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NIVEL 16: ESTRUCTURAS RECURSIVAS N-ARIAS
Árboles n-arios, 1-2-3, 2-3 y B
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Agenda
• Algorítmica de árboles n-arios
• Árboles 1-2-3
• Árboles 2-3
• Árboles B
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Árboles n-arios• Generalización de los árboles binarios
• Estructura recursiva en la que cada elemento tiene n árboles n-arios asociados
3
e
ai ana1......
Formalismo abstracto
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Árboles n-arios
• Conceptos que se extienden de árboles binarios
• Nodo: elemento del árbol• Raíz: nodo inicial del árbol• Hoja: nodo sin hijos• Camino: nodos entre dos elementos incluyéndolos• Rama: camino entre la raíz y una hoja• Altura: número de nodos en la rama más larga• Peso: número de nodos en el árbol
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Árboles n-arios
• Conceptos que se extienden de árboles binarios
• Orden de un elemento:• Número de subárboles asociados• Una hoja es un elemento de orden 0
• Orden de un árbol n-ario:• Máximo orden de sus elementos
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Árboles n-arios
Recorridos:
• Inorden:
• Preorden:
• Postorden:
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a
b c
e f
d
g h i
j k l m
b,a,e,c,f,j,g,k,l,m,d,h,ia,b,c,e,f,d,g,j,k,l,m,h,ib,e,f,c,j,k,l,m,g,h,i,d,a
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Implementación genérica
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Algorítmica• Similar a un árbol binario
• Primer nivel:
• trata el caso de un árbol vacío
• crea estructuras de datos como iteradores
• Segundo nivel:
• planteamiento recursivo
• Se tienen n avances posibles en la recursión
• Se requiere un ciclo para iterar sobre cada avance.
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo
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A trabajar...
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public class ArbolNArio<T>
{
public Iterador<T> darNivel( int nivel )
{
}
}
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Agenda
• Algorítmica de árboles n-arios
• Árboles 1-2-3
• Árboles 2-3
• Árboles B
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Árbol 1-2-3: Árbol triario ordenado
15
• Árbol n-ario ordenado de orden 3
• En cada nodo tiene 1 ó 2 elementos
50 75
20 30 60 80 90
52 58 77 85 86
Nodo con dos elementos
Nodo con un elemento
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Árbol 1-2-3: Árbol triario ordenado
16
• Cada nodo tiene 1, 2 ó 3 subárboles asociados
50 75
20 30 60 80 90
52 58 77 85 86
3 subárboles
1 subárbol 2 subárboles
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Árbol 1-2-3: Árbol triario ordenado
17
• No hay elementos repetidos
• El elemento de la izquierda de cada nodo (raíz izquierda) es menor que el elemento de su derecha (raíz derecha)
50 75
20 30 60 80 90
52 58 77 85 86
Raíz izquierda
Raíz derecha
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Árbol 1-2-3: Árbol triario ordenado
18
• El primer subárbol es un árbol 1-2-3 que contiene elementos menores que la raíz izquierda
50 75
20 30 60 80 90
52 58 77 85 86
Primer subárbol
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Árbol 1-2-3: Árbol triario ordenado
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• El segundo subárbol es un árbol 1-2-3 que contiene elementos mayores que la raíz izquierda pero menores que la raíz derecha
Segundo subárbol
50 75
20 30 60 80 90
52 58 77 85 86
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Árbol 1-2-3: Árbol triario ordenado
20
• El tercer subárbol es un árbol 1-2-3 que contiene los elementos mayores que la raíz derecha
50 75
20 30 60 80 90
52 58 77 85 86
Tercer subárbol
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Árbol 1-2-3: Árbol triario ordenado
21
• Si la raíz derecha está vacía, su tercer subárbol debe ser vacío (el segundo puede o no ser vacío).
50 75
20 30 60 80 90
52 58 77 85 86
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A trabajar...• Declaración en Java de la clase
• Para valores enteros simples
• Algorítmica básica:
• Búsqueda
• Inserción
• Supresión
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Agenda
• Algorítmica de árboles n-arios
• Árboles 1-2-3
• Árboles 2-3
• Árboles B
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Árbol 2-3: Árbol triario ordenado balanceado
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• Motivación:
• Optimizar el tiempo de acceso en una estructura de datos en memoria secundaria
• Acceso a la información en O(log3N)
• Baja complejidad en los algoritmos de actualización.
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Árboles 2-3
• Es un árbol 1-2-3 y además:
• Todas las hojas se encuentran en el mismo nivel
• Todos los nodos internos tienen por lo menos 2 subárboles asociados no vacíos, aunque la raíz derecha este vacía.
25
17 25
10 15 20 23 40 50
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Árbol 2-3
• Todos los nodos pueden tener hasta 2elementos.
• Un nodo interno puede tener 2 ó 3 hijos, dependiendo de cuántos elementos posea el nodo:
• Si hay 1 elemento en el nodo, debe tener 2 hijos
• Si hay 2 elementos en el nodo, debe tener 3 hijos
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Ejemplos
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Cada nodo tiene hasta 2 elementos
Cada nodo interno puede tener 2 o 3 hijos (dependiendo de cuántos elementos posea el nodo)
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Árbol 2-3
• Formalismo abstracto
28
r1 r2
a1 a2 a3
a =
a = ∆ árbol vacío
árbol NO vacío
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Árbol 2-3: Inserción
• El crecimiento NO se hace a nivel de las hojas
• Aunque la inserción se sigue haciendo en las hojas
• El crecimiento se hace a nivel de la raíz
• Todas las hojas se deben mantener siempre en el mismo nivel
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Árbol 2-3: Inserción Localizar la hoja en la cual se debe agregar el
elemento
Insertar
• Caso1: Existe espacio en el nodo -> la estructura del árbol NO se altera
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Árbol 2-3: Inserción• Caso 2: El nodo está lleno. Se debe modificar la estructura del
árbol:
• El nodo se parte en dos nodos del mismo nivel
• Los tres elementos (dos elementos del nodo y el nuevo elemento) se reparten de la siguiente manera:
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Árbol 2-3: Inserción
• El elemento que no fue incluido en los dos nodos nuevos se sube en la estructura y se inserta en su padre.
• Se repite el proceso hacia arriba:• Al partir en dos el nodo se está generando un nuevo subárbol que
puede generar que los ancestros se tengan que partir a su vez para poderlo incluir.
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Árbol 2-3 : Inserción
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Se parte en dos
Se crea un nivel
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Árbol 2-3 : Inserción
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Árbol 2-3 : Inserción
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Árbol 2-3 : Inserción
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Árbol 2-3 : Inserción
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Árbol 2-3 : Inserción
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Árbol 2-3 : Inserción
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Árbol 2-3: Eliminación• Caso1: El elemento está en una hoja
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Árbol 2-3 : Eliminación• Caso1: El elemento está en una hoja
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Se pierde un nivel
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Árbol 2-3 : Eliminación
• Caso1: El elemento está en una hoja
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Árbol 2-3 : Eliminación
• Caso1: El elemento está en una hoja
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Árbol 2-3 : Eliminación• Caso1: El elemento está en una hoja
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Se pierde un nivel
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Árbol 2-3 : Eliminación• Caso1: El elemento está en una hoja
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Árbol 2-3 : Eliminación• Caso 2: El elemento no está en una hoja
• Se busca un valor que se encuentre en una hoja y que pueda reemplazar el valor. (Como está ordenado, el candidato sería el menor del subárbol derecho)
• Solución para el caso 1
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Árbol 2-3 : Eliminación
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Árbol 2-3 : Eliminación
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• Ejemplo: Eliminar el 63
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Árbol 2-3 : Eliminación
49
• Ejemplo: Eliminar el 63
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Árbol 2-3 : Eliminación
50
• Ejemplo: Eliminar el 63
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Implementación
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Implementación
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Entrenador WEB
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A trabajar...• Desarrolle el método que permite buscar un elemento en un árbol 2-3
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...
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A trabajar...• Muestre el proceso de inserción en un árbol 2-3 de la siguiente
secuencia de valores:
• 25 – 86 – 34 – 23 – 4 – 98 – 12 – 56 – 74 – 77 - 80
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Agenda
• Algorítmica de árboles n-arios
• Árboles 1-2-3
• Árboles 2-3
• Árboles B
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Árboles B• Árbol n-ario ordenado y balanceado
• Generalización de un árbol 2-3
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B de orden 5
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Árboles B• Cada nodo tiene k elementos y k+1 subárboles B asociados
• Un árbol 2-3 es un árbol B de orden 3
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Árboles B• Para un árbol B de orden k:
• Todas las hojas se encuentran al mismo nivel
• Todos los nodos internos, excepto la raíz , tienen por lo menos ( k+1)/2 subárboles asociados no vacíos
• El número de elementos de un nodo interno es uno menos que el número de subárboles asociados
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Preguntas...
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