Estudios Matemáticos Argentera

El olvido de las Matemáticas perjudica a todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo. (Roger Bacón)

Módulo 2

Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de

1777– 23 de febrero de 1855). Matemático,

astrónomo y físico alemán. Trabajó en la teoría

de números, el análisis matemático, la geometría

diferencial, la geodesia, el magnetismo y la

óptica. Considerado "el príncipe de las

matemáticas" y "el matemático más grande

desde la antigüedad", tuvo influencia notable en

muchos campos de la matemática y de la ciencia,

y es considerado uno de los matemáticos que

más influencia ha tenido en la historia. Fue un

prodigio desde niño. Su tesis doctoral (1799)

versó sobre el teorema fundamental del álgebra

(que establece que toda ecuación algebraica de

coeficientes complejos tiene soluciones

igualmente complejas). Trabajó en la geometría

no euclidiana, No publicó sus conclusiones, pero

se adelantó en más de treinta años a los trabajos

posteriores de Lobachewski y Bolyai.

Año luz

Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Equivale aproximadamente a 9,46 × 1012km = 9.460.000.000.000 km, o sea, algo menos de

10 billones de kilómetros. Específicamente, un año luz es la distancia que recorrería un fotón en un año Juliano (365,25 días de 86.400 s) a la velocidad de la luz en el vacío (299.792,458 km/s), a una distancia infinita de cualquier campo gravitacional o campo magnético. Por lo tanto el Valor De Un año luz equivale

exactamente 9.460.730.472.580.8 km, aproximadamente 5,88 × 1012millas

1

FACTORIZACIÓN

Importancia de la factorización

La factorización es un proceso base, pilar y fundamental para el desarrollo

de las matemáticas más complejas y amplias como el cálculo y el algebra

superior. Es un proceso abstracto que está en medio de nuestro aprendizaje

para abrirnos paso a otros temas matemáticos

Factorización:

Es un proceso que consiste en escribir una expresión por el producto

indicado de sus factores. Es muy útil para simplificar expresiones y

encontrar sus equivalentes, especialmente para resolver ecuaciones.

Existen diferentes casos de factorización entre los cuales podemos encontrar

Factor común, Diferencia de Cuadrados, Trinomio Cuadrado Perfecto,

Trinomio de la forma ax2± bx±c;a=1, Factorización del trinomio ax2±

bx±c; a 1, Suma y diferencia de cubos, Casos combinados.

Factor Común

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual

todos los términos tienen algo en común (un número, una letra). Sacar el

factor común es extraer la literal común de un monomio o polinomio con el

menor exponente y el divisor común de sus coeficientes por eso debemos

abrir un paréntesis y dividir cada término entre el factor común.

Ejemplo: Factorizar la siguientes expresiones.

( )1) ax bx cx x a b c

( ) ( ) ( )) ( )2 x m n y m nmx nx my ny m n x y

3) 6ax 18b 6x )x (a 3b

2

Diferencia de Cuadrados

Para factorizar alguna diferencia de cuadrados basta con sacarle la raíz

cuadrada exacta a ambos términos de la expresión y alternar los signos

dentro de dos pares de paréntesis.

Ejemplo. Factorice las expresiones:

2   16 ( 4)( 4) x x x

4x2 – 9y2 = (2x + 3y) (2x – 3y)

x2 - a2 = (x + a)(x - a)

Trinomio Cuadrado Perfecto: Un trinomio será cuadrado perfecto cuando podamos expresarlo como el

cuadrado de otra cantidad. Si este tiene la forma de una ecuación de

segundo grado entonces el término lineal será igual al doble del producto de las raíces cuadradas del término cuadrático y el independiente.

Para factorizarlo el primer y el tercer término no serán negativos, mientras

que el segundo no importa pues este se pondrá en el cuadrado del binomio. Si un trinomio es T.C.P entonces es factorizable.

2

22 2

2

2

2

4 2 ^ 25 5 2(2 )(5) 20 es un tcp.

a) Verificar que el polinomio 4y 20 25 es un T.c.p.

b) 10 25

) 36 2

5 5 5

6 2 6 2 64 24

y y

c

y

y

y

Trinomio de la forma ax2± bx ±c;a=1

Este tiene la forma 2x + bx + c para factorizarlo debemos abrir dos pares

de paréntesis, colocar la raíz cuadrada del primero en cada paréntesis; en el

primer paréntesis poner el signo del segundo término y en el segundo

paréntesis poner la multiplicación de los signos de segundo y tercer término.

Si los signos de los paréntesis son iguales, buscar dos números que

3

sumados den el segundo y multiplicado den el tercer término. Si los signos

de los paréntesis son opuestos, buscar dos números que restados den el

segundo y multiplicados den el tercer término. El número mayor se anota en

el primer paréntesis.

Factorización del trinomio ax2± bx±c; a 1

Tiene la forma a 2x +bx+c pero el coeficiente del término cuadrático es

diferente de uno.

Para factorizarlo debemos seguir estos pasos:

1. Multiplicar el trinomio completo por el coeficiente del término

cuadrático.

2. Transformar el polinomio resultante en función de una base.

3. Nombrar esa base con algo que la represente mientras se opera.

4. Factorizar el polinomio con la nueva base.

5. Igualar nuevamente a la base original

6. Descomponer el coeficiente en 2 cantidades por las cuales se pueda

dividir el paso 5

7. Solución

4

2

2

2

2

Eje

1) 10x 3x 4 .

2) 10x 3 10x 40   

3) w 10x

4)  w w 40 w 8 w 5

5) 10 8 10x 5

10x 8

mplos : Factorizar las

1

siguientes expresiones

10x 3

0x 5  6)

(1

x 4

0) (10) (1 )

5

0

2

.

x

5x

 

7) 4    2x 1

Suma y diferencia de cubos

Son dos términos sumados o restados que tienen raíz cúbica.

La regla es la siguiente tanto para la suma como para la resta:

Suma: 3 3 2 2( )a b a b a ab b

Resta: 3 3 2 2( )a b a b a ab b

Ejemplo: Factoriza las siguientes expresiones

a) 3 227 3 ( 3 9)a a a a

b) 3 3 2 28 64 2 4 (2 ) (2 )(4) (4)x y xy xy xy

2 22 4 (4 8 16)xy x y xy

Caso de factorización complexión de cuadrados

Para completar el cuadrado hace falta agregar un tercer término (n)o un

segundo término x que serían los término que nos falta en nuestra

expresión., para ello partiremos del concepto de trinomio cuadrado

perfecto.

En caso de que no falte ningún termino lo llevaremos a la

forma ( )a x h k , siendo a un coeficiente y h un número y k puede ser

una expresión cualquiera.

2

2

2

2

O

10x 3

tro método de

x

factoriz

4 = x

arlos es el sigu

(10)

iente.

Factorizar 1

3x 4

= x 3x 40 = 8 5

x 8 x 5   5x

104 2x

10

2 5

0 3x 4.

1

x

x x

5

Caso 1: Cuando falte el término lineal.

Ejemplo: 36x² + 81

Agregamos el Termino (k) 36x ²+nx+81

n = 2√36 * √81

n = 2(6) (9)

n = 108

Sustituyendo a n por su valor, será 36x² + 108x + 81, para no alterar la

operación restamos el termino encontrado a el resultado.

(6x+9)² –108x

Caso 2: Cuando falte el término independiente

Ejemplo: 2 6x x

2 6x x , buscamos termino n para completar un trinomio cuadrado perfecto

para luego factorizar 2 6x x n , por definición 2 2

263 9

2 2

bn

,

significa que 2 26 9 ( 3)( 3) ( 3)x x x x x

2( 3) 9x

Caso 3: Cuando no falte ningún término.

Ejemplo3: 2 8 17x x

2 28 17 8 16 1x x x x 2

4 1x

Ejemplo 4: Haga una complexión de cuadrado en 22 6 15x x

2 2 2

2 2

2 2

2 6 15 2 6 15 2( 3 ) 15

9 182( 3 ) 15 2( 3 ) 15

4 4

3 78 3 12( ) 2( ) 19

2 4 2 2

x x x x x x

x x n x x

x x

6

Casos Combinados de factorización: Hay expresiones que para ser factorizable necesitan pasar por distintas

Técnicas las cuales pueden variar según la expresión que se vaya a usar:

2 2

3

3 2

3 2

3 ( 4 )

Ejemplos : Factorizar los polinomi

3 2 2

( 64)= 4 4 1

os.

) 3 12

)  +64m 6

x x y x x y x y

m n m n n

x

n

a xy

b mn

Actividades

Factorizar las siguientes expresiones.

2 2

2 5 5 8 6 9 2

2

a) bx-cx+4x= f )

b) 4x 16

)

20 g) x 3 2

) 100

Resolver los siguientes

ejerc

ic s

zar

i :

:

o

w

y x y w x

I Fac

y

tor

v x

c

i

2

33 2

3 2

h) 12

) x ) 6 11 41000

) 8 27 j

) Realizar la siguente complexión de cu

) 2 11

adra

12

i

e

I

wd

I

2 2

2 2

dos

a) 7 ) 5 8

) 3y 9

:

) 2 3

c

b y d

Debe entenderse que todos somos educadores, cada acto de nuestra vida cotidiana tiene implicancia, a veces significativas. Procuremos entonces , enseñar con el ejemplo. René Gerónimo Favaroro.

7

Bibliografía

Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemática Superior I. Santo

Domingo Rep. Dom: Universidad Católica de santo Domingo.

Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Precálculo. 6ta edición, México: editora Pearson Educación.

Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undécima edición, México: editora Codice

América, S.A.

Santillana I. serie umbral, (educación media).

(2001), 1ra edición, Rep.Dom: Editora Santillana

Demana; Waits; Foley; Kennedy y Blitzer. Matemáticas universitarias introductorias con nivelador mathlab. (2009), 1ra edición, México: Editora

Pearson Educación. 448 pág.

Peña Geraldino, Rafael. Matemática Básica Superior, (2005), 4ta edición,

República Dominicana. Editorial Antillanas.

Significado e importancia de la factorización algebraica en la escuela.

http://grupos.emagister.com/debate/colegas_docentes_de_matematicas.

“Año Luz” en http://es.wikepedia.org/wiki/luz

Biografía de Frederick Gauss en http://es.wikepedia.org/wiki/car_fridrich_gauss

Revisado el 12 de Enero 2012.

Wilton Oltmanns