Movimiento Amortiguado Masa Resorte, utilizando matlab

8/16/2019 Movimiento Amortiguado Masa Resorte, utilizando matlab

1/10

MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

O movimiento masa resorte amortiguado, en

el estudio de la mecánica, las fuerzas de

amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo

se consideran proporcionales a una potencia

de velocidad instantánea, dando como

modelo matemático la siguiente ecuación:

m

d2

y

d t 2 =− β

dy

dt −ky

A continuación, se presentan tres casos de

estudio acerca del movimiento libre

amortiguado:

CASO I: SOBREAMORTIGUADO.

En esta situación el sistema está

sobreamortiguado porque el coeficiente de

amortiguamiento β es más grande

comparado con la constante el resorte k .

β>k

CASO II: CRITICAMENTE

AMORTIGUADO.

En este sistema está críticamenteamortiguado porque cualquier ligera

disminución en la fuerza de amortiguamiento

daría como resultado un movimiento

oscilatorio.

β=k

CASO III: SUBAMORTIGUADO.

En este caso el sistema está subamortiguado

puesto que el coeficiente de amortiguamiento

β es más pequeo comparado con la

constante el resorte k .

β


2/10

1. De valores a m, b y k para los ds!"!os #asos de amor!$%ame"!o.

Caso I: Sobreamortiguado. β>k

Y (s )= 1

Ms2+bs+k

= 1

4 s2+7 s+3

Caso II: Críticamente amortiguado. β=k

Y (s )= 1

Ms2+bs+k

= 1

4 s2+16 s+16

Caso III: Subamortiguado. β


3/10

1

s ∙ (s+1) ∙ (4 s+3 )=

A

s +

B

s+1+

C

4 s+3

1= A ( s+1 ) (4 s+3 )+B ( s) (4 s+3 )+C (s)( s+1)

Cuando s=-1

1= A (−1+1 ) (4(−1)+3)+B (−1 ) (4 (−1)+3 )+C (−1)((−1)+1)

B=1

Cuando s=0

1= A (0+1 ) (4 (0)+3 )+B (0 ) (4 (0)+3)+C (0)((0)+1)

A=1 /3

Cuando s=1 A=1/3 !=1

1= A (1+1 ) (4 (1)+3)+B (1 ) (4 (1)+3 )+C (1)((1)+1)

1=14 ∙ A+7 ∙ B+2∙ C

1=14 ∙(1

3)+7+2∙C

C =−16 /3

1

s ∙ (s+1 ) ∙ (4 s+3 )=

1

3 s+ 1

s+1+

−163(4 s+3)

L−1{

1

s ∙ ( s+1 ) ∙ (4 s+3 ) }= L−1{

1

3 s }+ L−1{

1

s+1}+ L−1{

−163 (4 s+3)

}

y (t )=1

3+e−t −

4 ∙e−3 t /4

4

"rans#ormada in$ersa


4/10

Caso II: críticamente amortiguado.

Y (s )= 1

4 s2+16 s+16

=

1

4 ∙(s+2)2∗1

s

"rans#ormada in$ersa:


5/10

Caso III: Subamortiguado.

Y (s )=¿

1

s2+8 s+22

∗1

s


6/10

"rans#ormada in$ersa

(. I"!erpre!e las sol%#o"es de los !res #asos de amor!$%ame"!o %!l)a"do !' y s!ep e" Ma!lab.

Caso I.- Sobreamortiguado


7/10

%es&uesta al escal'n:

!a solución "#t$ representa un movimiento uniforme que se estabiliza con respecto al tiempo, toma %&

segundos estabilizar el sistema, donde la grafía no representa oscilaciones, comprobando así el correcto

funcionamiento del modelo.

Caso II.- Críticamente amortiguado


8/10


!a solución "#t$ representa el movimiento de la masa que tarda en estabilizarse ' segundos, donde la grafíano representa oscilaciones, pero cualquier disminución de la fuerza de amortiguamiento daría como

resultado un movimiento ondulatorio.

Caso III.- Subamortiguado


9/10


!a solución "#t$ representa el movimiento no uniforme de la masa, donde la grafía representa oscilaciones

comprobando que la constante de amortiguamiento (a disminuido por lo cual que la amplitud del sistema

tiende a &

*. Represe"!e el es!ado es!a#o"aro


10/10

)e dice que un sistema físico está en es!ado es!a#o"aro cuando las características del mismo no

varían con el tiempo. En este fundamento se basan las teorías de la electrostática entre otras. El

estado estacionario tambi*n se conoce como el estado en el que está la naturaleza #estado en el que

se encuentra$.

A&licaci'n del estado estacionario &ara el Caso II: Críticamente amortiguado.

Y (s )= 1

4 s2+16 s+16

=

1

4 ∙(s+2)2∗1

s

lim x→∞

y (t )=lims→0

s∗Y (s)

lim x→∞ y (t )=lims→0s∗1

4 s ∙(s+2)2

lim x→∞

y (t )=0.0625

+. o"#l%so"es

Al dar los diferentes valores a las constantes m, b " + comprobamos los diferentes casos de sistema

masa resorte que presentamos en este trabao, con el cual podemos concluir que se (a comprobado

de manera matemática " analítica con la a"uda de -A!A/, soft0are que nos permite por medio

de comandos realizar una infinidad de cálculo.

odos los sistemas alcanzan un estado estacionario, puesto que todos los sistemas se llegan a

estabilizar, la diferencia es la amplitud " el tiempo en el que la masa toma su tiempo para llegar al

estado original en el cual se encontraba antes de que una fuerza e1terna en este caso el escalón 2#s$.

-. Bblo$ra'a

3ennis 4ill, (cuaciones di#erenciales con a&licaciones de modelado, novena edición, editorial

5engage, -*1ico 6&&7.
https://es.wikipedia.org/wiki/Electrost%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Electrost%C3%A1tica

Movimiento Amortiguado Masa Resorte, utilizando matlab

Documents

Transcript of Movimiento Amortiguado Masa Resorte, utilizando matlab