Movimiento y Cinemática

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Movimiento y cinemática del movimiento de traslación

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Conceptos sobre el movimiento traslacional con su sistema cinético.

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Page 1: Movimiento y Cinemática

Movimiento y cinemática del movimiento de traslación

Page 2: Movimiento y Cinemática

ContenidoLeyes de movimiento y tipos de

movimiento, posición, velocidad y aceleración.

Cinemática del movimiento de traslación rectilíneo.

Cinemática del movimiento de traslación circular.

Cinemática del movimiento de proyectiles

Page 3: Movimiento y Cinemática

Objetivo

El alumno podrá describir las leyes del movimiento, los conceptos y relaciones fundamentales del movimiento de traslación y utilizarlas en la solución de problemas relacionados.

Page 4: Movimiento y Cinemática

Movimiento en una dimensión

La cinemática describe el movimiento de un objeto o partícula mientras se ignoran las interacciones con agentes externos que pueden causar o modificar dicho movimiento.

Una partícula es un objeto parecido a un punto, es decir, un objeto que tiene masa pero es de tamaño infinitesimal.

Page 5: Movimiento y Cinemática

Posición, velocidad y rapidez

La posición de una partícula es la ubicación de la partícula respecto a un punto de referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenado

Page 6: Movimiento y Cinemática

DesplazamientoEl desplazamiento de una partícula se define como su cambio de posición en algún intervalo de tiempo. Conforme la partícula se mueve desde una posición inicial xi a una posición final xf, su desplazamiento se conoce por:if xxx

Nota: Es importante reconocer la diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida.

Page 7: Movimiento y Cinemática

La velocidad promedio vx,prom de una partícula se define como el desplazamiento Δx de la partícula dividido entre el intervalo de tiempo Δt durante el que ocurre dicho desplazamiento.

sm

tx

v promx,

La rapidez promedio vprom de una partícula, una cantidad escalar, se define como la distancia total recorrida dividida entre el intervalo de tiempo total requerido para recorrer dicha distancia

sm

td

vprom

Page 8: Movimiento y Cinemática

Velocidad y rapidez instantáneasSe definen como el valor de la velocidad o rapidez en un instante específico.

La velocidad instantánea es igual al valor límite de la proporción conforme Δt tiende a cero.

tx /xv

tx

límvt

x

0 dtdx

tx

límvt

x

0

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EjemploUna partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición varía con el tiempo de acuerdo a la expresión:

Donde x está en metros y t en segundos. Note que la partícula se mueve en la dirección x negativa durante el primer segundo de movimiento, en el momento t=1 s está momentáneamente en reposo y se mueve en la dirección x positiva en tiempo t>1s.a) Determine el desplazamiento de la partícula en los intervalos de tiempo i) t=0 a t=1s y t=1s a t=3s; b) Calcule la velocidad promedio durante estos dos intervalos de tiempo y c) Encuentre la velocidad instantánea de la partícula en t=2.5 s.

224 ttx

224 ttx

if xxx

Page 10: Movimiento y Cinemática

Modelos de análisis: La partícula bajo velocidad constante.Un modelo de análisis es un problema que se ha resuelto:1) El comportamiento de alguna cantidad física2) La interacción entre dicha cantidad y el

entorno.

promxx vv ,

tx

vx

if xxx

tvxxt

xxv

xif

ifx

ctepara xxif vtvxx

Page 11: Movimiento y Cinemática

Aceleración promedio

La aceleración promedio de una partícula se define como el cambio en la velocidad dividido por el intervalo de tiempo durante el cual ocurre dicho cambio.

𝑎ത𝑥 ≡ ∆𝑣𝑥∆𝑡 = 𝑣𝑥𝑓 −𝑣𝑥𝑖𝑡𝑓 −𝑡𝑖

𝑎ത𝑥 ∆𝑣𝑥 ∆𝑡

Las unidades de la aceleración son m/s2 en el Sistema Internacional, es decir metros por segundo, por segundo.

Page 12: Movimiento y Cinemática

Aceleración instantánea

En algunas situaciones, el valor de la aceleración promedio en diferentes intervalos de tiempo. Por tanto, es útil definir la aceleración instantánea como el límite de la aceleración promedio cuando tiende a cero. Este concepto es análogo a la definición de velocidad instantánea.

∆𝑡

dtdv

tv

límat

x

0

La aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad respecto al tiempo

Page 13: Movimiento y Cinemática

Aceleración instantáneaPara el caso de movimiento en línea recta , la dirección de la velocidad de un objeto y la dirección de su aceleración se relacionan como sigue: Cuando la velocidad y dirección del objeto tienen la misma dirección, el objeto esta acelerando. Por otra parte, cuando la velocidad y aceleración del objeto tienen direcciones opuestas, el objeto esta desacelerando.Nota: La fuerza es proporcional a la aceleración.

Page 14: Movimiento y Cinemática

Aceleración instantánea

A partir de la definición de velocidad, la aceleración se puede escribir de la siguiente forma:

2

2

dtxd

dtdx

dtd

dtdv

a xx

Es decir, en movimiento unidimensional, la aceleración es igual a la segunda derivada de x respecto al tiempo.

Page 15: Movimiento y Cinemática

Ejemplo: La velocidad de una partícula moviéndose a lo largo del eje x varia en el tiempo de acuerdo a la expresión , donde t esta en segundos. A) Encontrar la aceleración promedio en el intervalo de tiempo t=0 a t=2.0 s; B) Determine la aceleración en t=2.0 s.

s/m540 2tvx

Solución A

s/m40540 2 fxi tv

s/m202040

540 2

ixf tv

2s/m1000.24020

xa

Page 16: Movimiento y Cinemática

Solución B

s/m540 2tvx 2s/m10tdtdv

a xx

2s/m200.210 xa

Solución B (sin cálculo) 2540 tvx 2540 tvxi

2540 ttvxf 22 510540 ttttvxf 222 540510540 tttttvvv xixfx

2510 tttvx ttt

ttttv

a xx

510

510 2

ttttv

at

xx 10510LimLim

00t

2s/m200.210 xa

Page 17: Movimiento y Cinemática

Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x(t)=(3.00t2+2.00t+3.00)m, donde t está en segundos. Determine a) la rapidez promedio entre t=2.00 s y t=3.00 s, b) la rapidez instantánea en t=2.00s y en t=3.00s, c) la aceleración promedio entre t=2.00s y t=3.00s, y d) la aceleración instantánea en t=2.00s y t=3.00s.

Page 18: Movimiento y Cinemática

La partícula bajo aceleración constante

0

t

vva xixfx

Aceleración constante: En este caso, la aceleración promedio ax,prom en cualquier intervalo de tiempo es numéricamente igual a la aceleración instantánea ax en cualquier instante dentro del intervalo, y la velocidad cambia en la misma proporción a lo largo del movimiento.

if

xixfx

tt

vvproma

,

Despejando la velocidad final de ax

tavv xxixf

Esta expresión permite determinar la velocidad de un objeto en cualquier tiempo t, si se conoce la velocidad inicial vxi del objeto y su aceleración ax (constante).

Page 19: Movimiento y Cinemática

La partícula bajo aceleración constante

Una partícula bajo aceleración constante ax que se mueve a lo largo del eje x : a) gráfica velocidad-tiempo, b) gráfica aceleración-tiempo y c) posición-tiempo.

Dado que la velocidad con aceleración constante varía linealmente en el tiempo, se expresa la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo como la media aritmética de la velocidad inicial vxi y la velocidad final vxf.

cte2,

xxfxi

promx avv

v

Page 20: Movimiento y Cinemática

La partícula bajo aceleración constantePara obtener la posición de un objeto como

función del tiempo, es necesario combinas las ecuaciones siguientes:

if xxx

tx

v promx ,

2,xfxi

promx

vvv

t

xxvv ifxfxi

2

tvvxx xfxiif 21

Esta ecuación proporciona la posición final de la partícula en el tiempo t en términos de la velocidad inicial y final:

Page 21: Movimiento y Cinemática

La partícula bajo aceleración constanteOtra expresión útil para la posición de una

partícula bajo aceleración constante se obtiene sustituyendo:

tavv xxixf

tvvxx xfxiif 21

en

ttavvxx xxixiif 21 ttavvxx xxixiif

21

ttavxx xxiif 221 2

21

tatvxx xxiif

Page 22: Movimiento y Cinemática

La partícula bajo aceleración constante

Finalmente, para obtener una expresión de la velocidad final que no involucre a la variable t, se parte de:

tavv xxixf x

xixf

a

vvt

x

xixfif a

vvxx

2

22

tvvxx xfxiif 21

xixfxfxixfxix

i

x

xixfxfxiif

vvvvvva

x

a

vvvvxx

22

21

21

cte222 xifxxixf axxavv

Page 23: Movimiento y Cinemática

Ecuaciones cinemáticas para movimiento de una partícula bajo aceleración constante

tavv xxixf

tvvxx xfxiif 21

2

21tatvxx xxiif

ifxxixf xxavv 222

Velocidad como función del tiempo

Posición como función de velocidad y tiempo

Posición como función del tiempo

Velocidad como función de la posición

Page 24: Movimiento y Cinemática

Un automóvil que viaja con una rapidez constante de 45.0 m/s pasa por donde un patrullero en motocicleta está oculto detrás de un anuncio espectacular. Un segundo después de que el automóvil pasa el anuncio, el patrullero sale de su escondite para detener al automóvil, que acelera con una relación constante de 3.00 m/s2. ¿Cuánto tiempo tarda en dar alcance al automóvil?

Datos iniciales:

s/m0.45auto, xv

0auto, xa

2moto, s/m00.3xa

Dado que la velocidad del automóvil es constante y que ha transcurrido un segundo desde que pasó por el espectacular y el patrullero inició su movimiento, la distancia que ha recorrido el coche es:

f

f

if

ifx t

x

tt

xxv

m0.45s1s/m0.45 tvx xf

Page 25: Movimiento y Cinemática

La ecuación para determinar la posición del automóvil en cualquier tiempo t es (v=cte):

tvxx autoxBauto ,

txauto s/m0.45m0.45

Cuando el automóvil recorre 45 m, el patrullero inicia su movimiento (t=0) a aceleración constante. Es necesario utilizar una ecuación para encontrar la posición del patrullero en cualquier tiempo t (a=cte). 2

21tatvxx xxiif

222 s/m00.321

21

00 ttatx xpatrullero

El patrullero alcanzará al automóvil cuando ambas posiciones sean iguales:

patrulleroauto xx

Page 26: Movimiento y Cinemática

Resolviendo para t

patrulleroauto xx

22s/m00.321

s/m0.45m0.45 tt

22s/m00.321

s/m0.45m0.45 tt

00.450.4550.1 2 tt

Evaluando la ecuación cuadrática queda (raíz positiva):

s0.31t

Page 27: Movimiento y Cinemática

Objetos en caída libre

Un objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueve libremente sólo bajo la influencia de la gravedad, sin importar su movimiento inicial. Los objetos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo y los que se liberan desde el reposo están todos en caída libre una vez que se liberan. Cualquier objeto en caída libre experimenta una aceleración dirigida hacia abajo sin importar su movimiento inicial.

Page 28: Movimiento y Cinemática

Objetos en caída libreEn caída libre, los objetos caen con una aceleración constante (gravedad) en dirección vertical. Esto, suponiendo que la resistencia del aire es despreciable y que la aceleración de caída libre no varía con la altitud en distancias verticales cortas.Ejemplo: A una piedra que se lanza desde lo alto de un edificio se le da una velocidad inicial de 20.0 m/s directo hacia arriba. El edificio tiene 50.0 m de alto y la piedra apenas libra el borde del techo en su camino hacia abajo, como se muestra en la figura. A) Use tA=0 como el tiempo cuando la piedra deja la mano del lanzador en la posición A y determine el tiempo en el que la piedra llega a su altura máxima.

Page 29: Movimiento y Cinemática

Resolver los ejercicios:

2.10 Una superbola de 50.0 g que viaja a 25.0 m/s en una pared de ladrillo t rebota a 22.0 m/s. Una cámara de alta rapidez registra este evento. Si la bola está en contacto con la pared durante 3.50 ms, ¿Cuál es la magnitud de la aceleración promedio de la bola durante este intervalo de tiempo? Nota: ms=10-3s.2.20 Un camión cubre 40.0 m en 8.50 s mientras frena uniforme a una rapidez final de 2.80 m/s. a) Encuentre su rapidez original, b) encuentre su aceleración.2.21 Un objeto que se mueve con aceleración uniforme tiene una velocidad de 12.0 cm/s en la dirección x positiva cuando su coordenada x es 3.00 cm. Si su coordenada x 2.00 s después es -5.00 cm, ¿Cuál es su aceleración?2.25 El conductor de un automóvil aplica los frenos cuando ve un árbol que bloquea el camino. El automóvil frena uniformemente con una aceleración de -5.60 m/s2 durante 4.10 s, y hace marcas de derrape rectas de 62.4 m de largo que terminan en el árbol. ¿Con qué rapidez el automóvil golpea el árbol?2.28 Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición está dada por la ecuación x=2+3t-4t2, con x en metros y t en segundos. Determine a) su posición cuando cambia de dirección y b) su velocidad cuando regresa a la posición que tenía en t=0.

Page 30: Movimiento y Cinemática

Resolver los ejercicios:

2.33 Tan pronto como un semáforo se pone en verde, un automóvil aumenta su rapidez desde el reposo a 50.0 mi/h con aceleración constante de 9.00 mi/h s. En el carril de bicicletas, un ciclista aumenta la rapidez desde el reposo a 20.0 mi/h con aceleración constante de 13.0 m/h s. Cada vehículo mantiene su velocidad constante después de alcanzar su rapidez de crucero. A) ¿para qué intervalo de tiempo la bicicleta está adelante del automóvil? B) ¿por cuanta distancia máxima la bicicleta adelanta al automóvil? 2.38 Una bola se lanza directamente hacia arriba, con una rapidez inicial de 8.00 m/s, desde una altura de 30.0 m. ¿Después de qué intervalo de tiempo la bola golpea el suelo?

2.39 Un estudiante lanza un conjunto de llaves verticalmente hacia arriba a su hermana de fraternidad, quién está en una ventana 4.00 m arriba. Las llaves las atrapa 1.50 s después con la mano extendida. A) ¿con qué velocidad inicial se lanzaron las llaves? B) ¿cuál fue la velocidad de las llaves justo antes de ser atrapadas?

2.40 Emily desafia a su amigo David a atrapar un billete de dólar del modo siguiente. Ella sostiene el billete verticalmente de la parte superior, con el centro del billete entre los dedos índice y pulgar de David, quien debe atrapar el billete después de que Emily lo libere sin mover su mano hacia abajo. Si su tiempo de reacción es de 0.2 s, ¿tendrá éxito? Explique su razonamiento.

Page 31: Movimiento y Cinemática

Resolver los ejercicios:

2.43 Un osado vaquero sentado en la rama de un árbol desea caer verticalmente sobre un caballo que galopa bajo el árbol. La rapidez constante del caballo es 10.0 m/s y la distancia desde la rama hasta el nivel de la silla de montar es de 3.00 m. a) ¿cuál debe ser la distancia horizontal entre la silla y la rama cuando el vaquero haga su movimiento? B) Para qué intervalo de tiempo está en el aire?

2.44 La altura de un helicóptero sobre el suelo esta dada por h=3.00t2, donde h está en metros y t en segundos. Después de 2.00 s, el helicóptero libera una pequeña valija de correo. ¿Cuánto tiempo, después de su liberación, la vajilla llega al suelo?

2.45 Un objeto en caída libre requiere 1.50 s para recorrer los últimos 30.0 m antes de golpear el suelo. ¿desde qué altura sobre el suelo cayó?

Page 32: Movimiento y Cinemática

Cinemática del movimiento de proyectiles

El movimiento de proyectil de un objeto es simple de analizar a partir de dos suposiciones: 1) la aceleración de caída libre es constante en el intervalo de movimiento y se dirige hacia abajo y 2) el efecto de la resistencia del aire es despreciable.

2g21

vrr ttiif

iixi vv cos

iiyi vv sen

Componentes de v

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Alcance horizontal y altura máxima de un proyectil

Efecto de la gravedad

Vector de posición de un proyectil lanzado desde el origen con una vel. inicial vi

Desplazamiento sin el efecto de la gravedad

Page 34: Movimiento y Cinemática

Alcance horizontal y altura máxima de un proyectil

h= Altura máxima que alcanza el proyectil

R= Alcance horizontal del proyectil

Movimiento con aceleración constanteVector velocidad en función del tiempo

Vector de posición como función del tiempo 2g

21

vrr ttiif

Page 35: Movimiento y Cinemática

Alcance horizontal y altura máxima de un proyectil

Importante: El alcance R es la posición horizontal del proyectil en el tiempo que es el doble del tiempo en el que alcanza su máximo, esto es, un tiempo tB = 2 tA.

Si utilizamos el vector de posición con respecto al tiempo en x, se tiene que vxi = vxB = vi cos i y estableciendo que xB = R en t=2tA

Utilizando la identidad trigonométrica

Page 36: Movimiento y Cinemática

Alcance horizontal y altura máxima de un proyectil

Introduciendo las ecuaciones para h y R en una hoja de cálculo, con un dato de entrada de 50 m/s como velocidad inicial, y haciendo un barrido del ángulo de inclinación del proyectil, tenemos la siguiente gráfica:

Page 37: Movimiento y Cinemática

Movimiento circular uniforme

La figura inferior muestra el movimiento de un automóvil en una trayectoria circular a velocidad constante, v. Tal movimiento es llamado movimiento circular uniforme, el cual ocurre en muchas situaciones. Debido a esto, este tipo de movimento es reconocido como un modelo de análisis llamado la partícula en movimiento circular uniforme.

Page 38: Movimiento y Cinemática

Movimiento circular uniforme

Causa sorpresa saber que aunque la partícula bajo movimiento circular uniforme se mueve a velocidad constate, ¡tiene una aceleración! Considerando la definición de aceleración, a=dv/dt, se observa que la aceleración depende del cambio de velocidad. Debido a que la velocidad es un vector, para que ocurra un cambio de aceleración debe haber un cambio en la magnitud de la velocidad, o un cambio en su dirección. Esta última forma ocurre cuando un objeto se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. De la figura inferior se observa que cuando la partícula se mueve del punto A al B a velocidad constante, la dirección de la velocidad siempre será perpendicular al vector de posición r. Es decir, la velocidad solo cambia de dirección, no así de magnitud.

Aceleración centrípeta

Periodo

Page 39: Movimiento y Cinemática

Movimiento circular uniforme

Consideremos ahora el movimiento de una partícula a lo largo de una curva suave, en dónde la velocidad cambia en dirección y magnitud, como se observa en la Figura. En esta situación la velocidad siempre es tangente a la trayectoria, sin embargo el vector aceleración está desviado un cierto ángulo de la trayectoria.El vector de aceleración total a se puede escribir de la siguiente forma:La componente tangencial de la aceleración causa un cambio en la velocidad de la partícula. Esta componente es paralela a la velocidad instantánea y su magnitud esta dada por

Page 40: Movimiento y Cinemática

Movimiento circular uniforme

La componente radial de la aceleración surge del cambio de dirección del vector velocidad de la partícula y su magnitud está dada por

Donde r es el radio de curvatura de la trayectoria del punto en cuestión. Se conoce también a la componente radial de la aceleración como aceleración centrípeta. El signo negativo indica que la aceleración radial está dirigida hacia el centro de la circunferencia. Dado que las aceleraciones tangencial y radial son perpendiculares, la aceleración total se puede determinar a partir de éstas de la siguiente forma: