"Modelo matemático para predecir el comportamiento de

una máquina de fatiga por vibración resonante para

tuberías de perforación petrolera"

Nicolás Augusto Pava Roldán

Profesor asesor

Rodrigo Alberto Marín Castillo, PhDProfesor asociado, Ingeniería Mecánica

UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

Bogotá, DC. Colombia14 de agosto de 2020

Agradecimientos

Quisiera agradecer a mis padres por brindarme la oportunidad de estudiar. Igual-mente quisiera agradecerle a mi asesor Rodrigo por explicarme con gran dedicacióncualquier pregunta que tuve en el desarrollo del proyecto. Muchas gracias por estaoportunidad.

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Índice

1. Introducción 4

2. Objetivo 6

3. Metodología y desarrollo 73.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Validación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. Conclusiones 29

3

1. Introducción

La perforación direccional es un procedimiento utilizado en la explotación de yaci-mientos petroleros. Para esto es necesario construir un pozo utilizando un taladroque consta de una broca y una sarta de tubería, que se extiende desde la cabezadel pozo hasta la broca. Para esto es conveniente que la sarta de tubería gire ya medida que se aumenta la profundidad es necesario agregar mas secciones detubería. Como el yacimiento se encuentra horizontal, la orientación del pozo va-ria gradualmente de vertical a horizontal provocando que la tubería tenga unatrayectoria curva (Linares 2019) la cual se muestra en la Figura 1.

Figura 1: Perforación direccional. (PerfoBlogger 2009).

Ya que una sección de la tubería tiene curvatura, esta parte se somete a un mo-mento flector y como la tubería gira este momento flector varia en el tiempo. Estoprovoca un riesgo de falla por fatiga en la tubería. Por esta razón, es importanteconocer las cargas dinámicas en la tubería y para esto en la industria se realizanmétodos.

Debido a que el método convencional de la viga rotativa solo permite una frecuenciamáxima de 5 Hz, generando que los tiempos de la prueba sean largos. Y es necesarioprobar tuberías a altos y bajos niveles de esfuerzo, en especialmente a bajos nivelesya que se requieren un número alto de ciclos.

Por esta razón, se han desarrollado otros métodos como el ¨Resonant Bending

4

Beam Fatigue¨, que cumplen estos requerimientos. En la Figura 2 se muestra elmontaje de este tipo de pruebas.

Figura 2: Prueba de fatiga por resonancia. (Van Wittenberghe y col. 2012).

Donde:

1. Tubería de prueba.

2. Masa excéntrica.

3. Eje de cardán.

4. Motor eléctrico.

5. Contrapeso.

6. Soporte.

7. Marco.

8. Marco de seguridad.

Esta prueba consiste en un tubo elemento 1, que está simplemente apoyado en 6.En cada extremo a una masa concentrada, una de estas es estática 5 y la otra esuna masa excéntrica 2 que rota a una velocidad cercana a la primera frecuencianatural del tubo por acción del motor eléctrico 4.

5

2. Objetivo

El objetivo es validar el modelo matemático presentado en “Resonant BendingFatigue Test Setup for Pipes With Optical Displacement Measuring System" parapredecir la deflexión de las tuberías en el montaje de fatiga por resonancia.

6

3. Metodología y desarrollo

Para desarrollar el modelo matemático es necesario utilizar el diagrama de cuerpolibre mostrado en la Figura 3 creado a partir del montaje de la prueba mostradoen la Figura 2.

Figura 3: Diagrama de cuerpo libre del modelo. (Van Wittenberghe y col. 2012).

Donde u representa la deformación del tubo, x representa la longitud del tubo, mr

y ml representan las masas finales del tubo, sl y sr representan la distancia delcentro de masa de las masas finales al extremo del tubo y Jr y Jl representan losmomentos de inercia de las masas en los extremos.

Para modelar el comportamiento dinámico de de la tubería se utilizó la teoríade vibraciones transversales de una viga de Euler-Bernoulli donde se deduce sucomportamiento espacial y temporal del tubo mostrado en la ecuación diferencialparcial (1)(Rao 2007).

a2∂4u

∂x4+∂2u

∂t2= 0 (1)

Dondea2 =

EI

Aρ(2)

La u(x, t) representa la deflexión del tubo, E es el modulo de elasticidad, I el segun-do momento de área de la sección transversal, A el área de la sección transversal,xla variable espacial, t la variable temporal y ρ la densidad del material del tubo(Van Wittenberghe y col. 2012).

La ecuación (1) es una ecuación diferencial parcial homogénea la cual necesita 4condiciones de frontera y 2 condiciones iniciales. Para establecer las condiciones

7

de frontera del problema se proceden a desarrollar diagramas de cuerpo libre parax = −L/2 y x = −L/2 como se muestran en las Figuras 4 y 5, derivando en lasecuaciones (3),(4) y (5),(6) respectivamente.

Figura 4: Condición de fronterax = −L/2. (Van Wittenberghe y col. 2012).

Para el lado izquierdo, la ecuación (3) representa el balance de momentos y laecuación (4) representa el balance de fuerzas:

EI · ∂2u

∂x2+mll ·

∂2u

∂t2− (Jl +ml · s2l ) ·

∂3u

∂x∂t2= 0 (3)

EI · ∂3u

∂x3+ml ·

∂2u

∂t2−ml · sl ·

∂3u

∂x∂t2= 0 (4)

Figura 5: Condición de fronterax = L/2. (Van Wittenberghe y col. 2012).

Para el lado derecho, la ecuación (5) representa el balance de momentos y la

8

ecuación (6) representa el balance de fuerzas, en las dos ecuaciones esta presenteel efecto de una fuerza excéntrica:

EI · ∂2u

∂x2+mr · sr ·

∂2u

∂t2+ (Jr +mr · s2r) ·

∂3u

∂x∂t2= Fe · le (5)

− EI · ∂3u

∂x3+mr ·

∂2u

∂t2+mr · sr ·

∂3u

∂x∂t2= Fe (6)

Debido a que las condiciones de frontera en el lado derecho contienen una fuerza quevaria armónicamente en el tiempo , Fe(t). Esto causa que el método de separaciónde variables para resolver la ecuación (1) falle. Por lo tanto, es necesario utilizarel método propuesto por (Mindlin y Goodman 1950) para solucionar ecuacionesdiferenciales parciales con condiciones de fronteras dependientes del tiempo. Laidea central de este método consiste en definir la siguiente solución de la ecuación(1) como:

u(x, t) = τ(x, t) +4∑

i=1

fi(t) · gi(x) (7)

Donde τ(x, t) es una varíale espacial y temporal a encontrar, fi(t) representan lascondiciones de frontera y gi(x) son funciones que buscan reducir la condicionesde frontera a cero.En este caso particular las condiciones de frontera en el ladoizquierdo están igualadas a 0, es decir que f1 = 0 y f2 = 0, mientras que lascondiciones de frontera en el lado derecho generan f3 = Fe · le y f4 = Fe. Alexpandir la ecuación (7) se obtiene como resultado la siguiente ecuación:

u(x, t) = τ(x, t) + Fe · le · g3(x) + Fe · g4(x) (8)

Remplazando la ecuación (8) en la ecuación (1) se obtiene la nueva ecuación dife-rencial parcial que se desea resolver es:

a2∂4τ

∂x4+∂2τ

∂t2= −a2 · Fe · le · g

′′′′

3 − Fe · le · g3 − a2 · Fe · g′′′′

4 − Fe · g4 (9)

Este procedimiento se realiza con el fin de eliminar la componente temporal delas condiciones de frontera. Por esta razón se reemplaza la ecuación (8) en laecuaciones (3),(4),(5),(6). Donde el superíndice ′ significa la derivada con respecto

9

al espacio y el superíndice ˙ significa la derivada con respecto al tiempo.

Para el lado izquierdo del tubo las nuevas condiciones de frontera quedan de lasiguiente manera:

EI · ∂2τ

∂x2+ml · sl ·

∂2τ

∂t2− (Jl +ml · s2l ) ·

∂3τ

∂x∂t2= −EI · g′′3 · Fe · le

−ml · sl · g3 · Fe · le+ (Jl +ml · s2l )Fe · g′3 · le− EI · g′′4 · Fe

−ml · sl · g4 · Fe

+ (Jl +ml · s2l ) · Fe · g4

(10)

EI · ∂3τ

∂x3+ml ·

∂2τ

∂t2−ml · sl ·

∂3τ

∂x∂t2= −EI · g′′′3 · Fe · le −ml · g3 · Fe · le

+ml · sl · Fe · g′3 · le − EI · g′′′4 · Fe

−ml · g4 · Fe +ml · sl · Fe · g′4

(11)

Para el lado derecho se obtienen las siguientes condiciones de frontera:

EI · ∂2τ

∂x2+mr · sr ·

∂2τ

∂t2+ (Jr +mr · s2r) ·

∂3τ

∂x∂t2= Fe · le − EI · g′′3 · Fe · le

−mr · sr · g3 · Fe · le− (Jr +mr · s2r) · Fe · g′3 · le− EI · g′′4 · Fe

−mr · sr · g4 · Fe

− (Jr +mr · s2r) · Fe · g′4(12)

10

−EI · ∂3τ

∂x3+mr ·

∂2τ

∂t2+mr · sr ·

∂3τ

∂x∂t2= Fe + EI · g′′′3 · Fe · le −mr · g3 · Fe · le

−mr · sr · Fe · g′3 · le + EI · g′′′4 · Fe

−mr · g4 · Fe −mr · sr · Fe · g′4(13)

Ahora se busca unas funciones g3(x) y g4(x) que causen que las condiciones defrontera no homogéneas (10),(11),(12),(13) lo sean. Para lograr esto se proponeque las funciones g3(x) y g4(x) tengan una forma polinómica de grado 7:

g3(x) = a0 + a1 · x+ a2 · x2 + a3 · x3 + a4 · x4 + a5 · x5 + a6 · x6 + a7 · x7 (14)

g4(x) = b0 + b1 · x+ b2 · x2 + b3 · x3 + b4 · x4 + b5 · x5 + b6 · x6 + b7 · x7 (15)

Para encontrar los coeficientes ai y bi de estas funciones se formulan requerimientosque igualen las nuevas condiciones de frontera a cero. Estos requerimientos no sonúnicos. Aquí se mostraran dos alternativas. La primera consiste en los siguientesrequerimientos:

g4(−L/2) = −g3(−L/2) · le (16)

g′4(−L/2) = −g′3(−L/2) · le (17)

g′′4(−L/2) = −g′′3(−L/2) · le (18)

g′′′4 (−L/2) = −g′′′3 (−L/2) · le (19)

g4(L/2) = −g3(L/2) · le (20)

g′4(L/2) = −g′3(L/2) · le (21)

Fe · le− EI · g′′4(L/2) · Fe− EI · g′′3(L/2) · Fe · le = 0 (22)

Fe− EI · g′′′4 (L/2) · Fe− EI · g′′′3 (L/2) · Fe · le = 0 (23)

Este conjunto de condiciones conforma un sistema de ecuaciones simultaneas en el

11

que las incógnitas son los coeficientes de g3(x) y g4(x).Este sistema de ecuacionesse resolvió con la rutina solve de Matlab. Al resolver se obtuvo que la funcióng4(x) = 0 mientras que para la función g3(x) se encontraron los siguientes valorespara los coeficientes:

a3 =4 · L3 + 72 · le · L2

3072 · EI · le(24)

b3 =8 · L2 + 192 · le · L

3072 · EI · le(25)

c3 = −4 · L+ 56 · le256 · EI · le

(26)

d3 = − 8 · L+ 160 · le256 · EI · L · le

(27)

e3 =4 · L+ 40 · le64 · EI · L2 · le

(28)

f3 =8 · L+ 128 · le64 · EI · L3 · le

(29)

h3 = − 4 · L+ 24 · le48 · EI · L4 · le

(30)

i3 = − 8 · L+ 96 · le48 · EI · L5 · le

(31)

La forma final de la función g3(x) para los primeros requerimientos se muestra enla Figura 6.

12

Figura 6: Función g3(x) para los primeros requerimientos.

La segunda combinación de requerimientos en el lado izquierdo:

g3(−L/2) = 0 (32)

g′3(−L/2) = 0 (33)

g′′3(−L/2) = 0 (34)

g′′′3 (−L/2) = 0 (35)

g4(−L/2) = 0 (36)

g′4(−L/2) = 0 (37)

g′′4(−L/2) = 0 (38)

g′′′4 (−L/2) = 0 (39)

En el lado derecho:g3(L/2) = 0 (40)

g′3(L/2) = 0 (41)

g′′3(L/2) =1

EI(42)

13

g′′′3 (L/2) = 0 (43)

g4(L/2) = 0 (44)

g′4(L/2) = 0 (45)

g′′4(L/2) = 0 (46)

g′′′4 (L/2) =−1

EI(47)

Al resolver con estas restricciones se encuentran los siguientes coeficientes parag3(x):

a3 =L3

768 · EI · le(48)

b3 =L2 + 456 · EI · le

384 · EI · le(49)

c3 = − L

64 · EI · le(50)

d3 = −L2 + 280 · EI · le32 · EI · L2 · le

(51)

e3 =1

16 · EI · L · le(52)

f3 =L2 + 168 · EI · le8 · EI · L4 · le

(53)

h3 = − 1

12 · EI · L3 · le(54)

i3 = −L2 + 120 · EI · le6 · EI · L6 · le

(55)

Para g4(x):

a4 =3 · L2 · le128 · EI

(56)

b4 = − 7 · le32 · EI

(57)

c4 = − L

64 · EI · le(58)

14

d4 = −5 · (L · le− 14 · EI · le)8 · EI · L2

(59)

e4 =5 · le

8 · EI · L2(60)

f4 =2 · L · le− 21 · EI · le

EI · L4(61)

h4 = − le

2 · EI · L4(62)

i4 = −2 · le · (L− 10 · EI)EI · L6

(63)

Para los segundos requerimientos las funciones g3(x) y g4(x) se muestran en laFigura 7.

Figura 7: Función g3(x) y g4(x) para los segundos requerimientos.

De aquí en adelante se trabajará con la primera alternativa de las funcionesg3(x),g4(x). Al reemplazar las ecuaciones (14) y (15) en las ecuaciones (10),(11),(12),(13)se verifica que todas las condiciones de frontera son ahora cero, en el lado izquierdo:

EI · ∂2τ

∂x2+ml · sl ·

∂2τ

∂t2− (Jl +ml · s2l ) ·

∂3τ

∂x∂t2= 0 (64)

EI · ∂3τ

∂x3+ml ·

∂2τ

∂t2−ml · sl ·

∂3τ

∂x∂t2= 0 (65)

15

Para el lado derecho las condiciones de frontera son:

EI · ∂2τ

∂x2+mr · sr ·

∂2τ

∂t2+ (Jr +mr · s2r) ·

∂3τ

∂x∂t2= 0 (66)

− EI · ∂3τ

∂x3+mr ·

∂2τ

∂t2+mr · sr ·

∂3τ

∂x∂t2= 0 (67)

Con las condiciones de fronteras igualadas a cero se procede a resolver la nue-va ecuación (9) con las condiciones de frontera (64),(65),(66),(67). Esta es unaecuación diferencial parcial con condiciones de frontera homogéneas y una fun-ción excitadora no homogénea. Para resolver esta ecuación se utiliza el método deseparación de variables donde se dice que la solución de la ecuación (9) tiene lasiguiente forma (Rao 2007):

τ(x, t) =∞∑n=1

XnTn (68)

Se propone la siguiente forma para g3(x) y g4(x) (Mindlin y Goodman 1950):

g3(x) =∞∑n=1

GinXn (69)

g′′′′

3 (x) =∞∑n=1

G4inXn (70)

Donde Gin y G4in son coeficientes que se calculan usando el hecho que las funciones

Xn son ortogonales en el intervalo x = −L/2,x = L/2. Por lo tanto, son:

Gin =

∫ L/2

−L/2g3(x)Xn · dx∫ L/2

−L/2X2

n · dx(71)

16

G4in =

∫ L/2

−L/2g

′′′′

3 (x)Xn · dx∫ L/2

−L/2X2

n · dx(72)

Entonces, la ecuación espacial es la siguiente:

a2 ·X ′′′′n − ω4Xn = 0 (73)

y la ecuación temporal es la siguiente:

− TnTn

− a2·Fe · le ·G4

in

Tn− Fe · le ·Gin

Tn= ω4 (74)

La solución general de la ecuación (73) es la siguiente (Rao 2007):

Xn = C1 sinhαx+ C2 coshαx+ C3 sinαx+ C4 cosαx (75)

Donde

α2 = ω ·√Aρ

EI(76)

Para hallar los coeficientes C1,C2,C3,C4 y α, se reemplaza la ecuación (75) en lascondiciones de frontera 64,65,66,67. Además, se sabe que ω son las frecuenciasnaturales del sistema (Linares 2019).Para resolver la ecuación temporal es conveniente hacer un cambio de variablepara facilitar la solución (Rao 2007):

zn = α2 ·

√EI

Aρ(77)

Con este cambio de variable la ecuación (74) queda:

− TnTn

− a2·Fe · le ·G4

in

Tn− Fe · le ·Gin

Tn= z2n (78)

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Organizando los términos se tiene que:

Tn + z2n · Tn = −a2 · Fe · le ·G4in − Fe · le ·Gin (79)

La ecuación (79) tiene como solución homogénea (Rao 2007):

Tn = En cos znt+ Fn sin znt (80)

y la solución particular tiene esta forma:

Tn =1

zn

∫ t

0

(−a2 · Fe(s) · le ·G4in − Fe(s) · le ·Gin) sin zn(t− s)ds (81)

Por lo tanto, la solución general es la suma de las ecuaciones (80) y (81).

Tn = En cos znt+Fn sin znt+1

zn

∫ t

0

(−a2 ·Fe(s)·le ·G4in−Fe(s)·le ·Gin) sin zn(t− s)ds

(82)Aún falta calcular las constantes En y Fn. Para esto se utilizan las condicionesiniciales del problema. Cuando las condiciones de frontera no eran homogéneas:

u(x, 0) = 0 (83)

u(x, 0) = 0 (84)

Después del cambio en las condiciones de frontera y al ser Xn ortogonal se tieneque:

τ(x, 0) =∞∑n=1

EnXn = −Fe(0) · le · g3(x) (85)

τ(x, 0) =∞∑n=1

FnXnzn = −Fe(0) · le · g3(x) (86)

18

Donde En y Fn se determinan usando de nuevo la ortogonalidad de Xn:

En =

∫ L/2

−L/2−Fe(0) · le · g3(x)Xn · dx∫ L/2

−L/2X2

n · dx(87)

Fn =

∫ L/2

−L/2−Fe(0) · le · g3(x)Xn · dx

zn ·∫ L/2

−L/2X2

n · dx(88)

En este problema la fuerza excitadora es:

Fe(t) = me · le · ω2e · ei·ωe·t (89)

Donde ωe = 0,98 · ω = 197,3 rad/s.Finalmente, con la ecuación espacial y temporal resuelta se obtiene la solución (9)y por lo tanto se obtiene la solución completa de la ecuación original (7).

3.1. Ejemplo

Se puede probar el modelo analítico al realizar una prueba con un tubo con lossiguientes parámetros:

E = 200 GPaDo = 126,5 mmDi = 43,8 mmL = 4,09 mA = 0,011 m2

V = 0,045 kg/m3

I = 1,24e−5 m4

Jr = Jl = 2,48e−5 m4

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ml = mr = 12,2 kgsl = sr = 0 mme = 3,3 kgle = 67 mm

Primero se realizó la solución espacial con ayuda del método descrito en (Linares2019), Con este método se obtuvo la primera frecuencia natural de ω = 201,33

rad/s. Esta se puede observar en la Figura 8.

Figura 8: Frecuencias naturales son los ceros de la gráfica.

Habiendo hallando la primera frecuencia natural y la segunda frecuencia naturalse procede a obtener los modos naturales del tubo, es decir la ecuación (75) losdos primeros modos se pueden observar en la Figura 9:

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Figura 9: Dos primeros modos de vibración.

Enseguida se procede a encontrar la solución temporal. Para esto es necesarioencontrar las constantes Gin,G4

in, En y Fn calculando integrales numéricamenteusando Matlab según las ecuaciones (71),(72),(87) y (90) respectivamente, utili-zando la primera combinación de funciones g3(x) y g4(x) se obtienen las siguientesconstantes:

Gin = −0,0000000290676

G4in = −0,0000003488409

En = 0

Fn = 0,0002451796767918

Con estas constantes encontradas se reemplaza en la ecuación (82). La solucióntemporal se pude observar en la Figura 10.

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Figura 10: Solución temporal.

Con la solución temporal y espacial encontradas se obtiene la solución de la ecua-ción (9) y por lo tanto se puede obtener la deformación del tubo a partir de laecuación (7), el resultado se puede observar en la figura 11.

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Figura 11: Deformación del tubo(Solución general).

3.2. Validación

Para validar esta solución se realizo un análisis de elementos finitos armónico deltubo con las dimensiones y constante mecánicas mencionadas anteriormente enAnsys Workbench 2020 R2 el objetivo fue calcular la respuesta forzada del tuboa una frecuencia cercana a la del primer modo de vibración. Este modelo cuentacon 89709 nodos se puede observar en la Figura 12.

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Figura 12: Enmallado del tubo.

Al modelo se le puso dos condiciones de frontera, debido a que es un problemaasimétrico, no desplazamiento en el eje x y el eje y. Cada condición se puso a 0,84m de cada extremo del tubo, esto se debe a que en el análisis homogéneo los cerosdel primer modo en la Figura 9 significan los apoyos del tubo y están ubicados a0,84 m. Se puede observar en la Figura 13.

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Figura 13: Condiciones de frontera.

Además, se incluyó la fuerza excitadora a 67 mm del extremo izquierdo del tubocon componentes en x de 8606 N y en y de 8606 N. Como se puede observar en laFigura 14.

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Figura 14: Fuerza excitadora.

A continuación, se puede observar la configuración de la solución de elementosfinitos armónicos en la Figura 15:

26

Figura 15: Configuración de la solución armónica.

Al solucionar el modelo se obtuvo la deformación direccional en el eje x. Se puedeobservar mediante los colores las vibraciones transversales en la Figura 16.

Figura 16: Deformación del tubo .

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A continuación se compara la solución del modelo analítico y del modelo de AnsysWorkbench como se puede observar en la Figura 17.

Figura 17: Comparación de los dos modelos.

Además, en la Figura 17 se observa que las dos soluciones tienen una forma similary se obtuvo un error del 3,44% respecto al modelo del Ansys. Este error se calculóde la siguiente manera:

Error =

∑Ni=1(Analtico(i)− Ansys(i))2

N(90)

Donde N es el número de datos de la deformación, Analítico(i) es cada punto dela deformación analítica y Ansys(i) es cada punto de la deformación del modelode Ansys Workbench.

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4. Conclusiones

Se logró obtener una solución completa del modelo analítico de la prueba defatiga.

Se válido este modelo con una solución computacional dada por Ansys Work-bench.

Se obtuvo un error pequeño, de 3,44% respecto al modelo computacional.

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ReferenciasLinares, M. A. (2019). «Modelo matemático para predecir el comportamiento deuna máquina de fatiga por vibración resonante para tuberias de perforacionpetrolera». En:

Mindlin, R. D. y L. E. Goodman (1950). «Beam Vibrations With Time-DependentBoundary Conditions». En: Journal of Applied Mechanics 17, págs. 377-380.

PerfoBlogger (2009). Técnicas de perforación direccional. http://perfob.blogspot.com/2009/06/perforacion-direccional.html.

Rao, Singiresu S. (mar. de 2007). Vibration of Continuous Systems. English (US).John Wiley y Sons. isbn: 0471771716. doi: 10.1002/9780470117866.

Van Wittenberghe, Jeroen y col. (feb. de 2012). «Resonant Bending Fatigue TestSetup for Pipes With Optical Displacement Measuring System». En: Journal ofOffshore Mechanics and Arctic Engineering 134.3. 031702. issn: 0892-7219. doi:10.1115/1.4005182. eprint: https://asmedigitalcollection.asme.org/offshoremechanics/article-pdf/134/3/031702/5489233/031702\_1.pdf.url: https://doi.org/10.1115/1.4005182.

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