
Unidad 8. Funciones. Características ESO
12
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 130
Características de una función
7. Observa esta función y halla su T.V.M. en los intervalos [0, 4], [0, 5], [5, 7], [0, 7], [– 4, 0] y [– 4, –2].
–2–4–6 2 4 6
Y
X
–4
–2
2
4
Copia en tu cuaderno la gráfica y dibuja en cada caso el segmento del cual estás hallan-do la pendiente.
T.V.M. [0, 4] = 4
3 1+ = 1
T.V.M. [0, 5] = 54 1+ = 1
T.V.M. [5, 7] = 7 50 4
–– = –2
T.V.M. [0, 7] = 70 1
71+ =
–2–4–6 2 4 6
Y
X
–4
–2
2
4
T.V.M. [– 4, 0] = 0 41 6
47– – –
+=
T.V.M. [– 4, –2] = 2 4
0 6–
–+
= –3
8. Halla la T.V.M. de y = 3x 3 + 9x 2 – 3x – 9 en los intervalos [–2, 0], [–1, 0], [–3, –1] y [0, 1].
T.V.M. [–2, 0] = 0 29 9– –+ = –9 T.V.M. [–1, 0] = 0 1
9 0– –+ = –9
T.V.M. [–3, –1] = 1 30 0–
–+ = 0 T.V.M. [0, 1] = 1
0 9+ = 9
Unidad 8. Funciones. Características ESO
13
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
9. Explica por qué es periódica esta función:
1
Y
X2 3 4 5 6 7 8 9
2
1
Da su periodo y los valores de la función en los puntos de abscisas x = 1, x = 3, x = 20, x = 23 y x = 42.
La función es periódica de periodo 4.
f (1) = 2; f (3) = 2,5; f (20) = f (0) = 1; f (23) = f (3) = 2,5; f (42) = f (2) = 2,5
10. Observa estas gráficas discontinuas y contesta:
a) ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad? Ex-plica la razón de discontinuidad en cada punto.
b) ¿Cuál es su dominio de definición?
c) Indica, si tiene, los máximos y los mínimos rela-tivos.
d) ¿En qué intervalos es creciente? ¿Y decreciente?
–2
–2–4 2
Y
X2
4
III
–2–2–4 2
Y
X2
4
IV
–2–2
2
Y
X2
4
I
–2–2–4 2
Y
X2
4
II
a) I .
.xx
12
Discontinua en – Tiene ramas infinitas.Discontinua en Tiene un punto desplazado.
==
*
II Discontinua en x = 2. No está definida en este punto y, además, en él da un salto.
III ( , ) ( , ) .«x
2 41
Discontinua en –∞ – ∞ No está definida.Discontinua en porque no está definida.
+=
*
IV ( ∞, ) ( , ∞) .
..
«xx
4 42
0
Discontinua en – – No está definida.Discontinua en – Tiene ramas infinitas.Discontinua en No está definida y presenta un salto.
+==
Z
[
\
]]
]]
b) Dom ( I ) = (–∞, –1) ∪ (–1, +∞) Dom ( II ) = (–∞, 2) ∪ (2, +∞)
Dom ( III ) = [–2, 1) ∪ (1, 4] Dom ( IV ) = [– 4, –2) ∪ (–2, 0) ∪ (0, 4]
c) I Máximo relativo en (–2, 3). Mínimo relativo en (0, 0)
II Máximo relativo en (–2, 1). Mínimo relativo en (–1, –1).
III No tiene ni máximos ni mínimos relativos.
IV Máximo relativo en (1, 3). Mínimo relativo en (3, –1).
d) I Crece en (–∞, –2) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞). Decrece en (–2, –1) ∪ (–1, 0).
II Crece en (–∞, –2) ∪ (–1, 2) ∪ (2, +∞). Decrece en (–2, –1).
III Crece en (–2, 1) ∪ (1, 4). No decrece.
IV Crece en (– 4, –2) ∪ (0, 1) ∪ (3, 4). Decrece en (–2, 0) ∪ (1, 3).
Unidad 8. Funciones. Características ESO
14
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Piensa y resuelve11. Observa las siguientes gráficas de funciones:
TIEMPO
TEMPERATURA (°C)
2
–12
23
a) Relaciona cada curva con estos enunciados sobre la temperatura de un vaso de agua:
I. Cuando pasa de la mesa a la nevera.
II. Cuando se saca de la nevera y se deja en la mesa.
III. Cuando pasa de la mesa al congelador.
b) ¿A qué temperatura está la casa? ¿Y el congelador? ¿Y la nevera?
a) I - verde. II - azul. III - roja.
b) La casa está a 23 °C, el congelador a –12 °C y la nevera a 2 °C.
12. El entrenador de tres nadadores, A, B y C, ha medido cada 5 minutos las distancias recorridas hasta ese momento por cada uno de ellos:
tiempo (min) 5 10 15 20 25 30
distancia a (m) 95 235 425 650 875 1 100
distancia B (m) 250 500 750 1 000 1 250 1 500
distancia c (m) 360 710 1 020 1 300 1 490 1 600
a) En unos mismos ejes, dibuja la gráfica distancia-tiempo de los tres nadadores. Descrí-belas.
b) ¿Hubo algún adelantamiento durante los 30 min?
c) Calcula la velocidad media de cada uno.
a) b) No ha habido ningún adelantamiento.
c) Vm (A) = 301100 = 36,67 m/min
Vm (B) = 301500 = 50 m/min
Vm (C) = 301 006 = 53,3 m/min
5
200
400
DISTANCIA (m)
TIEMPO (min)10 15 20 25 30
600
800
1000
1200
1400
1600
A
B
C
Unidad 8. Funciones. Características ESO
15
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
13. La órbita del cometa Halley es una elipse muy excéntrica, uno de cuyos focos es el Sol. Esta curva representa la función que relaciona la distancia del cometa al Sol con el paso del tiempo:
1755 1832 1909 1986
20
30
DISTANCIA AL SOL (UA)
AÑO
10
a) ¿Es una función periódica? ¿Cuál es su periodo?
b) ¿En qué año volverá a acercarse al Sol?
a) Es una función periódica de periodo T = 1 832 – 1 755 = 77 años.
b) 1 986 + 77 = 2 063 → El año 2063
Unidad 8. Funciones. Características ESO
16
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 131
14. La gráfica adjunta describe el valor de una empresa desde que se fundó.
a) ¿Cuál era su valor en el momento de la apertura?
b) ¿A cuánto se redujo su valor después de 4 meses?
c) ¿Cuál es la T.V.M. en el intervalo [4, 12]? Da el resultado en miles de euros por mes.
d) ¿Cuál parece la tendencia de esta función para los próximos meses?
e) Haz una descripción global del valor de esta em-presa en sus tres primeros años. 4 8 12 16 20 24 28
1
2
TIEMPO (meses)
VALOR (millones de euros)
a) El valor de la empresa en el momento de la apertura era de 600 000 €.
b) Después de 4 meses su valor se redujo a 200 000 €.
c) T.V.M. [4, 12] = 12 4
1800 000 200 000–– = 200 000 €/mes
d) Parece que el valor de la empresa, para los próximos meses, tiende a 2 600 000 €.
e) El valor de la empresa tiene un brusco descenso en los cuatro primeros meses. A partir de aquí crece rápidamente durante 8 meses y tiene una ligera caída en los dos meses siguien-tes. A partir del mes 14.º crece rápidamente durante otros 6 meses y después cada vez más despacio. Su precio se aproxima a 2 600 000 €.
15. Dos compañías telefónicas, A y B, tienen diferentes tarifas. Observa las gráficas y contesta:
1 2 3 4 5 6 7
0,4
0,6
0,8
1COSTE (€)
TIEMPO (min)0,2
A
B
a) Determina cuánto vale una llamada de 3 min con cada compañía. ¿Y una de media hora?
b) Razona por qué elegirías una u otra compañía.
a) Una llamada de 3 min cuesta 0,50 € en cualquiera de las dos compañías.
La compañía A cobra 3,20 € por 30 minutos.
La compañía B cobra 0,10 € más 0,40 € por cada 3 min. Por tanto, por 30 min cobrará 0,1 + 0,40 · 10 = 4,10 €.
b) Si habitualmente hiciera llamadas cortas (de 3 min o menos), contrataría con B. Si hiciera llamadas largas con frecuencia, contrataría con la compañía A.
Unidad 8. Funciones. Características ESO
17
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
16. Con una cartulina que mide 40 cm × 30 cm queremos construir una caja. Para ello, cortamos un cuadrado de lado x en cada esquina.
40 cm
30 cm
x
xx 30 – 2x
40 – 2x
Halla la función que relaciona el volumen de la caja con la longitud del lado de los cua-drados cortados.
Si cortamos un cuadrado de lado x en cada esquina, el rectángulo que obtenemos como base de la caja tiene dimensiones 40 – 2x de largo y 30 – 2x de ancho. La altura de la caja será x.
Por tanto, el volumen en función de x es:
V = (40 – 2x) · (30 – 2x) · x = 4x 3 – 140x 2 + 1 200x
17. Dibuja un cuadrado ABCD de 7 cm de lado. Sobre el lado AB, marca un punto P que diste x de A, y dibuja un nuevo cuadrado PQRS inscrito en el anterior.
xA B
D C
P
R
Q
S
a) Observa que si el valor de x es 3 cm, entonces AS = 7 – 3 = 4 cm. ¿Cuánto mide PS ? ¿Cuál es el área del nuevo cuadrado?
b) Construye la gráfica de la función que relaciona x (con valores de 0 a 7) con el área del cuadrado inscrito.
a) PS 3 4 252 2= + = = 5 cm. Área del cuadrilátero interior = 52 = 25 cm2
b) A = ( )x x7 –2 22
+a k =
= x 2 + 49 + x 2 – 14x =
= 2x 2 – 14x + 49
x área
0 491 372 293 254 255 296 377 49
1 52 63 4 7
10
20
30
40
50
X
ÁREA
Unidad 8. Funciones. Características ESO
18
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
18. En un cuadrado ABCD de lado 1 dm dibuja la diagonal AC. Para cada punto P de esta diagonal, se forma un rectángulo, como en la figura.
D C
A B
1 dm
1 dm P
a) Halla el área del rectángulo cuando P dista de AB : 1/4 dm, 1/2 dm y 3/4 dm.
b) Dibuja la gráfica de la función que relaciona la distancia de P a AB con el área del rectángulo.
a)
D
x
x M 1 – x
C
A B
1 dm
1 dm P
( )
( )
8
ABC AMP
ABC AB BC
AMP
1
Los triángulos y son semejantesson rectángulos con un ángulo agudo común
es isósceles dm= =
_
`
a
bbb
bb
& &
&
& también es isósceles
Sea x = 8AM PM AM= = x y MB = 1 – x
x PMy área del rectángulo
== 4 → y = x · (1 – x) → y = –x 2 + x
x = 41 dm → y = –
41
41
1632
+ =c m → y = 163 dm2
x = 21 dm → y = – 2
121
41
2+ =c m → y =
41 dm2
x = 43 dm → y = –
43
43
1632
+ =c m → y = 163 dm2
b) y = –x 2 + x
11—
4
1—4
1—2
3—4
Unidad 8. Funciones. Características ESO
19
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Curiosidades matemáticas
Juego para dos
Se colocan 15 fichas sobre la mesa, como en el dibujo siguiente.
Cada jugador retira, por turno, y según su elección, una, dos o tres fichas cualesquiera. Quien retire la última, pierde.
Experimenta el juego y analiza lo que ocurre, cuándo se gana y cuándo se pierde.
Después, redacta por escrito lo que has descubierto:
• ¿Lleva ventaja el jugador que sale?
• ¿Cuál es la mejor jugada para empezar?
• ¿Cuál es la estrategia ganadora?
• …
•Empezamosexperimentandoeljuegocon2,3y4fichas:
→ Quien empieza, retira 1 ficha y gana.
→ Quien empieza, retira 2 fichas y gana.
→ Quien empieza, retira 3 fichas y gana.
•Experimentamoscon5fichas:
→ Quien empieza puede retirar 1, 2 o 3 fichas, dejando 4, 3 o 2 al contrario (casos anteriores), que será quien gane.
Con 5 fichas, quien empieza pierde.
•Experimentamoscon6,7y8fichas.
Quien empieza retira 1 (si hay 6), 2 (si hay 7) o 3 (si hay 8), dejando 5 fichas, con lo que hace perder al contrario.
•Experimentamoscon9fichas.
Quien empieza puede retirar 1, 2 o 3, dejando 8, 7 o 6, con lo que ganará el contrario.
Con 9 fichas, quien empieza pierde.
•Siguiendoasí,vemosquelosnúmerosperdedoresson 1 , 5 , 9 y 13 .
conclusión: Jugando con 15 fichas, quien empieza gana si sigue esta estrategia:
— Retira 2 fichas, dejando 13.
— A continuación responde a los movimientos del contrario dejando primero 9 fichas, después 5 y, por último, 1.
Es decir, quien empieza retira primero 2 fichas y después responde al contrario con el complemen-to de 4 (si él retira 3, yo 1; si él 2, yo 2; si él 1, yo 3).
Unidad 9. Funciones elementales ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
1 Funciones lineales
Página 133
1. Copia y completa, en tu cuaderno, las igualdades siguientes:
a) –50 °C = … °F b) 95 °F = … °C
La expresión que liga la temperatura en grados centígrados y en grados Fahrenheit es: y = 32 + 1,8x siendo x = temperatura en °C, y = temperatura en °F.
a) x = –50 → y = 32 + 1,8(–50) = 32 – 90 = –58 °F → –50 °C = –58 °F
b) y = 95 → 95 = 32 + 1,8x → x = ,1 895 32– = 35 → 95 °F = 35 °C
2. Un termómetro clínico abarca temperaturas desde 35 °C a 41 °C. ¿Cuál es la gama en °F?
Si x = 35 → y = 32 + 1,8 · 35 = 32 + 63 = 95
Si x = 41 → y = 32 + 1,8 · 41 = 32 + 73,8 = 105,8
La gama, en °F, es de 95 °F a 105,8 °F.
3. La temperatura normal de una persona sana es de 36,5 °C. ¿Cuál es en °F?
Si x = 36,5 → y = 32 + 1,8 · 36,5 = 32 + 65,7 = 97,7
La temperatura de una persona sana, en °F, es de 97,7 °F.
4. a) ¿Qué longitud alcanzará el muelle del ejemplo anterior si le colgamos una pesa de 4,6 kg?
b) ¿Qué peso hay que colgar del muelle para que alcance una longitud de 1 m?
a) x = 4,6 → y = 30 + 15 · 4,6 = 30 + 69 = 99
El muelle alcanzará una longitud de 99 cm.
b) 1 m = 100 cm
Si y = 100 → 100 = 30 + 15x → x = 15100 30– ≈ 4,667
Hay que colgar un peso de 4,667 kg, aproximadamente.
Unidad 9. Funciones elementales ESO
2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 134
5. Representa:
a) y = 2x
b) y = 32 x
c) y = – 41 x
d) y = – 37 x
11
a)b)
c)
d)
1
1
6. Representa:
a) y = 3
b) y = –2
c) y = 0
d) y = –5
11
y = 3
y = 0
y = –2
y = –5
7. Representa:
a) y = 2x – 3
b) y = 32 x + 2
c) y = – 41 x + 5
d) y = –3x – 1
a)
b)
11
c)
11
d)
8. Un móvil, en el instante inicial, se encuentra situado a 3 m del origen y se aleja progresivamente de este con una velocidad de 2 m/s.
Halla la ecuación de su posición en función del tiempo y repre-séntala.
y = 3 + 2x, donde y es la distancia al origen en metros y x es el tiempo en segundos.
11
9. Un móvil, que en el instante inicial llevaba una velocidad de 8 m/s, frena de repente con una aceleración de –1 m/s2.
Escribe la ecuación de la velocidad en función del tiempo y represéntala.
y = 8 – x, donde y es la velocidad en m/s y x es el tiempo en segundos. 1
1
8
8
Unidad 9. Funciones elementales ESO
3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 135
10. Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas:
a) Pasa por (–3, –5) y tiene una pendiente de 94 .
b) Pasa por (0, –3) y tiene una pendiente de 4.
c) Pasa por (3, –5) y por (– 4, 7).
a) y + 5 = 94 (x + 3) → y = x9
4311–
b) y + 3 = 4x → y = 4x – 3
c) m = ( )4 3
7 57
12712
– –– –
– –= =
y + 5 = – 712 (x – 3) → y = – x7
1271+
Unidad 9. Funciones elementales ESO
4
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 Funciones cuadráticas. Parábolas
Página 137
1. Asocia cada uno de los coeficientes de la x 2 con su correspondiente parábola:
• a = –1
• a = 2
• a = – 31
• a = 21
• a = –3
A
B
CD
E
a = –1 → E a = 2 → A a = – 31 → B
a = 21 → D a = –3 → C
2. Representa las siguientes parábolas:
a) y = x 2 – 2x + 2 b) y = –2x 2 – 2x – 3 c) y = 31 x 2 + x – 2
d) y = –x 2 + 4 e) y = – 21 x 2 + 2 f ) y = 3x 2 + 6x + 4
a) y = x 2 – 2x + 2
Vértice:
Abscisa: p = 22 = 1 → Ordenada: f (1) = 1 → V (1, 1)
Tabla de valores:
x –2 –1 0 1 2 3 4y 10 5 2 1 2 5 10
Vemos que a medida que las abscisas se alejan del vértice, las ordenadas correspondientes crecen, por lo tanto, la parábola no cortará al eje X.
y = x2 – 2x + 2
Unidad 9. Funciones elementales ESO
5
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
b) y = –2x 2 – 2x – 3
Vértice:
Abscisa: p = 221
4–
–= → Ordenada: f 2
125– –=c m → V ,2
125– –c m
Tabla de valores:
x –2 –1 –21 0 1
y –7 –3 –25 –3 –7
A medida que las abscisas se alejan del vértice, las orde-nadas correspondientes decrecen, por tanto, la gráfica no corta al eje X.
y = –2x2 – 2x – 3
c) y = 31 x 2 + x – 2
Vértice:
Abscisa: p = /2 31
23–– = → Ordenada: f 2
3411– –=c m → V ,2
3411– –c m
Tabla de valores:
x – 6 –3 –2 –23 –1 0 3
y 4 –2 –38 –
411 –
38 –2 4
y = 0 → 31 x 2 + x – 2 = 0 → x 2 + 3x – 6 = 0 →
→ x = ± ±2
3 9 242
3 33– –+ = = x
x
23 33
23 33
–
– –
= +
=
La parábola corta al eje de abscisas
en 2–3 33 , 0 y 2
–3 – 33 , 0+e eo o.
1y = — x2 + x – 2 3
Unidad 9. Funciones elementales ESO
6
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
d) y = –x 2 + 4
Vértice: Abscisa: p = 20– = 0 → Ordenada: f (0) = 4 → V (0, 4)
Tabla de valores:
x –3 –2 –1 0 1 2 3y –5 0 3 4 3 0 –5
Observamos que obtenemos en la tabla todos los cortes con los ejes:
y = –x2 + 4
e) y = – 21 x 2 + 2
Vértice: Abscisa: p = 01– = 0 → Ordenada: f (0) = 2 → V (0, 2)
Tabla de valores:
x – 4 –2 0 2 4y – 6 0 2 0 – 6
Obtenemos en la tabla todos los puntos de corte con los ejes:
1y = – — x2 + 2 2
f ) y = 3x 2 + 6x + 4
Vértice: Abscisa: p = 66– = –1 → Ordenada: f (–1) = 1 → V (–1, 1)
Tabla de valores:
x –3 –2 –1 0 1y –13 4 1 4 13
Los valores de las ordenadas crecen a medida que las abscisas se alejan del vértice, por tanto, la parábola no corta al eje X.
y = 3x2 + 6x + 4
Unidad 9. Funciones elementales ESO
7
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3. Dibuja en tu cuaderno la representación gráfica de estas funciones cuadráticas:
a) y = (x – 1) · (x – 3) b) y = 2(x – 2)2
c) y = 21 (x + 2) · (x – 2) d) y = (x – 1)2 + 5
a) y = (x – 1) · (x – 3) → y = x 2 – 4x + 3
Vértice:
Abscisa: p = 24 = 2 → Ordenada: f (2) = –1 → V (2, –1)
Tabla de valores:
x –1 0 1 2 3 4 5y 8 3 0 –1 0 3 8
y = (x – 1)(x – 3)
b) y = 2(x – 2)2 → y = 2x 2 – 8x + 8
Vértice:
Abscisa: p = 48 = 2 → Ordenada: f (2) = 0 → V (2, 0)
Tabla de valores:
x 0 1 2 3 4y 8 2 0 2 8
Solo hemos obtenido un único punto de corte con el eje de absci-sas, veamos si hay más:
y = 0 → 2(x – 2)2 = 0 → x = 2
La parábola corta al eje de abscisas solamente en el punto (2, 0).
y = 2(x – 2)2
c) y = 21 (x + 2) · (x – 2) → y = 2
1 x 2 – 2
Vértice:
Abscisa: p = 10 = 0 → Ordenada: f (0) = –2 → V (0, –2)
Tabla de valores:
x – 4 –2 0 2 4y 6 0 –2 0 6
1y = — (x + 2)(x – 2) 2
d) y = (x – 1)2 + 5 → y = x 2 – 2x + 6
Vértice:
Abscisa: p = 22 = 1 → Ordenada: f (1) = 5 → V (1, 5)
Tabla de valores:
x –1 0 1 2 3y 9 6 5 6 9
Las ordenadas aumentan a medida que las abscisas se alejan del vértice, por tanto, la parábola no corta al eje X.
y = (x – 1)2 + 5
Unidad 9. Funciones elementales ESO
8
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3 Funciones de proporcionalidad inversa
Página 138
1. Representa las siguientes funciones:
a) y = x5 b) y = –
x2 c) y =
x4
a) f (x) = x5
•Dom f = Á – {0}
•Nocortaalosejesdecoordenadas.
•x = 0 es asíntota vertical.
y = 0 es asíntota horizontal.
•Tabladevalores:
x –10 –5 –1 –0,5 0,5 1 5 10y –1/2 –1 –5 –10 10 5 1 1/2
Y
X
5y = — x
b) f (x) = – x2
•Dom f = Á – {0}
•Nocortaalosejesdecoordenadas.
•x = 0 es asíntota vertical.
y = 0 es asíntota horizontal.
•Tabladevalores:
x – 4 –2 –1 –0,5 0,5 1 2 4y 1/2 1 2 4 – 4 –2 –1 –1/2
Y
X
2y = – — x
c) f (x) = x4
•Dom f = Á – {0}
•Nocortaalosejesdecoordenadas.
•x = 0 es asíntota vertical.
y = 0 es asíntota horizontal.
•Tabladevalores:
x –8 – 4 –2 –1 –0,5 0,5 1 2 4 8y –1/2 –1 –2 – 4 –8 8 4 2 1 1/2
Y
X
4y = — x
Unidad 9. Funciones elementales ESO
9
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2. Representa estas funciones y halla su dominio:
a) y = x 1
1–
b) y = x 1
1+
c) y = – x 2
1+
a) y = x 11– → y = x
1 trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.
•Dominio=Á – {1}
•x = 1 es asíntota vertical
y = 0 es asíntota horizontal
1y = — x
1y = — x – 1
1
b) y = x 11+ → y = x
1 trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda.
•Dominio=Á – {–1}
•x = –1 es asíntota vertical
y = 0 es asíntota horizontal
1y = — x
1y = — x + 1
–1
c) y = x1
2– + → y = – x1 trasladada horizontalmente 2 unidades a la izquierda.
•Dominio=Á – {–2}
•x = –2 es asíntota vertical
y = 0 es asíntota horizontal
1y = – — x
1y = –— x + 2
–2
Unidad 9. Funciones elementales ESO
10
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4 Funciones radicales
Página 139
1. Representa las siguientes funciones y halla el dominio de definición de cada una:
a) y = 2 x b) y = –2 x c) y = 2 x 3+ d) y = –2 x 3+
e) y = 2 x– f ) y = –2 x– g) y = 2 x 3– + h) y = –2 x 5– +
a) b) c) d)
Y
X
y = 2 xy = 2 x + 3
y = –2 x + 3y = –2 x
e) f ) g) h)
y = –2 –x + 5
Y
X
y = 2 –xy = 2 –x + 3
y = –2 –x
Los dominios de definición son:
a) [0, +∞) b) [0, +∞) c) [–3, +∞) d) [–3, +∞)
e) (–∞, 0] f ) (–∞, 0] g) (–∞, 3] h) (–∞, 5]
Unidad 9. Funciones elementales ESO
11
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5 Funciones exponenciales
Página 140
1. Calcula los valores de la función y = 1,5x para los valores enteros de x comprendidos entre – 6 y 6. Representa la función.
Hacemos la tabla de valores con ayuda de la calculadora.
x – 6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6y 0,09 0,13 0,20 0,30 0,44 0,67 1 1,5 2,25 3,38 5,06 7,59 11,39
y = 1,5x
2. Calcula los valores de la función y = 0,8x para los valores enteros de x comprendidos entre – 8 y 8. Representa la función.
Hacemos la tabla de valores con ayuda de la calculadora.
x –8 –7 – 6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8y 5,96 4,77 3,81 3,05 2,44 1,95 1,56 1,25 1 0,8 0,64 0,51 0,41 0,33 0,26 0,21 0,17
y = 0,8x
Unidad 9. Funciones elementales ESO
12
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3. La función y = 50,2x puede ponerse de forma exponencial y = a x teniendo en cuenta que 50,2x = (50,2)x.
a) Calcula 50,2 y guarda el resultado en la memoria: 5 ‰ 0,2 =m.
b) Representa la función dando valores a x. Por ejemplo, para x = 4: щ 4 ={∫«…\“}.a) y = 50,2x → y = (50,2)x con 50,2 = 1,379729…
b) Hacemos la tabla de valores con ayuda de la calculadora.
x –8 –7 – 6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8y 0,08 0,11 0,14 0,2 0,28 0,38 0,53 0,72 1 1,38 1,90 2,63 3,62 5 6,90 9,52 13,13
y = (50,2)x
Unidad 9. Funciones elementales ESO
13
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Ejercicios y problemas
Página 141
Practica
Funciones lineales
1. Representa las siguientes funciones lineales:
a) y = 2x – 3
b) y = 74 x
c) y = x5
3 10– +
d) y = 2,5
y = 2x – 3
y = x4—7
X
Y
2
y = 2,5
–3x + 10y = — 5
2. Dados la pendiente y un punto, calcula en cada caso la ecuación de la recta:
a) P (0, 0), m = 1 b) P (2, –1), m = –2
c) A (–2, 1), m = 21 d) A (1, 3), m = –
35
En todos los apartados buscamos la ecuación de una recta → y = mx + n
a) m = 1 → y = x + n
Pasa por P (0, 0) → 0 = 0 + n → n = 0
Por tanto, y = x.
b) m = –2 → y = –2x + n
Pasa por P (2, –1) → –1 = –2 · 2 + n → n = 3
Por tanto, y = –2x + 3.
c) m = 21 → y = 2
1 x + n
Pasa por A (–2, 1) → 1 = 21 · (–2) + n → n = 2
Por tanto, y = 21 x + 2.
d) m = – 35 → y = – 3
5 x + n
Pasa por A (1, 3) → 3 = – 35 · 1 + n → n = 3 + 3
5 → n = 314
Por tanto, y = – 35 x + 3
14 .
Unidad 9. Funciones elementales ESO
14
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3. Calcula la ecuación de estas funciones lineales:
AB
C D
A ( , )
88 8
y nn y0 3 3 3
Función constantePasa por
== =4
B Función lineal → y = mx + n
( , )( , )
éé
BB
3 11 2–
–4 → m =
( )1 32 1
43
– –– – –= → y =
43– x + n
(1, –2) ∈ B → –2 = –43 · 1 + n → n = –2 +
43 → n = –
45
Por tanto, y = –43 x –
45 .
C Función de proporcionalidad directa → y = mx
( , )( , )
éé
CC
0 03 1
4 → m = 3 01 0
31
–– =
Por tanto, y = 31 x.
D Función lineal → y = mx + n
( , )( , )
éé
DD
6 29 3
–4 → m = ( )
9 63 2
35
–– – = → y = 3
5 x + n
(6, –2) ∈ D → –2 = 35 · 6 + n → n = –2 – 10 → n = –12
Por tanto, y = 35 x – 12.
4. Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B:
a) A (3, 0), B (5, 0) b) A (–2, – 4), B (2, –3)
c) A (0, –3), B (3, 0) d) A (0, –5), B (–3, 1)
a) y = 0
b) m = ; ( ) 8y x y x2 23 4
41 4
41 2
41
27– –+
+ = + = + =
c) m = 33 = 1; y + 3 = x → y = x – 3
d) m = 31 5–+ = –2; y + 5 = –2x → y = –2x – 5
Unidad 9. Funciones elementales ESO
15
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5. Halla la ecuación, en cada caso, y represéntala:
a) Recta que pasa por (2, –3) y es paralela a la recta que pasa por (1, –2) y (– 4, 3).
b) Función de proporcionalidad que pasa por (– 4, 2).
c) Función constante que pasa por (18; –1,5).
a)•Lapendientedelarectaquepasaporlospuntos(1,–2)y(–4,3)es:
m = ( )4 1
3 255
– –– –
–= = –1
•Sidosrectassonparalelastienenlamismapendiente,portanto,larectabuscadatienependiente m = –1 → y = –x + n
•Larectapasapor(2,–3)→ –3 = –2 + n → n = –1
Por tanto, la recta que buscamos es y = –x – 1.
b)•Funcióndeproporcionalidad→ y = mx
•Pasapor(–4,2)→ 2 = m · (– 4) → m = – 21
Por tanto, la recta buscada es y = – 21 x.
c)•Funciónconstante→ y = n
•Pasapor(18;–1,5)→ –1,5 = n
Por tanto, la recta que buscamos es y = –1,5.
Y
X y = –1,5
y = –x – 1
a)
b)
c)
1y = – — x 2
6. Halla el valor de los parámetros a, b, c, d y e para que las rectas y los puntos cumplan las condiciones pedidas:
a) Que la recta que pasa por los puntos (4, 0) y (–2, a) tenga pendiente –1.
b) Que la recta y = bx + 2 pase por el punto (–3, 4).
c) Que las rectas de ecuaciones y = 3x + c e y = cx + 3 se corten en el punto de ordenada 2. ¿Cuál es la abscisa correspondiente?
d) Que los puntos (d, –2) y (4, e) pertenezcan a la recta de ecuación y = x21 3– .
a) ,8m nm n a m a n a4 0
2 6 32
– –+ =+ = = =3
Si m = –1 → –1 = – a6
→ a = 6
b) La recta y = bx + 2 pasa por (–3, 4) → 4 = b · (–3) + 2 → 3b = –2 → b = – 32
Unidad 9. Funciones elementales ESO
16
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c) y = 3x + c e y = cx + 3 se cortan en el punto de ordenada 2: 8x c
cxc x3 2
3 22 3–+ =
+ ==
3
(2 – 3x) · x + 3 = 2 → –3x 2 + 2x + 1 = 0 /xx
1 31–=
=
•x = – 31 → c = 2 – 3 · 3
1–c m → c = 3
En este caso son la misma recta: y = 3x + 3
•x = 1 → c = 2 – 3 · 1 → c = –1
Las rectas son y = 3x – 1 e y = –x + 3 y se cortan en el punto (1, 2).
d) (d, –2) pertenece a la recta y = 21 x – 3 → –2 = 2
1 · d – 3 → d = 2
(4, e) pertenece a la recta y = 21 x – 3 → e = 2
1 · 4 – 3 → e = –1
Funciones cuadráticas
7. Asocia a cada una de las gráficas una de las expresiones siguientes:
a) y = x 2
b) y = (x – 3)2
c) y = x 2 – 3
d) y = x 2 – 6x + 6
a) y = x 2 ↔ B
b) y = (x – 3)2 ↔ C
c) y = x 2 – 3 ↔ A
d) y = x 2 – 6x + 6 ↔ D
2 4 6–2
2
X
4
6
Y
A
CB
D
–2
8. Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores co-mo esta:
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y … … … … … … … … …
a) y = x 2 + 1 b) y = –x 2 + 4
c) y = –3x 2 d) y = 0,4x 2
a) y = x 2 + 1
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y 17 10 5 2 1 2 5 10 17
b) y = –x 2 + 4
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y –12 –5 0 3 4 3 0 –5 –12
Unidad 9. Funciones elementales ESO
17
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c) y = –3x 2
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y – 48 –27 –12 –3 0 –3 –12 –27 – 48
d) y = 0,4x 2
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y 6,4 3,6 1,6 0,4 0 0,4 1,6 3,6 6,4
a)
b)
c)
d)
1
1
1
1
9. Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos próximos a él y los puntos de corte con los ejes:
a) y = (x + 2)2 b) y = x 2 – 4x c) y = x x21 2 12 + + d) y = x 2 – 9
a) Vértice: (–2, 0)
Cortes con los ejes:
(–2, 0), (0, 4)
Otros puntos: (–1, 1), (–3, 1)
b) Vértice: (2, – 4)
Cortes con los ejes:
(0, 0), (4, 0)
Otros puntos: (5, 5), (–1, 5)
c) Vértice: (–2, –1)
Cortes con los ejes:
, , ,2 2 0 2 2 0– – –` `j j, (0, 1)
Otros puntos: , , ,1 27 5 2
7–c cm m
d) Vértice: (0, –9)
Cortes con los ejes:
y = (x + 2)2
y = x2 – 4x
y = x2 – 9
2,5–2,5–5–7,5 5 7,5
5
–5
–10
10
15
1y = —x2 + 2x + 1 2
(–3, 0), (3, 0), (0, –9)
Otros puntos: (–2, –5), (2, –5)
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18
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10. Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) donde se encuentra el vértice de las siguien-tes parábolas, señalando, en cada caso, si se trata de un máximo o de un mínimo. Des-pués, represéntalas.
a) y = 8 – x 2 b) y = 4 + (3 – x)2
c) y = –x 2 – 2x + 4 d) y = x x321 1– 2 +
e) y = x x4
1541
21– 2 + f ) y = x x
31 2 32 + +
a) Vértice: (0, 8), máximo b) Vértice: (3, 4), mínimo
c) Vértice: (–1, 5), máximo d) Vértice: ,3 211c m, máximo
e) Vértice: (1, 4), máximo f ) Vértice: (–3, 0), mínimo
y = 4 + (3 – x)2
y = –x2 – 2x + 4
y = 8 – x2
2,5–2,5–5–7,5–10 5 7,5 10
5
–5
–10
10
15
2,5–2,5–5–7,5–10 5 7,5 10
5
–5
–10
10
15
x2y = — + 2x + 3 3
1y = 3x – —x2 + 1 2
15 x2 xy = — – — + — 4 4 2
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11. Representa estas funciones cuadráticas:
a) y = (x – 5)2 b) y = x · (x – 5)
c) y = (x – 3) · (x + 3) d) y = 4 – (x – 2)2
a) y = (x – 5)2 → Es la traslación 5 unidades a la derecha de y = x 2.
Vértice: (5, 0)
Tabla de valores: x 2 3 4 5 6 7 8
y 9 4 1 0 1 4 9
Y
X
y = x2
y = (x – 5)2
b) y = x · (x – 5) → y = x 2 – 5x
Vértice:
Abscisa: p = 25 → Ordenada: f 2
5425–=c m → V ,2
5425–c m
Tabla de valores: x –1 0 1 2 2
5 3 4 5 6
y 6 0 – 4 – 6 254
– – 6 – 4 0 6
Y
X
y = x2 – 5x
c) y = (x – 3) · (x + 3) → y = x 2 – 9 → Es la traslación 9 unidades hacia abajo de y = x 2.
Vértice: (0, –9)
Tabla de valores: x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y 7 0 –5 –8 –9 –8 –5 0 7
Y
X
y = x2 – 9
y = x2
d) y = 4 – (x – 2)2 → Es la traslación 4 unidades hacia arriba y 2 a la derecha de y = –x 2.
Vértice: (2, 4)
Tabla de valores: x –1 0 1 2 3 4 5
y –5 0 3 4 3 0 –5
Y
X
y = –(x – 2)2 + 4
y = –x2
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12. Utiliza una escala adecuada y representa.
a) y = x100
2 b) y = –75x 2 + 675
c) y = 0,002x 2 – 0,04x d) y = –10x 2 – 100x
a) y = x100
2 → Vértice: (0, 0)
Tabla de valores: x –200 –150 –100 –50 0 50 100 150 200
y 400 225 100 25 0 25 100 225 400
Y
X5050
b) y = –75x 2 + 675
Vértice:
Abscisa: p = 1500
– = 0 → Ordenada: f (0) = 675 → V (0, 675)
Tabla de valores: x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y –525 0 375 600 675 600 375 0 –525
Y
X175
c) y = 0,002x 2 – 0,04x
Vértice:
Abscisa: p = ,,
0 0040 04 = 10 → Ordenada: f (10) = –0,2 → V (10; –0,2)
Tabla de valores: x –5 0 5 10 15 20 25
y 0,25 0 –0,15 –0,2 –0,15 0 0,25
Y
X5
0,1
d) y = –10x 2 – 100x
Vértice:
Abscisa: p = 20100– = –5 → Ordenada: f (–5) = 250 → V (–5, 250)
Tabla de valores: x –15 –10 –5 0 5
y –750 0 250 0 –750
Y
X5100
Unidad 9. Funciones elementales ESO
21
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Página 142
Otras funciones
13. Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas e indica el dominio de definición de ca-da una:
I) y = x2
1–
II) y = 3 – x 3
1–
III) y = 2 + x2 IV) y = –
x 31+
2 4
a)
–2–4
2
X
4Y
c)
–2–4
2X
–2
–4
–2
–4
Y
2 4 6
b)4
X
2
Y
2 4
d)
–2
2X
Y
I → d) Dom = Á – {2} II → b) Dom = Á – {3}
III → a) Dom = Á – {0} IV → c) Dom = Á – {–3}
14. Asocia a cada gráfica la fórmula que le corresponde e indica su dominio de defini-ción:
I) y = x 3– II) y = x – 3
III) y = 3 – x– IV) y = x3–
2
a)
c)
b)
d)
–2–4
2
X
Y
2 4 6
–2X
Y
2 4 6
2
X
Y
–2–4
2
X–6
Y
I → b) Dom = [3, +∞) II → c) Dom = [0, +∞)
III → d) Dom = (–∞, 0] IV → a) Dom = (–∞, 0]
Unidad 9. Funciones elementales ESO
22
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15. Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas:
I) y = 3x II) y = 1,5x
III) y = 0,4x IV) y = 0,7x
a b
2
2
4
6
4–4 –2 2
2
4
6
4–4 –2
2
2
4
6
8
4–4 –2 2
2
4
6
8
4–4 –2
c d
Di, en cada una de ellas, si es creciente o decreciente.
I → d) Creciente II → b) Creciente
III →c)Decreciente IV→a)Decreciente
16. Dibuja la gráfica de estas funciones, dando a x los valores que se indican en cada caso:
a) y = x3 ; x = –3; –1; –
21 ;
21 ; 1; 3 b) y = –
x3 ; x = –3; –1; –
21 ;
21 ; 1; 3
c) y = x5 ; x = –5; –1; –
21 ;
21 ; 1; 5 d) y = –
x2 ; x = –2; –1; –
21 ;
21 ; 1; 2
Todas las funciones son tales que:
•Dom f = Á – {0}
•Nocortanlosejesdecoordenadas.
•x = 0 es asíntota vertical.
•y = 0 es asíntota horizontal.
a) f (x) = x3 b) f (x) = – x
3
x –3 –1 –1/2 1/2 1 3
y –1 –3 – 6 6 3 1
x –3 –1 –1/2 1/2 1 3
y 1 3 6 – 6 –3 –1
3y = — x
3y = –— x
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c) f (x) = x5 d) f (x) = – x
2
x –5 –1 –1/2 1/2 1 5
y –1 –5 –10 10 5 1
x –2 –1 –1/2 1/2 1 2
y 1 2 4 – 4 –2 –1
5y = — x
2y = –— x
17. Indica cuáles son las asíntotas de las siguientes funciones y represéntalas gráfica-mente ayudándote de una tabla de valores:
a) y = x 3
1+
b) y = – x 1
3+
c) y = x1
1–
+ 2 d) y = x 1
1–
+ 2
a)Dominio=Á–{–3} b)Dominio=Á – {–1}
Asíntotas: x = –3, y = 0 Asíntotas: x = –1, y = 0
x – 6 –5 – 4 –2 –1 0
y –1/3 –1/2 –1 1 1/2 1/3
x – 4 –3 –2 0 1 2
y 1 3/2 3 –3 –3/2 –1
X
Yy = 1x + 3
X
Yy = –3
x + 1
X
Yy = + 2
X
Y 1x – 1y = + 21
1 – x
c)Dominio=Á–{1} d)Dominio=Á – {1}
Asíntotas: x = 1, y = 2 Asíntotas: x = 1, y = 2
x –2 –1 0 2 3 4
y 7/3 5/3 3 1 3/2 5/3
x –2 –1 0 2 3 4
y 5/3 3/2 1 3 5/2 7/3
X
Yy = 1x + 3
X
Yy = –3
x + 1
X
Yy = + 2
X
Y 1x – 1y = + 21
1 – x
Unidad 9. Funciones elementales ESO
24
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18. Ayúdate de una tabla de valores para representar gráficamente las siguientes funcio-nes e indica el dominio de definición de cada una:
a) y = x + 2 b) y = 2 – x
c) y = 2 x– d) y = – x–
A partir de la tabla de valores de y = x podemos representar las funciones:
x 0 1 4 9 16
√—x 0 1 2 3 4
a) y = x + 2 →Dominio=[0,+∞) b)y = 2 – x →Dominio=[0,+∞)
c) y = 2 x– →Dominio=(–∞,0] d)y = – x– →Dominio=(–∞,0]
Y
X
y = 2√—–x
y = – √—–x
y = √—x + 2
y = 2 – √—x
Y
X
y = –2 – 2√—–x
y = 2 + √—–x
y = –2 – √—x
y = 2√—–x + 2
19. Representa gráficamente estas funciones dando los valores que se indican en cada caso.
a) y = x2 – ; x = 2; –2; –7 b) y = 7 – x2 4+ ; x = –2; 0; 6
c) y = x– ; x = 0; –4; –9 d) y = 2 + x 3+ ; x = –3; 1; 6
a) y = x2 – b) y = 7 – x2 4+
x 2 –2 –7
y 0 2 3
x –2 0 6
y 7 5 3
c) y = x– d) y = 2 + x 3+
x 0 – 4 –9
y 0 2 3
x –3 1 6
y 2 4 5
Y
X
y = √—2 – x
y = √—–x
y = 2 + √—x + 3
y = 7 – √—2x + 4
Unidad 9. Funciones elementales ESO
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20. Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores (ayúdate de la calculadora):
a) y = 2x b) y = 3x + 1
c) y = 32 1
x+d n d) y = 20,5x
e) y = 1,24x f ) y = 41
, x0 5d n
a) y = 2x b) y = 3x + 1
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y 1,037 ,1 1!
,1 3!
2 4 10 28
y = 3x + 1
y = 2x
c) y = 32 1
x+c m d) y = 20,5x
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y 4,375 3,25 2,5 2 ,1 6!
,1 4!
1,296
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y 0,25 0,35 0,5 0,71 1 1,41 2 2,83 4
y = 20,5x
2y = (—)x + 1
3
e) y = 1,24x f ) y = 41 , x0 5c m →
41 , x0 5c m> H → 1
2
xc m
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y 0,11 0,23 0,48 1 2,07 4,3 8,92
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,06
y = 1,24x
1y = (—)0,5x
4
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21. Representa cada par de funciones sobre los mismos ejes coordenados. ¿Qué relación hay entre ellos?
a) y = 31
xd n ; y = 3x b) y = 0,25x; y = 4x
a) y = 31
xc m
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y = (1/3)x 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27
y = 3x x –3 –2 –1 0 1 2 3
y = 3x 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27
b) y = 0,25x → y = 41 xc m
x –2 –1 0 1 2
y = 0,25x 16 4 1 1/4 1/16
y = 4x x –2 –1 0 1 2
y = 4x 1/16 1/4 1 4 16
Y
X
y = 3x y = 4xy = 0,25x 1y = (—)x
3Y
X
Sus gráficas son simétricas respecto al eje de ordenadas.
Unidad 9. Funciones elementales ESO
27
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Página 143
Resuelve problemas22. a) Calcula b y c para que el vértice de la parábola y = x 2 + bx + c esté en el punto
(3, 1).
b) ¿Cuál es su eje de simetría?
c) ¿Cuáles son sus puntos de corte con los ejes?
a) Vértice en x = 3 → – ab2 = 3 → –b = 6a = 6 → b = – 6
Pasa por (3, 1) → 1 = 9 – 18 + c → c = 10
y = x 2 – 6x + 10
b) Su eje de simetría es x = 3.
c) Cortes con los ejes:
x = 0 → y = 10 → Punto (0, 10)
x 2 – 6x + 10 = 0 → x = ±2
6 36 40– →Notienesolución,portanto,nocorta al eje X.
23. La parábola y = ax 2 + bx + c pasa por el origen de coordenadas. ¿Cuán-to valdrá c ?
Si, además, sabemos que pasa por los puntos (1, 3) y (4, 6), halla a y b y representa la parábola.
c = 0 y = ax 2 + bx
( , )( , )
/( ) /
88
88
a ba b
a b ab b b
1 34 6
36 16 4
3 1 26 16 3 4 7 2
– ––
= += +
= == + =
4
y = – x x21
272 +
X
Y
1 4
3
6
24. Calcula a y b para que la función y = x b
a–
pase por los puntos (2, 2) y (–1, –1).
ba
ba
22
11
–
–– –
=
=
_
`
a
bb
bb
8a ba b
b b ba y x
4 21
1 4 2 12 1
2– ––
== +
+ = == =3 3
Unidad 9. Funciones elementales ESO
28
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
25. La gráfica de una función exponencial del tipo y = ka x pasa por los puntos (0, 3) y (1; 3,6).
a) Calcula k y a.
b) ¿Es creciente o decreciente?
c) Representa la función.
a) Si pasa por el punto (0, 3) → 3 = ka0 → k = 3
Si pasa por el punto (1; 3,6) → 3,6 = ka1 → 3,6 = 3a → a = 1,2
Tenemos la función: y = 3 · 1,2 x
b) Es una función creciente.
c) Hacemos una tabla de valores:
x –2 –1 0 1 2 3
y 2,08 2,5 3 3,6 4,32 5,18 1
6
3–3 –1
3
X
Y
26. Con un listón de madera de 3 metros de largo, queremos fabricar un marco para un cuadro.
a) Si la base midiera 0,5 m, ¿cuánto mediría la altura? ¿Y la superficie del cuadro?
b) ¿Cuál es el valor de la superficie para una base cualquiera x ?
c) ¿Para qué valor de la base se obtiene la superficie máxima? ¿Cuánto vale dicha super-ficie?
a) Perímetro = 3 m → base + altura = 1,5 m
base = 0,5 m → 0,5 + altura = 1,5 → altura = 1 m
Área = base · altura → Área = 0,5 · 1 = 0,5 m2
b) Perímetro = 3 m → base + altura = 1,5 m
base = x → x + altura = 1,5 → altura = 1,5 – x
Área = base · altura → A (x) = x · (1,5 – x) → A (x) = –x 2 + 1,5x
c) ( ) ,
( )8 8A x x xa
A x1 5
1 0– función cuadrática
– tiene las ramas hacia abajoalcanza el máximo en su vértice
<
2= +=
4
Vértice:
, ,
( , ) , · , ,( , ; , )8
x ab x
y2 8 2
1 5 0 75
0 75 1 5 0 75 0 56250 75 0 5625
––
–
–Vértice:
2
= = =
= + =4
La superficie es máxima cuando la base mide 0,75 m, siendo dicha superficie máxima 0,5625 m2.
Unidad 9. Funciones elementales ESO
29
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
27. El sueldo inicial de Ana es de 24 000 € anuales. En su contrato de trabajo figura que subirá un 8 % anual.
¿Cuánto ganará dentro de 10 años? Escribe la función que relaciona el sueldo con el tiempo.
El sueldo inicial es 24 000 €.
Al cabo de un año será 24 000 · 1,08 y al cabo de dos años será 24 000 · 1,082.
Es decir, al cabo de 10 años será 24 000 · 1,0810 = 51 814,20 €.
La función que relaciona el sueldo con el tiempo es:
s (t ) = 24 000 · 1,08t
28. El coste por unidad de fabricación de un tipo de cajas disminuye según el número de unidades fabricadas y viene dado por la función:
y = ,x
x0 3 1 000+
a) ¿Qué valores toma la variable independiente, x ?
b) Calcula el coste por unidad y el coste total para fabricar 10 cajas. Haz lo mismo para 100 000 cajas.
c) ¿A cuánto crees que se acerca el coste por unidad cuando el número de cajas se hace muy grande?
a) x toma valores naturales.
b)•Para10cajas:
Coste por unidad = 103 1000+ = 100,3
Coste total de 10 unidades = 1 003
•Para100000cajas:
Coste por unidad = 100 00030 000 1000+ = 0,31
Coste total de 100 000 unidades = 31 000
c) El coste por unidad se acerca a 0,3.
Unidad 9. Funciones elementales ESO
30
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
29. En una piscina hay un trampolín a 8 m del agua. Esther lanza una pelota rodando y cae al agua a 12 m de la vertical del trampolín.
8 m
O 12 m
Escribe la ecuación de la trayectoria descrita por la pelota desde que sale del trampolín hasta que toca el agua. Da su dominio de definición.
La trayectoria es una parábola y = ax 2 + bx + c con su vértice en el punto de caída. Toma O como centro de coordenadas y ten en cuenta que el vértice es (0, 8).
resolución 1
Tomando el centro de coordenadas en el punto O, el vértice de la parábola es (0, 8). La ecuación de la parábola queda así:
, 8y ax b
x y b0 8 8Para
2= += = =
4 y = ax 2 + 8
(0, 8)
O (12, 0)
Calculamos el valor de a sabiendo que pasa por (12, 0):
0 = a · 122 + 8 → a = –1448
181–=
La ecuación de la trayectoria es y = – 181 x 2 + 8, definida en [0, 12].
resolución 2
En la resolución anterior se ha tenido en cuenta que la trayectoria es una parábola con su vér-tice en el punto de caída. Resolvámoslo, ahora, como lo haría un físico, teniendo en cuenta, solamente, las leyes del movimiento:
Tiempo que tarda en caer 8 m: (movimiento uniformemente acelerado. Aceleración, g):
21 gt 2 = 8. Tomamos g = 10 m/s2 → 5t 2 = 8 → t = 5
8
¿A qué velocidad rueda la pelota por el trampolín? Tengamos en cuenta que, a esa velocidad,
recorre 12 m en 58 s (componente horizontal).
Movimiento uniforme e = v · t → 12 = v · 58 → v =
/8 512
Obtengamos la ecuación de la trayectoria tomando O como origen de coordenadas:
:/
:
/ /
·
8x t
y t
t x t x x
y x x
8 512
8 5
128 5
1448 5
901
8 5 901 8 18
1
Comp. horizontal
Comp. vertical – – –2
2 2 2
2 2
=
=
= = =
= =
_
`
a
bb
bb
Hemos obtenido la trayectoria y = 8 – 181 x 2, la misma que antes como es natural.
Unidad 10. Geometría ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
1 El teorema de Pitágoras
Página 147
1. Calcula la longitud del segmento representado por cada letra en estos triángulos:
a 2 = 122 + 52
a 2 = 144 + 25
a 2 = 169
a = 169 = 13 cm
a a5 cm
24 cm
b = 20 – 5 = 15 m d 2 = 152 + 9,82
112 = c 2 + 52 d 2 = 225 + 96
121 = c 2 + 25 d 2 = 321
c 2 = 121 – 25 d = 321
c = 96 = 9,8 m d = 17,9 m
d
a a
b
c
5 m
5 cm
11 m
20 m
24 cm
2. Una escalera de mano, de 2,5 m de longitud, está apoyada en una pared, separándose, en su base, 50 cm de la misma. ¿A qué altura toca la pared?
2,52 = x 2 + 0,52
6,25 = x 2 + 0,25
x 2 = 6,25 – 0,25 = 6 → x = 6 = 2,45 mx
0,5 m
2,5 m
3. ¿Cuál es la distancia entre los puntos T1 y T2 de las azoteas de los dos edificios?
35 m
21 m
T1
T2
56 m
d 2 = 142 + 562
d 2 = 196 + 3 136 = 3 332
d = 3 332 = 57,72 m
Td
1
T2
56 m
35 – 21 = 14 m
Unidad 10. Geometría ESO
2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 148
4. En la azotea de un rascacielos se ha construido una pla-taforma circular, de 27 m de diámetro, que soporta un helipuerto como indica la ilustración.
¿Cuál es el radio del círculo interior que marca la zo-na de aterrizaje, si los vértices del cuadrado están a dos metros del borde de la plataforma?
Como indica el dibujo de la “Ayuda”, la diagonal del cuadrado mide k = 27 – 4 = 23 metros.
Conocida la diagonal, calculamos el lado:
232 = x 2 + x 2
529 = 2x 2
x 2 = 264,5
x = ,264 5 = 16,26 m
El radio del círculo es la mitad del lado, que coincide con el diámetro, luego será:
r = ,2
16 26 = 8,13 metros
5. El zócalo de un pasillo de 28 metros de longitud, se va a rematar con el friso que muestra la ilustración, construido con baldosines cuadrados de 10 cm de lado.
¿Cuántos baldosines azules y cuántos blancos se necesitan para la confección del friso?
De acuerdo con el dibujo de la “Ayuda”, en este trozo de friso hay un baldosín azul y otro blanco.
Para calcular la anchura, x, de ese trozo de friso usamos el teorema de Pitágoras:
102 = xx22
22+b bl l → 100 = x
22
→ x = 200 = 14,14 cm
Como el zócalo del pasillo tiene 28 m = 2 800 cm de longitud, habrá ,14 14
2 800 ≈ 198 trozos de friso como este, es decir, 198 baldosines blancos y otros tantos azules.
6. Para la decoración de la entrada de un hotel, se va a instalar una fila de cinco módulos-jardinera de planta hexagonal re-gular, como indica la figura: x
Sabiendo que el lado de cada módulo mide 0,60 m, ¿qué longitud tendrá la fila?
Vamos a calcular la apotema del hexágono tal y como nos indica la “Ayuda”. Para eso utiliza-mos el hecho de que en un hexágono regular el radio es igual al lado. Por tanto:
0,62 = a 2 + 0,32
0,36 = a 2 + 0,09 → a 2 = 0,36 – 0,09 = 0,27
a = ,0 27 = 0,52 m
La longitud de la fila será x = 2a · 5 = 2 · 0,52 · 5 = 5,2 metros.
Unidad 10. Geometría ESO
3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
7. En la plazoleta del parque se ha abierto una zanja recta para llevar el agua desde la toma, T, hasta las bocas de riego R1 y R2.
20 m 30 mT
R1 R2
¿Cuántos metros de tubería se necesitarán, si la boca R1 está en el punto medio de la lon-gitud de la zanja?
Utilizando el dibujo de la “Ayuda”, tendremos:
352 = x 2 + 152
1 225 = x 2 + 225
x = 1 000 = 31,623 m
luego la tubería tendrá 2 · 31,623 ≈ 63,25 metros.
Unidad 10. Geometría ESO
4
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 149
8. Una torre cilíndrica de 18,84 m de circunferencia y 15 m de altura está co-ronada por un tejado en forma de cono que la eleva otros 4 m.
¿Cuántos metros mide el cable que sube desde tierra hasta el pararrayos colocado en el vértice del tejado?
Calculamos el radio de la circunferencia: L = 2πr
18,84 = 2 · 3,14 · r → r = 3 m
Por tanto: x 2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 → x = 25 = 5 m
Luego la longitud del cable es 15 + 5 = 20 metros.
9. Un tanque cilíndrico de agua, con un diámetro de 20 m y una al-tura de 7 m, tiene una escalera, adosada a la pared, que sube desde el suelo hasta el borde superior.
¿Cuál es la longitud de la escalera si, mientras sube, cubre un cuar-to de vuelta alrededor del depósito?
Ayudándonos del dibujo:
· , ·πr4
24
2 3 14 10= = 15,7 m
x 2 = 72 + 15,72 = 49 + 246,49 = 295,49
x = ,295 49 = 17,19 ≈ 17,20 metros de longitud tiene la escalera.
x 7 m
2πr—4
10. Se van a instalar columpios en un parque in-fantil, según el modelo de la ilustración. ¿Qué longitud deben tener los tirantes para que los asientos queden a 60 cm del suelo?
2,20 m
2 m
3,16
m
3 m
Vamos a calcular k, n y h como nos dice la “Ayuda”:
•3,162 = k 2 + 12
9,9856 = k 2 + 1 → k 2 = 9,9856 – 1 = 8,9856 → k = ,8 9856 ≈ 3 m
•n = ,2
3 2 20– = 0,4 m
•32 = 0,42 + h2
9 = 0,16 + h2 → h2 = 9 – 0,16 = 8,84 → h = ,8 84 = 2,97 m
Por tanto, como los asientos están a 0,6 m del suelo, los tirantes deben tener una longitud de 2,97 – 0,6 = 2,37 metros.
Unidad 10. Geometría ESO
5
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 Semejanza
Página 150
1. Las figuras A, B y C son semejantes.
a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre A y B? ¿Y entre B y A? ¿Y entre B y C?
b) Copia sobre una cuadrícula la figura C y dibuja una reproducción, D, de forma que la razón de semejanza entre C y D sea 2/3.
a) La razón de semejanza entre A y B es 108 = 0,8.
La razón de semejanza entre B y A es 810 = 1,25.
La razón de semejanza entre B y C es 1210
65= = 0,83.
AB
C
b)
C
D
2. Estas dos figuras son semejantes y la razón de semejanza es 0,8. Calcula x, y, z y t.
x = 13 · 0,8 → x = 10,4
y = 11,7 · 0,8 → y = 9,36
z · 0,8 = 8 → z = 10
t · 0,8 = 5,6 → t = 7
138
5,611,7
t
z x
y
3. Sabiendo que él mide 1,83 m, ¿cuánto mide ella?
En el dibujo, el chico mide 4,5 cm, y la chica, 4 cm.
La razón de semejanza es 4 : 4,5 = 0,88
La chica mide 0,88 · 1,83 = 1,61 m.
Unidad 10. Geometría ESO
6
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 151
4. Este es el plano de una parte de cierta ciudad, a escala 1:20 000:
A
B
C
Estima cuánto se tarda en ir paseando, por el itinerario más corto, desde A hasta C, pa-sando por B, suponiendo que se camina a 3 km/h.
1 cm del plano equivale a 20 000 cm = 200 m en la realidad.
Medimos el camino sobre el mapa:
2 + 2,8 + 1,2 + 2,2 + 1,1 = 9,3 cm
9,3 · 20 000 = 186 000 cm = 1,86 km
t = ,ve
31 86= = 0,62 h = 0,62 · 60 min = 37,2 min ≈ 37 min
5. Sabiendo que Barcelona está a 1 000 kilómetros de Lisboa, o que Burdeos se encuentra a 1 600 kilómetros de Marrakech:
Casablanca
Agadir
Sidi Ifni
Fez
Marrakech Santa Cruzde Tenerife
Las Palmas deGran Canaria
Tánger
Cádiz
Tetuán
Málaga
Almería
Granada
Toulouse Oviedo
León Vitoria-Gasteiz
Logroño
Tarragona
BurgosPamplona
Lleida
AlicanteMurcia
AlbaceteCastellón de la Plana
Valladolid
Santander
Palma deMallorca
CórdobaHuelva
Badajoz
Jaén
Salamanca
BurdeosLyon
Oporto
Ceuta
Melilla
Nador
A Coruña
OurenseBilbao San Sebastián
Orán
Marsella
Zaragoza
Sevilla
Valencia
Andorrala Vella
Argel
Rabat
Lisboa MadridBarcelona
ToledoCiudad Real
Ávila
Zamora
Palencia
SoriaHuesca
Girona
LugoPontevedra
Segovia
CuencaTeruel
GuadalajaraCáceres
A R G E L I A
F R A N C I A
P O R T U G A L
E S P A Ñ A
ANDORRA
M A R R U E C O S(ESPAÑA)Canarias
(PORTUGAL)Azores
OC
É
AN
O
AT
LÁ
NT
IC
O
Unidad 10. Geometría ESO
7
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
a) ¿A qué escala está dibujado el mapa?
b) ¿Cuál es la distancia entre Santander y Cádiz? ¿Y entre Cádiz y Santa Cruz de Tenerife?
c) Busca alguna ciudad que esté aproximadamente a 400 km de Almería.
d) Busca las dos capitales de provincia más alejadas en la España peninsular y calcula la distancia que las separa.
a) La distancia en el mapa de Lisboa a Barcelona es de 5 cm.
La distancia real de Lisboa a Barcelona es de 1 000 km = 100 000 000 cm = 108 cm.
1 cm en el mapa equivale a 5108
= 20 000 000 cm en la realidad.
Es decir, la escala es 1 : 20 000 000
b) Santander-Cádiz en el mapa mide 4 cm.
Santander-Cádiz en la realidad será 4 · 20 000 000 = 80 000 000 cm = 800 km
Cádiz-Santa Cruz de Tenerife en el mapa mide 6,5 cm.
Cádiz-Santa Cruz de Tenerife en la realidad será 6,5 · 20 000 000 = 130 000 000 cm = 1 300 km
c) 400 km = 40 000 000 cm; 40 000 000 : 20 000 000 = 2 cm
Tenemos que buscar alguna ciudad que esté en el mapa a 2 cm de Almería (trazamos una circunferencia de 2 cm de radio centrada en Almería). Por ejemplo, Castellón de la Plana, Madrid, Teruel, Huelva…
d) Las dos capitales de provincia dentro de la España peninsular más alejadas son Cádiz y Gi-rona.
Distan en el mapa unos 5 cm, que equivalen a 5 · 20 000 000 = 100 000 000 cm = 1 000 km.
Unidad 10. Geometría ESO
8
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3 Semejanza de triángulos
Página 152
1. ¿Verdadero o falso?
Dos triángulos son semejantes si:
a) Tienen dos ángulos iguales.
b) Son rectángulos y tienen un lado en común.
c) Son rectángulos y tienen igual un ángulo agudo.
d) Los lados son paralelos dos a dos.
e) Se pueden colocar de forma que uno de los ángulos del menor quede encajado en un ángulo del mayor.
f ) Tienen un ángulo en común y los correspondientes lados opuestos paralelos.
g) Se pueden colocar en posición de Tales.
a) Verdadero b) Falso c) Verdadero d) Verdadero
e) Falso f ) Verdadero g) Verdadero
2. Calcula el valor de m y n.
7
55,2n
m
2
m57
2= → 14 = 5m → m = 514 = 2,8
,n5
7 5 2= → 26 = 7n → n = 726 = 3,7
3. Observa el triángulo amarillo y el triángulo verde:
¿Se pueden colocar en posición de Tales? ¿Cómo? ¿Son semejantes? Justifica tus respuestas.
Se pueden colocar en posición de Tales porque son rectángulos y tienen el ángulo agudo menor igual. Por tanto, son semejantes.
Unidad 10. Geometría ESO
9
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 153
4. Micaela, que mide 1,60 m, se sitúa frente a la valla próxima a un edificio de modo que ve alineadas la parte alta de la valla y la del edificio. Después, señala su posición y toma las medidas que ves en el dibujo.
D
E
AB
C
7 m
3 m
1,6
m
2 m
Y con esos datos, dice que puede calcular la altura del edificio. ¿Podrías hacerlo tú?
BC = 3 – 1,6 = 1,4 m
AD = 2 + 7 = 9 m
Por tanto: ,x
91 42= → x = 6,3 m
La altura del edificio es 6,3 + 1,6 = 7,9 m.
5. Eva ve desde su casa el depósito de agua del pueblo, y quie-re averiguar a qué distancia se encuentra. Para conseguirlo, elige un punto C, cerca de casa. Después, mide:
— Los ángulos A^
= 62° y C^
= 105°.
— La distancia AC = 45 m.
Con esos datos, halla la distancia AB que busca Eva.
A
B
C
La razón de semejanza entre ABC y A'B'C' es 1 000.
La medida de ' 'A B sobre el cuaderno es de unos 19,3 cm.
La distancia AB es de unos 19,3 · 1 000 = 19 300 cm = 193 metros.
6. Una linterna ilumina un tablero cuadrado, pro-yectando una sombra, también cuadrada, sobre la pantalla que tiene detrás.
Si el lado del tablero mide 18 cm, ¿cuáles son las dimensiones de la sombra?
AF A'
B'B
50 cm 70 cm
Los triángulos FAB y FA'B' son semejantes porque están en posición de Tales.
Aplicamos Tales utilizando los lados AB y A'B' y las alturas del triángulo:
' 'A B120
50 18= → A'B' = 43,2 cm
Unidad 10. Geometría ESO
10
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 154
7. Cortando las cuatro esquinas de una plancha cuadrada de madera, de un metro de lado, se quiere obtener un tablero de una mesa con forma de octógono regular.
1 m
¿Qué dimensiones deben tener las esquinas?
La primera ecuación refleja las relaciones de proporcionalidad entre los lados de los dos trián-gulos coloreados.
=xy
x y21
2 1+ =
Z
[
\
]]
] → x y
x y2 02 1
––
+ =+ =*
(2 + 2)y = 1 → y =
2 21+
= 0,293 m → 293 mm medirán los catetos
x + 2 · 0,293 = 1 → x = 1 – 0,586 = 0,414 m = 414 mm medirá la hipotenusa.
8. Observa la propuesta de un taller de diseño en el proyecto de una vidriera hexagonal de un metro de lado:
A D
B C
F E
K
Las piezas se cortarán de láminas de cristal de distintos colores.
¿Cuánto miden los lados AC, CF, CK, FK, DK y EK ?
•CF es igual a dos veces el radio del hexágono, que es igual al lado. Luego CF = 2, por tanto:
AC AC ACAF CF 1 2 4 1 3–2 2 22 2 2+ = + = = =
•Comolosdostriángulossonsemejantesconrazón31 :
·CK3 3
22 1= = m ·DK 131
31= = m
8FK FKDF KD AC KD KD3 3
23 3 1– – – –= = = = = m
8ACEK CE CK CK EK CK3 33 32 1– – – –= = = = = m
Unidad 10. Geometría ESO
11
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
9. En este triángulo se han trazado las medianas (segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto). Así, el punto M es el baricentro.
Mm
n
Justifica la propiedad de las medianas: el baricentro, , divide a cada mediana en dos seg-mentos, uno doble del otro (m = 2n).
Los triángulos son semejantes porque sus lados son paralelos y por tanto sus ángulos son iguales.
Su razón de semejanza es 12 y por tanto, al ser n = y, resulta:
my
mn
21 = = → m = 2n
Unidad 10. Geometría ESO
12
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4 Una proporción interesante: la proporción cordobesa
Página 155
1. Justifica la siguiente afirmación:
Cualquier triángulo acutángulo e isósceles, con un ángulo de 45°, es un triángulo cordo-bés.
Porque en un triángulo acutángulo e isósceles, si uno de sus ángulos mide 45°, este es nece-sariamente el ángulo desigual, ya que si no lo fuese, el ángulo desigual debería medir 90° y el triángulo sería rectángulo, no acutángulo.
Por tanto, verifica las condiciones del triángulo cordobés: es isósceles y el ángulo opuesto al lado desigual (el ángulo desigual) mide 45°.
Unidad 10. Geometría ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 156
2. Justifica que el triángulo coloreado en el octógono es un triángulo cordobés.
Es un triángulo isósceles, puesto que los lados que forman el ángulo α son dos diagonales iguales del octógono.
Además, si trazamos la circunferencia circunscrita al octógono, α sería el ángulo inscrito co-
rrespondiente a un ángulo central que mide °8
360 · 2 = 90° (ya que abarca tres vértices del
octógono), por tanto α = 290 = 45°.
Verifica entonces la afirmación del ejercicio anterior que aseguraba que cualquier triángulo acutángulo isósceles, con un ángulo de 45° es un triángulo cordobés.
3. Explica por qué el triángulo rojo construido como se indica en el dibujo, con una hoja A-4, es un triángulo cordobés.
DOBLAR
Como al doblar se forma un cuadrado de lado 1, su diagonal mide 2.
La mitad de un ángulo recto son 45°.
Ya que /
aa112
= → a22
= 1 → a = 2
√—2
√—a
1 1
45°
Luego es un triángulo acutángulo isósceles con ángulo desigual 45°, por tanto, un triángulo cordobés.
Unidad 10. Geometría ESO
14
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4. Explica por qué el rectángulo coloreado es un rectángulo cordobés.
La altura del rectángulo coincide con el lado del octógono regular, puesto que es el radio de la circunferencia que se traza tomando como medida ese lado.
La base del rectángulo coincide con el radio del octógono regular.
Por tanto, la relación entre la altura y la base del rectángulo coincide con la relación entre el lado y el radio del octógono regular. El rectángulo es cordobés.
5. El mosaico que ves debajo se encuentra en la Alhambra de Granada. ¿Encuentras en él la proporción cordobesa?
El triángulo ABC es isósceles, puesto que los lados iguales se corresponden con los lados del octógono regular.
El ángulo β es el ángulo interior de un octógono regular, y
mide ° ·8
180 6 = 135°.
Cada uno de los ángulos iguales del triángulo mide:
135° : 2 = 67,5°
y el desigual:
180° – 135° = 45°
Son, por tanto, dos triángulos cordobeses unidos por el lado desigual. Es un diamante cordobés.
A B
67,5°67,5°
ll
ll
A B
C
C
α
β
Unidad 10. Geometría ESO
15
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5 Áreas y volúmenes de figuras semejantes
Página 158
1. La ilustración muestra una porción del plano de una ciudad, representado a escala 1:30 000.
a) ¿Qué superficie ocupa el parque en el plano?
b) ¿Cuál es su superficie real en metros cuadrados?
a) En el plano, el parque mide 1,3 cm de ancho y 3,4 cm de alto.
Aplano = 1,3 · 3,4 = 4,42 cm2
b) La razón entre las superficies es 30 0002 = 900 000 000 = 9 · 108.
Areal = 4,42 · 9 · 108 cm2 = 39,78 · 108 cm2 = 397 800 m2
2. Con este mapa, y sabiendo que la distancia en línea recta entre Almería y A Coruña es de 885 km, haz una estimación de la superficie de la península ibérica.
Después, busca la superficie real en Internet y cotéjala con la que has calculado.
Midiendo sobre el mapa, 5 cm se corresponden con los 885 km = 88 500 000 cm marcados.
Así, 1 cm del plano equivale a 88 500 000 : 5 = 17 700 000 cm en la realidad.
La razón entre las superficies es 17 700 0002 = 3,1329 · 1014.
Trazamos en el mapa un trapecio que abarque, aproximada-mente, la superficie de la península ibérica.
885 km
Tomamos las medidas aproximadas sobre él (base mayor = 5,7 cm; base menor = 3,5 cm; altura = 4,2 cm) y calculamos el área:
Amapa = , ,2
5 7 3 5+ · 4,2 = 19,32 cm2
Areal = 19,32 · 3,1329 · 1014 = = 6,053 · 1015 cm2 ≈ 600 000 km2
(El área es más o menos aproximada, depende del trapecio trazado.)
885 km
Unidad 10. Geometría ESO
16
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3. Cinco jardineras de planta hexagonal regular, adosadas como muestra la ilustración, ha-cen una fila de cinco metros de largo.
5 m
a) ¿Qué superficie ocupa cada jardinera?
b) ¿Cuál es el área del rectángulo que las contiene?
a) La apotema de cada hexágono mide 5 : 5 : 2 = 0,5 m.
Calculemos el lado, x.
x 2 – x2
2b l = 0,52 → x 2 – x
42
= 0,25 → x4
3 2 = 0,25 → x 2 = 3
1 → x = 31 ≈ 0,577 m
Ajardinera = , ,2 2
6 0 577 0 5· ·Perímetro · Apotema = = 0,87 m2
b) Arectángulo = 5 · (0,577 · 2) = 5,77 m2
Unidad 10. Geometría ESO
17
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 159
4. Cortando las cuatro esquinas de un tablero de madera de un metro de lado, se ha obteni-do el tablero de una mesa octogonal regular:
1 m
¿Qué superficie tiene el tablero de la mesa?
En el problema 7 de la página 154 se calculó el lado del octógono x = 414 mm.
La apotema será la mitad del lado del tablero, 1 : 2 = 0,5 m = 500 mm.
A = 2 23 312 500erímetro · potema ·P A = = 828 000 mm2 = 82,8 dm2
5. Se va a decorar la pista circular de un circo, de 12 m de ra-dio, pintando en el suelo el siguiente diseño:
Si con cada bote de pintura se pueden colorear diez metros cuadrados, ¿cuántos botes de cada color se van a necesitar?
x 2 = 62 + x2
2b l = 36 + x
42
x 2 – x42
= 36
x4
3 2 = 36 → 3x 2 = 144 → x 2 = 48 → x = 48 = 6,9 mx—
2
6x
Luego: Área triángulo = · ,b2 2
6 6 9h ·= = 20,7 m2
•Pinturaamarilla:necesitamospintar20,7 ·6=124,2m,comoconcadabote sepueden
colorear 10m2, necesitaremos ,10
124 2 = 12,42 botes, es decir, 13 botes de pintura amarilla.
•Pinturaroja:comoeslamismasuperficiequelapinturaamarilla,seistriángulos,necesitamosla misma cantidad, 13 botes de pintura roja.
•Pinturaverde:
Área círculo = π · r 2 = 3,14 · 122 = 452,16 m2
El área de 12 triángulos será: 20,7 · 12 = 248,4 m2
Luego necesitamos pintar 452,16 – 248,4 = 203,76 m2 de pintura verde, como con cada
bote se pueden colorear 10 m2, necesitaremos ,10
203 76 = 20,376 botes, es decir, 21 botes de
pintura verde.
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6. Calcula la superficie de la finca vallada sabiendo que los ángulos VAD% y BCD% son rectos.
156 m
64 m
144 m
A
B
CD
V
Aplicando el teorema de Pitágoras en VAD& :
AD 2 = 1562 – 1442 → AD = 3 600 = 60 m
Los triángulos VCB& y VAD& son semejantes:
BC60
144 64156=
+ → BC = ·
15660 208 = 80 m
VC144
208156= → VC =
156208144 · = 192 m
A 2192 80·
VCB =& = 7 680 m2
A 2144 60·
ADB =& = 4 320 m2
Afinca vallada = 7 680 – 4320 = 3 360 m2
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Página 160
7. Un fabricante de cerillas presenta su producto en cajitas de 25 unidades y las distribuye en cajas grandes de cartón, con las formas y tamaños que ves en la ilustración.
20 cm
20 cm30 cm
1 cm4 cm 3 cm
a)¿Cuántas cajitas de cerillas lleva cada caja-envase?
b) ¿Cuál es el área de la plantilla de cartón con la que se fabrica cada caja, si las solapas aumentan en un 20 % la superficie teórica?
a)
20 cm
20 cm
30 cm
1 cm 4 cm3 cm
En la posición indicada en el gráfico, caben 10 cajitas a lo ancho y 5 en profundidad; es de-cir, 50 de ellas en cada capa. A lo alto caben 20 capas. En total, caben 50 · 20 = 1 000 cajitas de cerillas.
b)
30 cm 20 cm 30 cm 20 cm
20 cm
20 cm
20 cm
Steórica = 4 · 30 · 20 + 2 · 20 · 20 = 2 400 + 800 = 3 200 cm2
Añadimos un 20 % por las solapas, y la superficie de cartón necesaria es:
Scaja = 3 200 · 1,20 = 3 840 cm2
Unidad 10. Geometría ESO
20
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
8. Un torreón circular está coronado por un tejado de pizarra en forma de cono, de 10 m de diámetro en la base y 12 m de altura.
10 m
12 m
¿Cuánto costará renovar la cubierta, si se ha contratado a 85 € el metro cuadrado?
h2 + r 2 = g 2 → 122 + 52 = g 2 → g = 169 = 13
A = π · r · g = 3,14 · 5 · 13 = 204,1 m2
Como cuesta 85 € el metro cuadrado, costará 204,1 · 85 = 17 348,50 €.
9. El pozo para riego de una huerta tiene una profundidad de siete metros y un diámetro de tres metros. El hortelano comprueba que hoy, para alcanzar a ver el agua, debe colocarse a menos de metro y medio del borde.
¿Cuáles son hoy las reservas de agua del pozo, sabiendo que el hortelano mira desde una altura de 1,80 m?
Como los triángulos son semejantes:
,,x
11 8035= → x = 3,6 m
y = 7 – 3,6 = 3,4 m
Volumen cilindro = Abase · h = 3,14 · 1,52 · 3,4 = 24,021 m3 de agua.
Unidad 10. Geometría ESO
21
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 161
10. La masa de este tornillo es 52 gramos:
20 mm
11 mm
12 mm 50 mm
¿Cuál es la densidad del acero utilizado en su fabricación?
(nota: densidad = masa/volumen)
Apotema = 10 mm → x 2 = 102 + x2
2b l → x 2 = 3
400 → x = 11,55 mm
A = ,2 2
6 11 55 10erímetro · potema · ·P A = = 346,5 mm2
Vprisma = Abase · h = 346,5 · 12 = 4 158 mm3
Vcilindro = Abase · h = π · r 2 · 50 = 3,14 · 5,52 · 50 = 4 749,25 mm3
Vtotal = 4 158 + 4 749,25 = 8 907,25 mm3 = 8,90725 cm3
Densidad = ,8 9072552 = 5,84 g/cm3
11. ¿Cuántos litros contiene este depósito cuando está lleno?
nota: La columna inferior no almacena agua.
14 m
2
10 m
10 +
x
x
16 m
4 m
7
Los dos triángulos coloreados son semejantes, pueden ponerse en posición de Tales:
xx
72
10= + → 20 + 2x = 7x → 5x = 20 → x = 4
Vcono grande = 31 πR 2H = 3
1 π · 72 · 14 ≈ 718,01 m3
Vcono pequeño = 31 πr 2h = 3
1 π · 22 · 4 ≈ 16,75 m3
Vtronco de cono = 718,01 – 16,75 = 701,26 = 701 260 litros.
Unidad 10. Geometría ESO
22
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12. Para averiguar la capacidad de este depósito, se ha tomado la foto adjunta y se ha medido, con una cuerda, la circunferencia de la base: 9,42 m.
¿Son suficientes esos datos? Justifica tu respuesta y, si es afirma-tiva, calcula la capacidad.
Los datos son suficientes. Midiendo sobre la fotografía y aplicando lo que sabemos sobre semejanza, averiguaremos la capacidad del depósito.
Veamos cuál es el radio real del depósito cilíndrico:
L = 2πr → 9,42 = 2πr → r = ,π2
9 42 ≈ 1,5 m = 150 cm
Medimos sobre la fotografía: el depósito tiene 3,5 cm de altura y 2 cm de diámetro.
Altura real
en la fotoDiámetro real
Diámetro en la foto Altura= → ,3002 3 5
h= → h = 525 cm = 5,25 m
Vdepósito = πr 2h = π · 1,52 · 5,25 ≈ 37,11 m3 = 37 110 litros.
Unidad 10. Geometría ESO
23
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Página 162
13. ¿Cuál es la superficie de la Tierra que se ve desde un satélite que orbita a 1 000 km de altura?
R dR
RR – h=
+ →
6 371 6 3716 371
1 0006 371 – h=
+
40 589 641 = 46 960 641 – 7 371h → h = 864,33 km
Acasquete = 2 · π · R · h = 2 · 3,1415 · 6371 · 864,33 = 34 598 259,51
Casi 35 millones de km2.
14. La Luna está a 384 000 km de la Tierra, y el Sol, a 150 millones de kilómetros. El tama-ño aparente de ambos es prácticamente el mismo, como se comprueba en los eclipses, cuando la Luna se pone delante del Sol.
LUNA SOL
Sabiendo que la Luna tiene un diámetro de 3 500 km, ¿cuál es la superficie del Sol? ¿Y el volumen?
Suponemos que la Luna es una esfera perfecta.
Sluna = 4πr 2 = 4π · 1 7502 = 38 484 510 km2 ≈ 3,85 · 107 km2
Vluna = 34 πr 3 = 3
4 π · 1 7503 = 22 449 297 500 km3 ≈ 2,24 · 1010 km3
La razón de semejanza entre la Luna y el Sol será:
dd
S
L = k → k = 150 000 000384 000 = 0,00256
Por tanto:
Ssol = ( , )
, ·kS
0 002563 85 10
2 2
7L = ≈ 5,87 · 1012 km2
Vsol = ( , )
,kV
0 00256102 24 ·
3 3
10L = ≈ 1,34 · 1018 km3.
Unidad 10. Geometría ESO
24
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15. La gran pirámide de Guiza se construyó en tiempos del faraón Keops, unos 2 550 años a. C. Inicialmente estaba recubierta de una capa de planchas de roca caliza pulida, que se perdió, en parte, en un terremoto (siglo xiv), y después por el saqueo destinado a la construcción de otros edificios.
Un aventurero que la visitó a finales del siglo xviii dejó constancia en su diario de algu-nas de sus dimensiones: rodeándola por la base, midió 920 m, y para escalarla hasta la cima, por una arista lateral, hubo de recorrer 214 m.
a) Calcula el área que cubría originalmente la caliza blanca.
b) Estima el peso de la pirámide, suponiendo que un metro cúbico de piedra pesa 2,5 toneladas.
a) Calculamos la apotema de la pirámide:
2142 = a 2 + 1152 → a = 45 796 13 225 32 571– = ≈ 180,5 m
El área de cada triángulo es: A = · · ,b22
230 180 5h = = 20 757,5 m2
El área que abarca la caliza blanca es 20 757,5 · 4 = 83 030 m2.
b) Para calcular el volumen de la pirámide, calculamos primero su altura:
a 2 = h2 + 1152 → 180,52 = h2 + 1152
32 580,25 = h2 + 13 225
h2 = 19 355,25 → h = 139 m aproximadamente
V = 31 · Abase · h = 3
1 · 2302 · 139 = 2 451 033,3 m3
Como un metro cúbico de piedra pesa 2,5 toneladas, el peso de la pirámide será:
2 451 033,3 · 2,5 = 6 127 583,3 toneladas
Unidad 10. Geometría ESO
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Ejercicios y problemas
Página 163
Practica
Teorema de Pitágoras
1. Observa las figuras y calcula.
13 cm12 m
24 cm9 m
9 m8 m
a) El perímetro del rombo. b) La altura del triángulo isósceles.
c) El lado del triángulo equilátero. d) El lado del cuadrado.
a) l 2 = 62 + 4,52 = 36 + 20,25 = 56,25 b) 132 = h2 + 122
l = 7,5 cm 169 = h2 + 144
Luego, Perímetro = 4 · l = 4 · 7,5 = 30 m. h2 = 169 – 144 = 25 → h = 25 = 5 cm
c) l 2 = 82 + l2
2c m = 64 + l
42
d) 92 = l 2 + l 2
64 = l 2 – l l4 4
32 2= → l 2 = 85,3 81 = 2l 2 → l 2 = 2
81 = 40,5
l = 9,24 m l = 6,36 m
2. Calcula x en cada caso:
a) b) c)
10 cm
15 c
m
15 m20 dm9 m
24 dm
16 dm
x
xx
a) x 2 = 152 + 52 = 225 + 25 = 250 b) 152 = 92 + x2
2b l
x = 250 = 15,8 cm 225 – 81 = x42
→ x 2 = 576 → x = 24 m
c)
x 2 = 202 + 42 = 400 + 16 = 416
x = 416 = 20,4 m
20 dm 20 dm
12 dm 4 dm
8 dm
x x
Unidad 10. Geometría ESO
26
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3. Calcula el perímetro de este trapecio rectángulo:
21 cm
8 cm
12 cm
x 2 = 82 + 92 → x = 145 ≈ 12,04 cm
Perímetro = 8 + 12 + 12,04 + 21 = 53,04 cm21 cm 9 cm
8 cm 8 cm x12 cm
4. En un cubo de arista 10 cm, calcula:
a) La diagonal de una cara (m).
b) La diagonal del cubo (d ).
m
d
a) m 2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200
m = 200 = 14,14 cm
10
10
m
b) d 2 = 102 + 14,142 = 100 + 200 = 300
d = 17,32 cm
10
14,14
d
Figuras semejantes
5. ¿Cuáles de estas figuras son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza?
F1 F2 F3
F1 es semejante a F3. La razón de semejanza es 32 .
6. ¿Son semejantes los triángulos interior y exterior del cartabón? Razona tu respuesta.
No. La razón entre los catetos es 32 en el interior y 5
7 en el exterior.
7. Reproduce esta figura en papel cuadriculado y dibuja otra, semejante, de doble ta-maño. Después, calcula el área de cada una.
¿Cuál es la razón entre las áreas de las dos figuras?
Unidad 10. Geometría ESO
27
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
•Eláreadelasemicircunferenciapequeñaes ·π2
4 = 2π u2.
El resto de la figura pequeña tiene un área de 26 u2.
Atotal = 26 + 2π u2
•Eláreadelasemicircunferenciamayores π216· = 8π u2.
El resto de la figura mayor tiene un área de 104 u2.
Atotal = 104 + 8π u2
La razón entre las áreas es 4.
8. Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula:
a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro.
b) La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2.
c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua.
a) 8
8
8
dd
1 25064
1500 151000 10cm
cm
cm cmh
h cm mcm m
= == =
_
`
a
bb
b3 La torre cilíndrica mide 15 m de altura y 10 m
de diámetro.
b) 40 · 2502 = 2 500 000 cm2 = 250 m2
c) 20 · 2503 = 312 500 000 cm3 = 312,5 m3
9. En un mapa de escala 1:1 500 000, la distancia entre dos poblaciones es de 2 cm.
a) ¿Cuál es la distancia real?
b) ¿Qué distancia habrá en el plano entre dos ciudades que distan 180 km?
a) Distancia real = 2 · 1 500 000 = 3 000 000 cm = 30 km
b) 180 km = 18 000 000 cm
Distancia en el mapa = 1500 00018000 000 = 12 cm
Semejanza de triángulos
10. En el triángulo ABC hemos trazado DE paralelo a CB. ¿Por qué son semejantes los triángulos ABC y ADE ? Calcula AC y AB .
18 cm
12 cm
10 cm7 cm
A
BC
D E
Los triángulos son semejantes porque están en posición de Tales.
·8A ACCBAC
DED
127 18= = = 10,5 cm 8
CBA
DEA AB E B 12
1810 ·= = = 15 cm
Unidad 10. Geometría ESO
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11. ¿Por qué son semejantes los triángulos ABC y AED ? Ha-lla el perímetro del trapecio EBCD.
A
CD
E
B
6 cm
10 cm
17 cm
Porque son rectángulos con un ángulo agudo común, A^. Tienen los tres ángulos iguales.
•HallamosEA aplicando el teorema de Pitágoras:
EA 10 6–2 2= = 8 cm; EA = 8 + 17 = 25 cm
• 8AAD
CEAAB x10
10 825= + = → 80 + 8x = 250 → x = 21,25 → DC = 21,25 cm
• 8AB BCEDBC
AE 825
6= = → BC 8
150= = 18,75 cm
•PerímetrodeEBCD = 17 + 18,75 + 21,25 + 6 = 63 cm
Unidad 10. Geometría ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 164
12. Observa esta figura, en la que el segmento AB es paralelo a CD.
C
B
A
O Dy
x10,6 cm
8,5 cm
6 cm
7,2 cm
a) Di por qué son semejantes los triángulos OAB y ODC.
b) Calcula x e y.
a) Son semejantes porque tienen un ángulo igual, AOB COD= %% por ser opuestos por el vér-tice, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos.
b) , , ,,8x x7 2 8 5
68 5
7 2 6·= = ≈ 5,08 cm ,, ,,8y
y 8 56
8 56
10 610 6 ·= = ≈ 7,48 cm
13. La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es 150 cm2, ¿cuál es el área del menor?
El área menor es 150 · 52
2c m = 24 cm2.
Aplica lo aprendido14. Esta figura representa, a escala 1:2000, una parcela de te-
rreno. Calcula su perímetro y su área, tomando las medidas ne-cesarias.
Pgráfico = 4 + 3 + 3,5 = 10,5 cm
Preal = 10,5 · 2 000 = 21 000 cm = 210 m
Agráfico = · ,b22
4 2 5·h = = 5 cm2
Areal = 5 · 2 0002 = 20 000 000 cm2 = 2 000 m2
3,5 cm
2,5 cm
4 cm
3 cm
15. Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. Los lados del primero miden 24 m, 28 m y 34 m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su pe-rímetro es 129 m.
Perímetro del triángulo ABC : 24 + 28 + 34 = 86 m
Razón de semejanza: 286129 3=
Lados del triángulo PQR : 24 · 23 = 36 cm; 28 · 2
3 = 42 cm; 34 · 23 = 51 cm
Unidad 10. Geometría ESO
30
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
16. Los catetos del triángulo rectángulo ABC miden AC = 28 cm y AB = 21 cm.
Desde el punto D tal que AD = 9 cm, se traza una paralela a AC. Halla el área y el perímetro del trapecio ADEC.
A C
D E
B
Los triángulos ABC y DBE son semejantes.
Por ello:
·8 8D
A ADE
DEB
BDE
C1221 28
2112 28= = = = 16 cm
A 28 cm
21 cm
C
D E
B
9 cm
BCBE
EC21 28 3512 16 20
mm
2 2
2 2
= + == + =
4 = 35 – 20 = 15 cm
Área del trapecio = 228 16+ · 9 = 198 cm2
Perímetro del trapecio = 9 + 16 + 15 + 28 = 68 cm
17. Si la altura de Rita es 1,65 m, ¿cuál es la altura de la farola?
Si x es la altura que buscamos, entonces:
, ,x
1 65 2 55= → x = 3,3 m
1,65
m
2,5 m 2,5 m
18. Una parcela tiene forma de trapecio rectángulo con las dimensiones que se ven en la figura.
a) Calcula su altura.
b) Se quiere hacer un pozo en el punto donde se cortan las prolongacio-nes de los lados AD y BC. ¿A qué distancia de A y de B estará el pozo? 102 m
64 m
A B
CD
72 m
a)
h = 64 30–2 2 = 56,53 m
64 mh
72 mA B
30 mD C102 m
b)
,x x 572 102
6 53= + → 102x = 72x + 4 070,16 → x = 135,67 m
y y
72 10264
=+
→ 102y = 72y + 4 608 → y = 153,6 m
El pozo estará a 135,67 m de A y a 153,6 m de B.
P
yx
A
D C
B72 m
56,53 m 64 m
102 m
Unidad 10. Geometría ESO
31
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
19. Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas AP = 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km. (MN es paralela a AB). Halla la distancia AB.
B
A
M N
P 7,2 km
12 km
P
NM
BA
15 km
Los triángulos APB y MPN son semejantes. Por tanto:
, ,·8AB AB12 7 2
157 2
15 12= = = 25 km
20. Desde los extremos A y B de la recta de los 100 m de una pista de atletismo se ve la torre de la iglesia, C. Medimos los ángulos A
^ = 31° y B
^ = 112°. Calcula la distancia AC .
31° 112°A B
C
100 m
Dibuja un triángulo A'B'C', semejante a ABC, con ' 'A B = 5 cm.
' 'A C = 7,7 cm
,' ' ' '8
A BAB
A CAC AC
5100
7 7cmm
cm= = →
→ , 8AC AC5100 7 7·= = 154 m
A' B'
C'
5 cm31°
112°
21. El triángulo ABC es equilátero y se ha dividido, desde el centro, en tres partes igua-les. Así, podemos afirmar que el área del triángulo verde es 1/3 del total.
B C
A
On
m
Basándote en lo anterior, justifica que m = 2n (el segmento m es doble que el segmento n).
Como el área del triángulo verde es 31 del total y la base de los dos triángulos es la misma,
siendo n la altura del verde y m + n la altura del total:
( )b n b m n2 3
12
· ·= +Y
3n = m + n → m = 2n
Unidad 10. Geometría ESO
32
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 165
22. Calcula los radios de las circunferencias inscrita, r, y cir-cunscrita, R, a un triángulo equilátero de 12 cm de lado.
Resuelve primero la actividad anterior.R
r
De la actividad anterior deducimos que R = 2r (R = m y r = n).
Si llamamos h a la altura del triángulo de 12 cm de lado:
122 = h2 + 62
144 = h2 + 36
h2 = 108 → h = 10,4 cm
Por tanto: ,R rR r
10 42
+ ==
3 → 2r + r = 10,4 → 3r = 10,4 → r = ,3
10 4 = 3,5 cm → R = 7 cm
Resuelve problemas23. En la mesa de billar, ¿en qué punto comprendido entre
A y B debe dar la bola blanca, para que al rebotar alcance a la bola negra?
A B
30 cm20 cm
70 cm
xx20
7030–= → 1 400 – 20x = 30x → 1 400 = 50x → x = 28 cm
Debe dar a 28 cm del punto A.A B
3020
x 70 – x
24. ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,2 m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?
, ,,x
1 7 0 81 2= → x = ,
, · ,0 8
1 2 1 7 → x = 2,55 cm
La profundidad es de 2,55 m.
1,2 m
1,7 m
0,8 m
x
Unidad 10. Geometría ESO
33
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
25. Si la altura de Luis es 1,54 m, ¿cuál es la altura del árbol más alto?
1,54 m
4 m
6 m
9 m
, x4
4 4613= → x = , ·
44 46 13 = 14,495 mx
1,54 m 4 m
4,46 m
9 m
El árbol más alto tiene una altura de 14,495 + 1,54 = 16,035 m.
26. Una lámpara, situada a 25 cm de una lámina cua-drada de 20 cm de lado, proyecta una sombra sobre una pantalla paralela que está a 1,5 m de la lámpara.
¿Cuánto mide el lado del cuadrado proyectado?
x150 25
10= → x = 125
10 50· = 60
2510
L
x
150 cm
Por tanto, el lado del cuadrado proyectado mide 2 · 60 = 120 cm.
27. Desde un punto P, trazamos las tangentes comu-nes a dos circunferencias. Las distancias de P a los cen-tros son PO = 17 cm y 'PO = 30 cm. Si el radio de la mayor mide 18 cm, ¿cuánto mide el radio de la menor? P O O'
·'
' ' 88PO
OT OTPOOT O T
17 3018
3018 17== = = 10,2 cm
P O O'
T
T'
El radio de la menor mide 10,2 m.
Unidad 10. Geometría ESO
34
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
28. Observa y demuestra que la diagonal de un pentágono regular de 10 cm de lado es:
d = 5 + 5 5 ≈ 16,18 cm
dd
d10
10= +
10
10
d
d
d
Los dos triángulos sombreados son semejantes porque se pueden colocar en posición de Tales,
por tanto verifican dd
d10
10= + .
d 2 = 10d + 100 → d 2 – 10d – 100 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
d = 210 100 400
210 500
210 5 10
210 10 5 5 5 5± ± ± · ± ±
2+ = = = =
Es válido únicamente el resultado positivo d = 5 + 5 5.
29. Observa esta figura:
Sabiendo que d = 5 + 5 5 ≈ 16,18 cm, calcula:
a) Las distancias x e y.
b) Las áreas de los triángulos verde y amarillo.
c) El área del pentágono.
10 cm
yx
10 cm
d
a)•16,182 = x 2 + 52
261,8 – 25 = x 2 → x 2 = 236,8 → x = 15,4 cm
•102 = y 2 + ,2
16 18 2c m
102 = y 2 + 8,092 → 100 = y 2 + 65,4 → y 2 = 34,6 → y = 5,9 cm
b) Atriángulo amarillo = · , · ,b2 2
16 18 5 9h = = 47,7 cm2
Atriángulo verde = ,b2 2
10 15 4· h ·= = 77 cm2
c) Apentágono = 77 + 2 · 47,7 = 172,4 cm2
30. En un bote de pintura de 20 cm de diámetro y 30 cm de altura, han olvidado la varilla de remover, que ha quedado apoyada en el borde, resbalando el extremo inferior hasta topar con la pared opuesta. Al sacar la varilla, vemos que la parte húmeda de pintura mide 11,3 cm. ¿Cuánta pintura queda en el bote?
302 + 202 = (11,3 + x)2
900 400+ = 11,3 + x → x = 1300 – 11,3 = 24,8 cm
Por tanto:
,,
, ,,·8 11 330
11 311 3 24 8
36 130
hh= + = = 9,39
Vpintura = π · 102 · 9,39 = 2 948,46 cm3 = 2,94846 dm320 cm
11,3
cm
x
30 cmh
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35
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Página 166
31. Queremos construir un ortoedro de volumen 36 015 cm3 que sea semejante a otro de dimensiones 25 × 15 × 35 cm. ¿Cuánto medirán sus aristas?
V = 25 · 15 · 35 = 13 125 cm3
k 3 = 1312536 015 = 2,744 → k = 1,4
Las aristas del ortoedro deben medir: 25 · 1,4 = 35 cm; 15 · 1,4 = 21 cm; 35 · 1,4 = 49 cm.
32. El zócalo rectangular de una pared está formado por un mosaico de baldosines (triángulos equiláteros), blancos y verdes, distribuidos así:
Calcula las dimensiones del zócalo, sabiendo que está formado por 205 piezas de 20 cm de lado.
Si h es la altura de cada pieza:
202 = h2 + 102
400 = h2 + 100 → h = 300 = 17,32 cm
El área de cada triángulo es:
A = ,b2 2
20 17 32· h ·= = 173,2 cm2
El área total del zócalo es:
Atotal = 205 · 173,2 = 35 506 cm2
La altura del zócalo es 4 · h = 4 · 17,32 = 69,28 cm.
Por tanto su base, b, cumple la ecuación:
35 506 cm2 = b · 69,28 → b = 512,5 cm
33. Para hacer un embudo de boca ancha, hemos cortado un cono de 5 cm de radio a 3 cm del vértice. La circunferencia obtenida tiene 2 cm de radio.
Calcula la superficie y el volumen del embudo.
3 cm
5 cm
x323
5+ = → 3 + x = 2
15 → x = 4,5 cm
S = π · 5 · ( , )3 4 5 52 2+ + – π · 2 · 3 22 2+ = 37,86π cm2
V = 31 (π · 52 · 7,5) – 3
1 (π · 22 · 3) = 58,5π cm3
3
òx
2
5
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36
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
34. Hemos recubierto con un tejado cónico un depósito cilíndrico de 4 m de radio y 14,4 m de altura. Si el radio del cono es 10 m, ¿cuál es el volumen de la zona comprendida entre el cono y el cilindro?
,x x4 10
14 4= + → 10x = 4x + 57,6 → x = 9,6 m
( · ) · ,
( · ) · ( , , )
,
π
π π
π
V
V
14 431 10 14 4 9 6 800
4 230 4 m
m
2 3
2 3CONO
CILINDRO = =
= + =_
`
a
bb
b
V = Vcono – Vcilndro = 800π – 230,4π = 569,6π m3
4ò
10
14,4
x
35. En una pirámide cuadrangular regular, la arista de la base mide 20 m, y la apotema, 26 m.
Calcula el área total y el volumen de la pirámide.
20 m
26 m
:
:
A
A l2
20 26 260
20 400
El área de las caras es · m
El área de la base es m
2
2 2 2
= =
= = =
_
`
a
bb
b → Atotal = 260 · 4 + 400 = 1 040 + 400 = 1 440 m2
Para calcular el volumen de la pirámide hay que calcular su altura, h:
262 = h2 + 220
2c m
262 = h2 + 102
676 = h2 + 100 → h2 = 676 – 100 = 576 → h = 576 = 24 m
V = A3 3
400 24· h ·B = = 3 200 m3
36. Observa el tronco de pirámide y calcula:a) Su apotema (segmento rojo).b) Su área lateral.c) Su volumen.
9 m
18 m
12 ma)
Aplicando el teorema de Tales: x6
918= → x = 3 m
a 2 = 92 + 32 = 81 + 9 = 90 → a = 90 = 9,5 m
9 m
9 m
6 m 6 m
3 m
a
x18 m
b)
Atrapecio = B b2 2
12 6· h+ = + · 9,5 = 85,5 m2
Alateral = 85,5 · 4 = 342 m2
6 m
12 m
9,5 m
Unidad 10. Geometría ESO
37
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c) Apirámide mayor = · ·A 123 3
18hB 2= = 864 m3
Apirámide menor = A3 3
6 9· h ·B 2= = 108 m3
V = 864 – 108 = 756 m3
37. Halla el volumen de una maceta como la de la figura, en la que los radios de las bases miden 6 cm y 14 cm, y la generatriz, 30 cm.
6 cm
14 cm
30 c
m
h = 30 8–2 2 = 28,91 cm
6
ò
14 14 – 6
30h h
,x x6 14
28 91= + → 14x = 6x + 173,46 → x = 21,68 m
Vcono grande = 31 (π · 142) · (28,91 + 21,68) = 3 305,21π cm3
Vcono pequeño = 31 (π · 62) · (21,68) = 260,16π cm3
Vmaceta = Vcono grande – Vcono pequeño = 3 045,05π cm3
La maceta tiene un volumen de 9 561,46 cm3.
6
14
x
28,91
38. Este depósito tiene un radio de cinco metros y se asienta sobre un círculo de 6 me-tros de diámetro.
R = 5a = 3h = ?
h a
R
Calcula su superficie y su capacidad.
Área y volumen del casquete esférico: Acasquete = 2π R h Vcasquete = hπ
32
(3R – h)
52 = x 2 + 32
25 = x 2 + 9 → x 2 = 25 – 9 = 16 → x = 16 = 4 m
h = 5 – 4 = 1 ma = 3 m
R = 5 mx
Por tanto la altura del casquete esférico del que tenemos que calcular su superficie y su capa-cidad es 10 – 1 = 9 m.
Acasquete = 2πR h = 2 · 3,14 · 5 · 9 = 282,6 m2
Vcasquete = ·π3h2
· (3R – h) = , ·3
3 14 92 · (3 · 5 – 9) = 84,78 · 6 = 508,68 m3
Unidad 10. Geometría ESO
38
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Analiza, reflexiona y exprésate39. Observa la imagen e interpreta, en los cálculos adjuntos, el significado de cada letra,
el objetivo perseguido y los resultados obtenidos. Añade la unidad en cada resultado.
8 cm
8
15 cm
x = 8 4–2 2 ≈ 6,93 → AB = , ,2
8 6 6 93 166 32· · =
a = ,x15 225 48 16 52≈2 2+ = +
Al = ,2
8 16 52 6· · = 396,48
At = 166,32 + 396,48 = 562,8
V = 31 · 166,32 · 15 = 831,6
•x = 8 4–2 2 ≈ 6,93 cm es la apotema del hexágono regular, que calculamos para poder obtener el área de la base.
AB será el área de la base = 166,32 cm2
•a ≈ 16,52 cm es la apotema de la pirámide, que calculamos para obtener el área lateral.
•AL = 396,48 cm2 es el área lateral.
•AT = 562,8 cm2 es el área total.
•V = 831,6 cm3 es el volumen de la pirámide.
Unidad 10. Geometría ESO
39
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 167
40. ¿Has desplegado y aplanado alguna vez, sin arrugarlo, un tetrabrik de leche o de zumo? ¿Sabes cómo se fabrican? Veámoslo:
Piensa en una máquina que va cortando a intervalos regulares un tubo de cartón con una circunferencia de 30 cm.
30 cm
Después, los aplasta, los suelda por los cortes (0,5 cm, señalados en rojo), les marca unos dobleces, a 3 cm de los bordes, y les pone una boquilla redonda.
30 cm
0,53
3
x
Por último, insufla aire en su interior, para expandirlos y que tomen la forma de prisma prevista por los dobleces. (Puedes comprobarlo con un envase vacío). ¿Qué longitud, x, debe tener cada porción de tubo, para que la capacidad del tetrabrik fabricado sea de un litro? (Redondea x a un número entero).
Al aplastar el cilindro queda:x
x – 7
x – 7
15 cm
9 cm
9 cm6 cm
Quito lo que soldamos y los dobleces y quedará:xx – 7
x – 7
15 cm
9 cm
9 cm6 cm
1l = 1 dm3 = 1 000 cm3
9 · 6 · (x – 7) = 1 000 → x – 7 = 54
1000 → x = 54
1000 + 7 ≈ 26 cmxx – 7
x – 7
15 cm
9 cm
9 cm6 cm
Unidad 10. Geometría ESO
40
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
41. La base de una escultura tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden 80 cm y 140 cm, y su altura, 150 cm.
Halla su volumen.
140 cm
150
cm
80 cm
Calculamos la altura de la pirámide:
xx 150
4070+ = → 40x + 6 000 = 70x → x = 200 cm
Altura = 200 + 150 = 350 cm
Volumen tronco = Vpirámide mayor – Vpirámide menor =
= 31 1402 · 350 – 3
1 82 · 200 = 1 860 000 cm3 = 1 860 dm3
40 cm
70 cm
150 cm
x
Problemas “+”42. Calcula el área y el volumen de un tetraedro regular de 12 cm de arista.
x
12
12 cm 1212
xh
Calculamos la altura de los triángulos que forman el tetraedro:
122 = x 2 + 62
144 = x 2 + 36 → x 2 = 144 – 36 = 108 → x = 108 = 10,4 cm
Acara = · · ,b2 2
12 10 4h = = 62,4 cm2
Atetraedro = 4 · 62,4 = 249,6 cm2
Para calcular la altura del tetraedro utilizaremos el hecho de que la altura va justo al baricentro del triángulo equilátero de la base que coincide con el ortocentro. En los triángulos equilá-
teros la altura coincide con la mediana y la distancia al vértice es 32 de la mediana, es decir,
32 de la altura, en este caso, 3
2 · 10,4 = 6,9:
122 = h2 + 6,92
144 = h2 + 47,61 → h2 = 96,39 → h = 9,8 cm
V = , ,A3 3
62 4 9 8· h ·B = = 203,84 cm3
Unidad 10. Geometría ESO
41
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
43. Experimento: Una pelota de goma, de 26 cm de diámetro, flota sobre la superficie del aceite que llena un embudo de cristal, en las condiciones que ves en la ilustración.
40 cm
48 cm
20
13x
yk
n
m
26 cm
El aceite gotea por la estrecha boca inferior del embudo, y la pelota va descendiendo hasta que toma contacto con el cristal. Entonces hace de tapón y el aceite deja de salir. ¿Qué cantidad de aceite queda en ese momento en el embudo?
•k 2 = 202 + 482 → k = 52 cm
•
x
48 m
m + n
y
y52
2013
Por semejanza de triángulos:
y3120 48= → y = 31,2 cm
,x20
31 252= → x = 12 cm
, ,
,
8
8m n
m m
m n1320 52
4831 252 8
33 8
28 cm
cm= +
= =
+ =_
`
a
bb
bb
→ n = 5 cm
La cantidad de aceite será Vcono – Vcasquete esférico
•Vcono = · · ,π ππA x m3 3 3
12 28 85
6 912· h · · cm22 3B = = =
•Vcasquete = ( ) ( ) ( ) ( )π πR n R R n3 3 313 5 3 13 13 5· – · · – – · – · · – –
2 2=8 8B B =
= ( )π π38 39 8 3
1984· · – cm2 3=
•Vaceite = π π π56 912
31984
1510816– cm3=
Unidad 10. Geometría ESO
42
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Curiosidades matemáticas
Rectángulos áureos
El rectángulo que ves a continuación tiene la siguiente peculiaridad: si se le suprime un cuadrado de lado igual a su lado menor, se obtiene otro rectángulo semejante al inicial.
Φ
1
1 – Φ
1
Φ 1— = — 1 Φ – 1
• Comprueba que la relación entre los lados, Φ, es:
Φ = 1 + √52
→ (número de oro)
Los rectángulos que tienen esta propiedad se denominan rectángulos áureos, y como sabes, los puedes encontrar en el carné de identidad, en las tarjetas de banda magnética y en numerosas obras de arte.
FF 8 F F 8 F F1 1
1 1 1 0– – – –2 2= = =
± ±F 21 1 4
21 5= + =
Unidad 11. Estadística ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
2 Tablas de frecuencias
Página 173
1. Reparte los cuarenta datos del ejercicio resuelto anterior en 10 intervalos con el mismo recorrido total.
Tomando r' = 30 y siendo 10 el número de intervalos, la longitud de cada intervalo será
de 1030 3= .
intervalos marca de clase frecuencias
148,5 - 151,5151,5 - 154,5154,5 - 157,5157,5 - 160,5160,5 - 163,5163,5 - 166,5166,5 - 169,5169,5 - 172,5172,5 - 175,5175,5 - 178,5
150153156159162165168171174177
2116796341
2. Reparte los cuarenta datos del ejercicio resuelto anterior en 8 intervalos. Para ello, toma r' = 32.
Tomando r' = 32 y siendo 8 el número de intervalos, la longitud de cada uno de ellos
será 832 4= .
intervalos marca de clase frecuencias
147,5 - 151,5151,5 - 155,5155,5 - 159,5159,5 - 163,5163,5 - 167,5167,5 - 171,5171,5 - 175,5175,5 - 179,5
149,5153,5157,5161,5165,5169,5173,5177,5
2141012641
Unidad 11. Estadística ESO
2
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3 Parámetros estadísticos: x— y σ
Página 175
1. Halla, manualmente y con calculadora, x–, σ y C.V. en la tabla obtenida en el ejercicio resuelto de la página 173:
xi 151 156 161 166 171 176
fi 2 4 11 14 5 4
x– = ,40
6 580 164 5=
σ = , ,40
1083 970 164 5 6 24– 2 =
C.V. = ,
, ,164 56 24 0 038= → 3,8 %
xi fi fi xi fi xi2
151156161166171176
24
111454
302624
1 7712 324
855704
45 60297 344
285 131385 784146 205123 904
40 6 580 1 083 970
2. Halla, manualmente y con calculadora, x–, σ y C.V. en la distribución de los ejercicios 1 y 2 de la página 173:
Compara los resultados entre sí y con los del ejercicio 1 de esta página.
1.a distribución
media: x– = SS
ff x
i
i i40
6 576= = 164,4 cm
var.: S
Sf
f xx–
i
i i2
2 = 40
1082 664 – 164,42 = 39,24
desviación típica: σ = ,39 24 = 6,26 cm
C.V. = qx =
,,
164 46 26 = 0,038 8 3,8%
intervalos xi fi fi xi fi xi2
148,5-151,5151,5-154,5154,5-157,5157,5-160,5160,5-163,5163,5-166,5166,5-169,5169,5-172,5172,5-175,5175,5-178,5
150153156159162165168171174177
2116796341
300153156954
1 1341 4851 008
513696177
45 00023 40924 336
151 686183 708245 025169 34487 723
121 10431 329
40 6 576 1 082 664
2.a distribución
media: x– = SS
ff x
i
i i = 40
6 572 = 164,3 cm
var.: S
Sf
f xx–
i
i i2
2 = 40
1081290 – 164,32 = 37,76
desviación típica: σ = ,37 76 = 6,14 cm
C.V. = qx =
,,
164 36 14 = 0,037 → 3,7%
intervalos xi fi fi xi fi xi2
147,5-151,5151,5-155,5155,5-159,5159,5-163,5163,5-167,5167,5-171,5171,5-175,5175,5-179,5
149,5153,5157,5161,5165,5169,5173,5177,5
214
1012641
299153,5
6301 6151 9861 017
694177,5
44 700,523 562,25
99 225260 822,5
328 683172 381,5
120 40931 506,25
40 6 572 1 081 290
Como se puede ver, las diferencias entre unas y otras son inapreciables.
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3
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4 Parámetros de posición
Página 176
1. Halla Q1, Me, Q3 y p40 en esta distribución:
0 1 1 2 26 6 7 7 7
2 3 3 4 47 8 8 8 8
4 4 5 5 59 9 9 10 10
Hay 30 individuos en la distribución.
30 : 4 = 7,5 individuos en cada grupo
7,5 → individuo 8.° → Q1 = 3
7,5 · 2 = 15 → individuo entre 15.° y 16.° → Me = 5,5
7,5 · 3 = 22,5 → individuo 23.° → Q3 = 8
Para calcular p40:
30 · 10040 = 12 → individuo entre 12.° y 13° → p40 = 4,5
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Página 177
2. En la siguiente distribución de notas, halla Me, Q1, Q3, p80, p90 y p99:
notas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n.° de alumnos 6 19 37 45 109 81 39 22 30 12
Me = p50 = 5
Q1 = p25 = 4
Q3 = p75 = 7
p80 = 7
p90 = 9
p99 = 10
notas fi Fi % acum.
12345678910
61937451098139223012
62562
107216297336358388400
1,506,25
15,5026,7554,0074,2584,0089,5097,00
100,00
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5
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5 Diagramas de caja
Página 179
1. Haz el diagrama de caja correspondiente a esta distribución de notas:
Comenzamos hallando Me, Q1 y Q3:
n = 200
n2 = 100 → Me = 5,5
n4
= 50 → Q1 = 4
43 · n = 150 → Q3 = 6
xi fi
123456789
10
615222433532216
81
xi fi Fi
12345678910
61522243353221681
6214367
100153175191199200
La longitud de la caja será Q3 – Q1 = 6 – 4 = 2.
1,5 · 2 = 3 → Los bigotes llegarán hasta 4 – 3 = 1 y hasta 6 + 3 = 9.
Por tanto, el diagrama de caja y bigotes será:
1
*
2 3 4 5 6 7 8 9 10
2. Interpreta el siguiente diagrama de caja y bigotes relativo a las marcas de algunos salta-dores de longitud:
7 m
*
7,5 m 8 m
Me = 7,825 m; Q1 = 7,6 m; Q3 = 7,975 m
Todos saltaron entre 7,05 m y 8,3 m, excepto uno que saltó 6,8 m.
Un 25 % de los saltadores saltó menos de 7,6 m.
Un 25 % saltó entre 7,6 m y 7,825 m.
Un 25 % saltó entre 7,825 m y 7,975 m.
Un 25 % saltó más de 7,975 m.
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6
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6 Estadística inferencial
Página 180
1. Un fabricante de tornillos desea hacer un control de calidad. Recoge uno de cada 100 tornillos fabricados y lo analiza.
El conjunto de tornillos analizados, ¿es población o muestra? ¿Por qué?
Los tornillos analizados constituyen una muestra, pues solo se analiza uno de cada cien torni-llos fabricados.
2. El responsable de calidad de una empresa que fabrica pilas quiere estudiar la energía su-ministrada por cada pila hasta que se gasta.
¿Puede hacer el estudio sobre la población o debe recurrir a una muestra? ¿Por qué?
Debe recurrir a una muestra porque el estudio requiere el consumo de las pilas.
3. El dueño de un vivero tiene 285 plantas de interior. Para probar la eficacia de un nuevo fertilizante, las mide todas antes y después del semestre que dura el tratamiento.
El conjunto de esas 285 plantas, ¿es población o muestra? ¿Por qué?
Las 285 plantas sería la población. En este caso, es posible estudiar toda la población, no hace falta trabajar con una muestra.
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7
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Ejercicios y problemas
Página 181
PracticaTablas de frecuencias
1. El número de faltas de ortografía que cometieron un grupo de estudiantes en un dictado fue:
0 3 1 2 00 1 1 4 35 0 2 1 02 1 0 0 3
2 1 3 0 45 3 2 4 10 0 0 2 10 5 3 2 1
Di cuál es la variable y de qué tipo es.
Haz una tabla de frecuencias y representa los datos en un diagrama adecuado.
•Variable: “Número de faltas de ortografía”
Es una variable cuantitativa discreta.
Llamamos xi a dicha variable y sus valores son 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
•Tabladefrecuencias: Diagramadebarras:
xi fi
012345
1297633
40
fi
xi
3
6
9
12
0 1 2 3 4 5
2. En una maternidad se han tomado los pesos (en kilogramos) de 50 recién nacidos:
2,8 3,2 3,8 2,5 2,73,3 2,6 1,8 3,3 2,92,9 3,5 3,0 3,1 2,22,4 3,4 2,0 2,6 3,12,9 2,8 2,7 3,1 3,0
3,7 1,9 2,6 3,5 2,32,1 3,4 2,8 3,1 3,93,4 2,5 1,9 3,0 2,92,3 3,5 2,9 3,0 2,73,1 2,8 2,6 2,9 3,3
a) ¿Cuál es la variable y de qué tipo es?
b) Construye una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos desde 1,65 hasta 4,05 y haz una representación adecuada.
Localizamos los valores extremos: 1,9 y 3,9. Recorrido = 3,9 – 1,8 = 2,1
a) Variable: peso de los recién nacidos.
Tipo: cuantitativa continua.
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8
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b) La mejor representación es un histograma:
intervalosmarca de clase
(xi )fi
1,65-2,052,05-2,452,45-2,852,85-3,253,25-3,653,65-4,05
1,852,252,653,053,453,85
45
131693
50
1,65 2,05 2,45 2,85 3,25 3,65 4,05
Media, desviación típica y C.V.
3. Halla la media, la desviación típica y el coeficiente de variación en estas distribucio-nes:
xi fi
012345
1297633
intervalo fi
1,65-2,052,05-2,452,45-2,852,85-3,253,25-3,653,65-4,05
45
1317
83
x– = SS
ff x
i
i i = 4068 = 1,7
var.: S
Sf
f xx–
i
i i2
2 = 40214 – 1,72 = 2,46
σ = ,2 46 = 1,57
xi fi fi xi fi xi2
012345
1297633
09
14181215
09
28544875
40 68 214 C.V. = qx = 0,9235 8 92,35 %
x– = ,50
144 1 = 2,9
var.: , , ,50428 12 2 8 0 1524– 2 =
σ = , ,0 1524 0 39=
C.V. = ,,
,2 90 39
0 1345= 8 13,45 %
intervalos xi fi fi xi fi xi2
1,65-2,052,05-2,452,45-2,852,85-3,253,25-3,653,65-4,05
1,852,252,653,053,453,85
45
1317
83
7,4511,2534,4551,8527,6511,55
13,6925,3191,29
158,1495,2244,47
50 144,15 428,12
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9
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4. Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 100 000 euros y una desviación típica de 12 500 euros. En otra empresa B, la media es 15 000 euros, y la des-viación típica, 2 500 euros. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos tiene más variación relativa.
Empresa A: x– = 100 000 €σ = 12 500 €
C.V. = qx 100 000
12 500= = 0,125 o bien 12,5 %
Empresa B: x– = 15 000 €σ = 2 500 €
C.V. = 15 0002 500 = ,0 16
! o bien 16,67 %
Tiene mayor variación relativa la empresa B.
Parámetros de posición
5. La altura, en centímetros, de un grupo de estudiantes de una misma clase es:
150 169 171 172 172 175 181182 183 177 179 176 184 158
Halla la mediana y los cuartiles y explica el significado de estos parámetros.
Colocamos los datos en orden creciente:
150 - 158 - 169 - 171 - 172 - 172 - 175 - 176 - 177 - 179 - 181 - 182 - 183 - 184
Hay 14 datos:
142
= 7 → Mediana: valor intermedio de los dos centrales situados en séptima y octava posición:
Me = 2175 176+ = 175,5 cm
Significa que la mitad de los estudiantes tiene una estatura inferior a 175,5 cm.
144
= 3,5 → Q1 = 171 cm (4.° lugar)
El 25 % de los estudiantes mide menos de 171 cm de altura.
14 · 34
= 10,5 → Q3 = 181 cm (posición 11)
El 75 % de los estudiantes tiene una estatura inferior a 181 cm.
6. Halla la mediana, los cuartiles y el percentil 60 en cada una de las siguientes distri-buciones correspondientes al número de respuestas correctas en un test realizado por dos grupos de estudiantes:
A: 25 – 22 – 27 – 30 – 23 – 22 – 31 – 18
24 – 25 – 32 – 35 – 20 – 28 – 30
B: 27 – 32 – 19 – 22 – 25 – 30 – 21
29 – 23 – 31 – 21 – 20 – 18 – 27
Colocamos en orden creciente los datos:
A 18 - 20 - 22 - 22 - 23 - 24 - 25 - 25 - 27 - 28 - 30 - 30 - 31 - 32 - 35
Hay 15 datos:
•Lamedianaeselvalorcentral(posición8)→ Me = 25
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10
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•415 = 3,75 → Q1 = 22 (4.a posición)
•15·43 = 11,25 → Q3 = 30 (12.a posición)
•15· 10060 = 9 → p60 será el valor intermedio de los datos situados en 9.a y 10.a posición,
es decir:
p60 = 227 28+ → p60 = 27,5
B 18 - 19 - 20 - 21 - 21 - 22 - 23 - 25 - 27 - 27 - 29 - 30 - 31 - 32
Hay 14 datos:
•Losdosvalorescentralesson23y25→ Me = 223 25+ = 24
•414 = 3,5 → Q1 = 21 (4.a posición)
•14·43 = 10,5 → Q3 = 29 (11.a posición)
•14· 10060 = 8,4 → p60 = 27 (9.a posición)
7. Rellena la columna de los porcentajes acumulados en la siguiente tabla. Calcula, a partir de la tabla, la mediana, los cuartiles y los percentiles p70 y p90.
Q1 = 0
Me = 1
Q3 = 2
p70 = 2
p90 = 3
xi fi Fi % acum.
0 12 12 32,41 9 21 56,82 7 28 75,73 6 34 91,94 3 37 100
8. En la fabricación de cierto tipo de bombillas se han detectado algunas defectuosas. Se analiza el contenido de 200 cajas de 100 bombillas cada una y se obtienen los si-guientes resultados:
defectuosas 1 2 3 4 5 6 7 8
n.° de cajas 5 15 38 42 49 31 18 2
Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles p10 , p90 y p95.
Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas.
Para xi = 4, Fi iguala el 50 %, luego la mediana será el va-lor intermedio entre 4 y el siguiente, 5, esto es, Me = 4,5.
Q1 = p25 = 3
Q3 = p75 = 6
p10 = 2,5
p90 = 6,5
p95 = 7
xi fi Fi % acum.
12345678
51538424931182
52058
100149180198200
2,510,529,550,574,590,599,5
100,5
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11
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Página 182
Diagramas de caja
9. Las puntuaciones obtenidas por 87 personas tienen los siguientes parámetros de posición: Q1 = 4,1; Me = 5,1 y Q3 = 6,8. Todas las puntuaciones están en el intervalo 1 a 9. Haz el diagrama de caja.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Q1 Me Q3
10. En una clase de 38 estudiantes de Primaria, las estaturas de 35 de ellos están com-prendidas entre 153 cm y 179 cm. Los tres restantes miden 150 cm, 151 cm y 183 cm. Sabemos que Q1 = 163; Me = 166 y Q3 = 170.
Representa los datos en un diagrama de caja.
Q1 Me Q3
145 150 155 160 165 170 175 180 185
***
11. Haz el diagrama de caja correspondiente a las siguientes distribuciones.
a) La del ejercicio 5. b) La A y la B del ejercicio 6.
c) La del ejercicio 7. d) La del ejercicio 8.
a) Q1 = 171; Me = 175,5; Q3 = 181
(Q3 – Q1) · 1,5 = (181 – 171) · 1,5 = 10 · 1,5 = 15 171 15 156181 15 196
– =+ =
*
150 160 170 180 190
*
Q1 Me Q3
b) A : Q1 = 22; Me = 25; Q3 = 30
B : Q1 = 21; Me = 24; Q3 = 29
18 20 25 30 35
A 8
B 8
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12
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c) Q1 = 0; Me = 1; Q3 = 2
Q1 Me Q3
0 2 41 3
d) Q1 = 3; Me = 4,5; Q3 = 6
1 3 5 72 4 6 8
Q1 Me Q3
12. A los estudiantes de dos clases numerosas de un mismo centro les han puesto un test. Las notas vienen reflejadas en los siguientes diagramas de caja:
2
A
B
5 9
a) ¿Cuál de las clases es más homogénea?
b) ¿En cuál ha aprobado la mitad de la clase?
c) En una de las clases, la tercera nota más alta ha sido un 6,5. ¿De qué clase se trata?
d) ¿En qué clase las notas del 25 % de los estudiantes difieren en medio punto o menos?
e) ¿Cuál es el rango de las notas de cada clase?
a) Es más homogénea la clase B.
b) En la clase A ha aprobado exactamente la mitad de la clase.
c) En la clase B, puesto que en la clase A el 25 % tiene notas entre 5 y 7.
d) En la clase B.
e) En la clase A el rango es 9 – 2 = 7.
En la clase B el rango es 9 – 3,5 = 5,5.
13. Calcula el valor del primer cuartil correspondiente al siguiente diagrama de caja:
Q1 Me Q3
15 27,6
27,6 – 15 = 12,6
12,6 : 1,5 = 8,4, por tanto, Q3 – Q1 = 8,4 → 15 – Q1 = 8,4.
Luego, Q1 = 6,6.
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13
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Muestreo
14. Se quieren realizar estos estudios estadísticos:
I. Tipo de transporte que utilizan los vecinos de un barrio para acudir a sus trabajos.
II. Estudios que piensan seguir los estudiantes de un centro escolar al terminar la ESO.
III. Edad de las personas que han visto una obra de teatro en una ciudad.
IV. Número de horas diarias que ven la televisión los niños y las niñas de tu comunidad autónoma con edades comprendidas entre 5 y 10 años.
V. Tiempo de conversación que aguantan las baterías de los móviles que fabrican en una empresa.
VI. Preferencia de emisora de radio musical de los asistentes a un concierto.
a) Di en cada uno de estos casos cuál es la población.
b) ¿En cuáles de ellos es necesario recurrir a una muestra? ¿Por qué?
a) I 8 Los vecinos del barrio.
II 8 Alumnos y alumnas de la ESO de un centro.
III 8 Personas que han visto la obra.
IV 8 Niños y niñas de mi comunidad autónoma de entre 5 y 10 años.
V 8 Los móviles que fabrica la empresa.
VI 8 Los asistentes a un concierto.
b) I 8 Dependiendo del número de vecinos del barrio: si son pocos, población; si son muchos, una muestra. Aunque teniendo en cuenta que es difícil cogerlos a todos y que todos contesten a la encuesta, quizás sería mejor una muestra.
II 8 Población. Con encuestas en clase en las que participan todos (obviamente, siem-pre falta alguno).
III 8 Muestra. Son muchas personas y sería inoportuno molestar a tanta gente, se for-marían colas…
IV 8 Muestra. Son demasiadas personas.
V 8 Es necesario recurrir a una muestra para el estudio porque llevarlo a cabo requiere el desgaste de las baterías.
VI 8 Será necesario recurrir a una muestra.
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14
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15. ¿Cómo se puede contar el número aproximado de palabras que tiene un cierto li-bro?
— Se seleccionan, abriendo al azar, unas cuantas páginas y se cuentan las palabras en cada una.
— Se calcula el número medio de palabras por página.
— Se da un intervalo en el que pueda estar comprendido el número total de palabras.
Hazlo con alguna novela que encuentres en casa. Cuanto más homogéneas sean sus pá-ginas, más precisión tendrás en el resultado.
•Enunlibrode200páginas,seleccionamosalazar5páginas.Contamoselnúmerodepala-bras de estas páginas: 537, 562, 548, 324, 600.
•Calculamoselnúmeromediodepalabras:
5538 562 548 324 600+ + + + = 514,2
En 200 páginas, habrá 102 840 palabras.
•Elnúmerodepalabrasdellibroestaráentre100 000y105 000.
16. Para hacer un sondeo electoral en un pueblo de 2 000 electores, aproximadamente, se va a elegir una muestra de 200 individuos. Di si te parece válido cada uno de los si-guientes modos de seleccionarlos y explica por qué:
a) Se le pregunta al alcalde, que conoce a todo el pueblo, qué individuos le parecen más representativos.
b) Se eligen 200 personas al azar entre las que acuden a la verbena el día del patrón.
c) Se seleccionan al azar en la guía telefónica y se les encuesta por teléfono.
d) Se acude a las listas electorales y se seleccionan al azar 200 de ellos.
a) No es válido. Se trata de una elección subjetiva.
b) No es válido. Probablemente haya grupos de edades mucho más representados que otros.
c) Sí es válido.
d) Sí es válido.
Unidad 11. Estadística ESO
15
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 183
Aplica lo aprendido17. El número de errores cometidos en un test por un grupo de personas viene reflejado
en esta tabla:
n.° de errores 0 1 2 3 4 5 6
n.° de personas 10 12 8 7 5 4 3
a) Halla la mediana, los cuartiles inferior y superior y los percentiles p20, p40 y p90. Explica su significado.
b) ¿Cuál es el número medio de errores por persona?
Completamos la siguiente tabla:
n.° de errores 0 1 2 3 4 5 6n.° de personas 10 12 8 7 5 4 3Fi 10 22 30 37 42 46 49% acumulado 20,4 44,9 61,2 75,5 85,7 93,9 100
a) p20 = 0 Q 1 = p25 = 1 p40 = 1 Me = p50 = 2 p90 = 5 Q 3 = p75 = 3
pm = n significa que el m % de las personas comete un máximo de n errores.
b) x– = [ ] ,49
0 10 1 12 2 8 3 7 4 5 5 4 6 3 2 18· · · · · · ·+ + + + + + = errores por persona.
18. Deseamos hacer una tabla de datos agrupados a partir de 384 datos, cuyos valores extremos son 19 y 188.
a) Si queremos que sean 10 intervalos de amplitud 17, ¿cuáles serán esos intervalos?
b) Haz otra distribución en 12 intervalos de la amplitud que creas conveniente.
Recorrido r = 188 – 19 = 169
a) Buscamos un número mayor que r que sea múltiplo de 10 → r' = 170.
Cada intervalo tendrá longitud 17.
Como r' – r = 1, comenzamos 0,5 antes del primer dato y finalizamos 0,5 después del último dato.
Los intervalos son:
[18,5; 35,5); [35,5; 52,5); [52,5; 69,5); [69,5; 86,5); [86,5; 103,5);
[103,5; 120,5); [120,5; 137,5); [137,5; 154,5); [154,5; 171,5); [171,5; 188,5)
b) Ahora buscamos un múltiplo de 12 mayor que 169 → r' = 180.
Como r' – r = 180 – 169 = 11, comenzamos 5,5 antes del primer dato y finalizamos 5,5 después del último dato y cada intervalo tendrá amplitud 180 : 12 = 15.
Los intervalos son:
[13,5; 28,5); [28,5; 43,5); [43,5; 58,5); [58,5; 73,5);
[73,5; 88,5); [88,5; 103,5); [103,5; 118,5); [118,5; 133,5);
[133,5; 148,5); [148,5; 163,5); [163,5; 178,5); [178,5; 193,5)
Unidad 11. Estadística ESO
16
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
19. En una urbanización de 25 familias se ha observado la variable “número de coches que tiene la familia” y se han obtenido los siguientes datos:
0 1 2 3 10 1 1 1 43 2 2 1 1
1 1 3 1 21 0 1 3 4
a) Construye la tabla de frecuencias.
b) Haz el diagrama de barras.
c) Calcula la media y la desviación típica.
d) Halla la mediana, los cuartiles y los percentiles p40 y p90.
e) Dibuja el diagrama de caja.
a) b)
xi fi
0
1
2
3
4
3
12
4
4
2
0 1 2 3 4
2
4
6
8
10
12
c)
x– = ,2540 1 6=
σ = , ,2596 1 6 1 13– 2 =
xi fi fi xi fi xi2
01234
312442
0128
128
012163632
25 40 96
d) Q1 = 1
Me = 1
Q3 = 2
p40 = 1
xi fi Fi % acum.
01234
312442
315192325
12607692
100 p90 = 3
e)
*Q1 = Me Q3
10 2 3 4
Unidad 11. Estadística ESO
17
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Resuelve problemas20. Se ha medido el nivel de colesterol en cuatro grupos de personas sometidas a dife-
rentes dietas. Las medias y las desviaciones típicas son las de la tabla:
dieta a B c dx– 211,4 188,6 209,2 188,6σ 37,5 52,6 56,3 43,1
Asocia a cada dieta la gráfica que le corresponde.
100
1
150 200 250 300 100
2
150 200 250 300 100
3
150 200 250 300 100
4
150 200 250 300
Observamos que las gráficas 1 y 3 muestran distribuciones con una media inferior a 200, mientras que las gráficas 2 y 4 muestran distribuciones con una media superior a 200.
Por tanto: A y C → 2 y 4; B y D → 1 y 3
Por otro lado, los datos en la gráfica 2 están más dispersos que en la gráfica 4, por tanto, la desviación típica es mayor. Así: C → 2; A → 4
De igual forma, los datos están más dispersos en la gráfica 3 que en la gráfica 1 y, por tanto: B → 3; D → 1.
21. En la clase de educación física se ha pedido a cada estudiante que lance 10 veces la pelota de baloncesto desde la línea de personal. Estos resultados son las canastas conse-guidas por cada estudiante:
4 5 7 3 5 2 6 5 4 4 5 8 6 5 74 3 5 7 1 2 4 3 6 3 3 5 4 4 2
a) Construye y representa una tabla de frecuencias. Amplía la tabla con las columnas necesarias para hallar la media y la desviación típica. Calcula también el coeficiente de variación.
b) Construye la tabla de frecuencias acumuladas y de porcentajes acumulados y, a partir de ella, halla Q1, Me, Q3, p30, p90 y p99.
c) Representa los datos en un diagrama de caja.
a) En la clase hay 30 estudiantes:
x– = SS
ff x
i
i i = 03132 = 4,4
σ = , ,S
Sf
f xx 30
664 4 4 2 77– –i
i i2
2 2= = = 1,66
C.V. = qx =
,,4 41 66 = 0,38
xi fi fi xi fi xi2
12345678
13577331
16
15283518218
11245
11217510814764
132 664
Unidad 11. Estadística ESO
18
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
1 2 3 4 5 6 7 8
1234567
b) Q1 = 3
Me = 4
Q3 = 5
p30 = 3,5
p90 = 7
p99 = 7
xi fi Fi % acum.
12345678
13577331
149
1623262930
3,3313,33
3053,3376,6686,6696,66
100
c)
Q1 Me Q3
1 2 3 4 5 6 7 8
Curiosidades matemáticas
¿Sabías que…?
Los teclados de los ordenadores tienen, todos, la misma distribución de los caracteres; cada letra, número o signo tiene su lugar, fijo. Esa distribución, heredada de las antiguas máquinas de escribir, fue ideada por Christopher Sholes (Inglaterra, 1867), basándose en un estudio estadístico sobre la frecuencia de aparición de cada letra en la lengua inglesa. Puso las más frecuentes “más a mano”.
• Si metieras en un bombo todas las letras de las dos líneas que estás leyendo y sacaras una al azar, ¿cuál de ellas tendría mayor probabilidad de ser elegida?
• ¿Qué letra es la más usada en castellano? Diseña un proyecto para averiguarlo.
•Asimplevistavemosquelasletrasquemásaparecensonla“a”yla“e”.Respectivamenteapare-cen 21 y 17 veces.
•Respuestaabierta.
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales
ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
1 Dos variables relacionadas. Correlación
Página 185
1. Identifica los restantes puntos del diagrama de dispersión del ejemplo de las notas en matemáticas y en física.
A cada estudiante a, b, …, le corresponderá el punto A, B, … en el diagrama de dispersión.
F
M
D
IG
B
F
H
CAJ
E5
5 10
10
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales ESO
2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 187
2. En las siguientes distribuciones bidimensionales referentes a tus compañeros y compa-ñeras de clase, estima si la correlación será positiva o negativa, muy fuerte, fuerte, débil o casi nula:
a) Medida de un palmo - Medida del pie.
b) Número de horas semanales de estudio - Número de horas semanales viendo la televi-sión.
c) Número de horas semanales de estudio - Número de suspensos en la última evalua-ción.
d) Estatura - Peso.
e) Nota en matemáticas en el último examen - Número de asignaturas suspensas en la última evaluación.
f ) Peso - Nota en matemáticas.
g) Estatura media de los padres - Estatura del alumno.
h) Distancia de su casa al centro de estudios - Tiempo medio que tarda en llegar.
i) Número de libros leídos al año - Número de asignaturas suspensas en la última evalua-ción.
a) Positiva y fuerte.
b) Habrá una correlación negativa y muy fuerte.
c) Habrá una correlación negativa (a más horas semanales de estudio, menos número de sus-pensos) fuerte.
d) Correlación positiva débil.
e) Negativa y débil.
f ) No habrá correlación.
g) Correlación positiva y fuerte.
h) Correlación positiva y muy fuerte.
i ) Correlación negativa débil.
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales ESO
3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 El valor de la correlación
Página 188
1. Los siguientes números son los valores absolutos de los coeficientes de correlación, r, de las distribuciones bidimensionales representadas a continuación:
0,75 0,47 0,92 0,97
A B C D
Asigna cada cual a la suya, cambiando el signo cuando convenga.
A → –0,47
B → 0,97
C → –0,92
D → 0,75
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales ESO
4
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 189
2. Representa la nube de puntos y la recta de regresión de la distribución bidimensional IP - Me del ejercicio resuelto anterior.
10 20 30 40 50
Me
1
2
3
4
5
6
Ip
3. Indica cuál de estos valores se ajusta mejor al valor de la correlación de la distribución del ejercicio 2.
0,5 –0,99 0,82 –0,77 0,99
r = – 0,77
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales ESO
5
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3 La recta de regresión para hacer estimaciones
Página 190
1. Estima, con los datos del ejemplo 1, el alargamiento correspondiente a una temperatura de 45 ºC. ¿Consideras fiable la estimación?
y = 0,12x → y^ (45) = 5,4 mm
La estimación es muy fiable.
2. Estima, con los datos del ejemplo 2, el peso de un nuevo jugador cuya estatura sea de 180 cm. ¿Consideras fiable la estimación?
Hallamos gráficamente el peso que corresponde a 180 cm: y^ (180) = 77 kg.
La estimación no será muy fiable puesto que, aunque la correlación es relativamente alta, 180 no está en el intervalo de datos considerados.
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales ESO
6
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 191
3. Estima, mediante la recta de regresión, la presión correspondiente a 1 000 m. ¿Es fiable la estimación?
Efectuamos la estimación con la ecuación de la recta de regresión:
y^ (1 000) = 760 – 0,0824 · 1 000 = 677,6 mm
Es muy fiable la estimación, ya que la correlación es muy buena y 1 000 está dentro del inter-valo de valores considerados.
4. Estima la presión correspondiente a una altura de 6 000 m. Comenta cómo de fiable es esa estimación.
En este caso y^ (6 000) = 760 – 0,0824 · 6 000 = 265,6 mm y la estimación no es muy fiable porque aunque la correlación es muy buena, 6 000 está fuera del intervalo de datos disponibles.
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales ESO
7
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Ejercicios y problemas
Página 192
Practica1. a) Traza, a ojo, la recta de regresión en cada una de estas cuatro distribuciones bidi-
mensionales:
5
5 10
10
A
5
5 10
10
B
5
5 10
10
C
5
5 10
10
D
b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlación negativa?
c) Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la expresión analítica de la función que relaciona las dos variables?
d) Ordena de menor a mayor las correlaciones de las cuatro (en valor absoluto): en pri-mer lugar, la que presenta correlación más débil, y, en último lugar, aquella cuya co-rrelación es más fuerte.
a)
5
5 10
10
A
5
5 10
10
B
Sin correlación
5
5 10
10
C
5
5 10
10
D
b) A y D tienen correlación negativa y B correlación positiva. En el caso de C no se apre-cia correlación.
c) La A presenta una relación funcional:
(6, 0) y (5, 2) pertenecen a la recta → m = 5 62 0
–– = –2 → y = –2(x – 6)
d) C < D < B < A
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales ESO
8
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2. Las estaturas de 10 chicas (xi ) y las de sus respectivas madres (yi ) son:
xi 158 162 164 165 168 169 172 172 174 178
yi 163 155 160 161 164 158 175 169 166 172
Representa los valores sobre papel cuadriculado mediante una nube de puntos, traza a ojo la recta de regresión y di si la correlación es positiva o negativa y más o menos fuerte de lo que esperabas.
165155 175 185
155
165
175
185
Se trata de una correlación positiva y fuerte.
3. Estos son los resultados que hemos obtenido al tallar y pesar a varias personas:
estatura (cm) 156 163 171 177 184
peso (kg) 48 75 65 73 81
a) ¿Es una distribución bidimensional? ¿Cuáles son las variables que se relacionan? ¿Cuáles son los individuos?
b) Representa la nube de puntos.
c) ¿Es una relación estadística o funcional?
a) Sí es una distribución bidimensional ya que a cada individuo (personas que pesamos y tallamos) tiene dos valores asociados correspondientes a las dos variables que se relacionan: estatura (cm) y peso (kg).
b)
160 170 180 190
10
20
30
40
50
60
70
80
90
ESTATURA (cm)
PESO (kg)
c) Es una relación estadística.
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales ESO
9
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4. Representa el diagrama de dispersión correspondiente a la siguiente distribución y di cuál de estos tres valores puede ser su coeficiente de correlación:
r = 1 r = –0,98 r = –1
x 1 2 3 4 5 6
y 10 8 6 4 2 0
r = –1, la dependencia es funcional.
5. Representa la nube de puntos de la siguiente distribución y estima cuál de estos tres puede ser su coeficiente de correlación: r = 0,98; r = –0,51; r = 0,57.
x 0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9
y 1 4 6 2 4 8 6 5 3 6 9
r = 0,57
6. Los coeficientes de correlación de estas distribuciones bidimensionales son, en valor absoluto: 0,55; 0,75; 0,87 y 0,96. Asigna a cada una el suyo, cambiando el signo cuando proceda:
a) b) c) d)
a) r = 0,96 b) r = – 0,75 c) r = 0,55 d) r = – 0,87
7. Traza la recta de regresión de las distribuciones a) y c) del ejercicio anterior y esti-ma, en cada una de ellas, los valores que corresponden a x = 0 y a x = 10. ¿En cuál son más fiables las estimaciones?
a) c)
x = 0 → 0,9
x = 10 → 11
x = 0 → 0
x = 10 → 9
Serán más fiables las estimaciones de la distribución a).
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales ESO
10
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 193
Resuelve problemas8. Se ha hecho un estudio con ratones para ver los aumentos de peso (en g) mensuales
que producen ciertas sustancias A, B y C (en mg diarios). Los datos obtenidos vienen dados en esta tabla:
sustancia aumento
de peso si la sustancia es a
aumento de peso si la
sustancia es B
aumento de peso si la
sustancia es c1 3 2 32 1 2 33 3 1 24 5 3 05 6 0 16 4 3 –17 6 4 18 5 1 –29 7 3 – 4
10 7 1 –2
Los resultados negativos quieren decir que en lugar de aumentar, el peso disminuye.
a) Representa la nube de puntos de cada distribución.
b) Indica si la correlación es positiva o negativa en cada una de ellas.
c) Ordena las correlaciones de menos a más fuerte.
a) y b) Sustancia A Sustancia B Sustancia C
SUSTANCIA (mg/día)
PESO (g)
SUSTANCIA (mg/día)
PESO (g)
SUSTANCIA (mg/día)
PESO (g)
Correlación positiva. Correlación positiva. Correlación negativa.
c) Sustancia B < Sustancia A < Sustancia C.
9. La correlación entre las temperaturas medias mensuales de una ciudad española y el tiempo que sus habitantes dedican a ver la televisión, es de –0,89. ¿Te parece razonable este valor? Explica su significado.
¿Será positiva o negativa la correlación entre la lluvia caída mensualmente y el consumo televisivo de sus habitantes?
Parece razonable que si las temperaturas aumentan, disminuye el tiempo que los habitantes dedican a ver la televisión, ya que parece lógico pensar que la gente pasa más tiempo en la calle.
La correlación entre la lluvia caída mensualmente y el consumo televisivo de sus habitantes será positiva porque si llueve, es lógico pensar que la gente pasará más tiempo en casa.
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales ESO
11
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
10. En una encuesta realizada en 7 países europeos, se obtuvieron los datos de este grá-fico:
A B C
Tiempo dedicado a la lectura y a la televisiónMedia de minutos dedicadosen un día laborable
D
82
146
79
129
78
134
77
183
71
141
60
143
51
131
E F G
Libros
Televisión
a) ¿Cómo crees que será la correlación entre los tiempos dedicados a la lectura y a la te-levisión?
b) Haz la nube de puntos correspondiente a estas dos variables y contrasta lo que obser-vas en ella con tu respuesta del apartado a).
a) Esta respuesta depende de los alumnos y alumnas, que después comprobarán en el aparta-do b) lo acertado de su intuición.
b)
Se trata de una correla-ción positiva muy débil.
50 60 70 80 90 100
125
145
165
185
TIEMPO DEDICADO A LA LECTURA
TIEMPO DEDICADO A LA TELEVISIÓN
Unidad 12. Distribuciones bidimensionales ESO
12
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
11. Para realizar unos estudios sobre energía solar, se ha medido cada uno de los días de una semana la temperatura máxima y el número de horas de sol, obteniéndose los siguientes resultados:
s: n.° de horas de sol t: temperatura (°c)7 12
10 140 76 10
11 1512 2011 18
a) Traza a ojo la recta de regresión T-S.
b) Si el lunes siguiente a la medición hubo 9 horas de sol, ¿qué temperatura máxima ca-be esperar que hiciera? ¿Qué fiabilidad tiene tu predicción?
a)
10 15 20
10
5
TEMPERATURA (°C)
HORAS DE SOL
b) Cabe esperar que hiciera una temperatura máxima de 14,5 °C.
La fiabilidad es muy precisa porque la correlación es fuerte y la medición que nos piden está próxima a los valores que conocemos.
Curiosidades matemáticas
Encuentra explicaciones razonables a estos hechos
1. Suele decirse que la mayoría de los accidentes de automóvil se producen cerca de la casa del conductor. ¿Es más peligroso circular por nuestro barrio que a muchos kiló-metros de nuestra residencia?
2. Es fácil demostrar que los niños con pies grandes leen mejor que los que tienen pies pequeños. ¿Influye el tamaño del pie en la capacidad para la lectura?
3. Se ha constatado que, en los pueblos de una cierta comarca, cuantos más nidos de cigüeña hay en sus tejados, más nacimientos de niños se producen. ¿Tienen que ver, pues, las cigüeñas con los nacimientos?
1. Los conductores se sienten más seguros en un entorno cercano y eso puede causar que bajen la guardia y tengan accidentes.
2. Los niños de los cursos superiores leen mejor que los que empiezan el colegio. Estos niños son mayores y tienen los pies más grandes.
3. Si hay más nidos, lo más probable es que haya más tejados y, por tanto, que el pueblo de la comarca sea más grande. Por tanto, habrá más nacimientos.
Unidad 13. Probabilidad ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Aplicadas 4
1
2 Sucesos aleatorios
Página 197
1. En una urna hay 10 bolas de cuatro colores.
Sacamos una bola y anotamos su color.
a) ¿Es una experiencia aleatoria?
b) Escribe el espacio muestral.
c) Inventa cinco sucesos.
a) Sí, porque depende del azar.
b) E = {negro, rojo, azul, verde}
c) Respuesta libre.
2. Tenemos caramelos de fresa, naranja, limón y piña.
Cogemos uno sin mirar y comprobamos su sabor.
a) ¿Es una experiencia aleatoria?
b) Escribe el espacio muestral.
c) Inventa dos sucesos que tengan más de un caso.
a) Sí, porque depende del azar.
b) E = {fresa, naranja, limón, piña}
c) Respuesta libre.
3. En una urna hay 10 bolas numeradas.
Sacamos una bola y anotamos el número.
a) ¿Es una experiencia aleatoria?
b) Escribe el espacio muestral.
c) Inventa cinco sucesos.
10 95678
4321
a) Sí, porque depende del azar.
b) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
c) Respuesta libre.
4. Daniel le ha regalado a su hermana María una caja de bombones de chocolate.
Saca un bombón y ve si es de chocolate.
¿Es una experiencia aleatoria?
¿Por qué?
No. No depende del azar, todos los bombones son de chocolate.
Unidad 13. Probabilidad ESO
2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3 Probabilidad de un suceso
Página 199
1. En una bolsa hay 90 bolas idénticas, numeradas del 1 al 90.
a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer la bola con el número 17?
b) Si solo hubiera diez bolas numeradas del 11 al 20, ¿cuál sería la probabilidad de obte-ner el 17?
a) P [17] = 901
b) P [17] = 101
2. En una caja hay dos tipos de galletas: las de chocolate, CH, y las normales, N. Sacamos una al azar, la miramos y la devolvemos a la caja.
Si hemos extraído 27 galletas de chocolate y 13 galletas normales, ¿qué valores asignarías a P [CH ] y a P [N ]?
27 + 13 = 40, por tanto:
P [CH ] = 4027 y P [N ] =
4013
Unidad 13. Probabilidad ESO
3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4 Ley de Laplace para experiencias regulares
Página 200
1. Extraemos una carta de una baraja española con 40 naipes. Halla la probabilidad de ob-tener:
a) El as de espadas. b) El rey de bastos.
c) Una figura (sota, caballo o rey). d) Una copa.
a) P [as espadas] = 401 b) P [rey bastos] =
401
c) P [figura] = 4012
103= d) P [copas] =
4010
41=
2. En un campamento hay 32 jóvenes europeos, 13 americanos, 15 africanos y 23 asiáticos. Se elige al azar a su portavoz. ¿Qué probabilidad hay de que sea europeo?
32 + 13 + 15 + 23 = 83 jóvenes en total:
P [europeo] = 8332
3. Al hacer girar la aguja, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?
12
345
6
7
Hay 7 números en total. Hay 3 números pares.
P [par] = 73
Unidad 13. Probabilidad ESO
4
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5 Experiencias compuestas. Diagramas en árbol
Página 203
1. Lanzamos dos dados. Halla la probabilidad de obtener par en el primero y múltiplo de 3 en el segundo.
Se trata de experiencias independientes.
1.er dado
Múltiplo de 3
2.º dado2—6
4—6
No múltiplo de 3
3—6
3—6
PAR
IMPAR
P [1.º par y 2.º •3] = P [1.º par] · P [2.º •3] = · ·63
62
21
3 611= =
2. Sacamos una bola de la 1.ª urna y la echamos en la 2.ª. Luego, sacamos una bola de la 2.ª urna.
1.ª urna 2.ª urna
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sacadas sean azules?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que alguna bola sea azul? Hazlo mediante la probabilidad del suceso contrario.
Se trata de experiencias dependientes:
a)
1.ª urna
AZUL
2.ª urna2—4
2—4
ROJA
AZUL1—4
3—4
ROJA
2—3
1—3
AZUL
ROJA
P [azul 1.ª y azul 2.ª] = P [azul 1.ª] · P [azul 2.ª/azul 1.ª] = · ·32
42
32
21
31= =
b) P [alguna azul] = 1 – P [ninguna azul] = 1 – P [roja 1.ª y roja 2.ª] =
= 1 – P [roja 1.ª] · P [roja 2.ª/roja 1.ª] = 1 – ·31
43 1
41
43–= =
Unidad 13. Probabilidad ESO
5
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
3. ¿Cuál es la probabilidad de que cada bola que se deja caer por el embudo caiga en cada casillero?
a) En el aparato I.
b) En el aparato II.
I II
BA C D E FA B C D E
a)
A1/31/3
1/3
1/2
1/2
1/2
1/2
C
B
D
E
P [A] = P [B] = P [C] = ·21
31
61=
P [D] = P [E] = ·21
21
41=
b)
1/2
1/2
1/2
1/2
E
F
1/4
1/4
1/4
1/4
B
A
C
D
P [A] = P [B] = P [C] = P [D] = ·21
41
81=
P [E] = P [F] = ·21
21
41=
Unidad 13. Probabilidad ESO
6
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
6 Tablas de contingencia
Página 204
Interpretar una tabla
tipo de actividad extraescolar
cu
rso
cultural deportiva ninguna total
1.° 12 36 72 120
2.° 15 40 45 100
3.° 21 44 35 100
4.° 24 40 16 80
total 72 160 168 400
Observa la tabla que tienes arriba y responde:
a) ¿Cuántos estudiantes del centro participan en actividades culturales? ¿Cuántos de ellos son de 2.°?
b) ¿Cuántos estudiantes del centro no participan en ninguna actividad extraescolar? De ellos, ¿cuántos son de 4.°?
c) ¿Cuántos estudiantes de 3.° participan en actividades deportivas?
d) ¿Cuántos estudiantes que participan en actividades deportivas son de 3.°?
a) 400
27 · 100 = 18 → El 18 % de estudiantes del centro participan en actividades culturales.
7215 · 100 = 20,83 → El 20,83 % son de 2.º.
b) 400168 · 100 = 42 → El 42 % de los estudiantes del centro no participan en ninguna actividad
extraescolar.
16816 · 100 = 9,5 → El 9,5 % son de 4.º.
c) El 44 % de alumnos de 3.º participan en actividades deportivas.
d) 16044 · 100 = 27,5 → El 27,5 % de los que participan en actividades deportivas son de 3.º.
Unidad 13. Probabilidad ESO
7
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 205
1. Explica el significado de los números 120, 168, 12, 45 y 40 de la tabla del ejercicio re-suelto anterior.
120 → Número de alumnos de 1.º.
168 → Número de alumnos con ninguna actividad extraescolar.
12 → Número de alumnos de 1.º con actividad extraescolar cultural.
45 → Número de alumnos de 2.º con ninguna actividad extraescolar.
40 → Número de alumnos de 4.º con actividad extraescolar deportiva.
2. Explica lo que significa, para la tabla del ejercicio resuelto anterior, estas expresiones y da su valor:
a) P [1.°] b) P [cultural]
c) P [4.° / cultural] d) P [cultural / 4.°]
a) P [1.º] → Probabilidad de que, elegido al azar, un alumno sea de 1.º.
P [1.º] = 400120 = 0,3
b) P [cultural] → Probabilidad de elegir a un alumno con actividad extraescolar cultural.
P [cultural] = 40072 = 0,18
c) P [4.º / cultural] → Probabilidad de que habiendo elegido un alumno con actividad cultural, este resulte ser de 4.º.
P [4.º / cultural] = 7224 = 0,375
d) P [cultural / 4.º] → Probabilidad de elegir a un alumno con actividad cultural entre todos los de 4.º.
P [cultural / 4.º] = 8024 = 0,3
3. Queremos analizar, partiendo de los datos de la tabla del ejercicio resuelto anterior, la evolución del absentismo (falta de participación) en actividades extraescolares cuales-quiera, al aumentar la edad. Calcula las proporciones que convenga y compáralas.
Debemos observar la probabilidad de los que no hacen ninguna actividad en cada uno de los cursos, es decir:
P [ninguna / 1.º] = 12072 = 0,6 P [ninguna / 2.º] = 100
45 = 0,45
P [ninguna / 3.º] = 10035 = 0,35 P [ninguna / 4.º] = 80
16 = 0,2
Por tanto, según pasan los cursos, cada vez hay menos alumnos que no hacen ninguna activi-dad extraescolar.
Unidad 13. Probabilidad ESO
8
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4. En una bolsa hay 40 bolas huecas, y dentro de cada una hay un papel en el que pone sí o no, según esta tabla:
total
sí 15 4 1 20
no 5 4 11 20
total 20 8 12 40
a) Describe los sucesos sí, no, , / sí, sí / y calcula sus probabilidades.
b) Hemos sacado una bola roja. ¿Qué probabilidad hay de que haya sí en su interior? ¿Y si la bola es azul?
c) Se ha sacado una bola y dentro pone sí. ¿Cuál es la probabilidad de que sea ? ¿Y ? ¿Y ?
a) sí → sacar una bola al azar y que sea sí.
no → sacar una bola al azar y que sea no.
→ sacar una bola al azar y que sea roja.
/ sí → de entre las bolas que dicen sí, sacar una roja.
sí / → de entre las bolas rojas, sacar una que dice sí.
P [sí] = 4020
21= P [no] = 1 – P [sí] = 2
1
P [ ] = 4020
21= P [ / sí] = 20
1543= P [sí / ] = 20
1543=
b) P [sí / ] = 2015
43= P [sí / ] = 12
1
c) P [ / sí] = 2015
43= P [ / sí] = 20
451= P [ / sí] = 20
1
Unidad 13. Probabilidad ESO
9
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Ejercicios y problemas
Página 206
Practica
Espacios muestrales. Sucesos
1. Indica el espacio muestral de cada una de las siguientes experiencias aleatorias:
a) Señalo al azar una provincia en un mapa de Galicia.
b) Lanzo un cubo de Rubik recién montado y anoto el color de la cara de arriba.
c) Señalo una palabra cualquiera de un libro elegido al azar y observo cuál es la primera vocal que aparece.
d) Saco una carta de una baraja española y observo el palo.
a) E = {La Coruña, Lugo, Orense, Pontevedra}
b) E = {azul, amarillo, rojo, verde, blanco, naranja}
c) E = {a, e, i, o, u}
d) E = {oros, copas, espadas, bastos}
2. Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos el número obtenido.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Describe los sucesos:
A = “Menos de 5” B = “Más de 4”
12
5
7
69
2
C = “Número par” D = “No múltiplo de 3”
a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
b) A = {1, 2, 3, 4} B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12} D = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
3. Escogemos al azar un día cualquiera de la semana.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Describe los sucesos:
A = “Fin de semana”
B = “Los que empiezan por la letra M”
C = “Los que acaban en es”
a) E = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}
b) A = {Sábado, Domingo}
B = {Martes, Miércoles}
C = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes}
Unidad 13. Probabilidad ESO
10
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4. Escogemos una bola al azar de cada urna. Un caso es, por ejemplo, Azul-Negra.
1.ª urna 2.ª urna
a) Describe el espacio muestral.
b) Haz lo mismo si en la segunda urna hubiera una blanca y una negra.
a) E = {roja-negra, azul-negra, verde-negra}
b) E = {roja-negra, roja-blanca, azul-negra, azul-blanca, verde-negra, verde-blanca}
5. Lanzamos una moneda dos veces y anotamos los resultados ordenadamente.
a) Completa el espacio muestral: E = {CC, C+, …}
b) Describe los sucesos A = “La primera salió C”.
c) Repite la actividad suponiendo que lanzamos tres monedas en lugar de dos. Describe: B = “Obtener dos veces C” y D = “No obtener ninguna C”.
a) E = {CC, C+, +C, ++}
b) A = {CC, C+}
c) E = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, +++}
B = {CC+, C+C, +CC}
D = {+++}
Experiencias simples
6. Lanzamos un dado correcto. Calcula las probabilidades de que el resultado sea:
a) 1 o 2. b) Mayor que 2. c) Par.
d) Mayor que 1. e) Menor que 1. f ) Menor que 7.
a) P [1 o 2] = 62
31= b) P [> 2] =
64
32= c) P [par] =
63
21=
d) P [> 1] = 65 e) P [< 1] = 0 f ) P [< 7] = 1
7. Se extrae al azar una bola de la siguiente bolsa. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea azul.
b) No sea verde.
c) Sea roja o azul.
a) P [azul] = 82
41=
b) P [no verde] = 86
43=
c) P [roja o azul] = 83
Unidad 13. Probabilidad ESO
11
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
8. En la taquilla del cine me enseñan los huecos que quedan libres en verde:
7654321
Si digo que me asignen un hueco al azar, calcula la probabilidad de que me siente:
a) En primera fila.
b) Más atrás de la cuarta fila.
c) En algún sitio que no sean las dos primeras filas.
Hay 10 huecos libres:
a) P [fila 1.ª] = 103
b) P [más atrás de fila 4.ª] = 103
c) P [no 1.ª o 2.ª] = 105
21=
9. Metemos en una bolsa pequeñas cartulinas circulares, cada una con una pieza dibu-jada del juego de ajedrez. Observa las piezas que componen el juego. Elegimos una al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un peón? ¿Y de obtener un peón negro?
b) ¿Qué probabilidad hay de sacar una torre? ¿Y un caballo blanco? ¿Y uno de los reyes?
a) P [peón] = 3216
21= P [peón negro] = 32
841=
b) P [torre] = 324
81= P [rey] = 32
2161=
10. Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos, A, B, C y D, de la actividad 2.
P [A] = 124
31= P [B] = 12
832=
P [C] = 126
21= P [D] = 12
832=
11. Halla la probabilidad de los sucesos, A, B y C de la actividad 3.
P [A] = 72 P [B] = 7
2 P [C] = 75
Unidad 13. Probabilidad ESO
12
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 207
Experiencias compuestas independientes
12. Tiramos un dado y hacemos girar la ruleta:
1
3
75
9
8 24
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos números sean pares? ¿Y de que alguno de los dos sea impar?
b) Halla la probabilidad de obtener un número mayor que 2 en el dado y un color que no sea azul en la ruleta.
c) Calcula la probabilidad de obtener un 6 o un 5 en el dado.
d) Calcula la probabilidad de que la suma de los resultados sea mayor que 10.
a) P [par y par] = P [dado par] · P [ruleta par] = · ·63
83
21
83
163= =
b) P [> 2 dado y no ruleta azul] = P [> 2 dado] · P [no azul ruleta] = ·64
86
84
21= =
c) P [6 o 5 en dado] = 62
31=
d) P [suma > 10] = 4813
suma ruleta
dado 1 2 3 4 5 7 8 9
1 2 3 4 5 6 8 9 102 3 4 5 6 7 9 10 113 4 5 6 7 8 10 11 124 5 6 7 8 9 11 12 135 6 7 8 9 10 12 13 146 7 8 9 10 11 13 14 15
Unidad 13. Probabilidad ESO
13
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
13. Tiramos dos dados iguales. Cada uno tiene tres caras rojas, dos azules y una amari-lla.
El siguiente diagrama en árbol muestra las posibles combinaciones con sus probabilidades:
Calcula, a partir del diagrama en árbol, la probabilidad de obtener:
a) Dos caras rojas.
b) Una cara amarilla y una roja.
c) Dos caras iguales.
3/6
3/62/6
1/6
3/62/6
1/6
3/62/6
1/6
1/6
2/6
d) Dos caras distintas.
a) P [2 caras rojas] = · ·63
63
21
21
41= =
b) P [amarilla y roja] = · ·63
61
61
63
363
363
366
61+ = + = =
c) P [2 iguales] = · · ·63
63
62
62
61
61
369
364
361
3614
187+ + = + + = =
d) P [2 distintas] = 1 – P [2 iguales] = 1 – 187
1811=
14. Tiramos tres monedas.
a) Construye un diagrama en árbol con las posibles combinaciones.
b) Calcula la probabilidad de obtener dos caras y una cruz.
c) ¿Qué probabilidad hay de obtener alguna cruz?
a)
CCC1/2
1/2 CC+
C
+1/2
1/2
C
+1/2
1/2
C
+1/2
1/2
C
+
C+C1/2
1/2 C++
C
+
+CC1/2
1/2 +C+
C
+
++C1/2
1/2 +++
C
+
b) P [2C y 1+] = P [CC+] + P [C+C] + P [+CC] = · · · · · ·21
21
21
21
21
21
21
21
21
83+ + =
c) P [alguna cruz] = 1 – P [ninguna cruz] = 1 – P [CCC] = 1 – · ·21
21
21 1 8
187–= =
Unidad 13. Probabilidad ESO
14
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Experiencias compuestas dependientes. Probabilidad condicionada
15. Extraemos dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de estos suce-sos:
a) Un 5 y un rey.
b) Dos espadas.
c) Ninguna copa (no copa y no copa).
d) Dos figuras (sota, caballo o rey).
e) Una figura y una no figura.
a) P [5 y rey] = P [5] · P [rey/5] = · ·404
394
101
394
3904
1952= = =
b) P [2 espadas] = P [espada 1.ª] · P [espada 2.ª/espada 1.ª] =
= · ·4010
399
41
133
523= =
c) P [ninguna copa] = P [no copa 1.ª] · P [no copa 2.ª/ no copa 1.ª] =
= · ·4030
3929
43
3929
15687
5229= = =
d) P [2 figuras] = P [figura 1.ª] · P [figura 2.ª/figura 1.ª] =
= · ·4012
3911
103
3911
39033
13011= = =
e) P [figura y no figura] = P [figura 1.ª] · P [no figura 2.ª/ figura 1.ª] =
= · ·4012
3928
103
3928
39084
6514= = =
16. Lanzamos una moneda: si sale cara, tomo una carta de una baraja; si sale cruz, no sigo jugando.
a) ¿Qué probabilidad hay de obtener oros o figura?
b) ¿Qué probabilidad hay de que ninguna sea ni oro ni figura?
a) P [oros o figura] = P [cara] · P [oros o figura/cara] = ·21
4019
8019=
b) P [ni oros ni figura] = 1 – P [oros o figura] = 1 – 8019
8061=
Unidad 13. Probabilidad ESO
15
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
17. Cogemos al azar una bola de la 1.ª urna, la echamos en la 2.ª y sacamos una bola de esta 2.ª urna.
1.ª urna 2.ª urna
Dibuja en tu cuaderno un diagrama en árbol. Completa la composición de la segunda urna y las probabilidades de cada rama.
3/5
1.ª URNA 2.ª URNA
2/5
Calcula, a partir del diagrama, estas probabilidades:
a) P [1.ª y 2.ª ] b) P [1.ª y 2.ª ] c) P [2.ª ]
d) P [2.ª ] e) P [2.ª ]
3/5
1/4
1/4
2/4
2/4
1/4
1/4
1.ª URNA 2.ª URNA
2/5
a) P [1.ª y 2.ª ] = ·53
42
206
103= =
b) P [1.ª y 2.ª ] = ·52
41
202
101= =
c) P [2.ª ] = · ·53
42
52
41
206
202
208
52+ = + = =
d) P [2.ª ] = · ·53
41
52
42
203
204
207+ = + =
e) P [2.ª ] = · ·53
41
52
41
203
202
205
41+ = + = =
Unidad 13. Probabilidad ESO
16
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
18. Calcula las siguientes probabilidades condicionadas correspondientes a la experien-cia de las urnas del ejercicio anterior:
a) P [1.ª y 2.ª ] b) P [2.ª y 1.ª ]
c) P [2.ª y 1.ª ] d) P [2.ª y 1.ª ]
e) P [2.ª y 1.ª ] f ) P [2.ª y 1.ª ]
¿Qué ocurre con las dos últimas probabilidades? Explica por qué.
Las probabilidades del enunciado son las siguientes:
a) P [1.ª y 2.ª ] = ·53
41
203= b) P [2.ª y 1.ª ] = ·5
242
204
51= =
c) P [2.ª y 1.ª ] = ·53
42
103= d) P [2.ª y 1.ª ] = ·5
341
203=
e) P [2.ª y 1.ª ] = ·53
41
203= f ) P [2.ª y 1.ª ] = 5 4
10
211· =
Aplicando la igualdad P [A y B] = P [A] · P [B/A] podemos calcular las siguientes probabili-dades condicionadas:
a) P [1.ª /2.ª ] = //
7 203 20
73=
b) P [2.ª /1.ª ] = //
2 51 5
21=
c) P [2.ª /1.ª ] = //
5 21
33 10 =
d) P [2.ª /1.ª ] = //3 53 0 12
4=
e) P [2.ª /1.ª ] = //3 53 0 12
4=
f ) P [2.ª /1.ª ] = //
50
41
21 1 =
Las dos últimas probabilidades son iguales porque como no hay bolas rojas en la primera urna, el número de bolas rojas en la segunda urna siempre será 1.
Unidad 13. Probabilidad ESO
17
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 208
Tablas de contingencia
19. En un centro escolar hay 1 000 alumnos repartidos como indica esta tabla:
chicos chicas
usan gafas 187 113
no usan gafas 413 287
Se elige al azar uno de ellos. Di cuál es la probabilidad de que:
a) Sea chico.
b) Sea chica.
c) Use gafas.
d) No use gafas.
e) Sea una chica con gafas.
f ) Sabiendo que es una chica, use gafas.
chicos chicas total
usan gafas 187 113 300no usan gafas 413 287 700
total 600 400 1 000
a) P [chico] = 1000600
53=
b) P [chica] = 100000
54 2=
c) P [use gafas] = 100000 33
10=
d) P [no use gafas] = 1000007
107=
e) P [chica con gafas] = 1000113
f ) P [use gafas/chica] = 400113
Unidad 13. Probabilidad ESO
18
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
20. Hoy hay tres partidos: de baloncesto, de fútbol y de tenis. De los 40 amigos que hay en casa, 21 prefieren fútbol y 5, tenis. Hay 10 chicos que quieren baloncesto, 9 chicas que quieren fútbol y 3 chicas que prefieren ver el tenis. Si elegimos una persona al azar, calcula la probabilidad de que:
a) Sea chico.
b) No quiera ver el tenis.
c) Sea un chico que quiere ver el tenis.
d) Sea una chica que quiera ver el baloncesto.
e) Sabiendo que es una chica, que quiera ver fútbol.
f ) Sabiendo que prefiere ver tenis, que sea un chico.
baloncesto fútbol tenis total
chicos 10 12 2 24chicas 4 9 3 16total 14 21 5 40
a) P [chico] = 53
4024 = b) P [no quiere tenis] = 8
740
21 144035= =+
c) P [chico quiere tenis] = 0402
21= d) P [chica quiere baloncesto] = 1040
4 1=
e) P [fútbol/chica] = 169 f ) P [chico/quiere tenis] = 5
2
21. Se han hecho análisis de sangre 200 personas para determinar su grupo sanguíneo, así como el Rh. Los resultados se resumen en esta tabla:
grupo a
grupo b
grupo ab
grupo 0 totales
rh+ 74 12 6 70 162rh– 18 3 1 16 38totales 92 15 7 86 200
a) Si elegimos al azar una persona de entre esas 200, ¿cuál es la probabilidad de que su grupo sanguíneo sea A? ¿Y de que sea O? ¿Y de que tenga Rh+?
b) Si elegimos al azar una persona del grupo sanguíneo B, ¿cuál es la probabilidad de que tenga Rh+?
c) Sabiendo que una persona es del grupo A o B, ¿cuál es la probabilidad de que sea Rh+?
a) P [grupo A] = 20092
5023= P [grupo O] = 200
8610043=
P [Rh+] = 200162
10081=
b) P [Rh+/B] = 1512
54=
c) P [Rh+/A o B] = 92 1574 12
10786
++ =
Unidad 13. Probabilidad ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Resuelve problemas22. ¿Conoces el dominó? Es un juego cuyas fichas son de este tipo:
Hay fichas con todas las posibles combinaciones con los números 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, incluyendo las dobles como el 6-6 del dibujo.
a) Comprueba que en total son 28 fichas.
Si sacamos una al azar, halla la probabilidad de que:
b) La suma de los números sea 6.
c) La suma sea un número impar.
d) El producto de los dos números sea menor que 6.
En el desarrollo del juego, las fichas se van poniendo sobre la mesa y se van enlazando unas con otras, así:
La siguiente ficha debe tener un 2, y se situaría a la izquierda, o un 5, e iría a la derecha.
e) ¿Cuál es la probabilidad de que, sacando al azar una de las restantes fichas, pueda enlazar con una de las que están sobre la mesa?
a) Las fichas posibles son:
En total son 28 fichas.
b) P [suma 6] = 284
71=
c) P [suma impar] = 2812
73=
d) P [producto < 6] = 2813
e) Casos posibles = 22 porque ya hay 6 fichas sobre la mesa.
Casos favorables = 8 porque de las 13 fichas que podrían usarse, 5 ya están en la mesa.
P [enlazar] = 228
114=
Unidad 13. Probabilidad ESO
20
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
23. Lanzamos cuatro monedas. Calcula:
P [2 caras] P [Ninguna cara] P [Alguna cara]
Observamos el diagrama de árbol:
CCCC
CCC+
C
+C
+
C
+
C
+
CC+C
CC++
C
+
C+CC
C+C+
C
+
C++C
C+++
C
+
+CCC
+CC+
C
+C
+
C
C
+
+
C
+
+C+C
+C++
C
+
++CC
++C+
C
+
+++C
++++
C
+
P [2 caras] = 166
83=
P [Ninguna cara] = 161
P [Alguna cara] = 1615
Unidad 13. Probabilidad ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
24. Lanzamos dos dados. Halla la probabilidad de que el producto de las puntuaciones:
a) Sea 5. b) Sea 6. c) Sea 4.
a) P [producto 5] = 362
181=
b) P [producto 6] = 364
91=
c) P [producto 4] = 363
121=
producto 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 62 2 4 6 8 10 123 3 6 9 12 15 184 4 8 12 16 20 245 5 10 15 20 25 306 6 12 18 24 30 36
25. Lanzamos tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres puntuaciones sean menores que 5?
P [las tres menores que 5] = P [< 5] · P [< 5] · P [< 5] = · ·64
64
64
278=
26. Después de tirar muchas veces un modelo de chinchetas, sabemos que la probabili-dad de que una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,38.
Si tiramos dos chinchetas, ¿cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma?
HACIA ARRIBA
HACIA OTRO SITIOHACIA ARRIBA
1.ª CHINCHETA 2.ª CHINCHETA
0,38
0,62
HACIA ARRIBA
HACIA OTRO SITIOHACIA OTRO SITIO
0,38
0,62
0,38
0,62
P [distinta forma] = 0,38 · 0,62 + 0,62 · 0,38 = 0,47
27. En un laboratorio, para que un medicamento salga al mercado tiene que pasar tres controles. La probabilidad de superar el primero es 0,89; la de superar el segundo es 0,93 y la de superar el tercero es 0,85.
¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo producto no sea apto para salir al mercado?
P [no apto] = 1 – P [apto] = 1 – 0,89 · 0,93 · 0,85 = 1 – 0,70 = 0,3
Unidad 13. Probabilidad ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
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28. Una botella contiene 20 bolas de colores negro, rojo y verde. No sabemos cuántas de cada color, ni podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo podemos ver, cuando la tumbamos, el color de la bola que queda junto al tapón, que es transparente.
Durante unos días hacemos 1 000 veces la experiencia de agitar, inclinar la botella y anotar el color de la bola que se ve. Al final, hemos obtenido estos resultados:
f ( ) = 461 f ( ) = 343 f ( ) = 196
Vamos a estimar el número n de bolas negras:
fr ( ) = 1000461 = 0,461 y P [ ] = n
20Como fr ( ) ≈ P [ ], hacemos:
0,461 ≈ n20
→ n ≈ 20 · 0,461 = 9,22
Estimamos que el número de bolas negras es 9. ¿Cuántas bolas de cada color hay en la botella?
Procedemos de forma análoga al caso de la bola negra:
fr [roja] = 1000343 = 0,343 y P [roja] = r
20
Como fr [roja] ≈ P [roja] → 0,343 ≈ r20 → r ≈ 0,343 · 20 = 6,86
Estimamos que el número de bolas rojas es 7.
fr [verde] = 1000196 = 0,196 y P [verde] = v
20
0,196 ≈ v20 → v ≈ 0,196 · 20 = 3,92
Estimamos que el número de bolas verdes es 4.
9 negras + 7 rojas + 4 verdes = 20 bolas.
Unidad 13. Probabilidad ESO
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29. En un cajón hay 20 calcetines, pero no sabemos de qué colores. Sacamos un cal-cetín, anotamos el color y lo devolvemos al cajón. Lo hacemos cien veces y obtenemos 42 veces un calcetín negro; 8 veces uno rojo, y 50 veces uno blanco.
Estima cuántos calcetines hay de cada color.
fr [negro] = 10042 ≈ P [negro] = n
20
0,42 ≈ n20 → n ≈ 20 · 0,42 = 8,4
fr [rojo] = 1008 ≈ P [rojo] = r
20
0,08 ≈ r20 → r ≈ 0,08 · 20 = 1,6
fr [blanco] = 10050 ≈ P [blanco] = b
20
0,5 ≈ b20 → b ≈ 0,5 · 20 = 10
Estimamos que hay 8 calcetines negros, 2 calcetines rojos y 10 calcetines blancos.
30. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola caiga en cada uno de los depósitos?
A B C D E
P [A] = ·21
21
41=
P [B] = · ·21
21
21
81=
P [C] = · · ·21
21
21
21
21
81
41
83+ = + =
P [D] = · ·21
21
21
81=
P [E] = · ·21
21
21
81=
A B C D E
1/2
1/2 1/2 1/2 1/2
1/21/21/21/2
1/2