Modulo III(175-176-177)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

MATEMÁTICA I (175, 176, 177)

MÓDULO 111

Sucesiones, Xocion es G/emenia/es de Gimiies

Y Goniinuidad de S n c i o n e s de 3 en 9

ESTUDIOS GENERALES

Uiiiversidad Nacional Abierta Apartado Postal N" 2096 Caracas 1.010 A, Carmelitas, Veiiezuela

Copyriglit O UNA 1998

Todos los dereclios reservados. Prohibida la repioduccióii total o parcial por cualquier inedio gráfico, audiovisual o coinputarizado, si11 previa autorizacióti escrita.

CAV QA37.2 Matemútica I: Sucesione.~. Nociones elernenta 'es de limites M35 y continuidad defunciones de R en R / Ut iversidad v. 3 Nacional Abierta; contenido por: Runión ( 'hacón y 1998 Sergio Rivas. - - Caracas: UNA, 1998.

190p. : il. ; 29 cm. "Estudios ~enei.ales".

1. Matenzdtica. 2. Educación a distancia - - A4 jdulos de es'tudio. 3. Chacón. Ramón. 4. i?i.vas, Sergio. 1 Uuiversidad Nacional Abierta. II. Tilulo

ISBN 980-236-583-3 (Vol 3)

Registro de Publicaciones de la Universidad Nacional Abierta

No UNA-EG-98-0462

El texto presente inicia una nueva fase dentro de los estudios de las asignaturas de matemática correspondientes al CICLO DE ESTUDIOS GENERALES de la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA, el cual está conformado, en lo concerniente a matemática, por dos asignaturas: Matemática 1 y Matemática 11. El texto que aquí presentamos se refiere a MATEMÁTICA 1(175,176,177).

El contenido inicial del curso de Matemática 1 y los textos precedentes, con los que se inauguraron los estudios de dicha asignatura en la Universidad Nacional Abierta, se remontan al año 1980, data en que la naciente universidad comenzaba a recibir su primer contingente de estudiantes en el Ciclo de Estudios Gene- rales. Estos estudiantes se diversificaron hacia las distintas carreras ofrecidas por la Universidad y sus estudios se desarrollaron mediante la modalidad de EDUCACION A DISTANCIA. Para la época era una modalidad de estudio innovadora en Venezuela, aunque otras instituciones universitarias ya tenían ciertos estudios "super- visados", sin carácter presencial. El inicio de la Universidad, totalmente centrada en la educación a distancia, marcó hito en la educación superiorvenezolana.

Es razonable pensar que, frente a un ensayo tan novedoso para ese entonces, parte de los disefios curriculares y del material instruccional con el que se contaba presentaba algunas carencias entre ellas las de tipo metodológico, puesto que el material instruccional tuvo que adaptarse a esa forma innovadora de en- señanza y el país no tenia la experiencia suficiente en ese campo educativo.

El primer texto del curso de Matemática 1 estubo constituido por dos tomos conformados por nueve módulos de instrucción. Los primeros cambios de este texto se realizaron en el primer año de su implantación cuando se elaboró un folleto complementario donde se incorporaron un conjunto de problemas de apopyo al estudiante y las distintas fe de erratas de los módulos de instrucción. En 1981 se fusionaron en un único tomo los dos volúmenes existentes, incorporando los ejercicios del folleto complementario y eliminando el último módulo del texto, relacionado con estructuras algebraicas. posteriormente, en el afio 1985 se agregaron mas de 200 ejercicios, con el fin de reforzar y complementar los contenidos del curso y finalmente en 1986 se elaboró otra edición incluyendo las respuestas detalladas de las distintas autoevaluaciones, explicando el por qué de cada alternativa correcta de respuesta. En esta distintas ediciones nose modificaron los contenidos programáticos (salvo la exclusión del último módulo del primer texto) ni el diseño del texto, tanto en su diagramación como en el diseño de instrucción, el cual ha permanecido hasta el presente en sus ediciones sucecivas.

Pasados varios años de utilización de ese material instruccional, muchos miembros de la comunidad universitaria de la Universidad Nacional Abierta, entre ellos, personal académico del área de Matemática, autoridades universitarias, asesores de Matemática de los centros locales, personal docente de otras áreas académicas de la Universidad y estudiantes, consideraban necesario hacer una revisión de los contenidos de matemática impartidos en el ciclo de Estudios Generales e igualmente se hacían señalamientos en torno a aspectos metodológicos.

Fue así que, hacia mediados de 1993, las autoridades de la Universidad decidieron realizar una renova- ción de varios textos en respuesta a las inquietudes antes mencionadas y, en consecuencia, se decidió llevar adelante un proyecto para la elaboración de nuevos materiales instruccionales de Matemática 1 y Matemática 11, entre los q;e seencuentran la producción de módulos, audiocassettes (con guia de actividades) y videocassettes de estas asignaturas.

Para emprender esta labor era imperativo detectar previamente un conjunto de necesidades vinculadas con los cambios que luego fueron propuestos, concernientes a las mencionadas asignaturas. En el estudio que se llevó a cabo, a través de encuestas, entrevistas grabadas y diversas discusiones, participaron los miembros del área de Matemática, asesores de matemática y estudiantes de varios centros locales, algunos miembros de otras áreas académicas de la Universidad y docentes de otras instituciones relacionados con las carreras de Preescolar y Dificultades de Aprendizaje.

Producto de la información recabada se concluyó que los materiales ccionales de Matemática 1 y Matemática Íi presentaban diversas deficiencias; entre otras: de los contenidos, aspectos metodológicos, utilización escasa de los asignaturas. Por esto era necesar'o elaborar nuevos materiales nstrucconaies que se superar las failas encontradas. con un d:serio oisrinto v además. actua zar los contenidos oues tenían más de diez arios de vigencia. 1

Sobre la base de ciertos materiales instruccionales quehe es últimos arios, de trabajos acerca de la ensefianza de la matemática y de las diversas discu docente del área de Matemática y de otras instituciones, y de diagramación de libros, se generó un nuevo modelo para escribir los te escritas por mi anteriormente. Su seguimiento posterior, por docent decidir si nos encontramos en un camino adecuado y cuáles serán lo

Considero que los nuevos libros para ensefiar matemática, e universitarios, deben tener ciertas características que rompan con generalizado, de escribir los libros de matemática, en donde se sigu la secuencia siguiente: Concepto (Definición)-Teorema o Proposició

Con el objeto de innovar se plantea un diseilo divergente y u lo tradicional con~varios de los "procesos"que son esenciales par de los estudiantes, entre los que destacan: observar, comparar generalizar.

Estimoque el modelo para escribir los libros, lo que es Módulos que integran este curso, se puede lograr incorporando I

Cuadros resúmenes de repaso.

El diseflo de las páginas con un ángulo recto que p para recordar tópicos conocidos por los estudiant que se está estudiando, evitando su incorporación no distraer lo esencial y, en el margen inferior (pie sobre el tema estudiado, referencias bibliográficas.

Iconos colocados en el margen derecho. I Resaltar lo esencial. I Repetir, cuando sea necesario, contenidos ya desarrollados en mas anteriores con el fin de no distraer la atención de los estudiantes retrocediendo a unidade páginas anteriores.

* Incorporación de desplegados. I Mapas conceptuales. 1 Resolver y proponer e~erciciosque tengan una connotación histórica o el tipo"matemát1ca recreativa". 4 Graduación por habilidades y niveles de razonamiento de los ejer icios resueltos ypropuestos. Estos sehan clasificado en: ejemplos, ejercicios y problemas, si do necesario evitar el recar- go en los.eiemolos de tioo rutinario aue es una oráctica corriente # en la ensefianza de la mate- - mática en las &tapas anteriores a la educación u'niversitaria, lo qu entorpece y no permite a los estudiantes el desarrollo de las habilidades cognitivas correspondi t ntes a los niveles de razonamientos superiores. I Diagramación bifurcada cuando sea necesario, escribiendo en i os, tres o cuatro columnas, con el objeto de comparar y relacionar.

Además. se utiliza la tecnología actual de los procesadores de textos con el fin de lograr una diagramación "agradable" para la lectura del material escrito. Se ilustran, en la medida de lo posible, los conceptos, proposiciones y, en general, el contenido matemático con profusión de gráficos y diagramas y se hace uso intensivo de las calculadoras científicas.

El curso de Matemática I está compuesto de cuatro módulos de aprendizaje, tres de ellos son comunes y un cuarto diferenciado el cual está orientado a proporcionar recursos utilizados en situaciones relacionadas con los campos profesionales de las distintas carreras. Los tres módulos comunes son:

Módulo 1: Conjuntos numericos.

Módulo 11. Funciones y representaciones gráficas.

Módulo 111: Suces~ones. Nociones elementales de limites y continuidad de funciones de R en R.

Y los módulos diferenciados son:

Módulo IV Pensamiento matematico y modelando con matemática. (177) (Ingeniería de Sistemas, Ingeniería Industrial, Matemática y Educación Matemática)

Módulo IV Aplicaciones de las funciones a las ciencias administrativas. (176) (Administración y Contaduría)

Módulo IV Algunos tópicos de Geometría, Aritmética y Álgebra desarrollados en Preescolar (175) y en la primera y segunda etapas de la Educación Básica.

(Educación, menciones Dificultades de Aprendizaje y Preescolar).

La mayor parte de los dos primeros módulos comunes, así como algunos aspectos de sucesiones en el tercer Módulo y parte del contenido del Módulo IV para Educación (Dificultades de Aprendizaje y Preescolar), se refieren a contenidos programáticos estudiados en las etapas previas a la educación superior y, en consecuencia, ello establece el enlace necesario entre esas etapas previas y la educación superior, lo cual se hace más imprescindible en una educación a distancia. Estimamos que el estudio de estos módulos debe ser más rápido que el Módulo 111 y los módulos diferenciados, lo que reqiere de los estudiantes una mejor organización v distribución de su tiemoo de estudio. En cada uno de los módulos encuentras las "Orientaciones Generales" ; la "Presentación" que ie indican cómo estudiarlo y te presentan una panorámica del contenido del mismo.

Aqui tratamos de dar una mayor fundamentacion a aquellos contenidos que conoce el estudiante y resolver ciertos ejercicios y problemas de un nivel de razonamiento mayor que lo usualmente exigido en la educación secundaria.

En nombre del equipo que redactó las unidades de aprendizaje de los módulos de Matemática 1, de los docentes que validaron las distintas unidades y de los que procesaron el texto en su versión final, a quienes agradecemos portodo el esfuerzo realizado durante más de un aiío de trabajo, nos complacerá recibir comentarios y sugerencias de parte de los estudiantes y docentes que utilicen estos módulos pues esto nos permitirá hacer algunos cambios en una edición futura.

Mauricio Orellana Chacín

DEPENDENCIA DE LAS UNIDADES DE APRENDIZAJE Y MÓDULOS QUE INTEGRAN EL CURSO DE

MATEMÁTICA I (175, 176, 177)

1 UNIDAD 1 1 pm-,G',+,

Ingeniería, Matemática y Educación Matemitica

Admistraci6n y Contaduria

(175)

Dificultades de

NOTA: Las flechas que no tienen trazo continuo indican que solamente se utilizan algunos conceptos y resultados de la Unidad situada al inicio de la flecha.

lx

Para facilitarte el logro de los objetivos previstos en este Módulo que forma parte del curso de MATEMÁ- TlCA I(175, 176,177), nos permitimos indicarte algunas orientaciones que te ayudarán en el desarrollo de las actividades que el mismo prevé.

En primer lugar, lee la presentación o introducción delMódulo y su objetivo, que te proporcionan una panorámica global de lo que se ~ntenta logar.

Cada módulo se divide en Unidades de Aprendizaje y cada Unidad comprende, a su vez, diversos temas o experiencias de aprendizaje.

4 En segundo lugar, en el momento que inicies el estudio de cada Unidadde Aprendizaje, lee los objetivos y la presentación o introducción de la Unidaden cuestión, lo cual te sumi- nistra la información acerca de lo que se pretende alcanzar cuando finalices el estudio de dicha Unidad. También hacemos presentaciones o introducciones a distintos temas en que se divide la unidad de aprendizaje.

Las Unidades de Aprendizaje se dividen en temas que se numeran con dos digitos. Por ejemplo: 4.5 indica el quinto tema de la unidad 4. También a la presentación se le asigna un par de digitos.

Hay algunos temas que pueden dividirse en subtemas y en éstos la numeración tiene tres digitos. Por ejemplo: 4.2.1 indica el subtema uno, tema dos, unidad cuatro.

1 En el desarrollo del mddulo encuentras lo siguiente:

1 1. Objetivo del módulo

2. Objetivos de las unidades de aprendizaje l I 3. Presentación del mddulo y de las distintas unidades de aprend~zaje o de los temas. l 1

4. Ejemplos, ejercicios, problemas y ejerciciospropuestos, que te sirven para adquirir familiaridad con losconceptos y proposiciones que se dan.

Los ejercicios resueltos se clasifican en tres categorías según sus dificultades y niveles de razonamiento:

Ejemplos: Son ejercicios para adquirir habilidades de cálculos simples y aplicaciones de fórmulas; son de tipo operatorio. Con estos ejemplos se aclaran las definiciones o se aplican directamente fórmulas o proposic~ones y teoremas. ~ose jem~ los no deberían presentar dificultades de comprensión ni de resolu- ción a ningún estudiante.

Ejercicios: Incluyen desde cálculos no inmediatos, pasando por la interpretación de un hecho, hasta demostraciones breves. En estos ejercicios se requiere realizar algún razonamiento que combine varios pasos, esto es, donde hay una integración de conocimientos. Para la resolución de esos ejerciciosse precisa, frecuentemente, el haber desarrollado las habilidades de cálculo suministradas por los ejemplos.

Problemas: Corresponden al nivel de mayor exigencia matemática, pues hay más integración de conocimientos, con pasos y razonamientos más profundos. De estos hemos colocado solamente unos pocos

Ejercicios propuestos: La distinción de los tres niveles anterior s ejercicios propuestos se hace, respectivamente, sin colocar asteriscos, con un aster n dos asteriscos, en el margen derecho de la página donde figura el enucicado delrespec Las soluciones de los ejercicios propuestos se encuetran al hacer el esfuerzo de resolver los ejerciciospropuestos aun cuan la solu'ción en algunos de ellos. En las dificultades encontradas tos. con el objeto de resolverlos, se halla una forma deaprendiz a esos ejerciciospropuestos se presentarán en forma completa, respuesta, dependiendo de las dificultades de cada uno de ellos

Además de los ejerciciospropuestos, y a medida que desarrolla os los contenidos progra - máticos, formulamos preguntas o se propone alguna actividad, con r puestas breves, que tienden a esclarecer algún aspecto puntual deltópico que se está explicand . Estas preguntas y actividades se manifiestan utilizando expresiones como lassiguientes, e critas en letra cursiva: ¿Por qué?, Efectúa el cálculo, u otras análogas. En caso de que tengas d das o no sepas responderlas, debes consultar con el Asesor de Matemática del Cenbo Local dond estás inscrito. f Los niveles de razonamiento a que nos hemos referidos están expr en términos de la taxo- nomla utilizada por la OPSU-CENAMEC (Oficina de Planificación del Na- cional para el Mejoramiento de la Ensefianza de la Ciencia; 1984). I En el módulo encuentras autoevaluaciones que te sirven para verifi r el logro de los objetivos. Las soluciones figuran a continuación de las mismas.

Al finalizar el módulo hay:

Resumen del módulo, que destaca los aspectos más importantes de iarrollados en el mismo,

Nofas históricas al finalizar /a unidad (en caso de existir).

Glosario de términos, donde se dan los conceptos y enunciados imp antes que se presentaron en el módulo. t Bibliografía para el estudiante, con algunos comentarios, donde puede obtener información adicional, hacer más ejercicios resueltos y ejercicios propuestos, y studiar otros enfoques sobre algunos temas. t lndice analítico. I El diseño de las paginas donde se desarrollan los contenidos progra ticos comprende, ademas de estos contenidos, lo siguiente, t Notas de pie de página que complementan algún aspetp del tópico de arrollado, dan alguna informa- ción de tipo histórico o alguna resena bibliográfica. I Notas al margen derecho para llamar la atención sobre el tópico d arrollado o recordar alguna fórmula. oroposición o conceoto de los estudiados en unidades de ap 1 endizaje anteriores oen estu-

I dios pre;ios'a la Educación superior

Cuadros resúmenes de repaso acerca de contenidos que se neci sitan para el desarrollo de la un~dad y que debe conocer el estudiante por sus estudios previos

JCONOS S~panadotes Utilizados al margen o en el texto de los Módulos, indicando lo siguiente:

Hace hincapiéen la importancia del objetivo u objetivos del Módulo y Unidades, respectivamente.

Hay una definición, fórmula o enunciado importante al que es preciso prestar bastante 0 e atención puesto que serA de gran utilidad en el desarrollo siguiente,

Señala que hay alguna lectura.

3 Esto indica que se hacen preguntas importantes que se responderán a continuación

Se refiere a que hay ejerciciospmpuestos.

Se debe utilizar un videocassette como apoyo al tema desarrollado

m Se debe oír un audiocassette y trabajar con la guía de actividades como apoyo al tema desarrollado.

Se deben utilizar calculadoras cientificas.

A Indica inicio de solución de ejemplo, ejercicio o problema.

indica fin de enunciado de definición, de teorema o de proposición.

Indica fin de ejercicio resuelto (ejemplo, ejercicio, problema), de demostración de una proposición o fin de alguna observación o tópico desarrollado.

. ,t ,*,=,o,v, *,*,*,e,+,* Son separadores de items, de propiedades o de distintos enunciados.

Algunos simbolos utilizados en los contenidos del curso son los siguientes:

Aproximadamente igual a.

Pertenece a (símbolo de pertenencia).

No pertenece a.

Es subconjunto de o está incluido o contenido en (símbolo de inclusión de conjuntos)

Unión o reunión de conjuntos.

Intersección de conjuntos.

Conjunto vacio.

o Si y sólo si o si y solamente si (slmbolo de la doble implic

d Anguio.

h Anguio recto.

11 Es paralelo a (slmboio del paralelismo). I I Es perpendicular a.

n Arco de curva.

m Infinito.

A (Delta) Slmbolo de incremento.

JLotac~nes

Y Siinbo4os Notaciones de la teorla de conjuntos y otros utilizados en S contenidos. b

( : } Notación de conjunto.

x=f 1 Es un convenio de la notación x E {-1,1}.

a, b, c, E A ES un convenio de a E A, b E A y c E A.

AB Longuitud del segmento AB.

A-B Denota la diferencia del conjunto A con el conjunto B. I N,Z,Q,R Denotan, respectivamente, los conjuntos de los números aturales, los números enteros,

los números racionales y los números reales.

N* Denota el conjunto N-(O} (conjunto de los números natural S no nulos).

R* Denota el conjunto de los números reales positivos. l R' Denota el conjunto de los números reales negativos.

log Denota logaritmo decimal (en base 10).

Ln Denota l~garitmo neperiano (en base e). I Iím Denota límite de sucesiones n-tm

l im Denota limite de funciones. X+X@

Resp. Indica respectivamente

XIV

1 UNIDAD 7

SUCESIONES, APROXIMACIONES Y NOCIONES ELEMENTALES DE LIMITES DE SUCESIONES ........... .. .... .. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.1 PRESENTACIÓ 25

7.2 SUCESIONE 25

7.3 APROXIMACIONE 29

7.4 APROXIMACIÓN DEL ÁREA DEL CIRCULO POR POLiGONOS INSCRITOS ..................... 31

7.5 APROXIMACIÓN DE NUMEROS POR FÓRMULAS DE RECURRENCIA ..... . 39

7.6 IDEA INTUITIVA DE LIMITE DE SUCESIONES 42

7.7 INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL LIMITE DE UNA SUCESIÓN 45

7.8 CÁLCULO DE LIMITES DE SUCESIONES 49

CUADRO RESUME 56

7.9 APLICACIONES DE ALGUNAS SUCESIONES IMPORTANTES .............. ... .. . . . . . . . . . . . . . 60

1 NOCIONES ELEMENTALES DE L~MITES DE FUNCIONES ....................................... 65

! 8.1 PRESENTACIÓ 67 l

8.2 IDEA INTUITIVA DE LiMlTES DE FUNCIONES 67

8.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA NOCIÓN DE L~MITE DE UNA FUNCIÓN l EN UN PUNTO ........... : ............................................................................... 76

8.4 LiMlTES LATERALES 85

8.5 RELACIÓN DE LOS LiMlTES LATERALES CON LA EXISTENCIA DEL LIMITE DE

UNA FuNCIÓN EN UN PUNTO

8.6 TÉCNICAS PARA EL CÁLCULO DE LiMlT

8.7 LiMITES INFINITOS Y LíMITES AL INFlNlT

UNIDAD 9

NOCIONES ELEMENTALES DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES 119

9.1 PRESENTACI~N ........ .... 121

9.2 NOCIÓN INTUITIVA DE CONTINUIDAD ............. .. ........ ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

~~ ~

9.3 UTILIDAD DE LAS FUNCIONES CONTINUAS ............. ... ............. 9.4 UNA FORMALIZACI~N DEL CONCEPTO DE CONTINUIDAD ........... ..

.......................................................... 9.5 CONTINUIDAD EN INTERVALOS

9.6 ALGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS ............................................. 9.7 COMPOSICI~N DE FUNCIONES CONTINUAS ....................................

...................................................................... 9.8 TEOREMA DE BOLZANO

9.9 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDI

............................ 9.10 APLICACIONES

................................................................. 9.10.1 MBtodo de la bisecci6n

...................................................... ................. AUTOEVALUACI~N IV ... RESUMEN ................... .............. .....................................................................

........................................ SOLUCI~N A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

GLOSARIO ........... .... ...................................................................................

................................................................................ ....... BIBLIOGRAF~A .. INDICE ANAL~TICO ....................................................................................

-

~~ ~

XVI

Pag . .................... ... .......... 127

....................... .. ......... 134

................... .... .......... 140

...................... ... ......... 142

....................................... 144

................... .. ..... .... 146

................... ... ............ 151

....................................... 153

...................................... 154

UFIIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA ÁREA DE MATEM~I"I'CA

M A T E ~ T I C A 1. ( 175,176,177) COORDINACI~~N GEPIERAL Mauricio Orellana Chacín, UNA

CONTENiDOS Unidades 7 y 8 Ramón Chac6n. UNA

Unidad 9 Sergio Rivas, UNA

VALIDANTES Unidad 7 Walter Beyer, UNA Mauricio Orellana Chacín, UNA José Ram6n Ortiz, UNA Sergio Rivas, UNA

Unidad 8 y 9 Walter Beyer, UNA Mauncio Orellana Chacín, UNA

DISENO iNSTRUCCIONAL Mauricio Orellana Chacin, UNA

REWSI~N GENERAL COORDINACI~N JesSls Eduardo Ramirez, UNA

COLABORADORoS Alejandra Lameda, UNA Alvaro Stephens, UNA

Din'sibn de PubUcaa'ones, U K 4 DISENO CHZÁFTCO Y ARTE FMAC Scarlet Cabrera F.

1 Fanny Cordero H.

Gas rna/emá/ica~, ccuwido se /es comprende 6ien,poseen no so/men/e

h oerdadsino /ambién h /ayrema 6ehza.

ZerfrandX~~sse//~hso/O, hYico, ma/emá/icoy ensayis/a jny/é> ( h 7 2 -

/g70j Frerm'~ %6e/de6i/eraf~ra en /950.& un/eriin/e ac/;u;s/o

,DW h 'PazZcun&d" funpacjhs~a).

Sucesiones. 3LCociones e/emen/a/es de kmifes

y confinuidaddP~nciones de 3 en X

En el presente módulo se estudiarán las nociones de "límite de sucesiones", "límite de funciones en forma general" y "continuidad" de funciones reales, mediante un tratamiento netamente intuitivo y geométrico y fundamentado en la discusión de fenómenos o situaciones reales; todo ello nos introducirá en la rama de lamatemática conocida como "Cálculo".

Se presentarán definiciones intuitivas y algunas proposiciones importantes que serán ejemplificadas. Se considera necesario para su lectura y comprensión el manejo claro de las nociones acerca de funciones. números reales, sucesiones, representación gráfica de funciones y por supuesto las herramientas básicas de la aritmética y del álgebra.

El Cálculo es un valioso instrumento en muchas aplicaciones matemáticas. siendo de gran utilidad en la

1 formulación de leyes físicas (las más conocidas son las leyes de Newton), en las ciencias económicas (razones de cambio de los beneficios de una empresa en relación con el nivel de trabajo), en sicología (establecimiento de la razón de lo aprendido en relación al tiempo).

El Cálculo también está relacionado con problemas sencillos: aproximaciones de áreas de figuras por medio de sucesiones de áreas de otras figuras conocidas; aproximación de números por sucesiones de otros números obtenidos por fórmulas de recurrencia (Unidad 7; Límites de sucesiones); velocidad de un cuerpo que cae en un instante de su caída; relación entre la presión y el volumen de un gas (Unidad 8, Límites de funciones); predictibilidad de la ocurrencia de un fenómeno modelándolo por medio de cierto tipo de funciones; cálculo aproximado de las raíces de una ecuación (Unidad 9; Continuidad).

I Comenzaremos por explicar lo que se entiende por "límite" en matemática en las sucesiones y 1 posteriormente en cualquierfunción. Como el concepto es más sencillo aplicado a sucesiones será considerado

en,primer lugar, luego se generalizará y finalmente se revisará la noción de continuidad usando el concepto de 1

límite.

El concepto a ser estudiado es uno de los más importantes en el desarrollo de la matemática, es el inicio del estudio del llamado cálculo diferencial y del análisis matemático, aqui será manejado sin "formalismo matemático". En cursos posteriores se plantearán en forma abstracta y con solidez matemática.

l Históricamente algunos rudimentos de estas nociones fueron conocidas por los griegos, pero hace

apenas 300 años Newton y Leibnitz descubrieron y formalizaron lo que se plantea a continuación como inicio del Cálculo.

Las ideas que se presentan han surgido en forma natural atendiendo a neceiidades de otras ciencias y las planteamos de igual forma para su comprensión inicial. fundamentándolos con las herramientas matemáticas que se poseen en este momento.

UNIDAD 7

Objetivos O 9?e~o/oer~ro6/emas de aproximaciones

0 6a/cufar hmifes de sucesione.s

No me lea quien no sea matemático. (Leanardo da Vinci, arquitecto, pintor, ingeniero y genio delRcnacimimfo italkno, 2412.2119,)

En la presente Unidad introduciremos uno de los conceptos más importantes de la Matemática como lo es el de límite La importancia de tal noción radica en que el mismo es la base fundamental del llamado "Cálculo"

En efecto el "cálculo diferencial e integral" son consistentes gracias al soporte que les da la noción de límite; hoy en día son fundamentos que deben ser conocidos y utilizados por la mayoria de los profesionales en sus diversas áreas de trabajo, explicita o implícitamente; más aún las ideas que sustentan las nociones de limite son de gran aplicación en diversas situaciones cotidianas.

I Particularmente, el límite de una sucesión de números ha estado inmerso en las más connotadas discusiones matemáticas o incluso filosóficas debido a que el mismo lleva incluida la idea de "infinito" la cual por sí sola da mucho que plantear. Este tema conquistó un lugar muy importante en los siglos XVll y XVIII, a causa del uso de series infinitas como medio para

! efectuar cálculos ap~oximados.

En la teoría de las aproximaciones sucesivas resulta de gran utilidad, como veremos a lo largo de la Unidad, para números y áreas de figuras planas; y en cursos posteriores para el cálculo de volúmenes y otro tipo de aproximaciones.

La presentación de las nociones aquí introducidas es netamente intuitiva, no entraremos en la formalización de tales conceptos y se propondrán problemas matemáticos comunes aue conducen al planteamiento de sucesiones y límites de sucesiones. ' 1

La Unidad comienza con una breve revisión del concepto de sucesión, luego se enunciará la Paradoja de Aquiles y la tortuga, finalizando con una explicación intuitiva de la misma basada en lo tratado. Se introducen las nociones de aproximaciones: de área del circulo usando polígonos regulares, y valores numéricos, usando fórmulas de recurrencia, como pasos previos a la idea de límite de una sucesión.

La definición intuitiva de lim.te introouc,da se aclara planteando su interpretación geométrica- gráf~ca Se agregan a,gunas tecnicas de cBlculo que ayudarán a su comprensión 1 y manejo. 1

Finalmente, se presentan algunas aplicaciones en aspectos de gran utilidad en las ciencias y en la misma Matemática.

7.2 SUCESIONES

A lo largo de la presente Unidad necesitaremos nociones del significado de una sucesión. A continuación revisaremos algunos elementos fundamentale* de las mismas.

Definición 7.1 (Sucesión de números reales) Una sucesión de números reales es una función f cuyo dominio es un subconjunto A del conlunto de los números naturales no nulos N* y cuyo rango está contenido en el conjunto de los números reales R. Esto es. ~ A A - ~ R . con A c N* . +

de los números impares.

escribiremos a,, a,, a,, ........

El conjunto de imágenes de la sucesión se denotará: {an) = {a,, a2, a j.

{a,) = (1, 3, 5, 7, 9 .... }.

Sea (a,} de t6rmino general a" = 5 + 3n. Se tiene:

...........................

{a,)={2, 5,8, 11, 14 .... ) .... {b,)={2,4, 8,j16, 32 ).

para la primera sucesión:

........................ a, = an.,+3, n 2 2.

(Progresión aritmética): (Progresión geométrica): Una sucesión {an} se llama progresión Una sucesión {aJ se llama progresión aritmética s i cada término a partir del geométrica s i cada t6rmino a partir del primero se obtiene sumándole al anterior primero se obtiene multiplicándo al anterior una cantidad constante llamada razón (r): por una cantidad constante llamada razón

(rl:

A continuación estableceremos la fórmula del término general de cada progresión:

a, es dado. a, es dado.

t Progresión Aritmética Progresión Geométrica

aZ = a, . r a, = a,. r = al.r

2

aq = a3 . r = a1.r3

En las progresiones aritméticas decimos que son crecientes (decrecientes) si r > O (r c O). En las progresiones geométricas decimos que son crecientes (decrecientes) si r > 1 (r c 1).

En ocasiones es necesario conocer la suma de los términos de una progresión. Para tal fin recordemos que se utilizan las siguientes formulas:

Progresión aritmética:pl Progresión geométrica:

a" = a,.,. r = a,.rw'

Recuerdalo que signifi-

l ca que una función sea c rec ien te

' (decrecien- te). Ejempli- fica estos tipos de prQ gresión.

a,.( l-r") S, =

l - r

Siendo S,, la suma de los n primeros términos de la progresión, esto es S,,=a,+a,+ ............. +an .

I*1 Existe una anécdota histórica en relación con esta fórmula: Gauss (1777-1855), el llamado principede los Matemáticos, a la edad de los 10aiios fue admitidoen clasede aritmética. Como era la primera clase, ningún muchacho habia oido nunca nada sobre orouresiones aritméticas. ~ u e fácil para su maestro plantear un problema donde habrian de sumarse 100iérm7nos pero dondecl pasoentre un terinino y otroera dc 198. Era costumbrede laescuela queel muchacho que obtuviera primero la respuesta dejara su pizarrasobre la mesa;el siguienteencimaetc. El maestro habíaacabadode enunciar el problema cuando Gauss tir6 su pizarra encima de la mesa: "Aqui esta dijo". Después de una hora. el maestro que imaginaba que no podria estar correcto el resultado del alumno m6sjovende la clase. auedósororendldo al ver como sobre la pizarra habías610 un número.el correcto.

27

1. Halla los 5 primeros términos de la siguiente sucesión :

aS = (52 + 1)13 = 2613 . 1

114, 1 314 ,... } . ~

1 - 112 = 112 112 - 114 = 114

luego es una geométrica de,razón 2. 1

I

progresión aritmdtica: 1

Usando 10s valores dados en el problema obtenemos:

a, = 2 + (5-1).4 = 18

luego la suma S, será:

Asi, S, = 50. 1

Ejercicios propuestos 7.2

1. Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:

2. Identifica que tipo de progresión es cada una de las siguientes sucesiones:

3. Obten una expresión para calcular el término décimoquinto de una progresión, de razón r, conociendo el cuarto término. si:

a) Es aritmética. b) Es geométrica

Suponemos, para cada su- cesión, que los términos siguen la misma ley defor- mación.

I 7.3 APROXIMACIONES

Gran parte del trabajo de los matemáticos consiste en describir de manera sencilla ciertos hechos del mundo que nos rodea. Hoy en dia podemos decir que lo conocido en nuestro medio tiene, en un elevado porcentaje, el aporte de una base matemática.

Comenzaremos este tema formulando algunos problemas que a lo largo de la historia surgieron y ha sido, precisamente, la Matemática la que después de siglos los solucionó:

A- Recordemos la "Paradoja" de Aquiles y la tortuga (Zenón de Elea m): "Imaginese a Aquiles, e l héroe de los pfes veloces, persiguiendo a una tortuga que le lleva 10 m de ventaja:

[*] Zenón de Elea (aproximadamente490A.C. -430 A.C.). Filósofo griego, discípulo de Parménides. Es célebre por sus paradojas como la de Aquiles y la Tortuga y otras: la flecha sin movimiento, la relatividad de la velocidad. Sus argumentos se basan en la concepción del espacio y del tiempo como una sucesión discontinua de puntos.

29

Una Paradoja es una aseve- ración que, a pesar de su formulación coherente y, al menos en apariencia, correcta, ex- presa algo que no encaja con lo que, en general, se es- pera que pueda producir el ejercicio de la razón y la utl- lización del lenguaje. (Diccionario Enciclop6dico Salvat. Tomo

O b s e r v a como Aquiles recorre la dis- tanclaque Orl- ginalmente lo separa de la tortuga pero, al llegar a ese lugar la tortuga ha avanza- do a una nueva posición. Note tambien como la distancia de se- paración entre ambos disml- nuye.

supdngase además que la tortuga viaja a la inverosln. 11 velocidad de 1 cm/., y que Aqwles lo hace a Im/s = 100 cm/., es deccir, 100 vece: más de prisa que la tortuga. En su rápida carrera -razona Zendn- Aqurles llegar en 10s al punto donde se encuentra la tortuga, pero la tortuga ya no estará al11 :ino en lOm+lOcm=lO, 1 m

Y cuando Aquiles llegue al punto 10,l la tortuga ya estará ahl tampoco, sino en el punto 10,101, pues habrá recorrido en ese un espacio 100 veces menor que Aquiles: (LL =

1 00

I

A T - - - =$o

0,l m 0.1 ~m

\

A r Y as1 sucesivamente. Por lo tanto, Aquiles jamás al( anzará a la tortuga".

La paradoja establece que Aquiles no le dará alcance a la tortuga. Sin embargo: ¿Alcanza Aquiles a la tortuga? , ¿Qué es entonces lo que falla en este razonamiento?.

Más adelante tomaremos nuevamente esa Paradoja y trataremos de ver cuál es la carencia que nos condujo a concluir un absurdo. I

--------------- ------------

I A continuación veremos algunos planteamientos que serán de utilidad para darle explicación a esa situación.

1 7 4 APROXIMAC~ÓN DEL ÁREA DEL C~RCULO POR POL~GONOS INSCRITOS l áreas es un problema que ha ocupado unsitial de ho. noren el mundo de la Mate- mática. Desde los antiguos

Un problema que ha sido de interés para los matemáticos es el cálculo de áreas de figuras, en particular el cálculo del área del circulo

. griegos Eudoxio (aproximadamente 408 A.C. 355 A.C.) y Arquimedes

El cálculo de

I Los antiguos griegos poseían un método general para el cálculo de áreas de figuras , curvilíneasr'i: Si no es posible hallar el área exacta es natural aproximarse a ella lo más que se

pueda, tratando de que las áreas que se desprecian sean "lo más pequeñas posibles".

Consideremos un circulo de radio 1 cm:

(287 A.C-212 e n t r e

ron el método aue aoui se

Supongamos que deseamos calcular el área de un circulo y que conocemos sólo fórmulas para el cálculo del área del triángulo, del rectángulo, del cuadrado y que hemos aprendido a trazar poligonos regulares inscritos o circunscritos en una circunferencia.

P1 La determinación del área la hacian a través de "Cuadraturas": se reduceal cálculo deáreas de rectángu- los, pero no es aplicable a muchas figuras curvas.

expone.

cio sombrea-

polígono inscrito este "cubre mayor área" del circulo

* Calcularemos las áreas de los poligonos que inscribim

ellos un lado del polígono y los otros dos son radios de

Wciles de obtener.

1 !

1 *Veamos ahora como calcular el área de cada triángulo. Recordemos que el área de un triángulo la obtenemos por la fórmula:

donde b es la base del triángulo y h la altura del mismo. I En nuestro caso la base es el lado del poligono y la altura es la perpendicular trazada desde el punto medio de la base al centro de la circunferencia.

+Comencemos calculando la base del triángulo usando las nociones trigonométricas conocidas: utilizando la Ley del Cosenon podemos, conocidos dos lados y el ángula que estos forman, calcular el otro lado: En ,nuestro caso será:

Para el penthgono se tiene

r a=-=720 360" 5

o bien

a=- rad 5

I*1 Recuerde que la ley del cosenoestablece:

b2=a'+c1-2ac.cosa, luego

b b-da2+c2-2ac. cosa .

Revisa las nociones de tri- gonometría y geometría re- queridas para que compren- das con claridad l o que aqulse discu- te.

Usaremos el sistema del radián el cual estableceque un giro com- pleto de 360 o

es igual a 2n rad.

Complete Ud. las operaciones no espe- cificadas para que compren- da como se obtiene la ex- presión final.

- 34

Si Obse~amoS con detenimiento cada uno de los polígono inscritos, el ángulo a al que nos referimos anteriormente es igual a un giro de 360" (u a "vuelta completa") entre el número de lados; esto es.

a=- 3600 o bien a=2n/n rad. Ii I

Por ejemplo en la figura anterior que representa un pentá 1 o tenemos.

y simplificando este radical obtendremos nuestra fórmula definitiva para el cBlculo de la base:

* para el cálculo de la altura podemos emplear el teorer a de Pitágoras:

L altura (h)

y usando la f6rmula obtenida para la base queda:

/2r2(1+cos+) h=

4

Asi obtenemos como fórmula para el cálculo de la altura.

* Finalmente, el área A, de cada triángulo se obtendrá usando la fórmula:

A, = b. h/2

1 Simplificando obtenemos:

I es decir,

* Usando esta fórmula para calcular el área de cada triángulo, el área Ap de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia se obtendrá utilizando la siguiente expresión:

Por ejemplo,usemos esta fórmula para calcular el área del triángulo equilátero y del cuadrado inscritos en una circunferencia de radio 1:

2lculosl)

100 lados usando las fórmulas

a de un clrculo de radio 1.

3,1333;.. ' 3,1395. } [ l ]

área que se desprecia es

- [1 271

sen- 3

=sen120° ;r0,8662540.

2n sen -

4

n = s e n - = l .

2

@

9 m

A,(20) 3,0902

~ ~ ( 5 0 ) - 3,1333

A,(100) w 3,1395.

Hoy en dia podemos calcular el área A, de un clrculo usando la fórmula A, = n.r2.

36 I

* Para el triángulo equilátero

3.1'. ser(z:)

A,(3)=

Ap(3) a 1,2990. 1

* Para el cuadrado:

4.1'. se(:)

Ap(4>=

Ap(4) = 2. 1

* Para los demás pollgonos obtenemos.(iCompleta los c

A,(5) a 2,3776 Ap(6) = 2,5981 Ap(7) a 2,7364 Ap(8) a 2.8284. 1

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . - - _ - - - - - -

Ejercicios propuestos 1.3.1

Calcula las áreas de los poligonos regulares de 10,20, 50 ) obtenidas anteriormente (r = 1)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _- - - - - - m-

LA dónde conduce todo esto ?

Obse~emos el con~unto de valores obtenidos para el árf

(1,299 , 2 ; 2,3776; 2,5980, 2,7364; 2,8284; ..; 3,0902, .

A medida que aumentamos el ntimero de lados e menor (Observa las figuras de los polígonos regulares.)

Haciéndolo para el círculo dado obtenemos (r = 1):

Ac- 3,14159.12 = 3,14159.

Compara este último valor con los presentados en [ l ] .

I Tomamos el valor de n dado oor la

A medida que se aumentó el número de lados del polígono regular, su área se va haciendo mas próxima al área del círculo.

calculadora con 5 cifras decimales. Recuerda que n posee infini- tascifras deci-

1 Este aumento puede hacerse indefinidamente.

. dado es sólo unaaproxima- ción.

I Ejercicios propuestos 7.3.2

a) Calcula el área de los poligonos regulares de 100,150 y 200 lados inscritos en una circunferencia de radio r =3.

b) Calcula el área del circulo de radio r =3 usando la formula A= = n .r2 y compare el resultado con los valores obtenidos en (a).

c) ¿Qué conclusiones puedes obtener?.

a) ¿Qué es un poligono circunscrito a una circunferencia ? b) Obtengamos las formulas para el cálculo de las áreas de los poligonos regulares

circunscritos a una circunferencia. Observa el siguiente gráfico:

Nótese que dividimos en triángulos al igual que con los poligonos inscritos. Observa que la altura de cada triángulo es el radio de la circunferencia.

La base se calculará usando la razón trigonométrica tangente, mediante:

1 males siendo un número irracional. El valor aaui

* Compara el procedimiento aquí establecido con el dado anteriormente para calcular áreas de p o l i g o n o s inscritos, bus- candolas ana- logias entre ambos para comprenderlo mejor.

b = 2r.tg (nln)

donde r e s el radio de la circunferencia y n es el número de lados del poligono.

Como el área A, del triángulo se calcula usando la fórmula: I

y para el área A, de los pollgonos I c) Detalla y justifica lo obtenido en (b). d) Calcula, usando la formula anterior, las áreas de los regulares de 3, 5, 10 y

20 lados circunscritos a una circunferencia de radio r = e) Calcula el área del circulo de radio r =2 usando la fórmu

f) Compara este resultado con los obtenidos en (d). g) ¿Qué puedes concluir de lo anterior? Relaciónalo con conclusiones obtenidas de

aproximar el área del círculo por áreas de polígon egulares inscritos en una circunferencia?rl

3. a) ¿Cómo se define el perlmetro de un pollgono? ¿Cóm calcula el perímetro de un polígono regular cualquiera?.

b) 'Cuál es la fórmula usada para calcular la longitud d c) Usando la información obtenida en las páginas. anteri

inscritos en una circunferencia, especlficamente lo re base del triángulo en el que se dividió cada poilgon aproximar la longitud de la circunferencia usando la I regulares inscritos.

d) Usando la fórmula obtenida en (c). Calcula el perl 5, 10, 20 y 50 lados inscritos en una circunferenc

e) Calcula la longitud de una circunferencia de radio Compara este último resultado con los obtenidos en (d

f) ¿Qué conclusión puedes obtener? ¿Qué relació lados del pollgono regular, el resultado del perl circunferencia obtenida usando (b)?

4. En el ejercicio anterior No 3 aproximamos la lo perimetro de pollgonos regulares inscritos.'Pian polígonos circunscritos.

I P1 Comoseestudiará en cursos posteriores, el calcularáreasde figuras endo y circunscrlbiendootras,

de áreas conocidas, haciendo cada vez mayores divisiones, es la b damental del llamado Cálculo Integral. 1 38

Después de este primer caso de aproximación volvamos un momento a la paradoja de Zenón y observemos que el principal problema radica en que se consideran espacios e intervalos de tiempo cada vez menores, pero indefinidamente. Observemos que eso es análogo al cálculo del área de los poligonos al incrementar de manera indefinida el número de lados. Recordemos que se aproximó cada vez más al verdadero valor del área del circulo. ¿Qué será lo que ocurre con la paradoja? Veamos otros ejemplos de aproximación y luego volveremos a la Paradoja en la parte final de esta Unidad.

7.5 APROXIMACIÓN DE NÚMEROS POR FÓRMULAS DE RECURRENCIA l I Como Ud. recordará ,/5 es un número irracional. Utilizando una calculadora podemos

obtener una aproximación de

& ~2,236067977.

En el caso de &, o en general de \/á (a>O), existen fórmulas que nos permiten calcular valores cada vez más cercanos al número buscado &, siempre que conozcamos una primera aproximación de ese número Son las llamadas Fórmulas de Recurrencia

t La denominación de Fórmula de Recurrencia, debe su nombre a ser una expresión que obtiene cada valor usando el anterior como base. Esto es. mediante un procedimiento de iteración (repetitivo) se obtiene el valor n-ésimo utilizando el valor precedente (n-1)- ésimo o varios valores anteriores al n-ésimo.

Ejemplos 7.3 i 1 'l. Las definiciones dadas de progresiones aritmetica y geométrica conduce a fórmulas de

recurrencia:

Progresión aritmética,

a,, = a"., + r, n 2 2

Progresión geométrica

a,, = a".,. r, n22

el término n-esimo a" es igual al el término n-esirno a,, es igual al término término (n-1) - ésimo a,,, más una (n-1)- ésimo a"., multiplicado por una constante r. constante r. El primer término a, está dado. El primer término a, está dado. I

1 2. La siguiente fórmula de recurrencia i

nos permite obtener aproximaciones de & (a> O).

(2 ; 2,25 , 2,2361, 2,23606; 2,23606797; ...} (lCompleta Ud. los cáiculos~)

Cada vez el valor resultante a,, se aproxima más al val por la calculadora (en el caso de comparar los valores a, con el valor dado por ladora) el cual estamos considerando como la mejor aproximación. I

el uso de la f6rmula de recurrencia?

2. a) Consideremos la ecuación cúbica:

x3 - 5x + 3 = o. Ordenándola adecuadamente obtenemos

A partir de ella formemos la fbrmula de reourrencla:

Como valor Inlclal toma a, = 1.

Calcula los 5 primeros valores usando tal ~ i m u l a .

Nuevamente, en los diversos ejemplos de aproximaciones presentados, a medida que calculamos más valores el resultado se aproxima a un valor determinado:

1 El conjunto de valores del área de los pollgonos inscritos calculados anteriormente es una sucesión de áreas dada en función del número de lados.

Asl:

Ap(3) 1,299 Ap(4) = 2 Ap(5) w 2,3776

1 Ap(6) S 2,5980 Ap(7) N 2,7364 Ap(8) w 2,8284 Ap(50) w 3,1333

i Ap(l 00) S 3,1395 i .,,.. ...,,,.,.. ....,,,..,,,...

En el ejemplo del área del circulo, a medida que se aumentó el número de lados del

1 o en la notación de sucesiones:

i

Observe que aqui el primert6rrninode la sucesión es a, en lugardea,.

polígono regular inscrito o circunscrito su área se aproximó más al área del círculo calculada usando la fórmula A= =n.rZ y ahora, en el ejemplo de A, al utilizar la fórmula de recurrencia, al tomar más valores de a, se aproxima más al valor dado por la calculadora

I para h.

Igualmente, el conjunto de aproximaciones de & se puede considerar como una sucesión igual ocurre a", donde: 1 con la suce-

I s16n de va!o- res obtenldos al aproxlmar

I el drea del cfr. culo usando Poli~onos cir- cunicritos, ia longitud de la clrcunferencla U s a n d o

I teada en los En este momento ya estamos preparados para introducir una de las mas importantes eierciciospro-

ideas de la Matemática, la idea de L~MITE. puestos 7.3.3.

Las dos sucesiones anteriores tienen una caracteristica muy especial:

A medida que el número de términos "n" aumenta, el valor de la sucesión se aproxima a un valor determinado: al área del circulo obtenida a través de la fórmula en el primer ejemplo y, al valor de & obtenido usando calculadora en el segundo ejemplo.

~ - .. . . . . poligonos Ins- critos y con la f ó r m u l a d e recurrencia usada para aproximar las raices de la ecuación ulan-

7.6 IDEA INTUITIVA DE L~MITE DE SUCESIONES

Analicemos las sucesiones de términos generales :

relacionándolas con los ejemplos anteriores.

Calcula estos

{an} = (1 , 112 , 113 , 114 , ,.., 11100 , ... }

{b,) = {3, 6, 9, 12, ..., 300 ,..., 300000 ,... } de la suce-

(c") = {-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1 ,... }.

(Verifica lo anterior calculando b ,,,,, ti ,,,,,, ).

entre los valores -1 y 1.

(Verifica esta situación calculando e,,, e,,,).

anteriormente.

L

I En símbolos es posible escribir:

n ++ mi'] (Cuando n se hace "muy grande") a,+ L (Los términos de la sucesión a" se aproximan a L).

Otra forma de denotar el Iímite de una sucesión y la más usada es: I

lirn a" = L n-tm

lo cual leemos "el límite de la sucesión a" cuando n tiende a infinito (n se hace muy grande) es L".

Apliquemos la definición dada a los ejemplos anteriores l l I +Área del Circulo de radio uno (m2 =n.12 =R). I

Llamemos a la sucesión de las áreas de los poligonos regulares inscritos A". Así, cuando

lirn A" ;i. 3,2415 n -> m

Lo leemos: el límite de la sucesión de las áreas de poligonos regulares inscritos en la circunferencia de radio 1, tiene como valor el área del circulo dada por la fórmula

n.12 = n = 3,1415.

Enuncia la conclusión análoga para el círculo de radio r I I + Fórmula de recurrencia para el cálculo de raíces cuadradas, por ejemplo A. 1 Denotemos la sucesión de aproximaciones de la raíz deseada mediante a". Asi, l

n + m a"+ J5

o también:

lirn a,, = &. n - t m

Lo leemos: el límite de la sucesión ande aproximaciones de f i tiene como limite el valor

d e & . I

+ Si tomamos el ejemplo con la sucesión a, = l ln, tendríamos: I rl + m se lee infinito, no representa una cantidad en particular es decir, no es un número real, sino que nos

dará la idea de "muy grande". Tambienseescribemen lugar de+ m.

n - t m

i nd is t ln ta -

c o n v e r g e

lim 3n =+m. n - t m

necesar ias Escribe estos valores como una sucesjbn.

mente limites obtenida en (a)?¿Cúal será el límite en este caso? de sucesio-

existe el límite de la sucesibn, o si ésta diverge:

dimientos di-

Ayuda: Determina algunos términos de la sucesión, los suficientes que te permitan ver el comportamiento de ésta; esto es, hacia adonde se aproximan los términos, o por el contrario si crecen indefinidamente o dan saltos.

1 7.7 INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL L~MITE DE UNA SUCESIÓN

Una forma de representar una sucesión es colocando algunos puntos de ella en I recta real

1 Vamos a realizarlo con las sucesiones dadas antes en 7 4

Compara los tres gráficos. Observa claramente los puntos para sucesión. Sólo se han representado unos pocos. R e c u e r d a que éstos son infinitos en @,}Y {b-1

la Existen otras formas de re- presentación gráfica de sucesiones. Especifica- mente,se pueden representar en un plano carte- siano. Sin embargo, utiliza- remos ésta por ser visualmente más útil para introducir la noción de limite de sucesiones.

Notemos que a partir de n=4 todos los restantes términos de la sucesión están próximos a cero y pertenecen al intervalo ( -114, 114).

Si dibujamos un intervalo abierto de centro O y longitud (-114, 114) tendremos:

Para n,=4 los términos siguientes a a,, es decir as,a6,a ,,......, pertenecen al intervalo

La respuesta es Sí. Tome n = 40 y observará como todos los términos a partir de a,, pertenecen a dicho intervalo.

Esta interpretación geométrica nos permite decir que:

Observamos que a partir de n=8 los restantes términos de la sucesión están próximos a O y pertenecen al intervalo (-118, 118).

Si tomamos un intervalo abierto aún más pequeiio, digamos de longitud 1/20, ¿existirá algún término para el cual los restantes términos de la sucesión pertenezcan al intervalo?.

La sucesión (an) tiene como límite a L si para todo intervalo abierto centrado en L existe un término a partir del cual los restantes términos de la sucesión pertenecen a él.

para n0=8.~sí, a,, a,,, a ,,,..... pertenecen al

I=(-~,j). , 8 8

Veamos ahora, como aplicar esta definición a una sucesión que, como vimos anteriormente, no converge (no posee límite), a saber la sucesión de término general b,,= 3n:

Si tratamos de conseguir un término a partir del cual se pueda dibujar un intervalo abierto que abarque todos los términos de la sucesión a partir de él, ¿qué famano debe fenerfal Nlten~alo?.

Como los términos de la sucesión se hacen cada vez más grandes, entonces no existe tal n para el cual se pueda dibujar dicho intervalo.

Por último, consideremos la sucesión de término general: l c, = (-1)"

Si tomamos un intervalo abierto centrado en -1 (¿Porqué tomamos -1 ?)y de longitud 2

AYUDA: Utili- za una nueva escala para graficar los términos que i n t e r e s a visualizar.

I ¿ Existirá algún término a partir del cual todos los demá términos estén dentro de tal intervalo?

c, - 1 si n es par. cm= -1 si n es Impar.

La respuesta es NO. En efecto, tomemos n=10. todos los términos de indices impares pertenecen al intervalo, pero todos Indices pares quedarán fuera de él. Por lo tanto, no podemos asegurar de la sucesión a partir de alguno de algunos ellos pertenezcan al intervaio

Si tomamos un Intervalo centrado en 1 (¿Porqué 17) ¿Oc rrird algo similar a lo anterior? Exahlnalo. I

En este se. gundo grupo de elerclcloe posees una prlmrra herra. mlenta para el calculo del 11. mlte, no es la mtis formal pero sl p u e d e s , vlaualmente, comprobar las noclones has ta acti apren. dldas. A contlnua- clon tendremos herra. mlentas mba preolsss y po. draa regresar y aplicarles a estos ejercl. ClOS.

Ejerclclos propuestos 7.6 I 1. a) Representa gráficamente la sucesión obtenida al la fórmula de recurrencia

para aproximar & (No 2 de los ejemplos 7.3).

b) Dibuja un intervalo abierto centrado en ,k y de c) ¿Donde están los restantes términos de la sucesión d) Establece cuál es el término a partir del cual están en el intervalo

dibujado en (b).

2. a) Representa gráficamente algunos términos de las sigui tes sucesiones (los suficientes para ver el comportamiento de la sucesión): t

b) Dibuja intervalos abiertos de longitud 0,5 alrededor y 112, respectivamente, donde gráficamente se "apilan" los tdrminos.

c) Aplica la definición obtenida anteriormente a las dadas en (a), usando (b).

3. a) Representa gráficamente las sucesiones: 1

Ilm (n + 5 )2 . n +m

lim ( - i ) " ( n / n 3 ) . n+m

Sugerencia: En cada caso representa gráficamente a sucesión y vas determinando intervalos cada vez de menor longitud alre ledor del punto al cual consideras como ilmite. Analiza lo obtenido y da resp esta a la interrogante planteada.

b) Dibuja, si es posible, un intervalo abierto de longitud ta de la sucesión (inclusive los que no representaste)

c) ¿Qué concluyes de (b)?

4. En cada uno de los siguientes casos, gráficamente det

2 Ilm - n+m

que abarque todos los términos

m i n a si el ilmite existe:

I 7.8 C Á L ~ U L O DE L~MITES DE SucEsloNEs \

I Hasta ahora hemos revisado algunas sucesiones cuyo limite se ha obtenido escribiendo una cierta cantidad de términos de la sucesión o realizando su interpretación gráfica, basándonos en las definiciones dadas.

1 l Sin embargo, tales sucesiones son bastante "sencillas" y el cálculo del llmite igualmente.

No obstante existen sucesiones para las cuales este proceso se hace muy largo y complicado, por tanto precisamos de ciertos elementos que serán planteados a continuación:

1 1 A Sucesiones que convergen a cero I

Usamos algunos hechos tales como: I Cuando n + m entonces 1 -+ O , como vimos anteriormente.

n

De igual manera, las siguientes sucesiones se aproximan (convergen) a O: I

Asi mismo:

también se aproximan a cero (tienen a cero como limite)

Ejercic io propuesto 7.6.1

Ayuda: Escribe algunos términos de cada sucesión. Compara con la sucesión an=l/n. 1

Justifica, sin acudir a la definición o a la gráfica de cada sucesión, el hecho de que todas ellas converjan a O.

*

irmino general de la sucesión njugadas de ralces etc.)

lrande O ~ S ~ N ~ ~ O S primero

((expresión conjugada)) de

cn t l+&) - - h 1

? estamos en un caso análogo

ES costum- bre deno: t a r & + + ~ b como "ex- pres16n conjugada" de

&-L.

En general no es cierto que m - m = O

50

0:. Simplificar el término general de la sucesión

Tratamos de simplificar al máximo la expresión que define el t (Usando: factorización, productos notables, expresiones cc

Ejemplos 7.6.1

l + n 1. Seas,=-. n + n2

A Si deseamos calcular el límite cuando n se hace muy que

l + n - l + n =J --- n + n 2 n(n+l) n

Esta última sucesión tiene como Ilmite 0, luego

1 + n lim - -0 n + n z

o lo que es lo mismo,

cuando n + m entonces - Icn + O I n + n2

2. Calcula iím n + m (a-&)

A Para calcularlo multiplicaremos y dividiremos por l i

&Ti-&:

&Z-&= (JR+I-Jñ) ,I'ñTi+

- n + l - n -

-m+&-Gl+&' Luego

Cuando n+m, entonces Jñ-t m y f i +o

y por lo tanto &+a +m.

+o. f i + \Iñ

Esto último es claro: al hacerse el denominador muy grand al de l ln, el cual sabemos que converge a O. Así:

iim (m-&)o. 1 n +m


1. Calcula: 1 - n lim --- .

n+m 1 - n 3

1 Sugerencia: Recuerda que: a3 - b3 = (a-b)(a2+ab+b2).

Con esta primera herra- mienta para calcular limites y con lo establecido

1 n - 5 lim -

1 n2 -25

3. Calcula'

l Usa esa igualdad y factoriza el denominador. Simplifica la expresión y luego analízala.

1 2 . Calcula: mite de una sucesión.

anteriormente podemos ir construyendo procedimien- tos más for- males para el cálculo del li-

Sugerencia: Multiplica por la "expresión conjugada", analiza el denominador y usa los hechos establecidos anteriormente.

4. Calcula:

6- 2 Iím ___ n + m n 2 - 1 6

Sugerencia: Usa los dos ejerc cios anteriores factoriza el denominador, mult plica por ,a expres ó n con,~gada oel nbrneraoor, opera y analiza la expresión obtenlda

8 Operaciones con sucesiones y el álgebra de límites de sucesiones I Usamos el álgebra de límites de sucesiones una vez que definamos las operaciones con

las sucesiones.

Recordemos en primer lugar que una sucesión es una función siendo válida, por lo tanto, el álgebra de funciones vista en el Módulo 11.r'

Especifiquemos ahora en que consiste la adición, multiplicación y cociente de sucesiones:

Sean. {an}={a,,a, ,a ,,... )

{b" ) = { b, , b, , b3 , ... }

rl Recuerda que el álgebra defunciones establece que : Si XE Dom(f)n Dom(g), se define,la Suma: [f + g](x) = f(x) + g(x): El Producto: [f. g](x)=f(x). g(x); El producto por un númeroX: [Afl(x)=h[f(x)]; El Cociente: Si para todo x:g(x) t 0, entonces [flg](x) = f(x) Ig(x).

51

b,,} como :

J , , . . . } .

b,) mediante:

,... ).

-------- -

1 4 + 4 ,.... )

,... }. 1

..}. I

,... ). I

{b,) es una s u c e s i ó n "constante".

m

52

Definimos las sucesiones suma (a,+b,,} y producto (a,

{a,+ b,) ={a,+ b;, a,+ b,, a,+

a . b,) =(a,.b, ,a,.b,,a,.b,,..}.

Si k E R se define la sucesión k.a, mediante:

{k.a,} = { k.a,, k.a,, k.a, , ... 1.

Si b, t- O para todo n, se define la sucesión cociente {a, 1

{a,Ib,,) ={a,Ib,,a,Ib,,a,lb

________________-__

Ejemplos 7.6.2

1. Sean a, = I ln, b, = 4 para todo n 2 1;

esto es:

{a") = ( 1, 112, 113 , 114 ,... ).

{b,} = ( 4, 4, 4, 4, ... }.

Entonces: 1 1 {a,+b,)={4+1, 4+- , 2 4 1 - 3

{an + b,) = ( 5, 912, 1313 ,..., 4+-

2. sean (C,J = {0,5 ; 0,55 ; 0,555 ; ... }

{d,)=(2,2; 2,02; 2,002; ... )

Entonces: {c,.d,}={l,l ; 1,111; 1,11111;

3. Sea {e,} = (2 .4 .

~ s t o es: {e,,} = (3; 2,5; 2,333 ... ; 2,25; ... )

Si k=5, se tiene la sucesi6n {5.en} dada por F

{S.en} = {15; 12,5 ; 11,66 ... ;lo+'

I 4. Sean

{a,) = (lln2)

(bn) = ((n+l) 1 ín+2))

Esto es :

1 {kn} = {13; 12,125; 12,037 ...; ....)

Obten:

6 O para

Veamos ahora que relación existe entre estas operaciones con las sucesiones y el calculo de limite de sucesiones:~~

todo n.

(4,) = (-1; 2,75; 3,444; 3,6875; . . } .

Luego:

(k,ltn} = (-13; 4,409 ..... ; 3,495 ... ; .....) m 1 12+ j

siendo el termino seneral de la sucesi6n cociente l$hj. 1 5 4 - i

n


En el ejemplo 1 de 7.6.2, tenemos lim a" = O ; lim bn = 4 luego lim (an+bn) = 4. n+m n+m n-tm

iJustifícalo!

P1 Aceptaremos las siguientes propiedadessin demostración por estar fuera del alcance del Curso.

Justifica los resu l tados que se presentan en estos ejemplos. Analiza con cuidado lo que se establece.

llm (a,+b, ) = lim a, 71

Vemos pues que:

Cuando n + w

entonces a,+ O , b,+ 4 y a" + b,+ O + 4 = 4.

Es posible establecer lo siguiente.

1

5 En el ejemplo 2 de 7 6.2, 0bSeNem0S primero que -=O,:! 9

5 lim cn=-. n+m 9

En segundo lugar, obtenemos el t6rmino general de la Ob~eNam0S lo siguiente:

2 d,= 2, 2 = 2 + -

10 2 2

d,=2,02=2+-= 2 + - 1 O0 l o 2

2 . L

- 2 + -: d,=2,002=2+-- 1000 10'

........ ... , ... . . ........ .......,, ,

de donde inferimos que

2 d" = 2, 000 ..... 02 = 2 + - u 1 on

(n-1)ceroo

luego Ilm dn = 2 . n+m

10 . Además, -= 1,111 .... =1,1

9

y por lo tanto

lim (c, dn)= I O / ~ . n+m

Asi.

Cuando n+m , entonces c, + 5 19, d, + 2 y cn.dn .

55 ...... =O,% y por lo tanto

sucesidn {dn) para lo cual

es decir:

lim (c,.d,)= lím Cn. lím dn . n+m n-tm n+m I

En el ejemplo 3 de 7.6.2, vemos que :

lirn e, =2 y lím (5.e") = 10 . n-+m n +m

Así:

Cuando n + m, entonces 5.e" + 10.

Es decir:

iím (k.e,) = k . lirn e,.

I

En el ejemplo 4 de 7.6.2, vemos que:

lirn k, = 12, lirn e,, = 4 y lirn (k,/e,) = 3 n - t m n - t m n - t m

Así:

Cuando n +m, entonces kJtn +3

Es decir :

Iím (k,/d,,) = iím k,/lim 4, . n -+m n->m n+m 1

1 Ejercicios propuestos 7.6.4

1. Sean las sucesiones:

{a,} = {lln2}

{bn} = Iín+l) 1 ín+2))

Obten: lím {an+bn}, lím {an.b,}, lím {a,,lb,) n+m n+m n+m

2. Calcula:

Sugerencia: Use adecuadamente las propiedades' separe en sumandos y factores la expresión dada en los corchetes y aplique las reglas del recuadro anterior.

Ejemplos 7.6.4

+ Sucesiones que son funciones racionales de n.

Sea {an} una sucesión cuyo término general es una expresión (o función) racional de n, y tanto el numerador como el denominador contienen términos que poseen la variable "n".

Para calcular su limite dividimos el numerador y el denominador por la potencia de n que posea el mayor exponente.

Luego aplicamos el álgebra de límites de sucesiones y hacemos uso de las demás observaciones hechas anteriormente.

3n + 2 1. Sea a,=- 4n - 5

Esta propie- dad busca uti-

~ ~ ~ ~ , ~ ~ ~ , " ~ con anterioridad referidos que una canti-

":"e'': tre una suce- si6n que diverja a m,

Calcula Iim a,. n-tm

resulta una sucesión que convergea 0.

A Aplicando inicialmente el álgebra de llmites vista anteriormente, estaríamos tentados en escribir:

y aplicar lo anterior pero, (3n + 2 ) diverge.

2 3 + ñ'

Sin embargo, si dividimos entre n el numerado denominada ' de a, resulta: a, = - que equivale a escribir:

5 4 - - n

a,, = ( 3 t i > . [+] 4 - n

además

2 1 3 + - - + 3 y -- ' c iando n+m n 5 + Z 4 - n

obtenemos Iím a, = 314. n+m

Justifica lo anterior. I

2. Calcula: n-5n3

lim n+m 4n2 + 6n3

A Este ejemplo reune las condiciones dadas anteriormen 2: el término general es una expresión o función racional de n, luego dividimos el r umerador y el denominador entre la potencia de n que tiene el mayor exponente, er este caso n3.

ASI: n ~ - 5%:. 3

lím n-5n3

= 3 n-tm 4n2

t 6n3 n+m 4 n 2 +6! 3

luego, resulta: 3 n - - 5 "-~ .L - 5 3 lim n3 n ; = lím d-.

n->m 2 3 n+m 4 " + 6 c 4~. .6

n3 n3 n

Aplicando el álgebra de límites obtenemos:

lím l/nz - 1,"- 5 n+m 0 - 5 -5

- - lim 4/n+l im 6 0 t 6 6 n+m n+m

luego:

n-5n3 = - 5 . I n+m 4n2+6n3 6

Calcula: I

A Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de n: n4, quedándonos:

Calcula:

Si analizamos el denominador se aproxima a cero y el numerador tiende a 3, esto implica que dividimos por cantidades cada vez menores luego, el resultado será cada vez más grande. Así, el limite resulta + a, es decir la sucesión diverge.

iím 2n + 3 + i,)

Si lim an=L, " + m

A Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de n: nZ, quedándonos: I

lím - lim

n n

entonces

kl diverge.

Aplicando ahora el álgebra de límites obtenemos:

3 iim 2+ iim - - n+mn n+mn2 - O + O

1 + lim 5 1+0 - 1 n+m 2 n

Luego:

I


Calcula los siguientes limites:

1. lím 2n3-n . n+m (3,

4n3 -3n2 +I 2. lim [ , ) n-+m n +n-2

3. iim (+l. n+- n + 3

4n3 +2n-1 4. nd 1

-

5. lim 5n3 -8n2 + 3 n-tm 4n3 +2n-4

4n5 - 8nZ+3 6. Ilm nwrn 2n3 +4n-5

7. lim 4n2 -3n+4 n-tm 5n4 +2n2 - 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PLlCAClONES DE ALGUNAS SUCESIONES IMPORTANTES Existen otras

Progresiones geométricas dos ejemplos que explotan las nociones

Recordemos una sucesión especial estudtada anteriormente denominada progresión de aproxima- geométrica, la cual es una sucesión cuyos términos aumen :an o disminuyen de acuerdo al ciones y Iimi- producto de cada término por un valor constante llamado ra rón(supondremos que r # 1). tes de sucesiones revisa- das en la pre- Su término general es. sente Unidad.

n i a,, = a,. r

60 I

1 Si estamos interesados en calcular la suma de los n primeros términos de la progresión, utilizamos la fórmula conocida:

l Observemos que {S,) es otra sucesión, obtenida a partir de {a,}.

r: I 1 Consideremos la sucesión infinita de esas sumas.rl

t Esto m e s más que la sucesión de sumas parñales de una sucesión cualquiera. En el caso que estudiamos, de una progresión geométrica, a medida que n crece, ¿que ocurre

l con S" ?

I Calculemos: lim S, n+m

a lím S" = lím 1- lirn % . rn

n+m n-+m 1 - r n+m 1 - r

¡ Aplicando el álgebra de limites obtenemos:

1

Luego, para calcular lirn S,, debemos determinar lím r \ el cual depende " + m n+m

estrictamente de r, esto es de la razón de la progresión geométrica

I Tenemos dos casos. 1

n lirn r = m si l r l > l . n + m

¡Justifica los resultados anteriores!.

Sugerencia: Analiza con cuidado que ocurre al elevar la razón r a la n-ésima potencia en cada caso 1

¡Se aplico el álgebra de l imi tes de sucesiones establecida a n t e r i o r - mentel.

- I c r c l .

r c -1 o bien r > 1.

I r1 Esta sucesión de sumas se llama serie geometrica y tiene gran importancia en muchas situaciones de la

matemática y otras disciplinas.

61

En forma más general po- dría escribir- se: =(,+;T con ken R - (O). Sin embargosólo analizaremos el caso particular k=l.


1. que ocurre SI la ra

Ayuda: Recuerda I

2. Sea {a,) = { l , 112, 114, 118,. ). Calcula

3. Sea {b,) = {3, 6, 12, 24, 48 ,... ). Calcula

n+m

4 El número "e"

Analizaremos a continuación la sucesión:~~

En este momento hacia donde con construyamos una tabla de valores de esa sucesibn

50

100

r] Esta sucesión tiene gran importancla en el planteamiento de modelos i e crecimiento demográfico. Así mismo, tiene muchas aplicaciones en las ciencias, en la Ingeniería y en la r ciencias sociales.

I Completa la tabla anterior con los valores que faltan.

Observamos que esta sucesión converge a un número en particular. Si tuviéramos

1 posibilidades de calcular muchos más valores, observariamos lo que sucede cuando n +m, verificandose:

l este es precisamente el llamado número "e".

Asi, 1 lim ( q + fJn = e

n-+m

1 y en la práctica consideramos la aproximación e m 2,7183. 1

La paradoja Aquiles y la tortuga I 1 Ahora si estamos en capacidad de dar una explicación.clara a la "Paradoja" de

Aquiles y la tortuga utilizando las nociones elementales de limites de sucesiones planteadas con anterioridad.

t Construyamos 3 sucesiones:

La explica- ción aqui establecida no es la más formal pero es válidav utiliza

{Dn) la sucesión de distancias recorridas por Aquiles a partir del punto A (ver las n"iOnes

figura página 30) de limite de sucesiones

{dn) la sucesión de distancias recorridas por la tortuga, contándolas a partir del punto A (ver figura página 30)

{t,,} la sucesión de tiempos utilizados en recorrer tales distancias.

En la tabla que presentamos a continuación mostramos tales sucesiones:

1 I rl "e" es un número irracional, base de los logaritmos naturales o neperianos. Las cifras de e pueden

obtenerse hasta la aproximación que se desee teniendo en cuenta:

planteadas en la Unidad. Para una ex- wlicación formal tendria- mos que partir de lo esta- blecidoaqui y toda unaserie deconceptos que no están a nuestro alcance.

Recordemos que la rapidez de la tortuga es Icm/s= 0,01 mls, y la de Aquiies es 100 cmls = 1 mls.

1 1 1 1 e - i + i + + ...... + - + ..... donde n 1 = 1 . 2 . 3 ..... n eselfactorialden.

1 1 Z ! 3 1 n !

Si analizamos la sucesión {d, - D,), cuando n+m se tiene

2n + m,

2n+ l+m y

,o 2"' + m .

Luego,

1/102"' + o ,

o en la simbologla aprendida a lo largo de la Unidad: Ili 1 (d, - D,)= O. n- *m

Es decir, a medida que el número de mediciones se ha:e grande la distancia entre Aquiles y la tortuga se aproxima a cero .

Este razonamiento descansa sobre la divisibilidad al infir to del tiempo y del espacio Filosbficamente, este es un problema de gran discusión.

Zenón olvidó tener en cuenta el hecho de adicionar infinitar ente las distancias recorridas y los tiempos de duración de las mismas. Es un olvido com irensible. las matemáticas de su tiempo no se lo permitían. I

I

UNIDAD 8

Objetivo m O G'dufm h m ~ e s de,hncione~

"Ningunainoertigaei6n merece el nombredenenciasi no powpor la demortraeión matemdtica". (Lwnnrdo da Vinei;pintor, arquitecto, ingeniero, célebre am'rta y genio del Renacimiento italiano ( 1 4 f 2 - l f l 9 J . S ~ ~ alurioner a la m~temátiea ronfrPeuenter.)

Esta Unidad continúa la discusión de la noción de límite presentada anteriormente en la Unidad 7, donde se trató el límite de sucesiones. Ahora se generalizará dicha noción para el caso de una función cualquiera.

Comenzaremos discutiendo el problema de la velocidad de caida de un cuerpo en un instante. Este problema, y el de las tangentes, surgieron en la antiguedad y fueron precisados mucho tiempo después, durante el Renacimiento. por los matemáticos Galileo Galilei (1 564- 1642), René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665), los cuales requirieron de

1 la idea de aproximación para su solución; es decir, del concepto de limite. M á i tarde, lsaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), utilizaron la noción de límite que

1 aparece en el cálculo de tangentes para la solución de importantes problemas de la mecánica y de la geometriai".

Sobre esta base se introducirá primeramente una noción intuitiva de limite de una función en un punto, para luego presentar una visión geométrica del mismo que permita aclarar la idea intuitiva.

Para profundizar en esta noción se estudiarán los límites laterales y su relación con la existencia del limite. Así mismo, se presentarán diversas técnicas elementales de cálculo de límites basadas en propiedades algebraicas de las funciones.

Se generalizará la noción de límite introduciendo los limites infinitos y al infinito, recordando el límite de una sucesión por un lado y aplicándola al cálculo de asintotas por el otro. Finalmente, se presentarán algunas aplicaciones de las nociones acá esbozadas.

Estas nuevas ideas, incluidas en esta Unidad servirán de base para la Unidad siguiente de continuidad y tienen su aplicabilidad en muchas situaciones cotidianas a todo nivel. Las mismas fundamentan ideas que rebasan los limites de la matemática pura dando respuesta a diversos problemas de la física, la economía y de las ciencias afines.

8.2 IDEA INTUITIVA DE LIMITES DE FUNCIONES I Comencemos recordando que experimentalmente la distancia (d) recorrida en el tiempo

(t) por un cuerpo que cae libremente en el vacio viene expresada por la fórmula:

(g es la aceleración de gravedad) . ¿Cuál es la velocidad de un cuerpo en un punto de su trayectoria, desde una altura determinada ?

Para cálculos prdcticos tomaremos la aceleración de gravedad g= 9,s mis' o bien g = 9,81 mis2.

I P1 Newton desarrolló el "m6todo de las fluxiones", quees de naturalezageom~tricamecdnlca, y los "incre-

mentos evanescentes".

El tiempo lo comenzamos a medir a partir del Instanteque comlenza la caida.

Supongamos que el cuerpo pasa por el punto A en el iempo t y consideremos lo que ocurre en un breve incremento de tiempo (At); esto es. el inte valo que va desde t hasta t+At.

La distancia recorrida aumentara en un cierto valor (A< ). O dis ancia recorrida en el tiempo t

4 r dist; ncia reconlda en el tiempo t+A t

- dista cla recorrida en el tiempo A t b! --

La distancia recorrida en el tiempo t es

g . t 2 d --.

1 - 2

La distancia recorrida en el tiempo t + At es

d 2 = 2

La distancia recorrida desde t hasta t + At es

Para encontrar la velocidad media (V,) en el intervalo I ngitud At dividimos Ad por At 1 Si tomamos valores cada vez más pequeños de At, ecir, si acercamos At al valor

O. y por lo tanto nos acercamos cada vez mbs a t. vemos segundo sumando de (1) se hace arbitrariamente pequeño cuando At se acerca a 0, el valor de V, se aproxtma al valor g.t .

Ejemplo 8.2.2

Verifiquemos lo anterior :

Una pelota cae libremente desde una altura de 50 m. Calcular aproximadamente la velocidad a los 2 S de comenzar a caer.

A Grafiquemos la situación:

o

50 1 distancia recorrida en el tiempo At

Usando la expresión (1) obtenida anteriormente elaboremos la siguiente tabla de valores:

Observemos como a medida que el incremento At se hace más pequeño (se acerca al valor O) el valor de la velocidad media se acerca al valor 19,6 mls que es precisamente g.t = (9,8 mls2).(2 S) comprobándose lo dicho anteriormente. I

Ejemplos 8.2.2 I Veamos a continuación tres ejemplos de "acercarse" a un punto, para lo que utilizare mos funciones y las curas que las representan:

1. Sea f: R -t R definida por f(x) = x3 + 1 y "acerquémonos" al valor " O sobre el eje OX. I A Construyamos una tabla de valores "cercanos" a " x, = 0 :

Observa que nos acercamos a O por la izquierda y por la derecha.

y=r3+1 . -1

X o ;

-2 -t 1

---1

---2

1 ---S

De acuerdo con la tabla de valores y la gráfica. a medida que nos "acercamos" las imágenes de la funcibn se "acercan" a "1".

Esto es

Cuando x -t O entonces f(x) -+ 1. I

Sea g definida en R por g(x) = 2x + 1.

A Calculemos g para algunos valores cercanos a x, = 3:

"O"

Si obse~amos la gráfica de la función y = g(x):

Y + / y=2x+1

O ~ S ~ N ~ ~ O S ciertas características parecidas al caso anterior: I Al "acercarnos" al valor "3" bien sea con valores menores o mayores que 3, es decir,

por la izquierda o por la derecha, las imágenes de la función g se acercan al valor "7".

Esto es:

si x + 3 entonces g(x) + 7 I y esto ocurre cuando nos acercamos por la izquierda de 3 o por la derecha. 1 I

3. Sea f definida en R-(2) por

Estudiemos el "acercarse" al valor "x, = 2".

A Construimos la siguiente tabla de valores:

Observa como hemos excluldo el 2, ya que el mismo, no pertenece al Dom(0. ~ s t o implica que x=2 no posee imagen mediante f; luego, existe una ruptura en la graflca lnldlcada por un pequeflo circulo O .

Gráficamente:

particular, en este caso a 4. 1

f(x) también se "acercan" a un valor determinado L .

I

+ LIMITE DE UNA FUNCI~N EN UN PUNTO^^ I Definición 8.1 (Limite de una función en un punto)

Sean f: D c R -t R una función y x, E R. Decimos que existe el límite L de f(x) en el punto x, si para cualquier x E D cuando x se acerca a x, , entonces f(x) se acerca a L. Lo denotaremos de la siguiente manera: Si x+x, entonces f(x)+L, lo cual leemos: cuando x se acerca o tiende a x, entonces f(x) se acerca o tiende a L. O en la notación mas usada, se escribe:

Iím f(x) = L X -t Xo

que se lee:

El limite de la función f(x) cuando x se acerca (tiende) a x, es L. + I Reescribamos lo obtenido en los ejemplos dados anteriormente usando esta notación:

Se lee: el limite de la función x3 + 1 cuando x tiende a O es 1

lim ( 2 x + 1 ) = 7 x-t 3

Se lee: el limite de la función 2x + 1 cuando x tiende a 3 es 7

Se lee: el limite de la función cuando x tiende a 2 es 4. x - 2

Ejemplos 8.2.3 I Usando la definición dada anteriormente obtenga los siguientes limites: I

1. lim (x2 + 5 ). x+2

A Elaboramos una tabla de valores cercanos al punto 2 y analizamos hacia dónde se aproxlma la función

I r] La definición que daremos a continuación es totalmente intuitiva; carece de formalismo matemático, pero a

nuestro nivel, es la primera tentativa de compredcr tan importante concepto. En el curso de Matemática 11 (101) se dará una definicldn formal de limite.

73

Calcula valores mis cercanos a 2 para que visua- lices mejor el resultado.

2.

m Calcula valores más cercanos a 3 para que visua- lices mejor el resultado.

lim ( x Z + 5 ) . 9 . 1 x+2

lim x?. x + 3 x - 3

mos hacia donde se aproxima la funci6n.

3,03 6,03

3,05 6,05

De acuerdo con la anterior tabla de valores podemos dec r que:

Iim U-E. x + 3 x - 3

Observemos que f(x) no esta definida en x=3. 1

OBSERVACI~N

En la anterior defihición es importante destacar:

.k x, no necesariamente pertenece al Dominio D de la función : la definición de limite se interesa en valores x "cercanos" a x, pero no en el punto o valor x,.

.k Si x, pertenece al Dominio de f, no necesariamente f(x,) coincide con el valor de lim f(x).

x+xo

.k Si x, no pertenece al Dominio de f entonces f(x,) no existe; sin embargo, es posible que exista Iím f(x).

X 4 X o

.......................... I

Ejemplo 8.2.4

Sea

Deseamos calcular Iím f(x) . X+ 1

A Construimos una tabla de valores de f donde apreciemos las imágenes de valores próximos a 1, así como su gráfica:

Revisa nuevamente la definición y observa que x, no necesariamente pertenece a Dom(i). En la definición sólo se establece que x, es un número real.

( Observamos como: I El limite existe lim f(x) = 2 y f(1) = 3. 1 pera nocoinci- x-t 1 de con el valor

1 1 2. Sea g: R-tR definida por : 1

I --------

8.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 1

Para aclarar la definición de dada anteriormente, analizaremos a continuación qué ocurre al punto de vista geométrico.

1 Tomemos la siguiente función: 1

Calculemos:

lím f(x) . x-t 2

Las herramientas que hemos utilizado, hasta ahora, han sido: elaborar una tabla con valores próximos al punto donde se desea calcular el limite y construir su gráfica.

De acuerdo a nuestra noción intuitiva debe ser:

lim f(x) = 3 . x-t 2

Observemos la siguiente gráfica en la cual se ha centrado un intervalo de longitud 2 en el valor 3 que es nuestro límite.

tracemos nuevamente las paralelas y perpendiculares mencionadas anteriormente: existe nuevamente un intervalo centrado en x,= 2 : 1 /' i d.; ,

X

1 2 3 4 5

intelvaiocentradoe~ 2.

Obsérvese otra vez como todo elemento del intervalo centrado en 2 tiene su imagen, mediante f, en el intervalo centrado en 3.

X

Reduzcamos el intervalo centrado en 3 esta vez. digamos, a una longitud de 0.5 :

Realiza nuevamente los d e s p l a z a - mientos vi- suales como los hechos anteriormente.

Trazando las paralelak y perpendiculares correspondientes conseguimos un intervalo centrado en 2:

As1 mismo, también en este caso, todo elemento del int imagen, mediante f, en el intervalo centrado en 3.

7 ' 5

CompruBbalo, Lo anterior se puede seguir haciendo indefinidamente; cambla la es- del intervalo centrado en el Ilmite L= 3 exlstirá un inter~ cala para que visualmente

hacia el cual tiende x, tal que las imágenes, mediante f,

observes la intervalo están en el primero. concluslbn obtenida. Esto nos permite establecer una definición geomdtrica

punto.

Definición 8.2' (Limite de una función en un punto) Sean f:D c R + R . x, y L números reales, f(x) cuando x se acerca o tiende a x, si F alrededor de L existe un intervalo abierto alri nes mediante f de los elementos del intewal( el interva lo alrededor de L. +

Ejemplos 8.3

I 1. Geométricarnente determina el valor del limite siguiente lim (5-9x1 .

1 A Construyamos la gráfica de la función f(x)= 5-9x :

P] Excepto, qulzAs, la lmagende x,, pues x,no necesariamente pertent 80

o en 2.

aio centrado en 2 tiene su

o es, para cualquier tamaño 8 centrado en el punto x,=2, los elementos del segundo

Iimlte de una función en un

scimos que L es e l limite de 3 cualquier intervalo abierto mdor de x,, tal que, las imáge ?ededor de ~ $ 1 están todas en

al domlnlo de la función f.

lntuitivamente el valor del límite debe ser - 4.

Según la definición 8.2 para que L= - 4 sea el limite de 5 - 9x en x,= 1 ha de cumplirse que: Para cualquier intervalo abierto alrededor de - 4 debe existir un intervalo abierto alrededor de 1 tal que las imágenes de los elementos de este último pertenezcan al primero. Veámoslo gráficamente con algunos intervalos:

Intewalp(-5.4) centrado en -4, de ionguitud 2.

Intervalo (-4.5; -3,5) centrado en -4, de longuitud 1.

Obsérvese como se verifica la definición dada anteriormente. Podríamos. eventualmen te. seguir reduciendo la longitud del intervalo alrededor. de - 4 y siempre existirá otro intervalo alrededor de 1 tal que las imágenes de los elementos de este último pertenez. can al primero. 1

2. Verifica geométricamente que: lím (xZ-2) = 7 . x+ 3

A La gráfica de la función f(x) = x2 - 2 es:

A T E N C I ~ N : Para visualizar mejor los intervalos sobre el ejeX, consideramos sobre este eje una escala dis- tinta de la utilizada sobre el ejeY,

Se ha tomado un intervalode longitud2 alrededor del supuesto limite -4 obtenién- dose un res- pectivo intervalo alrededor del 1, número hacia el cual e s t a m o s

:

aproximando X.

Construyeuna tabla de valores cercanos a 1 para que lo verifiques.

Luegose reduce la longitud a la mitad y bcu- ?re similqr ci- tuación.

Esto se puede seguir haciendo indefinidamente.

3. Geométricamente calcula el valor de: Iím h(x) , donde

A lntuitivamente el valor del límite es 1.

I La gráfica de y = h(x) es: Exceptoel punto (4,l)que lo encerramos con un circulo pequeno.

Ubiquemos intervalos de longitudes cada vez menores al re dedo^ del limite intuitivo 1 y o ~ s ~ N ~ ~ o S como para tales intervalos existen correspondientes intervalos alrededor del 4, valor al cual nos aproximamos, para los cuales las imágenes de sus elementos, mediante h, caen en los primeros.

Notemos que a pesar de que 4 @- Dom h se verifica la definición geometrica planteada anteriormente. I


1. Observa la siguiente gráfica de una cierta función f:

Intuitlvamente, cuando x -t 2,~hacia dónde tiende f(x)? GrAficamente, ¿cómo verificas lo anterior?

2. Seag(x)=x-2.

f) Reduce la longitud de 1 a la mitad y repite (c), (d) y (e).

g) Repite (f) reduciendo la longitud de 1 a la cuarta parte.

1

8.4 L~MITES LATERALES

t i

t La siguiente tabla presenta las tarifas postales, por envio de cartas dentro de Venezuela,

para abril de 1994.

Peso (g) Tarifa (Bs.)

Más de 20 hasta 100



Esta tabla de valores puede ser el punto de partida para definir la siguiente función. 1 I

I

Sea x el peso de la carta en gramos y t la función tarifa postal en bolívares: I

Hasta 20

50

80

120


t : ( 0,1000 ] -t R definida por

24 abreviatura de gramo en el Sistema Internacional SI.

160

¡ Gráficamente:

I

ATENCI~N: Hemos tomado distintas escalas sobre los ejes de coordenadas.

sando la funci6n t obtenemos :

acercamos por la derecha su costo es de 80 6s.

¿ Cual será el limite de t(x) cuando x + 1007 1

Observemos ahora la siguiente función:

l Hasta ahora nos acercábamos a determinado número x, y la tabla de valores reflejaba inmediatamente el valor hacia el cual se acercaban las ordenadas.

¿Qué es lo que ocurre ahora? Observa nuevamente la tabla de valores y el ejemplo anterior de las tarifas postales;

quizás ya te habrás hecho la pregunta de cuál es el problema:

Intuitivamente: ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x +'l?

lCambiemos la pregunta!

1 ¿Cuando nos acercamos (aproximamos) a 1, f(x) a dónde se acerca (aproxima)?

¡Tenemos un Problema!

1 Depende de por dónde nos aproximamos encontramos un determinado valor. I

Trata de responder estas preguntas observando la representa- ción gráfica de la función y su tabla de valores.

Observa la tabla de valores y la gráfica de la función.

1 ¿Cuáles formas de aproximarnos tenemos? 1 i

Observa, con el ejemplo anterior, que podemos acercarnos por números menores que 1 o por números mayores que 1. Gráficamente podemos acercarnos a 1 "por la izquierda" o "por la derecha".

l En este caso particular, cuando nos acercamos por la izquierda (números menores que 1) las imágenes de la función se acercan a 1; cuando nos acercamos por la derecha (números mayores que 1) las imágenes de la función se acercan a 3.

1 Todo lo anterior nos conduce a incluir en este momento una nueva definición que recoja I esa diferencia entre acercarse por la izquierda o por la derecha.

Definición 8.3 (Definición intuitiva de Límites Laterales) lb

Por la Derecha: Sean t D c R +R una función y x, E R .Decimos que L es e l límite lateral por la derecha de f(x) en x, , si para x -+ x, pero x > x, ( x se acerca a x, por la derecha) entonces f(xJ se acerca a L.

Por la Izquierda: Sean t D c R-tR una función y x, E R .Decimos que L es e l límite lateral por la izquierda de f(x) en x,, , sipara x + x, pero x < x, ( x se acerca a x, por la izquierda) entonces f(x) se acerca a L .

Convendremos en denotar el acercarse por la derecha como x-txi , y el acercarse por la izquierda como x+xo .

-

Lo cual leemos:

Lo cual leemos:

En este caso los límites laterales NO oolncidenl

Qué ocurre con lím f(x) ?

Más adelante le daremos respuesta a esta interrogante.

Ejemplos 8.4

1. Sea: g(x) = 2x+1 ,

calculemos los limites íaterales de g(x) en el punto x=2, esto es:

lim g(x) y lim g(x) . X+2 x+ 2*

A Veamos la gráfica de la función g y construyamos una tabla de valores cercanos a x,= 2, por la derecha y por la izquierda:

De acuerdo con la gráfica y con la tabla de valores obtenemos: I I '[m ( 2 x + 1 ) = 5 y lim ( 2 x + 1 ) = 5 . x+2 x+ 2'

[En este caso los dos límites laterales coincidenl y Iím (2x + 1) = 5. x-t 2 8

89

que n x < n+l y cuya gráfica es:

Recuerda que [x] tambien se denotame- diante E(x).

De acuerdo con la deflnl- ción tene-

Esto es :

De todo lo anterior concluimos:


1. Sea,

a) Grafica h. b) Obten una tabla de valores cercanos a O c) Intuitivamente, ¿cuál es el Iím h(x)?.

x-t o d) Obtiene: Iím h(x) y Iím h(x).

x-to* x+ 0.

2. Sea c (x) = 1x1 .

a) Grafica C. b) Obtiene una tabla de valores cercanos a O. c) Intuitivamente, ¿cuál es el Iím c(x)?.

x-t o d) Obtiene: lim 8 (x) y lim 8 (x).

x +o* x+ o.

3. Dada una función Y = f(t) cuya gráfica en el intervalo [-4,4] es la dibujada a continuación:

i

y

+ t

, -1

J . , . 2

1

donde f(-1) = -2, f(4) = 2, f(2) = m y f(-4)=1.

Calcula: lim f(t), lim f(t), lim f(t), lím f(t), lim f(t), Iím f(t), lim fjt) . t+o- t+ot 1 t-t-l+ t+2 t+4- t-i-4

es a los ejercicios propuestos

dio con la función

os limites laterales, en el punto 1 de la lista 8.4 con la funcidn

los ejemplos donde los limites :re esos límites. A continuación este comentario.

)N LA EXISTENCIA DEL

x)

L.

:riormente, calcula:

:) . 1

tenemos que 1 ,

no existe Iim t(x). 1 x+250

92

Analicemos los cuatro ejemplos dados que son anterio 8.4:

En el caso de las tarifas postales, en el ejemplo que sig

1 x si x <1 f(x) = 2 si x =1

x+2 s ix >1

y en en ejemplo No 2 de la lista 8.4 con la función parte entera, x, donde los calculamos, son diferentes, mientras que en el N g(x) = 2x+1, son iguales.

Cuando tratamos de aplicar la definicibn intuitiva 8.1 a laterales son distintos, no fue posible debido a la diferencia eii estableceremos una proposición que nos permitirá formalizar

----------------------------

8.5 RELACIÓN DE LOS LIMITES LATERALES C L~MITE DE UNA FUNCI~N EN UN PUNTO

Proposici6n 8.1 Seanf: D c R + R y L,xo ER.

Se verifica que existe el lim f(x) X + X 0

y es L si y solamente si existen: lim f X ' X 0

y lim f(x) y lim f(x) = lim f(x) = x + x 0 X + X O x + X0

------------------.---------

Ejemplos 8.5

1. Recordemos la funcibn tarifa postal t(x) planteada ant

irm t(x) Y irm t( x+250 x+250'

A De acuerdo con la tabla de valores y la gráfica de

Ilm t(x) = 80 y Ilm t(x) = 12í x-t250' x+250t

y, de la anterior proposición 8.1, podemos concluir qt e

I 2. Estudia el comportamiento de la función E(x) = [x] (parte entera de x) en las cercanias de xo=3. I

A De acuerdo con la definición de límites laterales, la gráfica dada anteriormente y con la siguientes tablas de valores:

Estudiemos [x] en 3' (valores de x "cercanos" a 3 y menores que 3) l

I Estudiemos [x] en 3' (valores de x "cercanos" a 3 y mayores que 3)

l

Obtenemos: Iím [x] = 2 y lím [x] = 3 . x+3' x+3'

Puesto que los resultados son diferentes entonces, de acuerdo con la proposición 8.1 anterior, no existe el Iím [x]. I

x+3

3. Sea f(x) definida por:

i x+l si x < O f(x) = 2 si x = O

x2 SiX>O.

Estudia el comportamiento de f(x) en las cercanías de xo = O

Veamos su gráfica

De acuerdo con los resultados obtenidos tendremos:

f(x) = x- 2 en el punto xa = 1.

Tomemos valores de 1'( Valores de x "cercanos" a 1 y menores que 1)

Tomemos valores de It ( Valores de x "cercanos" a 1 y mayores que 1)

Como se ve claramente:

y lim f(x) = -1 , x+1*

luego, aplicando la proposición anterior 8.1, el lim f (x ) existe y es igual a -1. 1 X-YI


1. Calcula los limites laterales de las siguientes funciones y utiliza la proposición 8.1 ante rior para verificar la existencia del limite.

a) f(x) = 2x - 3 en el punto x=2.

b) E (x) = [xl en el punto x=5.

x-1 s ¡ x < I

33 si x = 1 en el punto x = 1

x s i x > I

Construye una tabla con valores a la izquierda y a la derecha de los puntos dados. Dibuja la gráfica res- oectiva.

1 2. Sea E(x) = P ] la función parte entera de x. Calcula I iim [x] y Iím [xl . x-t(/+ ~ 4 %

¿Qué se puede decir del Iím [x] ? x+%

3. Dada la función f: [-lo, 201 -i R definida por

b ) Calcula lím g(t) y lim g(t). t 4 t+4'

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ - -------- l

JC

donde, k en una constante, calcula el valor de k para qu exista el lim f(x).

4. Sea g: [2,4] -+ R definida por 1 +-.

El limite de una función en un punto no es si valor de la funcián en tal punto. Revisa la de- finic16n dada inicialmente. Sin embargo, su c&lculo en algunos ca. sos es posible realizarlo con fa técnica aqui expues- ta.

8.6 TÉCNICAS PARA EL CALCULO DE LIMITES

Hasta ahora hemos "calculado" los limites de funci geom6trica. En este momento introduciremos algunas técnica límites de funciones de una manera un poco más técnica.

TBcnica l. Revisamos la definición de lafunclón, su d< cia, en relación con el punto donde se cal4 Después de hacer esta revisión evaluamos punto donde calcularemos el limite. "' Este valor será el limite de la función.

~nes de una manera intuitiva y i que nos permitirán el cálculo de

minio y regla de corresponden ulará el limite. de ser posible, la función en el

1'1 Recuerda que existen casos que no nos permltiren evaluar cierta -Dlvlslón por 0. Aalces con lndices pares de niimeros rn3gatlVOS. -Logarltmos de valores menores o Iguales a O.

96

i funciones en determinados puntos:

Ejemplos 8.6.1 I

A La función f(x) = x2- 4 no posee ninguna restricción en su dominio, luego es posible evaluarla en x=2.

Evaluándola en x=2 obtenemos: f(2) = 22- 4 = o ,

luego: Iím (x2 - 4) = 0. I x+2

2. Ilm xZ- 1 x+4 X-6 '

l x 2- 1 A La función f(x) = -

x - 5 tiene como dominio R-{5) luego, es posible evaluarla en 4.

t Evaluándola en x-4 obtenemos:

luego:

Ilm x 2 - 1 =-15. x+4 3

A La función f(x) = a tiene como dominio [?,+m) luego es posible evaluarla en 2.

1 Evaluándola en x=2 obtenemos: f(2) = J21T1 =1

luego:

4. lim x 2 - 8 x + 15 x-3 x - 3

x2-8x+1 5 A El dominio de la función f(x) =

x -3 es R-(3) luego, no es posible evaluarla en

el punto x=3. Con lo que hemos tratado hasta aquí no podemos calcular este limite. I

NOTA: Para cualquier polinomio P(x) o para el cociente de dos polinomios P(x)/Q(x) con Q(xo)tO, es posible calcular los limites: Iím P(x) y lím PJxJ por el procedimiento aqui expuesto. x+xo x+x~ Q(x)

1 Ejercicios propuestos 8.6.1

Calcula, de ser posible, los siguientes límites evaluando tos indicados:

1. lim (x2 - 3x + 5). 1 x+-2

x' + 5x - 7 2. lim

x+-1 + 2

Recuerda revisar los casos de factorizaclón y de productos notables para que pue- das afinar la t6cnlca ex- puesta y sea sencillo resolver los e1erc ic ios aquí propuestos.

Técnica 2. Si aparecen algunas restricciones que lii levantarlas de la siguiente forma: Factorizando, usando productos notables, de una expresión. Luego evaluamos la func

Ejemplos 8.6.2

1. Retomemos el ejemplo 4 de la primera técnica expue

A El dominio de la función considerada f(x) es R-{3), x=3 .

Factorizando el numerador y simplificando obtenemo!

esta última expresión no posee restricciones para ser Evaluando en x=3 la función g(x) = x-5, obtenemos

I g(3) = 3 - 5 = -2. luego:

lim xZ- 8~ + 15 = lirn (x-5) = - 2 . x+3 x - 3 x+3

r] Si g(x) = x .5, entonces f(x) = g(x) para todo X i i 3.

98

respectiva función en los pun-

an el dominio, tratamos de

iltiplicando por la conjugada resultante en el punto XO.

(lista de ejemplos 8.6.1):

go, no es posible evaluarla en

8 ) -

aluada en ningún valor

1

I 2. Calcula:

lim xZ- 16 x+4 x - 4

A El Dominio de la función f(x) = x2 - 16 es R-{4} luego no es posible evaluar direc x - 4

I tamente la función. Factorizando el numerador y simplificando resulta:

1 3x2 -2x

l A El dominio de f(x) = ---

X es R-{O}. Al no ser posible evaluar directamente en x=O

factorizamos el numerador y simplificamos la expresión, resultando:

Evaluando esta Última función en x=4 obtenemos:

4 + 4 = 8 ,

luego: I

x 2 - 1 6 8, , lim ~ + 4 X-4 =

1 3. Calcula:

lim 3x2 - 2x x+o X

Evaluando en x=O, tenemos:

lim x2-16'- X" x-4- lim (x+4) . X+4

luego: iim 3X2;2x = - 2. I x-to

4. Calcula:

x2 + x - 2 AEl Dominio de la función f(x) = es R-{1,2}, luego no es posible evaluarla

x 2 - 3 x + 2 en x=l.

Factorizamos el numerador y el denominador y simplificamos, resultando:

x2 + x - 2 - (x-?)(x+2) - (x+2) (x # 1) , - - x2 -3X + 2 - (x-I)(x-2) (x-2)

lim x2+x-2 - x-1 x'-3x+2- m x+2. x->r x-2

! por no pertenecer al dominio.

ón conjugada & + ,h del nu-

- 1 3 (X f 2) A+&

~om(f)= i O . + O ) .

&-A lim = x + 2 x - 2

iim 1 x - l & + J I '

Evaluando en x=l, obtenemos:

1+2 3 -=-=-3 1-2 -1

luego:

x2+x-2 Ilm =-3.

x2-3x+2 I

x+l

5. Calcula: lim

A-& A No es posible evaluar la función f(x)=--- en x= x-2

Multiplicando numerador y denominador por la expres merador, obtenemos:

JX-&-JX-J2 &+di x-2 x-2 &+& ,

efectuando el producto notable y simplificando

J X - , h J X + , h - - x - 2

x - 2 ' . \ l x + J I ( x - 2 ) ( J X + J i )

evaluando esta última expresión en x=2 obtenemos:

1 1

fi+J2-245 luego:

1 JX-J2 ' ( 7 1 - 2 h

@ Ejercicios propuestos 8.6.2

Calcula utilizando lo anteriormente expuesto:

2 - - 1 0 , 1. llm x3;2 X-i-2

2. lím 1(-2a_, x-i5 x-5

1 O0 I

Técnica 3. Usamos el ALGEBRA DE L~MITES DE FUNCIONES, la cual tiene como base el álgebra de funciones:

I ALGEBRA DE L~MITES DE FUNCIONES

Sean f: D c R->R y g: DcR-R funciones y x,, L, M E R tales que

Iím f(x)=L y lím g(x)=M x+xo X+X,

entonces se verifica:

1. lím [f(x) + g(x)] = lím f(x) + iím g(x) = L + M. x+xo X+X, x-tx,

2. Iím [f(x). g(x)] =lím f(x). lím g(x) = L . M. x-tx, x+xo X+XO

3. lim [c.g(x)] = c.lím g(x) = c.M (c ER). x+x, x+x,

4. Si M#O entonces Iím [f(x)/g(x)] = Iím f(x)/lím g(x) = L/M. X 3 X 0 x+x, x+x,

5. Si f(x) = c (c ER) entonces lím f(x) = c para todo x, E R. x+xo

Ejemplos 8.6.3

1. Calcula

lím (x3 + 5xZ + 7x + 8) . x+3

A Aplicando el recuadro anterior obtenemos:

Compara lo aqui presentado con e l álgebra de Ií- mites de sucesiones de la Unidad 7.

En palabras se establece que el llmite de la suma de dos funciones es la suma de los limites de las funciones. Análogamente las otras pro- p i e d a d e s (enúncialas).

l Ejercicios propuestos 8.6.3

1 Calcula aplicando el álgebra de limites : 1

1. lim (x3-3x2-6x+9) x+3

2. lím 4x2 - 3x x+5 x + 7

1 5. Dadas las funciones

Calcula los siguientes límites:

a) lim f(2+h)-f(2) h - 1 0 h

b) lim g(t)- g(l) 1 - 1 t - 1 '

6. Consideremos la función f: R +R definida por

f(x)-f(0) Calcula lim -en el caso de que este limite exista. x+o x

8.7 L~MITES INFINITOS Y L~MITES AL INFINITO I Comencemos recordando la ley de compresibilidad de los gases de Boyle-Mariotte I']

que establece que a temperatura constante el producto de la presión, p, de un gas por su volumen ,V, permanece constante:

p V = cte. o dicho de otra manera las magnitudes p y V son inversamente proporcionales: 1

V = ctelp. La gráfica de tal relación es la siguiente:

i'1 Boyle, Robert (1627-1691): Flsico Y quimico irlandés. enunció en 1660 la lev de comoresibilidad de los .~ ~ ~~ ~ ~

gases. ~ariotte, Edme (1620-1684)én'unció la misma ley de Boyle sin tener &nocimiento de los trabajos de Bste. Esta ley vale para los "gases ideales": los "gases reales" se aDroximan a este comoortamiento para presiones bajas.

.

¿Hacia qu6 número o hacia dónde se aproxima I l x 7 I Por la tabla de valores intuimos que al acercarse x a O' el valor de la función se hace cada vez mayor, la gráfica igualmente lo refleja

Podrlamos decir que cuando x+ot entonces f(x)++m (recuerde lo que significa +m). I Aclaremos un poco la situación: 1 Tomemos en primer lugar la función planteada; y fijemos un valor M=2 en el eje Y. Si tomamos un intervalo abierto sobre el eje X, de longitud 0,5 a la derecha de 0, tendremos:

,, El intervalo se ha ubica- do en el eje X y partiendo de O. Despldzate visualmente Y vertical- mente partiendo del intervalo en el eje X hacia la curva que re- Dresenta a f: notecomo tai

Observamos como la imagen, mediante f, de cualquier elemento del intervalo es mayor curva apare- ciue 2 . ce ~ o r enci-

Si seleccionamos otro valor de M en el eje Y digamos M=4:

'Ir

2

Intervalo (0;0.25)

Observamos igualmente como al tomar un intervalo sobre el eje X, de longitud 0,25 a la derecha de O, la imagen de cualquier elemento perteneciente a ese intervalo es mayor que 4.

ma 'del valor / de M.

Si seguimos fijando valores positivos para M observamos como al escoger cualquier valor de M siempre existirá un intervalo sobre el eje X a la derecha de O, de cierta longitud, tal que las imágenes de sus elementos, mediante f, siempre estarán por encima de tal valor M. 1

Sea ahora g:(-m,O) + R, con g(x) = l / x . Analicemos

1 Ilm - . x-10-

M,O,

observa que por res- tricci6n del dominio, s61o podemos

acercarnos a

O izquierda. por la

105

Y , Intervalo (-0,25:0)

2 1 . X

s(x)<- 4

notamos igualmente como al tomar un intervalo sobre el eje X a la izquierda de O de longitud 0,25, la imagen de cualquier elemento perteneciente a ese intervalo es menor que - 4

En los dos ejemplos anteriores se calcularon limites laterales:

Si seguimos fijando valores negativos para M observamos como al escoger cualquier valor de M siempre existirá un intervalo a la izquierda de O, de cierta longitud, tal que las imágenes de sus elementos mediante g siempre estarán por debajo de tal valor M. I

1 f(x) = ; si x s(0,m). Se tiene que:

M<O.

si x+O' entoces f(x) + +m. 1

g(x) = - si xs (-m,O) . Se tiene que: X

si x+O- entonces g(x) + -m.

En la práctica nos encontramos con muchas funciones que tienen limites infinitos en ciertos puntos xo y que necesariamente no son límites laterales. He aquí algunos gráficos de funciones con tales características:

Si fijarnos un valor M>O en el eje Y, siempre existirti un intewalo centrado.en x, tal que las imtigenes de suselemen- tos (excepto la del punto x,) mediante h están porencima de ese valor M.

Si x+xo entonces h(x)++ m. I

fijamos un valor Me0 en el eje OcDorn(F),con slempre existlrá un intervalo

' . ntrado en O tal que las imáge- F(x)=--

x2 s de sus elementos (excepto del punto 0) mediante F esthn r debajo de ese valor M.

4

a -m o + m en algún punto xo, bien sea a la derecha de , a la izquierda de xo (x; )o en el mismo punto xo (tanto a la derecha como a la izqui por ello se han considerado distintos tipos de intervalos sobre el eje OX: 1

\

l

I

intervalos (-O$; O), (-0,25; 0).

(-a, a), a > 0. 1

definici6n; donde por intervalo J(xo) entenderemos de esos tres tipos de intervalos

108

I

1 Definicibn 8.4 (Límiks Infinitos)

V Sea ftD c R-tR una función y sea xo E R; decimos que f tiene límite más infinito cuando x se aproxima a xo si para cualquier número real M>O existe un intervalo J(XO )tal que /as imágenes de la función están por encima del valor M, esto es, f(x)>M para todo x EJ(x,,).

Sea f:D c R+R una función y sea xo E R;decimos que f tiene límite menos infinito cuando x se aproxima a x, si para cualquier número real Me0 existe un intervalo J(xo) tal que las imágenes de la función están por debajo del valor M, esto es, f(x)<M para todo x E J(xO).

En estas definicones no interesa ei valor f(x,), e inclusive no es necesario que x, pertenezca al ~ o m ( 9 .

I Estos limites se denotarán: l Iím f(x) = +m (o simplemente m) x-fxo

lím f(x) = -m, X+X0

lo que leemos:

El limite de f(x) cuando x tiende a xo es más infinito (menos infinito). +

lim f ( ~ ) = + ~ , x-.;

lím f(x)=+m,son X"i los otros dos casos.

lim f(x)=+, X-X;

lím f(x)=-a,son X * X ~ los Otros dos casos.

Ejemplo 8.7

Sea h: R-{O) + R definida por h(x) = 1/x2. Calcula Iím h(x) . x+o

A Construyamos una tabla de valores y la gráfica de h(x):

h es simétrica respecto del eje Y. Observa que h(-x)=h(x)


belo calculando algunas cuantas imágenes.

a) Elabora una tabla de valores cercanos a xp2.

la izquierda de x, tal que las imágenes de sus elementos mediante f están por encima del valor M; esto es,f(x) > M

M <O existe un intervalo J a la derecha de x, tal que las imágenes de sus elementos mediante f están por debajo

lím f(x) = +m. :

Si para cualquier número real M O existe un intervalo J centrado en x, tal que las imágenes de sus elementos (excepto x,) mediante f están por debajo de M, esto es,

este momen-

. Veámoslo en la gráfica:

O b s e r v a como los valores de f(x) a partir de x>2, esten en el intervalo

(-lizlj~) del eje Y.

Intervalo (-0,25;0,25) -

SI disminuimos la longitud del intervalo sobre el eje Y, digamos a 0,5 observamos como todos los valores de x tales que x > 4 tienen sus imagenes. mediante f, en este nuevo intervalo.

Y A

Tomando como base el ejemplo anterior podemos introducir la siguiente definición: I

H = 4

Tales límites los denotaremos: Iím f ( x ) = L", x+m

Definición 8.5 (Límites al Infinito)

Sean fDcR+R y LER. Decimos que L es el limite de f cuando x-tm (cuan do x se hace "muy grande'? si para cualquier intervalo 1 alrededor de L existe un número H tal que para todo x>H se verifica que f(x) €1.

o también: Cuando x -+ m entonces f(x) -+ L. t

En el ejemplo anterior, usando esa notación tendríamos:

a

x+m (X aumenta indefinidamente).

Cuando x+m entonces Ilx + O o bien lim llx = 0. x-tm

Para el cálculo y manejo de estos limites se utilizan las mismas propiedades y técnicas enunciadas en la Unidad 7.

Observa que este caso es una generalización del límite de sucesiones, donde se ha extendido la noción no sólo a funciones que van de N a R sino a una función real de variable real cualquiera.

i p.] Podemos decir que el limite de f cuando x se hace "muy grande" es L si fijando un intervalo cualquiera

sobre el eje OY alrededor de L, todas las Imagenes, mediante f , a partir de una deterhinada imagen pertenecen a tal intervalo.

113

La semejanza se perclblrá más fh- cllmentc gl sus- tituye el valor de n por x en cada ejemplo o ejerci- clo de los planteados en la unidad anterior y partiendo de la diferencia en su domlnlo de defl- nlción, en este

Por ejemplo, observa la semejanza que hay entre Iím x - t o

1 primero tenemos la función f(x) =- , x > O, y en el segundo la SI

X

1 De manera análoga puedes comparar Iím --O li x + w x 2 - Y n

ATENCIÓN: No confundas los limites infinitos con los

último caso el valor de x puede Los limites infinitos se refieren a: ser sustltuldo por cualqularnú. mero rea1,a dlfe- rencla de la ante- 1 Ilm f(x) = m, Ilm f(x) i -m, ..... y0tl

x -t x,, x , x;

rlor Unidad donde sólo eran vá- (Revisa el No 4 de los ejercicios propuestos 8.7.1) lidos para al do- mlniode la fun. ción los enteros posítlvos,pues se trata de suce. slones de núme.

En cambio, los límites al Infinito son solamente de do! x+-m:

['l

ilm f(x) y lim f(x). X,CO x 3 - m

ros. I Con estos últimos presentamos un cuadro donde obser

F l na lmen te piense en la posibilidad de que x +-m, esto es, en vez de hacerse x muy grande se haga lnflnlta- mento negati- va.

1 = O y Iím - = O .Enel n - t w n

sión {a,} donde a, =+, n > 0.

1 - = O y otros ejemplos n2

iites al infinito.

análogos (seis casos en total)

los, según que x++m o bien

I sus particularidades:

I [q Puede ser que esos límltes sean lnflnitos (ver gráficas (a), (b) y (c), ágina que sigue despu6s del

cuadro).

En varias funciones de los que conoces por los estudios previos a la Educación Superior y en distintas funciones que se dieron en el Módulo 11, de las más usuales, podemos observar esos límites al infinito o limites infinitos, utilizando las gráficas:

a) b) 2 =: exponencial. Función

. .. X - . - i" X

lím eX=+O lim ex=+m lim e*=O lím @=+m. * x++m x+-m ' X + C o S x+-m

lím Ln x=-m x+o+ lim Ln x=+m x+Co

lim tg x = +m

x+ ($ lim tg x = - m

x+ (3' lim tg x = ?

x+ ($1- lim tg x = ? etc.

+ +(-;)

Función logaritmo y función tangente.

determina:

iím g(t) , lim g(t) , lím g(t), t++m t-t-m t-r-3,5

ANTES DE PASAR A LA SIGUIENTE UNIDAD, TE INVITAMOS A TRABAJAR CON EL AUDIOCASSETTE Y SU GU/A DE ACTIVIDADES QUE ACOMPANAN A ESTA UNIDAD.

UNIDAD 9

Objetivo e O P c f u a r e - c i c i o s conceinienfes a /as

,/&nciones confinuas.

"El universo está escrtto cn el lenguye de la matemdtica y sur caracteres san trdnguloa círculos y otrasfigurar geométrrcar, sin lar cwal~r cr humanamente irnporihle entender una palabra de dl " (Galileo Galilei; matemático, flsico 3, artrónomo italiano (1rsa.1642).)

I Esta Unidad, la llltima de este módulo instruccional, la dedicamos al estudio de la i noción de continuidad de funciones reales de variable real, concepto que tiene vital importancia

en el estudio de la matemática y en la "modelacibn de procesos" y].

En primer lugar daremos una noción intuitiva de continuidad y mostraremos que una gran variedad de funciones con las que hemos venido tratando son continuas.

! Posteriorniente daremos una definición de este concepto usando la noción de llmite estudiada en la Unidad anterior. Tambi6n veremos que al realizar ciertas operaciones con

1 funciones continuas, las funciones obtenidas también resultan ser continuas. Por último,

1 nos dedicaremos al estudio de dos teoremas de gran importancia en el tratamiento de este tipo de funciones, como son el Teorema de Bolzano["J y el Teorema del Valor Intermedio.

9.2 NOCION INTulTlvA DE CONTINUIDAD I Comenzamos presentando una noción intuitiva del concepto de continuidad, la cual

lleva consigo ingredientes geometricos, que debemos tener presente en nuestra mente, pues nos serán de gran utilidad para identificar este tipo de funciones.

Ejemplos 9.2 l

Noción intuitiva de continuidad,

Una funoón real f defin~da en un ~ntervalo finito 1, es continua en 1, SI

podemos dibular su gráfica sin levantar el lápiz del papel +

l . Usando esta primera noción, podemos determinar cuáles de la siguientes seis funciones son continuas

a

rl A princiuiosdel siglo pasado(I82l)fueformalizadoel conceuio defunción continua. de una manera bastan- tesimilara comose conoce hoy en dia, por el matematico francés Louis Augustin Cauchy(l789-1857), quien fue uno de los más grandes exponentes deesta disciplina en su epoca. Posteriormente, el matematico itaila- no Giuseppe Peano (1859-1932), hace una formulación rigurosa de este concepto, la cual es utilizada en la actualidad perosudiscusión escapaa los objetivos de este curso.

r'l Bernhard Boizano. matemático Y filósofo checo (1781 -1848).

121

(

1

continuas. f(x)=axn, n EN, a constante

I 3. También, podemos afirmar que las siguientes funciones son continuas en un intewalo finito 1 verificando la condición indicada:

( t ) = r c O m) ; t , = t g T c - 1 1) 2 ' 2

h(t) = Ln t. I c (O, m) ; m(t) = log t. I c (O, m) . 1

Ejercicios 9.2

1. A continuación se dan varias funciones. Haz una representación gráfica de las mismas 1 y determina si son continuas en su dominio.

L n y , O c y s e , c) h : [O.e] +R. definida por

d) m [ 0,2 n ] +R, definida por sen t , te[O, n) ,

t - n , t ~ [ n , 2x1.

e) n : [-2,3) -tR, definida por

x2+x-2

f) p . [1,2] +R, definida por , X€(1,2],

Hazlasgráfi- cas de esas funciones.

Presta aten- ción a la no- tación de los ejes de coordenadas.

f no es

continua.

CI es continua.

h no es

continua.

m es continua.

n es continua.

, s+o , g) q . [-2,1] +R, definida por q(s)=

A Las representaciones gráficas de las funciones def~ ilustran a continuación v

Usando la noción Intuitiva de continuidad, puede observ, son continuas, mientras que las funciones f y h no lo S

En el caso de la función p, definida en la parte (f), pode

Por otra parte, si x=l , tenemos que x+2=1+2=3=p(l) para todo x E [1.2]; y por lo tanto, la representación gr segmento de recta, la cual corresponde a una función ci figura.

;e que las funciones g. m y n

is observar que

: x+2, cuando x E (1 21.

sn consecuencia p(x)=x+2, ca de esta función es un rinua, como se muestra en la

- si S = 0, entonces q(s)=O

En conclusión la representación gráfica de la función a corresponde a una función &e no es continua. ......................................

I i 2. Determina el valor de la constante k, para que la función f:[-9,101 +R definida por

- 1 , t E [-9, O] f(t) = , sea continua en el intervalo [-9,101.

k , t t (O, 101

A La grafica de la función f se muestra en la figura.

Como puede observarse esta Y = f(t)

función es continua si k=-1, ya que de esta manera la gráfica de f es la ilustrada en -1 la figura.


1. Haz las representaciones gráficas de las siguientes funciones y determina si son funciones continuas en el (los) intervalo(s) que se indica(n):

q no es

continua.

f es continua

si k=-l.

Antes de intentar hacer las gráficas de lasfuncio- nes dadas. haz las sim- plificaciones posibles.

* * t + , 1 0 -2525-1. C) h . [-2, 11- R, h(t)=

-1< t < 1 .

9.3 UTILIDAD DE LA FUNCIONES CONTINUAS

Antes de proseguir nuestro estudio de la noción de continuidad es conveniente intentar responder las siguientes preguntas:

l ¿Para que nos sirve estudiar este tipo de funciones?

! ¿Tienen alguna importancia dentro de los procesos de la vida o de la naturaleza?

Veamos unos ejemplos que intentan aclarar las interrogantes planteadas. I + Supongamos que tenemos dos procesos o fenómenos que se vienen desarrollando

hasta el momento t=a por funciones cuyas representaciones gráficas son las siguientes:

Proceso No t Proceso NO. 2 I

Si en determinado momento en el proceso #1 inte~ienen factores no esperados que modifican súbitamente el comportamiento del mismo (baja repentina de precios del petróleo, quiebra de una empresa, -una guerra, una catástrofe natural, una epidemia, el desequilibrio de un ecosistema, un golpe de estado, un accidente, un texto con una excesiva cantidad de errores y otros, según sea el caso), la representación gráfica del proceso #1, seguramente tendría un rompimiento brusco y su gráfica pudiera tener ahora la siguiente representación,

Proceso #l despUBs

del cambio brusco.

pudiera ser la siguiente

sucedido en momentos anteriores. Estas r generan el inter6s de estudiar las funciones

Otra manera de representar estos datos es considerar el costo del dólar durante cada mes, constantemente igual al promedio durante el mes. De esta manera obtenemos la representación gráfica siguiente.

Como puede observarse esta representación corresponde a una función discontinua. Otra forma de representar también estos datos es asociando al primer día decada uno de los meses considerados, el costo promedio del dólar durante el mes, como se ilustra en la figura.

Representa- ci6n de la tasa de cambios del d6- lar.

Observa la diferancia de esta grafica con la primera en el eje OX y espe- cialmente en

l el origen 0.

129

Por Iiltimo podemos hacer una representación, a través cb una función continua, de los datos en cuestión, uniendo los puntos concecutivos de I i representación anterior. con segmentos de rectas, como se indica en la siguiente f i g ~ a .

BslUS $ A '1 138 116..

113:: 112 -- 107

t 1994 01-61 01-02 01-03 01-04 01-05 01-06

Observemos que si calculamos la ecuación de cada u a de los segmentos de recta considerados en la gráfica anterior, podemos calcular el sto del dólar un dla cualquiera comprendido entre el 01 -01 -94 y el 01 -06-94 Claro e a, estos valores son aproxima ciones del costo real I 1

A manera de ilustración presentamos algunos procesos ue se pueden modelar por funciones continuas y discontinuas, por ejemplo.

V La estatura de una persona o la altura de una medida a lo largo del tiempo

La representación gráfica de esta función correspo ide a una función continua cre- ciente Sin embargo este crecimiento no es indefi ido. La representación gráfica aproximada de una función de este tipo se muestrí en la figura

Altura (metros)

Edad (al os) 1

exponencial, bajo ciertas

númerode habitantes Crecimiento de pobla- ciones.

e otras: no hay una Inmigración o bles epidemias o una guerra; es

130

V La curva descrita por un proyectil, es una curva modelada por una función de tipo parabólico o cuadráticoi", como se muestra en la figura:

Altura del Proyectil Movimiento de un proyectil.

V Algunos ejemplos de procesos discontinuos son los siguientes:

* Las tarifas postales

En el siguiente cuadro se muestran las tarifas postales nacionales, por el envio de cartas dentro del territorio, vigentes en septiembre de 1994.

TARIFAS POSTALES NACIONALES[**](CARTAS) VIGENTES SEPTIEMBRE-94

Pesos (gramos) Bs

hasta 20 24 Mas de 20 hasta 100 50

Más de 100 hasta 250 80

Más de 250 hasta 500 120 Más de 500 hasta 1000 160

Más de 1000 hasta 2000 210

Entonces la función t:(0,2000]+R que describe esta tabla la podemos definir por:

donde x indica el peso de la carta en gramos. I Al representar esta función se obtiene una función discontinua como se muestra en la figura.

Tarifa Postal N a c i o n a l 1994. Recuerda lo estudiado en 8.4 de la Uni- dad 8.

Cl Aquí también sesuponen ciertas condiciones, porejemplo, la resistencia del airees mínima y por lo tanto no se toma en cuenta.

P'I Fuente: Instituto Postal Telegráfico de Venezuela (IPOSTEL).

Si asumimos que se verifican ciertas condiciones ideales['. entonces la representación gráfica del inventario puede dibujarse como se muestra en la siguiente figura.

Nivel de existencia

A

Asi como los ejemplos que acabamos de mencionar, existen una gran cantidad de pro cesos cuyas representaciónes gráficas corresponden a funciones discontinuas. Por ejemplo:

l

tiempo

+ El número de estudiantes inscritos en la universidad durante cada uno de los últi- mos diez años o veinte últimos semestres.

Gráfica del inventario. Interpretálo.

+ Los precios mensuales del barril de petróleo en un año. I + Los precios de determinado alimento en un lapso de tiempo suficientemente largo.

+ El número de partidos ganados(o perdidos) por un equipo desde sus comienzos.


1. En el siguiente cuadro se indican las tarifas postales internacionales aéreas, por el envio de cartas a paises del continente americano. vigentes en el mes de septiembre de 1994.

TARIFAS POSTALES INTERNACIONALESr"] AÉREAS (AMÉRICA-CARTAS) VIGENTES SEPTIEMBRE-94

Pesos (gramos)

Tarifa Postal Aérea 1994.

Construye explicitamente una función que describa la tabla anterior. haz la representación de la grafica de dicha función y determina si la misma corresponde a una función continua.

Suponelnos qiie el abastecimiento del producto se haceen intervalos de tiempo regulares. suministrando la cantidad de producto utilizada. Además la cantidad de producto utilizado es proporcional a la existencia, con la misma constante de proporcionalidad en cada intervalode tiempo; y los niveles de existencia varían conti. nuamente en cada intervalo.

r'l Fuente: Instituto Postal Telegráfico de Venezuela (IPOSTEL).

mado del petróleo los dias:

23 de enero de 1986.

25 de febrero de 1986.

l i

~ ~

-,

134

z

En primer lugar, de acuerdo a nuestra noción intuitiva de continuidad, podemos percibir que laprimera representación gráfica corresponde a una función discontinua. mientras aue la segunda es la de una función continua

Ob~eniemOS además lo que acontece con los valores de ambas funciones cuando nos acercamos al punto a.

En la gráfica de la primera función, los valores de ésta No se acercan al valor f(a) cuando nos acercamos al número a, mientras que en la gráfica de la función representada en la parte derecha de la figura, los valores de la función se acercan al valor g(a) a medida que nos aproximamosalpunto a. Esta última característica es la diferencia esencial entre una función continua y una discontinua. Por otra parte, podemos notar que el problema de discontinuidad de la primera función es "solamente" en el punto x = a. Esta situación nos motiva a dar una segunda noción de continuidad en términos de un punto del dcminio de la función considerada, como sigue:

Segunda noción de continuidadT1

Una función f : 1 -t R es continua en un punto a E 1 s i a medida que nos acercamos al punto a, manteniéndonos en el dominio de f. los valores de la función f se acercan al valor f(a). +

1 Ahora bien, si por ejemplo, tratamos de verificar con esta definición, que la función

l f : [1,3]+ R, definida por f(x)=& es continua en a = 2, debemos aproximarnos al punto a = 2, por plintos del dominio de f. Por ejemplo, tomando x igual a los valores:

Si evaluamos la función f en estos valores obtenemos los resultados siguientes:

f(1,9) = 1,378404875 f(2,l) = 1,449137675

f(1,99) = 1,410673598 f(2,Ol) = 1,417744688

f(1,999) = 1,413859965 f(2,OOl) = 1,414567072

f(1,999999) 1,414213209 f(2,000001) = 1,414213916

Estos valores son "próximos" al numero 1,414213562

Al calcular el valor absoluto de cada una de las diferencias de estos valores con

f(2)=fi=1.414213562 se obtiene

l P1 Este fueel concepto de continuidad considerado por Cauchy en el siglo pasado.

135

si x se aproxima al valor a = 2.

Sin embargo, estos resultados NO garantizan que la fu f es continua en a = 2, ya

función, estudiado en la Unidad 8, podemos notar que

Ahora bien, si volvemos a leer la segunda noción de idad y la definición de limite de una función estudiada en la Unidad anterior, podemos o , "sin gran dificultad", que el

formalizaci6n del concepto de continuidad.

iim f(x) = f(a). + x+a

cada punto de 1. +

ese punto. +

En primer lugar, nos debemos percatar que:

que una función es continua en un punto.

136

e También debemos observar que en la definición de limite de una función. estudiada en la Unidad 8 de este Módulo, no se requeria que la función estuviese definida en el punto donde se tomaba el limite(se permite tomar limite cuando x se aproxima a un punto que NO está en el dominio de la función). Pero en el caso del concepto de continuidad es requisito indispensable que los puntos donde la función considerada sea continua, estén en el dominio de la misma.

e En la definición anterior el dominio de la función tratada NO tiene que ser necesariamente un intervalo finito, condición que se impuso en nuestra noción intuitiva.

e Por último. debemos aclarar que existen funciones continuas en un intervalo finito y cuya gráfica no podemos dibujarla totalmente ya que la "longitu8 de la curva representada es "infinita". Situación que sucede con funciones como las que se muestran en la figura.

V

Ejemplos 9.4

l. Después de la definición formal de continuidad que venimos de enunciar y usando los recursos adquiridos en las dos Unidades anteriores, tenemos bastantes elementos para determinar cuando una función es continua en un punto o en todo su dominio, tal es la situación de las funciones f y g dadas a continuacibn:

a) f : R - t R, definida por f(x) =x5- 2 x + 1 1

b) g : (2B.m) + R, definida por g ( t ) = p .

A a) En el primer caso podemos observar que si a E R, entonces: I lim f(x) = lirn (x5-2x+l) = lirn x5 - lim 2x + lirn 1 = a5 - 2a + 1 = f(a). x+a x+a ~ + a x t e x->a

Luego, usando la definición de continuidad, tenemos que la función f es continua en R. 1 b) En el segundo caso tenemos que si a (213, m ), entonces: I

lirn (3t-2)

1-ta t2 [->a t t a lim t2 = da) .

1-8

Con I=(a,b] se tiene a e 1. Con I=(a, b). Se tiene a e 1, 1) E 1,

Se puede considerar g definida en [2/3,m), pero en a = 213 hay que conside- rarel lím g(t) = O. 1->(213)'

Usando la definición de continuidad, se deduce que la función g es continua en el intervalo (213, m), l

2. También podemos usar la definición anterior. la noción i tuitiva de continuidad y las propiedades algebraicas de limites de funciones para gar ntizar que ciertas funciones son continuas. Por ejemplo, si considerarnosla función h: 1 ,I]+R, definida por h(x)= (x5 - 3)eX.

Entonces tenemos, usando la noción intuitiva de continuida que la función g: [- l , l ]+R, definida por g(x)=e: es continua en el intervalo [-l.l], tu go utilizando la definición de continuidad, tenemos que si a E [-1,1], entonces: 1 1

La función exponencial

ea =g(a)=lim g(x) = lirn ex + x-a + x-ta I

a5-3 =f(a)=lim f(x) = lirn (x5- 3) x+a x-ta I L?i

f es continua en x=a I Usando ahora el álgebra de limites. estudiada en la Unida 1 entonces.

lim h(x) = lirn f(x) lirn g(x) =(a5- 3) e' x-ta x- te x->a

luego, lím h(x) = h(a). x +a

Aplicando nuevamente la definición de continuidad tenen en el intervalo 1-1 ,A]. 1

Ejercicios 9.4

;que la función h es continua

1 lím f(x) = -, entonces ¿ llrn. f(x)

x+3+ 2 x-3

1

A Como f es continua en x= 3, entonces existe el limite ilmites laterales de f en el punto x=3 son iguales, de

1 iim f(x) = - 1 x-3- 2

1 1 . Sea f.R + R una función continua tal que

f(x) cuando x+ 3, luego los nde resulta que

1 I

1 1

I~ ~y

ntinua en z=-5?

3. Determina si las siguientes funciones son continuas en los puntos indicados. I

A a) Como

x2 -5x+6 (x-2) (x-3) lirn f(x) = lirn - - = lirn - - x+3 x 1 3 X-3 n-13 X-3

= lim (x-2) = 1 = f(3), x-3

es decir, lirn f(x) = f(3) , x 1 3

resulta que f es continua en x=3 I I A b) Puesto que

x3-5x2-3x+ 1 5 = (x-5)(x2-3)

Tenemos que:

x3 -5x2-3x+15 (x-5) (x2-3) lim g(x) = lim - = lim = lim (x2-3)= 22 x-5 X->5 x-5 x+s x-5 X-r5

y como g(5) = -3 t 22, tenemos lirn g(x) # g(5) y por lo tanto g no es continua en el Y+5

punto x = 5. 1

Justifica los cálculos.

Factorizando.


1. Determina el valor de la constante k, para que las siguientes funciones sean continuas en el punto que se indica.

e f es continua en el intervalo (a, b] si lo es en el intervalo abierto (a, b) y ademas. en el extremo b del intervalo. se verifica:

lím f(x) = f(b) x-tb'

1 1

m f es continua en el intervalo [a,b) si lo es en el intervalo abierto (a,b) y además, en el extremo a del intervalo, se verifica:

1 lim f(x) =f(a). x+a+

I "

Ejemplos 9.5

1. Las funciones f. g R- t R , definidas por

f(x)=x; n E N, g(x)=sen x,

son continuas en R 1

2. La función parte entera de x: x+ [x], es continua en cada intervalo [n,n+l). n F Z I

3. La función x+ tgx es continua en cada intervalo n, -ni donde n G Z 2

Continuidad

en (a, bl a e (a, b].

Continuidad

en [a. b) b e [a, b).

funciones (recuerda las Unidades 4 y 5 del Modulo 11).

4. Las funciones t+ log t, t - t Ln t y t + & son continuas en el intervalo (O. m ) 1

Sugerencia: factoriza esos polinomios.


1. Determina los intervalos donde la función

3t3-25t2+56t-16 , t t 4 , t ~ (~ )= ( t2-%;?E , t=4.

es continua.

2. Hacer la representación gráfica de una función f:[a, b] -11, tal que:

a) f es continua en el intervalo [a,b) y no es continua er el intervalo [a,b].

b) f es continua en el intervalo (a,b) y no es continua en los intervalos [a,b) ni (a,b].

3. Considera en el problema anterior [a, b]=[O, 11 y determina 2xpllcitamente funciones que verifiquen la parte (a) y la parte (b).

9.6 ÁLGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS I 1 Un aspecto tratado en el Módulo 11, de este curso, se refiete a

cómo obtener funciones a partir de otras? I Ahora, partiendo de funciones continuas, no obtener meramente funcio-

nes, sino que además el resultado obtenido ha de continua. El teorema presentado a continuación nos garantiza quesi usuales con funciones continuas, entonces el resultado es

Teorema 9.1 (Operaciones con funciones continuas) 1 Sean f, g:I+ R funciones definidas en el inte I, entonces las funciones f+g, f-g, f.g son continuas en aquellos puntos f y g son continuas. Además el cociente f/g tambien es una en aquellos puntos donde f y g son continilas y g no se anula.

En resumen tenemos:

Si f y g son continuas en a, entor ces

* f + g es continua en a * f - g es continua en a.

* f g es continua en a * f 1 g es continua en a SI g(a) t 3.

1 Ejemplos 9.6

1. En primer lugar podemos observar que de este teorema se deduce que el producto de una constante(1as funciones constantes son continuas) por una función continua es una función continua(producto de funciones continuas es una función continua). 1

i 2. Además, también debemos observar que el teorema anterior nos garantiza que una am-

plia gama de funciones son continuas. Por ejemplo, como la función identidad (x-tx) definida en un intervalo 1, es continua, entonces también lo son las funciones x+x2 y x -tax2, a=constante, ya que el producto de funciones continuas es un función continua. Reiterando el razonamiento se deduce que la función x -t ax: n n N, a n R, es continua. Ahora, considerando que la suma de funciones continuas es una función continua, se deduce que la función

es continua; es decir. todo polinoinio es una función continua. 1


1. Explica, usando el teorema 9.1, por qué las siguientes funciones son continuas en los intervalos indicados,

a) f (x )= x2 + sen x en (-m,m).

b) g ( x )= log x - cos x en (O,-)

c) h ( t )= 3t6 Ln t en (0,101.

d) m(x)= tg x en (- n12, x 12)

2. Determina los puntos de continuidad de las siguientes funciones

tal que (f.g)(t) = t + 5 ?

intervalo [-5 . 11.

f(x)=JX4+2 , g(~)=e5XZSeM.

y g,(x)=5x2 sen x son funciones continuas.

i

Gráficamente tenemos

g continila en e

1 Ahora s i podemos decidir sobre la continuidad de las funciones presentadas para motivar 1 . el teorema que venimos de enunciar. En ambos casos teniamos que las funciones consi 1 deradas f,, f,, g, y g, eran continuas y por lo tanto, de acuerdo al teorema anterior,

obtenemos que las funciones f=f,of, y g=g,og, son continuas. I 1

I Ejercicios 9.7 I E 1. Explica, por qué las siguientes funciones son continuas en los conjuntos que se indican

a) f(x)= Ln (Jsen xJ + 2) en R.

b) h(t) = m en I=(-m, 1\51 u[1/2, m)

A a ) En este caso tenemos que la funciones x+lxl y x-tsen x son funciones continuas en R, entonces también lo es la función compuesta x+ Jsen xl. Como la suma de funciones continuas es una función continua tenemos que la función x> Icen x1+2 es continua en R. Ahora usando que la función x+Ln x es continua en el intervalo (O, m) y que Icen x1+2>0, para todo XER, tenemos que la composición de estas funciones es una función continua en R y por lo tanto f es continua en R. 1

A b) En primer lugar tenemos que la función t - t l 0t2-7t+l es continua en R, por ser un polinomio. Además usando que 1 Ot2-7t+l =(5t-1)(2t-1) se deduce que 1 Ot2-7t+l>0 si y sólo S'¡ t~(-m,115]u[1/2,m).

Por otra parte, como la función raíz cuadrada es continua en el intervalo [O, m), tenemos que h es composición de funciones continuas, y así resulta que h es también una función continua en 1. 1

AC) En este caso tenemos que m=fogopah-n, donde h(s)=s+l , p(x)=Ln x, g(t)=,h y f(u)=eu y n(s)=l Siendo todas estas funciones continuas se tiene que m(s) es conti nua si s>O pues en tal caso s + l > l y Ln(s+l) >O, luego (0.m) es el dominio de m

Otra manera de obtener m como función compuesta es la siguiente m=qofogopoh donde q(t )=t-1

Aún cuando la expresión de estas funciones puede ser complicada, con los teoremas 9.1 y 9.2 nos resulta

Como las funciones q, f, g, p, h, son continuas en sus respectivos dominios, entonces m(s) es continua en (O, m). 1

A d) Aqul procedemos de manera similar a los casos anteriores. Consideramos las fun ciones continuas f(s)=sen S, g(y)=y2+y, h(y)=5y2-1 y observando que h(y)tO si Y<O, Y p ( y ) = f í g ( ~ ) ) l h í y ) . 1

fácil saber si son o no funciones continuas.

xwsenx- 1sen XI XH Isen xl +2 H Ln (Isen xl +2).

Recuerda la solución de esta inecuación en la Unidad 3 del Módulo P.

x E 1. Verifica que la función x+ m es continua en 1.

asegurar que f es discontinua?.

9.8 TEOREMA DE BOLZANO

v Supongamos que f:[a,b]+R es una función continua y queremos determinar si existe algún x , ~ [a, b], tal que f(x,)=O; es decir deseamos averiguarsi existe una solución o raíz de la ecuación

en el intervalo [a, b] (geométricamente esto significa que la representación gráfica de la función corta al eje de las abscisas).

En la siguiente figura, representamos tres funciones continuas en el intervalo [a, b]

f(x,)=o g(x,)=g(x,) =g(x,)=o h(x)#O en todo xt[a, b].

En el caso de las dos primeras funciones, las ecuaciónes f(x)=O y g(x)=O, tiene soluciones en el intervalo [a, b], mientras que la última gráfica corresponde a una función continua donde la ecuación h(x)=O no tiene solución en el intervalo [a. b].

Por otra parte, el problema de determinar las raíces de una ecuación f(x)=O, puede ser bastante sencillo de resolver dependiendo de la funcibn f. Por ejemplo si consideramos f:[-1,2] -t R, definida por f(x)=x-1, entonces f(x)=O si y sólo si x-l=O, es decir x= l . En este caso es sumamente sencillo determinar la raíz de la ecuación f(x)=O.

Supongamos ahora que f:[-1,2] + R esta definida por f(x)=10x5 + cosxx. En este caso la solución no es tan sencilla como en el ejemplo anterior. Más aún, ni siquiera con los conocimientos adquiridos hasta ahora, podemos determinar si al menos existe una raíz de f en el intervalo [-1,2].

4 Veamos ahora qué información debemos conocer de una función continua f.[a,b]+R, de tal forma que podamos, por lo menos asegurar la existencia de una solución de la ecuación f(x)=O en el intervalo [a, b].

Consideremos dos puntos A y B en el plano, de tal manera que uno de ellos esté en el semiplano (y <O) y el otro en el semiplano (y >O) como se muestra en la figura.

A

Supongamos que deseamos construir una función continua f cuya gráfica pase por estos dos puntos. Entonces, de acuerdo a nuestra noción intuitiva de continuidad, dicha gráfica debe cortar(intersectar) al eje de las abscisas en algún punto x,.

Ahora podemos preguntarnos

¿cuál es el valor de f en x, ? -

Como puede observarse, a x, no le queda otra altern que ser una raíz de la ecución f(x)=O. es decir f(x,)=O

En conclusión. estos comentarios nos sugieren las que debe verificar una función continua f:[a,b]+R. para que'se pueda existencia de una raíz de f en el intervalo [a,b], como puede Teorema de Bolzano, enunciado a continuación.

Teorema 9.3 (Teorema de Bolzano) Sea f.[a,b]+R una función continua tal que f(b)<Or], entonces existe x, E (a,b), tal que f(x,)=O +

Este teorema nos garantiza. que toda función continua un intervalo cerrado 1, teniendo valores en los extremos de 1 con signos opuestos, riamente tiene una raizr'l en 1 (se anula en algún punto del intervalo)

Ejemplos 9.8 I 1. Consideremos la función f [-1, 11 -t R definida por f(x)= 5+x+ l , entonces I

- f es continua en el intervalo [-A, 11, por ser un polinomi

- f(-1)=-1<0 y f(l)=3>0

Por lo tanto, esta función verifica las condiciones del Te rema de Bolzano y así existe I X ~ E ( - I , l ) , tal que

5 f(x,)=x,+x,+1=0, es decir el polinomio x 5+ x t l tiene alguna raiz en (-1. 1

2. También podemos observar que este mbien para garantizar que ciertas ecuaciones que hemos tienen solución, por ejemplo ecuaciones del tipo:

x 2 - 2 = 0 , x 2 - 3 = 0 , x 2 - 5 = 0 .

Esto se puede constatar considerando, en el primer cas la función f ( x ) = x 2 - 2 , la cual es continua en R y en particular tambien lo es en intervalo [a, b]

i'l f(a)f(b)<O significa que f(a)>O y f(b)<O o bien f(a)<O y f(b)zO, es decir, ir: s valores de f en los extremos del intervalo [a,b] poseen signos distintos.

P'l Puede existir más de una raíz. P'.l De una manera similar a la que procederemos sirve para atacar los otro* casos.

S Comoqueremos asegurar, usando el Teorema de Bolzano, que la ecuación f(x)=x2- 2=0 tiene solución, debemos determinar números reales a y b de tal forma que f(a)f(b)<O. La forma de encontrar tales puntos es por "tanteo': En el caso que nos ocupa, podemos hacer un tabla como la siguiente:

Como podemos observar f( 1 ) f (2) =-2-4

Luego, usando el Teorema de Bolzano deducrmos que la ecuación f(x)=O tiene solución en el intervalo (1,2); es decir, la ecuación x2-2=0 tiene una raiz x, en el intervalo (1,2) y por lo tanto dicha ecuación tiene solución en R. I

3. Consideremos nuevamente la función f: [-1,2] -t R, definida por I Entonces la función f es continua en [-1,2], por ser suma de funciones continuas Ade más

f(-l)f(2) = (-10 + COS (-n))(320 + cos 2n) = (-1 1)(321)CO.

Como se verifican todas las hipótesis del Teorema de Bolzano. resulta que la ecuación

1 Ox5 + C O S ~ L X = O , tiene una raiz en el intervalo (-1, 2). 1

Ejercicios 9.8

1. Usa el Teorema de Bolzano para garantizar que las siguientes ecuaciones tiene al menos una raíz en el intervalo indicado.

a) x4+2x-2=0 en [0,2]

b) sen x=O en [-n/2,n12].

c) tg x=O en [-n/4,n/4].

d) -x+log(x+5)=0 en [0,5].

e) x3+2x2-7x+14=0 en [-5,-41

Construye otra tabla con otros valores de a y b.

También f(0) f(3)= -14<0.

Existe un número x,, Icx,<2, tal qiie x,2=2.

Para justificar la existencia de la raiz de cada una de las ecuaciones propuestas. en el intervalo correspondiente, debemos considerar funciones verficando las hipótesis del

Recuerda tgo=o.

- f es continua(es un polinomio) en el intervalo [0,2]. 1

Teorema de Bolzano en los intervalos indicados y que la eci a una ecuación con dicha funci6n. /

A a) Consideremos la función f:[0,2]-+R, definida por f(x

Como se verifican las hipótesis del Teorema de Bolza , tenemos que la ecuación x4+2x-2.0 tiene por lo menos una raiz en el intervalo

ación planteada corresponda

=x4+2x-2, entonces:

A b) Sea g(x)=sen x, entonces g es continua en [ - 12, n /2 ] ( ~ p o r qué?) y además g(-n/Z)g(n12)=-1<0

Es decir, la función g verifica las hipótesis del Teorema e Bolzano, y así la ecuación sen x=O tiene solución en el intervalo (-7712, n12) Situa 6n conocida por nosotros, ya quesen0=0 1 i A c) En este caso tomamos g(x)=tg x, entonces g es ntinua en [-n/4,n/4] (¿por

9 u W Y g(-n/4)g(n/4)= ( - I ) ( l ) = - l<O, t

luego por el Teorema de Bolzano, la ecuación tgx=O ti ne solucrón en (-n/4,n/4) 1

A d) Se considera h(x)=-x+log(x+5) en [0,5] Entonces, h en [0,5] (Lp~rqut5v) y

por lo tanto, la ecuación log(x+5)-x=0 tiene alguna sol(ici6n en [0,5] 1

A e) Se toma m(x)=x3+2x2-7x+14=0, entonces m es m(-5)m(-4)=(-26)(10)<0,

luego, la ecuación x3+2x2-7x+14=0 tiene alguna

2. Verifica que la ecuación 7 2 3 1 1 5x --x +- x-- =o

3 5 7 I tiene una rab en R.

2 1 1 A Como la función f(x)=5x7 --x3 +- X-- es continua en R debemos hallar dos

3 5 7 números reales a y b tales que f(a)f(b)<O

Procediendo por tanteo, como en el N02 de los ejempl 9.8, podemos hallar algunos de estos posibles valores, por ejemplo

a=O , b = l

ya que f(0) f (1)<0 Luego, en (O,?) hay alguna ralz di la ecuación propuesta

Ejercic ios propuestos 9.8

1. Verifica que las ecuaciones

185 senx=x-2 , xZz5 + =186

1+2x"cos2x

tienen solución en R.

I 2. Da un ejemploi~ de una función f [O, 1]+R, tal que. f(0) f(1) < O y f(x)tO, para todo

X E [O, l l

3. Construye un ejemplomde una función continua f:[O,l]+R, tal que f(x);eO, para todo xt[0.1].

4. Construye una función discontinua f[-1,2]+R, tal que la ecuación f(x)=O tenga solución en el intervalo [-1, 2](¿contradice este ejemplo el Teorema de Bolzano?).

5. Verifica que la función f.R+R, definida por: l

tiene una raiz en el intervalo [-2, -11. l 6. Verifica:'"] l

a) que todo polinomio de grado tres tiene al menos una raiz en R. I Sugerencia: Determina los limites del polinomio cuando x++m y cuando x+-m l b) que todo polinomio de grado cinco tiene al menos una raíz en R. I c) que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raiz en R. 1

9.9 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO I Otro teorema, cuya demostración es consecuencia del teorema de Bolzano'"], es el

denominado Teorema del Valor Intermedio. Este teorema nos garantiza que una función continua f:[a,b]+R alcanza todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).

Teorema 9.4 (Teorema del Valor Intermedio) I Sean f:[a,b]-> R una función continua en el inte~valo cerrado [a, b] y L un valor comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe x, t [a, b], tal que f (x,,)=L.

En primer lugar, 0bSe~em0S que este teorema nos garantiza la existencia de al menos una soluciónr"'], en el intervalo [a, b], de la ecuación f(x)=L, siempre que la función f sea continua en [a, b] y el número L esté comprendido entre los valores f(a) y f(b).

I r l Relaciona el ejemplo con el Teorema de Bolzano. Y1 Se trata de polinomios con coeficientes números reales. Y1 En realidad cualquiera de los dos teoremas se puede demostrar a partir del conocimiento del otro. P"'1 Puede existir más de unasolución.

f(a)sL<f(b) o bien f(a)rL>f(b).

2. Consideremos la función f(x)=cos x, x~ [O,n ] , entonces f es continua y f(0)=1, f(n)=-l. Usando el Teorema del Valor lntermedio obtenemos que para todo z e [ - l , l ] , existe al menos un x~ [O,n ] , tal que f(x)=z. Por lo tanto la función f alcanza todos los valores del intervalo [-1, 11. I

3. Sea h:[0,2]+R, definida por h(x)=2x3-x2+2x y consideremos la ecuación

2x3-x2+2x=n.

Puesto que h es continua, h(O)=O, h(2)=16 y 0<n<16. entonces existe xc[0,2], tal que

2x 3- x 2+2x=n

Por lo tanto la ecuación 2x 3-x 2+2x=n tiene solución en el intervalo [0,2]. 1 I


1. Usa el Teorema del Valor lntermedio para verificar que las ecuaciones que se indican a continuación tienen solución en el intervalo dado.

a) cos x + x = 2 en [O,n] I

9.10 APLICACIONES I

2. Da un ejemplo de una funaón f 1-1 ,O]+R, tal que f(-1)=-2, f(0)=5 y no exista x, E[-1 ,O], tal que f(x,)=l (Lcontradice este ejemplo el Teorema del Valor Intermedio?)

Si f:[a,b] +R es una función continua, es posible que existan evidencias concretas que aseguren que la ecuación

f(x)=O,

*

tiene, al menos una solución en el intervalo [a,b]. Por ejemplo, si f verifica las hipótesis d.el Teorema de Bolzano o bien conocemos la grhfica de f, u otro motivo.

Sin embargo, es licito formularnos la siguiente interrogante: 1 ¿Cómo podemos calcular alguna raíz de la ecuación f(x)=O?

En algunos casos particulares existen métodos que nos permiten el cálculo de dicha raiz. Por ejemplo, si consideramos la ecuación de primer grado ax+b=O (a,b constantes), podemos calcular

b la raiz de esta ecuación mediante la fórmula x=-- , si azO.

a Si consideramos la ecuación segundo grado axZ+ bx+c=O (a, b, cconstantes), podemos

usar la conocida fórmula

Si f(x,)<O, entonces usando el Teo-

/ , rema de Bolzano, concluimos que la función f tiene una raíz en el intervalo [a, x,].

Ahora consideramos nuestra segunda aproximación a la raíz de f tomando X,

como el punto medio del intervalo [a, x,], es decir:

Si f(x,)>O, entonces la función f posee una raiz en el intervalo [x,, b]. l

En este caso consideramos como segunda aproximación de la raiz de f al punto medio x, del intervalo [x,, b], es decir:

Si f(x,)=O, hemos hallado un valor exacto de una solución de la ecuación f(x)=O, en el intervalo [a, b]. En caso contrario f(x,) >O o bien f(x,)<O.

Si f(x,)>O entonces usando el Teo- Si f(x2)<0, entonces la función f posee rema de Bolzano, concluimos que la función una raiz en el intervalo [x,, x,]. f tiene una raiz en el intervalo [x,, x,].

.......... .... . . . . . . . . . .

X. X , :x,

X x. x, x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ahora consideramos la tercera aproxi- En este caso consideramos como terce- mación a la raíz de f tomando x, como el ra aproximación de la raiz de f al punto medio punto medio del intervalo [x,, x,], es decir: del intervalo [x,, x,], es decir:

De esta manera vamos encontrando aproximaciones x1,x2,x3,..,x,,., cada vez más "cercanas" a una de las soluciones de la ecuación f(x)=OI'l.

r1 Se puede demostrar que la sucesión {xnln, converge a un punto x, del intervalo [a,b] y ademhs f(x,)=O.

f (2)=4-5=-1<0 , f (3)=9-5=4>0.

,5) = (2,5)2-5 = 6,25-5 = 1,25 > O,

f(2)<0, tomamos como segunda aproximación a:

f(2,25) = (2,25)2- 5 = 5,0625- 5 = 0,0625 > O,

4 0 tomamos como tercera aproximación a:

- existencia de las soluciones \/S y . \15 y como f(x)=xz4 es un poiino grado 2, entonces d i y - & son las únicas soluciones de la ecuacidn f(x)=O.

f tiene una raíz en el intervalo

, + + +

2 x,=2,125 x,=2.25 x$ 3

Ahora tenemos que

- X4 + + +

2 x,=2,125 x,=2,25 X~ 3

Puesto que

12; 2,251

I Puesto que f(2, 125)<0 y f(x,)=f(2,25)>0, tomamos como cuarta aproximación al punto medio del intervalo [x,, x,](x,=2,125. x,=2,25), luego

f(2.1875) = 4,78515625-5 = -0,21484375<0 y f(2,25)>0, tomamos como quinta aproximación a:

f tiene raiz en el

- .J.+ 1 1 1 1 1

+ I

+ I

2 X~ 1, x,=2,25 3

x,=2,1875

En la siguiente tabla hacemos un resumen de las cinco aproximaciones obtenidas x,, x,, x,, x,, x,, así como los valores de la función en dichos puntos.

En conclusión, existe un numero a, 2,21875<a<2,25, tal que aZ - 5 = O, y por lo tanto

2,21875,<J5<2,25.

Método de Bisección f(x)=x2- 5 , 1=[2, 31

Así. & e 22,1875 (aproximación por defecto) ICalcula (2,21 875)2! I

x,=2,5 x2=2,25 ~,=2,125 x,=2,1875 x,=2,21875

, . 2.,25 (aproximación por exceso). I I

f(x,)=I ,25 f(x2)=0,0625 f(x,)=-0,484375 f(x,)=-0,21484375 f(x,)=-0,0771484

intervalo [2.125 ; 2,251.

f tiene raíz en el intervalo [2,1875 ; 2,251.

Como

f(X,)<O,

entonces f

tiene una

onsidera la ecuación

ESTA UNIDAD.

CENTRO LOCAL UN VID DO CON EL CONTENIDO

TIEMPO ESTIMADO: 3 horas a

INSTRUCCIONES: En esta autoevaluación encuentras preguntas de dos tipos: "selección simple" y "desarrollo". Intenta responder todas las preguntas sin buscar las soluciones que se dan al finalizar los enunciados de las mismas.

PARTE 1

En los siguientes enunciados selecciona la alternativa correcta y da alguna explicación breve que justi- fique tu respuesta, en aquellas donde sea posible hacerlo.

1. El limite, cuando n +m , de la sucesión (a,) definida por a" = m - ,6, n z l . es igual a:

L

2. Si lirn --= L, entonces n->m 5"+3

3. Si g: R--+ R está definida mediante

2x si x t l 3 si x=l

y si lim g(x) = L y lirn g(x) = M, x-+2 x-t 1

entonces se verifica que:

4. Dada una función y=h(t) cuya gráfica en el intervalo [-3,4) es la dibujada a continuación

a) llm h(t) = 1, Ilm h(t) = -m , llm h(t) = -312. t+1+ t+4- t+-2'

b) lím h(t) = 1, lím h(t) = m , Ilm h(t) = -312. t+ 1 t+4' t-b-2+

C) Ilm h(t) = -1, Ilm h(t) = -m . ilm h(t) = -m. t+O t.+4* t+4-

d) llm h(t) = -1, llm h(t) = -312, ilm h(t) = m.

t+-2- t+-1 t+-3

16 5. Sea f(x) = . Entre los graficos que se dibujan a continuaci6n. in(

mejor el comportamiento de la funci6n y = f(x).

b)

ira cual es el que representa

Y

d) Y

A

X ! i

, , 1

!

PARTE 11

1. Una empresa hace un estudio acerca del número de clientes que va ter po. Cada fin de aflo la empresa determina cuantos clientes tiene. Al finalizar el primer ano del estudio la empresa tenla 200 slientes y que ; compone de 50% de los clientes del fin del ano anterior y además se a$

a) Sea a, el número de clientes al finalizar el ano ndsimo con a, = 2(

b) Determina una f6rmula que permita conocer a, en función de a,.,.

c) Calcula iim a,. n - m

160

~ ~

~ ~

1

endo en el transcurso del tiem

I fin de cada ano su clientela se regan 80 clientes nuevos.

0. Calcula a,, a,, a, y a,.

1 2. Representa gráficamente la función f : [ -2,2]-4 R, definida por:

1 y determina si ella es una función continua

3. Sea g: [-3,5]--+ R una función continua en el punto t=l , tal que g(1)=-4 ¿Cuáles de las siguientes I propiedades son ciertas? (Razona tus respuestas): l l a) lím g(t) t lím g(t).

t-* I* t+1-

b) I(m 2g(t) = -8 t->I+

C) Iím (g(t)-3) = -7 t-t 1-

d) lím g(t)l3t = -2 t-r 1

1 4. a) Usa el Teorema de Bolzano para verificar que la ecuación -2x4+5x+ 1 =O tiene una raiz en el

I intervalo [0,2].

b) Usa el Método de Bisección para hallar tres aproximaciones de la ralz de la ecuación -2x4+5x+1=0 que se encuentra en el intervalo [0,2].

1 NOTA: Se sugiere usar calculadora.

SOLUCIÓN A LA AUTOEVALUACIÓN 1

PARTE 1

1. La respuesta correcta es (b). Para esto se debe calcular Ilm a,:

n-rm

iim (m- Jñ) = iim ( r n - J ñ ) ( r n + J ñ ) = Iim 3 = o 1

n+m n+m ,liS'+Jñ n+m Jn+3+ JR

2. La respuesta correcta es (c) Hay varias formas de obtener esta respuest

Obtengamos los cuatros primeros términos de la sucesibn (Con calculadora):

, . , , . , . . . . . . . , . . . . . . . . y observamos que esos términos van decreciendo, aproximandose a cero a medida que n aumenta. 1

Dividimos numerador y denominador por 5" resultando:

como 5-m cuando n+m , en-

Z Si r = - entonces

5

p = - -t O si n-+m (revisa (an lo estudiado con las progresiones geométricas en 7.10).

Luego

La respuesta correcta es la (d).

Facilmente se obtiene esa respuesta sin más que observar la

Y

Dividimos numerador y deno- dor por 2", resultando:

5 Si r = - , entonces 1

p = - +M si n+m (revisa lo t ;in est diado con las progresiones ge étricas en 7.10), 6 1 (~+ ; -+m,es por lo tanto

r, el denominador crece inde- amente y, en consecuencia,

gráfica de a función g:

1 4. La respuesta correcta es la (a).

Los límites considerados se calculan sin más que observar la gráfica de h Nota que no tiene sentido hablar de lim h(t) pues h (t) no está definida para t > 4. Análogamente, no tiene sentido hablar de lím h(t)

th4' t-r-3- l

puesto que h(t) no está definida para t < -3 1

5. La respuesta correcta es la (c).

Esta conclusibn se obtiene en primer lugar dando a x ciertos valores en f(x), valores que se destacan en el gráfico como son x= - 2,0,2.

Para x=O, f(0) = 161-4 = -4, lo cual elimina (d) como respuesta. l

El dominio de la función f es R - {-2,2}, luego -2eDom (f) lo cual elimina (a) como respuesta

Si x+2- (0<x<2), entonces x2-4<0, y como x 2 - d o , se tiene iim 16 =-m 10 cual permite Xh2' X 2 _ 4

descartar la opción (b). Análogamente seria calculando

Esto también se puede deducir del hecho que en (b) la gráfica de f corta al eje OX en dos puntos,

estos, existirían dos valores x,, x, tales que f(x,) = f(x,) = O, lo cual no es cierto pues - l6 $ 0 x2 -4

para todo x E Dom (f). I

PARTE 11

c) Sea lim a, = L. Si seguimos calculando los términos a, en (a), podemos observar que a medida n+on

que n aumenta esos términos se aproximan a 160, es decir L=160

Esto también se puede calcular como sigue:

SI a, -1 L cuando n +m, entonces a", también tiende a L cuando n +m (pues n-1-m). Al con siderar el limite en (*) resulta:

lima,, = lím (0,5a,, + 80) = 0.5 ( lim a".,) + 80. n+m n+m n+rr

Luego, L = 0.5 L + 80, de donde resulta L = 160. 1

2. Como x2+4x-5 = (x-1) (x+5), tenemos que si xe(- l , l ) , entonces

Utilizando este resultado, concluimos que:

r

Al representar grhficamente esta función, obtenemos

La cual corresponde a una función contlnua en el intervalo [-2,2], pue levantar el lapiz del papel (Noción Intuitiva de Continuidad) 1

3. Como la función g es continua en el punto t=l, tenemos

Asi, lirn g(t) = lím g(t) = -4 t-t 1' t+1-

De estas observaciones y de las propiedades de las funciones continl

lim (2g(t)) = 2 llm g(t) = 2 (-4) = -8, t-t l+ t-tli

llm (g(t)-3) = lirn g(t) -3 = -4-3=-7, t+1- t b l .

lim gít) . -4 Iim g(t) - t+ ' -

t + i 3t lirn 3t 3 t - t l

En conclusión, la alternativas (b) y (c) son correctas y (a) y (d) son fa

odemos dibujar su grsfica sin

, se deduce lo siguiente:

4. a) Consideremos la función h:[0.2]+ R, definida por:

h(x) = -2x4+5x+1

1 Entonces h es un polinomio y por lo tanto, una función contlnua en el intervalo [0.2].

1 Como

I h (0) = 1>0 y h (2) = -32+10+1 =-21<0,

entonces el Teorema de Bolzano nos permite aseverar que la ecuación -2x4+5x+1 =O, tiene una raiz en el intervalo [0,2].

b) La primera aproximación es el punto medio del intervalo [0,2], es decir x,=l.

Como h( l)= -2+5+1= 4>0, tenemos

x,+2 3 Entonces tomamos como segunda aproximación a x2 = -- = - .

2 2

Evaluando la función h en x,, resulta

Geometrlcamente, tenemos

Asi, la tercera aproximación a la raiz de la ecuación considerada, que se encuentra en el intervalo [0,2] es

En resumen:

RESUMEN

Este Módulo lo hemos dedicado a introducir las primeras nociones de dos de los conceptos más importantes en el campo de la Matemática y otras Áreas del pensamiento humano, como son los conceptos de

i LIMITE Y CONTINUIDAD.

El Módulo lo dividimos en tres Unidades de Aprendizaje, correspondientes a las unidades 7, 8 y 9 del Curso de Matemática I(100).

En la Unidad de Aprendizaje 7, introducimos la noción de SUCESIÓN, para luego dar paso a algunas ideas sobre APROXIMACIONES a través de sucesiones, como es el caso de aproximar el área de un circulo por las áreas de poligonos regulares inscritos o circunscritos, o bien aproximar números irracionales mediante sucesiones dadas por fórmulas de recurrencia. Proseguimos la Unidad, exponiendo una definición "intuitiva" del concepto de limite de una suces16n, utilizando la idea de aproximación y dando una interpreta- ción geométrica, ilustrando con algunos ejemplos. Luego pasamos al cálculo' de limites de sucesiones y enunciamos un resultado de suma importancia en el cálculo de estos limites, referente al álgebra de limites de sucesiones.

La Unidad 8 de este Módulo, fue dedicada al estudio de la noción de L~MITE DE UNA FUNCIÓN. Comenzamos presentando una idea intuitiva de esta noción, usando la idea de aproximación, ilustrada

por ejemplos como, el de calcular la velocidad de un cuerpo que cae libremente, o el de calcular e/ valor al que se acerca una función, cuando los valores de la variable se aproximan a un punto determinado. Luego. dimos una interpretación geométrica de la primera noción de limite para dar paso a un segunda definición, basada en esa interpretación. Pretendiendo con esto, dar una mayor claridad en el entendimiento de esta noción, de vital importancia para nuestros estudios posteriores y tan "díficil" de asimilar por estudiantes que comienzan sus estudios universitarios.

Continuamos el estudio de limites de funciones, exponiendo las ideas de Limites Laterales de una función y relacionando estos con la existencia del limite. Luego damos algunas técnicas, comúnmente utiliza- das en el calculo de limites de funciones; y de manera similar al caso de sucesiones, abordamos el álgebra de limites, exponiendo el siguiente resultado. de gran importancia para el cálculo de limites.

Si f, g:DGR--tR y lím f(x)=L, lim g(x)=M. entonces x+xo x+xo

lirn [f(x) + g(x)] = ¡¡m f(x) + lím g(x) = L+M

Iiin [f(x).g(x)] = lirn f(x). iím g(x) = L.M

Si M * O, entonces I iiin [f(x)lg(x)] = Iím f(x)/lim g(x) = LIM

Y-lXo x+xo X'Xo I Para finalizar, en la última unidad del Módulo(Unidad 9), introdujimos una noción intuitiva de

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Posteriormente, presentamos algunos ejemplos que pretenden destacar el interés del estudio de este tipo de funciones. Además, precisamos el concepto de continuidad, al relacionarlo con la noción de liinite, estudiada en la Unidad anterior, setialando que una función

f: 1 i--tR es continua en un purito ac I , si

lim f(x) = f(a) x-ta

167

Tamblbn, observamos, de manera similar al caso de Ilmites, que podeqt funciones continuas obteniendo funciones continuas. y mAs aún, si hacemo continuas, tambibn obtenemos una función continua.

Por último, exponemos dos teoremas de suma importancia en el estu como son:

El Teorema de Bolzano: Toda función continua en un intervalo cerrad opuestos en los extremos del intervalo, debe anularse en algún punto (

El Teorema del Valor Intermedio: Toda función continua en un interb valores comprendido entre dos valores cualesquiera de sus imágenes.

Esos teoremas se enunciaron sin demostrarlos, se interpretaron geomél ciones de los mismos.

Como aplicación del Teorema de Bolzano, exponemos el Metodo de E hallar aproximaciones, tan cerca como queramos, de raíces de funciones c diversidad de ecuaciones.

perar algebraicamente con composición de funciones

de este tipo de funciones,

le toma valores con signos itervalo.

cerrado, alcanza todos los

mente y se hicieron aplica-

cción, el cual nos permite iuas y por lo tanto de una

MÓDULO 111 Ejercicios propuestos 7.3.2

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

En lo que sigue damos las soluciones de casi todos los ejercicios propuestos en las Unidades 7, 8 v 9.

10032senf~) a) 0°) =

2 = 28,2557

En algunos de ellos daremos únicamenté la respuesta. Hay algunos de los cuales no daremos las soluciones.

2. Geométrica de razón 115. Aritmética de razón -115. Geométrica de razón (a-1).

Ap(150) = 28,2660.

~ ~ ( 2 0 0 ) = 28,2696.

l l

UNIDAD 7


1. a, = 112, a, = 213, a, = 314, a, = 415, a, = 516

b, = -3, b2 = 7, b3 = -11, b, = 15, b, = -19.

3. a) Progresión aritmética:

b) Ac - n 3'- (3,14159) 9 =28,2743

2. d) Ap(5) = 5 2' tg(nl5) w 14,5308.

Ap(lO) = 12,9967.

A,(20) = 12,6707

a,, = a, + (15-l).r = a, + 14r. Como a, = a, + (4-l).r = a, + 3r. Entonces a, = a, - 3r luego a,,=a,+ I l r

b) Progresión geométrica: a,,=a,.ri4 y a,=a,.r3 luego a, = a,lr3. Así a,, = a,.rfl

Ejercic ios propuestos 7.3.1

1 3. c) La base es

b=\h. r . l-cos- i n luego, el perimetrot(n) de un polígono regular de n lados que se aproxima a la longitud de una circunferencia es

4. Usar como longitud del lado la fórmula obtenida en el ejercicio 2.b.

b = 2.r.tg (nln)

luego el perímetro e(n) del polígono regular circunscrito en función del número n de lados, es

I c) Todos los términos de la sucesión pertenecen a tal intervalo 1

d) A partir de a,

En ninguno de los dos casos es posible dibujar un intervalo de longitud "pequeíía" tal que todos los elementos de esas sucesiones. a partir de algunos de ellos, estén en dicho intervalo.

La gráfica de (bn) es

b

2. a) Y b)

Llamemos a,, = 11n2 y bn = (l+n2) 1 (2n2+1). La gráfica de {a,,} es

i En l l n 2 todos los términos se "apilan" alrededor del O.

Para {a,,}, la sucesión diverge a +m. Para (bJ, la sucesión oscila entre valores negativos y positivos, también diverge.

En (n2+1)/(2n2+1) todos los términos se "apilan" alrededor de 112.

Compruébalo dibujando mas puntos y reduciendo el tamaño del intervalo seleccionado.

c) lirn a" = 0, n-am

lirn b = 112. n+m

3. Llamemos a" = 2n+l y bn = (-1)" n2

Gráficamente:

4. Representemos gráficamente cada sucesión, llamémoslas:

Observemos como para a" todos los términos se "apilan" alrededor del O, luego

lirn a" = 0 . "->m

Para b,, los términos se hacen cada vez más grandes, así resulta

lím b, = m n+m

Para cn los términos oscilan entre valores positivos y negativos, pero se van "apilando" alrededor del O, luego lirn cn = 0 . "+a

I Ejercicios propuestos 7.6.2

1. lim - - lim 1-n n-+m 1-n3 2 =

"+- (1-n)(l +n+n )

lirn 1 "'" l+n+n2

as1

2. Ilm -

n+m n2-25

3. Multiplicando por la expresión conjugada del numerador, en el numerador y denominador, obtenemos:

m ( - ) = n-tm

entonces -+m y G + m ,

en consecuencia

Por lo tanto, resulta

4. Multiplicando por la conjugada del numerador, el numerador y denominador, factorizando el denominador y simplificando la expresibn resulta:

1 Estamos en el caso del cociente de dos sucesiones ( En tal caso se tiene

1 Por lo tanto ese cociente tiende a m. es decir la ( Analiza el caso r=-1

tales que lím an=4t0 y lím b,= O. n+m n+m

2. Como r = 112 1, entonces

lím rn = O y Ilm S,, = a/ (1-r) =/i (1-112)=2. n-tm n+m

Sn = a, + a, +...+ a" = a, + a, + ...... + a, = na 1

y por lo tanto S" diverge cuando n j m .

3. Como r = 2 > 1, entonces lím r" = m y Iím S" = m .

"+m n+w

n 2 --+-

Iim 1 lim 2 n+w n + n+m 0 + 0 O - -- - = o . Iim 1 lim 3 1 + 0 = 1 n+m + n+m ,,2


UNIDAD 8


Los Nos. 4,5,6, 7, se calculan de manera análoga resultando:

1. Si en una progresión geométrica la razón r de la progresión es 1, entonces

1.

es decir todos los términos de la progresión son iguales al primero a, y por lo tanto se trata de la

sucesión constante {a,, a,, a,, a, ,... ).

De acuerdo con la tabla inferimos que 2x-1 se acercaa 19cuandoxseacercaa 10,dedonde

lím (2x-1) = 19. X + l O


Los Puntos (OSO) Y (0.1) no pertenecen a la gráfica de h. El punto (O,2) si pertenece a la gráfica de h.

c) lirn h (x) no existe. X +O

d)Iim h(x)=O. x+o-

lim h (x) = 1 x+o+

C) Iim t(x) = o 1 1-10

d) lirn e(x) = o. 1 1-0-

lim qx) = O. 1 1-11

3. En el orden del enunciado, esos limites valen:

0; 0: -1; -2; m; 2; 1.


1. a) lim f(x) = lím f(x) = 1 x+2+

l De acuerdo con la proposición 8.1, como

lim f(x) = lirn f(x) x-12- x-12'

entonces lim f(x) existe y lím f(x) = 1. x-12 x+2

b) iim [xl = 4, lirn [x] = 5 x+5- x-15'

l luego, como lirn 1x1 t lirn [x], entonces x - 5 - x+5+

l no existe lirn [x]. x + 5

lim h(x) = 1 x+1+

como lím h(x) t lirn h(x), entonces x-11' x-1"

no existe lirn h(x) x-11'

2. lirn [x]= lirn [x]=o X+lIZ ~ -1?12+

l Como esos límites laterales son iguales, entonces

lim [x ]=o x-1112

2 1 3. lirn f(x) = - , lim f(x) = - k - - x-t-5- 3 x-1-5' 3

xe[-10,201.

4. Como P-3t+2 = (t-2) (t-l), entonces

= Y+3 ~ ' 3 x+ 3

X-, 3 ~

EI punto (2,~) pertenece a la grhfica de g. EI punto ( z , ~ ) no pertenece a la grhflca de g.


lim -- h2+7h - lim (h+7) = 7, h+O h h-tO

b) lirn g(t)-g(l) = iim m-fi = ''1 t-1 1 t-1

lim t+l-2 - - t+' ( t - l ) ( J T + 5 )

lirn 1 - 1 lb' m+fi - Z'

6. Debemos calcular los limites laterales llm f(x) y lim f(x). Se tiene X+O.

x+o+

Ilm f(x)-f(0) - lim x2-o lim x - -- = = o; x + o X x - t o X x - o -

lim f(x)-f(0) - lim x3-0 lirn x2 -- - -- - - = o. x -o x x+o+ X x+oi

Luego, existe el lirn f(x) y lirn f(x) = O x+o. x->o+


1 Esta gráfica se obtiene a partir de la gráfica de y =T por "traslación hacia la izquierda en dos unidades". X .

d) Las imágenesdel intervalo J = (-3,-1) mediante h se ubican por "encima" del valor M=?.

e) y f) Son análogas.

1 Esta gráfica se obtiene a partir de ia gráf~ca de y - ; x por "traslac~bn a la derecha en dos unidades"

4. b) lirn f(x) = -m. x+xP

c) Si para cualquier ncímero real M>O existe! rrn intervalo J centrado en x, tal que las imáge- nes de sus elementos (excepto x,) mediante f están por encima del valor M, esto es, f(x)>li/! para todo xeJ (xtx,).

d) SI para cualquier número real M > O existe un intervalo J a la derecha de x, tal que las imágenes de sus elementos mediante f es- tán por encima del valor M, esto es, f(x)>M para todo x E J

(J = (x,, X, + a ) con a > O).

e) Si para cualquier número real M < O existe un intervalo J a la izquierda de x, tal que las imágenes de sus elementos mediante f están por debajo del valor M. esto es, f(x)< M para todo xeJ, entonces lirn f(x) = -m

x-t x;

(J = (x, - n , x,) con n >O).


- En cada caso dividimos entre la variable x de mayor potencia tanto el numerador como el denominador

2 2 -5x 3 1, a) iim e- - lim x3 x =

x- tm x+m 3X3 X2 - -- x3 x3

- 2- 5 Iim A= 2/3

m 1 3-

X

2- 5 2- 5 2 b) lim *= Iim x2 x2 Iim ==o,

x+m 3X2-x x-m 3XZ X2 x-tm 1 - 3 - x2 x4

X

2x4 - 5x2 - Iim 2x4-5x2 - lim x4 x4 = -

x+m 3X3_X2 x+m 3X3 X2

x4 x4

Como la función en el numerador tiende a 2 cuando x-tm y la función en el denominador tiende a cero cuando x+m, entonces el cociente de esas dos funciones va creciendo indefinidamente a medida que x crece indefinidamente, y por lo tanto

Iim 2x4-5x2 = m, X-'m 3X3-x2

I 2. En el orden del enunciado, esos limites son O; O, +m , -m, +m ; -m

3. En el orden del enunciado, esos limites son 3, 3, - m .

UNIDAD 9

Ejercicios propuest s 9.2 1

La representacl6n áflca de la función f es la sigu~ente (utilizamos escalas niformes diferentes sobre los ejes de coordenadas). f Por lo tanto, de acuerdo con la noción intuitiva

nemos que f no es continua en I=[-3,0].

y procediendo como en tenemos que h no es

[-1,0] y (-2,1].

el intervalo [-2,-11 se obtie- la gráfica de la funci6n

stante 2 Asi, obtenemos la

representación guiente, 1

(Recuerda el Ejemplo 8.7)

Observando la gráfica. se tiene que p es continua en I=[-2,-11.

e) Simplificando, resulta

Como x i -1, tenemos que q(x)=-x-l. x s [0,3]

y asi la gráfica de q es el segmento de recta de la figura. LO que nos Dermite aseverar que la función 4 es continua

f) Tenemos que si XE [1,2], entonces li x 52, luego Oc x-151 y por lo tanto: o< x-1 < 1 a [x-1]= o x-1 = 1 =, [x-1]= 1 dedonde resulta [x-1]=0, si x t [1,2), [x-l]=1, si x=2.

Entonces

log ( l + x ) , xE[O.I), x-log2 . xe[1.2), 1- log2 , x=2

La representación gráfica de rcorresponde a una función discontinua (ver figura)

g) Como x=-V% e[0,2&] , entonces

x2 - 3 -- x + J 3

- x - &. Además:

Ix-51=5-x si ~ ~ ( 4 . 5 ) (ya que x < 5 implica x-%O)

Entonces:

Luego la representación gráfica de S es'

f es continua en el intervalo [0,7) y no lo es en el intervalo [0,7].

2. a) como f es constantemente igual a 213 si XE[-10,-5) y constantemente igual a -k-113 si XE[-5,201. Entonces f es continua si estas constantes son iguales, es decir 2/3=-k-113. Por lo tanto k=-113-2/3=-?.(Recuerda la solución dada en el No 3 de ejercicios propuestos 8.5, donde utilizamos los limites laterales lo cual estudiarás posteriormente en la sección 9.4).

b) En este caso tenemos que la gráfica de g es un segmento de recta, de pendiente k si x E [-1,2) y otro segmento de recta de

179

c) k=2 o k=-5. Estos valores son la raices de la 18

ecuacibn 3k+10 = k2.


1. Una funcibn T: (0,2000]-+R que describe la tabla

'80 , O<x<20, 170 , 2 0 < ~ < 5 0 , 235 , 5 0 < ~ < 1 0 0 ,

T(x)='430 , 100<~<250 , 845 , 250 X < 500, 1430 , 500<~<1000,

,2600 , 1 O00 < x 5 2000.

b) k = l o k=-5 que son las raíces de la ecuación 4kZ - 2k-1= -6k+4+3kz, es decir k2+4k-5=0.

1 2. Como m es una función continua tenemos que:

2. Se pueden construir muchas gráficas con las caracteristicas exigidas. por ejemplo

f i sen4a=--- Una solución de esta ecuación está 2

Iím m(z)=m(a)=sen4a+l. z-ta

& + 2 . Por lo tanto, Luego sen4a+l=---

2

X X dada por 4a = - es decir a = - En general se

4 16

. -..___-x Y O 1 2 3

tienen infinitas soluciones dadas por

3. Procediendo de manera similar al problema anterior, obtenemos el sistema de ecuaciones:

1 4 a - 2 b = 2

Resolviendo el sistema de ecuaciones i logt . i€(0,1),

1 ~ ' ~ ( 0 ~ 1 ) ~ m(t)= O , +O, b) h(t)= 0 , t=o, t=q. il . t=q.

tenemos a=1/2, b=O. I 1 Ejercicios propuestos 9.6


l. Puesto que:

3t-1 , t#4 Simplificando tenemos h(t)=

1 , t=4

Luego h es continua en los intervalos (-m ,4) y (4,m)

La función h no es continua en t=4. porque

iim h(t)= lim (3t-1)=11#1=h(4) 1-14 1-14

1. a)x-x2 es continua por ser un polinomio. XH sen x . es continua.

f es suma de funciones continuas.

b) XIH log x es continua en (0.m 1. XH cos x es continua en (Os ).

g es diferencia de funciones continuas

c) h es producto de funciones continuas,

sen x d) m (x) = - es cociente de funciones con- cos X

tinuas en (- d2, ~ 1 2 ) y además el denomina-

dor (x H COSX) no se anula en dicho intervalo.

2. a) corno, 3(S-2) - - 3(~-2) -- - -3 S+O, s t 2 2 s3- s4 -s3(s-2) s3

y esta función es continua en dicho conjunto

tenemos que q es continua en (-m ,O) u (0,2) u(2,m ): R - (0,2}.

En los puntos s=O y s=2 la función no es continua porque no está definida en dichos puntos

Obsérvese que el limite de q(s) cuando S

l 3

tiende a 2. existe y vale - - , pero q no es 8

l continua en s=2.

b) p es continua en (-m ,-1) u (-1,l) u (1,m) =

R-{-1,l). Observa que lim p(z)=m ya que 2->i+

z2-4z - 5 se anula en z = -1 y Ilm p(z)=m z+-1+

pues Lnl=O

3. Si existieran tales funciones continuas, entonces por el teorema 9 1, f+g deberia ser continua en el intervalo [0,4], pero la función XH 1/(x2-3) no es continua en [0,4] ya que x2-3=0 se anula en

x=& ~ [ 0 , 4 ] . Por lo tanto tales funciones no existen.

1 4. Consideremos dos casos

Si f(t) = t+5, t E[-5,1], entonces si existe una tal función. Basta tomar. por ejemplo, g:[-5.11, -t R definida mediante

resultando (f g) (t) = t + 5, es decir (f.g) (t) = f(t) si te[-5,1]

Este ejemplo, no contradice el teorema 9.1, ya que dicho teorema seriala que el producto de funciones continuas es una función continua, pero no hace ninguna afirmación para el caso en que se multiplican dos -

~- . ~

funciones donde una de ellas es continua y la -~ otra no lo es.

Si la función f no se anula en el intervalo [ -5 ,1 ] entonces tendríamos que

I t + 5 g(t)=- t4-5,11 , lo cual implicaria que

f(t)

I g es continua, llegando así a un absurdo Por lo tanto si f no se anula, entonces no

I existe tal función g

1 Ejercicios propuestos 9.7

1. Como la función g(x)=& es continua en [O,m ), f(x)>O, xeI y f es continiia, entonces utilizando el

182

teorema 9 2, o I tenemos que la función

2. a) f es continua e porque la función x h l h(x)>O y es continua en

función x wx2-x+2 es en R (x2- ~ + 2 = ( ~ - 1 / 2 ) ~

no son números reales)

b) h es continua en 1 ,m) (¿por qué?). (Recuerda que log u>O si 1 y eU>O para todo UER). t

3. Hay varias a este problema. Dos de ellas son

en tal caso (f.g)(x)= x , x t 0 o , x=o.

O , xe[-l ,O), 1 , x€[o,I].

Determina f ~ g .

4. Sea g:R+R, d por g(x)=x3- 2x + 1, continua en R luego,

puntos donde f es aquellos puntos Entonces f es

tales que

1 Ejercicios piopuest)s 9.8

1 1. Definimos las funciones f,g: R -t R mediante

I f(x) = sen x -x+~, g )= ~ 2 2 5 + 185 E - 186 1 +2x"cos2x

I f y g son continuas n R ¿porqué? y , f(0)=2 >O C Y f 3,71, luego f

2 3n t (9) <o

g ( ~ ) = 2 ~ " + 135 - 186>0 1+2 2' +cos2x

¿por qué?

de Boizano se obtiene más, la ecuación sen

x=x-2 tiene alguna solución en (2; 3n 12) y la ecuación g(x)=O, tiene alguna solución en (0,2)

2. Hay muchos ejemplos de funciones con estas características, claro que esos ejemplos no pueden ser funciones continuas (ver Teorema de Bolzano). Un ejemplo de tal función es

3. f(x)= k, siendo k constante no nula.

4. Aqui también se pueden construir varias funciones. una de ellas es

t Y

I X 2 1 01 1 2

Este ejemplo no contradice el Teorema de Bolzano ya que dicho teorema se refiere a funciones continuas y la función dada no lo es.

5. Como f(-2)f(-l)<O(realice los cálculos) entonces, para garantizar la existencia de una raíz de la ecuación f(x)=O en [-2,-11, basta demostrar que f es continua en el intervalo [-2,-l](hágalo).

6 . a)Sea p(x)= ax 3 + bx2 + cx + d, a + 0 Supongamos que a>O(si a<O se procede de una manera similar). entonces

Por lo tanto:

(Esto también puede verse directamente en p(x)=ax3+bx2+cx+d haciendo x "crecer indefinidamente").

Por lo tanto debe existir un número positivo xo tal que p(x,)>O.

Procediendo de manera similar, se demuestra que p(x) tiende a -m, cuando x tiende a - m

(hágalo) y asi resulta que existe un número x,cO, tal que p(x,)<O. Ahora, aplicando el Teorema de Bolzano al polinomio p en el intervalo [x,,~,], se obtiene el resultado esperado.

Tambi6n pudiera ser una gráfica del siguiente tipo

p(t,)=p(t,)=p(t,)=O el polinomio p tiene tres raíces reales

t,, t,, t,.

b) Procede en forma similar a la parte (a).

c) Procede como en la parte (a) para observar que si

es un polinomio de grado impar, entonces

o bien

lim p(x)=-m y lim p(x)=m. Y->- X-1-m

183

Cualquiera que sea la situaci6n, deben existir valores de pueden ser muy grandes) digamos x,, x, , tales que p(x,)p(x,)~O Como p es una función continua, el Teorema de Bolzano nos asegura que p tiene una raíz en [x,, x,] o [x,, x,], dependiendo de si x,<x, o x,<x,


1. a) Tenemos que cos 0+0=1, cos n+n =-1+n>2. Como la función f(x)=cos x-x es contlnua y 2€[1 ,- I tn] , entonces usando el teorema del valor intermedio se deduce que existe

2. Daremos los resi

Métc

~ ~ ~ 3 , 8 7 5 x4=3,8125 ~ ~ ~ 3 , 8 4 3 7 5 x,=3,859375 ~ ~ ~ 3 , 8 6 7 1 8 7

ados obtenidos en una tabla

I x,~[O,n], tal que f(x,)-2, es decir: cos xo- x0=2.

b) Se procede en forma similar a la parte (a)

Debemos observar que en este caso hemos (aproximación por defecto)

ximación por exceso).

que trabaja con 8 cifras

, lo que puedes comparar

4 i

donde los valores , , x, , . . , x, se determinan as¡: 1 2. Basta considerar la función f:[-l.,O]-+R, tal que

f(-1)=-2 y f(x)=5, si xc(-1,0](Este ejemplo no contradice el teorema del valor intermedio ¿por qu67).

Hazla grefica de esa funcl6n.


1. a) Usar el Teorema de Bolzano.

b) Tenemos que la primera aproximación es x,=(-1+1)/2=0. Como 2.03-02-6.0+3=3>0 y Z(l)3 - (1)2 - 6.1 + 3 = - 2 ~ 0 , la segunda

Enconclusión, odemos decir que existe un número a raiz de la ecuación x2-15=0 y tal que 3,8~671875<a<3,375,

es decir 3,86718.5<fi<3,875. !

Por lo tanto

3,5+4 x2 =-- 2

- 3,7E

xg = 3,75+4,- 3,E75 2

x4 = 3,75+3,875 2

x5 = 3,8125+3,8; 2

- 3

!

;3,8125

5 =3,j4375 1

3.875 - - --+ +

I 3,;5 j\ : . , 3,5

3.8125 3,84375 i

GLOSARIO

ÁREA DE UN c~RCULO DE RADIO r: A =m2.

/ ÁREA DE UN P O L ~ O N O REGULAR DE n LADOS INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO r:

AREA DE UN POL~GONO REGULAR DE n LADOS CIRCUNSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO r:

APROXIMACIONES DE LA RAíZ CUADRADA DE UN NÚMERO a > O MEDIANTE UNA SUCESIÓN:

1 a - 1 + - , n 1 ; a, un primer valor aproximado de A,

an-1

BOLZANO, TEOREMA DE:

Si f: [a,b] j R es una función continua y f(a) f(b) < O, entonces existe x , ~ (a,b) tal que f(x,) = O

CONTINUIDAD:

Nocidn intuitiva: Una función f: 1 -+ R definida en un intervalo finito 1 es continua en dicho intervalo, si podemos dibujar su grafica sin levantar el lápiz del papel.

Nocidn formal: Una función f: 1 -+ R es continua en un punto a del intervalo1 si y sólo si iim f(x) = f(a). %+a

f es continua en todo el intervalo 1 si es continua en cada punto de 1.

Propiedades algebralcas de las funciones continuas (álgebra de funciones continuas).

.Sean f,g: 1 -+ R. Se verifica que las funciones f+g, f -g, f . g son continuas en aquellos puntos de 1 donde f y g son continuas.

f Sean f,g: 1 + R. Se verifica que la función - es continua en aquellos puntos de 9

1 donde f y g son continuas y g no se anula.

.Sean f: 1 -+ R, g: J -i R tal que g(J) c 1. Si g es continua en a E J y f es continua en g(a) E 1, entonces la función compuesta fog: J -+ R es continua en a E J.

LIMITE DE UNA SUCESI~N DE NÚMEROS REALES {a,}:

Nocidn intuitiva: La sucesión {a,} tiene como limite el número real L, si cuando el número de términos n se hace "muy grande" entonces a, es, cada vez más, una "mejor aproximación" del valor L. Se denota lim a, = L y se dice en tal caso que {a,) converge a L y

n+m

que {a,} es una sucesión convergente.

Nocidn geom6trica: La sucesi6n {a,) tiene como limite el número real L, si para cualquier intervalo abierto 1 centrado en L entonces los tkrminos de la sucesión, a partir de uno de ellos que llamaremos a,, pertenecen todos a 1.

185

e f(x) en el punto x,, si para cualquier XED cuando x se "acerca a" x, en f(x) "se acerca" a L. Se denota lím f(x) = L .

r de x, tal que las imagenes alrededor de x, (excepto,

L~MITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN f: D c R -t R ENUN PUNTO:

X'Xo

lim+f(x) y son iguales a L. X'X0

LIMITES INFINITOS DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO x,:

Esto se refiere a los siguientes límites:

L~MITES AL INFINITO DE UNA FUNCIÓN f(x):

Pueden ocurrir los casos siguientes (LtR):

iim f(x) = L , lim f(x) = -m. lim f(x) = + m X-1-m X - r - n X->-ai

iim f(x) = L , Ilm f(x) = -m, Iim f(x) = +m. x++m X't- x++m

LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO r:

I I

PERíMETRO DE UN POL~GONO REGULAR DE n LADOS CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA DE DE RADIO r:

Aritmética: Dado un número real r, se dice que una sucesión {a,) es una progresión aritmética si se verifica: an=an.,+r, n> 2, y a, es dado. Se demuestra que an=a,+(n-1)r.

Geométrica. Dado un numero real r, se dice que una sucesión {a") es una progresión geométrica si se verifica: an=a,.,.r, n;. 2, y a, es dado. Se demuestra que an=a,.rn-'.

SUMAS PARCIALES DE UNA SUCESI~N {a,,):

La sucesión {Sn} definida mediante

S,=a,, S,=a,+a,, S,=a,+a,+a, ,..., S,,=a,+a,+ ...+ a " , . .

se denomina la sucesión de sumas parciales de la sucesión dada {a,,).

En el caso que {an} sea una progresión aritmética, se demuestra que Sn = n(a,-ia,,)

2

a,(l-rn) En el caso que {a,) sea una progresión geométrica, se demuestra que S,,=

1-r

TEOREMA DE COSENO: (Ley del coseno) C

En un triángulo cualquiera ABC se verifica (ver figura) A b2=a2+c2-Z~CCOS B y análogamente para 10s otros dos lados a y c

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO:

Si f:[a,b] -tR es una función continua, entonces f toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b). Es decir, si L es un número real tal que f(a)<Lsf(b) o bien f(a)zL 2 f(b), entonces existe x,~[a,b] tal que f(x,)=L. Geométricamente este Teorema nos indica que la gráfica de f corta a la recta de ecuación y=L (recta paralela al eje OX) en algún punto.

A continuaci6n presentamos un conjunto de materiales bibliográficos c el objeto de que los mismos sirvan a los estudiantes para la consulta, práctica y fortalecimiento de los adquiridos en el estudio de los contenidos de este Módulo. Hemos detallado las páginas de ser revisados y se han divldido las recomendaciones para cada Unidad del Módulo

UNIDAD 7

(Sucesiones y llmites de sucesiones) I Britton, Jack R. y Bello, Ignacio, Algebra y Trigonometria Contemporánea , Harla, México 1982 t

De este texto se recomienda revisar los contenidos del capltulo 14, págin S 579-583 y 591-602 e intentar resolver los ejercicios propuestos, que cubren estos contenidos t Leithold. Louis. Matemáticas Previas al Cálculo: Análisis Funcional y Geodetria Analitica, Harla. México,

Se sugiere revisar los contenidos del capitulo 11, páginas 740-745,758- 7 y 768-777 e intentar resolver los ejercicios 1-16 (p.p. 748-749), 1-38 (p.p. 767-768), 1-43 (p.p. 777-778) y -4, 7-10, 13-20 de las páginas 798-799. 1 Swokowski, Earl W, Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, rupo Editorial Iberoamericana, MBxico, 1983.

Capitulo 10 (p.p 480482). Intentar resolver los ejercicios propuestos orrespondientes al tema y los ejercicios 11-38 (p.p. 510-51 1) t UNIDAD 8

(Llmites de funciones) I Swokowski, Earl W, Cálculo con Geometría Analítica, Grupo Editorial lb roarn&rica, México, 2a edición, 1989.

Se recomienda revisar el capitulo 2 (p p. 52-67, 73-76) e intentar resolv r los ejercicios que cubren este contenido, as1 como los ejercicios 1-28 (p 92).

UNIDAD 9 I (Continuidad)

Se suaiere revisar el libro Cálculo con Geometria Analítica de Sw E. W (ver UNIDAD 8)

Aproximación del área de un circulo, 31, 38 de número por fórmulas de recurrencia, 39,41 de raices de ecuaciones, 147.153

Areas de poligonos regulares, 32. 36 de un circulo, 36, 38

Arquimedes, 31 Aquiies, 29. 31. 63

C~ICUIO. 25, 31 Cauchy, L.A., 121, 146 Circunferencia

longitud de una, 186 Continua (continuidad)

álgebras de funciones, 142 composición de funciones, 144 definición, 136 en intervalos, 136. 140 en un punto, 136 noción intuitiva de, 121, 135 primera nociónde, 121 utilidad de las funciones, 127

Convergencia de sucesiones, 44

Divergencia de sucesiones, 44.59

Eudoxio, 31

Fermat. P., 67 Función

continua en un punto, 135, 136 continua en un intervalo. 136. 140 discontinua, 128, 135 tárifa postal. 131

Galileo, G., 67, 121 Gauss, K.F., 27

Inventario de una empresa, 132

intermedio teorema del valor, 151

Limite (S) al infinito, 43. 103, 113 de una función en un punto, 73,75,80 de una sucesión, 42,46 infinitos, 103, 109 interpretación geométrica del, 45,48,76, 84 laterales, 85, 117 por la izquierda, 87 por la derecha. 87 técnicas para el cálculo de, 96, 102

Longitud de una circunferencia, 186

Método de biseccibn, 154

Newton, l., 67 Número "e", 62, 63

Paradoja de Aquiies y la tortuga. 29, 31, 63

Peano, G.. 121 Progresión

aritmética, 27 geométrica, 27. 60

Raices de ecuaciones, 153

Sucesión (es) convergencia, 44 limite de una, 42,46

Sumas parciales, 61, 187

Tarifa postal, 131. 133 Teorema

de Bolzano, 146 del coseno, 33,187 devalor Intermedio, 151

Velocidad, 30

Zenón (de Elea), 29,39,64

Leibniz, G., 67 Ley del coseno, 33,187

Este libro se termin6 de imprimir en el mes de Junio de 1998

en los talleres de Grabados Nacionales, C.A. La Victoria, Estado Aragua.

Telefonos: (044)-22.02.85 - 2206.12 22.07.42 Telefax: (044)-22.02.45

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