Momento AngularMomento Angular de uma PARTรCULA ๐=๐ซร๐ฉ= I(๐ซร๐ฏ) ๐ = I ๐ซ...
Transcript of Momento AngularMomento Angular de uma PARTรCULA ๐=๐ซร๐ฉ= I(๐ซร๐ฏ) ๐ = I ๐ซ...
Momento Angular
Os slides marcados (*) nรฃo serรฃo cobrados.
Sรฃo derivaรงรตes matemรกticas para alunos interessados.
https://www.youtube.com/watch?v=PwE3eiREYA4&t=101s
https://www.youtube.com/watch?v=-Cc-jGnIwCM
Momento Angular de uma PARTรCULA
๐ = ๐ซ ร ๐ฉ = ๐(๐ซ ร ๐ฏ)
๐๐
๐๐ก= ๐
๐๐ซ
๐๐กร ๐ฏ + ๐ซ ร
๐๐ฏ
๐๐ก
= ๐ซ ร ๐
Momento angular da partรญcula em
relaรงรฃo ร origem escolhida
TORQUE da forรงa ๐ em relaรงรฃo ร
origem escolhida
๐๐
๐๐ก๐
Sobre |๐ ร ๐|
๐๐
๐
๐โฅ
๐๐ ๐
๐โฅ
๐ ร ๐ = ๐๐ sin ๐ = ๐๐โฅ = ๐โฅ๐
๐
๐ซ
๐ฏ
๐ฏโฒ๐ฃโฅ
๐
๐ฏ
๐ฏโฒ๐ฃโฅ
๐
๐ฏ๐ = ๐
๐ รฉ ortogonal a ๐ซ e ๐ฏ
๐ = ๐๐๐ฃโฅ
๐
sentido em que ๐ซ gira em torno de ๐
Ilustraรงรฃo 1: Movimento Linear Uniforme
๐ซ๐ฏ
๐
b๐ซโฒ
๐ค๐โ
๐ = 0 (๐๐๐๐ ๐ก)
๐โฒ = โ ๐๐ฃ๐ ๐ค (๐๐๐๐ ๐ก)
๐ซโฒ(๐ก1)
๐ซโฒ(๐ก2)
๐ซ(๐ก1)
๐ซ(๐ก2)๐
Ilustraรงรฃo 2: Movimento Circular Uniforme
๐ฏ(๐ก1)
๐ฏ(๐ก2)
๐ ๐ก1 = ๐ ๐ก2 = โ ๐๐ ๐ฃ ๐ค
๐โฒ ๐ก1 โ ๐โฒ ๐ก2
๐โ
๐ค
๐
โ๐
๐ 2
๐ 1
Momento Angular de um SISTEMA DE PARTรCULAS
๐
๐๐๐
๐๐ก= (๐๐)๐๐ฅ๐ก
๐๐ฅ1๐๐ก
= ๐ซ1 ร (๐ 1 + ๐)
๐๐ฅ2๐๐ก
= ๐ซ2 ร (๐ 2 โ ๐)
๐(๐ฅ1 + ๐ฅ2)
๐๐ก= ๐ซ1 ร ๐ 1 + ๐ซ2 ร ๐ 2
๐ซ1 โ ๐ซ2 ร ๐ = 0
๐ซ1
๐ซ2
(๐ซ1โ๐ซ2)
๐๐๐
๐๐ก= (๐๐)๐๐ฅ๐ก
Apenas forรงas EXTERNAS sรฃo capazes de alterar o momento angular de um sistema
de partรญculas
Momento Angular vs. Momento Linear
๐๐๐
๐๐ก= (๐๐)๐๐ฅ๐ก
๐๐
๐๐ก= ๐ ๐๐ฅ๐ก
sem atrito
Como fazer para se deslocar?
Como fazer para girar?
https://www.youtube.com/watch?v=-Cc-jGnIwCM
O vetor ๐ e o momento de inรฉrcia ๐ผ
๐๐
๐
๐ค
๐ซ๐
๐๐ = ๐๐๐(๐ซ๐ ร ๐ฏ๐)
๐ ร ๐ โ ๐ = (๐ ร ๐) โ ๐
= ๐๐๐( ๐ค ร ๐ซ๐) โ ๐ฏ๐
๐
= ๐๐๐๐๐(๐๐๐) = ๐ผ0๐
๐ฏ๐
CORPO RรGIDO (direรงรฃo de rotaรงรฃo fixa)
๐๐๐(๐ซ๐ ร ๐ฏ๐) โ ๐ค๐๐ โ ๐ค =
No caso de direรงรฃo de rotaรงรฃo ao longo de um eixo de simetria...
๐๐
๐๐ = ๐ผ๐๐ ๐ค
๐ค
๐ ๐
๐๐๐
๐๐ก= (๐๐)๐๐ฅ๐ก
nos problemas de EIXO FIXO
๐ผ0๐ผ = ๐ ๐นโฅ
๐ โฅ
๐
๐ โฅ (inรบtil)
(produz rotaรงรฃo)
๐ผ0๐ผ = ๐ ๐นโฅ
๐๐ซ
๐ค ๐๐๐
๐๐ก= ๐ซ ร ๐
๐
๐(๐๐โ ๐ค)
๐๐ก= (๐ซ ร ๐ ) โ ๐ค
๐(๐ผ0๐)
๐๐ก= ๐ ๐นโฅ
๐ผ
= ( ๐ค ร ๐ซ) โ ๐
(*)
Um resultado รบtil:
๐๐ = ๐ ๐ ร ๐ + ๐๐ถ
๐
๐๐ = ๐ ๐ ร ๐ + ๐๐ถ
๐๐ซ๐
๐ฏ๐
๐ถ
๐๐
โน ๐๐๐๐ฏ๐ = 0
๐๐๐๐ซ๐ = 0
Do ponto de vista do CM...
๐๐ =
๐
๐๐(๐ + ๐ซ๐) ร (๐ + ๐ฏ๐)
= ๐ ๐ ร ๐ +
๐
๐๐(๐ซ๐ ร ๐ฏ๐)
๐๐ถ
(*)
Ilustraรงรฃo-1
๐2
๐1๐ฏ2๐ซ2
๐1 = 2 kg
๐ซ1 = โ1, 0 m
๐ฏ1 = 0, โ2 m/s
๐2 = 1 kg
๐ซ2 = +1, 0 m
๐ฏ2 = 0, +1 m/s
๐๐ = 5 kg m2/s ๐ค
๐(๐ ร ๐) = 1 kg m2/s ๐ค
๐ข
๐ฃ
๐๐ฏ1
๐ซ1
๐
๐ฅ๐1 = 4 kg m2/s ๐ค ๐ฅ๐2 = 1 kg m2/s ๐ค
๐ = โ13, 0 m
๐ = 0, โ1 m/s
Do ponto de vista do CM ...
๐ฏ1
๐ฏ2
๐2
๐ซ2๐1 ๐ซ1
๐ซ1 = ๐ซ1 โ ๐
= 0, โ1 m/s
= +43, 0 m
= 0, +2 m/s
๐๐ถ = 4 kg m2/s ๐ค
= โ23, 0 m
๐ซ2 = ๐ซ2 โ ๐
๐ฏ1 = ๐ฏ1 โ ๐ ๐ฏ2 = ๐ฏ2 โ ๐ ๐ข
๐ฃ
๐ถ
Ilustraรงรฃo-2 (girando um disco girante)
๐
ฮฉ ๐๐ โ ๐ค = ๐ ๐ ร ๐ โ ๐ค +๐๐2
2๐
๐
๐
๐ค
๐ ร ๐ โ ๐ค = ( ๐ค ร ๐) โ ๐
๐๐ โ ๐ณ = ๐๐ท2ฮฉ +๐๐2
2๐
๐ท
= ๐ท2๐บ
๐ = ๐ทฮฉ๐
A equaรงรฃo do ๐๐ถ
Observaรงรฃo Chave:
๐ ๐๐ ร ๐ + ๐๐ถ
๐๐ก
๐๐๐
๐๐ก= (๐๐)๐๐ฅ๐ก
= ๐(๐ + ๐ซ๐) ร ๐ ๐
๐๐ฅ๐ก
๐(๐๐ ร ๐)
๐๐ก= ๐
๐๐
๐๐กร ๐ + ๐ ร
๐๐
๐๐ก= ๐ ร ๐ ๐๐ฅ๐ก
๐๐ซ๐
๐ถ
๐๐ ๐๐
๐ ๐๐๐ฅ๐ก๐
= ๐ ร ๐ ๐๐ฅ๐ก + (๐๐ถ)๐๐ฅ๐ก
(*)
๐๐๐
๐๐ก= (๐๐)๐๐ฅ๐ก
๐๐๐ถ
๐๐ก= (๐๐ถ)๐๐ฅ๐ก
Vรกlido mesmo que ๐ถ nรฃo seja inercial, como acontece geralmente
๐๐ ๐๐
๐๐ = ๐ ๐๐ฅ๐ก
๐ผ๐ถ๐ผ = (๐๐ถ)๐๐ฅ๐ก
๐๐๐ถ
๐๐ก= (๐๐ถ)๐๐ฅ๐ก
nos problemas de ROLAMENTO
๐ซ๐ถ
๐ผ๐ถ๐ผ = ๐ ๐ถ๐นโฅ๐๐ฅ๐ก
๐ โฅ
๐ ๐ถ
๐ โฅ (inรบtil)
(produz rotaรงรฃo)๐ถ
๐ค ๐๐๐ถ
๐๐ก= ๐ซ๐ถ ร ๐
๐(๐๐ถโ ๐ค)
๐๐ก= (๐ซ๐ถ ร ๐ ) โ ๐ค
๐(๐ผ๐ถ๐)
๐๐ก= ๐ ๐ถ๐นโฅ
๐
๐ผ
= ( ๐ค ร ๐ซ๐ถ) โ ๐
(*)
As equaรงรตes para a Rotaรงรฃomais geral possรญvel do
CORPO RรGIDO
๐๐๐
๐๐ก= (๐๐)๐๐ฅ๐ก
๐๐๐ถ
๐๐ก= (๐๐ถ)๐๐ฅ๐ก
๐๐ = ๐ ๐๐ฅ๐ก
Use quando Hร um ponto fixo
Use quando NรO Hร um ponto fixo
APLICAรรES
Conservaรงรฃo de Momento Angular
1- Patinadora girando
๐
๐๐
๐
๐โฒ
๐๐
๐
๐ผ๐๐ = ๐ผ๐โฒ ๐โฒ
๐พ aumentou?
12๐ผ๐โฒ ๐โฒ2 โ 1
2๐ผ๐๐2
= โ๐๐โโ + ๐๐๐๐ก
๐ค
๐ ๐ผ๐๐
๐๐ก= ๐ ๐นโฅ
๐๐ฅ๐ก
Peso e normal NรO exercem torque em relaรงรฃo ao eixo fixo
โโ
๐ ๐ = 12๐ผ๐๐2 ๐ผ๐
๐ผ๐โฒ โ 1
https://www.youtube.com/watch?v=PwE3eiREYA4&t=101s
https://www.youtube.com/watch?v=0RVyhd3E9hY
๐ผ๐๐๐๐๐ > ๐ผ๐ ๐๐ก > ๐ผ๐ข๐๐๐๐โ๐ก
๐๐๐๐๐๐ < ๐๐ ๐๐ก < ๐๐ข๐๐๐๐โ๐ก
https://www.youtube.com/watch?v=5cRb0xvPJ2M
2-Cadeira Giratรณria + Disco
๐
๐ถ
๐ + ๐ ๐
๐ ๐
๐๐๐
๐๐ก= (๐๐)๐๐ฅ๐ก
0
๐
= ๐๐2๐/2 ๐ข
๐ค ๐ฃ
๐ข
๐๐ โ ๐ค = 0
๐๐ = ๐ ๐ ร ๐ + ๐๐ถ
1. A componente de (๐๐)๐๐ฅ๐ก (peso e eixo) na
direรงรฃo ๐ค รฉ zero.
2. O peso e o eixo (sem atrito) tรชm torque em relaรงรฃo a ๐, mas nรฃo na direรงรฃo do eixo. Esses torques tendem a tombar/destombar o eixo, mas nรฃo o fazem girar.
3. ๐๐ = ๐ ๐ ร ๐ + (๐๐ถ)๐๐๐ ๐๐
๐๐๐ ๐
1. Agora o disco preto e a cadeira executam tambรฉm um MCU de raio ๐ e velocidade angular ฮฉ
2. (๐๐โฒ )๐๐ ๐โ ๐ค = ๐ ๐๐๐ ๐ ร ๐๐๐ ๐ โ ๐ค + (๐๐ถ)๐๐ ๐โ ๐ค
3. (๐๐โฒ )๐๐๐โ ๐ค = โ๐ผ๐๐๐ฮฉ
0 = โ๐ผฮฉ โ ๐๐ 2 ฮฉ + ๐๐2/2 ๐
ฮฉ =๐๐2/2
๐ผ + ๐๐ 2๐
๐
๐ค ๐ฃ
๐ข
= โ๐๐ 2ฮฉ + ๐๐2/2 ๐
Conservaรงรฃo de ๐๐ โ ๐ค:
๐
ฮฉ
๐
๐๐๐ ๐
3-Massa jogada na porta
๐ฏ0
๐
๐
๐ค
๐
๐
๐๐ โ ๐ค = ๐๐๐ฃ0 ๐๐โฒ โ ๐ค = ๐๐ ๐๐ + ๐ผ๐๐๐
๐๐๐
๐๐ก= (๐๐)๐๐ฅ๐ก
Eixo e peso nรฃo exercem
torque na direรงรฃo ๐ค
๐ =๐๐๐ฃ0
๐๐2 + ๐ผ๐๐
Em detalhe
๐
๐
๐ฏ0 ๐ค ๐
๐ ๐ ร ๐ฏ0 โ ๐ค = ๐ ๐ค ร ๐ โ ๐ฏ0
= ๐๐๐ฃ0
E se a massa nรฃo grudar na porta?
๐
๐โฒ
๐ฏ๐
๐๐โฒ โ ๐ค = โ๐๐๐ฃ + ๐ผ๐๐๐โฒ๐โฒ =
๐๐(๐ฃ0 + ๐ฃ)
๐ผ๐๐๐ =
๐๐๐ฃ0
๐๐2 + ๐ผ๐๐
gruda nรฃo gruda
4-Bola solta no carrossel๐๐๐
๐๐ก= (๐๐)๐๐ฅ๐ก
๐โฒ
๐
๐
๐ Energia รฉ conservada?
๐ค๐
Eixo e pesos nรฃo exercem
torque na direรงรฃo ๐ค๐๐ฏ
๐๐ โ ๐ค = ๐ผ๐๐๐ ๐ ๐๐โฒ โ ๐ค = (๐ผ๐๐๐ + ๐๐2)๐โฒ