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Prof.ª Sheila Regina Oro
Projeto “Recursos Educacionais Digitais”Autores: Bruno Baierle e Maurício Furigo
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Parte II
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TESTE PARA UMA PROPORÇÃO
• H0: 𝑝 = 𝑝0 e H1: 𝑝 ≠ 𝑝0 (𝑝0 é um valor dado);
• No caso de teste unilateral, a hipótese alternativa
seria H1’: 𝑝 > 𝑝0 (unilateral à direita) ou H1’’:𝑝 < 𝑝(unilateral à esquerda).
• Suponha amostra suficientemente grande para
aproximação da binomial à normal:
𝑛. 𝑝0 ≥ 5 𝑒 𝑛. (1 – 𝑝0) ≥ 5.
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TESTE PARA UMA PROPORÇÃO
• Sejam:
𝑝 =𝑦
𝑛=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒
𝑛𝑦’ = 𝑦– 0,5 𝑠𝑒 𝑦 > 𝑛. 𝑝0; ou
𝑦’ = 𝑦 + 0,5 𝑠𝑒 𝑦 < 𝑛. 𝑝0 (correção de continuidade).
Onde:
• 𝑝 : é a proporção de elementos com atributo de
interesse na amostra.
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TESTE PARA UMA PROPORÇÃO
• Cálculo da estatística do teste:
𝑧 =𝑦′ − 𝑛. 𝑝0
𝑛. 𝑝0(1 − 𝑝0)
Onde:
• 𝑝0: valor da proporção, segundo H0;
• 𝑛 : tamanho da amostra;
• 𝑦′: correção de continuidade.
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TESTE PARA UMA PROPORÇÃO
ABORDAGEM DO VALOR -P
Amostra Cálculo de z
Obtenção de p
pela tabela da
normal
Se bilateral: Se unilateral à
direita:
Se unilateral
à esquerda:
𝑧 =𝑦′ − 𝑛. 𝑝0
𝑛. 𝑝0(1 − 𝑝0)
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TESTE PARA PROPORÇÃO
ABORDAGEM DO VALOR -P
Aceita H0
Rejeita H0
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EXEMPLO 8.6 BARBETTA
• Uma empresa retira periodicamente amostras
aleatórias de 500 peças de sua linha de produção
para análise de qualidade. As peças da amostra
são classificadas como defeituosas ou não, sendo
que a política da empresa exige que o processo
produtivo seja revisto se houver evidência de mais
que 1,5% de peças defeituosas. Na última amostra
foram encontradas 9 peças defeituosas. Usando
um nível de significância de 1%, o processo
precisa ser revisto?
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RESULTADO
• H0: 𝑝 = 0,015; H1: 𝑝 > 0,015; Usar 𝛼 = 0,01;
• Amostra: 𝑦 = 9 em 𝑛 = 500;
𝑝 =9
500= 0,018
𝑧 =𝑦′ − 𝑛. 𝑝0
𝑛. 𝑝0(1 − 𝑝0)=
8,5 − 500 ∗ (0,015)
500 ∗ 0,015 ∗ (1 − 0,015)=
1
2,718≈ 0,37
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RESULTADOS
Aceita-se H0 ao nível de significância de 1%.
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TESTE PARA PROPORÇÃO
ABORDAGEM CLÁSSICA
Obtenção do valor
crítico pela tabela
normal
Nível de
significância α...
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TESTE PARA PROPORÇÃO
ABORDAGEM CLÁSSICA
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TESTE PARA PROPORÇÃO
ABORDAGEM CLÁSSICA
Se bilateral:
Nível de
significância α
Obtenção do
valor crítico pela
tabela normalCálculo do
valor z
Aceita H0 RejeitaH0Rejeita H0
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TESTE PARA PROPORÇÃO
ABORDAGEM CLÁSSICA
Se unilateral a direita:
Nível de
significância α
Obtenção do
valor crítico pela
tabela normal
Cálculo do
valor z
Aceita H0 Rejeita H0
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EXEMPLO 8.6 BARBETTA
• H0: 𝑝 = 0,015; e H1: 𝑝 > 0,015. Usar α = 0,01
Regra de decisão:
Aceita H0 Rejeita H0
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• Da amostra temos:
• 𝑧 =𝑦′−𝑛.𝑝0
𝑛.𝑝0(1−𝑝0)= 0,37
Portanto, chegamos a conclusão de que não há
provas estatísticas suficientes para recomendar a
revisão do processo produtivo.
RESULTADO
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TESTE PARA UMA MÉDIA
• É aplicável em situações que queremos verificar se
uma variável na população pode ser considerada,
em média, igual a certo valor .
Para teste bilateral:• H0: 𝜇 = 𝜇0 e H1: 𝜇 ≠ 𝜇0
• Para teste unilateral:
Para este caso a hipótese alternativa seria:
H1’: 𝜇 > 𝜇0 (unilateral à direita); ou
H1’’:𝜇 < 𝜇0 (unilateral à esquerda).
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TESTE PARA UMA MÉDIA
CASO DE VARIÂNCIA CONHECIDA
• Cálculo da estatística do teste:
𝑧 = 𝑥 − 𝜇0 ∗ 𝑛
𝜎
Onde:
• 𝑥: média da amostra;
• 𝜇0: valor da média segundo H0;
• 𝑛 : tamanho da amostra;
• 𝜎 : variância populacional;
O teste é feito com a distribuição normal,
análogo ao da proporção.
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TESTE PARA UMA MÉDIA
CASO DE VARIÂNCIA DESCONHECIDA
• Cálculo da estatística do teste:
𝑡 = 𝑥 − 𝜇0 ∗ 𝑛
𝑠
Onde:
• 𝑥: média da amostra;
• 𝜇0: valor da média segundo H0;
• 𝑛 : tamanho da amostra;
• 𝑠 : variância populacional.
Uso da distribuição t com 𝑔𝑙 = 𝑛 – 1 (supondo
população com distribuição normal).
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EXEMPLO 8.8 (BARBETTA pg. 220)
• O tempo para transmitir 10 MB determinada rede de
computadores varia segundo um modelo normal, com
média 7,4 s e variância 1,3 s². Depois de algumas
mudanças na rede, acredita-se numa redução no
tempo de transmissão de dados, além de uma possível
alteração na variabilidade. Foram realizados 10 ensaios
independentes com um arquivo de 10 MB e foram
anotados os tempos de transmissão, em segundos: 6.8,
7.1, 5.9, 7.5, 6.3, 6.9, 7.2, 7.6, 6.6, 6.3;
• Existe evidência suficiente de que o tempo médio de
transmissão foi reduzido? Use nível de significância de
1%.
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RESULTADOS
H0: 𝜇 = 7,4 𝑠;
H1: 𝜇 < 7,4 𝑠;
Amostra:
• N=10;
• Média da amostra=6,82;
• Desvio padrão da amostra=0,551;
𝑡 =6,82 − 7,4 ∗ 10
0,551= −3,33
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RESULTADOS
• Uso da tabela t para obter o valor p:
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RESULTADOS
• Uso da tabela t para obter o valor p:
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RESULTADOS
Como observado na tabela t, a área apontada
é entre 0,0025 < 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 < 0,005 , então o teste
estatístico rejeita H0 em favor de H1.
Portanto, com este resultado, podemos afirmar
que houve redução no tempo de transmissão de
dados com as alterações nas redes de
computadores.
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COMPARAÇÃO ENTRE TRATAMENTOS
AMOSTRAS INDEPENDENTES
Para realizar este tipo de experimento, divide-
se as unidades experimentais em g grupos,
submetendo cada grupo a um tratamento. Dessa
forma temos g amostras independentes.
Podemos construir também h blocos de
unidades experimentais semelhantes similares,
sorteando os tratamentos em cada bloco.
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AMOSTRAS INDEPENDENTES
• Ex. 9.1(BARBETTA)
Considere o problema de comparar dois
materiais (A e B), para sola de tênis, em termos do
grau de desgaste após um certo período de uso.
Seguem dois projetos de experimentos alternativos:
• Projeto I – Um grupo de indivíduos usa tênis com
solas feitas com o material A; e outro grupo usa
tênis com solas feitas com o material B.
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AMOSTRAS INDEPENDENTES
Mensuração do grau de
desgaste
Mensuração do grau de
desgaste
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AMOSTRAS PAREADAS (se g>2)
• Projeto II – Fabricam-se, para a realização do
experimento, pares de tênis com os dois tipos de
sola, isto é, um dos pés com o material A e o outro
pé com o material B. Em cada par, o material
usado em cada pé (direito ou esquerdo) é decidido
por sorteio
Mensuração do grau de desgaste
Alocação aleatória de A e B em cada par;
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AMOSTRAS PAREADAS
• Importância de considerar os pares na análise:
Indivíduo (par de unidades experimentais)
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TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 e H1: 𝜇1 ≠ 𝜇2;
Onde:
• 𝜇1: valor esperado da resposta sob o tratamento 1;
• 𝜇2: valor esperado da resposta sob o tratamento 2;
• Na abordagem unilateral, a hipótese alternativa é
do tipo:
• H1’: 𝜇1 > 𝜇2 ou H1”: 𝜇1 < 𝜇2.
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TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
• Caso os dados na amostra possuam um nível de
mensuração qualitativo (ordinal ou nominal),
mensuração quantitativa com indícios de que a
distribuição não é normal ou quando há interesse
em realizar inferência sobre outras características
da população, usa-se os testes não paramétricos.
• No caso do teste t para duas amostras
independentes, o teste não paramétrico substituto
é o teste Mann-Whitney. Para duas amostras
pareadas o teste indicado é o de Wilcoxon.
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EXEMPLO 9.2(Barbetta, pg 235)
• Seja o problema de verificar se um novo algoritmo
de busca em um banco de dados é mais rápido
que o algoritmo atualmente usado. Para se fazer a
comparação dos dois algoritmos, planeja-se
realizar uma amostra aleatória de 10 buscas
experimentais (ensaios). Em cada ensaio, uma
dada busca é realizada pelos dois algoritmos e o
tempo de resposta de cada algoritmo anotado.
Observamos que em cada ensaio os dois
algoritmos são usados em condições idênticas,
caracterizando 10 pares de observações.
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EXEMPLO
• H0: em média, os dois algoritmos são igualmente
rápidos; e
• H1: em média, o algoritmo novo é mais rápido do
que o algoritmo em uso;
Ou:
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 e H1: 𝜇1 < 𝜇2;
Onde:
• 𝜇2 é o tempo esperado de resposta do algoritmo
novo; e
• 𝜇1 é o tempo esperado de resposta do algoritmo
antigo.
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EXEMPLO
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EXEMPLO
• Como os dados são pareados, pode ser verificado
em cada ensaio a diferença entre os dois
tratamentos(algoritmo):
𝐷 = 𝑋2 − 𝑋1
• Em termos da variável diferença, as hipóteses
ficam:
• H0: 𝜇𝐷 = 0 e H1: 𝜇𝐷 > 0.
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EXEMPLO
A estatística do teste será calculada da
seguinte maneira:
𝑡 = 𝑑 ∗ 𝑛
𝑠𝑑
Onde:
• 𝑑: é a média das diferenças observadas;
• 𝑛 : é o tamanho da amostra(número de pares);
• 𝑠𝑑 : é o desvio padrão das diferenças observadas.
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EXEMPLO
• Supondo populações de distribuição normal, usa-
se a distribuição t de Student, com 𝑔𝑙 = 𝑛 − 1graus de liberdade.
• Dos dados apresentados anteriormente temos:
Valores de D: 3, 7, -2, 6, -1, 6, 2, 9, -1, 5:
• 𝑑 = 3,4;
• 𝑛 = 10
𝑠𝑑 =1
𝑛 − 1∗
𝑖
𝑑𝑖2 − 𝑛 ∗ 𝑑2 =
246 − (10)(3,4)²
9= 3,81
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EXEMPLO
A estatística fica da seguinte forma:
𝑡 = 𝑑 ∗ 𝑛
𝑠𝑑=
3,4 ∗ 10
3,81= 2,82
Conferindo na tabela t com 𝑔𝑙 = 10 − 1 = 9:
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EXEMPLO
• O valor calculado, 𝑡 = 2,82, está bem próximo de
2,821 apresentado na tabela de distribuição t, o
que nos fornece um valor para 𝑝 = 0,01 , menor
que o nível de significância adotado, de 5%(0,05).
• Portanto, podemos afirmar que o algoritmo de
busca novo é, em média, mais rápido que o antigo,
rejeitando assim H0: 𝜇𝐷 = 0.
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TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
INDEPENDENTES
Exemplo 9.3(Barbetta, pg 238)
Desejamos verificar se os catalisadores A e B
têm efeitos diferentes no rendimento de uma certa
reação química. As hipóteses são:
• H0: em média, os dois catalisadores são iguais em
termos de rendimento;
H0: 𝜇1 = 𝜇2; e
• H1: em média, os dois catalisadores são diferentes
em termos de rendimento.
H1: 𝜇1 ≠ 𝜇2.
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TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
INDEPENDENTES
• Rendimentos (%) de uma reação química em
função do catalisador utilizado.
45 42 45 45
51 53 35 41
50 50 43 43
62 48 59 49
43 55 48 39
Catalisador A Catalisador B
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TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
INDEPENDENTES
• Diagrama de pontos dos resultados do
experimento:
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TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
INDEPENDENTES
• Estatística do teste:
𝑠𝑎2 =
𝑠12 + 𝑠2
2
2
Onde:
• 𝑠12: variância da amostra 1;
• 𝑠22: variância da amostra 2;
• 𝑠𝑎2: variância agregada das duas amostras.
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TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
INDEPENDENTES
• Estatística do teste:
𝑡 = 𝑥1 − 𝑥2 ∗𝑛
2 ∗ 𝑠𝑎2
Onde:
• 𝑥1: média da amostra 1;
• 𝑥2: média da amostra 2;
• 𝑛 : tamanho da amostra em cada grupo.
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TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
INDEPENDENTES
• Usa-se para o cálculo a distribuição t de Student
com graus de liberdade (supondo populações com
distribuição normal).
• Continuação(ex. 9.3):
Amostra 1: 𝑛 = 10; 𝑥1 = 49,9; 𝑒 𝑠12 = 35,656;
Amostra 2: 𝑛 = 10; 𝑥2 = 44,7; 𝑒 𝑠22 = 42,233;
Variância Agregada: 𝑠𝑎2 =
35,656+42,233
2= 38,945;
𝑡 = 49,9 − 44,710
2 ∗ 38,94= 1,86
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TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
INDEPENDENTES
Graus de Liberdade: 𝑔𝑙 = 2𝑛 − 2 = 2 ∗ 10 − 2 = 18;
Abordagem do valor p:
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TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
INDEPENDENTES
• O valor de t obtido pelo cálculo aponta para uma
região entre 0,025 e 0,05, mas como o teste é
bilateral, a área deve ser dobrada para se obter o
valor correto:
• Portanto, 0,05 < 𝑝 < 0,1 , aceitamos H0 ao nível
de significância de 5%, afirmando que os dados
não comprovam uma diferença entre os dois
catalisadores.
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COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS
TRATAMENTOS
• AMOSTRAS INDEPENDENTES:
A análise estatística para a comparação de g
grupos independentes é feita geralmente por análise
de variância ANOVA, acompanhada por um teste F,
que supõe:
• as observações devem ser independentes;
• as variâncias populacionais devem ser iguais nos g
grupos;
• a distribuição das observações em cada grupo
deve ser normal.
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COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS
TRATAMENTOS
• Ex. 9.4(Barbetta, pg. 252)
Considere o problema de comparar 3 tipos de
rede de computadores, C1, C2 e C3, em termos do
tempo médio de transmissão de pacotes de dados
entre duas máquinas.
Experimento (projeto completamente
aleatorizado com um fator): 8 replicações com cada
tipo de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e
mantendo fixos os demais fatores controláveis.
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COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS
TRATAMENTOS
• Ex. 9.4;
• Projeto do experimento:
Seqüência número Uso da
dos testes do ensaio rede
1 16 C2
2 14 C2
3 24 C3
4 6 C1
... ... ...
24 11 C3
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COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS
TRATAMENTOS
• Ex. 9.4;
Perguntas a serem respondidas pela análise
estatística:
• Existe diferença real (significativa) entre os 3 tipos
de rede?
• Qual é a estimativa do tempo de resposta para
cada tipo de rede?
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COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS
TRATAMENTOS
• Ex. 9.4;
Hipóteses para o problema:
• H0: os tempos esperados de transmissão são
iguais para os três tipos de rede;
• H1: os tempos esperados de transmissão não são
todos iguais (dependem do tipo de rede);
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COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS
TRATAMENTOS
• Dados do experimento:
Replicação Tipo de Rede
C1 C2 C3
1 7,2 7,8 6,3
2 9,3 8,2 6
3 8,7 7,1 5,3
4 8,9 8,6 5,1
5 7,6 8,7 6,2
6 7,2 8,2 5,2
7 8,8 7,1 7,2
8 8 7,8 6,8
Soma 65,7 63,5 48,1
Média 8,21 7,94 6,01
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MODELO ANOVA:
• 𝑔 = 3 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠;• 𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝑒𝑖𝑗
Onde:
• 𝑦𝑖𝑗: observação;
• 𝜇 : média global;
• 𝜏𝑖: efeito do tratamento i;
• 𝑒𝑖𝑗: erro aleatório;
• 𝜇𝑖 = 𝜇 + 𝜏𝑖 = média do fator i.
COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS
TRATAMENTOS
Tratameto
(1) (2) (3)
𝑦11 𝑦21 𝑦31
𝑦12 𝑦22 𝑦32
… … …
𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝑦3𝑛 Média
Global
Média 𝑦1. 𝑦2. 𝑦3. 𝑦..
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COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS
TRATAMENTOS
• HIPÓTESES:
H0: 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑔 = 0 ou 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑔;
H1: 𝜏𝑖 ≠ 0 ou 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗
As observações:
Sob H1: Sob H0:
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝑒𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜇𝑖𝑗
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COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS
TRATAMENTOS
• HIPÓTESES E MODELO SUBJACENTE:
𝐻0: 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑔 = 0
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝑒𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜇𝑖𝑗
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COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS
TRATAMENTOS
• HIPÓTESES E MODELO SUBJACENTE:
Sob H1: 𝜏𝑖 ≠ 0 para algum 𝑖:𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝑒𝑖𝑗
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Análise de variância (ANOVA), com um fator
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Análise de variância (ANOVA), com um fator
Soma de quadrados totais:
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 =
𝑖=1
𝑔
𝑗=𝑖
𝑛
(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦..) ²
Onde:
• 𝑔 : grupos;
• 𝑛 : repetições;
Graus de Liberdade:
𝑔𝑙 = 𝑁 − 1𝑁 = 𝑛 ∗ 𝑔
Onde:
• 𝑁 : tratamentos;
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Análise de variância (ANOVA), com um fator
Soma de Quadrados do Tratamento:
𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 =
𝑖=1
𝑔
𝑗=1
𝑛
𝑦𝑖. − 𝑦..2 = 𝑛
𝑖=1
𝑔
( 𝑦𝑖. − 𝑦..)²
Onde:
• 𝑔 : grupos;
• 𝑛 : repetições
Graus de Liberdade:
𝑔𝑙 = 𝑔 − 1
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Análise de variância (ANOVA), com um fator
• Soma de quadrados do erro:
𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 =
𝑖=1
𝑔
𝑗=1
𝑛
(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖.)²
Onde:
• 𝑔 : grupos;
• 𝑛 : repetições;
• Graus de liberdade:
𝑔𝑙 = 𝑁 − 𝑔Onde:
• 𝑁 : tratamentos;
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Análise de variância (ANOVA), com um fator
Fonte de
Variação
Soma de Quadrados gl Quadrados
Médios
Razão f
Entre
Tratamentos 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 =
𝑖=1
𝑔𝑦𝑖.
2
𝑛−
𝑦..2
𝑁
𝑔 − 1𝑄𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡 =
𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑔𝑙𝑇𝑟𝑎𝑡𝑓 =
𝑄𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜
Dentro Trat.
(Erro) 𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 − 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑁 − 𝑔𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜 =
𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜
𝑔𝑙𝐸𝑟𝑟𝑜
Total𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 =
𝑖=1
𝑔
𝑗=𝑖
𝑛
𝑦𝑖𝑗2 −
𝑦..2
𝑁
𝑁 − 1
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TESTE F
• Se H0: 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑔 = 0 for verdadeira e
considerando as suposições anteriormente
enunciadas, a estatística f tem distribuição F com
(g - 1) graus de liberdade no numerador e (N - g)
graus de liberdade no denominador.
f
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TESTE F
• Após calculada a estatística f, usa-se a tabela de
distribuição F de Snedecor, para encontrar (), com
graus de liberdade no numerador, e graus de
liberdade no denominador. A regra de decisão é
dada por:
• Se 𝑓 < 𝑓𝑐, então aceita H0;
• Se 𝑓 ≥ 𝑓𝑐, então rejeita H0;
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Continuação Ex. 9.4
Soma global: 𝑦.. = 177,3;
𝑆𝑄:
𝑖=1
𝑔
𝑗=1
𝑛
𝑦𝑖𝑗2 = 7,2 2 + 9,3 2 + ⋯ =1344,25
𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 =67,6 2 + 63,5 2 + (48,1)²
8−
177,3 2
24= 22,99
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 = 1344,25 −177,3 2
24= 34,45
𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 34,45 − 22,99 = 11,46
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Continuação Ex. 9.4
Fonte de Variação SQ gl QM f
Entre Trat. 22,99 2 11,50 21,07
Dentro Trat. (Erro) 11,46 21 0,55
Total 34,45 23
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REGRA DE DECISÃO
ABORDAGEM DO VALOR P
• Como regra de decisão, usa-se α=nível de
significância, usualmente 0,05(5%), que é
probabilidade tolerável de se rejeitar Ho quando
esta for verdadeira;Rejeita H0 (Prova-
se estatisticamente
H1)
Aceita H0 (Dados
não mostram
evidências para
aceitar H1)
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ANÁLISE DOS RESÍDUOS
• Avaliação das suposições da ANOVA através de
gráficos dos resíduos:
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ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS
• Intervalo de confiança para o valor esperado da
resposta sob o i-ésimo tratamento (nível de conf.
𝛾):
𝐼𝐶 𝜇𝑖 , 𝛾 = 𝑦𝑖. ± 𝑡𝛾𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜
𝑛
Onde:• 𝑡𝛾: valor encontrado na tabela t;
• 𝛾 : nível de confiança;
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ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS
• Ex. 9.4: Usando nível de confiança de 95% e 𝑔𝑙= 𝑁 − 𝑔 = 24 − 3 = 21, temos 𝑡95% = 2,08, então,
para a rede C1 temos:
𝐼𝐶 𝜇𝑖 , 95% = 8,21 ± 2,080,55
8= 8,21 ± 0,55
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ANOVA COM UM FATOR
• No caso em que as amostras não possuem
distribuição normal, ou que tenham um nível de
mensuração qualitativo, usa-se o teste Kruskal-
Wallis.
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TESTE F PARA AMOSTRAS EM BLOCOS
• Notação para os dados:
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TESTE F PARA AMOSTRAS EM BLOCOS
Modelo para os dados:
𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝜀𝑖𝑗
Onde:
𝜇 : é a média global da resposta;
𝜏𝑖: é o efeito do i-ésimo tratamento;
𝛽𝑗: é o efeito do j-ésimo bloco;
𝜀𝑖𝑗: é o efeito aleatório (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛; 𝑗 = 1, 2, … , ℎ).
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TESTE F PARA AMOSTRA EM BLOCOS
QUADRO ANOVA
Fonte de
VariaçãoSoma de Quadrados gl Quadrados
Médios
Razão f
Entre
Trat. 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 =
𝑖=1
𝑔𝑦𝑖.
2
ℎ−
𝑦..2
𝑁
𝑔 − 1 𝑄𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡 =𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑔𝑙𝑇𝑟𝑎𝑡𝑓 =
𝑄𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑄𝑀𝐸
Entre
Blocos 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜 =
𝑗=1
ℎ𝑦.𝑗
2
𝑔−
𝑦..2
𝑁
ℎ − 1 𝑄𝑀𝐵 =𝑆𝑄𝐵
𝑔𝑙𝐵
Erro 𝑆𝑄𝐸 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 − 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 − 𝑆𝑄𝐵 (𝑔 − 1)(ℎ − 1)𝑄𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡 =
𝑆𝑄𝐸
𝑔𝑙𝐸
Total𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 =
𝑖=1
𝑔
𝑗=𝑖
𝑛
𝑦𝑖𝑗2 −
𝑦..2
𝑁𝑁 − 1
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Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256)
• Seja o problema de comparar 3 algoritmos de busca em
um banco dedados. Realiza-se um experimento com 6
buscas experimentais, sendo que em cada uma é
sorteado um número aleatório que indica o registro do
banco de dados a ser localizado. Em cada um dos 6
processos de busca, são usados separadamente os três
algoritmos em estudo, mas sob as mesmas condições,
em termos dos fatores controláveis. São anotados os
tempos de resposta ao usuário.
• Hipóteses:
H0: em média, os três algoritmos são igualmente rápidos;
H1: em média, os três algoritmos não são igualmente
rápidos;
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Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256)
• Dados do exercício:
Ensaio
(Bloco)
Algoritmos de Busca
A1 A2 A3
1 8,3 8,1 9,2
2 9,3 8,9 9,8
3 9,1 9,3 9,9
4 9,9 9,6 10,3
5 8,2 8,1 8,9
6 10,9 11,2 13,1
Soma 55,8 55,2 61,2
Média 9,3 9,2 10,2
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Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256)
Soma de Quadrados
𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 =55,8 2 + 55,2 2 + (61,2)²
6−
172,2 2
18= 3,64
𝑆𝑄𝐵 =5007,98
3−
172,2 2
18= 21,95
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 = 8,3 2 + 9,3 2 + 9,1 2 + ⋯−172,2 2
18= 26,86
𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 26,86 − 21,95 − 3,64 = 1,27
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Fonte de Variação SQ gl QM
Entre Trat. 3,64 2 1,82 14,29
Entre Blocos 21,95 5 4,39
Erro 1,27 10 0,13
Total 26,86 17
Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256)
Tabela ANOVA:
Adotando 𝛼 = 0,05, com 𝑔𝑙 = 2 no numerador e 𝑔𝑙= 10 no denominador, temos o valor crítico 𝑓𝑐 = 4,10.
O que podemos concluir?
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Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256)
• Como o valor calculado é superior ao valor crítico,
então o teste rejeita H0, provando estatisticamente
que há diferença entre os três algoritmos de busca
em termos do tempo médio de resposta.
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ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS
• Nos estudos experimentais, em geral procuramos
avaliar ou testar o efeito de mais de um fator sobre
uma resposta de interesse, por exemplo:• O engenheiro civil quer conhecer o quanto o tempo
de hidratação, a dosagem de cimento e o uso de
aditivos interferem na resistência a compressão de
um concreto;
• Um projeto é dito fatorial quando cada nível de um
fator é testado com todos os níveis dos outros
fatores, sem restrições.
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ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS
• As observações podem ser descritas pelo seguinte
modelo:
𝑌𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + (𝜏𝛽)𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘
Onde:
• 𝜇 : é a média global da resposta;
• 𝜏𝑖: é o efeito do i-ésimo nível do fator A;
• 𝛽𝑗: é o efeito do j-ésimo nível do fator B;
• (𝜏𝛽)𝑖𝑗: é o efeito da interação entre 𝜏𝑖 e 𝛽𝑗;
• 𝜀𝑖𝑗𝑘: é o efeito aleatório ou erro experimental.
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ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS
• Notação para os dados:
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ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS
SOMAS DE QUADRADOS
• Somas das observações em cada célula:
𝑦𝑖𝑗. =
𝑘=1
𝑛
𝑦𝑖𝑗𝑘
• Soma de quadrados entre as células:
𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑡𝑜𝑡 =
𝑖=1
𝑔
𝑗=1
ℎ𝑦𝑖𝑗.
2
𝑛−
𝑦…2
𝑁
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ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS
Fonte de
Variação
Soma de Quadrados gl Quadrados
Médios
Razão f
Fator A𝑆𝑄𝐴 =
𝑖=1
𝑔𝑦𝑖.
2
ℎ𝑛−
𝑦…2
𝑁
𝑔 − 1𝑄𝑀𝐴 =
𝑆𝑄𝐴
𝑔𝑙𝐴𝑓 =
𝑄𝑀𝐴
𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜
Fator B𝑆𝑄𝐵 =
𝑗=1
ℎ𝑦.𝑗.
2
𝑔𝑛−
𝑦…2
𝑁
ℎ − 1𝑄𝑀𝐵 =
𝑆𝑄𝐵
𝑔𝑙𝐵𝑓 =
𝑄𝑀𝐵
𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜
Interação
A*B
𝑆𝑄𝐴𝐵 == 𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑡𝑜𝑡 − 𝑆𝑄𝐴 − 𝑆𝑄𝐵
𝑔 − 1 ∗∗ (ℎ − 1)
𝑄𝑀𝐴𝐵 =𝑆𝑄𝐴𝐵
𝑔𝑙𝐴𝐵𝑓 =
𝑄𝑀𝐴𝐵
𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜
Erro 𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 − 𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑡𝑜𝑡 ℎ𝑔(𝑛 − 1) 𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜 =
=𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜
𝑔𝑙𝐸𝑟𝑟𝑜
Total𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 =
𝑖=1
𝑔
𝑗=1
ℎ
𝑘=1
𝑛
𝑦𝑖𝑗𝑘2 −
𝑦…2
𝑁
𝑁 − 1
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EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
Considere o problema de comparar 3 topologias de
rede de computadores (C1, C2 e C3) e 2 protocolos (L1 e
L2), em termos do tempo de resposta ao usuário. Realizou-
se um experimento com 4 replicações em cada combinação
de topologia e protocolo. Deseja-se verificar se há diferenças
entre as topologias, entre os protocolos e eventual interação
entre topologia e protocolo. Então, quer-se testar as
seguintes hipóteses nulas:
𝐻0(𝐴)
:os tempos esperados de resposta são iguais para as
três topologias;
𝐻0(𝐵)
: os tempos esperados de resposta são iguais para os
dois protocolos;
𝐻0(𝐴𝐵)
: a mudança de protocolo não altera as diferenças
médias do tempo de resposta nas três topologias (ausência
de interação).
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EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
• Dados do experimento:Protocolo Topologia Soma Média
C1 C2 C3
L1 6,2 5,9 5,9 𝑦.1. = 82,8 7,45
7,6 8,4 6,2
7,2 7,1 5,2
8,8 7,1 7,2
L2 9,0 7,1 6,2 𝑦.2. = 95,9 7,99
8,9 8,6 6,1
9,4 9,1 8,9
8,0 7,8 6,8
Soma 𝑦1.. = 65,1 𝑦2.. = 61,1 𝑌3.. = 52,5 𝑦... = 178,7 7,45
Média 8,1375 7,6375 5,5625
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EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑡𝑜𝑡 =5393,39
4−
31933,69
24= 17,77
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 = 1365,49 −31933,69
24= 34,92
𝑆𝑄𝐴 =10727,47
8−
31933,69
24= 10,36
𝑆𝑄𝐵 =16052,65
12−
31933,69
24= 7,15
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EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
• ANOVA:
Fonte de Variação SQ gl QM 𝑓 𝑓𝑐
Topologia 10,36 2 5,18 5,44 3,55
Protocolo 7,15 1 7,15 7,51 4,41
Interação 0,26 2 0,13 0,14 3,55
Erro 17,14 18 0,95
Total 34,92 23
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EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
Conclui-se assim que tanto as diferentes
topologias C1, C2 e C3, (𝑓 = 5,44 > 𝑓𝑐 = 3,55) ,
quanto os diferentes protocolos utilizados L1 e L2, (𝑓
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EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
• Análise dos resíduos e do perfil das médias para
comprovar as suposições de normalidade e
variância constante dos dados.
• As médias são determinadas pela equação:
𝑦𝑖𝑗. =1
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑦𝑖𝑗𝑘
• Os resíduos são a diferença entre os valores
observados e a média dos subgrupos:𝑒𝑖𝑗𝑘 = 𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦𝑖𝑗.
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EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
(a) Perfil das médias (b) Análise dos Resíduos
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EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
Observando o perfil das médias podemos
observar diferenças entre os níveis dos dois fatores e
a ausência de interação.
Observando o perfil dos resíduos, observamos
que os resíduos se encontram distribuídos de forma
aleatória em torno da linha horizontal, associada ao
resíduo nulo, isso sugere também que as suposições
de normalidade e variância constantes são atendidas,
validando os resultados da ANOVA.
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REFERÊNCIAS
• BARBETTA, Pedro A.; REIS, Marcelo. M.;
BORNIA, Antonio C. Estatística para cursos de
engenharia e informática. 3 ed. São Paulo:
Editora Atlas, 2010.