MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO.- Una viga restringida en sus extremos de modo que no se produzca rotación en ellos por las cargas, se llama una viga empotrada; los momentos en los extremos se llaman momentos de empotramiento. En realidad sería muy difícil construir una viga con extremos que sean realmente empotrados ó fijos. No obstante, el concepto de extremos empotrados es útil para determinar los momentos en vigas y marcos rígidos continuos. Los momentos de empotramiento se pueden expresar como el producto de un coeficiente WL, en donde W es la carga total sobre el claro L.

El coeficiente es independiente de las propiedades de los otros elementos de la estructura. Por tanto, cualquier elemento de una viga o marco continuo se puede aislar del resto de la estructura y calcular sus momentos de empotramiento. Después para encontrar los momentos reales en la viga, se aplica una corrección a cada momento de empotramiento.

Los momentos de empotramiento se pueden determinar en forma conveniente por el método del área de momentos ó por el método de la viga conjugada (Sección 1-33)

Además, las curvas de la Fig. 1-70, permiten calcular con facilidad los momentos de empotramiento para cualquier tipo de carga de una viga prismática. (Vigas con momento constante de inercia)

RIGIDEZ EN EL EMPOTRAMIENTO: A fin de corregir un momento de empotramiento para obtener el momento de extremo en las condiciones reales de restricción de extremo en una estructura continua, se debe permitir que gire el extremo del elemento. La cantidad que gire dependerá de su rigidez o resistencia a la rotación.

La rigidez en el extremo de una viga se define cono el momento requerido para producir una rotación unitaria en el extremo en el cual se aplica, mientras el otro extremo esta fijo en contra de la rotación, se representa por KF

R.

Para vigas prismáticas doblemente empotradas, la rigidez para ambos extremos, es igual a 4EI/L, donde: E es el módulo de elasticidad, I el momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje centroidal y L el claro (tomado por lo general de centro a centro de los apoyos) Cuando no se necesita calcular las deformaciones, nada más se necesita conocer los valores de KF para cada elemento por tanto, sólo se tiene que calcular la relación entre I y L. (Para vigas prismáticas, con un extremo empotrado y el opuesto libre, la rigidez de extremo es de 3 EI/L, o sea, ¾ partes de la rigidez con el extremo opuesto empotrado)

FACTOR DE TRANSPORTE PARA EXTREMOS EMPOTRADOS.- Cuando se aplica un momento en un extremo de una viga continua se induce un momento resistente en el extremo opuesto, sí es que ese extremo esta restringido contra la rotación por otras vigas ó columnas. La relación entre el momento resistente en un extremo empotrado y el momento aplicado, se llama factor CF de transporte para extremos empotrados.

Para vigas prismáticas, el factor de transporte para extremos empotrado hacia cualquier extremo es de 0.5. Se debe tener en cuenta que el momento aplicado y el momento resistente tienen el mismo signo, es decir, si el momento aplicado actúa en el sentido de las manecillas del reloj, el momento transportado también actúa en ese sentido.

Para barras empotrada-apoyadas, el factor de transporte es cero. F =0. Para un voladizo, el factor de transporte es cero.

ESFUERZOS EN MIEMBROS A FLEXION

En el análisis de vigas, la suposición general es que la viga está en posición horizontal y lleva cargas verticales tendidas en un eje de simetría de la sección transversal de la viga.

El Cortante Vertical V, en una sección dada, de la viga es la suma algebraica de todas las fuerzas verticales a la izquierda de la sección. La dirección de la fuerza se toma como positiva, cuando esta apunta hacia arriba y negativa cuando apunta hacia abajo. En general, las pendientes para los diagramas de cortante están dados por dV/dx = -w, donde w =carga unitaria en la sección dada; x = distancia del extremo izquierdo a la sección dada.

El momento flexionante M, en una sección dada de la viga es la suma algebraica de los momentos de todos los momentos de todas las fuerzas a la izquierda de la sección con respecto a esa sección. Un momento se considera positivo cuando gira en el sentido de las manecillas del reloj. En general, los diagramas de momentos se encuentran aplicando la ecuación de la pendiente dM/dx = V, donde V = denota el cortante en la sección dada. De aquí que este cortante varíe linealmente entre cada una de las secciones significativas de la viga. El diagrama de momentos flexionantes comprende una serie de arcos parabólicos.

Los diagramas de momentos también se pueden realizar por medio de la aplicación del teorema del momento, el cual dice que si no existe un momento externamente aplicado en el intervalo de la viga, la diferencia entre el momento flexionante es M2 – M1 = ∫1

2 V dx = al área bajo el diagrama de cortantes a través del intervalo.

Sí los limites proporcionales del material de la viga no se exceden, el esfuerzo flexionante (también llamado flexionado, fibra o esfuerzo), a una sección varia linealmente a través de lo largo de la sección, siendo “cero” en el eje neutro. Un momento flexionante positivo induce esfuerzos de compresión en las fibras que se encuentran por encima del eje neutro y esfuerzos de tensión en las fibras que se encuentran por debajo de dicho eje. Consecuentemente la curva elástica de la viga es cóncava hacia arriba donde los momentos de flexión son positivos.

PROCEDIMIENTO GENERAL DE CÁLCULO POR EL MÉTODO DE CROSS PARA UNA ESTRUCTURA.

1. Calcular las rigideces y factores de transporte para cada uno de los elementos (piezas que intervienen en la estructura).

a. Sí estas son rectas y de sección constante:

i. K = 4EI/L Rigidez para barra doblemente empotrada.ii. Factor de Transporte = 0.5

b. En cambio, sí son barras empotradas en un extremo y apoyadas en el otro extremo:

i. K = 3EI/L Rigidez para barra empotrada-apoyada.ii. Factor de Transporte = 0.

2. Sí son elementos acartelados ó curvas o ambos casos, habrá que recurrir a tablas y gráficas especiales, para conocer su rigidez y su factor de transporte.

3. Calcular los coeficientes de distribución en cada nudo de la estructura y por cada elemento que concurre a él.

4. Suponer un empotramiento artificial en cada nudo de la estructura que se calcula excepto articulaciones extremas.

5. Colocar en cada tramo las cargas correspondientes que lo soliciten.

6. Calcular los momentos de empotramiento perfectos que ocasionan las cargas anteriores en su tramo respectivo, para lo cual se recurre con comodidad al empleo de formularios. En todo caso, dichos momentos irán con el signo de la convención de nudo, mismo que se empleará en todo el proceso de distribución.

7. Saltar cada uno de los nudos de la estructura, permitiendo que tomen la rotación a momentos no equilibrados y volver a sujetarlos inmediatamente después. El momento de desequilibrio habrá quedado distribuido entre los elementos que se reúnen en el nudo, en proporción a sus factores de distribución, con lo anterior se completa el primer ciclo de distribución.

8. Cada uno de los momentos distribuidos en el paso anterior, produce en el empotramiento de enfrente un momento de transporte, cuyo valor es igual al producto del momento distribuido por el factor de transporte.

9. Los momentos transportados a un nudo nuevamente empotrado por todos los elementos concurrentes, obligan a producir un momento no equilibrado que deberá distribuirse en forma análoga como se dijo en el paso 7, completándose así el segundo ciclo de distribución.

10. El transporte de los momentos distribuidos y la distribución consiguiente el momento no equilibrado que resulta de una operación que deberá repetirse (3, 4, 5, etc. Ciclos), hasta que los momentos de distribución sean despreciables o pequeños en valor absoluto, a juicio del calculista y dependiendo del grado de aproximación que se requieran, determinándose siempre después de una distribución, ya que entonces todos los nudos estarán en equilibrio.

11. En cada extremo de los elementos de la estructura el momento final de continuidad ó hiperestático será igual a la suma algebraica.

12. Por separado se calculan los momentos isostáticos para cada tramo, suponiéndolos libremente apoyados en sus extremos, y con las cargas que lo solicitan.

13. Se traza el diagrama de momentos finales, que será la superposición de los diagramas de momentos isostaticos e hiperestaticos. Habrá que tener presente que este diagrama final debe hacerse con la convención de signos del elemento.

14. Se procede finalmente a calcular las fuerzas cortantes y las fuerzas normales, para lo cual conviene generalmente, partir ó dividir la estructura en tantas partes iguales como elementos tenga, haciendo de cada uno de ellos un diagrama de cuerpo libre, aplicando las leyes de la estática, resultará fácil encontrar los valores de las fuerzas cortantes y normales, así como también sus reacciones.

NOTAS COMPLEMENTARIAS.

Deberá tenerse presente:

Que una articulación no puede absorber momentos, ya que su posibilidad de rotación es ilimitada, por lo que el momento en un apoyo articulado ó libre debe ser cero.

Que en un apoyo extremo con el elemento prolongado en voladizo (Cantiliver), no puede absorber otro momento que no sea el del empotramiento de la ménsula, ya que su posibilidad de rotación se supone también ilimitada.

Que un extremo empotrado deberá de absorber todos los momentos que a él lleguen, ya que su posibilidad de rotación es nula.

Que en un nudo cualquiera en una estructura continua, girará en el mismo sentido que el momento no equilibrado, lo cual producirá un incremento de momento, en los elementos que se oponen a la rotación y una disminución de momentos en los elementos que favorecen la rotación.

Analizando ahora el marco, por el método de Cross se tiene:

1.- MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

2.- CALCULO DE RIGIDECES

NOTA: Una articulación, no puede absorber momentos, ya que su posibilidad de rotación es ilimitada, por lo que el momento en un apoyo articulado ó libre debe de ser cero. Siempre que se tenga una articulación la rigidez es cero.

Como la sección de la viga es de 20 cm X 40 cm, se tiene: b= 0.20; h = 0.40

I = [(b)(h)³]/12 = [(20)(40)³]/12 = [(20)(64000)]/12 = 106,667

Kab =0.kba = (0.75)(I/L) = (0.75)(106,667 cm4/500 cm) = 160 cm³

.kbc = kcb = I/L = (106,667)/(115) = 927.15 cm³

Ahora, para calcular la rigidez en la columna: kbd = (I)/(L); pero I = [(b)(h)³]/(12)

Como la columna es cuadrada ( 30 X 30 ), no se tiene problema en cuanto a cuál es “b” y cuál es “h”, pero se debe de tener cuidado, cuando las columnas no son cuadradas, el peralte “h”, siempre será el lado mayor.

kbd = (I)/(L); pero I = [(b)(h)³]/(12) = [(30)(30)³]/(12) = 67,500 cm4

kbd = (I)/(L) = (67,500)/(250) = 270 cm³

.kbd = kce = kec = kdb= 270 cm³

3.- FACTORES DE DISTRIBUCIÓN.- Estos representan la rigidez proporcional del elemento en cuestión, con la rigidez del nudo.

FD = - (ki)/(Σki)

Para ab se tiene que es una articulación: Fab = 1 (para articulaciones)

Fba = (kba)/(kba+kbc+kbd) = (160)/(160+927.5+270) = 160/1357.5= 0.12

Fbc = (kbc)/(kba+kbc+kbd) = (927.5)/(160+927.5+270) = 927.5/1357.5= 0.68

Fbd = (kbd)/(kba+kbc+kbd) = (270)/(160+927.5+270) = 270/1357.5= 0.20

ΣFd = 1 0.12+0.68+0.20 = 1

1 = 1 Por lo tanto está bien el cálculo

Ahora calculando los factores para las columnas, se tiene:

Fcb = (kcb)/(kcb+kce) = (927.5)/(927.5+270) = 0.77

Fce = (kce)/(kcb+kce) = (270)/(927.5+270) = 0.23

ΣFd = 1 0.77 + 0.23 = 1 ---------------------OK

Fdb = Fec = 0 (Siempre que se tenga empotramiento el factor valdrá 0)

Ahora, se realizará el cuadro operativo de los distintos factores y momentos.