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I.E.

CÁRDENAS CENTRO

MÓDULO DE GEOMETRÍA

CICLO IV

GRADO NOVENO

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TABLA DE CONTENIDO

pág.

UNIDAD 1

1. CONCEPTO DE RAZÓN Y PROPORCIÓN 4 2. SEGMENTOS PROPORCIONALES 5 UNIDAD 2 1. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 6 2. POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS SEMEJANTES, CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 6 3. TEOREMA DE THALES, DE LA BISECTRIZ Y DE PITÁGORAS 7 UNIDAD 3 1. DEDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 10 2. GRÁFICAS DE LAS RELACIONES SENO Y COSENO 11 3. DEFINICIÓN DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA 13 UNIDAD 4 1. ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y ÁREAS SOMBREADAS 15 2. ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS 17 3. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS 20 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 21 BIBLIOGRAFÍA 23

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UNIDAD 1

1. CONCEPTO DE RAZÓN Y PROPORCIÓN

La razón como concepto geométrico viene definido así: razón de dos números es el cociente indicado del primero entre el segundo. - es importante el orden en que se dicen o escriben los términos. - se indica en forma de fracción. - los dos números se llaman términos de la razón. - el primer término se llama antecedente y el segundo termino consecuente. ¿Cuándo son dos razones iguales? Dos razones son iguales cuando el producto de medios es igual al producto de extremos. Ejemplo

18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su consecuente 6. La proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción tiene por tanto cuatro términos ordenados: - los cuatro números se llaman términos de la proporción - el primero y el último se llama extremos y el segundo y el tercero se llaman medios. Propiedades de las proporciones. 1 En cualquier proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos. 2. si el producto de dos números es igual al producto de otros dos, cualquier par puede ocupar los medios de una proporción y el otro par ocupará los extremos 3. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si se invierten el numerador y el denominador de cada una de las fracciones. 4. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si se intercambian los medios o se intercambian los extremos. 5. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si en cada fracción al

numerador se le suma el denominador de la fracción 6. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si en cada fracción al numerador se le resta el denominador de la fracción 7. Si tres términos de una proporción son iguales a tres términos de otra proporción el cuarto término de la primera es igual al cuarto término de la segunda 8. En una serie de razones (fracciones) iguales, si se suman respectivamente los numeradores y denominadores de dos o más de estas razones, la nueva razón obtenida es igual a cualquiera de las razones inicialmente iguales Ejemplo: la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee “12 es a 3 como 8 es a 2”.

EJERCICIOS…..

- Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples. - Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción:

- Determine si el par de razones forman una proporción:

- Resuelva la proporción:

- Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 720 millas? - Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $120,000?

2. SEGMENTOS PROPORCIONALES

Un segmento es la porción de una recta limitada por dos puntos diferentes de la misma. PROPORCIONALIDAD. Uno de los teoremaThales , que dice lo siguiente: “Cuando dos rectas secantes segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientesrecta” Vamos a verlo con un dibujo:

5

LES

Un segmento es la porción de una recta limitada por dos puntos diferentes de la misma.

de los teoremas más importantes del trazado geométrico es el llamado“Cuando dos rectas secantes son cortadas por una

segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes

Las rectas secantes son r y s, que se cortan en P. Otras son paralelas, cortan a r y s en los puntos A, A’ y B, B’ respectivamente.Thales nos dice entonces que se cumple esta ley de proporcionalidad:

Un segmento es la porción de una recta limitada por dos puntos diferentes de la misma.

más importantes del trazado geométrico es el llamado Teorema de son cortadas por una serie de rectas paralelas, los

segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra

Las rectas secantes son r y s, que se cortan en P. Otras dos rectas t y u, que son paralelas, cortan a r y s en los puntos A, A’ y B, B’ respectivamente. Thales nos dice entonces que se cumple esta ley de proporcionalidad:

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UNIDAD 2

1. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.

Condiciones de congruencia

Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean congruentes, es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos respectivos también tienen la misma medida o son congruentes.

Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Para corroborar que dos triángulos son congruentes se debe asegurar la congruencia de todos los lados de uno con todos los lados correspondientes del otro

y la congruencia de todos los ángulos de uno con todos los ángulos correspondientes del otro. Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son. Sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homólogas .

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

� Criterio LLL : Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.

� Criterio LAL : Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

� Criterio ALA : Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

2. POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS SEMEJANTES, CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Se dice que un polígono es semejante a otro, cuando los ángulos el primero son respectivamente iguales a los ángulos del segundo y cuando los lados del primero son proporcionales a sus homólogos del segundo.

Dos triángulos son semejantes si:

- Tienen dos ángulos iguales (A-A). - Tienen los lados proporcionales (L-L-L). - t ienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual (L-A-L).

EJERCICIOS………….. 1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden

12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta. 2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la

proporcionalidad de sus lados.

3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.

4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.

3. TEOREMA DE THALES, DE LA BISECTRIZ Y DE PITÁGORA S

Teoremas de proporcionalidad de segmentos Si tenemos dos rectas r y s de un plano, y en una de ellas r , tomamos dos segmentos cualesquiera AB ,BC , al trazar por los extremos de estos segmentos rectas paralelas entre sí , que corten a la segunda recta s , determinarán en esta otros dos segmentos , proporcioun plano son cortadas por varias paralelashomólogos de la otra , es decir , la razón entre un segmento y su homólogo es con

Teorema de la bisectriz. El teorema de la bisectrizla geometría elemental la cual es una consecuencia oDado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumple la proporción:

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Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.

del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.

3. TEOREMA DE THALES, DE LA BISECTRIZ Y DE PITÁGORA S

Teoremas de proporcionalidad de segmentos (Teorema de Thales)

dos rectas r y s de un plano, y en una de ellas r , tomamos dos segmentos cualesquiera AB ,BC , al trazar por los extremos de estos segmentos rectas paralelas entre sí , que corten a la segunda recta s , determinarán en esta otros dos segmentos , proporcionales a los primeros, o sea que se verifica:

paralelas , los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus homólogos de la otra , es decir , la razón entre un segmento y su homólogo es constante.

teorema de la bisectriz del ángulo interno de unelemental la cual es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales

Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumple la proporción:

En este diagrama, siendo A el ángulo bisecado,BA:AC = BD:DC

Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.

del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y

dos rectas r y s de un plano, y en una de ellas r , tomamos dos segmentos cualesquiera AB ,BC , al trazar por los extremos de estos segmentos rectas paralelas entre sí , que corten a la segunda recta s ,

nales a los primeros, o sea que se verifica: Si dos rectas de , los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus

stante.

interno de un triángulo es un teorema de Teorema de Tales. O lo que es equivalente:

Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumple la proporción:

En este diagrama, siendo A el ángulo bisecado,

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Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2 En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la

suma de los cuadrados de los otros dos lados más el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Para calcular un cateto en un triángulo rectángulo se sigue la siguiente fórmula b2 + c2 = a2 EJERCICIOS……….

Calcula la longitud de A’B’ en la figura adjunta

Calcula AB en la figura adjunta

Un árbol proyecta una sombra de 6 m y, a la misma hora y en el mismo sitio, un palo de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. Calcula la altura del árbol.

Calcula la hipotenusa en el triángulo de la figura

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Calcula el cateto de C en el triángulo de la figura

Calcula la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6,6 cm y 8,8 cm Calcula la longitud de un cateto en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m, y el otro cateto 16 m

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UNIDAD 3

1. DEDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN T RIÁNGULO RECTÁNGULO

Llamamos razones trigonométricas a las distintas razones existentes entre los lados de un triángulo rectángulo. Se define: Seno de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Coseno de un ángulo como la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Tangente de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto y el contiguo. Cosecante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ahí se deduce que la consecante es 1 entre el seno Secante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es 1 entre el coseno. Cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es 1 entre la tangente.

De las definiciones anteriores se deduce que:

EJERCICIOS…………

Dado el anterior triángulo rectángulo, se sabe que los catetos miden: a = 5 b = 8 Calcula la tangente del ángulo A Se sabe que los catetos miden: a = 7 b = 8 Calcula la secante del ángulo A

Se sabe que los catetos miden: a = 3 b = 4 Calcula el seno del ángulo A Se sabe que los catetos miden: a = 3 b = 8 Calcula la cosecante del ángulo A

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2. GRÁFICAS DE LAS RELACIONES SENO Y COSENO

SSeennoo ddee uunn áánngguulloo El punto P, en la figura, se desplaza sobre la circunferencia centrada en el origen y cuyo radio vale 1. Al ángulo de giro lo llamamos α. A la ordenada del punto P la llamaremos seno de α. y se representa por: sen α

Actividad Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:

ángulo 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º 360º

seno

LLaa ffuunncciióónn sseennoo Actividad Representa la función senα. En el eje de abcisas sitúa los valores del ángulo en grados, en intervalos de 30º desde 0º hasta 360º. La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de abcisas aparece la medida del ángulo en radianes.

• Es la gráfica de una función continua y definida en R.

• Los valores del seno se repiten cada 2π radianes (cada 360º). Este valor se llama periodo de la función

• Esta gráfica se llama sinusoide .

Ahora en la siguiente figura observaremos la abcisa del punto P. La llamaremos coseno del ángulo α. y se representa por: Actividad Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:

ángulo 0º 30º 45º 60º 90ºcoseno

Actividad

Ahora representa la función cos intervalos de 30º desde 0 hasta 360º. La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de abscisas está la medida del ángulo en radianes.

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CCoosseennoo ddee uunn áánngguulloo

figura observaremos la abcisa del punto P. La . y se representa por: cos α

Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:

90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º

LLaa ffuunncciióónn ccoosseennoo

Ahora representa la función cos α, en el eje de abscisas sitúa los valores del ángulo en grados, en intervalos de 30º desde 0 hasta 360º.

La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de está la medida del ángulo en radianes.

• También su domino es todo el conjunto R y se trata de una función continua .

• Los valores del coseno también se repiten cada 2(cada 360º).

• Esta gráfica se llama cosinusoide .

360º

, en el eje de abscisas sitúa los valores del ángulo en grados, en

La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de

También su domino es todo el conjunto R y se trata de una

Los valores del coseno también se repiten cada 2π radianes

.

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3. DEFINICIÓN DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

En realidad la definición de circunferencia es "el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un centro".

Radio y diámetro El radio es la distancia del centro al borde. El diámetro empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el otro lado. Así que el diámetro es el doble del radio:

Diámetro = 2 × Radio

Longitud de la circunferencia La circunferencia es la distancia alrededor del borde del círculo. Mide exactamente Pi (el símbolo es π) por el diámetro, o sea:

Circunferencia = π × Diámetro Y estas fórmulas también:

Circunferencia = 2 × π × Radio Circunferencia/Diámetro = π

Área del círculo El área del círculo es π por el cuadrado del radio, se escribe así:

A = π × r2 O, en términos del diámetro:

A = (π/4) × D2 Es fácil acordarse si piensas en el área del cuadrado en el que cabe el círculo.

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Nombres Los círculos son objetos conocidos desde hace miles de años así que hay muchos nombres especiales. Nadie quiere decir "la línea que empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el otro lado" cuando vale con decir "diámetro". Aquí tienes los nombres especiales más comunes:

Líneas Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro se llama cuerda. Si la línea que pasa por el centro se llama diámetro. Si una línea "sólo toca" la circunferencia al pasar se llama tangente. Y una parte de una circunferencia se llama arco.

Trozos Hay dos tipos importantes de "trozos" de un círculo

Un trozo "de pizza" se llama sector. Y un trozo marcado por una cuerda se llama segmento.

Sectores comunes El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:

Un cuarto de círculo se llama cuadrante. Medio círculo se llama semicírculo.

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UNIDAD 4

1. ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y ÁREAS SOMBREADAS

Consideramos primero el área de un polígono regular de n lados.

Teorema 24.2.1. El área de un polígono regular de n lados es el semiperímetro por la apotema.

Demostración: Sabemos que todo polígono regular de n lados se puede descomponer en n triángulos isósceles congruentes y de vértices en el centro O. El área del polígono regular será la suma de las áreas de los triángulos isósceles. El área del triángulo isósceles y el área del polígono es:

( ) ( )2

AB OHÁrea polígono n AOB n= = i

12 n nn a = ℓ

2n nn a= iℓ i

( )

(2 ) . tan :

22

n

nn

pero n es el perímetro p del polígono Por to

p aÁrea polígono p a= =

iℓ

ii

Teorema 24.2.2. El área de un círculo de radio r es el producto del número irracional π y el cuadrado del radio. Un círculo no puede descomponerse en triángulos isósceles congruentes como lo hicimos con los polígonos regulares, pero puede dividirse en sectores circulares congruentes suficientemente pequeños y considerados aproximadamente iguales a triángulos isósceles. Para lograr lo anterior basta dividir la circunferencia en un número muy grande de arcos congruentes y trazar los segmentos radiales por sus puntos de división.

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Si trazamos dos diámetros perpendiculares, la circunferencia queda dividida en cuatro arcos congruentes y el círculo en cuatro sectores circulares congruentes de ángulo central 90°. Si a continuación trazamos la s bisectrices de estos ángulos rectos, obtenemos en la circunferencia ocho arcos congruentes y en el círculo ocho sectores circulares congruentes de ángulo central 45°; si co ntinuamos en forma similar, obtenemos la circunferencia dividida en 16, 32, 64, 128, 256,.... arcos congruentes y el círculo en el mismo número de sectores circulares congruentes.

Si imaginamos la circunferencia dividida en un número par muy grande de arcos congruentes y al círculo como la unión de igual número de sectores circulares congruentes, y disponemos estos sectores como lo muestra la siguiente figura, obtendríamos una figura muy similar a un paralelogramo, de altura igual al radio y de base igual a la longitud de la semicircunferencia.

Teorema 24.2.3. El área de un sector circular es el semiproducto de su radio y la longitud de su arco. Recordemos que un sector circular es la región del círculo limitada por un ángulo central.

Consideremos el círculo dividido en 360 sectores circulares congruentes de ángulo central 1º. Entonces el área que corresponde a cada uno de estos sectores es:

Área del sector de 1º2

360ºrπ θ= .

Si el ángulo central que corresponde a un sector circular es 0θ , entonces su área es:

Área del sector circular de 0θ2

360ºrπ θ=

El área del sector circular puede expresarse como:

(0 .

RESUELVA 1. Halle la base de un paralelogramo si el área es 48 cm2. En un paralelogramo halle la base si la base es a la altura como 5 3. En un rombo encuentre:

a) Una diagonal si la otra mide 14 cm y el área 42 cmb) El lado, si el área es 54 m2 c) El lado, si el área es 100 m2

d) El lado, si el área es 24 m2 y una diagonal mide 8 m.e) El lado, si el área es 6 m2 y una diagonal es cuatro veces la otra.

2. ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS

Las unidades de volumen son estandarizaciones que Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Pfigura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cúbico y se abrevia por 1 cm

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El área del sector circular puede expresarse como:

� )�( ) 2

º0 .

360 2 2

long ABr rAB r r

π θθ= = =i i

Halle la base de un paralelogramo si el área es 48 cm2, la base x + 3 y la altura x + 1.En un paralelogramo halle la base si la base es a la altura como 5 es a 2, y el área del paralelogramo es 90 cm

Una diagonal si la otra mide 14 cm y el área 42 cm2 y las diagonales son entre sí como 4 : 3. 2 y una diagonal es el doble de la otra. y una diagonal mide 8 m. y una diagonal es cuatro veces la otra.

2. ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS

Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Pfigura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cúbico y se abrevia por 1 cm

Volumen del cubo unidad = 1 cm

, la base x + 3 y la altura x + 1. es a 2, y el área del paralelogramo es 90 cm2.

permiten dimensionar el número que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cúbico y se abrevia por 1 cm3.

Volumen del cubo unidad = 1 cm3

En la siguiente tabla se muestra las

Arista del cubo unidad

1 Milímetro

1 Centímetro

1 Decímetro

1 Metro

1 Decámetro

1 Hectómetro

1 Kilómetro

Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes obtenidos a partir de él estarán en centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo unidad tiene otra unidad de volumen.

Medición del volumen de algunsimples con dos caras paralelas

Volumen de un cubo. Un cubo es cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada vértice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.

El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres, como muestra la siguiente figura: Si la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista:

Vcubo=(3cm)3 = 33 cm3 = 27cm3

Por lo tanto, si la arista de un cubo mide su volumen se calcula a través de la fórmula:

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En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas:

Arista del cubo

Unidad de Volumen asociada Abreviatura

1 Milímetro Milímetro cúbico mm3

1 Centímetro Centímetro cúbico cm3

1 Decímetro Decímetro cúbico dm3

Metro cúbico m3

1 Decámetro Decámetro cúbico Dm3

1 Hectómetro Hectómetro cúbico Hm3

1 Kilómetro Kilómetro cúbico Km3

Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes obtenidos a partir de él estarán en centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo unidad tiene otra unidad de volumen.

Medición del volumen de algun os cuerpos

s cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada vértice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.

El volumen de un cubo es igual al valor de su arista muestra la siguiente figura: Si

la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista:

Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

El volumen a · a · a = atambién definir como el producto del área de la cara basal a · a por la altura

V = a · a · a= (a · a ) · a

El hectómetro cúbicovolumen, con la que se nombra, la capacidad de los embalses o de una tubería o de un trasvase

Sería el volumen que ocupa un cubo de 100 lado.

1 Hm3 = 1.000.000 m3

Litro. El litro es una unidad de normalmente utilizada para medir granulares, y que corresponde al volum1 Kg de agua a 4 °C y a 1

más utilizadas:

Abreviatura

a · a · a = a3 de un cubo se puede también definir como el producto del área de la cara

por la altura a, es decir:

a = a

hectómetro cúbico (Hm3), es una medida de volumen, con la que se nombra, la capacidad de los embalses o de una tubería o de un trasvase de agua.

Sería el volumen que ocupa un cubo de 100 m de

= 106 m3.

es una unidad de capacidad, normalmente utilizada para medir líquidos o sólidos granulares, y que corresponde al volumen que ocupa

y a 1 atm de presión.

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Se abrevia con la letra l o con la letra L, para evitar problemas en la tipografía, cuando la l puede confundirse con el número 1.

Equivale a la capacidad de un contenedor de un decímetro cúbico o a una milésima de metro cúbico.

1 l = 1 dm3 = 0.001 m3 = 10-3 m3

1 l = 1000 ml = 100 cl = 10 dl = 1 l = 1 dm3 = 0.001 m3

103 ml = 102 cl = 101 dl = 1 l = 1 dm3 = 10-3 m3

Además de masa, los cuerpos tienen una extensión en el espacio, ocupan un volumen. El volumen de un cuerpo representa la cantidad de espacio que ocupa su materia y que no puede ser ocupado por otro cuerpo.

Muchas veces cuando preparamos un jugo volcamos el líquido en una jarra o una botella. Cuando hacemos una torta volcamos el azúcar o la harina en un recipiente. Se necesitan tantos gramos para llenar una jarra o tantos gramos para llenar una cacerola. Por tanto hay una relación entre las medidas de volumen, capacidad y peso.

Al igual que la masa, el volumen puede medirse en muchas unidades: pintas, galones, arrobas, etc. pero las medidas más usadas son el litro (l) y la unidad del S.I. el metro cúbico (m3), que equivale a 1.000 litros o, lo que es lo mismo, un litro es igual que un decímetro cúbico (dm3) o sea que es la cantidad de agua que cabe en un cubo que tiene 1 dm de arista. Las equivalencias entre los múltiplos y submúltiplos más habituales del metro cúbico y el litro aparecen en la siguiente tabla:

Nombre Abreviatura Equivalencia en m 3 Equivalencia en l

Hectómetro cúbico Hm3 10.000 m3 10.000.000 l

metro cúbico m3 1 m3 1.000 l

Hectolitro hl 0'1 m3 100 l

decímetro cúbico dm3 0'001 m3 1 l

centímetro cúbico c.c. o cm3 0'000001 m3 0'001 l

decilitro dl 0'0001 m3 0'1 l

centilitro cl 0'00001 m3 0'01 l

mililitro ml 0'000001 m3 0'001 l

Si observas un recibo del agua podrás ver que el ag ua que gastas no aparece en litros sino en metros cúbicos Para medir el volumen de un líquido se emplean distintos recipientes graduados. Pero la relación entre las medidas de peso y volumen no es constante. ¿Por qué? Porque solo un litro de agua destilada pesa 1kg.. Así por ejemplo 1 dm3 hierro pesa7,8 kg y un dm3 de aceite pesa 0,92 kg..Entonces ¿cómo hacemos para averiguar la relación de volumen y peso de cualquier sustancia que no sea agua destilada?. Par eso necesitamos conocer su peso específico que es la relación entre el peso y el volumen de cualquier parte de esa sustancia.

El volumen de un sólido no es tan fácil de medir. Si se trata de unvolumen puede calcularse a partir de sus medidas, ancho, alto y profundidad, con ayuda de las matemáticas. Si se trata de un cuerpo irregular la medición se hace de forma indirecta: si llenamos un recipiente cintroducir en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer, el líquido se desbordará del recipiente en tanta cantidad como volumen tenga el sólido introducido. Midiendo luego el volumen del líquido derramado estamos midiendo el del sólido que sumergimos en él. Este método fue descubierto por siglo III antes de Cristo.

3. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS

El volumen nos indica la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. utilizamos las siguientes ecuaciones matemáticas:

Ejercicios de áreas y volúmenes

1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 2500 mm de alto.

2. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. S18.000 pesos el metro cuadrado. a. Cuánto costará pintarla. b. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

3. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?

4. Determina el área total de un 5. Calcula la altura de un prisma6. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de

diámetro y 20 cm de altura. 7. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm.

Calcular: a) El área total. b) El volumen

8. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatroel agua cuando se derritan?

9. La cúpula de una catedral tiene forma el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

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El volumen de un sólido no es tan fácil de medir. Si se trata de un sólido regular, como un cubo o una esfera, su volumen puede calcularse a partir de sus medidas, ancho, alto y profundidad, con ayuda de las matemáticas. Si se trata de un cuerpo irregular la medición se hace de forma indirecta: si llenamos un recipiente cintroducir en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer, el líquido se desbordará del recipiente en tanta cantidad como volumen tenga el sólido introducido. Midiendo luego el volumen del líquido derramado estamos

ue sumergimos en él. Este método fue descubierto por Arquímedes

3. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS

tidad de espacio que ocupa un cuerpo. Para medir el volumen de cuerpos regulares utilizamos las siguientes ecuaciones matemáticas:

Ejercicios de áreas y volúmenes

Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo,

Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Sel metro cuadrado.

Cuánto costará pintarla. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

macén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista.

prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de

tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm.

En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan? La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un

, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

sólido regular, como un cubo o una esfera, su volumen puede calcularse a partir de sus medidas, ancho, alto y profundidad, con ayuda de las matemáticas. Si se trata de un cuerpo irregular la medición se hace de forma indirecta: si llenamos un recipiente con un líquido, al introducir en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer, el líquido se desbordará del recipiente en tanta cantidad como volumen tenga el sólido introducido. Midiendo luego el volumen del líquido derramado estamos

Arquímedes , un sabio griego del

Para medir el volumen de cuerpos regulares

Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y

Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de

macén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?

de 5 cm de arista. y 48 l de capacidad.

Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de

tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm.

cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará

, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 €

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EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS

ROMPECABEZAS EL TANGRAM El tangram es un rompecabezas de origen chino. Consta de un cuadrado dividido en siete partes que forman siete figuras geométricas. Estas figuras son: un cuadrado pequeño, dos triángulos pequeños, uno mediano, dos grandes y un paralelogramo. Dentro de sus variaciones se encuentran los cuadrados, que se dividen en diferentes figuras geométricas, la mayoría de ellas simétricas o regulares (Figuras 1 y 2).

Estos rompecabezas son especialmente interesantes porque sus piezas forman un cuadrado y con ellas se puede armar una amplia gama de figuras y formas sin superponerlas.

LOS POLIOMINÓS Los poliominós son polígonos construidos a partir de un conjunto de cuadrados del mismo tamaño. Éstos se encuentran conectados entre sí por uno de sus lados (lado adyacente), de tal forma que no queden espacios huecos en el interior del polígono resultante. De acuerdo con el número de cuadrados que se emplee podemos hablar de dominós (2 cuadrados), triminós (3 cuadrados), tetrominós (4 cuadrados), pentominós (5 cuadrados), etc. Para que dos poliominós formados con la misma cantidad de cuadrados, sean diferentes, uno de ellos no puede ser obtenido por reflexiones o rotaciones del otro (Figura 3).

Sin embargo, existen variaciones en las que se consideran diferentes los poliominós obtenidos por reflexión, por rotación o por las dos transformaciones (Figura 4).

Como vemos, la cantidad de poliominós que se puede formar con cierto número de cuadrados aumenta cuando se emplea mayor número de ellos.

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La relación existente entre los posibles poliominós y el número de cuadrados empleados es:

n G H T S 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3 2 2 6 3 4 5 7 19 4 5 12 18 63 6 6 35 60 216 10 7 108 196 760 20 8 369 704 2725 34 9 1285 2500 9910 70

En la tala, n es el número de cuadrados empleados, G es el número de poliominós que se pueden formar sin contar rotaciones ni reflexiones. H, por su parte, es el número de poliominós diferentes formados sin contar rotaciones, T es el número de poliominós distintos formados incluso por rotación y reflexión y S los formados sin tener presente la reflexión de otros poliominós. De los datos anteriores, se puede ver que para cada n: S = 2 G – H Los principales problemas que se trabajan a partir de los poliominós son los recubrimientos de tableros, esto es, cubrir con poliominós de determinado tamaño un tablero cuadrado similar a uno de ajedrez. 1. En la figura 1, si cada unidad de la cuadrícula tiene valor x, entonces el perímetro de la figura C es:

a) 2 √10 x b) 4x (2 + √2) c) 12 x d) 8x

2. El área del cuadrado que puede formarse con las partes del rompecabezas de la figura 1, es:

a) 64 x2 b) 52 x2 c) 16 x d) 32 x2 3. En la figura 2, en las piezas G y H:

a) XZ es un congruente con NP. b) El triángulo XYZ es rectángulo. c) El triángulo MNP es equilátero. d) El ángulo M es congruente con el ángulo Z.

Considera que el área de cada cuadrado que hace parte de uno de los poliominós se puede representar por la expresión: 9 (x – 2)2. 3. El área de cualquier pentominó puede representarse así:

a) 45x2 – 180 c) 14 (x – 2)2 b) 45x2 – 180x + 180 d) 9 (x – 2)2 + 5

4. El perímetro del poliominó de la ficha G es:

a) 30 (x – 2) c) 3x – 6 b) 90 (x – 2)2 d) 90x2 – 180

5. Al unir las piezas E y G de la figura 2, la relación de la nueva pieza con la D es:

a) Las dos piezas son congruentes. b) El área de la nueva pieza es mayor que el de

la D. c) Las dos piezas son semejantes. d) El área de la pieza D es mayor que el de la

nueva. 6. Para recubrir un cuadrado de 8 x 8 con el tetraminó E, es necesario emplear:

a) 12 piezas b) 16 piezas c) 24 piezas d) No se puede recubrir con un número exacto

de piezas. 7. Un cuadrado de dimensiones 4 x 4 puede ser recubierto por:

a) 4 piezas E c) 4 piezas C b) 4 piezas G d) 4 piezas H

8. Si para n=10, el número de poliominós que se puede formar sin contar rotación ni reflexión es de 4655 y los formados sin reflexión son 121, entonces el número formado sin contar las rotaciones es:

a) 16446 b) 9189 c) 4413 d) 4776 9. Si para n = 12, el número de poliominós que se puede formar sin contar rotación y reflexión es de 63600 y sin contar rotaciones es 126759, entonces el número de poliominós que se puede formar sin reflexión de otras es:

a) 441 b) 505861 c) 253959 d) 19035

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BIBLIOGRAFÍA

http://html.rincondelvago.com/transformaciones-geometricas.html

http://aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-14.htm

http://www.escueladigital.com.uy/geometria/4_figplanas.htm

http://www.geoka.net/triangulos/angulos_triangulos.html

http://argentina.aula365.com/EditorContenidos/Infografias/Contenido/infoPoligonos.swf

http://rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/full/c/congruentpolygons.htm

http://tutormatematicas.com/GEO/Propiedades_cuadrilateros.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides

http://ciencias.udea.edu.co/~jrlondono/documentos/geucap07.pdf

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/06a-solido-poliedro.htm

http://www.iesaguilarycano.com/dpto/fyq/mat/volumen.htm

http://www.vitutor.com/geo/esp/vActividades.html

http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/778/4/1474.pdf

http://www.salonhogar.com/matemat/geometria/teo_contenido.html

www.tallerdegalileo.es/Instituto/volumen.doc

http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa

www.sectormatematica.cl/.../NM4_funciones_trigo...