Movimiento en un PlanoMovimiento en un Plano

El estudio de la Física va de lo sencillo a lo El estudio de la Física va de lo sencillo a lo complejo y de lo particular a lo general. complejo y de lo particular a lo general.

En este contexto, se analiza el movimiento de En este contexto, se analiza el movimiento de un cuerpo que se mueve ya no en un eje un cuerpo que se mueve ya no en un eje (recta), sino en dos ejes mutuamente (recta), sino en dos ejes mutuamente perpendiculares que forman una superficie. perpendiculares que forman una superficie.

Estos ejes serán ahora nuestro sistema de Estos ejes serán ahora nuestro sistema de referencia, al cual también se le conoce como:referencia, al cual también se le conoce como:

Sistema de coordenadas Sistema de coordenadas cartesiano o coordenadas cartesiano o coordenadas

rectangularesrectangulares

y + ( unidades) eje vertical(variable dependiente)

x + (unidades)eje horizontal

(variable independiente)

0 1 2 3 4

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3-4l l l l l

l l l

l l l l l

l l l l

3

abscisas

ordenadas

Localización de un punto en el plano Localización de un punto en el plano cartesianocartesiano

Se hace a partir del origen del sistema, ya sea:Se hace a partir del origen del sistema, ya sea: Mediante la pareja de puntos coordenadosMediante la pareja de puntos coordenados (x,y)(x,y) Especificando laEspecificando la distanciadistancia, , el el ánguloángulo y a partir y a partir

de quede que ejeeje yy hacia dondehacia donde se mide el ángulose mide el ángulo..

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1-1-2-3-4

3 (4,3)

d

I cuadranteII cuadrante

III cuadrante IV cuadrante- 2

l l l l l l l l l l l

Como medirComo medir DISTANCIAS EN EL DISTANCIAS EN EL PLANOPLANO

(Teorema de Pitágoras)(Teorema de Pitágoras) 2

122

12 yyxxd

mmmmmmmmd 5259160304 22222

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1-1-2-3-4

3

( 4 , 3 )

d

- 2

l l l l l l l l l l l

(x 2 , y 2)

(x 1 , y 1)( 0 , 0 )

x 2 - x 1

y 2 - y 1

Como medir el ANGULOComo medir el ANGULO Se forma un Se forma un triángulo rectángulotriángulo rectángulo, donde el lado más largo , donde el lado más largo

se denomina hipotenusa y los lados más cortos catetos.se denomina hipotenusa y los lados más cortos catetos. El lado que está junto al ángulo se denomina cateto El lado que está junto al ángulo se denomina cateto

adyacente adyacente El cateto opuesto es el que se encuentra en el lado El cateto opuesto es el que se encuentra en el lado

contrario al ángulo.contrario al ángulo.

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1

-1-2-3-4

3(4,3)

Cateto opuesto

Hipotenusa

Cateto adyacente

- 2

•Se requiere conocer las funciones trigonométricas

Funciones trigonométricasFunciones trigonométricas

d

yy

hipotenusa

opuestocatetosen 12

d

xx

hipotenusa

adyacentecateto 12cos

12

12tanxx

yy

adyacentecateto

opuestocateto

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1

-1-2-3-4

3(4,3)

Cateto opuesto

Hipotenusa

Cateto adyacente

- 2

El ángulo se encuentra sacando el inverso de la El ángulo se encuentra sacando el inverso de la función seleccionadafunción seleccionada

El sentido se estipula haciendo referencia a los El sentido se estipula haciendo referencia a los puntos cardinales. El ángulo anterior se expresa puntos cardinales. El ángulo anterior se expresa en función de dichos puntos como:en función de dichos puntos como:

Lo cual indica que el ángulo se está midiendo Lo cual indica que el ángulo se está midiendo hacia el Norte a partir del Estehacia el Norte a partir del Este..

EdelNal087.36

0111121 87.36)6.0(53

503

sen

mm

senm

mmsen

dyy

sen

Un cuerpo cambia de posición, si cambia una de las Un cuerpo cambia de posición, si cambia una de las parejas coordenadas (x , y)parejas coordenadas (x , y)

Eso implica que hay Eso implica que hay desplazamientodesplazamiento..

Este se calcula de la forma acostumbradaEste se calcula de la forma acostumbrada

Posición final – Posición inicialPosición final – Posición inicial

Como involucra dos variables (x , y) Como involucra dos variables (x , y) se utiliza el se utiliza el teorema de Pitágorasteorema de Pitágoras para determinar la para determinar la magnitud del magnitud del desplazamientodesplazamiento (que en la mayoría (que en la mayoría de las situaciones, no es igual a la distancia de las situaciones, no es igual a la distancia recorrida).recorrida).

Veámoslo mediante un ejemplo que involucra dos Veámoslo mediante un ejemplo que involucra dos movimientos sucesivos.movimientos sucesivos.

CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANOCAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANO

Un cuerpo inicialmente se encuentra en el origen. Un cuerpo inicialmente se encuentra en el origen. Recorre 4 m en dirección horizontal en el sentido Recorre 4 m en dirección horizontal en el sentido del eje de las del eje de las x x positivo. Posteriormente se positivo. Posteriormente se mueve 3 m en dirección vertical en sentido del mueve 3 m en dirección vertical en sentido del eje eje y y positivo.positivo.

Los cambios de posición se representan Los cambios de posición se representan gráficamente en el plano cartesianográficamente en el plano cartesiano mediante mediante flechasflechas A y B. A y B.

La longitud de las flechas es proporcional a la La longitud de las flechas es proporcional a la distancia que recorre. distancia que recorre.

La punta de la flecha indica el sentido en el cual a La punta de la flecha indica el sentido en el cual a ocurrido el movimiento.ocurrido el movimiento.

Ejemplo CAMBIO DE POSICIÓN EN EL Ejemplo CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANOPLANO

Representación gráfica de Representación gráfica de CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANOCAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANO

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1

-1-2-3-4

3 (4,3)

- 2

A

B

Posición inicial

Posición final

El El DESPLAZAMIENTODESPLAZAMIENTO resultante o cambio de posición se resultante o cambio de posición se representa mediante la representa mediante la flechaflecha CC que va desde la posición inicial que va desde la posición inicial hasta la posición final. hasta la posición final.

Tiene las siguientes características:Tiene las siguientes características:

Magnitud (o longitud): 5: 5

UnidadUnidad: metros: metros

DirecciónDirección: 36.87 : 36.87 00

SentidoSentido: al Norte del Este: al Norte del Este

Todas las cantidades físicas que cumplan con las Todas las cantidades físicas que cumplan con las características anteriores, se les denominan características anteriores, se les denominan VECTORES .VECTORES .

VectorVector DESPLAZAMIENTO DESPLAZAMIENTO

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1

-1-2-3-4

3 (4,3)

- 2

C

Posición inicial

Posición final

N

S

O E

E s c a l a r e sE s c a l a r e s Son todas aquellas cantidades físicas que para

especificarse completamente basta con dar un número y su unidad correspondiente.

Se manejan mediante las operaciones ordinarias de la aritmética: suma, resta, multiplicación y división.

Cantidad físicaCantidad física UnidadeUnidadess

Cantidad Cantidad físicafísica

UnidadUnidadeses

TiempoTiempo 30 s30 s VolumenVolumen 10 cm10 cm33

MasaMasa 20 kg20 kg GravedadGravedad 9.81 9.81 m/sm/s22

Distancia, Distancia, longitud, longitud, profundidad, profundidad, altura.altura.

50 m50 m PresiónPresión 760 760 mmHgmmHg

TemperaturaTemperatura 303000 C C DensidadDensidad 1 Kg/m1 Kg/m33

RapidezRapidez m/sm/s CargaCarga 5x105x10-6 -6

CoulomCoulombb

V E C T O R E SV E C T O R E S Son todas aquellas Son todas aquellas cantidades físicascantidades físicas que para que para

especificarse completamente hay que proporcionar:especificarse completamente hay que proporcionar:

un un númeronúmero (4); (4);

una una unidadunidad (m, m/s, Newton, Newton / Coulomb); (m, m/s, Newton, Newton / Coulomb);

una una direccióndirección (horizontal, vertical, inclinada); (horizontal, vertical, inclinada);

un un sentidosentido (derecha, izquierda, arriba, abajo, eje x positivo, eje (derecha, izquierda, arriba, abajo, eje x positivo, eje x negativo) x negativo)

Se representan gráficamente mediante flechas. Se representan gráficamente mediante flechas.

Se manejan mediante operaciones especiales:Se manejan mediante operaciones especiales:

Suma y resta vectorialSuma y resta vectorial

Producto punto o producto escalarProducto punto o producto escalar

Producto cruz o producto vectorialProducto cruz o producto vectorial

Cantidades VectorialesCantidades VectorialesCantidadCantidad MagnitMagnit

ud ud UnidadUnidad DirecciDirecci

ónónSentidoSentido

DesplazamieDesplazamientonto

55 mm HorizonHorizontaltal

Hacia la Hacia la izquierdaizquierda

FuerzaFuerza 1010 NewtoNewtonn

303000 al N del Eal N del E

PesoPeso1515 NewtoNewto

nnVerticalVertical Hacia el Hacia el

centro de la centro de la TierraTierra

AceleraciónAceleración9.819.81 m/sm/s22 Vertical Vertical Hacia el Hacia el

centro de la centro de la TierraTierra

Campo Campo EléctricoEléctrico

1212 N/CN/C RadialRadial SaliendoSaliendo

VelocidadVelocidad

1111 Km/hrKm/hr 606000 A partir del eje A partir del eje xx+ + en sentido en sentido de las de las manecillas del manecillas del relojreloj

Graficar los vectores anteriores en el plano cartesianoGraficar los vectores anteriores en el plano cartesiano

Diferencia entre Diferencia entre escalaresescalares y y vectoresvectores

Para diferenciar entre escalares y vectores analicemos Para diferenciar entre escalares y vectores analicemos los siguientes ejemplos:los siguientes ejemplos:

La distancia entre dos puntos es de 5 metros (La distancia entre dos puntos es de 5 metros (es un es un escalarescalar).).

Una persona recorre 5 metros de donde estaba Una persona recorre 5 metros de donde estaba inicialmente.inicialmente.

(hay un cambio de posición o (hay un cambio de posición o desplazamientodesplazamiento))

55 es el es el NÚMERONÚMERO de de metrosmetros y éste a su vez es la y éste a su vez es la UNIDADUNIDAD. Sin embargo no podemos localizar a la . Sin embargo no podemos localizar a la persona, puede estar ubicada en cualquier punto de persona, puede estar ubicada en cualquier punto de una circunferencia de radio 5 metros, medidos a partir una circunferencia de radio 5 metros, medidos a partir de donde estaba inicialmente. Tenemos que dar su de donde estaba inicialmente. Tenemos que dar su DIRECCIÓNDIRECCIÓN y y SENTIDOSENTIDO, por ejemplo, , por ejemplo, 303000 al S del Oal S del O

NOTACIÓN DE VECTORESNOTACIÓN DE VECTORES

Se denotan (escriben) mediante letras Se denotan (escriben) mediante letras mayúsculas o minúsculas, a las cuales se les pone mayúsculas o minúsculas, a las cuales se les pone encima una flechita para indicar que es un encima una flechita para indicar que es un vectorvector. . Ejemplo:Ejemplo:

Generalmente en libros de textos o notas de clase Generalmente en libros de textos o notas de clase donde se facilita más la escritura, se suprime la donde se facilita más la escritura, se suprime la flechita pero se remarca la letra por ejemplo:flechita pero se remarca la letra por ejemplo:

AA,, B, C B, C,, D D,, E, E, etc. ó etc. ó aa, , bb, , cc, etc., etc.

que comúnmente son llamadas "negritas" o "bold".que comúnmente son llamadas "negritas" o "bold".

.. etcetc dcbaFCBA

Representación, magnitud e igualdad Representación, magnitud e igualdad de Vectoresde Vectores

Se representan mediante flechas. Se representan mediante flechas.

A bF c

Su magnitud es proporcional a la longitud de la flecha Su magnitud es proporcional a la longitud de la flecha

A Magnitud del vector A = valor absoluto del vector AA = |A| = |A|

Dos o más vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido, Dos o más vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido, no importa si sus orígenes no coincidan.no importa si sus orígenes no coincidan.

A

BF c

A = B = c ≠ F ≠ M

M

Operaciones con VectoresOperaciones con VectoresComo se mencionó anteriormente, los vectores se manejan mediante Como se mencionó anteriormente, los vectores se manejan mediante

operaciones especialesoperaciones especiales siendo éstas: siendo éstas:

SUMA VECTORIALSUMA VECTORIAL.- Sean .- Sean A A y y BB dos vectores, se define la suma dos vectores, se define la suma vectorial como: vectorial como:

A A + + B B = = CCdonde donde CC es un nuevo vector con su propia magnitud, dirección y es un nuevo vector con su propia magnitud, dirección y

sentido.sentido.

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTOPRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO.- Sean .- Sean A A y y BB dos dos vectores, se define el producto punto entre los dos vectores como:vectores, se define el producto punto entre los dos vectores como:

AA ● ● B B = = ||AA| || |BB| cos | cos θθ = = A B cos θ = B A cos θθ = = C

donde A B cos donde A B cos θθ = C es un escalar que posee únicamente magnitud y = C es un escalar que posee únicamente magnitud y unidad.unidad.

θθ es eles el MENOR ÁNGULO MENOR ÁNGULO que se forma entre los dos vectoresque se forma entre los dos vectores. . Si ….Si ….

Operaciones con Vectores …Operaciones con Vectores …

0000 < < θθ < 90< 9000 AA ● ● B > 0B > 0

θθ = 90 = 9000 AA ● ● B = 0B = 0

909000 < < θθ < 270 < 27000 AA ● ● B < 0B < 0

θθ = 270 = 27000 AA ● ● B = 0B = 0

27027000 < < θθ < 360 < 36000 AA ● ● B > 0B > 0

Operaciones con Vectores …Operaciones con Vectores … PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZPRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

Sean Sean A A y y BB dos vectores, se define el producto vectorial dos vectores, se define el producto vectorial como:como:

donde donde CC es un nuevo vector es un nuevo vector La La MAGNITUDMAGNITUD del vector del vector CC viene dada por: viene dada por:

A x B = C

|C| = C = | A x B | = | A | | B | sen θ = AB sen θAB

Donde θAB es el menor ángulo que se forma entre los vectores

La La DIRECCIÓNDIRECCIÓN del vector del vector CC es perpendicular tanto al vector es perpendicular tanto al vector AA como al como al BB

Su Su SENTIDOSENTIDO viene dado por la viene dado por la REGLA DE LA MANO DERECHAREGLA DE LA MANO DERECHA

Regla de la mano derechaRegla de la mano derecha Con los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar Con los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar

perpendicular a ellos, tratar de empujar la punta del primer vector perpendicular a ellos, tratar de empujar la punta del primer vector hacia la punta del segundo vector cerrando los dedos y dejando hacia la punta del segundo vector cerrando los dedos y dejando extendido el pulgar, el sentido en el que apunta este pulgar, nos extendido el pulgar, el sentido en el que apunta este pulgar, nos indicará el sentido hacia donde apunta el vector C o producto indicará el sentido hacia donde apunta el vector C o producto vectorial entre los dos vectores vectorial entre los dos vectores

A

B

C = A x B

A

B

C' = B x AA x B = - B x A

Si el ángulo entre los dos vectores es de 90Si el ángulo entre los dos vectores es de 9000, entonces el producto , entonces el producto vectorial entre ellos es el VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen vectorial entre ellos es el VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen 909000 = 0 = 0

NotaNota: Los vectores : Los vectores A A y y B B forman o están en un plano, siendo el forman o están en un plano, siendo el vector vector C C perpendicular a dicho plano, por ejemplo, es como si los perpendicular a dicho plano, por ejemplo, es como si los vectores vectores A A y y B B estuviesen en el piso, luego entonces, el vector estuviesen en el piso, luego entonces, el vector C C estaría saliendo o entrando perpendicularmente al piso. estaría saliendo o entrando perpendicularmente al piso.

Para sumar dos o más vectores, Para sumar dos o más vectores, existen dos métodos:existen dos métodos:

Métodos Gráficos Métodos Gráficos Método del paralelogramo (es ideal Método del paralelogramo (es ideal

para dos vectores)para dos vectores) Método del polígono ( Para sumar más Método del polígono ( Para sumar más

de dos vectores)de dos vectores) Método AnalíticoMétodo Analítico

Suma deSuma de V e c t o r e sV e c t o r e s

Consiste en sumar dos vectores Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se realiza de la siguiente gráficamente y se realiza de la siguiente manera:manera:

Se unen los orígenes de los dos vectores. Se unen los orígenes de los dos vectores. A partir de sus puntas o terminaciones A partir de sus puntas o terminaciones

se trazan paralelas a cada uno de ellos se trazan paralelas a cada uno de ellos formando una paralelogramo. formando una paralelogramo.

La diagonal de dicho paralelogramo es el La diagonal de dicho paralelogramo es el vector suma, lo cual se ilustra mediante vector suma, lo cual se ilustra mediante el siguiente ejemplo:el siguiente ejemplo:

Método del ParalelogramoMétodo del Paralelogramo

ejemplo:ejemplo:

Método del ParalelogramoMétodo del Paralelogramo

A

B

A

B

Resultante

Consiste en unir el origen del segundo vector con Consiste en unir el origen del segundo vector con la punta del primero. Si son mas de dos la punta del primero. Si son mas de dos vectores, unir el origen del tercer vector con la vectores, unir el origen del tercer vector con la punta del segundo y así sucesivamente, el punta del segundo y así sucesivamente, el vector resultante es el que va desde el origen vector resultante es el que va desde el origen del primero hasta la punta del último. del primero hasta la punta del último.

A

B

B

Res

ulta

nte

CA

C

DD

Método del PolígonoMétodo del Polígono

Ley conmutativa de la suma:Ley conmutativa de la suma: Al sumar dos o mas vectores se obtiene el Al sumar dos o mas vectores se obtiene el

mismo resultado, no importa el orden en que mismo resultado, no importa el orden en que se sumen. Del ejemplo anterior:se sumen. Del ejemplo anterior:

A

B

C

D

BA

C

D

Res

ulta

nte

Res

ulta

nte

C

D

A

B

Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial

Ley asociativa de la suma:Ley asociativa de la suma: Al sumar dos o mas vectores, algunos o todos Al sumar dos o mas vectores, algunos o todos

se pueden asociar para obtener semi-se pueden asociar para obtener semi-resultantes, las cuales se suman a su vez resultantes, las cuales se suman a su vez para obtener el vector resultante. Del para obtener el vector resultante. Del ejemplo anterior:ejemplo anterior:

Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial

A

B

B

Res

ulta

nte

CA

C

D

D

A + D

C + B

Multiplicación de un vector por un escalarMultiplicación de un vector por un escalar Al Al multiplicar un vector por un escalar, se multiplicar un vector por un escalar, se

obtiene un nuevo vectorobtiene un nuevo vector ( B ) que ( B ) que es k veces es k veces mayormayor, , k veces menork veces menor o bien igual que el o bien igual que el vector que le dio origen, todo depende del vector que le dio origen, todo depende del escalar. Ejemplo:escalar. Ejemplo:

Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial

FB = 2 F

k = 2

k = 1/2W = 1/2 F = F/ 2

Negativo de un vectorNegativo de un vector El negativo de un vector SEl negativo de un vector S es aquél que es aquél que tiene tiene

la misma magnitudla misma magnitud y y direccióndirección que que SS pero pero sentido contrariosentido contrario. .

El negativo de un vector El negativo de un vector SS es aquél que hay es aquél que hay que sumarle a que sumarle a SS para obtener el vector nulo. para obtener el vector nulo.

O bien el vector multiplicado por un escalar O bien el vector multiplicado por un escalar unitario negativo. Ejemplo:unitario negativo. Ejemplo:

Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial

S

- S

B = - S

k = - 1

S + ( - S ) = 0

Se define la resta de vectores como:Se define la resta de vectores como:

AA - - BB = = AA + ( - + ( - B B ) = ) = RR

Para restar un vector B al vector A, se procede Para restar un vector B al vector A, se procede igual que en la suma con la única salvedad de igual que en la suma con la única salvedad de

que se toma el negativo del vector B. Ejemploque se toma el negativo del vector B. Ejemplo

A

B

A + ( - B ) =

R

A

- B

Resta de VectoresResta de Vectores

Se define la resta de vectores como:Se define la resta de vectores como:

AA - - BB = = AA + ( - + ( - B B ) = ) = RR

Para restar un vector B al vector A, se procede Para restar un vector B al vector A, se procede igual que en la suma con la única salvedad de igual que en la suma con la única salvedad de

que se toma el negativo del vector B. Ejemploque se toma el negativo del vector B. Ejemplo

Resta de Vectores …Resta de Vectores …

A

B A – B = A + ( -

B ) = R

A

- B

B – A = - (

A - B ) =

- R

- A

B

El método analítico consiste en hablar de El método analítico consiste en hablar de vectores con respecto a un sistema de vectores con respecto a un sistema de referencia, en el caso del plano, éste es el referencia, en el caso del plano, éste es el plano cartesianoplano cartesiano

M E T O D O A N A L Í T I C OM E T O D O A N A L Í T I C O

A

0 1 2 3 4

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3-4l l l l l

l l l

l l l l l

l l l l

3

x +

y +

Una vez elegido el plano, se definen las Una vez elegido el plano, se definen las componentes componentes AxAx y y Ay Ay de un vector como las de un vector como las proyecciones o sombras del vector sobre los proyecciones o sombras del vector sobre los ejes coordenadosejes coordenados, éstas se obtienen trazando , éstas se obtienen trazando paralelas a los ejes a partir de la terminación paralelas a los ejes a partir de la terminación del vector.del vector.

Método analítico: Método analítico: componentes rectangularescomponentes rectangulares

A

0 1 2 3 4

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3-4l l l l l

l l l

l l l l l

l l l l

3

x +

y +

A x

A y

Cuando se proporciona la Cuando se proporciona la magnitud del vectormagnitud del vector y su y su orientación mediante el orientación mediante el ánguloángulo, las componentes , las componentes rectangulares se calculan utilizando las funciones rectangulares se calculan utilizando las funciones trigonométricas. trigonométricas.

Se forma un triángulo rectángulo, en donde Se forma un triángulo rectángulo, en donde laslas componentescomponentes vienen siendo vienen siendo loslos catetoscatetos y la y la hipotenusahipotenusa la la magnitud del vectormagnitud del vector. Aplicando las funciones . Aplicando las funciones trigonométricas:trigonométricas:

Método analítico: Método analítico: cálculo de las componentes cálculo de las componentes rectangularesrectangulares

A y

A

0 1 4

1

-1

-1

l l

l l l

3

x +

y +

A x

cateto adyacente

cateto opuestohipotenusahipotenusa

cateto opuestosen =

= A y

|A|

despejando la componente vertical:despejando la componente vertical:

despejando la componente horizontal:despejando la componente horizontal: A x= |A| cos

cos = hipotenusa

cateto Adyacente=

A x

|A|

A y = |A| sen

Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (A A xx , , A A yy ) de un vector, se puede conocer:) de un vector, se puede conocer:

Su Su magnitudmagnitud aplicando el teorema de Pitágoras aplicando el teorema de Pitágoras Su Su orientaciónorientación mediante el inverso de la función tangente del mediante el inverso de la función tangente del

ángulo. ángulo.

A y

A

0 1 4

1

-1

-1

l l

l l l

3

x +

y +

A x

hipotenusa

|A| = √ (A x )2 + ( A y )2

= tan -1A y

A x

tan = cateto opuesto

cateto adyacente

A y

A x

=

Método analítico:Método analítico: cálculo de la magnitud y ángulo cálculo de la magnitud y ángulo de un vectorde un vector

Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (A Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (A xx , A , A yy ) de un vector, éste puede estar en: ) de un vector, éste puede estar en:

I cuadrante si: Ax > 0 y Ay > 0 sentido al N del E I cuadrante si: Ax > 0 y Ay > 0 sentido al N del E II cuadrante si: II cuadrante si: Ax < 0 y Ay > 0 Ax < 0 y Ay > 0 sentido al N del O sentido al N del O III cuadrante si: III cuadrante si: Ax < 0 y Ay < 0Ax < 0 y Ay < 0 sentido al S del O sentido al S del O IV cuadrante si: IV cuadrante si: Ax > 0 y Ay < 0 Ax > 0 y Ay < 0 sentido al S del E sentido al S del E

Método analítico: Método analítico: ubicación y orientación de un ubicación y orientación de un vectorvector

x +

A y

A

0 1 4

1

-1

-1

l l

l l l

3

x +

y +

A x

A y < 0

A

y +

A x < 0

N

S

O E

Aplicando la igualdad de vectores

Método analítico: Método analítico: problema de la tangenteproblema de la tangente

si: si: | | Ax Ax || > > || Ay Ay || mas orientado al eje X mas orientado al eje X si: si: | | Ay Ay || > > || Ax Ax || mas orientado al eje Y mas orientado al eje Y

A y > 0

A

0 4-1

-1

l l l

2

x +

y +

A x > 0

A x y A y > 0

O

x +

A y < 0

A

y +

A x < 0

N

S

E

A x y A y < 0

En ambos casos la función tan θ es positiva. Se recomienda graficarlos para visualizarlos o, analizar signospara ubicarlos en el cuadrante respectivo. Su orientación seráde acuerdo a:

-4

-2

A

0 4-1

-1

l l l

2

x +

y +

Método analítico:Método analítico: problema del ángulo problema del ángulo y los ejesy los ejes

El ángulo puede ser dado respecto al eje El ángulo puede ser dado respecto al eje x o con respecto al eje o con respecto al eje y. Hay . Hay que tener cuidado al aplicar las funciones trigonométricas para calcular las que tener cuidado al aplicar las funciones trigonométricas para calcular las componentes, ya que para la misma función, componentes, ya que para la misma función, las componentes CAMBIAN.las componentes CAMBIAN.

A

0 4-1

-1

l l l

2

x +

y +

hip.

cat. op.sen =

= A y

|A|

A y = |A| sen

A x = |A| cos

hip.

cat. op.sen =

= A x

|A|

A y = |A| cos

A x = |A| sen

Suma de vectores: Suma de vectores: método analíticométodo analítico

A

B

R

R

B

A

A x B x

R x

A y

B y

R y

x +

y +| R |= √ ( Rx)2 + (Ry)2

Donde:

Rx= Ax + Bx

Ry= Ay + By

Además: Ax = | A | cos θA

Ay = | A | sen θA

Bx = | B | cos θB

By = | B | sen θB

R= tan -1

Ry

Rx

EjercicioEjercicio: suma de vectores: suma de vectores

La La magnitudmagnitud del vector del vector AA es de es de 200 unidades200 unidades y forma y forma una ángulo de una ángulo de 303000 con respecto a la horizontal; la con respecto a la horizontal; la magnitudmagnitud del vector del vector BB es de es de 300300 unidades y forma una unidades y forma una ángulo de ángulo de 13513500 con respecto a la horizontal; la con respecto a la horizontal; la magnitudmagnitud del vector del vector CC es de es de 150150 unidades y forma un ángulo de unidades y forma un ángulo de 23523500 con respecto a la horizontal. Todos los ángulos son con respecto a la horizontal. Todos los ángulos son medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj.medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj.

a) Utilizando el método gráfico, encuentre:a) Utilizando el método gráfico, encuentre:i ) i ) AA + + BB + + CCii )ii ) BB + + AA + + CCiii )iii ) AA - - BB + + CCiv )iv ) CC -- BB – – AA

b) Encuentre los puntos del b) Encuentre los puntos del i ) i ) al al iv )iv ) del inciso anterior del inciso anterior utilizando el método analítico.utilizando el método analítico.

Representación de vectores: Representación de vectores: vectores vectores unitariosunitarios

Para representar un vector en forma vectorial, lo analizaremos mediante Para representar un vector en forma vectorial, lo analizaremos mediante los siguientes ejemplos: los siguientes ejemplos:

A A = |= |AA| |

Simbología Simbología incorrectaincorrecta, ya que un vector no puede ser igual a un escalar , ya que un vector no puede ser igual a un escalar como lo es la magnitud de un vector.como lo es la magnitud de un vector.

A A = A = A xx + A + A yy

Simbología Simbología incorrectaincorrecta, ya que un vector no puede ser igual a la suma de , ya que un vector no puede ser igual a la suma de dos escalares como lo son las componentes rectangulares de un vector.dos escalares como lo son las componentes rectangulares de un vector.

||AA| = A | = A xx + A + A yy

Simbología Simbología incorrectaincorrecta, ya que la magnitud de un vector se determina , ya que la magnitud de un vector se determina mediante el teorema de Pitágoras.mediante el teorema de Pitágoras.

Como se puede apreciar, aún no contamos con una terminología para Como se puede apreciar, aún no contamos con una terminología para describir a un vector en notación vectorial. describir a un vector en notación vectorial.

Para suplir esta falta de información, se definen los Para suplir esta falta de información, se definen los vectores unitariosvectores unitarios î , ĵ cuya cuya magnitudmagnitud como su propio nombre lo indica como su propio nombre lo indica es la unidades la unidad y su y su direccióndirección es a lo es a lo largo de los ejeslargo de los ejes coordenados, su coordenados, su sentidosentido saliendosaliendo del origendel origen..

Veámoslos en el plano.Veámoslos en el plano.

Vectores unitariosVectores unitariosPara indicar que se trata de un vector unitario, encima de la letra Para indicar que se trata de un vector unitario, encima de la letra se le pone un gorrito.se le pone un gorrito.

La letra La letra î se reserva para el vector unitario en la dirección del eje se reserva para el vector unitario en la dirección del eje de las x positivode las x positivo

La letra La letra ĵ para el vector unitario en la dirección del eje de las y para el vector unitario en la dirección del eje de las y positivo.positivo.

También pueden ser escritos en negritas.También pueden ser escritos en negritas.

Se le conocen también como vectores direccionalesSe le conocen también como vectores direccionales

î = iĵ = j

| î | = | ĵ | = 1

1 2

1

2

î

ĵ

x +

y +

Un vector se representa como:

A = Ax i + Ay j

Suma de Vectores: método de vectores unitariosSuma de Vectores: método de vectores unitariosSumar los siguientes vectores:Sumar los siguientes vectores:

A A = 4 = 4 i i + 5 + 5 jj

B B = 6= 6 i i + 2 + 2 jj

SoluciónSolución

C C = = A A + + B B = (4 = (4 ii + 5 + 5 j j ) + (6 ) + (6 i i + 2 + 2 j j ) )

= 4 = 4 i i + 6 + 6 i i + 5 + 5 j j + 2 + 2 jj

= (4 + 6)= (4 + 6) i i + (5 + 2) + (5 + 2) j j

=10 =10 ii + 7 + 7 jj

ó más sencilloó más sencillo

A A = 4 = 4 i i + 5 + 5 j +j +

B B = 6= 6 i i + 2 + 2 jj

R = 10 i + 7 jR = 10 i + 7 j

RR = = |R| = |R| = √√100+49 = 100+49 = √√149 = 12.2 u149 = 12.2 u

θθ = tan = tan-1-1 (7/10) = 35 (7/10) = 3500

Como Rx y Ry son positivos, el vector resultante se encuentra en el I cuadrante; como Rx > Ry, Como Rx y Ry son positivos, el vector resultante se encuentra en el I cuadrante; como Rx > Ry,

mas cargado hacia el eje x. Es decir, al N del Emas cargado hacia el eje x. Es decir, al N del E

5 10

5

10

x +

y +Dibujar los vectores y sumarlos

Producto punto o producto escalarProducto punto o producto escalarEl producto punto o producto escalar se definió como:El producto punto o producto escalar se definió como:

AA ● ● B B = = ||AA| || |BB| cos | cos θθ = = A B cos θEn función de los vectores unitariosEn función de los vectores unitarios

AA ● ● B B = (= (A x i + A y j) ● (● (B x i + B y j)

Desarrollando:

AA●●B B = A x B x (i●●i) + A x B y (i●●j) + A y B x (j●●i) + A y B y

(j●●j)

Aplicando la definición

i ●● i = (1) (1) cos 00 = 1

i ●● j = (1) (1) cos 900 = 0

j ●● j = (1) (1) cos 00 = 1

j ●● i = (1) (1) cos 900 = 0

Producto punto …Producto punto …Sustituyendo los productos puntoSustituyendo los productos punto

AA ● ● B B = A x B x + A y B y

Igualando ambas definiciones

||AA| || |BB| cos | cos θθ = = A x B x + A y B y

Despejando el ángulo

θθ = cos = cos-1-1

A x B x + A y B y

||AA| || |BB||

Ejemplo: producto puntoEjemplo: producto punto

Encontrar el producto punto o producto escalar de los siguientes Encontrar el producto punto o producto escalar de los siguientes vectores:vectores:

A A = 4 = 4 i i + 5 + 5 jj análisis: I cuadrante a 51.34análisis: I cuadrante a 51.340 0 al N del E; magnitud 6.4al N del E; magnitud 6.4B B = 6= 6 i i + 2 + 2 jj análisis: I cuadrante a 17.43análisis: I cuadrante a 17.430 0 al N del E; magnitud 6.3al N del E; magnitud 6.3AA ● ● B B = A x B x + A y B y

= 24 + 10= 34

El menor ángulo que forman entre si los dos vectores es:

θθ = cos = cos-1-1

θθ = cos = cos-1-1

θθ = 32.9 = 32.900

A x B x + A y B y

||AA| || |BB||

34

√16+25 √36+4

Producto cruz o producto vectorialProducto cruz o producto vectorial

El producto cruz o producto vectorial se definió como:El producto cruz o producto vectorial se definió como:

AA x x B B = = ||AA| || |BB| sen | sen θθ = = A B sen θ

En función de los vectores unitariosEn función de los vectores unitarios

AA x x B B = (= (A x i + A y j) x (x (B x i + B y j)

Desarrollando:

AAxxB B = A x B x (ixxi) + A x B y (ixxj) + A y B x (jxxi) + A y B y (jxxj)

Aplicando la definición

i xx i = (1) (1) sen 00 = 0

i xx j = (1) (1) sen 900 = k (aplicando la regla de la mano derecha)

j xx j = (1) (1) sen 00 = 0

j xx i = (1) (1) sen 900 = -k (aplicando la regla de la mano derecha)

Producto cruz …Producto cruz …

Sustituyendo los productos cruz de vectores unitariosSustituyendo los productos cruz de vectores unitarios

AA x x B B = A x B y (k) + A y B x (-k)

AA x x B B = (A x B y - A y B x ) k

Un nuevo vector cuya:

Magnitud es: A x B y - A y B x

Dirección: perpendicular al plano formado por A y B.

Sentido:

Sale del plano si A x B y - A y B x > 0

Entra al plano si A x B y - A y B x > 0

Producto cruz en tres dimensionesProducto cruz en tres dimensionesEl producto cruz o producto vectorial de vectores unitariosEl producto cruz o producto vectorial de vectores unitarios

AA x x B B = (= (A x i + A y j + A z k) x (x (B x i + B y j + B z k)Desarrollando:

AA x x B B = A x B x (i xx i) + A x B y (i xx j) + A x B z (i xx k) +A y B x (j xx i) + A y B

y (j xx j) + A y B z (j xx k) + A z B x (k xx i) + A z B y (k xx j) + A z B z (k xx k)

Aplicando la definición

i xx i = (1) (1) sen 00 = 0

i xx j = (1) (1) sen 900 = k

i xx k = (1) (1) sen 900 = - j

j xx i = (1) (1) sen 00 = - k

j xx j = (1) (1) sen 900 = 0

j xx k = (1) (1) sen 900 = i

k xx i = (1) (1) sen 00 = j

k xx j = (1) (1) sen 900 = - i

k xx k = (1) (1) sen 900 = 0

Producto cruz …Producto cruz …

SustituyendoSustituyendo

A A x x BB = AxBy (k) + AxBz (-j) +AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)

ReagrupandoReagrupando

AA x x B B = (AyBz - AzBy) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBx) k

Producto cruz: determinantesProducto cruz: determinantes

A x B = i j kAx Ay Az

Bx By Bz

= +(Ay Bz - By Az ) i - (Ax Bz - Bx Az

) j + (Ax By – Bx Ay )k