Newton C. a. Da Costa & Rolando Chuaqui - Interpretaciones y Modelos en Ciencia

Interpretaciones y Modelos en Ciencia ∗†

Newton C. A. da Costa‡ y Rolando Chuaqui§

Cuando estudiamos un dominio del conocimiento, por ejemplo, una rama de la fısica,aspectos de la teorıa del aprendizaje en psicologıa o algun, tipo de estructura economica,siempre esquematizamos lo real por media de un modelo mas o menos abstracto, aunquea veces esto sea hecho inconscientemente. Ası, cuando elaboramos una teorıa, como lamecanica newtoniana o la relatividad general, de hecho estamos considerando ciertos mo-delos que interpretan las propriedades fısicas, aunque a veces ellos no esten completamenteexplicitados.

Algo similar ocurre en matematica y en logica, esto es, en las ciencias formales. Aunpodemos asegurar que una de las caracterısticas de la logica y la matematica actuales radicaen el hecho de que ellas utilizan normal y sistematicamente la idea de modelo.

El concepto de modelo en todas sus acepciones, como se vera en cierto detalle masadelante, esta ıntimamente ligado con el de interpretacion. Hablar de interpretacion enciencia, significa hablar de intepretacion de um lenguaje en un posible modelo y, en el casode las ciencias empıricas, de las relaciones de este modelo con la realidad. Luego, discutirsobre interpretaciones equivale a tratar de modelos, y recıprocamnente. De ahı que uno delos conceptos centrales de las ciencias, tanto de las ciencias formales (logica y matematica)como de las ciencias empıricas (ciencias naturales y ciencias culturales) sea el concepto demodelo.1

Siempre que investigamos un dominio del conocimiento en las ciencias empıricas, diga-mos D, “modelamos” D por medio de un modelo M. Esto es, intepretamos M de acuerdoal dominio D, de tal manera que el modelo M sea lo mas fiel posible a D. Razonamos, en-tonces, sobreM, procurando obtener proposiciones verdaderas referentes aM, que tambien

∗Apresentacao do texto preparada sob a responsabilidade do professor Roque Caiero. Este texto temcarater no oficial relativamente Universidade Federal do ABC e tampouco representa os outros professoresdas disciplinas. Texto utilizado estritamente nas disciplinas temticas de Filosofia, Teoria e Epistemologia daCincia & Lgica.†Artıculo a aparecer en Revista Universitaria, Universidad Catolica de Chile, 1985.‡Departamento de Filosofıa, Universidad de Sao Paulo, Brasil.§Departamento de Matematica, Pontificia Universidad Catolica de Chile.1Aunque, a primera vista, haya varias acepciones de la palabra “modelo” como se usa en ciencia, todas

estas acepciones se reducen a dos: la de modelo determinıstico y la de modelo estocastico. Los modelos es-tocasticos o probabilısticos involucran el concepto de probabilidad y no seran considerados aquı. Un ejemplode modelo estocastico es el modelo del diagnostico medico que aparece en artıculo de Juan Pablo Llanes.En este artıculo, solamente trataremos de los modelos determinısticos, donde el concepto de probabilidad nointerviene. Quando hablemos de modelo en el presente artıculo, siempre nos estaremos refiriendo a modelosdeterminısticos.

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Interpretaciones y Modelos en Ciencia N.C.A. da Costa y R. Chuaqui 2

nos conduzcan, a traves de su interpretacion, a proposiciones verdaderas de D (esto es, aproposiciones verdaderas en la porcion de la realidad que se quiere estudiar). Si los resul-tados obtenidos de hecho nos conducen a verdades sobre D (la realidad), nuestro modelofunciona, y su teorıa, esto es el conjunto de las proposiciones de un lenguaje apropiado quese refiere a M (y indirectamente D) y que son verdaderas en M (esto es, en el modelo), seacepta como formada por proposiciones verdaderas (o, simplesmente, se dice que la teorıaes verdadera).

El esquema de abajo ilustra la situacion descrita:

D ⇐= M ⇐= L

(El sentido de las flechas indica el sentido de la interpretacion)

esto es, L es el lenguage en el cual hablamos de D (ideal),M es el modelo que esquematizaa D y D es el dominio de concimiento correspondiente a una porcion de la realidad.

A partir de D (la realidad) construımos M (el modelo) y, raciocinando sobre M, seobtienen resultados sobre D. El artificio de substituir D por M simplifica la tarea delcientista y permite que se domine la realidad simplificandola, esquematizandola.

Todo uso de teorias en las ciencias empıricas, por lo menos en las ciencias deterministas(que no involucran el concepto de probabilidad dentro de sus conceptos basicos), se reduceal uso de modelos, en el sentido antes explicado; recıprocamente, la utilizacion de modelossiempre esta ligada a teorıas, esto es, proposiciones o conjuntos de proposiciones que valenen estos modelos.

Si una proposicion que es verdadera en el modelo M es falsa en D, el modelo debe serrechazado o modificado.2

Un ejemplo de uso de modelos en ciencia empıricas que creemos se adapta muy bienal esquema aqui presentado, aparece en el estudio de la interpretacion bıblica, como espresentada por el P. Antonio Moreno. Para interpretar algun libro de la Biblia, es necessarioprimeramente formular un modelo que refleje las condiciones historicas del perıodo en quese supone que se escribio el libro. La interpretacion del texto bıblico se basa, entonces,en este modelo Por su parte, el hecho de poder encontrar una interpretacion adecuada, esevidencla favorable a la correcion del modelo para el perıodo historico en cuestion. Vemosası, que un modelo puede involucrar una descripcion de sucesos que transcurren en el tiempo,adaptandose a situaciones historicas.

Aunque la descripcion que hemos dado de los modelos en ciencias empıricas haya sidoimpreciso y simplificado, creemos que el objetivo de su utilizacion quedo claro: tratar deesquematizar la realidad para comprendela y dominarla.

2Esta descripcion del rechazo de posibles modelos a base de evidencia negativa, esta muy simplificada porlo menos en el seguiente aspecto. La interpretacion del modelo M en la realidad D puede estar basada enalgunas suposiciones que tambien esten sujetas a confirmacion empırica. Luego, es posible en ciertos casossalvar al modelo modificando estas suposiciones.


Los modelos en muchas ciencias empıricas, se construyen con el auxilio de concep-tos matematicos, que se agregan a la contraparte empırica. En la matematica, sin em-bargo, como veremos en la proxima seccion, los modelos se edifican abstractamente, re-curriendo a la teorıa de conjuntos. La matematica usual, bajo ciertos aspectos, puede serdefinida como la disciplina que trata de los modelos o estructuras conjuntistas. Las diver-sas teorıas matematicas poseen sus modelos caracterizados por determinadas propiedades,y recıprocamente, clases importantes de modelos definen teorıas. La relevancia de lamatematica para las ciencias empıricas esta ligada en gran parte a esta circunstancia.

Los modelos en logica matematica

En efecto, podemos asegurar que una de las carecterısticas de las ciencias formales ac-tuales radica en el hecho de que ellas utilizan normal y sistematicamente la idea de modelo.La teorıa de los modelos, que puede servir de paradigma para estos usos, es una disci-plina con carcterısticas bien precisas dentro de los estudios de logica y fundamentos de lamatematica. Estudia las relaciones de los lenguajes formales usados en logica y sus posi-bles interpretaciones. Estas interpretaciones, que son estructuras matematicas abstractas,constituyen los llamados posibles modelos de un lenguaje. Ası, a diferencia de las cienciasempıricas, los modelos modelan un lenguaje y no la realidad.

Aunque se puede decir que los matematicos siempre consideraron intuitivamente lanocion de modelo, solo en el siglo XIX esta nocion aparecio explıcitamente. Los matematicosse vieron forzados a observar a mediados de ese siglo que una teoria puede tener mas deun modelo, cuando Bolyai, Lobachewski, Riemann y otros desarrollaron las geometrıas noeuclidiana, donde el postulado de las paralelas es falso, y posteriormente se construyeronmodelos para ellas dentro de la geometrıa euclidiana. Mas tarde, en el mismo siglo XIX,Frege desarrollo formalmente la logica de predicados y Cantor estudio la teoria de conjuntos,donde viven las estructuras matematicas que son nuestros modelos.

La teorıa de modelos propiamente dicha, esto es el estudio de las relaciones entre lengua-jes e interpretaciones, es joven. Como disciplina separada no se visualizo hasta despues de1950. Fue bautizada con ese nombre por Tarski en 1954. Sin embargo, sus raıces son mas an-tiguas. Ası, el primer teorema que puede considerarse dentro de la teorıa es el de Lowenheimde 1914. Otros resutados importantes de esta primera etapa son el teorema de completudde Godel (1930) y la definicion matematica de verdad para lenguajes formalizados de Tarski(1931), que discutiremos mas adelante.3

El area crecio rapidamente despues de 1950, estimuladas por trabajos de Henkin, elmismo Tarski y A. Robinson. El primer simposio internacional de teorıa de modelos serealizo en Berkeley, California en 1963.

El uso de lenguajes es parte de una las formas con que nos relacionamos con la realidad.Usamos un lenguaje para describir la realidad. En este lenguaje, mencionamos objetos

3En la Revista Universitaria ns. 9 y 11, en artıculos del Profesor Rolando Chuaqui, aparecen explicadosalgunos aspectos de la obra de estos autores.


hablamos de sus propriedades y de las relaciones entre ellos. Cuando nuestras asercionesse ajustan a la realidad, decimos que son verdaderas. En general, comprendemos lo quesignifica que una proposicion expresada en castellano sea verdadera o falsa. Sin pretenderser rigurosos, podemos decir que una proposicion es verdadera cuando “corresponde” a larealidad. O, como Aristoteles lo senala: Decir de lo que es que no es, o de lo que no es quees, es falso, mientras que decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es, es verdadero.4

Esta concepcion de verdad como correspondencia con la realidad, ha sido representadamatematicamente por Tarski. Como dijimos mas arriba, la representacion de Tarski fue laculminacion de un largo proceso historico del desarrollo de los modelos matematicos. Acontinuacion daremos una idea de la definicion de Tarski, que es el pilar fundamental dondedescansa la teorıa de modelos. La definicion de Tarski se aplica a los llamados lenguajesformales. Un lenguaje formal es un lenguaje construıdo artificialmente para expresar lo quese quiere decir sobre ciertas estructuras matematicas que representan, en cierto sentido,la realidad. Ası, el primer paso de la definicion matematica de la verdad es reemplazarla realidad por ciertas estructuras conjuntistas, que en cierto modo la representan. Elpaso siguiente de la definicion es matematizar el lenguaje. Los lenguajes naturales como locastellano, son aproximados por los lenguaje formales, que tambien pueden definir-se dentrode la teorıa de conjuntos.

Los lenguajes formales tienen caracterısticas similares al lenguaje habitual de todos losdıas o lenguaje natural, pero se diferencian de este, entre otras cosas por su precision yfalta de ambiguedad. Al igual que en los lenguajes naturales, distinguimos en ellos ciertasexpresiones que tienen sentido completo: las oraciones. Las oraciones son exactamente lasexpresiones que pueden ser verdaderas o falsas. Los, lenguajes formales se distinguen de losnaturales por el hecho que es posible determinar si una expresion es una oracion o no porsimple inspeccion, sin conocer el significado de los sımbolos.

Tarski da una definicion puramente matematica de la verdad de una oracion del lenguajeformal en una estructura, que es un posible modelo del lenguaje. Un lenguaje formaltiene muchas interpretaciones posibles: sus posibles modelos. La conexion entre lenguaje ymodelo esta dada precisamente por la definicion de verdad, que especifica para cada oraciony estructura si la oracion es falsa o verdadera en la estructura. Esta definicion es el puenteque conecta el lenguaje formal con sus posibles interpretaciones por media de modelos.

Como ejemplo de esta definicion de interpretacion y verdad, indicaremos el procedi-miento para una parte restringida de la logica matematica: la llamada logica de primerorder. En primer lugar, diremos algunas palabras acerca de las estructuras matematicasque toman el papel de la realidad y que – como se vera mas adelante – sirven par modelardicha realidad. El universo de estas estructuras esta constituıdo por un conjunto no vacıocualquiera. Este universo contiene los objetos a los cuales queremos referimos. LlamemosA a este universo. Distiguimos algunos elementos de A a los cuales nos interesa referimosespecialmente. Por ejemplo, si A es el conjunto de los numeros naturales, digamos que nosinteresan especialmente los numeros uno y dos, ası distinguimos al uno y al dos. Tambien

4Aristoteles, Metafısica, Gamma 1011 b26; o la indicacion W. D. Ross, The Works of Aristotle: Meta-physica. Oxford, Clarendon, v.3, 1954, 1011a-b.


nos interesa hablar de ciertas propiedades de los objetos de A o de relaciones entre estosobjetos. Estas relaciones pueden ser binarias, ternarias, etc. Por ejemplo, en el caso de losnumeros, podrıamos incluir en la estructura la propiedad de ser par y la relacion de “menorque”. Ası, una estructura muy simple consta del conjunto N de los numeros naturales comouniverso, de los numeros uno y dos, como objetos distinguidos, de la propiedad de ser pary de la relacion de un numero ser menor que otro. Cual es nuestro universo y que objetosdistinguidos, propiedades y relaciones incluımos depende de lo que consideramos relevantepara la situacion que estamos intentando describir.

En segundo lugar, para hablar de estas estructuras introducımos un lenguaje formal deprimer orden. Debemos tener en nuestro lenguaje nombres para los objetos distinguidos;en el caso de los numeros un sımbolo para el uno, digamos 1, y otro para el dos, 2. Estosnombres llamados constantes individuales se interpretan en nuestra estructura como elobjeto distinguido que nombran. Ademas, introducimos sımbolos que se interpretan comolas propidades y relaciones de la estructura, los llamados predicados; en nuestro ejemplo,digamos P para “ser par” y < para “menor que”. Con estos sımbolos podemos expresarproposiciones sencillas sobre los numeros, algunas verdaderas en la estructura numerica yotras falsas. Estas proposiciones son expresadas por un predicado con el numero apropiadode constantes individuales. Por ejemplo, “1 es par” se puede escribir P1 y es falsa, mientrasque 1 < 2 dice que 1 es menor que 2 y es verdadera en la estructura. Las expresionesque pueden ser verdaderas o falsas, las llamamos oraciones y este tipo de oraciones muysencilla, las mas sencillas posibles, se denominan oraciones atomicas. Notemos que la verdado falsedad de las oraciones depende de la interpretacion que se le de a los distintos sımbolos.Ası, podrıamos interpretar el sımbolo “1” por lo numero cuatro y, en este caso, P1 serıaverdadera en la estructura.

Combinamos estas oraciones para formar otras mas complejas. Las combinaciones massimples son las llamadas funciones veritativas de sus componentes. La verdad o falsedadde la oracion compuesta, en estos casos, depende unicamente de la verdad o falsedad desus componentes. Para formar estas combinaciones introducimos las conectivas. Las masusadas son ¬ representando la partıcula “no”, ∨ para “o”, ∧ para “y”, → para “si ...entonces...”, y↔ para “si y solo si”. Por ejemplo, si designamos una oracion φ, su negacionse escribe ¬φ.5 Si φ y ψ son oraciones, su conjuncion se escribe φ ∧ ψ; similarmente paralas otras conectivas. Las expresiones del lenguaje corriente introducidas como equivalentes(por ejemplo “no” para ¬) son solo indicaciones para ayudar a la comprension intuitiva. Ladefinicion precisa refleja el caracter de funcion veritativa. Ası, la oracion ¬φ es verdaderasi y solo si la oracion φ es falsa; la oracion φ∧ψ es verdadera si y solo si las oraciones φ y ψson ambas verdaderas; la oracion φ ∨ ψ es verdadera si y solo si la oracion φ es verdadera,o la oracion ψ es verdadera o ambas lo son; φ → ψ es verdadera si y solo si φ es falsa o ψes verdadera, etc. Las contrapartidas en el lenguaje corriente de estes conectivas no son,estrictamente, funciones veritatitvas. Ası, la verdad de la expresion “si φ entonces ψ” nodepende en la mayorıa de sus usos en el lenguaje natural, unicamente de la verdad o falsedadde las oraciones φ y ψ. Por ejemplo, la verdad de “si enciendo un fosforo entonces se quema

5En general, usaremos las letras griegas φ y ψ para referimos a oraciones cualesquiera.


el papel”, no depende exclusivamente de la verdad o falsedad de “enciendo un fosforo” y“se quema el papel”, sino tambien de una cierta conexion causal entre lo que expresan estasoraciones. El hecho de que nuestras conectivas expresen funciones veritativas, se reflejaen la admissibilidad en nuestro lenguaje formal de oraciones poco naturales en el lenguajecorriente. Por ejemplo, podemos considerar la oracion P1 → (2 < 1) (esto es, “si uno espar, entonces dos es menor que uno”), que es verdadera en nuestra interpretacion numerica.Por otra parte, P1→ (2 < 1) (“si dos es par, entonces dos es menor que uno”) es falsa bajoesta interpretacion.

Con los sımbolos que tenemos hasta ahora solo podemos hablar de los objetos repre-sentados por las constantes individuales. Tambien queremos oraciones que se refieran acualquier objeto de A. Para esto, debemos introducir un nuevo tipo de sımbolo: las vari-ables. Estas las escribiremos con letras minusculas del final del alfabeto, u, v, y, z. Paradecir en nuestra interpretacion numerica que cualquier objeto de N es igual a uno, podemoshacerlo con

x = 1.

El problema se presenta cuando queremos negar una expresion de este tipo. Si afirmamos

¬(x = 1),

estaremos indicando que todos los objetos de N son diferentes de uno, lo que no es la negacionde todos los elementos de N son iguales a uno. Por esto Frege introdujo los cuantificadores.Para decir que todos los elementos de N son iguales a uno, escribimos

∀x(x = 1),

que se lee: para todo x, x = 1. Ahora la negacion resulta:

¬∀x(x = 1),

esto es, no para todo x, (x = 1). Tambien se quede escribir lo mismo por

∃x¬(x = 1),

que se lee: existe por lo menos un x diferente de uno.Con esto hemos completado la descripcion de nuestros lenguajes. Notemos que la in-

terpretacion de la conectivas y los cuantificadores “∀” y “∃”, los llamados sımbolos logicos,es constantes en todas las estructuras, mientras que la interpretacion de los otros sımbolos,contantes individuales y sımbolos de propiedades o de relaciones, puede variar de estructuraen estructura.

Hemos indicado en lo anterior como se interpreta el lenguaje en una estructura con-juntista. Se puede ver, que interpretar significa indicar las condiciones para la verdad ofalsedad de las oraciones del languaje. La logica clasica, que es la que estamos estudiando,se preocupa solo de la verdad o falsedad de las oraciones. Por esto, para esta logica, lainterpretacion de una oracion esta totalmente determinada por sus condiciones de verdad.


Lo que hemos definido es el concepto de verdadero bajo una interpretacion o verdaderoen una estructura. Si una oracion es verdadera en una estructura, decimos tambien que laestructura es modelo de la oracion. Con esta definicion de verdad podemos obtener todoslos conceptos de la logica clasica. Ası, una oracion es logicamente verdadera o valida, si esverdadera bajo todas las interpretaciones o, lo que es lo mesmo, si es verdadera en todoslos modelos posibles.

Estos conceptos, son la contrapartida formal de las definiciones clasicas. Un posiblemodelo representa un “mundo” posible, o sea, un estado posible de la realidad. Ası, unaoracion es logicamente verdadera si es verdadera no solo en el mundo real, sino tambien entodos los mundos posibles. Esta idea expresada por Leibniz en el siglo XVII, no constituyeuna definicion de validez, sino una explicacion heurıstica. La razon de esto esta en la palabra“posible” que en este contexto significa “logicamente posible”, esto es libre de contradiccion.Por su parte, una proposicion esta libre de contradiccion si su negacion no es logicamenteverdadera, con lo que llegamos a un cırculo vicioso.

Con esto, completamos una descripcion muy informal y, por lo tanto, no muy precisadel uso de modelos en logica matematica. En un apendice al final del artıculo, indicaremospara los interesados como se procede mas formalmente.

Modelos en ciencias empıricas

En las ciencias empıricas es comun que se construya modelos materiales de ciertosobjetos. Por ejemplo, para probar un nuevo tipo de aeronave, por lo general se construyeun modelo pequeno que es menor que el real; hechas las pruebas, aplicandose las formulasde Newton, etc., se obtienen los efectos que sufrirıa la aeronave a ser construıda, al sersometida a determinadas condiciones (de viento, vibraciones, etc.). Lo mismo ocurre cuandose quiere proyectar una represa o muchos tipos de aparatos. El estudio de tales modelosse hace especialmente en mecanica y la teorıa de semejantes modelos podrıa se llamadatambien teorıa de modelos.

Mas, como se podrıa probar, tales modelos se reducen, en ultima instancia, por lomenos desde el punto de vista teorico, a los modelos abstractos estudiados mas arriba.Esto se puede comprobar por el hecho de haber una teorıa de estos modelos, de caractermecanico, que es un capıtulo de la mecanica racional. Sin embargo, los modelos en laacepcion precedente seran excluıdos de nuestra presentacion.

Pero antes de tratar de modelos e interpretaciones en ciencias empıricas, debemos deciralgunas palabras sobre lo que es, formalmente una teorıa cientıfica. Daremos primero unaversion solo aproximada de lo que es una teorıa, para mas adelante mostrar una definicion,debida al filosofo de la ciencia Patrick Suppes, que nos parece mas adecuada. Como primeraaproximacion, podemos identificar una teorıa cientıfica con el conjunto de proposicionesverdaderas en la teorıa (o tesis de la teorıa). Para una teorıa, ası considerada, sus modelos,en el sentido de la seccion precedente, son las estructuras donde las proposiciones de lateorıa son verdaderas (o, mas simplemente, donde la teorıa es verdadera). En la mayorıa de


los casos, las proposiciones verdaderas de una teorıa se deducen logicamente de un conjuntoreducido de postulados. Ası, para verificar que una estructura sea modelo de una teorıa,basta determinar que los postulados son verdaderos en la estructura. Como todas las tesisse deducen de los postulados, de la verdad de estos se obtiene la verdad de aquellas.

Interpretar, en ciencia, significa siempre, directa o indirectamente, interpretar un lengua-je en un modelo. Ası, cuando comunmente se dıce que se interpreto una teorıa T1 en otraT2 esto significa que se interpreto el lenguaje de T1 en los modelos de T2 de manera que lospostulados basicos de T1 sean verdaderos.

Los modelos de cualquier teorıa empırica T pueden ser reducidos a modelos abstractos,matematicos, del tipo descrito en el subtıtulo anterior, aunque no siempre tan sencillos comolos ejemplos allı citados. Los objetos del modelo pueden ser substituıdos por conjuntosconvenientes (por ejemplo, por numeros ordinales, que son cierto tipo de conjuntos), ylas propiedades y relaciones constantes del modelo inicial, por consiguiente, se conviertenen propiedades y relaciones conjuntistas. Por lo tanto, al referimos a los modelos de unateorıa empırica, podemos referimos siempre a modelos matematicos, elaborados en la teorıade conjuntos. Estos modelos son habitualmente apropiados para logicas mas ricas que laestudiada en la seccion precedente, e incluyen propiedades y relaciones matematicas, ademasde las directamente empıricas.

Los modelos de una teorıa T, esto es, los modelos en los cuales la teorıa es verdadera,determinam en cierto sentido, la teorıa T. Por otro lado, clases importantes de modelospueden ser individualizadas por teorıas convenientes. P. Suppes es uno de los filosofos quemas ha insitido en que se caractericen las teorıas de las ciencias empıricas por sus respec-tivos modelos. O sea, en vez de considerar las teorıas como puras estructuras linguısticas,conviene encararlas como clases de modelos apropiadas. De ese modo han sido tratadas,por Suppes y sus colaboradores, varias ramas de la ciencia, entre otras, la mecanica clasicade partıculas, la relatividad restringida, la termodinamica y la teorıa del aprendizaje. Porejemplo, en el caso de la mecanica de partıculas, la teorıa se considera como la clase delos modelos que satisfacen ciertas condiciones, principalmente los postulados de la teorıa.Cada modelo representa una situacion particular donde se aplica la teorıa. Hay modelos dela mecanica de partıculas para el sistema solar, el movimiento de un numero cualquiera departıculas en el vacıo, etc. En cada modelo, su universo representa los objetos a los cualesse esta aplicando la teorıa.

Cuando se considera una teorıa como dada por sus modelos, evidentemente esto implicatener dos tipos de relaciones: la interpretacion del lenguaje de la teorıa en los modelos y lasrelaciones entre estos y la realidad. La interpretacion del lenguaje en el modelo es necesariapara dar sentido a la nocion de verdad de las tesis de la teorıa, por ejemplo de los postulados,en el modelo. Ası, dado un modelo de una teorıa T, cuyo lenguaje es L, las relaciones entreL y los modelos de T son de la naturaleza de las relaciones tratadas en el sutıtulo anterior.Por otra parte, si M es un modelo de T relacionado con un determinado dominio de lasciencias empıricas D, las conexiones entre M y D son muy complejas. Generalmente talesrelaciones son establecidas por la estadıstica y por la teorıa de la medicion (o teorıa de lasmagnitudes). Podrıamos bautizar la teorıa de las conexiones entre los modelos y la realidad


como “semantica aplicada”, tal como la teorıa de modelos en logica matematica, se llamatambien sematica teorica.

En resumen, podrıamos aseverar que la ciencia avanza a traves de modelos idealizadosque nos ayudan a orientarnos y a dominar nuestra circunstancia. Por los modelos, inter-pretamos la realidad. Y la investigacion cientıfica de este proceso se hace por la teorıa demodelos y por la semantica aplicada.


Indicaciones bibliograficas

La literatura sobre teorıa de modelos como rama de la logica es muy rica. Una expli-cacion informal muy buena de la definicion de verdad de Tarski relacionandola con la nocionde prueba, de la que no hemos hablado aquı, aparece en un artıculo del mismo Tarski, Truthand Proof, aparecido en Scientific American, junio de 1969 (traducido al castellano en larevista Teorıa, n. 3, pags. 56- 82). El artıculo de uno de los autores del presente trabajo, R.Chuaqui, Modelos en logica matematica (en Algunas Reflexiones sobre Modelos, editado porBruno Philippi, Ediciones Nueva Universidad, Santiago) tambien contiene una explicacionsimplificada de la teorıa de modelos.

Un texto muy completo en teorıa de modelos, es el libro Model Theory, de C. C. Changy H. J. Keisler, North-Holland, 1973. Un texto mas elemental es el libro de H. K. En-derton, A Mathematical Introduction to Logic, Academic Press, 1972. Tambien aparecennumerosas contriburiones a la teorıa en los Proceedings of the Tarski Simposium (AmericanMathematical Society, 1974). En particular, una historia completa de la teorıa aparece eneste libro en los artıculos de C. C. Chang y R. L. Vaught.

Para la teorıa de modelos en ciencia, son relevantes varios trabajos de Suppes. En par-ticular, su libro introductorio de logica Introduction to Logic, van Nostrand,1957, y su obraSet-theoretic Structures in Science (mimeografiado), Institute for Mathematical Studies inthe Social Sciences, Stanford University, 1967. En la actualid, Suppes esta preparando unlibro muy completo sobre este tema. La teorıa de la medicion esta desarrollada en formaexhaustiva en la obra de Krantz, Luce, Suppes y Tverski, Foundations of Measurement, vol.1, Academic Press, 1971.

Los autores del presente artıculo estan desarollando una teorıa matematica de caractersemantico del concepto de modelo (o de modo mas general, de estructura) en ciencia, basadoen las ideas de predicado conjuntista de Suppes y de estructura matematica de Bourbaki(cf. N. Bourbaki, Theorie des ensembles, Ch. 4, Hermann, 1954). Un resumen de estetrabajo aparecera este ano en la revista Abstract of the American Mathematical Society.

Modelos mas generales que los tratados aquı, pueden encontrarse en los artıculos tecnicosPragmatic truth and approximation to truth de Mikenberg, da Costa y Chuaqui, por apare-cer en The Journal of Symbolic Logic, 1986, y Approximation to trruh and the theory oferrors, de Chuaqui y Bertossi, aparecido en los Proceedings del VI Simposio Latinoameri-cano de Logica Matematica, Methods of Mathematical Logic, Lecture Notes in Mathematics,Springer Verlag, 1985.


Apendice

En este apendice, indicaremos como los lenguajes y sus posibles modelos se definenformalmente. Se incluye aquı solo para dar una idea de como se procede rigurosamente.Llamaremos a nuestro lenguaje L.

1. Sımbolos de L.

a) Variables: u, v, x, y, z, u1, u2, etc.

b) Constantes logicas: ¬, ∧, ∨, →, ↔, ∀, ∃, (, ).

c) Constantes no logicas:

(i) Constantes individuales: a, b, ..., t.

(ii) Predicados n-arios para algunos numeros enteros positivos n: R0, ..., Rm−1.

2. Las expresiones de L son sucesiones finitas de sımbolos. Los sımbolos individualesson las constantes individuales y las variables.

3. Formulas.

a) Formulas atomicas: son expresiones formadas por un predicado n-ario seguido de nsımbolos individuales.

b) Definicion de formula:

(i) Una formula atomica es una formula.

(ii) Si φ es una formula entonces ¬φ, tambien lo es.

(iii) Se φ y ψ son formulas, entonces (φ∨ψ), (φ∧ψ), (φ→ ψ) y (φ↔ ψ) son formulas.

(iv) Si φ es una formula y x es una variable, entonces ∀xφ y ∃xφ son formulas.

(v) Todas las formulas se obtienen por algunas de las clausulas (i) - (iv).

4. Una variable x aparece libre en una formula φ, si no esta en una subformula de φ dela forma ∀xψ o ∃xψ. Una oracion es una formula sin variables libres.

Esta definicion puramente sintactica de oracion, no utiliza para nada la interpretacion denuestro lenguaje indicada antes. Mas es posible determinar mecanicamente si una expresiones una oracion o no.

La teorıa de modelos aparece cuando interpretamos L en las estructuras o posiblesmodelos

U = 〈A,R0, ..., Rn−1, a0, ..., am−1〉.


En estos posibles modelos deben aparecer las relaciones o propiedades R0, ..., Rn−1 que cor-responden a los predicados de L, y los elementos distinguidos a0, ..., am−1 que correspondena las constantes individuales de L. Los predicados se interpretan en las correspondientesrelaciones y las constantes individuales nombran los correspondientes elementos distingui-dos. La interpretacion de las oraciones en U esta dada por las reglas que determinan laverdad o falsedad de las oraciones con respecto a U . Estas reglas las hemos indicado in-formalmente antes. Las daremos a continuacion mas formalmente, pero aun no en formatotalmente rigurosa. Escribiremos

U |= φ

por φ es verdadera en U o (lo que es lo mismo) U es modelo de φ. La definicion consiste delas siguientes clausulas:

(i) Si φ es atomica de la forma Pa0...am−1, entonces U |= φ si y solo si los objetosdesignados por a0, ..., am−1 estan en la relacion que interpreta a P.

(ii) Si φ es ¬ψ, entonces U |= φ si y solo si no U |= ψ.

(iii) Si φ es (ψ ∧ ϕ), entonces si U |= φ si y solo si U |= ψ y U |= ϕ.

(iv) Clausulas similares para ∨, → y ↔.

(v) Si φ es ∀xψ, entonces U |= φ si y solo si U |= ψ[x/c] para todo c ∈ A, donde ψ[x/c] esla oracion obtenida de ψ reemplazando las apariciones libres de x por un nombre dec.

(viii) Si φ es ∃xψ, entonces U |= φ, si y solo si U |= ψ[x/c], para algun c ∈ A.

Como se indico antes, una vez definida la verdad podemos introducir los distintos con-ceptos de la logica. Ya dimos la definicion de verdad logica: la oracion φ es logicamenteverdadera, en sımbolos |= φ, si y solo si para toda estructura U , U |= φ. Asimismo, laoracion φ es consecuencia logica del conjunto de oraciones Ω, en sımbolos Ω |= φ, si todoslos modelos de las oraciones de Ω son modelos de φ (esto es, si para toda estructura U talque U |= ψ para toda ψ ∈ Ω, se tiene U |= φ).

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