MOVIMIENTOS EN EL PLANO

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. ÍNDICE

• Movimientos en el plano. Definición.

Traslación.

Rotación.

Simetría central.

Simetría axial.

• Los siete tipos de frisos.

• Ejemplos de movimientos en la vida real.

• Mosaicos.

Mosaicos de Escher.

Mosaicos en la Alhambra.

Unidad de aprendizaje: Transformaciones Isométricas

Traslaciones Rotaciones Reflexiones

Son traslaciones

Regulares y semi-regulares.-

Se obtiene con un vector (i,, j)

Se obtiene con Un ángulo de giro

Se obtiene entorno A un eje de

simetría y a un centro.

T. De ESCHER Transformaciones

Isométricas

Teselaciones

Una transformación geométrica es una relación que hace corresponder a

cada punto P del plano otro punto P' del plano.

Se dice que P y P' son homólogos por la transformación.

Los puntos que quedan transformados en ellos mismos se dice que son

invariantes o puntos dobles.

Un movimiento o isometría es una transformación en el que todas las figuras

mantienen su forma y su tamaño. La distancia entre dos puntos cualesquiera de

la figura se mantiene constante.

Los movimientos pueden ser de dos tipos:

• Directos: Cuando el movimiento conserva el sentido, es decir, si el punto

A se transforma en A’, el B en B’ y el C en C’ y al hacer el recorrido de

estos puntos en el orden ABC se va en el sentido de las agujas del reloj. O

sea, conserva la orientación de las figuras.

Son movimientos directos la traslación, el giro o rotación y la simetría central.

• Inversos: Cuando el movimiento cambia el sentido, es decir, cuando se

va en sentido contrario a las agujas del reloj. O sea, invierten la

orientación.

Es un movimiento inverso la simetría axial o reflexión.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. DEFINICIÓN

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. TRASLACIÓN

Una traslación de vector es un

movimiento directo en el plano

que asocia a cada punto A un

punto A' de forma que el

vector es un vector de igual

módulo dirección y sentido que .

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. ROTACIÓN

Un giro o rotación de centro O y ángulo

α es un movimiento que a cada punto A

le hace corresponder A' de forma que

OA = OA' y el ángulo AOA'= α.

Se representa por g(O,α).

El ángulo de giro es positivo si es en

sentido contrario a las agujas del reloj y

negativo si es en el mismo sentido. El

ángulo de giro también se llama

argumento.

Una simetría central de centro O es un movimiento directo que hace

corresponder a un punto A otro A’ de forma que OA = OA’ y, además, A,

O y A’ están en la misma recta. A y A’ están uno a cada lado del centro O

y a igual distancia de él.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. SIMETRÍA CENTRAL

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. SIMETRÍA AXIAL

Una simetría axial de eje la recta r es un movimiento inverso que lleva

cada punto A en otro A' de forma que r es la mediatriz de AA'. Esto es:

• El eje r es perpendicular a AA'.

• La distancia d(A,r) = d(r,A')

Por tanto, para hallar el simétrico de un

punto A respecto de la recta r, se traza

una perpendicular a la recta r por el

punto A. El punto A’ se encontrará a

igual distancia que el punto A de r, pero

al otro lado de la recta. Es decir, el eje

de simetría actúa como un espejo.

Desplazamiento

Algoritmo de Rose-Stafford

LOS SIETE TIPOS DE FRISOS

L L L L L L L El tipo L1 es el más simple, y se le suele llamar “friso de las

traslaciones”, puesto que una determinada figura se traslada hacia la

derecha varias veces, sin ninguna otra transformación.

FRISO DE LAS TRASLACIONES: L1

L L L L L L L L L L El segundo tipo, L2, es el “friso de las traslaciones y las rotaciones”. Para

generar este tipo de friso partimos de una figura, que giramos 180º, y luego

trasladamos hacia la derecha.

FRISO DE LAS TRASLACIONES Y LAS ROTACIONES : L2

El tipo L3 es el “friso de las traslaciones y las reflexiones verticales”.

Dibujamos una figura, y, a su derecha, trazamos un eje vertical, que

utilizaremos como eje de simetría.

Dibujamos la figura simétrica y trasladamos ambas figuras.

Este friso se puede denominar “friso de simetría vertical”.

FRISO DE LAS TRASLACIONES Y LAS REFLEXIONES VERTICALES: L3

El tipo L4 es el “friso de las traslaciones y la reflexión horizontal”. Este

friso, al igual que el anterior, se obtiene por simetría y traslación. En este

caso el eje de simetría es horizontal.

FRISO DE LAS TRASLACIONES Y LAS REFLEXIONES HORIZONTALES: L4

El quinto tipo, L5, es el “friso de las traslaciones, las rotaciones y los giros”.

Tenemos una figura, que giramos 180º, y trasladamos hacia la derecha.

Ponemos simetría vertical, y obtenemos el friso. Es el friso más completo,

y combina traslaciones, giros, reflexiones y deslizamientos.

FRISO DE LAS TRASLACIONES, GIROS, REFLEXIONES Y DESLIZAMIENTOS: L5

El sexto tipo de friso, L6, corresponde al “friso de las traslaciones y el

deslizamiento”. Al módulo mínimo se le somete a una simetría horizontal

seguido de una traslación (deslizamiento) con lo que se consigue el

módulo básico que luego se repite.

FRISO DE LAS TRASLACIONES Y EL DESPLAZAMIENTO: L6

El séptimo tipo, L7, es el “friso de los giros y los deslizamientos”. Es una

combinación de giro, deslizamiento y traslación; así surgen reflexiones

verticales.

FRISO DE LOS GIROS Y EL DESLIZAMIENTO: L7

EJEMPLOS DE MOVIMIENTOS EN LA VIDA REAL

MOSAICOS

Los únicos polígonos regulares que cubren el plano son el triángulo, el

cuadrado y el hexágono.

Un mosaico está formado por un conjunto de figuras que recubren el

plano mediante traslaciones. Han de cumplirse dos condiciones:

•No pueden superponerse.

•No pueden dejar huecos sin recubrir.

Un mosaico se llama regular si está generado por un polígono regular.

MOSAICOS

Un mosaico se llama semirregular si está compuesto por dos o más

polígonos regulares.

Teselaciones de Martin Cornelis ESCHER

Hablar de Martin Cornelis Escher el cual fue un hombre dedicado al arte y que tenía el deseo de romper las limitaciones que impone el plano, para poder mostrar que un plano es capaz de ilusiones ópticas de gran profundidad.

En la mezquita de Córdoba están sus obras para hacer aparecer en ellas dibujos matemáticos y por ello tuvo muchas críticas y comprendió que su audiencia no podía ser convencional, por lo que dijo: “A pesar de que no tengo ningun conocimiento ni enseñanza - de matemáticas -, habitualmente me parece que tengo más cosas en común con los matemáticos que con mis compañeros artistas”.

Si observamos detalladamente alguna de sus obras podemos descubrir su dominio de la geometría.

A Escher le maravillaba todo tipo de teselados, regulares o irregulares, y especialmente lo que él llamó “metamorfosis”, donde las figuras cambian e interactúan entre sí, y hasta a veces salen del plano.

MOSAICOS DE ESCHER

Los mosaicos, al igual que los frisos, se pueden generar a partir de un

motivo mínimo mediante la combinación de diferentes movimientos

El famoso artista holandés M. C. Escher dibujó sorprendentes figuras que

encajaban entre sí formando bellos mosaicos.

Teselaciones de Escher Realmente el trabajo, y las imágenes son

extraordinarios! Que operan en el venerable principio de la stereopticon, estas cartas tienen un objetivo para cada ojo, una imagen casi idéntica para cada lente, y un agujero en el medio para dar cabida a la nariz. Usted ajustar el enfoque de apretar el plegado de las tarjetas.

Teselaciones de Escher

Teselaciones de Escher y Aplicaciones

Transformador de Escher "se deriva de MC Escher del diseño de un pilar de hormigón pintada en el edificio de la Oficina de Gestión de los Recursos Hídricos en Haarlem, Países Bajos (1962). El diseño incorpora tres relacionados con el agua motivos (Simetría Nos 111, 112, 113) que flujo entre sí para crear una vertical de la metamorfosis "de vuelo de aves y peces" en "barco de vuelo y los peces" y, por último, en "barco y los peces".

Otros ejemplos de Teselaciones de

Escher

MOSAICOS EN LA ALHAMBRA