Momento de inercia de segundo orden

La distribucin de la presin de la hidrosttica que se produce sobre la cara abcd varia en forma lineal o razn directa de la profundidad .por lo tanto esta diferencial de fuerza es df=pa=yda

B zp=Y ax y df=Pa=Yda

c dp=h

y

Momento de inercia

=peso espesifico

Al momento de inercia de un rea se le llama en ocasiones el segundo momento del rea, denominacin que es probablemente ms apropiada. Sin embargo, por uniformidad, usaremos en este captulo un trmino ms comn, momento de inercia, llamado as por su semejanza con las integrales de los momentos de las fuerzas de inercia de los cuerpos en rotacin que se estudian en la dinmica. El momento de inercia de un rea es una medida de cunta rea est situada y qu tan lejos de un eje. El momento de inercia de una masa es una cantidad que define la resistencia de un cuerpo a la aceleracin angular. En trminos generales, el momento de inercia de masa de un cuerpo / respecto a un eje determinado puede definirse como (figura 1)Para un cuerpo rgido dado, el momento de inercia de masa es una medida de la distribucin de su masa con relacin a un eje determinado.

Figura 1.

MOMENTO DE INERCIA DE UN REA

La figura 2 muestra un rea situada en el plano xy en la cual dA es un rea elemental, el momento de, inercia de un rea elemental respecto al eje x puede expresarse en la formadlx=y2dAEl momento de inercia del rea completa respecto al eje x, /v, puede obtenerse por integracin de la relacin anterior, o sea

De manera similar, el momento de inercia respecto al eje .y, Ix, puede calcularse como dIy= x2dAy para el rea completa,

El momento de inercia es siempre una cantidad positiva. La dimensin del momento de inercia es (longitud), por lo cual su unidad es pulg, pies, m y as, sucesivamente.En las ecuaciones el trmino dA es igual a dx dy. As, puede efectuarse doble integracin para obtener Ixe Iy. Sin embargo, como en el caso de la determinacin de los centroides de reas se puede escoger un rea elemental dAQue tenga un ancho diferencial slo en una direccin. En ese caso, slo tiene que efectuarse una integracin para obtener Ix e Iy.

MOMENTO DE INERCIA DE REAS COMPUESTAS

Figura 3

FiguraLa figura 3 muestra un rea compuesta, ABCDE. Un rea compuesta est formada por una serie de reas simples unidas, tales como rectngulos, crculos y tringulos. Para determinar los momentos de inercia de un rea compuesta respecto a ejes dados (es decir, los ejes x y y), se deben seguir los pasos que se indican a continuacin.1. Divida el rea compuesta en varias partes que sean reas simples como 1. 2, 3. 4,.... 2. Determine las reas de las partes. stas se designarn aqu por A1, A2, A3, A4,....

3. Determine las coordenadas de los centroides de estas partes ron respecto a los ejes x y y. En la figura 3stas son 4. Calcule los momentos de inercia de las partes a sus ejes centroidales paralelos a los ejes x y y. Sean stos I1, e Ix1 e para al rea 1, Ix2 e Yy2, para el rea 2, Ix3; para el rea 3, I,x4e Iy4 para el rea 4,.... ' 5. Calcule el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x y y aplicando el teorema del eje paralelo, o sea '

Para el rea

Para el rea

Para el rea

Contine de esta manera para todas las partes. 6. Calcule los momentos de inercia del rea compuesta como

Ejemplo: Determinar el momento de inercia de la superficie triangular mostrado respecto a su base.

h-y dyh y

b

Desarrollo:

Momento de inercia respecto a su base:

Hallamos x con semejanza de tringulos:

Problema 1. Determinar el momento de inercia del rea sombreada con respecto al eje y.Y=kx1/2

yb

dxxa

Desarrollo:

Integramos desde 0 hasta a

Adems:

Remplazamos:

La aplicacin del procedimiento de reas compuestas se ilustra en el siguiente ejemploProblema de reas compuestas1. Determinar el momento de inercia del rea sombreada con respecto al eje x.y 10mm

I

40mm10mmII x

40mm III80mm

10mm