VECTORES EN R3

Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtiene definiciones y propiedades de los vectores en el espacio

1. SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONALES.-

Definimos al producto cartesiano A x B x C de los conjuntos A, B, C, entonces

AxBxC= {(x , y , z)|x∈ A , y B , z∈C }

Donde el símbolo (x,y,z) representa una terna ordenad. Como las ternas ordenadas de números reales son el elemento del producto cartesiano R x R x R, a esto conjunto se le denota por R3, es decir

R3= {( x , y , z )|x∈ R , y ∈R , z∈R }

Que determina lo que llamaremos espacio tridimensional. Esto es, queda establecido un sistema cartesiano de tres dimensiones, cuyos ejes son las rectas orientadas; X (eje abscisas), Y (eje de ordenadas) y Z (cota), que se cortan perpendicularmente en el punto O (origen de coordenadas). Todo punto en el espacio queda determinado por la terna (x, y, z)

2. VECTORES EN R3

En el espacio denotamos los vectores mediante órdenes

V= ⟨ x , y , z ⟩

Denotándose el vector cero por O= ⟨o ,o ,o ⟩ tal casoR3, un

vector en R3se puede expresar como la suma de componentes vectoriales paralelos a los ejes coordenados. En R3 , i , j , k representan vectores unitarios en las direcciones de las partes positivas de los ejes X, Y. Z respectivamente Entonces:

3. MAGNITUD O NORMA.-

Sea v⃗=( x , y , z ) .La magnitud o norma de v⃗ denotada como ‖v⃗‖, se define como :

‖v⃗‖=√x2+ y2+z2

Note que la norma seria la longitud del segmente de recta que define el vector. Es decir, seria la distancia entre los puntos que definen.

Para v⃗=(x2−x1 , y2− y1 , z2− y1) sería:

‖v⃗‖=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2+(z¿¿2−z1)2¿

4. PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO INTERNO

Sea v⃗1=(x1 , y1 , z1 ) y v⃗2=(x2 , y2 , z2 ) vectores de R3. El producto escalar de v⃗1 con v⃗2 denotado como v⃗1 . v⃗2 se define como :

v⃗1 . v⃗2=x1 x2+ y1 y2+z1 z2

Propiedades:

Sean v⃗1 y v⃗2 vectores de R3 , entonces:

v⃗1 . v⃗2= v⃗2 . v⃗1 v⃗1 . (v⃗2+ v⃗3 )= v⃗1 . v⃗2+v⃗1 . v⃗2 (α . v⃗1¿ . (β v⃗2 )=αβ (v⃗1 . v⃗2) v⃗ . v⃗=‖v⃗‖2

5. ANGULOS ENTRE DOS VECTORES EN R3

El angulo entre dos vectores A y B no nulos es de angulo θ∈ [0 , π ], entre respectivos vectores de posicion normales.

cosθ= A .B‖A‖‖B‖

6. VECTORES ORTOGONALES.-

Los vectores A y B diferentes de cero son ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo entre ellos es π/2. Tambien se obtiene inmediatamente que los vectores A y B en R3 son perpendiculares si y solo si A.B=0

Ejemplo:

Demostrar que el vector V ⟨2.−1,3 ⟩ es ortogonal a los vectores A⟨3,2,−2 ⟩ ,B=⟨1,8,2 ⟩ yC= ⟨1,−4 ,−2 ⟩

Demostracion: En efecto, hallaremos el producto escalar deV con cada uno de los vectores dados

A.V=⟨3,2,−2 ⟩ . ⟨2.−1,3 ⟩=6+0−6=0

B.V= ⟨1,8,2 ⟩ . ⟨2.−1,3 ⟩=2−8+6=0

C.V=⟨1 ,−4 ,−2 ⟩ . ⟨2.−1,3 ⟩=2+4−6=0

7. VECTORES PARALELOS.-

Dos vectores diferentes de cero A y B son paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π. Recuerde que los vectores paralelos tienen la misma dirección o direcciones opuestas.

Si A ≠ 0, entonces A y B son paralelos si y sólo si v = αu para algún escalar α ≠ 0.

cosθ= rB .B‖rB‖‖B‖

=r‖B‖2

|r|‖B‖2=r|r|

Si r¿0⟹cosθ=1y si r¿0⟹ cosθ=−1 Entonces los vectores A y B son paralelos

Ejemplo:

¿Para que valores a y b los vectores A=⟨−2,3 , a ⟩ y B=⟨b ,−6,2 ⟩ son colineales ?

Solucion: A‖B⟹ ⟨−2,3 , a ⟩=r ⟨b ,−6,2 ⟩⇔ { −2=rb3=−6 r⇒ r=−1/2

a=2 r

De donde obtenemos: a=-1 y b=4

Bibliografia:

R.Figueroa Vectores y matrices

Stanley, Grossman Algebra lineal

Paginas:

http://es.scribd.com/doc/8689496/Vectores-en-R3

http://es.scribd.com/doc/8937720/Calculo-Vectorial-Capitulo-1-Vectores-en-R3

http://estudiofacultad.hostoi.com/teoricogal/gal2/cap04.pdf