Dibujo Técnico II María Amián

Tema 16: Poliedros regulares

Introducción. Poliedros

Los poliedros regulares (poliedros regulares convexos) son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales. En cada vértice concurren (se encuentran) el mismo número de polígonos.

Los poliedros regulares son cinco: tetraedro (4 caras), hexaedro o cubo (6 caras), octaedro (8 caras), dodecaedro (12 caras) e icosaedro (20 caras).

Estudiaremos la construcción de los tres primeros.

16.1 Tetraedro.

Es el poliedro formado por:

Cuatro caras que son triángulos equiláteros. Cuatro vértices. Seis aristas. No tiene diagonales.

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Bloque II: Sistemas de Representación

Tetraedro Hexaedro Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

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Para construir un tetraedro que tiene una cara apoyada en el PH:

1. Se construye un triángulo equilátero en la proyección horizontal: a,b,c (en el dibujo A1,B1,C1)

2. Hallamos el incentro del triángulo, que será el vértice superior del tetraedro. (Perpendicular a la base) en el dibujo D1 (sería también d)

3. Unimos cada uno de los vértices con el punto D1.4. Apoyándonos en uno de los segmentos, por ejemplo A1-D1, trazamos una

recta perpendicular.5. Haciendo centro en A1 y con distancia A1-C1 (también valdría A1 B1)

trazamos un arco que cortará a la perpendicular en D0.6. El segmento que une D1 con D0 es la altura del tetraedro, h.7. Subimos los vértices del triángulo ABC, hasta la línea de tierra, para hallar su

proyección vertical: a’,b’c’8. Desde la línea de tierra, nos llevamos la altura h, calculada anteriormente.9. Levantamos una perpendicular por D1, hasta la altura indicada por encima de

la línea de tierra Y TENDREMOS D2, o d’10. Unimos cada vértice en la línea de tierra con d’ (teniendo en cuenta la

visibilidad de las aristas.

Para construir un tetraedro que tiene un vértice apoyado en el PH:

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1. Se construye un triángulo equilátero en la proyección horizontal: a,b,c (en el dibujo A1,B1,C1)

2. Hallamos el incentro del triángulo, que será el vértice superior del tetraedro. (Perpendicular a la base) en el dibujo D1 (sería también d)

3. Unimos cada uno de los vértices con el punto D1.4. Apoyándonos en uno de los segmentos, por ejemplo A1-D1, trazamos una

recta perpendicular.5. Haciendo centro en A1 y con distancia A1-C1 (también valdría A1 B1)

trazamos un arco que cortará a la perpendicular en D0.6. El segmento que une D1 con D0 es la altura del tetraedro, h.7. En esta ocasión, los vértices ABC se suben hasta la altura del tetraedro y el

vértice D hasta la línea de tierra.

Para construir un tetraedro con una arista apoyada en el PH.

1. Dada la arista, la usamos como diagonal de un cuadrado.

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2. Dibujamos el cuadrado y nombremos a los vértices, ABCD3. Prolongamos un lado del cuadrado, por ejemplo, por el vértice C.4. Hacemos centro en B y con radio hasta A, trazamos un arco que cortará al

lado prolongado en Co.5. La distancia Co-C es la altura del tetraedro.6. Subimos los vértices C y D hasta la altura por encima de la línea de tierra.7. Subimos los vértices A y B hasta la línea de tierra.8. Unimos C con D y con A, y con B y D. Teniendo en cuenta la visibilidad de las

aristas.

16.2 Hexaedro

Es el poliedro formado por:

Seis caras que son cuadrados. Ocho vértices Doce aristas Cuatro diagonales iguales que se cortan en su punto medio.

Para construir un hexaedro que tiene una cara apoyada en el PH.

1. Se construye el cuadrado en la proyección horizontal, ABCD, que serán también EFGH.

2. La altura del hexaedro es igual al lado del cuadrado.

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3. Subimos ABCD a la línea de tierra y EFGH hasta la altura sobre la línea de tierra.

4. Unimos los vértices teniendo en cuenta la visibilidad.

Para construir un hexaedro que se apoya en el plano horizontal por una arista.

1. Dada la arista, tendremos que hallar la medida de la diagonal, que será el lado mayor de un rectángulo, el hexaedro visto desde arriba.

2. Para hallar la diagonal: d=a2.

3. Una vez que tenemos la diagonal, dibujamos el hexaedro en la proyección horizontal y hallamos sus vértices.

4. Subimos los vértices A y B a la línea de tierra.5. Subimos los vértiices CDEF hasta la altura, mitad de la diagonal, sobre la

línea de tierra.6. Subimos los vértices H y G hasta la altura de la diagonal, sobre la línea de

tierra.7. Unimos los vértices teniendo en cuenta la visibilidad de las aristas.

Para construir un hexaedro que se apoya sobre el PH por un vértice:

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1. Se construye un cuadrado EFGH de lado a, el segmento EG es la diagonal de una cara.

2. Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos son la diagonal d y la arista a; la hipotenusa de dicho triángulo es la diagonal principal del cubo.

3. Por el punto E trazamos una perpendicular a la hipotenusa. Llamaremos r, a la perpendicular.

4. Usamos la perpendicular R como radio de una circunferencia.5. Isncribimos un hexágono en la circunferencia.6. El centro serán los vértices A y G. Sobre A se apoya el hexágono en el PH.7. El resto de los vértices serán BCDHEF.8. Unimos FC y H con G, aristas visibles desde arriba.9. Unimos B,D y E con A, aristas ocultas desde arriba.10. Llevamos la altura de la diagonal principal sobre la línea de tierra y la

dividimos en 3 partes iguales.11. Subimos A hasta la línea de tierra.12. Subimos E,B y D hasta la primera altura sobre la línea de tierra.13. Subimos F,H y C hasta la segunda altura sobre la línea de tierra.14. Subimos G hasta la altura total de la diagonal principal sobre la línea de

tierra.15. Unimos los vértices teniendo en cuenta la visibilidad de las aristas.

16.3 Octaedro.

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Es el poliedro formado por:

Ocho caras que son triángulos equiláteros. Seis vértices. Doce aristas. Tres diagonales iguales que se cortan perpendicularmente entre sí en su

punto medio.

Para construir un octaedro apoyado por un vértice en el PH.

1. La proyección sobre el PH será un cuadrado, de lado la arista a.2. Construimos el cuadrado y trazamos sus diagonales para hallar todos los

vértices del octaedro, ABCDEF3. El octaedro se apoya sobre el vértice A4. La altura del octaedro sobre la línea de tierra será la longitud de la diagonal.5. Llevamos la altura de la diagonal sobre la LT, y hasta esa altura, el vértice F.6. Subimos el vértice A, hasta la línea de tierra y el resto hasta la mitad de la

altura de la diagonal.7. Unimos los vértices teniendo en cuenta la visibilidad de las aristas.

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