MÓDULO 11

Desigualdades cuadráticas y ecuaciones con radicales

Objetivo. El estudiante resolverá desigualdades cuadráticas por el método gráfico y algebraico así como resolverá ecuaciones que contengan radicales. A través de ejemplos veremos cómo se resuelven desigualdades de segundo grado. Hallar gráficamente la solución de las siguientes desigualdades cuadráticas.

Gráfica de una desigualdad cuadrática:

Procedimiento para trazar la gráfica del conjunto solución de una desigualdad

cuadrática

Ejemplo ilustartivo:

Resuelve e interpreta gráficamente la inecuación:

x2 x 6 0

Solución:

La parábola y x2 x 6 corta al eje X en 3 y en 2.

En el intervalo [3, 2], toma valores negativos o nulos.

Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [3, 2].

Ecuaciones con radicales

Al considerar ecuaciones que comprenden radicales de índice 2, se puede preguntar si

el proceso de elevar al cuadrado cada miembro de una ecuación siempre nos dará

una ecuación equivalente. Para contestar esta pregunta, consideremos el ejemplo:

2 x x

Elevando al cuadrado cada miembro, obtenemos la nueva ecuación:

22

2

2

4 4

x x

x x x

Esta última ecuación es equivalente a:

2 5 4 0x x

La factorización de esta ecuación es:

(x-4)(x-1)=0

Y, para que esta igualdad se cumpla, los valores de x deben ser 1 y 4, por lo que el

conjunto solución de la ecuación 2 5 4 0x x es {1, 4}. Pero ¿es x=1 una solución

para 2 x x ?____________

Claro que si, porque:

2 1 1

1 1

Ahora ¿es x=4 una solución para 2 x x ?___________.

3

2

2

51

2

251

2

2411062

x

x

xxx

Desde luego que no, porque:

2 4 4

2 2

Así vemos que 2 x x y 2 5 4 0x x no son ecuaciones equivalentes. En otras

palabras, no es posible depender del procedimiento de elevar al cuadrado ambos

miembros de una ecuación para obtener una ecuación equivalente. Veamos que esto

es así. Ciertamente, es verídico que si:

x=y

Entonces

x²=y²

Pero, el proceso inverso ¿también es verídico? Esto es, si x²=y² ¿se puede afirmar que

x=y?__________.

No. Por ejemplo 2²=(-2)², pero 2≠-2. Esto indica que y x=y no son equivalentes.

Otra forma de ver esta situación es considerar estas ecuaciones en la forma x-y=0 y

x²=y²=0. Factorizando el lado izquierdo de x²=y², se tiene:

(x+y)(x-y)=0

Ahora, el conjunto solución de (x+y)(x-y)=0 es la unión de de los conjuntos de

soluciones de las ecuaciones x+y=0 y x-y=0. El conjunto de soluciones para la

ecuación x=y, es el mismo que para la ecuación x-y=0, pero por el contrario, el

conjunto de soluciones para x²=y² es la unión de los conjuntos de soluciones para las

ecuaciones x-y=0 y x+y=0.

Así, se ve que la ecuación x²=y² tiene el mismo conjunto de soluciones que x=y,

solamente si el conjunto de soluciones para x+y=0 es el conjunto vacío. Esto nos lleva

a un hecho importante. Como el conjunto de soluciones para (x+y)(x-y)=0 es la unión

de los conjuntos de soluciones para x+y=0 y x-y=0, vemos que el conjunto de

soluciones para x=y será un subconjunto del conjunto de soluciones para x²=y².

De este modo, hemos encontrado que el conjunto de soluciones para x=y, es el

subconjunto del conjunto de soluciones para x²=y². Este es un hecho afortunado, en

verdad, ya que nos sirve de base para el procedimiento que emplearemos en la

solución de ecuaciones que comprenden radicales de índice dos.

Aunque elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación no siempre produce una

ecuación equivalente, el conjunto de soluciones para la nueva ecuación contiene todas

las raíces de la ecuación original. Así se puede determinar las raíces de la ecuación

dada, si encontramos las raíces de la ecuación “cuadrada” que la satisfacen. Esto se

hace por medio de una sustitución.

Emplearemos este procedimiento para resolver la ecuación:

2 2 7x x

Para principiar, vamos a elevar al cuadrado ambos miembros:

22

2 2 7x x

O bien:

2 4 4 2 7x x x

Esta nueva ecuación puede no ser equivalente a la ecuación original, pero también

sabemos que algún subconjunto de este conjunto de soluciones es el conjunto de

soluciones para la ecuación 2 2 7x x .

La ecuación 2 4 4 2 7x x x también se puede escribir como:

2 2 3 0x x

o bien (x+3)(x-1)=0, cuyo conjunto solución es {-3, 1}. Con esto ya estamos

preparados para encontrar el conjunto de soluciones para la ecuación original, puesto

que ya sabemos que es un subconjunto del conjunto {-3, 1}. Para esto verifiquemos

¿x=1 es solución de 2 2 7x x ? _____.

Si, porque

1 2 2(1) 7

3 9

3 3

Ahora ¿x=-3 es una raíz de 2 2 7x x ?______

No, porque:

3 2 2 3 7

1 1

1 1

Como x=1 es el único valor que satisface a 2 2 7x x , el conjunto solución de

esta ecuación es {1}.

Intenta resolver la ecuación 2 4x _________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________.

¿Obtuviste x=18 como única solución, es decir, el conjunto solución {8}? Perfecto.

Veamos por qué:

2

2

2 4

2 4

2 16

18

x

x

x

x

Ahora resuelve 3 2x _______________________________________.

La solución es inmediata ¿verdad? El conjunto solución es Ø, por supuesto, porque

3x no puede representar un número negativo.

Antes de dar por terminada esta discusión sobre la solución de ecuaciones con

radicales de índice dos, hay dos importantes puntos a considerar. El primero se puede

ver con el siguiente ejemplo:

4 4x x

Si elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación, se tiene:

2

2

2

4 4

4 8 4 16

x x

x x x

Está a la vista que el conjunto de soluciones para esta ecuación no es más obvio que

el conjunto para la ecuación original. Así, que, lo prudente, es que antes de llevar al

cuadrado una ecuación como 4 4x x , ésta debe expresarse en una forma

equivalente, en la que el radical quede aislado en uno de los miembros de la ecuación.

Al elevar al cuadrado obtendremos una nueva ecuación que está libre de radicales.

El último punto que ahora consideramos es en relación con ecuaciones con más de un

radical de índice dos. Por ejemplo:

1 4 1x x

En estos casos, la operación de elevar al cuadrado habrá de utilizarse repetidas veces

hasta que se logre una ecuación libre de radicales. Veamos cómo:

2 2

1 4 1

1 4 1

1 4 1

1 1 2 4 4

x x

x x

x x

x x x

Esta ecuación contiene solamente un radical, y por lo tanto puede resolverse por los

métodos que hemos desarrollado.

Todavía hay mucho más que podríamos decir acerca de la solución de ecuaciones con

radicales, pero no lo haremos por ahora. A cambio de eso puedes resolver tu

autoevaluación.

AUTOEVALUACIÓN

Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

1) 1 5

2) 2 1

3) 3 3

4) 2 3

5) 1 1

x

t

x

x x

x x

SOLUCIONES

1) {24}

2) Ø

3) {12}

4) {3}

5) {1}