INTEGRALES

INTEGRALES

ALUMNOS:

Mendoza Fabian , Ashly

Pacheco Bravo, Rosmeri

Saldaña Varillas, Maribel

Nolasco Reyer, Kevin

Soto Cuevas, Mishell

Vilcapoma Ocaña, Allison

Saavedra Pizarro, Narda

Camacho Rondinel, Joseph

Viza Taipe,Kassandra

1

20152015

TEMA:

FACULTAD DE CIENCIASFACULTAD DE CIENCIAS CONTABLESCONTABLES

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

INTEGRALES

“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria”

INTEGRALES

CERNA MAGUIÑA

MATEMATICA APLICADA

II

2

PROFESOR:

CURSO:

CICLO:

2015

INTEGRALES

3

ADios por darnos siempre las fuerzas

para continuar en lo adverso, por guiarnos

en el sendero de lo sensato y darnos

sabiduría en las situaciones difíciles.

A nuestros Padres por darnos la vida y

luchar día a día para que lográramos

escalar y conquistar este peldaño más en

la vida.

INTEGRALES

AGRADECIMIENTOS

A Dios por darnos siempre aliento de vida, y quitarnos el miedo a seguir, a nuestros

padres por darnos el alimento diario, a nuestros amigos que siempre estuvieron a nuestro

lado en las buenas y enlas malas, a nuestros docentes en la carrera por sembrar un granito

de sabiduría, a todos ellos GRACIAS infinita.

INTRODUCCIÓN

4

INTEGRALES

El cálculo integral es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.

Los temas que se abordaran están en orden y se debe seguir ese orden para no tener problemas a futuro con algún tema.

Los temas que se abordaran son:

Integrales definidas e indefinidas básicas.Método de sustituciónMétodo por partesFracciones parciales

LOS ALUMNOS.

5

INTEGRALES

INTEGRALES

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático.

Básicamente, una integral es una generalización de lasuma de infinitos sumandos,

infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de

las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la

ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y

volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac

Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de

Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la

derivación y la integración son procesos inversos.

PRINCIPALES OBJETIVOS DEL CÁLCULO INTEGRAL

Área de una región plana

Cambio de variable

Integrales indefinidas

Integrales definidas

Integrales impropias

Integral de línea

Integrales múltiples (dobles o triples)

Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales

Métodos de integración

Teorema fundamental del cálculo

Volumen de un sólido de revolución

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INTEGRALES

TEORÍA

Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real,

la integral es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje ,

y las líneas verticales y , donde son negativas las áreas por debajo del eje .

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una

función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral

indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales

definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e

indefinidas.

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo

XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma

independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una

función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y

las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones

en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que

aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales.

A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral,

donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se

hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones vectoriales de una

variable, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por el de la parametrización de la

curva sobre la cual se está integrando, la cual, conecta dos puntos del plano o del espacio.

En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el

espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en

la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero

7

INTEGRALES

a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de

muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos

modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida

como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

HISTORIA

Integración antes del cálculo

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con

el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el

volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de

determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba

de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para

las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más

adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una

aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma

independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el

área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de

una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del

matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de

exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los

indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los

fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos

adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros

indicios de una conexión entre la integración y la derivación.

Newton y Leibniz

Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con la formulación

del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente

por Newton yLeibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la

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INTEGRALES

derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del

cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema

fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas.

También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que

desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar,

de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha

evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya notación para las integrales procede

directamente del trabajo de Leibniz.

Formalización de las integrales

Aunque Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemático a la integración, su

trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo

Berkeleycalificando los infinitesimales como los "fantasmas de las cantidades que se

desvanecen".

El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera

mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La

integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando

límites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son

integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones más generales

para las cuales la definición de Riemann no era aplicable y por tanto no eran integrables

en el sentido de Riemann. Posteriormente Lebesgue dio una definición diferente de la

integral1 basada en la teoría de la medida que generalizaba la definición de Riemann, así

toda función integrable en el sentido de Riemann también lo es en el sentido de Lebesgue,

aunque existen algunas funciones integrables en el sentido de Lebesgue que no lo son en

el sentido de Riemann. Más recientemente se han propuesto otras definiciones de integral

aún más generales, que amplían las definiciones de Riemann y Lebesgue.

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INTEGRALES

Notación

Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar

integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía

fácilmente con o , que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación

"caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron

ampliamente adoptadas.

La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried

Leibniz en 1675.2 3 Para indicar summa (ſumma; en latín, "suma" o "total"), adaptó el

símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la integral

definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph

Fourieren Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su

libro de 1822.4 5 En la notación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha

a izquierda, se usa un signo integral invertido .

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se

calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la

región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración,

se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el

integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración

puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio

abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.

El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el

intervalo [a, b], se escribe

El signo ∫, una "S" alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y

el límite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el

integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede

10

INTEGRALES

tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por

ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que x es la variable de

integración, como una representación de los pasos en la suma de Riemann, una

medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis

no estándar) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial.

Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente.

CONCEPTOS Y APLICACIONES

Aproximaciones a la integral de entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba)

y ■ 12 muestras por la derecha (abajo).

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es

rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y

profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener

(para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se

requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades

anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.

Para el cálculo integral de áreas se sigue el siguiente razonamiento:

1. Por ejemplo, consideremos la curva mostrada en la figura de arriba, gráfica de la

función , acotada entre y .

11

INTEGRALES

2. La respuesta a la pregunta ¿Cuál es el área bajo la curva de función , en el

intervalo desde hasta ? es: que el área coincidirá con la integral de . La

notación para esta integral será

.

Una primera aproximación, muy grosera por cierto, para obtener esta área, consiste

en determinar el área del cuadrado unidad cuyo lado lo da la distancia desde x=0

hasta x=1 o también la longitud entre y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1x1

= 1. Tal como se puede inferir, el verdadero valor de la integral tendrá que ser más

pequeño. Particionando la superficie en estudio, con trazos verticales, de tal manera

que vamos obteniendo pequeños rectángulos, y reduciendo cada vez más el ancho de

los rectángulos empleados para hacer la aproximación, se obtendrá un mejor

resultado; por ejem. dividamos el intervalo en cinco partes, empleando los puntos

0, 1⁄5, 2⁄5,3⁄5,4⁄5 y, finalmente la abscisa 1. Se obtienen cinco rectángulos cuyas alturas

se determinan aplicando la función con las abscisas anteriormente descritas (del lado

derecho de cada pedazo de la curva), así , , … y así hasta .

Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una segunda aproximación de la

integral que se está buscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f,

multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos.

Se puede ver fácilmente que las continuas aproximaciones continúan dando un

valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una

aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta. Si en vez de 5

subintervalos se toman doce y ahora tomamos las abscisas de la izquierda, tal

como se muestra en el dibujo, se obtiene un estimado para el área, de 0,6203, que

en este caso es de menor valor que el anteriormente determinado. La idea clave

12

INTEGRALES

es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de

aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar

pasos infinitamente finos, o infinitesimales.

La notación

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada),

de los valores de la función multiplicados por pasos de anchura infinitesimal,

los llamadosdiferenciales (indicados por dx).

Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo,

debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones

de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que

mirar la función relacionada y simplemente

tomar , donde y son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste

es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq, con q ≠ −1, la

función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (xq+1)/(q+1).) De modo que el

valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

Como se puede ver, la segunda aproximación de 0,7 (con cinco

rectangulitos), arrojó un valor superior al valor exacto; en cambio la

aproximación con 12 rectangulitos de 0,6203 es una estimación muy por

debajo del valor exacto (que es de 0,666...).

Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir

rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió

formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma

13

INTEGRALES

que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La

dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad

motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de

Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de

maneras mucho más flexibles. Así, la notación

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la

función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor.

(Aquí A indica la región de integración.) La geometría diferencial, con

su "cálculo de variedades", proporciona otra interpretación a esta

notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial,

ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como

la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más

general) teorema de Stokes,

a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la

divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.

Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a

través de innovaciones modernas como el análisis no estándar.

Estos métodos no solo reivindican la intuición de los pioneros,

también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más

intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.

A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de

la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la

piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como

una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como

una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma

14

INTEGRALES

diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en

todos los casos.

PROPIEDADES DE LA INTEGRACIÓN

Linealidad

El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado [a, b] forman

un espacio vectorial con las operaciones de suma (la función suma de otras dos es la

función que a cada punto le hace corresponder la suma de las imágenes de este punto

por cada una de las otras dos) y la multiplicación por un escalar. La operación

integración

es un funcional lineal de este espacio vectorial. Así, en primer lugar, el conjunto de

funciones integrables es cerrado con la combinación lineal, y en segundo lugar, la

integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales,

De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue

integrables en un espacio métrico E dado, con la medida μ es cerrado

respecto de las combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio

vectorial, y la integral de Lebesgue

es un funcional lineal de este espacio vectorial, de forma que

De forma más general, si se toma el espacio vectorial de todas

las funciones medibles sobre un espacio métrico (E,μ), que

15

INTEGRALES

toman valores en un espacio vectorial

topológico completo localmente compacto V sobre un campo

topológico localmente compacto K, f : E → V. Entonces se

puede definir una aplicación integración abstracta que a cada

función f le asigna un elemento de V o el símbolo ∞,

que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad

se sostiene para el subespacio de las funciones, cuya integral es un elemento

de V (es decir, las integrales "finitas"). Los casos más importantes surgen

cuando K es R, C, o una extensión finita del campo Qp de números p-ádicos, y V es

un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, y cuando K=C y V es un espacio de

Hilbert complejo.

La linealidad, junto con algunas propiedad naturales de

continuidad y la normalización para ciertas clases de

funciones "simples", se pueden usar para dar una

definición alternativa de integral. Este es el enfoque

de Daniell para el caso de funciones reales en un

conjunto X, generalizado por Bourbaki a funciones que

toman valores en un espacio vectorial topológicamente

compacto. Véase Hildebrandt (1953)11 para una

caracterización axiomática de la integral.

Desigualdades con integrales

Se verifican varias desigualdades generales para funciones Riemann integrables definidas

en un intervalo cerrado y acotado [a, b] y se pueden generalizar a otras nociones de

integral (Lebesgue y Daniell).

Cotas superiores e inferiores. Una función f integrable en [a, b], es

necesariamente acotada en el intervalo. Por lo tanto hay dos números

16

INTEGRALES

reales m y M tales que m ≤ f (x) ≤M para todo x de [a, b]. Dado que los sumatorios

superior e inferior de f sobre [a, b] son también acotados para m(b − a) y M(b − a)

respectivamente, de aquí resulta que

Desigualdades entre funciones. Si f(x) ≤ g(x) para todo x de [a, b] entonces cada

uno de los sumatorios superior e inferior de f son acotados inferior y

superiormente por los sumatorios superior e inferior de g respectivamente. Así

Esto es una generalización de las desigualdades anteriores, dado que M '(b − a) es

la integral de la función constante con valor M en el intervalo [a, b].

Subintervalos. Si [c, d] es un subintervalo de [a, b] y f(x) es no negativa

para todo x, entonces

Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones,

entonces podemos emplear su producto, potencias y valores

absolutos:

Si f es Riemann integrable en [a, b] entonces lo mismo se cumple para |f|, y

Es más, si f y g son ambas Riemann integrables entonces f 2, g 2, y fg son también

Riemann integrables, y

17

INTEGRALES

Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Cauchy-Schwarz, y desempeña

un papel fundamental en la teoría de los espacios de Hilbert, donde el lado de la

derecha se interpreta como el producto escalar de dos funciones

integrables f y g en el intervalo [a, b].

Desigualdad de Hölder. Si p y q son dos números

reales, 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1, y f y g son dos

funciones Riemann integrables. Entonces las funciones

|f|p y |g|qtambién son integrables y se cumple

la desigualdad de Hölder:

Para el caso de p = q = 2, la desigualdad de Hölder pasa a ser la desigualdad de

Cauchy–Schwarz.

Desigualdad de Minkowski. Si p ≥ 1 es un

número real y f y g son funciones Riemann

integrables. Entonces |f|p, |g|p y |f + g|p son

también Riemann integrables y se cumple

ladesigualdad de Minkowski:

Una desigualdad análoga a ésta para la integral de Lebesgue se usa en la

construcción de los espacios Lp.

Convenciones

En esta sección f es una función real Riemann integrable. La integral

sobre un intervalo [a, b] está definida si a < b. Esto significa que los sumatorios

superiores e inferiores de la función f se evalúan sobre una partición a = x0 ≤ x1 ≤ . . .

18

INTEGRALES

≤ xn = bcuyos valores xi son crecientes. Geométricamente significa que la integración

tiene lugar "de izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos [x i , x i +1] donde

el intervalo con un índice más grande queda a la derecha del intervalo con un índice

más pequeño. Los valores a y b, los puntos extremos del intervalo, se

denominan límites de integraciónde f. Las integrales también se pueden definir

si a > b:

Inversión de los límites de integración. si a > b entonces se define

Ello, con a = b, implica:

Integrales sobre intervalos de longitud cero. si a es un número real entonces

La primera convención es necesaria al calcular integrales sobre subintervalos

de [a, b]; la segunda dice que una integral sobre un intervalo degenerado, o

un punto, tiene que ser cero. Un motivo para la primera convención es que la

integrabilidad de f sobre un intervalo [a, b] implica que f es integrable sobre

cualquier subintervalo [c, d], pero en particular las integrales tienen la

propiedad de que:

Aditividad de la integración sobre intervalos. si c es cualquier elemento de

[a, b], entonces

Con la primera convención la relación resultante

19

INTEGRALES

queda bien definida para cualquier permutación cíclica de a, b, y c.

En lugar de ver lo anterior como convenciones, también se puede

adoptar el punto de vista de que la integración se hace solo

sobre variedades orientadas. Si M es una tal forma m-dimensional

orientada, y M' es la misma forma con orientación opuesta y ω es

una m-forma, entonces se tiene (véase más abajo la integración de

formas diferenciales):

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O

CAMBIO DE VARIABLE

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la

derivada de la función compuesta.

20

INTEGRALES

Para cambiar de variable identif icamos una parte de lo que se va a integrar

con una nueva variable t , de modo que se obtenga una integral más

sencil la.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos

términos:

Se despeja u y dx , sustituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencil la, integramos:

3º Se vuelve a la variable inicial :

21

INTEGRALES

EJEMPLOS

22

a) ∫ (6−5)

2√3 x2−5 x+6dx

∫ du

2u12

=¿

12∫ u

−12 du=¿¿

(6 x−5 )dx=du

3 x2−5 x+6=u

INTEGRALES

INTEGRACIÓN POR PARTES

23

∫ ex

(e¿¿ x )2+12dx=¿¿¿

∫ du

u2+12=¿¿ Arctgu+c=¿ Arctg ex+c

c) ∫ 10 x3−5 x

√ x4−x2+5dx=¿¿

∫ 5(2 x3−x)

√ x4−x2+5dx=¿¿

5∫ (2x3−x )

√x4−x2+5dx=¿

5∫ (2 x3−x ) (x4−x2+5 )−1dx=¿¿

5∫ u−1 .du2

=¿¿

52∫

1udu=¿¿ 5

2ln|u|+c=¿

52

ln|x4−x2+5|+c

x4−x2+5=u

( 4 x3−2 x )dx=du

2 (2x3−x )dx=du(2 x3−x )dx=du

2

INTEGRALES

El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto de

funciones como se muestra a continuación

d(u.v) = u dv + v du

Por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican

entre sí.

∫d(u.v) = ∫u dv + ∫v du (se integra en ambos lados de la fórmula)

(u.v) = ∫u dv + ∫v du (resolviendo la integral)

∫u dv = u v - ∫v du (despejando, queda la fórmula de la integración por partes)

Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y

otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta

selección es lo más importante y se debe realizar de la siguiente manera

1.-En la parte que corresponde a dv debe ser la función más fácil de integrar,

2.-En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas

e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada

es reductiva. Las funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de trabajar.

Una de las reglas para saber si el procedimiento realizado es correcto la integral

resultante debe ser más sencilla que la original o sino de igual dificultad.

SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES

24

INTEGRALES

El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de

la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de

equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del

producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores

aceptarán gastar más en un artículo que le precio de equilibro. El total de las diferencias

entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas

aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los

consumidores.

El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están

dispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y= p0 muestra la

cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p0 de equilibrio. El

área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.

El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p=d(q) y p=p0

entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma:

∫0

q0

[d (q )−p0 ]dq

Donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p0 y demanda de equilibrio

q0.

De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un

producto a un menor precio que el precio p0 de equilibrio, el total de las diferencias entre

25

INTEGRALES

el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los fabricantes venderían el

producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el

superávit de los productores.

El área total bajo la curva de la oferta entre q=0 y q0 es la cantidad mínima total que los

fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q0 artículos. El área total bajo la

recta p= p0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre estas dos áreas, el

superávit de los productores, también está dada por una integral definida.

Si s(q) es una función de oferta con precio p0 de equilibrio y oferta q0 de equilibrio,

entonces el superávit de los productores es:

∫0

q0

[ p0−s (q) ]dq

26

INTEGRALES

PROBLEMA

Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x)= x2+7 . Encuentre la

ganancia de los productores, si la producción asciende a diez artículos.

Si la producción asciende a 10 artículos, el precio es s(10)=102

+7= 12 soles.

La ganancia o superávit de los productores se calculó resolviendo:

∫0

10

[12−( x2+7)] dx=∫0

10

[12− x2−7]dx=∫

0

10

[5− x2 ]dx

Ganancia de los productores [5x− x2

4 ]evaluado de 0 a 10 = 25

27

INTEGRALES

AREAS:

Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo (imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, -no como los antiguos griegos-pero de la forma más moderna, el cómo podemos hallar áreas haciendo uso de la integral .Comencemos dando una primera definición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal:

AREAS BAJO CURVA:

Definición: si f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a;b]el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje X y las rectas verticales X=a y X=b viene dada por :

              En ella se ve que f es una función continua, positiva (porencima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales X=a y X=b . Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.

Ejemplo:

28

INTEGRALES

Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2

y el eje OX.

En primer lugar hallamos el punto de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración

Y=4x-x²0=x (4-x)

X=0 ˆ x=4

32 -64/3=32/3 U²

∫0

4

(4 x−x2)dx=

2X²|40−¿X³/3|4

0 =

32 -64/3=32/3 U²

29

INTEGRALES

CONCLUSIÓN

Después de desarrollar el tema sobre las integrales hemos llegado a las siguientes

conclusiones:

Que para la integración indefinida no existen reglas generales, es la practica

sistemática lo que determina la aplicación del método adecuado de integración, según sea

el integrando.

El estudio de las integrales indefinidas es importante en la aplicación y resolución

de problemas del micro y macro economía.

30

INTEGRALES

BIBLIOGRAFÍA

1. Balbás, A.; Gil, J. A. (1990): "Programación Matemática". AC, Madrid.

2. Bombal, F.; Rodríguez, L.; Vera, G. (1987): "Problemas de Análisis

Matemático 3. Cálculo integral". Editorial AC.

3. Bugrov, Ya S.; Nikolski, S.M. (1984): "Matemáticas superiores. Cálculo

diferencial e integral". Mir Moscú.

4. Coquillat, F. (1980): "Cálculo integral. Metodología y problemas". Tebar

Flores.

5. Enríquez (): "Cálculo diferencial e Integral". Limusa, Trillas.

6. Diferencial e Integral para la Economía y la Empresa". Pirámide, Madrid.

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