MÓDULO DE ESTADÍSTICA Medidas de Dispersión. Objetivo: Al finalizar el módulo de medidas de...
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MÓDULO DE ESTADÍSTICA
Medidas de Dispersión
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Objetivo:
Al finalizar el módulo de medidas de dispersión, el
estudiante será capaz de:
• hallar el rango, varianza y desviación estándar
de un conjunto de datos.
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Medidas de dispersión:
Las medidas de dispersión describen la
variabilidad entre un conjunto de datos. Al
estar cercanos los valores de los datos,
carecen de dispersión. A mayor dispersión,
mayor es la diferencia entre los datos.
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Las medidas de dispersión son: rango (alcance), varianza,
desviación estándar.
• Rango (alcance) = La diferencia entre el valor máximo de
un conjunto de datos y el mínimo.
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Ejemplo 1:
Determinar el rango de las estaturas de seis
estudiantes:
162cm, 176cm, 180cm, 182cm, 178 cm y 175cm
Debemos buscar el valor mayor = 180 cm, el valor
menor = 162 cm.
.
Hay una gran dispersión de datos.
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Ejemplo 2:
Determinar el rango de las propinas de un mesero durante
nueve días de labor. Si los datos son:
$20, $21, $24, $24, $23, $28, $24, $36, $28
Hallar el valor mayor = $36, el valor menor = $20, entonces
Entonces hay una dispersión alta de datos.
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Ejemplo 3:
Encontrar el rango de los sueldos semanales de once
trabajadores
$350, $280, $450, $373, $470, $450, $300, $500,
$490, y $430
Determinar el valor mayor = $490, el valor menor =
$280, entonces
Hay una dispersión alta de sueldos.
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Varianza y desviación estándar
La desviación estándar se determina cuando se ha
encontrado la varianza. Luego, la desviación estándar
indica cómo cada dato se acerca o se aleja de la media.
Si los datos se esta trabajando es una población, la
varianza tiene como fórmula lo siguiente:
= ,
Donde varianza = , el número de datos = n.
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Pero si es una muestra sería
=
Cambia el símbolo de la varianza en la muestra y se trabaja con un dato menos.
Donde varianza = , el número de datos = n.
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Ejemplo 1:
Determinar la varianza y desviación estándar de las estaturas de seis estudiantes seleccionados aleatoriamente de un grupo. Sus medidas son:
Coloquemos los datos en una tabla, busquemos la media, debemos restar cada dato de la media y a ese diferencia se eleva al cuadrado.
Luego, debemos sumar esos cuadrados y se dividirá por la cantidad de datos menos 1 ya que es una muestra.
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Solución:
Media: sumar todas las x y dividirla por 6.
Luego cada dato debe ser restado por esa
Media obtenida.
Cada diferencia debe ser elevado al
cuadrado.
x (x - )
162 -13.5 182.25
176 0.5 0.25
180 4.5 20.25
182 6.5 42.25
178 2.5 6.25
175 -0.5 0.25
1053 251.5
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Desviación estándar siempre será la raíz cuadrada
de la varianza.
En el ejemplo anterior la varianza fue:
cm
Entonces la desviación estándar será:
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Ejemplo 2:
Determinar la varianza y desviación estándar de las propinas de un mesero por nueve días. Si los
Datos son: $20, $21, $24, $24, $23, $28, $24, $36, $28
20 -5.3 28.09
21 -4.3 18.49
24 -1.3 1.69
24 -1.3 1.69
23 -2.3 5.29
28 2.7 7.29
24 -1.3 1.69
36 10.7 114.49
28 2.7 7.29
228 186.01
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Solución:
Como esto no es un muestra se deberá utilizar la siguiente fórmula:
=
= = 20.67
La desviación estándar será
Lo cual implica que cada propina se aleja o se acerca de la media entre $4.55
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Ejemplo 4:
Veamos la siguiente información de un estudio
llevado a cabo en un laboratorio. Se recoge la
información de crecimiento de bacterias
sembradas en placas por segundos.
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Se desea determinar cuán confiable son los resultados. Se determina la media, mediana, moda y desviación estándar de cada compañía.
Placas Compañía A Compañía B
1 6.5 4.2
2 6.6 5.4
3 6.7 5.8
4 6.8 6.2
5 7.1 6.7
6 7.3 7.7
7 7.4 7.7
8 7.7 8.5
9 7.7 9.3
10 7.7 10
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Compañía A:
Media = 7.15 seg.
Mediana = 7.2 seg.
Moda = 7.7 seg.
Desviación Estándar = 0.476678 seg.
Compañía B:
Media = 7.15 seg
Mediana = 7.2 seg
Moda = 7.7 seg
Desviación estándar = 1.821629 seg
La compañía A su desviación estándar es menor que la compañía B. Los datos de la compañía A están más homogéneos. Los datos de la compañía A es más confiable.