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INTRODUCCIÓN A LA FISICA: ¿Qué estudia la física?

Del porque y el cómo suceden los fenómenos naturales y las leyes básicas que rigen el comportamiento y las interacciones de la materia la energía en cualquiera de sus formas. Las cuales ocurren en un: sistema físico.

Sistema físico: la realidad en que vivimos es muy compleja para comprenderla mejor realizamos la construcción de un sistema físico, donde resulte más fácil hacer una buena interpretación de la realidad. Un sistema físico por ejemplo puede ser el sistema Tierra – Luna, o la silla con usted. En esta interpretación solo usamos las propiedades más relevantes de los objetos que están involucradas con el fenómeno físico a estudiar, y el cual nos permite comprender nuestra realidad

Durante este proceso usamos nuestros sentidos, instrumentos de medición y de observación y los reunimos en un solo concepto: las magnitudes físicas.

Las magnitudes físicas: son las propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenómenos naturales y que son susceptibles de ser medidas.

Por ejemplo: la longitud, la masa, la velocidad, el tiempo, la temperatura, entre otras. Pero el olor, el sabor, la belleza no son magnitudes físicas ya que no pueden ser medidas.

Uno de los objetivos de la física es la descripción de los fenómenos naturales mediante magnitudes. Por ejemplo, si medimos la longitud de un objeto, calculamos la masa de un cuerpo, solo con el valor numérico y la unidad correspondiente, queda bien definidas. A estas magnitudes se le llama: magnitudes escalares.

Magnitudes escalares: también llamadas cantidades escalares, son magnitudes que quedan totalmente descritas con un número y una unidad. Ejemplo: 5m (longitud), 15kg (masa), 4gr/cm3 (densidad), 12m2 (área).

La Física como ciencia experimental que es, requiere de la medición para describir las propiedades o los fenómenos que se van a estudiar. Cuando se mide un objeto o un fenómeno se hace una comparación entre una magnitud con otra de su misma especie llamada patrón. Este patrón es denominado unidad.

Existen magnitudes físicas que son independientes de las demás y reciben el nombre de magnitudes físicas fundamentales.

Magnitudes físicas fundamentales: son magnitudes físicas básicas y en ellas se expresan las magnitudes intrínsecas de la materia. Ellas son longitud, masa, tiempo y temperatura.

Magnitudes físicas derivadas: son magnitudes que se escriben en función de las fundamentales, como por ejemplo: área, volumen, velocidad, aceleración, fuerza, presión, gravedad, etc.

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Para unificar los sistemas de medidas a nivel internacional se tienen los siguientes sistemas que pueden relacionarse entre sí.

Sistema internacional de unidades: debido a las diferentes medidas existentes en 1960 se adoptó el sistema internacional de medida o SI el cual unificó todas las conocidas y estableció un sistema de conversión entre ellas.

Consulta: la definición de longitud, masa y tiempo.

Tabla de unidades básicas

TABLA 1.1

MAGNITUD Longitud Masa Tiempo Temperatura Cantidad de masa

UNIDAD metro kilogramo Segundo Kelvin mol

SÍMBOLO m Kg s K Mol

Tabla de múltiplos y submúltiplos del metro. TABLA 1.2

MÚLTIPLOS Símbolo E P T G M k h D

SUBMÚLTIPLOS Símbolo d c Mm n f a

Prefijo Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca

Factor 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Prefijo Deci Centi Mili Micro Nano Pico Femto Atto

Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

Aunque algunos países usan otros sistemas como por ejemplo.

Sistema centímetros, gramos y segundos ó sistema CGS:

Tabla CGS

TABLA 1.3

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO Longitud centímetro cm Masa gramo gr Tiempo Segundo s

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Sistema británico de medidas: usado en Reino Unido y en países anglosajones.

TABLA 1.4

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO Longitud Pie p Masa Slug Slug Tiempo segundo S

Conversión de unidades: todas las magnitudes físicas deben tener un número y una unidad que lo identifiquen, esto permite realizar la conversión a veces mentalmente. Al término usado para realizar la conversión se le llama factor de conversión, para aplicarlo se realiza el procedimiento de la regla de 3 simple o teniendo en cuenta si la conversión se hace de una unidad mayor a una menor o viceversa.

1. Ejercicio

a) Un slug equivale a 14,59kg. ¿30kg cuantos slug equivale?

b) En el comercio se consiguen reglas graduadas en cm y pulgadas. Determinar la medida en pulgadas de una regla de 45cm.

c) ¿Cuántos segundos hay en un año? De acuerdo a esto ¿Cuántos segundos tienes de vida?

Cifras significativas: son las cifras de un valor obtenido en una medición, de las cuales las primeras son ciertas y la ultimas dudosas. Por ejemplo: sabemos que π = 3,1416, la parte entera 3 y las decimales 1 y 4 son ciertas y las cifras 1 y 6 dudosas. Por lo tanto se trabaja con la cifra 3,14.

Notación científica: es común que al momento de realizar cálculos matemáticos aparecen magnitudes físicas las cuales toman cifras significativas con valores muy grandes o muy pequeñas. Para usar la notación científica se usan la potencias de 10 como base. Por ejemplo: la masa de la tierra se ha calculado en 60000000000000000000000Kg, se puede escribir como 6x1024Kg.

Para expresiones menores que cero se realiza el mismo procedimiento solo que al exponente se le antepone el signo menos. Por ejemplo: 0,00000000005cm, se puede escribir como 5x10-12cm.

2. Ejercicio

El planeta tierra se encuentra ubicado en la galaxia llamada la Vía Láctea. El sol se encuentra a 30000 años luz del centro de nuestra galaxia. Determinar dicha distancia en metros.

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Manejo de errores: al realizar una medición es imposible cierto grado de incertidumbre (grado de imprecisión como consecuencia de la calibración del instrumento de medida) pues es probable que en el procedimiento se generen errores experimentales, ya sean humanos, por variaciones del medio o por una calibración incorrecta de los instrumentos utilizados. Se presentan dos tipos de errores.

Los errores sistemáticos: se producen por limitaciones del equipo utilizado o por deficiencias en el diseño experimental.

Los errores aleatorios: se originan por causas que no se pueden controlar en cada medida.

Cuando se hace una medición se debe establecer el error cometido teniendo en cuenta el valor obtenido y el valor de referencia original. Este tipo de cálculos permite establecer dos tipos de errores.

Error absoluto: se calcula realizando la diferencia entre el valor obtenido en una medición y el valor que se toma como referencia.

Las barras indican valor absoluto

Error relativo: se calcula realizando el cociente entre el error absoluto y el valor que se toma como referencia de la medida.

Una medida precisa de un objeto se logra con varias mediciones de él. De acuerdo a la estadística ésta nos permite establecer el valor promedio en la medición al calcular la media aritmética.

Por ejemplo si una medida se realiza 6 veces, se obtienen 6 valores los cuales la media se puede calcular así:

Es importante saber que tanto se alejan los valores de la media y es este valor el más acertado de las mediciones. Se le llama desviación media (DM) y se le calcula de la siguiente forma:

El resultado de la medición se expresa como x DM. Se acostumbra a representar el error relativo como: Er = DM / X, es usual representarlo en porcentaje.

Enlace de apoyo

- http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

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3. Ejercicio

El diámetro de un disco se mide cinco veces con una regla graduada en mm, y se obtiene, los siguientes resultados: 12,2mm; 12,3mm; 12,4mm; 12,5mm; 12,6mm.

a) Determinar el valor promedio de los datos. b) Determinar la desviación media. c) Expresar el resultado de la medición y el error relativo.

4. Ejercicio

Hemos realizado diez veces la pesada de un cuerpo obteniendo los siguientes resultados expresados en gramos:

12,372; 12,373; 12,372; 12,371; 12,370; 12,374; 12,372; 12,372; 12,371; 12,373

a) Determinar el valor promedio de los datos. b) Determinar la desviación media. c) Expresar el resultado de la medición y el error relativo.

5. Ejercicio

En un experimento sobre tiempo en segundos de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos se obtuvieron los siguientes datos; 3,01s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s; 3,25s; 3,23 s; 3,12 s; 3,05 s; 3,16s; 3,13 s; 3,10 s; 3,01s; 3,18s; 3,22 s; 3,08 s

a) Determinar el valor promedio de los datos. b) Determinar la desviación media. c) Expresar el resultado de la medición y el error relativo.

6. Ejercicio

En una encuesta sobre preferencias políticas, las edades de los encuestados fueron las siguientes: 23; 30; 32; 35; 25; 23; 27; 33; 26; 33; 20; 31; 28; 22; 38; 19; 27; 34; 40; 21.

a) Determinar el valor promedio de los datos. b) Determinar la desviación media. c) Expresar el resultado de la medición y el error relativo.

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FUNCIONES Y GRAFICAS

Sistemas coordenados: cuando se hacen mediciones, es necesario representar mediante graficas los datos obtenidos. Es posible hacerlo de tres formas.

En una dimensión: se representan los valores sobre la recta numérica. Por ejemplo un objeto que se mueve en línea recta.

En dos dimensiones: se utiliza el plano cartesiano, los datos se ubican en parejas ordenadas, así (x, y) donde x es el eje horizontal, y el eje vertical. Por ejemplo en la figura 1 los puntos (1,4) y (5,0) aparecen en el plano.

7. Ejercicio

Ubica (3,-5) en el plano

En tres dimensiones: se representan puntos en el espacio, lo cual se realiza por medio de un sistema de tres ejes coordenados, perpendiculares entre sí, llamados ele x, eje y, y eje z. Se ubican en ternas (x, y, z). Por ejemplo (4, 3,5).

8. Ejercicio

Representar gráficamente en el espacio el punto A (4, -3, 5)

Enlace de apoyo.

- http://www.educaplus.org/movi/2_1pospunto.html

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Las variables en un experimento: una vez se definen los factores o variables que intervienen en la ocurrencia del fenómeno, se escogen unos factores que se mantienen constantes y otros que varían a conveniencia del que hace la práctica experimental. Reciben el nombre de variables independientes y de variables dependientes.

Por ejemplo, cuando se sostiene una masa con un resorte ésta es la variable independiente y la longitud la cual el resorte se alarga por acción de la masa es la variable dependiente. Las variables se relacionan entre sí mediante las funciones, es decir operaciones matemáticas que pueden ser graficadas y aportan información previo análisis del comportamiento de un sistema físico. Para llevar a cabo una gráfica se debe analizar la relación existente entre las variables.

Magnitudes directamente proporcionales: cuando una de las magnitudes aumenta y la otra lo hace en la misma proporción o cuando ambas disminuyen. Al momento de realizar la razón o división entre sus términos el resultado es una constante, llamada constante de proporcionalidad. Matemáticamente se expresa

y/x = k

Para x, y variables

Si y es la variable dependiente se calcula sus valores así: y = kx, donde x es la variable independiente. Al graficar en el plano cartesiano dos magnitudes directamente proporcionales se obtiene una línea recta.

La constante de proporcionalidad se calcula usando el concepto de pendiente de una recta m = (y2 – y1) / (x2 – x1). La letra m representa el grado de inclinación de la recta en el plano cartesiano.

9. Ejercicio

Un tren avanza 40km hacia el norte cada vez que transcurre una hora. Elaborar una tabla de valores para las distancias recorridas en los tiempos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 horas.

a) Determinar la razón entre cada distancia y su respectivo tiempo. b) ¿Qué tipo de relación hay entre las variables? Representar gráficamente el evento.

Magnitudes inversamente proporcionales: cuando una de las magnitudes aumenta y la otra disminuye o viceversa. Al momento de realizar el producto entre sus términos el resultado es una constante, llamada constante de proporcionalidad. Matemáticamente se expresa

xy = k

Para x, y variables

Si y es la variable dependiente se calcula sus valores así: y = k / x, donde x es la variable independiente. Al graficar en el plano cartesiano dos magnitudes inversamente proporcionales se obtiene una curva.

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10. Ejercicio

Se desea cortar placas rectangulares cuya área sea igual a 36cm2.

a) Elaborar la tabla que muestra los valores para le largo y ancho de las placas. Determinar la relación entre el largo l y el ancho a, de los rectángulos.

b) Determinar la expresión matemática que relaciona las dos variables. Realizar el grafico del evento.

11. Ejercicio

En un experimento de Presión – Volumen en un gas se obtuvieron los siguientes resultados

P (Pa) 1 2

15

3

10

5

6

5

5

10

3

15

2

30

1 V (m3) 30

Determina: el tipo de proporcionalidad involucrada, la razón entre las variables y representar gráficamente el evento.

12. Ejercicio

Una empresa empaca cierta cantidad de dulces en bolsas de cierto peso como muestra la tabla

Cantidad (c)

Peso (gr)

1

25

2

50

3

75

4

100

5

125

6

150

7

175

Determina: el tipo de proporcionalidad involucrada, la razón entre las variables y representar gráficamente el evento.

13. Ejercicio

El tiempo que se tarda en ir de una ciudad a otra y su velocidad están registradas así:

v (km/h)

t (h)

60

1

40

1,5

20

3

10

6

5

12

Determina: el tipo de proporcionalidad involucrada, la razón entre las variables y representar gráficamente el evento.

Enlace de apoyo.

- http://www.educaplus.org/movi/1_2escavect.html

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MAGNITUDES VECTORIALES

Hay magnitudes que necesitan algo más para quedar bien definidas. Por ejemplo: si se quiere ir de un punto A hasta un punto B, que sabemos se encuentra a una distancia de 100m ¿Podríamos llegar solo conociendo la distancia que los separa? Se necesita una dirección y un sentido. A estas magnitudes se le llama: magnitudes vectoriales.

Magnitudes vectoriales: son magnitudes que quedan totalmente descritas con un número, una unidad y una dirección. Ejemplo la velocidad, la aceleración, desplazamiento, fuerza, tensión.

Para describir por ejemplo el movimiento de un objeto, debemos partir desde su posición y establecer hacia donde se dirige o se movió, dar un dirección. Estas magnitudes se expresan por medio de vectores.

VECTOR: es una cantidad física que para ser definida debe tenerse en cuenta tanto su magnitud y una dirección. Podemos definirlo también como un segmento de recta dirigido. Se denota con una letra mayúscula o minúscula en negrita, por ejemplo A, b.

Se usa el símbolo

Símbolo:

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR

Modulo, norma o magnitud: se refiere a la longitud del segmento y mide la distancia entre dos puntos por lo tanto siempre es un número positivo. Dichos puntos se le llaman cola y cabeza de un vector, también se les llama origen y punto final respectivamente. La norma de un vector se representa ║ ║dentro del símbolo se escribe la letra que representa el vector ║A║. Por ejemplo para decir que un vector mide 25m, se escribe ║A║= 25m. o la letra sin resaltar A = 25m. También se puede escribir el dato sobre el vector de la siguiente manera:

A, con cualquier letra. La flecha en la parte superior significa vector.

Dirección de un vector: está determinada por la dirección de la recta que lo representa y un sistema de referencia o de coordenadas. La dirección se establece entre el ángulo que forma el eje X+ y el vector que se traza. A este ángulo se le llama ángulo en posición normal. Gráficamente se representan así:

Sentido de un vector: está determinado por la orientación de la flecha situada en el punto final del segmento. En el caso de la velocidad el sentido siempre coincide con el sentido del movimiento.

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TIPOS DE VECTORES

Para representar los vectores hay dos formas:

Vectores libres

Para ser representado no necesita un punto de referencia. Solo se sigue el orden en que se dan y el ángulo que forma con una línea horizontal punteada que se traza en la cola, la cual viene siendo las veces de eje X+. De la siguiente manera:

Vectores en posición

Para ser representado se necesita un punto de referencia, el cual es el origen del, plano cartesiano. Se ubica el vector con la cola en el origen y formado un ángulo con el eje X +. De la siguiente manera:

Definamos en el plano un sistema de coordenadas, es decir, un punto origen, y dos ejes perpendiculares. A todo punto P haremos corresponder un par de números que son sus coordenadas (x, y); se escribe P(x, y).

Igualdad de vectores

El proceso de medida de una magnitud exige poder compararla con otra de la misma especie, la cual requiere entre las magnitudes.

Dos vectores A y B son iguales si el trasladar paralelamente uno de ellos, se le puede hacer coincidir con el otro, es decir, la magnitud y dirección son las mismas.

Vectores opuestos

Dos vectores A y B son opuestos si la magnitud son las mismas y dirección son opuestas. Se escribe A = - B. Se dice entonces que A es equivalente a –B.

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OPERACIONES CON VECTORES

Para sumar vectores se debe conocer su tipo, es decir, libres o de posición. Los métodos son: grafico, analítico y del paralelogramo.

Método grafico

Se usa para vectores libres. El procedimiento es el siguiente: sean A = 7cm, B = 3cm, C = 5cm, cuyas direcciones se deducen del gráfico.

Solución

Para sumarlos se toma cada vector con su respectiva magnitud y su dirección y sentido y se traslada de la siguiente forma:

Paso 1. Tomamos el primer vector A y se mide la dirección es decir el ángulo y su magnitud, lo trasladamos a un espacio mayor o en la misma hoja. Sin hacerle ninguna modificación dejando marcada su cola y cabeza con las líneas punteadas como aparece en la figura 1

Paso 2. Medimos la dirección y la magnitud del segundo vector B, sin hacerle ninguna modificación. Se ubica su cola en la cabeza del primer vector, de acuerdo a su dirección, dejando marcada su cabeza con la línea punteada como aparece en la figura 2.

Paso 3. Medimos la dirección y la magnitud del tercer vector C, sin hacerle ninguna modificación. Se ubica su cola en la cabeza del segundo vector, de acuerdo a su dirección.

Conclusión: el vector resultante o suma, se mide desde la cola del primer vector, a la cabeza del último vector. Su dirección final se toma con la primera línea punteada.

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14. Ejercicio

Se tienen los siguientes vectores libres a = 2m, b = 1m, c = 3m y d = 3m.

Hallar la norma de la resultante y su dirección.

15. Ejercicio

Se tienen los siguientes vectores libres A = 5cm, B = 3cm y C = 4cm.

A = 5cm B= 3cm C= 4cm

Hallar la norma de la resultante y su dirección.

16. Ejercicio

Se tienen los siguientes vectores libres A = 6cm, B = 3cm, C = 4cm y D = 8cm.

A = 6cm B= 3cm C= 4cm D= 8cm

Hallar la norma de la resultante y su dirección.

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RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS Y LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO RECTANGULAR

En todo triangulo rectangular existe una relación entre los ángulos agudos y los lados opuestos a ellos. Sea ∆ABC in triangulo rectangular en A.

C

b a

En el triángulo el lado a se le llama hipotenusa, es el lado más largo del triangulo

Con relación el ángulo β:

Lado b llamado cateto opuesto

β

c

Con relación el ángulo

Lado b llamado cateto adyacente

Lado c llamado cateto opuesto

La relación entre los ángulos y los lados de un triángulo rectangular se le llama razones trigonométricas. Son seis, aunque solo trabajaremos con tres.

De acuerdo al ángulo β.

Seno: es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Senβ = b/a

Coseno: es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Cosβ = c/a

Tangente: es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Tanβ = b/c

Cotangente: es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. Cotβ = c/b

Secante: es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente. Secβ = a/c

Cosecante: es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Cscβ = a/b

Nota:

La suma de las medidas de los ángulos agudos es igual a la medida ángulo recto

β + = 90°

Lado c llamado cateto adyacente

B

La relación entre los lados del triángulo se le conoce como teorema de Pitágoras y se expresa:

a2 = b 2 + c 2

A

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Método analítico

Se aplica para vectores en posición. Sean A y B dos vectores, para sumarlos usamos el concepto de componentes rectangulares

Componentes rectangulares: son las proyecciones (sombras) del vector sobre los ejes coordenados X y Y. Analizaremos los casos para uno y dos luego se generalizara para n vector.

Componentes rectangulares para un vector A.

El vector A posee dos componentes:

Ax sobre el eje X y Ay sobre el eje Y

Su dirección es el ángulo θ.

Se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son Ax y Ay y A su hipotenusa.

Usando el teorema de Pitágoras calculamos la magnitud del vector A, es decir, la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Por teorema de Pitágoras: A2 = A2 x + A2 y A = 2 x + A2 y

║A║= A2 x + A2 y

Cada componente se puede expresar mediante una razón trigonométrica

PARA AX: Cosθ

PARA AY: Senθ

= AX / A AX = ACosθ

= AY / A AY = ASenθ

Podemos calcular la dirección de vector conociendo sus proyecciones, dividiendo AY sobre AX.

AY / AX = ASenθ / ACosθ, la expresión Senθ / Cosθ es equivalente a Tanθ, la A se eliminan en ambos términos.

Tanθ = AY / AX

θ = Tan-1(AY / AX)

Esta ecuación permite hallar la dirección de cualquier vector en posición, conociendo las componentes rectangulares del vector.

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Con ayuda de las componentes podemos ubicar en el plano cartesiano un vector de posición usándolo como coordenadas, es decir, A = (Ax, Ay).

Todo vector equivale a un punto en el plano

Es necesario tener en cuenta los signos del plano cartesiano, de acuerdo a los cuadrantes en el plano.

17. Ejercicio

Dado un vector Q, cuya magnitud es 5cm y forma un ángulo de 60 0 con la horizontal. Hallar Qx y Qy.

18. Ejercicio

Dadas las coordenadas p (8, - 6) en el plano. Hallar la magnitud del P y su dirección que representa.

19. Ejercicio

Mediante el método gráfico, encuentre las resultante, dado el siguiente grafico

20. Ejercicio

Mediante el método gráfico, encuentre el vector y la dirección, dado el siguiente grafico

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Para dos o más vectores el procedimiento es similar, pero se siguen los pasos para la suma de los vectores libres.

Generalización

Sean A y B dos vectores para hallar A + B, usemos el plano cartesiano.

El vector A, posee dos componentes Ax , Ay y si dirección

El vector B, posee dos componentes Bx , By y si dirección

En el eje x, sumamos las componentes A x y Bx cuyo resultado es la resultante Rx, es decir, Ry = Ax + Bx

Donde Rx es la proyección del vector resultante sobre el eje X.

En el eje y, sumamos las componentes A y y By cuyo resultado es la resultante Ry, es decir, Ry = Ay + By

Donde Ry es la proyección del vector resultante sobre el eje Y.

Del método analítico para un vector tenemos:

Para el eje X: Ry = Ax + Bx

Para el eje Y: Ry = Ay + By

Una vez conocida Rx y Pitágoras:

Ry

Ry

Ry podemos calcular la resultante final de la suma de acuerdo a

R2 = R2x + R2y

La dirección del vector resultante viene dada por:

θ = Tan-1(RY / RX)

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21. Ejercicio

Un avión para viajeros abonados parte de un aeropuerto y toma la siguiente ruta: primero viaja a la ciudad A, localizada a 175 km en una dirección 30 0 al norte del este, luego se dirige a la ciudad B, a 150 km en dirección 20 0 al oeste del norte y, por último, vuela 190 km al oeste hacia la ciudad C. Encuentre la posición de la ciudad C respecto a la posición del punto de partida. 245 km; 240 al oeste del norte.

22. Ejercicio

Un móvil se desplaza por un terreno, siguiendo la siguiente trayectoria: 10Km. en dirección 300 noreste, luego 20Km, en dirección 500 al oeste del norte, 25 Km en dirección suroccidente y finalmente 10Km hacia el sur. Calcular el desplazamiento total y su dirección.

23. Ejercicio

Un automóvil recorre 20 km rumbo al norte y después 35 km en una dirección 60 0 al oeste del norte. Determine la magnitud y dirección del desplazamiento resultante del automóvil.

24. Ejercicio

Una excursionista inicia una excursión caminando primero 25 km hacia el sureste desde su campamento base. En el segundo día camina 40 km en una dirección 60 0 al norte del este. Determine: a) la componente del desplazamiento diario de la excursión, b) las componentes del desplazamiento resultante, c) la magnitud y la dirección del desplazamiento total.

25. Ejercicio

Un jugador novato de golf en la cancha tiene tres golpes para meter la pelota. Los desplazamientos sucesivos son 120 m al norte, 150 m al noreste, y 100 m a 35° oeste del sur. A partir del punto inicial, un golfista experto podría meterla en el agujero en un desplazamiento único, ¿Cuál es su valor y su dirección?

26. Ejercicio

Un móvil se desplaza por un terreno, siguiendo la siguiente trayectoria: 20Km. en dirección 600 noreste, luego 20Km. en dirección 1200 noroeste, 15 Km en dirección 450 suroccidente. Calcular el desplazamiento total y su ángulo.

27. Ejercicio

Catalina debe ir al centro comercial a comprar algunos artículos de papelería, para hacer la tarea de física. Recorre inicialmente 5km en dirección sureste de su casa (-450); a continuación recorre 3,5km en dirección 30 0 respecto al eje positivo X y finalmente en dirección noreste (450). ¿Cuál es el desplazamiento total de Catalina?

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28. Ejercicio

A car travels 20 km due north and then 35 km in a direction 60° west of north. Find the magnitude and direction of the car’s resultant displacement.

29. Ejercicio

María va a visitar a una amiga, para lo cual realiza los siguientes desplazamientos: camina 50m hacia el norte (900) y luego 30m hacia el noreste (45 0). Encontremos el desplazamiento total de María.

30. Ejercicio

La distancia de un observador a un objeto se representa por un vector A que tiene 76m de magnitud y forma un ángulo de 270 0 con el eje X+. Encuentra las componentes rectangulares.

31. Ejercicio

Con los vectores A = 5m formando un ángulo de 300 con el eje X+, B = 7m formando un ángulo de 360 con el eje Y+ y C = 9m formando un ángulo de 130 0 con el eje X+. Diseña un problema y resuélvelo.

32. Ejercicio

Calcular la resultante y la dirección de acuerdo al grafico (ubique el transportador correctamente para medir los ángulos)

33. Ejercicio

The helicopter view in Fig shows two people pulling on a stubborn mule. Find (a) the single force that is equivalent to the two forces shown, and (b) the force that a third person would have to exert on the mule to make the resultant force equal to zero. The forces are measured in units of Newtons (abbreviated N).

Consultas: en que consiste el método de paralelogramo para sumar vectores.

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VECTORES UNITARIOS

Base canónica

La palabra canónica se refiere que está sometida a un canon, a una regla, a una norma o a un modelo. Observa el siguiente vector

Las medidas para fijarlo en el plano nos hemos basado en el valor de las medidas de cada cuadrícula. En el eje x hemos tomado 6 cuadrículas, en el eje y 5.

Esto significa que al lado de cada cuadrícula le hemos asignado el valor 1 tal como queda reflejado en la figura

Las vectores i y j tienen por módulo 1, la longitud del lado de la cuadrícula. Las coordenadas de i y j son respectivamente: i = (1, 0) y las de j = (0, 1) En ambos casos sus módulos valen:

Más adelante nos referiremos a estos vectores unitarios. No importa en la medida del lado de cada cuadrícula, también en el dibujo siguiente las coordenadas de los vectores i y j: tienen las mismas coordenadas, el vector i tiene por coordenadas (1,0) y el vector j las coordenadas (0,1).

Fíjate bien que los vectores son perpendiculares.

Las coordenadas de las vectores i y j no pueden ser más sencillas. Esta es la base, modelo o regla en la que nos fundamentamos para trazar un vector cualquiera y la llamamos base canónica.

Podemos expresar cualquier vector en el plano cartesiano en función de i y j, los llamamos vectores unitarios porque sus módulos o norma valen 1.

Las coordenadas cartesianas, es decir, con relación al eje de abscisas o eje X y con relación al eje de las ordenadas o eje Y las expresamos (x, y). De este modo fijamos un punto en el eje de coordenadas.

Las coordenadas cartesianas de cualquier vector A teniendo en cuenta los vectores unitarios podemos escribir: A = xi + yj Sea A un vector en el plano cartesiano xi y yj sus proyecciones en los ejes según la figura.

A x y y le podemos dar cualquier valor y de este modo podemos expresar cualquier vectores.

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34. Ejercicio resuelto

El vector A = (4, 3) lo podemos expresar como A = 4i + 3j El vector B = (– 2, 3) lo podemos expresar como B = – 2i + 3j El vector C = (– 3, – 5) lo podemos expresar como C = – 3i – 5j El vector D = (1, – 6) lo podemos expresar como D = i – 6j El vector E = (4, 0) lo podemos expresar como E = 4i → E = 4i + 0j El vector F = (0, 3) lo podemos expresar como F = 3j → F = 0i + 3j

35. Ejercicio resuelto

La suma de vectores unitarios se realiza entre términos semejantes. Sea A = 4i + 3j y C = – 3i – 5j

R = A + C = 4i + 3j – 3i – 5j = (4i – 3i) + (3j – 5j) = i – 2j → R = (1, – 2). Hallar su longitud y dirección.

36. Ejercicio

Find the sum of two vectors A and B lying in the xy plane and given by A = 2.0i + 2.0j and B = 2.0i – 4.0j. Distances in meters.

37. Ejercicio

Basado en los vectores unitarios exprese cada punto del plano en función de ellos, trace cada vector, calcular la resultante y su dirección.

A (8, 1); B (4, 4); C (-4, 3); D (1, 0); E (-6, -4); F (-1, -2); G (0, -6); H (2, -5)

38. Ejercicio

Sean los vectores A = (-5, 4); B = (3, 5); C = (– 2, – 3); D = (4, – 1); calcular R y θ.

39. Ejercicio

Para los vectores A = (2, -8); B = (-5, 4); C = (-4, -2) y D = (3, 7). Determine la resultante y la dirección, expresar la solución y las respuesta en vectores unitarios.

40. Ejercicio

Sean los vectores A = 7i - 6j; B = -3i + 12j; C = 4i - 4j. Determine gráfica y algebraicamente R y θ para:

a) A + B; A + C b) A – B; A – C c) A+ B + C; A - C – B d) 2A - 3(B - C)