Mpinning Gy Alg10(Busqueda)
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1 Búsqueda en Grafos ❚ Anchura ❚ Profundidad
description
Hechas por M. Angélica Pinninghoff
Transcript of Mpinning Gy Alg10(Busqueda)
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Búsqueda en Grafos
❚ Anchura
❚ Profundidad
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Definiciones Adicionales
❚ Def. Supongamos que R A B. La inversa de R, denotada por R-1, es la relación {(y,x)|(x,y) R}.
Ejemplo:
a b c a b c
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❚ Def. Suponga R1 A B y R2 B C. La composición de R1 y R2, denotada por R1 R2, es la relación {(x,z)| (x,y) R1 (y,z) R2}.
Ejemplo:
a b
c
a b
c dR1 R2
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a b
cd
R1 R2
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❚ Def. Un grafo sin loops se llama grafo simple. El número de vértices de G se llama orden de G y el número de aristas de G se llama tamaño de G.
❚ Teorema. En cada árbol no trivial, hay al menos un vértice de grado 1.
❚ Teorema. Un grafo G es un árbol ssi G no tiene ciclos y | E | = | V | - 1.
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Breadth First Search❚ Entrada: Grafo conexo con vértices v1, v2, ..., vn.
❚ Salida: T, árbol de cobertura de G.
❚ Algoritmo:❙ 1. (Inicio) Sea v1 la raíz de T, sea V = {v1}
❙ 2. (Agrega aristas) Para cada vértice x V, agregar la arista {x, vk} a T, donde k es el menor índice tal que al agregar la arista {x, vk} a T no se forma un ciclo. Si no hay más aristas para agregar, parar. T es el árbol de cobertura.
❙ 3. (Actualizar) Reemplazar V por los hijos v en T de los vértices x de V donde las aristas {x,v} se agregaron en el paso 2. Repetir paso 2 para el nuevo conjunto V.
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a
b
d
c
f
e
g
ij
k
h
Ejemplo:
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a
b
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c
f
e
g
ij
k
h
a
G
T
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b
d
c
f
e
g
ij
k
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G
T
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a
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c
f
e
g
ij
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d
c
G
T
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a
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d
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f
e
g
ij
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a
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d
c
e
G
T
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a
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f
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g
ij
k
h
a
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d
c
f
e
g
G
T
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a
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a
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c
f
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h
G
T
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a
b
d
c
f
e
g
ij
k
h
a
b
d
c
f
e
g
ij
k
h
G
T
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Depth First Search❚ Entrada: Grafo conexo con vértices v1, v2, ..., vn.
❚ Salida: T, árbol de cobertura de G.
❚ Algoritmo:❙ 1. (Visita vértice) Sea v1 la raíz de T, sea L = {v1}
❙ 2. (Encuentra aristas y vértices no visitados adyacentes a L) Para todos los vértices adyacentes a L, elegir arista {L, vk} donde k es el menor índice tal que al agregar la arista {L, vk}} a T no se forma un ciclo. Si no hay tal arista, ir a paso 3; en caso contrario agregar {L, vk}}a T y hacer L = vk. Repetir paso 2 con el nuevo valor de L
❙ 3. (Backtrack o fin) Si x es padre de L en T, hacer L = x y aplicar paso 2 al nuevo valor de L. Si L no tiene padres en T (o sea, L = v1), terminar.
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a
b
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ij
k
h
a
G
T
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a
b
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e
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i
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b
G
T
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a
bc
G
T
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a
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ij
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g
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h
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a
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g
ij
k
h
G
T
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Recuerdos (Grafos planares)
❚ Teorema. Si G es un grafo plano, entonces la suma de los grados de las regiones determinadas por G es 2·|E|, donde |E| es el número de aristas de G.
❚ Fórmula de Euler. SI G es un grafo plano, entonces |V| - |E| + |R| = 2 (Euler 1752)❙ |V|: número de vértices
❙ |E|: número de aristas
❙ |R|: número de regiones
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❚ Corolario. En un grafo conexo plano (simple) G, con |E| > 1:❙ a) |E| 3·|V| - 6, y
❙ b) hay un vértice v en G tal que grado(v) 5
❚ Teorema. Un grafo completo Kn es planar ssi n 4.
❚ Teorema. Un grafo bipartito completo Km,n es planar ssi m 2 o n 2
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Más recuerdos (Grafos Hamiltonianos)
❚ Teorema de Dirac. Un grafo simple con n vértices (n 3) en el cual cada vértice tiene grado al menos n/2, tiene un ciclo hamiltoniano.
