TEMA 7.- FILTROS 1

ÍNDICE

1.- Introducción .............................................................................................................. 2 2.- Clasificación de los Filtros ........................................................................................ 2 3.- Filtros Pasivos y Filtros Activos ................................................................................ 2 3.1.- Ventajas e Inconvenientes de los Filtros Activos ........................................ 3 3.2.- Campo de Utilización .................................................................................. 3 4.- Filtros Ideales y Reales .............................................................................................. 4 5.- Filtros Pasivos ........................................................................................................... 6 5.1.- Función de Butterworth ............................................................................... 6 5.2.- Función de Chebyshev ................................................................................ 8 5.3.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Bajo (LP) .................................... 10 5.4.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Alto (HP) .................................... 11 5.5.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Banda (BP) ................................. 13 6.- Adaptación de Impedancias .................................................................................... 15 7.- Filtros Activos ........................................................................................................ 16 7.1.- Estructura VCVS ..................................................................................... 17 7.2.- Estructura Bicuadrática. ........................................................................... 18 7.3.- Escalado ................................................................................................... 18 7.4.- Diseño de Filtro Paso-Bajo Activo (LP) .................................................. 19 7.5.- Diseño de Filtro Paso-Alto Activo (HP) .................................................. 22 7.6.- Diseño de Filtro de Paso-Banda Activo (BP) .......................................... 23 8.- Sensibilidad ........................................................................................................... 28 9.- Filtros de capacidades Conmutadas ........................................................................ 29 10.- Ejercicios .............................................................................................................. 30

TEMA 7.- FILTROS 2

1. Introducción.-

Un filtro eléctrico es un cuadripolo capaz de atenuar determinadas frecuencias del espectro de la señal de entrada y permitir el paso de las demás. Se denomina espectro de una señal a su descomposición en una escala de amplitudes y fases respecto de la frecuencia. Obsérvese que mientras el osciloscopio es un instrumento que analiza la señal en relación con el tiempo, el analizador de espectro lo hace por medio de la Transformada de Fourier. Entonces llamaremos filtros a los circuitos que se encarguen de separar o rechazar diferentes tipos de señales, distinguiendo entre estos filtros analógicos y filtros digitales. Los filtros analógicos son los que se encargan de trabajar con señales de tipo analógicas (continuas), y los digitales los que se encargan de trabajar con señales de tipo discretas, cuya implementación generalmente se realiza vía software. Nosotros analizaremos los filtros analógicos.

2. Clasificación de los filtros .-

Los filtros se pueden clasificar de la siguiente forma: Según su Función

Filtros de radiocomunicación. Filtros de modulación y demodulación Filtros de análisis de espectro. Filtros que mejoran la relación señal-ruido. Multiplicadores de frecuencia. Filtros correctores.

Según la Gama de Frecuencias Audiofrecuencias. Hiperfrecuencias Etc...

Según su Tecnología. Filtros Pasivos. Filtros Activos.

3. Filtros Pasivos y Filtros Activos.-

a) Filtros Pasivos: Están construidos exclusivamente por elementos pasivos como resistencias, condensadores y bobinas. Estos filtros generalmente son inviables en bajas frecuencias al exigir inductancias muy grandes.

b) Filtros Activos: Constan de elementos pasivos asociados a otros activos (válvulas, transistores o amplificadores operacionales). La primera generación de estos filtros utilizaba las válvulas, por lo que tenían un consumo de potencia muy alto, ruidos, baja ganancia, etc..

TEMA 7.- FILTROS 3

La segunda empleaba transistores como elementos activos y, aunque tenía más ventajas que la anterior, no tenía unas características enteramente satisfactorias. La tercera generación, objeto de nuestro estudio, utilizaba los amplificadores operacionales. La alta resistencia de entrada y la baja resistencia de salida de los OPAMPS , además de otras características, permiten la realización de filtros con cualidades óptimas. Los filtros pasivos no requieren fuentes externas de energía, y funcionan sin

alimentación. En cambio los filtros activos se componen generalmente por circuitos RC y amplificadores, los cuales necesitan alimentación externa para su funcionamiento. 3.1. Ventajas e Inconvenientes de los filtros activos.- En comparación con los pasivos, los filtros activos poseen una serie de ventajas: Permiten eliminar las inductancias que, en bajas frecuencia, son voluminosas

pesadas y caras. Facilitan el diseño de filtros complejos mediante la asociación de etapas simples. Proporcionan una gran amplificación de la señal de entrada (ganancia), lo que es

importante al trabajar con señales de niveles muy bajos. Facilidad en los ajustes, actuando simplemente sobre el elemento activo.

Por otro lado tiene una serie de inconvenientes: Exige una fuente de alimentación Su respuesta de frecuencia esta limitada por la capacidad de los A.O utilizados. Es imposible su aplicación en sistemas de media y alta potencia.

Los circuitos resonantes activos pueden tener un coeficiente de sobretensión (factor de calidad Q que se verá más adelante) tan grande como se desee. Por consiguiente, teóricamente se pueden realizar filtros activos con las características que se quieran; pero esto no es posible en la práctica, ya que cuanto mayor sea el coeficiente de sobretensión mayor será también el riesgo de oscilación espontánea, es decir, su inestabilidad. El riesgo de inestabilidad es el principal inconveniente de los filtros activos, y también es el factor que limita sus características y su aplicación. 3.2. Campo de utilización.-

Los filtros activos son los que resultan más convenientes en el campo de las frecuencias muy bajas. Como son poco voluminosos y, a menudo, de reducido coste, pueden compararse con ventaja a los filtros pasivos en el campo de las audiofrecuencias.

Estas cualidades les hacen también estimables para ciertas aplicaciones en frecuencias de hasta algunos centenares de KHz, cuando el volumen y el precio de coste son factores determinantes y cuando los coeficientes de sobretensión que se precisan no son demasiado elevados.

TEMA 7.- FILTROS 4

4. Filtros ideales y reales.-

Como se mencionó anteriormente, los filtros constituyen tipos de circuitos diseñados para obtener características especificas de selectividad respecto a la frecuencia. Dejan pasar unas frecuencias sin apenas afectarlas (en la banda de paso) y eliminan otras (en las bandas de atenuación). Idealmente, en la banda de paso, |H(ω)| = 1, y en la banda de atenuación H(ω) = 0.

En la figura podemos observar filtros pasa-bajos (a), pasa-altos (b), pasa-banda (c) y rechazo-banda (d).

Los filtros ideales no son físicamente realizables, atentan contra el principio de causalidad (h(t)=0 ∇ t<0), pero se pueden diseñar y construir filtros reales tan cercanos a los ideales como se desee. Cuanto más se aproxime a la característica ideal, más complejo será el circuito real. La respuesta en frecuencia se puede aproximar a la de los filtros ideales si se incrementa el orden del filtro.

TEMA 7.- FILTROS 5

Tiempo de propagación de grupo (o retraso de grupo) de un filtro Una red eléctrica transmite una señal sin deformación si ésta sufre un retardo constante τ ≥ 0. Para una componente de la señal cuya pulsación sea ω, este retardo se

traduce en un desfase: θ = ωτ, o sea, cte== τωθ . (θ = ∠H(ω))

En general, para que un filtro transmita una señal sin deformación es suficiente que en toda la banda de paso se cumpla la relación:

ctedd

=ωθ

La magnitud τ se llama tiempo de propagación de grupo (o retraso de grupo). La regularidad de este tiempo de propagación de grupo de un filtro a lo largo de la banda de paso refleja su aptitud para transmitir señales transitorias sin deformación. Así, un filtro ideal tiene un tiempo de propagación de grupo constante en toda la banda de paso (fig.3).

TEMA 7.- FILTROS 6

Desafortunadamente no se conoce la forma de concebir de modo sencillo un filtro que se acerque al ideal en lo que se concierne a la atenuación y que se presente, a la vez, un tiempo regular de propagación de grupo. El filtro real, o bien tiene una buena respuesta de amplitud pero una mala regularidad del tiempo de propagación de grupo (fig 4), o bien presenta un tiempo de propagación de grupo regular pero su curva de respuesta de amplitud se aleja mucho de la del filtro ideal (fig. 5).

5. Filtros Pasivos.-

5.1. Función de Butterworth.- Los filtros de Butterworth poseen la propiedad de tener una curva de respuesta lo

más plana posible en el origen, es decir, para la frecuencia cero. La función de Butterworth viene definida por la ecuaciones:

n

c

H

H22

2

1

1)0(

)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

ω

n

c

HH

2

1

1)0()(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

ω

también por:

n

cffH

fH22

2

1

1)0(

)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= n

cffH

fH2

1

1)0()(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

donde: wc=2πfc Frecuencia de corte (aquella a la que |H(ω)| cae –3dB respecto a DC en filtros LP) n = orden del filtro ( a mayor n mayor pendiente)

TEMA 7.- FILTROS 7

Ejercicio 1:Se desea atenuar en 60 dB una interferencia de 50Hz , empleando un filtro Butterworth con una frecuencia de corte fc=10 Hz. La atenuación de un filtro viene determinada por la ecuación :

)0()(

20H

fHLogAdB −=

Operando sobre la función de Butterworth

n

cffH

fH22

2

1

1)0(

)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ n

cffLog

HfH

Log2

1)0()(

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

n

cffLog

HfH

Log2

110)0()(

20 como ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

)0()(

20H

fHLogAdB

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

n

c

dB

ffLog

A2

110

n

c

A

ffdB

2

10 110 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

c

A

ffnLogLog

dB

2110 10

29.45

352

6

10502

110

2

110 1060

10

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

=LogLogLog

Log

ffLog

Logn

c

AdB

el orden sería n=5, no es 4 porque se debe construir el mejor filtro posible y cumplir todas las especificaciones.

TEMA 7.- FILTROS 8

5.2. Función de Chebyshev (Tchebyscheff).- Los filtros de Chebyshev tienen una transición más abrupta que las funciones de

Butterworth entre la banda de paso y la banda atenuada (pero a frecuencias altas, ya muy inmersos en la banda atenuada, todo filtro LP de orden n tiene una atenuación de 20·n dB/dec). Por el contrario la banda de paso no es plana, esto es, presenta rizado.

Es más eficiente repartir el error de aproximación de una forma continua a lo largo de la banda pasante, lo que podemos conseguir escogiendo:

)()( 222 ωεω nCjK ⋅= donde Cn(w) (polinomio de Chebychev de 1ª especie y de orden n) es un polinomio que oscila entre –1 y 1 para 10 ≤≤ ω .

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⋅+

=

0

222

2

1

1)0(

)(

ffCH

fH

nε

De manera general tenemos que:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

1;arccoscosh

10;arccoscos

00

00

ff

ffhn

ff

ffn

Cn

coseno hiperbólico 2

)cosh(xx eex

−+=

ε es el denominado factor de rizado (ε2≤1). Se especifica mediante el valor pico a pico en decibelios R|dB=10·log(1+ε2). Si n es par el rizado será positivo y si es impar negativo (ver figura 7). f0 es la frecuencia natural (donde acaba el rizado), por tanto ω0=2πf0.

TEMA 7.- FILTROS 9

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−

0

21

101

arccos

110arccos

ffh

h

n

dBA

ε

¿Qué relación existe entre fc (frecuencia de corte (-3dB)) y f0?

21

)0(

)(2

2

=H

fH c Luego ⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⋅+ 210

22

ff

C cnε

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⋅ 10

22

ff

C cnε

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⋅ 10f

fC c

nε ⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

ε1

0ff

C cn

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⋅=

n

hffc

ε1arccos

cosh0

Ejercicio 2: Se desea atenuar en 60 dB una interferencia de 50 Hz empleando un rizo de Chebyshev de 0.1 dB y una frecuencia natural (f0) de 5 Hz.

[ ]2110 ε+= LogRdB [ ]21101.0 ε+= LogdB ε=0.1526 [ ]22110)(20 nCLogfHLog ⋅+=− ε

[ ]22110 ndB CLogA ⋅+= ε

n

A

C

dB

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ε

21

10 110 Cn=6553.0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

550arccoscosh hnCn 16.3

)10(arccos)(arccos

==h

Chn n n=4

( )

06.6.....1arccos

cosh0 ==⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⋅=

n

hffc

ε

TEMA 7.- FILTROS 10

5.3. Realización de Filtros Pasivos de paso bajo (LP).- Redes (Filtros) terminados si Rs = Rc Redes (Filtros) no terminados si Rc = ∞ (impedancia de carga infinita)

Siendo Rs la impedancia de fuente y Rc la impedancia de carga.

Metodología.- Se calcula el orden.

Se construye el filtro LP normalizado consultando la tabla 8.

ωc= 1 rad/seg Filtro Normalizado Rs= 1Ω

Se desnormaliza.

a) Se dividen L y C entre la ωc real. b) Se multiplican las impedancias por la Rs real.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⋅→

→

⋅→

S

S

S

RRRRCC

RLL

TEMA 7.- FILTROS 11

Ejercicio.- Realizar un filtro LP Butterworth a disponer entre una fuente de 600Ω (RS) y una carga de 600Ω, cuya frecuencia de corte sea de 5KHz y que atenúe los 20 KHz al menos 40 dB por debajo del nivel de continua. Primero calculamos el orden del filtro:

[ ] 3.3

5202

110

2

1104

10

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

=

KKLog

Log

ffLog

LogN

c

AdB

n = 4

Construimos el filtro normalizado (ωc=1 rad/seg , Rs=1Ω)

Ahora desnormalizamos el circuito y queda de la siguiente forma:

5.4. Realización de Filtros Pasivos de paso alto (HP).-

A partir del diseño de un filtro paso-bajo, pueden obtenerse filtros paso-alto, paso-banda y rechazo-banda que cumpla similares especificaciones, mediante el uso de transformaciones. Denotemos ω y s la frecuencia y la variable del filtro paso-bajo prototipo normalizado en ωc= 1 rad/seg

ωω 1

→ s

s 1→

TEMA 7.- FILTROS 12

Transformaciones

Proceso

a) Construimos un LP normalizado consultando la tabla 8. b) Cambiamos L y C según las reglas de transformación. c) Desnormalizamos.

Ejemplo.- Diseñar un filtro Butterworth paso alto de tercer orden con una fc de 500Hz y que trabaje con Rs=100Ω y Rc=10 MΩ. Se puede considerar como una red no terminada al ser Rc muy alta (en realidad si queremos ser exactos debemos hacerlo de otra forma, pero se explicará más adelante en adaptación de impedancias). ωc= 2π*500=1000π Rs=100Ω Rc=10MΩ (→ ∞)

V0

V0

TEMA 7.- FILTROS 13

5.5. Realización de Filtros Pasivos de paso banda (BP).-

El factor de calidad de un filtro paso de banda viene determinado por la ecuación:

)()/(00

hzBWf

sradBWW

Q ==

A partir del diseño de un LP podemos construir un filtro BP mediante las siguientes transformaciones:

SSS 1

+→

Proceso

a) Se construye un LP con Rs=1Ω y ωc=1/Q. b) Transformamos L y C siguiendo las reglas de transformación. c) Se desnormaliza

S

S

S

RCC

RLLRRR

→

⋅→⋅→

d) Se desnormaliza a la frecuencia central ω0.

TEMA 7.- FILTROS 14

0

0

ω

ωCC

LL

→

→

Ejercicio.- Diseñar un filtro paso-banda pasivo de tercer orden con frecuencia central 1Khz y ancho de banda 100hz para disponer entre una fuente de señal de 100Ω y una amplificador de entrada muy alto. f0=1 Khz BW= 100 hz Rs=100Ω Rc=∞ Filtro no terminado

segradQ

KQ c /1.01101001

==→→== ω

Construimos un filtro LP con Rs=100Ω y ωc=0.1 rad/seg, realizamos las transformaciones y desnormalizamos a la frecuencia central con Rs=100Ω y ω0=2π*1K=2000π.

V0

TEMA 7.- FILTROS 15

6. Adaptación de Impedancias.-

Ejercicio: Diseñar un filtro para este circuito:

Vemos que no es un filtro terminado porque la resistencia Rc≠Rs, pero tampoco es un filtro no terminado porque Rc≠∞. 1ª Solución (no muy aceptable) es insertar un seguidor de tensión

2º Solución es usando un transformador . Un transformador es una bipuerta definida por 21 VnV ⋅= y 12 ini ⋅−= donde n es el llamado TURNS RATIO.

( ) 12

1221 iRnRinnRinVnVeqR

⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅−=⋅= 321

el ejercicio anterior lo podríamos realizar de la siguiente forma:

n : 1 V0

TEMA 7.- FILTROS 16

7. Filtros Activos.-

Los filtros activos se componen generalmente por circuitos RC y amplificadores (OPAMP’s), los cuales necesitan alimentación externa para su funcionamiento, es por esto que además de filtrar los filtros activos pueden amplificar la señal. La ecuación de transferencia de un filtro de LP de 2º orden viene definida por:

( ) 22

2

2 nn

n

wswswK

sH+⋅+

⋅=

ξ

Donde: H(0)=K Ganancia en DC

ientoAmortiguamdeFactorQ

→=21ξ

ωn Frecuencia Natural. Si igualamos el denominador a cero y resolvemos en s obtenemos los dos polos del sistema.

02 22 =+⋅+ nn wsws ξ

43421pw

nn wjwP 21 1 ξξ −⋅+−= 43421

pw

nn wjwP 22 1 ξξ −⋅−−=

( ) ( ) ( )21 PsPswK

sH n

−⋅−⋅

=

nwξ−

Pnw ωξ =− 21

Se produce pico de resonancia (ver figura siguiente) para valores de

217071.0 =<ξ .

Existe siempre una relación ente la frecuencia natural(ωn) y la de corte(ωc), que depende del valor de ξ. Para un LP de segundo orden, se puede demostrar que:

( ) 24421 242 +−+−⋅== ξξξωω nCBW

TEMA 7.- FILTROS 17

Para el diseño de filtros activos utilizaremos en nuestro caso, dos tipos de estructuras que, por su simplicidad y estabilidad están especialmente indicadas.

7.1. Estructura VCVS (fuente de tensión controlada por tensión).-

3

41RR

K += 2211

2 1CRCRn ⋅⋅⋅

=ω

121122

3

4112

CRCRCRR

R

n ⋅+

⋅+

⋅−=⋅ωξ

TEMA 7.- FILTROS 18

7.2. Estructura Bicuadrática.-

1

3

RR

K = 243

2 1CRR

wn ⋅⋅=

CRwn ⋅

=⋅2

12ξ

7.3.- Escalado. De las ecuaciones anteriores podemos intuir que el parámetro k controla la

ganancia del filtro (su altura). ωn está íntimamente relacionada con la frecuencia de corte ωc (fijan la anchura de dicho filtro), y ξ por otra parte fija la forma de H(s). Dos filtros del mismo orden, idénticos salvo escala tendrán la misma ξ. Supongamos que tenemos un filtro con estructura bicuadrática con una determinada

frecuencia natural y de corte. Veamos que nCR ω

ξ⋅⋅

=2

12 . Queremos que ωn cambie a

ω’n sin que esto afecte a la forma del filtro, por tanto debemos garantizar ξ constante. Fijándonos en la expresión anterior, podemos conseguir esto sin más que mantener el producto R·ω·C = constante (esta será nuestra ley de escalado). Un desarrollo análogo se puede hacer para estructura VCVS.

TEMA 7.- FILTROS 19

7.4.- Diseño de Filtro Paso-Bajo activo (LP).-

Filtro LP con K = 1 y orden n = 2.

Filtro LP con K = 1 y orden n = 3

a) Construimos un filtro normalizado con:

Wcn = 1 rad/seg Rn = 1 Ω Cn consultando la tabla 9

b) Escalamos los condensadores, teniendo en cuenta la Wc y R real.

nncn CRwCRw ⋅⋅=⋅⋅11

RwCCc

ni ⋅

=

TEMA 7.- FILTROS 20

TEMA 7.- FILTROS 21

Ejercicios.- 1.- Construir un filtro LP activo Butterworth de 2º orden con fc = 1KHz, utilizando resistencias de 1 KΩ. Según la tabla 9. C1=1.414 F C2= 0.7071 F Wc= 2π*1K=2000π R= 1K

( ) nFC 22510002000

414.11 =

⋅=

π ( ) nFC 54.112

100020007071.0

2 =⋅

=π

2.- Diseñar un filtro Butterworth paso-bajo de orden 5 con fc= 5Khz y resistencia 100KΩ. Utilizar estructura VCVS. Cuando el filtro es de orden 4 o superior debemos utilizar dos etapas, en este caso el filtro de orden 5 estará formado por una primera etapa de orden 3 y una segunda de orden 2 en serie. Wc= 2π·5000 = 10000π = π·104 R= 100K =1·105

Etapa de orden 3.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅

=⋅

=

=⋅

=⋅

=

=⋅

=⋅

=

pFRw

CC

pFRw

CC

pFRw

CC

n

n

n

13410421.0

43110354.1

55810753.1

93

3

92

2

91

1

π

π

π

Etapa de orden 2.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅

=⋅

=

=⋅

=⋅

=

pFRw

CC

nFRw

CC

n

n

9810309.0

03.5110235.3

92

2

91

1

π

π

TEMA 7.- FILTROS 22

7.5.- Diseño de Filtro Paso-Alto activo(HP).- La función de transferencia de un filtro de HP de 2º orden viene definida por:

( ) 22

2

2 nn wswssK

sH+⋅+

⋅=

ξ

La estructura VCVS de un filtro HP con K=1 y orden 2, normalizado ωc=1 rad/seg es:

La estructura VCVS de un filtro HP con K=1 y orden 3, normalizado ωc=1 rad/seg es:

Método de diseño

a) Fijamos Wc y C b) Construimos HP normalizado

Wcn= 1 rad/seg C = 1F Rn= 1/Cn consultando la tabla 9.

c) Desnormalizamos.

11

1 CC

wCRwn

cn ⋅⋅=⋅⋅ n

i CCwR

⋅⋅=

1

TEMA 7.- FILTROS 23

Ejercicios.- Construir un filtro HP Butterworth activo con fc = 100Hz utilizando condensadores de 1µF y de orden 2. Wc= 2π·100 = 200π rad/seg C = 1µF

( ) ( ) ( ) Ω=⋅⋅⋅

=⋅⋅

= − 56.1125414.1101200

116

11 πCCw

R

( ) ( ) ( ) Ω=⋅⋅⋅

=⋅⋅

= − 81.22507071.0101200

116

22 πCCw

R

7.6.- Diseño de Filtro Paso-Banda activo(BP).- Existen varias formas de obtener un filtro paso banda. Podemos conseguir un BP

mediante conexión serie un filtro HP y otro LP. Podemos también usar estructuras básicas VCVS o bicuadrática. La elección de una u otra vendrá determinada por el factor de calidad del filtro como veremos más adelante.

TEMA 7.- FILTROS 24

La curva de respuesta a la frecuencia de un filtro Rechazo-Banda de banda es la siguiente:

Para diseñar un filtro de este tipo podemos tomar un HP y un LP en paralelo y sumarlos.

La función de transferencia de un filtro Paso-Banda de orden 2 es la siguiente

( )0

20

wBssswK

sH++

⋅=

donde B=BW (en rad/seg) y w0 frecuencia central.

( ) QKBw

KBwK

wBjwwjwwK

jwH ⋅=⋅=⋅

=+⋅+−

⋅⋅= 00

200

20

000

donde Q es el llamado factor de calidad.

HP

+ LP

TEMA 7.- FILTROS 25

Estructura VCVS

Vx 43421a

RRRV

32

20 +

⋅

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

⋅−

⋅−=

−+

→→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⋅=

⋅−

⋅−+=

−+

−

1

00

0

1

0

1

00

0

1

0

1

22

RVa

ZVaV

ZVaV

RVVV

RVa

ZVaV

ZVaV

ZV

RVV

RVV

C

x

C

xxin

C

x

C

x

C

xxxin

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 2

122

1

1222

11

1

1

1

1

1

1

0

142142

1421

142

1)(

sCRa

saCR

CsRas

sCaRCsRaaCsR

ZCsRaa

CsRa

ZRa

aRaZsV

sVsH

CC

C

+⋅

−+

⋅=

+⋅−+⋅

=

=⋅⋅

+−+⋅⋅

=⋅

+−+⋅

==

Comparando con la función de transferencia de un filtro BP de 2º orden tenemos que:

CRawK

10

1⋅

=⋅ 221

20

2CR

w = CRa

aB1

14⋅

−=

21122

1110 a

KCRaCR

KCR

w =→→⋅

=⋅→→=

32

2

RRRa+

=

TEMA 7.- FILTROS 26

2

1

21

211 2

3

2

32 RR

RRR

aK

+=⋅

+=⋅=

[ ] 00

2

32

12

32

12

322

132

2

32

2

1

222

33414

14 wKw

RRR

CRRRR

CRRRRR

CRRR

RRR

R

CRaaB ⋅−=⋅

−=

−=

−−=

⋅+

−+

⋅=

⋅−

=

Resumiendo:

2

12

3R

R

K+

= ; [ ] 022 wKB ⋅−= ; CR

w1

02

=

Suponemos un filtro con un factor de calidad muy alto.

3032

332

0 ≈⇔≈−⋅>>>>→→→→=RRRRQ

BwQ

Esto nos lleva a que este tipo de filtros se usan para factores de calidad Q <4. Ejercicio.- Diseñar un filtro activo paso de banda con f0 = 10Khz y ancho de banda (BW) de 5 Khz.

KKBKfw

10·5·210·2·2 00

ππππ

==== VCVSEstructura

KK

Bw

Q →<=== 325·2

10·20

ππ

[ ] 022 wKB ⋅−= [ ] 33 10·10·22210·5·2 ππ ⋅−= K

[ ] 328.22

1242221

=−

=⇒−= KK

29.2328.22

1

2

32

3

=⇒=+

=RRR

R

K

Luego si tomo R2=1K R3=2.29K

CRW

10

2= si C = 1nF Ω=

⋅⋅⋅== − K

CwR 5.22

10110·1022

·2

930

1 π

Ganancia en frecuencia central

TEMA 7.- FILTROS 27

( ) 656.42·323.2·0 === QKwH

Estructura Bicuadrática. (2º orden)

Ecuaciones:

1

43

RRR

K = ; CR

B2

1= ; 2

43

20

1CRR

w =

Esta estructura se utiliza para factores de calidad altos, hasta 100.

TEMA 7.- FILTROS 28

Ejercicio: Diseñar un filtro activo paso de banda de orden 2, centrado en 1Khz y de ancho de banda 100Hz. BW = 100Hz ; f0 = 1KHz

caBicuadrátiBWf

Q ⇒>=== 410100

10000

1

43

RRR

K = ; CR

B2

1= ; 2

43

20

1CRR

w =

Por comodidad puedo hacer.

CRw

CRwRRRK

1022

1

20143

111 =⇒=→→==⇒=

121

2

2

1

2

10

·10101100·2

11000·2

1·2

1·2RR

RR

CR

CR

CRBW

CRf

=⇒=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

π

π

π

π

Tomo Ω=→→Ω=== KRKRRR 101 2143

nFCC

15.159100·2·10·1

1·10·1

1100·2 44 ==⇒=π

π

( ) 1010·1·0 === QKwH

8. Sensibilidad.-

Se define la sensibilidad como la variación de una propiedad del sistema cuando varia un parámetro. Para un parámetro P, su sensibilidad normalizada a un factor F, se define como:

( )( )LnFdLnPd

FdF

PdP

S PF ==

Por ejemplo, si cambia R1 en un filtro ¿en qué medida se verá afectada la frecuencia de corte?

( )( ) ===

1

111

RdR

wdw

LnRdLnwd

S c

c

cwR

c –1/2. Esto significa que si la resistencia nominal R1=100Ω

crece hasta 110Ω (un 10%) , la wc decrecerá un 5%.

TEMA 7.- FILTROS 29

9. Filtros de capacidades Conmutadas.-

Los filtros de capacidades conmutadas (SC, switched capacitor) son una clase particular de filtros activos que no emplean resistencias, sino solamente A.O., condensadores e interruptores (transistores), por lo que son especialmente indicados para la integración monolítica (las resistencias ocupan mucho espacio en los C.I., y su calidad es mediocre). Veamos como ejemplo la célula integradora básica y su equivalente analógico.

φ1 y φ2 son la señales de control de los interruptores gobernadas por una señal de reloj. Esta señal de reloj conmuta alternativamente los dos interruptores de modo que si el periodo es T=1/fr (fr ≡ frecuencia de la señal de reloj) la corriente de

/Tentrada queda: Im=Q/T=Vi·C =Vi·C·frpor tanto:Vi=Im·(C·fr)-1=Im·Req ; con Req=(C·fr)-1.

bviamente fO r debe tener un valor alto. VENTA A

φ1 φ2

J S: • Reducido tamaño.

n (bajas derivas) • Alta precisió• Estabilidad

iante f• Fácil ajuste (med• Reducido coste.

r)

INCON EV NIENTES:

• Útiles sólo a bajas frecuencias (200Khz) debido a la aparición de . interferencias y ruidos

Bajo rango dinámico. •

TEMA 7.- FILTROS 30

10.- Ejercicios: 1. Determinar la sensibilidad de la frecuencia natural del filtro de la figura a las variaciones en la resistencia R1.

2211

2 1CRCR

wn =

121221

112 dRRCRC

dww nn−

⋅= 1

1

2211

12R

dRCRCR

dww nn ⋅−

=

1

122R

dRwdww nnn ⋅−= 1

1

21

RdR

wdw

n

n ⋅−

=

21

1

11

−==

RdR

wdw

S n

n

wR

n

2. En la estructura Bicuadrática BP calcular:

1

43

RRR

K = ; CR

B2

1= ; 2

43

2 1CRR

wn =

a) BRS

2

222

11 dRRC

dB −⋅=

2

2

2

1R

dRCR

dB ⋅−= 2

21R

dRB

dB⋅−=

TEMA 7.- FILTROS 31

1

2

22

−==

RdR

BdB

S BR

b) BCS

Partiendo de la misma ecuación que en caso a) CR

B2

1= , obtenemos

1−==C

dCB

dBS B

C

c) KRS

4

1

43

RRR

K = 21

432

RRR

K = 4

442

1

32R

dRRRR

dKK ⋅⋅=⋅

4

4

21

RdR

KdK

⋅= 21

4=K

RS

d) KRS

1

1

43

RRR

K = 21

4321

432 1R

RRR

RRK ⋅==

( )4

1

1143

22R

dRRRRdKK ⋅−⋅=⋅

1

12

1

43 2·2R

dRR

RRdKK ⋅−= 1

1

11

−==

RdR

KdK

S KR

e) KRS

3

Partiendo de la misma ecuación que en caso c) 1

43

RRR

K = , obtenemos

21

3

33

==

RdR

KdK

S KR

3. Para el filtro activo HP calcular:

a) CwRS

1

b) CwRS

2

TEMA 7.- FILTROS 32

.cteCRwc =⋅⋅ Para los dos casos tomo la misma ecuación. [ ] 0=+ CdRwRdw icic 0=+ icic dRwRdw icic dRwRdw −=

i

i

c

c

RdR

wdw

−= 1−=c

i

wRS

Luego para los dos casos a y b vale –1. 4. Determinar el orden y la fc de un filtro Butterworth paso-bajo tal que a 2Khz la atenuación sea de 1dB y a 16Khz como mínimo de 40dB.

n

cff

fH 22

1

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

n

cffLogfHLog

2

1)(2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−

n

cffLogfHLog

2

110)(20 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

n

c

dB

ffLog

A2

110

Entonces:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

→

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

→

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

n

c

n

c

n

c

n

c

n

c

n

c

fK

fK

fK

fK

fKLog

fKLog

24

21.0

24

21.0

2

2

16110

2110

16110

2110

1614

211.0

Dividiendo:

( ) 53.282

110110

8110110

81

162

110110 1.0

4

21.0

422

4

1.0

=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⇒=−−

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

Log

Lognn

nn

n = 3

¿Y la fc?

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

Kf

Logn

LogfKLognLog

fK c

c

n

c 16211016211016110

44

24

( )

nLog

c Kf 21104

1016−

−⋅=

Si n = 2.53 fc = 2.59Khz Si n = 3 fc = 3.447Khz

TEMA 7.- FILTROS 33

5. Diseñar ( con elementos activos) un circuito con la siguiente función de transferencia.

Este Problema se reduce haciendo un filtro de paso-bajo con fc=10Khz de orden 4 ya que según la ecuación dec

dBn =⋅− 20 8020 −=⋅− n n = 4, es un butterworth

pues no tiene rizado. Y un filtro paso-alto con fc = 100hz de orden 3 (-20·n=-60) y se conectan en cascada.

HPLP

a) Diseño del LP

fc= 10Khz wc=2π·10K

RwC

C ni ⋅

= Tomamos R=1K

Al ser de orden 4 debemos hacerlo en dos etapas: 1ª etapa:

( ) nFKK

C 22.171102

082.11 =

⋅⋅=

π ( ) nF

KKC 71.14

11029241.0

2 =⋅⋅

=π

2ª etapa:

( ) nFKK

C 59.411102

613.21 =

⋅⋅=

π ( ) nF

KKC 09.6

11023825.0

2 =⋅⋅

=π

b) Diseño del HP orden 3

fc= 100hz wc=2π·100=200π

ni CCw

R⋅⋅

=1

Tomamos C = 1µF

( ) ( ) ( ) Ω=⋅⋅⋅

=⋅⋅

= − 449546.3101200

116

11 πCCw

R

TEMA 7.- FILTROS 34

( ) ( ) ( ) Ω=⋅⋅⋅

=⋅⋅

= − KCCw

R 143.1392.1101200

116

22 π

( ) ( ) ( ) Ω=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

= −− KCCw

R 863.710024.2101200

1116

33 π

6. Calcule la respuesta impulsiva h(t) para un filtro paso bajo de orden 2.

( ) 22

2

2 nn

n

wswswk

sH++

⋅=

ξ

b) Respuesta del filtro anterior a la entrada escalón.

Busquemos los polos del sistema:

22222

22

112

442

02

ξξξξξξ

ξ

−±−=−±−=−±−

=

=++

nnnnnnn

nn

jwwwwwww

s

wsws

Entonces :

22

21

1

1

ξξ

ξξ

−−−=

−+−=

nn

nn

jwwP

jwwP

Por comodidad llamaremos pn ww =− 21 ξ

pn

pn

jwwP

jwwP

−−=

+−=

ξ

ξ

2

1

TEMA 7.- FILTROS 35

Vemos que ( ) nnn wwwPP =−+== 2222

21 1 ξξ Por tanto podemos escribir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )21

12

21

12

21

2

21

2

PsPsBPAPsBA

PsPsBPBsAPAs

PsB

PsA

jwwsjwwswk

PsPswk

sHpnpn

nn

−⋅−−−+

=−⋅−

−+−

=−

+−

=++⋅−+

⋅=

−⋅−⋅

=ξξ

Entonces:

BABA −=⇒=+ 0 ( ) 2

212

122

12 nnn wkPPAwkAPAPwkBPAP ⋅=−⇒⋅=+−⇒⋅=−−

2

2

22

222

21

2

12

12

12122

ξ

ξ

ξξξξ

−

⋅⋅=−=

−

⋅⋅−=

−⋅

⋅=

−⋅

⋅=

⋅=

+++−⋅

=−⋅

=

n

n

n

n

n

p

n

pnpn

nn

wkjAB

wkjA

j

wk

wj

wkjwwk

jwwjwwwk

PPwk

A

Por tanto tenemos:

( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−

⋅−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=−

−−

=−

+−

=21

2212121

1112

11PsPs

wkj

PsPsA

PsA

PsA

PsB

PsAsH n

ξ

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( ) [ ] ( )

( )twsenewk

tueej

ewktueeewkj

tueeeewkj

tueewkj

ptwn

tjwtjwtwntjwtjwtwn

tjwtwtjwtwn

tPtPn

n

ppnppn

pnpn

⋅⋅−

⋅=

=⋅−⋅⋅−

⋅=⋅−⋅

−

⋅⋅−=

=⋅⋅−⋅⋅−

⋅⋅−=

=⋅−⋅−

⋅⋅−=⎯→⎯

−

−−−−

−−−

−

ξ

ξξ

ξξ

ξ

ξξ

ξ

ξ

2

22

2

2

1

21

112

12

1221

1l

( ) [ ] ( )tutwsenewk

th ntwn n ⋅⋅−⋅⋅

−

⋅= − 2

21

1ξ

ξξ

TEMA 7.- FILTROS 36

b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) =⋅−⋅−

−⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=

=+−

+−

=⋅−⋅

⋅=⋅=

sPsPsPsPsCsPsBsPsA

sC

PsB

PsA

sPssUsHsY

21

2112

2121

2n 1

P-swk

Para s = P2

( ))( 122

22

212 PPPwk

BwkPPPB nn −

⋅=⇒⋅=⋅−⋅

Para s = P1

( ) ( )211

22

121 PPPwk

AwkPPPA nn −

⋅=⇒⋅=⋅−⋅

Para s = 0

21

22

21 PPwk

CwkPPC nn

⋅=⇒⋅=⋅⋅

Luego

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )tuPPwk

ePPP

wke

PPPwk

tuCeBeAty ntPntPntPtP ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+⋅

−⋅

+⋅−

⋅=⋅+⋅+⋅=

21

2

122

2

211

22121

Vemos que: 22

1*

1121 nwPPPPP ==⋅=⋅

( ) 221 122 ξξξ −⋅==+++−=− nppnpn wjjwjwwjwwPP

( ) ( ) ( ) npppnpppn wwjwwwwjwjjwwPPP ξξξ 22222 22211 −−=−⋅−=⋅⋅+−=−

( ) ( ) ( ) nppppnppn wwjwjwwwjjwjwwPPP ξξξ 22222 22122 +−=−=−⋅−−=−

Entonces:

( ) ( )

( ) ( )( )tu

wwjwe

wjwewk

tuwwwjw

ewwjw

ewkty

nnn

tP

nn

tP

n

nnpp

tP

npp

tP

n

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−+−−+

−−−−⋅=

=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

+−+

−−⋅=

222222222

2

2222

112121212

12222

21

21

ξξξξξξ

ξξ

Tenemos por tanto que:

( )( ) ( )

( )tuj

ej

ektytPtP

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−−−−

−+−

−⋅= 1

12121212 2222

21

ξξξξξξ

TEMA 7.- FILTROS 37

Veamos que:

( ) ( ) ( ) 24224222222 12201214141212 ξξξξξξξξξξ −=−+−+=−+−=−+− j

Luego: ( )( )

ConjugadasComplejasej

ejj

j

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅−=−−−

⋅−=−+−− φ

φ

ξξξξ

ξξξξ222

222

121212

121212

con ( ) 22

2

1arctan

1212

arctanξ

ξξ

ξξφ

−=

−−

=

Luego

( ) ( )

[ ] ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )tutwek

tutwektutwek

tueeek

tueeeeeek

tueeeekty

n

tw

p

tw

p

tw

twjtwjtw

jtjwtwjtjwtw

jtP

jtP

n

nn

ppn

pnpn

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅−⋅

−−⋅=

=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅

−−⋅=⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⋅

−−⋅=

=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⋅

−−⋅=

=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅⋅+⋅⋅

−

−⋅=

=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅

−−⋅

−

−⋅=

−

−−

−−−−

−−−−

−

φξξ

φξ

φξ

ξ

ξ

ξξ

ξ

ξξ

φφξ

φξφξ

φφ

2

2

22

2

2

22

1cos1

1

cos1

11cos1

121

112

1

11212

21

Si queremos podemos continuar teniendo en cuenta que: ( ) ( )

απα

φπφπφ

φφ

sen

tagtagtag

tagtag

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=−

2cos

122

;

Si transformamos el cos(wpt-φ)

( )

2

222cos

'

'

πφφ

φπφππφ

+−=

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+− twsentwsentw ppp

TEMA 7.- FILTROS 38

Veamos que ( ) ξξ

φφφ

2' 111 −

==−

−=tagtag

tag

Por tanto:

( ) ( )( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅−⋅

−−⋅=

−

ξξ

φ

φξξ

ξ

2'

'2

2

1arctan

11

1 tutwsenekty n

twn

que es como aparece en las tablas. 7.- Construir un filtro LP activo Butterworth de 2º orden con fc=1KHz utilizando resistencias de 1KΩ. Usaremos una estructura VCVS.

1) Construimos filtro normalizado con Wn=1 rad/seg Rn=1Ω Cn consultando las tablas.

Escalamos nnn CRWWRC =WRC

C nii =

Por tanto:

nFWRC

C n 225)1000(*)1000*2(

414.111 ===

π

nFWRC

C n 54.112)1000(*)1000*2(

7071.022 ===

π

TEMA 7.- FILTROS 39

8.- Diseña un filtro LP Butterworth de 5º orden con fc=5KHz y una impedancia de entrada de 100KΩ. Utiliza una estructura VCVS. Cuando un filtro es de orden 4 o superior se construye en dos etapas. Este lo construiremos con una etapa de orden 3 seguida de otra de orden 2.

Construimos filtro normalizado con Wn=1 rad/seg Rn=1Ω Cn consultando las tablas.

Escalamos nnn CRWWRC =WRC

C nii =

Etapa n=3

Etapa n=2

V0 Vi

• Etapa de orden 3:

pFKWR

CC n 558

)100(*)5000*2(753.11

1 ===π

pFKWR

CC n 431

)100(*)5000*2(354.12

2 ===π

pFKWR

CC n 134

)100(*)5000*2(421.02

2 ===π

• Etapa de orden 2:

nFKWR

CC n 03.1

)100(*)5000*2(235.31

1 ===π

pFKWR

CC n 98

)100(*)5000*2(309.02

2 ===π

TEMA 7.- FILTROS 40

TEMA 7.- FILTROS 41

9.- Diseña un filtro paso alta (HP) Butterworth de 2º orden con fc=100Hz utilizando condensadores de 1µF. Utilizaremos una estructura VCVS

1) Fijamos Wc = (2π*100) rad/seg C = 1µF

2) Construimos HP normalizado

Wc = 1 rad/seg C = 1F

nn CR 1=

3) Desnormalizamos

nnn CRWWRC = n

i CCWR

**1

=

Entonces:

Ω=== − 56.1125414.1*)10*1(*)100*2(

1**

16

11 πCCW

R

Ω=== − 81.22507071.0*)10*1(*)100*2(

1**

16

12 πCCW

R

TEMA 7.- FILTROS 42

TEMA 7.- FILTROS 43

10.- Diseña un filtro activo paso de banda (BP) de orden 2 centrado en 1KHz y de BW=100Hz.

1010010 ===

HzKHz

BWf

Q Mayor a 4 utilizaremos una estructura Bicuadrática

Recordemos que:

1

43

RRR

K = CR

B2

1= 2

43

20

1CRR

W =

si hacemos K=1 R3=R4=R1 221

243

20

11CRCRR

W == CR

W 10 =

CRf

10

1*2 =π CR1

1100*2 =π

CRBW

2

1*2 =π CR2

11000*2 =π R 12 *10 R=

Tomamos R3=R4=R1= 1KΩ R2=10KΩ

C*10*11100*2 4=π nFC 15.159

100*2*10*11

4 ==π

1010*1*)( 0 === QKWH

TEMA 7.- FILTROS 44