Momento de inerciaElmomento de inercia(smboloI) es una medida de lainerciarotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de losejes principalesde inercia, la inercia rotacional puede ser representada como unamagnitud escalarllamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamadotensor de inercia. La descripcin tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientosgiroscpicos.El momento de inercia refleja la distribucin de masa de un cuerpo o de un sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.El momento de inercia desempea un papel anlogo al de lamasa inercialen el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar delmomento angularlongitudinal de un slido rgido.

Ecuaciones del momento de inerciaDado un sistema de partculas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partculas por el cuadrado de la distanciarde cada partcula a dicho eje. Matemticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a travs de unaintegral triple.Este concepto desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin. As, por ejemplo, lasegunda ley de Newton:tiene como equivalente para la rotacin:

donde: es elmomentoaplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacin y es laaceleracin angular.Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.Laenerga cinticade un cuerpo en movimiento con velocidadves, mientras que la energa cintica de un cuerpo en rotacin con velocidad angular es, dondees el momento de inercia con respecto al eje de rotacin.La conservacin de lacantidad de movimientoo momento lineal tiene por equivalente la conservacin delmomento angular:

Elvectormomento angular, en general, no tiene la misma direccin que el vectorvelocidad angular. Ambos vectores tienen la misma direccin si el eje de giro es uneje principal de inercia. Cuando un eje es de simetra entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido tambin a lo largo de ese eje.[editar]Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelosArtculo principal:Teorema de Steiner.El teorema de Steiner (denominado en honor deJakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa ms el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

donde:Iejees el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa;I(CM)ejees el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa;M(Masa Total) yh(Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).La demostracin de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposicin de coordenadas relativa al centro de masasCinmediata:

donde el segundo trmino es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definicin de centro de masa.El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa slo depende de la geometra del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que est inmerso dicho cuerpo.[editar]Pasos para calcular el momento de inercia de reas compuestas1. Dividir el rea compuesta en varias partes que sean simples2. Determinar las reas de las partes, designarlas por.3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partescon respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdmde toda la figura formada por todas las reas parciales anteriores.4. Calcular las distancias de los cdm de cada rea respecto al cdm total de la figura.5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que sern paralelos axey). Designar como:e, para el reai-sima.6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:y7. Calcular los momentos de inercia del rea compuesta a partir de los momentos anteriores:e[editar]Tensor de inercia de un slido rgidoArtculo principal:Tensor de inercia.El tensor de inercia de un slido rgido, es untensorsimtrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simtrica, cuyas componentes tensoriales son:

Dondeson las coordenadas cartesianas rectangulares., es el smbolo de Kronecker odelta de Kroneckerdefinida como:Los elementosreciben el nombre de momento de inercia respecto al eje, y son las componentes diagonales del tensor. Las componentes del tensor de inercia en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son:

Y los tresproductos de inerciasegn los mismos ejes:

Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definicin del tensor de momento de inercia haciendo:.El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinacin lineal anterior de las anteriores magnitudes:

Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ yes el vector paralelo al eje segn el cual se pretende encontrar el momento de inercia.