Números Complejos - El conjugado y el módulo de un complejo · 2017-11-29 · Álgebra...
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ÁlgebraSemestre 2018-1
El Conjunto de Julia Lleno
para la función holomorfa
f(z) = z2 + c
Animación por Ted Burke
Números ComplejosEl conjugado y el módulo de un complejo
Araceli Guzmán
Guillermo Garro
Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El conjugado
Si z = x+ iy, el conjugado de z es el número complejo
z = x− iy.
Tenemos entonces, por definición,
Re(z) = Re(z) y Im(z) = −Im(z).
Ejemplos
1 + 3i = 1− 3i, 5− 2i = 5 + 3i, −7− i = −7 + i, 2i = −2i, 4 = 4.
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El conjugado: Propiedades
Teorema
Si z ∈ C, entoncesz = −z si y sólo si Re(z) = 0.
Demostración.
Si z = a+ ib entonces z = a− ib y−z = −a− ib, por lo que
z = −z ⇔ a− ib = −a− ib
⇔ a = −a
⇔ 2a = 0
⇔ a = 0.
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El conjugado: Propiedades
Teorema
Si z ∈ C, entoncesz = z si y sólo si Im(z) = 0
Demostración.
Si z = a+ ib entonces z = a− ib, por lo que
z = z ⇔ a+ ib = a− ib
⇔ ib = −ib
⇔ i2b = −i2b
⇔ −b = b
⇔ 2b = 0
⇔ b = 0.
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El conjugado: Propiedades
Teorema
Si z ∈ C, entonces−z = −z y z = z.
Demostración.
Si z = x+ iy ∈ C,
−z = −x− iy = −x+ iy = −(x− iy) = −x+ iy = −z.
Y por otra parte,
z = a− ib = a+ ib = z.
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El conjugado: Propiedades
Teorema
Si z, w ∈ C,z + w = z + w.
Demostración.
Si z = x+ iy y w = u+ iv,
z + w = (x+ iy) + (u+ iv)
= (x+ u) + i(y + v)
= (x+ u)− i(y + v)
= (x− iy) + (u− iv)
= x+ iy + u+ iv
= z + w.
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El conjugado: Propiedades
Teorema
Si z, w ∈ C,zw = z w.
Demostración.
Si z = x+ iy y w = u+ iv,
zw = (x+ iy)(u+ iv)
= (xu− yv) + i(xv + yu)
= (xu− yv)− i(xv + yu)
= (xu− ixv)− (iyu+ yv)
= x(u− iv)− iy(u− iv)
= (x− iy)(u− iv)
= x+ iy u+ iv
= z w.
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El conjugado: Propiedades
Teorema
Para todo z ∈ C,(z)−1 = z−1.
Demostración.
Dado que z−1 es el inverso multiplicativo de z,
zz−1 = 1,
de donde
z z−1 = zz−1 = 1 = 1.
Esto es,
z−1 =1
z= (z)−1.
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El conjugado: Propiedades
Teorema
Si z, w ∈ C, ( z
w
)=
z
w.
Demostración.
( z
w
)= zw−1
= z w−1
= z (w)−1
=z
w.
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El conjugado: Propiedades
Teorema
Si z ∈ C,z + z = 2 Re(z) y z − z = 2i Im(z).
Demostración.
Si z = x+ iy, entonces
z + z = x+ iy + x− iy = 2x,
en tanto que
z − z = x+ iy − x+ iy = 2iy.
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El conjugado: Propiedades
Teorema
Si z ∈ C,z z = (Re(z))2 + (Im(z))2 .
Demostración.
Si z = x+ iy, entonces
zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 − (iy)2 = x2 − i2y2 = x2 + y2.
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Módulo de un número complejo
Si z ∈ C, definimos elmódulo de z, como el número real no-negativo
|z| =√z z =
√(Re(z))2 + (Im(z))2.
Observación: Si z es puramente real, entonces |z| coincide con el valor absoluto de
Re(z). En efecto, si z = Re(z) ∈ R, (i.e. Im(z) = 0), entonces |z| =√
(Re)2 = |Re(z)|.En este sentido, |z| es una generalización del valor absoluto.
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Módulo de un número complejo: Propiedades
Teorema
Para todo z ∈ C,|z| = |z| y | − z| = |z|.
Demostración.
Por un lado,
|z| =√
z z =√z z =
√z z = |z|.
Y por otra lado,
| − z| =√
(−z)(−z) =√
(−z)(−z) =√zz = |z|.
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Módulo de un número complejo: Propiedades
Teorema
Si z ∈ C, entonces
|Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
Demostración.
Tenemos,
|Re(z)| =√
(Re(z))2 ≤√
(Re(z))2 + (Im(z))2 =√zz = |z|.
Análogamente,
|Im(z)| =√
(Im(z))2 ≤√
(Re(z))2 + (Im(z))2 =√zz = |z|.
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Módulo de un número complejo: Propiedades
Teorema
Para todo z, w ∈ C,|z w| = |z||w|.
Demostración.
Tenemos,
|zw| =√
(zw)(zw)
=√
(zw)(z w)
=√
(zz)(ww)
=√zz
√ww
= |z||w|.
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Módulo de un número complejo: Propiedades
Teorema
1. Para todo z ∈ C, |z| ≥ 0.
2. Para todo z ∈ C, |z| = 0 si y sólo si z = 0.
3. Desigualdad del Triángulo: Para todos z, w ∈ C,
|z + w| ≤ |z|+ |w|.
Demostración.
1. Es obvio por definición.
2. Sea z = x+ iy. Entonces
|z| = 0 ⇔ |z|2 = x2 + y2 = 0
⇔ x2 = 0 y y2 = 0
⇔ x = 0 y y = 0
⇔ z = 0.
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Módulo de un número complejo:Propiedades
Prueba de la Desigualdad del Triángulo.
Tenemos,
|z + w|2 = (z + w)(z + w)
= (z + w)(z + w)
= zz + zw + zw + ww
= |z|2 + zw + zw + |w|2
= |z|2 + 2Re(zw) + |w|2
≤ |z|2 + 2|zw|+ |w|2
= |z|2 + 2|z||w|+ |w|2
= |z|2 + 2|z||w|+ |w|2
= (|z|+ |w|)2.
Por lo tanto,
|z + w| ≤ |z|+ |w|.
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Módulo de un número complejo: Propiedades
Teorema
Para todo z ∈ C, si z 6= 0, ∣∣z−1∣∣ = |z|−1.
Demostración.
Dado que z−1 es el inverso de z, y el módulo de un número real coincide con su valor
absoluto, tenemos,
1 = |1| = |zz−1| = |z||z−1|,
de donde
|z−1| = 1
|z| = |z|−1
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Módulo de un número complejo: Propiedades
Teorema
Para todo z, w ∈ C, si w 6= 0, ∣∣∣ zw
∣∣∣ = |z||w| .
Demostración.
∣∣∣ zw
∣∣∣ = |zw−1| = |z||w−1| = |z||w|−1 =|z||w| .
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Módulo de un número complejo: Otras Propiedades
Teorema
Para todo z, w ∈ C,||z| − |w|| ≤ |z − w|.
Demostración.
Tenemos,
|z| = |z − w + w| ≤ |z − w|+ |w|.
De donde
|z| − |w| ≤ |z − w|.
Por otro lado,
|w| = |w − z + z| ≤ |w − z|+ |z|,
de donde
|w| − |z| ≤ |w − z| = |z − w|.
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Módulo de un número complejo: Otras Propiedades
Teorema
Para todo z, w ∈ C,
|1 + zw| ≤√
1 + |z|2√
1 + |w|2 .
Primero recordemos una propiedad de números reales:
Lema
Si a y b son números reales,
2ab ≤ a2 + b2.
Demostración.
Se sigue de que 0 ≤ (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2.
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Módulo de un número complejo: Otras Propiedades
Teorema
Para todo z, w ∈ C,
|1 + zw| ≤√
1 + |z|2√
1 + |w|2 .
Demostración.
Tenemos,
|1 + zw|2 ≤ (1 + |z||w|)2
= 1 + 2|z||w|+ |z|2|w|2
≤ 1 + |z|2 + |w|2 + |z|2|w|2
= (1 + |z|2)(1 + |w|2).
Se sigue la desigualdad que queremos probar.
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Módulo de un número complejo: Otras Propiedades
Corolario
Para todo zj , wj ∈ C, j = 1, 2,
|z1w1 + z2w2| ≤√
|z1|2 + |z2|2√
|w1|2 + |w2|2 .
Demostración.
Si z1 = 0 ó w1 = 0 la desigualdad es inmediata (de hecho es una igualdad).
Supongamos que z1 6= 0 6= w1. Por el teorema anterior,
∣∣∣∣1 + z2w2
z1w1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣1 + z2z1
w2
w1
∣∣∣∣ ≤√
1 +
∣∣∣∣z2z1∣∣∣∣2√
1 +
∣∣∣∣w1
w2
∣∣∣∣2.De donde,
|z1w1 + z2w2| = |z1w1|∣∣∣∣1 + z2w2
z1w1
∣∣∣∣ ≤ √|z1|2 + |z2|2
√|w1|2 + |w2|2 .
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