MDULO N 09: FRACCIONES

MDULO N 09: ECUACIONES E INECUACIONES

I. OBJETIVOS ESPECFICOS:

1.Define una ecuacin con precisin.2.Resuelve ecuaciones de primer grado con una variable sin equivocarse.II.ACTIVIDADES:

A.INICIALES:

B.DESARROLLO DE CONTENIDOS:

ECUACIN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE: Ecuacin es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica o satisface slo para determinado valor de su variable. Es de primer grado porque el exponente de su nica variable es 1.

Ejemplos:1. x + 5 = 8

se verifica para: x = 3

1er Miembro

2do Miembro

2.2x + 2 = 4; se verifica para: x = 1

3.x - 4 = 10; se verifica para: x = 14

RESOLVER UNA ECUACIN: Es hallar su conjunto solucin, esto es el valor de x que verifica la igualdad, para eso se transforma la ecuacin dada en otras equivalente hasta llegar a la forma x = a, donde a es un nmero racional.

Una ecuacin de 1er grado con una incgnita tiene la siguiente forma general:

De donde despejamos x

Regla prctica para solucionar una ecuacin:

1.Suprimimos signos de coleccin o agrupacin, si hubiera.

2.Reducimos trminos semejantes en cada miembro.

3.Hacemos transposicin de trminos, pasando al primer miembro los trminos que tengan la variable y al segundo miembro los trminos independientes o viceversa.

4.Finalmente despejamos la incgnita o variable.

Ejemplos:1.8x - (5x + 2) = x + 2 + 4

2. 2(x + 3) = 4x - 8

8x - 5x - 2 = x + 2 + 4

2x + 6 = 4x - 8

3x - 2 = x + 6

2x - 4x = -8 - 6

3x - x = 6 + 2

-2x = -14

2x = 8

(-2x)(-1) = (-14)(-1)

x =

2x = 14

x = 4C.S. = {4}

x =

x = 7

C.S. = {7}

Nota: Al momento de hacer la transposicin de trminos debemos de tener en cuenta que los trminos pasan con signo cambiado, es decir si estn sumando pasan restando y viceversa; y al final el nmero que multiplica la variable pasa dividiendo al segundo miembro. (Formas prcticas de la propiedad de monotona).

Ejemplos:

3.5x - 4 = 26

5. 10x - 4 = 2x - 20

5x = 26 + 4

10x - 2x = -20 + 4

5x = 30

8x = -16

x =

x =

x = 6

C.S. = {6}

x = -2

C.S. = {-2}

4.5(2x - 4) = 2(3x + 4)

6. 14x - 15 + 2x = 2x + 40 + 3x

10x - 20 = 6x + 8

14x + 2x - 2x - 3x = 40 + 15

10x - 6x = 8 + 20

11x = 55

4x = 28

x =

x =

x = 5 C.S. = {5}

x = 7

C.S. = {7}

C.COMPROBACIN:

Resuelve las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:

1.4x - 1 = x - 4

6. 15x + 6 - 3x = 11x + 7

2.3x - 2 = x + 6

7. 7(x - 2) + 3 = 4(2x - 6) - 2

3.7 - 5x = 3x + 1

8. 5(x - 4) = 3(x + 6)

4.40x + 97 = 120x - 63

9. x - (2x + 1) = 8 - (3x + 3)

5.5x = 12 - x

10. 3x + [-5x - (x + 3)] = 8x + (-5x - 9)

11. Find the joint solution of the following equation: 3 (5x + 1) - 2(6x + 3) = 2(x - 1)

12.Find the solution group from the equation:

D.FIJACIN:

Halla el conjunto solucin de cada ecuacin:

1.8x = 30 + 3x

6. 7 - 3(x + 1) = x - 3(x - 1)

2.-6x = -9x - 24

7. 5x - 2(x - 6) = 2x + 2(x - 1)

3.8x - 4 - 2x = -x + 3x - 4

8. 2(x + 2) - 3(5 - x) = x + 5(x - 3)

4.5x - (6 - x - 7) = 3x - (3x - 2x + 8) + 17

9. (3x + 1) - (x + 3) = 3(x + 1)

5.2x + 1 = 4(x - 6)

10. (5x + 4) - (3x + 1) = (4x + 2) - (3x - 7)

11.Resolve the equation:

12.Which is the solution group from the following equation?

MDULO N 09: ECUACIONES E INECUACIONES

I. OBJETIVO ESPECFICO:

1.Traduce enunciados de la forma verbal a la forma simblica y viceversa sin equivocarse.II.ACTIVIDADES:

A.INICIALES:

B.DESARROLLO DE CONTENIDOS:

ENUNCIADO: Es la expresin que afirma o niega algo.

Ejemplos:1.Cinco ms tres es igual a ocho.

2.Siete es mayor que once.

Formas verbales

3.El doble de cinco es diez.

4.8 + 9 = 17

5.3(5) + 4 = 19Formas simblicas

6.2x - 3 = 5

TRADUCCIN DE ENUNCIADOS ABIERTOS DE LA FORMA VERBAL A LA FORMA SIMBLICA Y VICEVERSA

El idioma de la matemtica es eminentemente simblica, por lo tanto ste tema es importante en el planteamiento y resolucin de problemas con ecuaciones.

Ejemplos:

1. Traduce enunciados de la forma verbal a la forma simblica

FORMA VERBALFORMA SIMBLICA

Un nmero aumentado en sietex + 7

El triple de un nmero disminuido en cinco3x - 5

El doble de mi edad hace dos aos2x - 2

La suma de dos nmeros consecutivosx + x + 1

Mi edad dentro de cinco aosx + 5

2. Traduce los siguientes enunciados a la forma verbal

FORMA SIMBLICAFORMA VERBAL

3x - 2xEl triple de un nmero menos el doble del mismo

2(x + 5)El doble de un nmero aumentado en cinco.

3x - 7El triple de un nmero, disminuido en siete

X + y + zLa suma de tres nmeros

(x + 2) + (x + 4)La suma de dos nmeros pares consecutivos

C.COMPROBACIN:

Expresa en forma simblica los siguientes enunciados verbales:

1.El cudruplo de un nmero disminuido en seis es igual a 14.

2.La edad de Marco hace tres aos.

3.La mitad de un nmero aumentado en su triple.

4.La suma de tres nmeros enteros consecutivos.

5.La edad de Jorge dentro de 8 aos.

6.La edad de Karen hace 5 aos, menos 3.

Expresa en forma verbal los siguientes enunciados simblicos:7.x + 5 = 43

8.3n 12 = n

9.(3a + 4a)210.x + (x + 1) + (x + 2)

11.Express in symbolic form the statement: "the sum of three consecutive even numbers"

12.Translate to the verbal form the symbolic statement:

D.FIJACIN:

Traduce los siguientes enunciados a la forma simblica:

1El cuadrado de un nmero aumentado en 9.

2.El sxtuplo de un nmero diminuido en 1.

3.Tres veces la edad de Jos mas cinco aos.

4.El triple de un nmero, aumentado en tres.

5.Mi edad hace 5 aos.

6.El doble de mi edad dentro de 6 aos.

7.El quntuplo de un nmero aumentando en 2 es igual a 417.

8.Pedro es 2 aos mayor que Manuel y ambas edades suman 46 aos.

94 veces un nmero disminuido en 5 es igual a 79.

Traduce los siguientes enunciados a la forma verbal:

10.x + 11

11.7m 1 = 55

12.

13.3(x 2) = x + 18

14.

15.Express in symbolic form: "the quadruple of a number, diminished in 20 is equal to the number increased in 100".

16.Express in verbal form the statement: 3(x-2) = x + 18

MDULO N 09: ECUACIONES E INECUACIONES

I. OBJETIVO ESPECFICO:

1.Resuelve problemas mediante ecuaciones de primer grado con una variable correctamente.II.ACTIVIDADES:

A.INICIALES:

B.DESARROLLO DE CONTENIDOS:

Observa y analiza los problemas resueltos:

1.Cul es el nmero que sumado a 7 nos da 16?

Solucin:

- Sea el nmero desconocido: x

Resolviendo la ecuacin tenemos:

- Sumando a 7: x + 7

x + 7 = 16

- Nos da 16: x + 7 = 16

x = 16 7

x = 9

Rpta: El nmero es 9.

2.Cul es el nmero cuyo triple, aumentado en 5 es igual a 23?

Solucin:

- Nmero buscado: x

Resolviendo la ecuacin:

- Cuyo triple: 3x

3x + 5 = 23

- Aumentado en 5: 3x + 5

3x = 23 - 5

- Es igual a 23: 3x + 5 = 23

3x = 18

x =

x = 6Rpta: El nmero que se busca es 6.

3.Cul es el nmero cuyo duplo del nmero disminuido en 4 es igual a 42?

Solucin:

- El nmero buscado es: x

Resolviendo la ecuacin tenemos:

- Cuyo doble del nmero

2(x - 4) = 42

disminuido en 4: 2(x - 4)

x - 4 =

- Es igual a 42: 2(x - 4) = 42

x - 4 = 21

x = 21 + 4

x = 25 Rpta: El nmero buscado es 25.

4.La suma de tres nmeros consecutivos es 54. Cules son los nmeros?

Solucin:

- Sea el nmero menor: x

Resolviendo la ecuacin tenemos:

- Los consecutivos a x

x + (x + 1) + (x + 2) = 54

son: (x + 1) (x + 2)

x + x + 1 + x + 2 = 54

- La suma de tres consecutivos

3x = 54 - 3

es 54: x + (x + 1) + (x + 2) = 54

3x = 51

x =

x = 17 es el menor.

Los otros consecutivos son:

x + 1 = 18 ; x + 2 = 19

Rpta: Los nmeros consecutivos pedidos son:

17; 18 y 19

5.El doble de la edad que Carlos tendr dentro de 5 aos es 36. Qu edad tiene ahora?

Solucin:

- Sea la edad actual de Carlos: x

Resolviendo la ecuacin tenemos:

- Edad de Carlos dentro de 5 aos: (x + 5)2(x + 5) = 36

- El doble de la edad de Carlos

x + 5 =

dentro de 5 aos: 2(x + 5)

x + 5 = 18

- Es 36: 2(x + 5) = 36

x = 18 - 5

x = 13

Rpta: Carlos tiene ahora 13 aos

C.COMPROBACIN:

Resuelve los siguientes problemas:

1.Si al triple de un nmero se le resta 18, resulta 42. Cul es el nmero?

2.El duplo de un nmero sumado con su triple da 30. Cul es el nmero?

3.Cul es el nmero que aumentado 5 veces el mismo nmero da 90?

4.Alberto y Manuel son dos condiscpulos cuyas edades suman 24 aos. Si Alberto tiene 2 aos ms que Manuel, Qu edad tiene cada uno?

5.Dentro de 42 aos mi edad ser el cudruplo de la edad que tengo. Qu edad tengo?

6.Preguntado Juan por su edad responde: si al triple de mi edad se restan 36 aos, tendra lo que falta para tener 92 aos. Qu edad tiene Juan?

7.Halla tres nmeros enteros consecutivos cuya suma es 111.

8.EL triple de la edad que Ral tena hace 3 aos es 27. Qu edad tiene ahora Ral?

9.Which is the number whose triple diminished in 4 is equal to 11?

10.Within 5 years I will have the double of years of which I had 4 years ago. Find my present age.D.FIJACIN:

Resuelve los problemas propuestos:

1.La suma de tres nmeros consecutivos pares es 54. Halla el mayor.

2.La suma de tres nmeros consecutivos impares es 51. Halla el menor.

3.Divide 45 en dos partes tales que una de ellas sea 5 unidades menor que la otra. Halla una de las partes.

4.Halla un nmero cuyo quntuplo, disminuido en 7 es igual a su triple, aumentado en 3.

5.Las edades de un padre y su hijo son 42 y 12 aos respectivamente. Hace cuntos aos la edad del hijo era la cuarta parte de la edad del padre?

6.Dentro de cuntos aos la edad del padre ser 3 veces la edad del hijo, si el padre tiene 42 aos y el hijo 12 aos.

7.Halla un nmero cuyo quntuplo aumentado en su triple del quntuplo da 720.

8.Una seora tuvo a los 24 aos dos hijos mellizos. Hoy las edades de los tres suman 57 aos. Qu edad tienen los mellizos?

9.Preguntado un profesor por su edad, responde: Si al doble de mi edad se quitan 17 aos, se tendra lo que me falta para tener 100 aos. Qu edad tiene el profesor?

10.Pedro naci cuando Mara tena 18 aos. Si actualmente la suma de sus edades es 64 aos. Cuntos aos tiene Mara?

11.Dos nmeros estn en la relacin de 6 a 11, al agregarle a uno 308 y al otro 148 se obtiene cantidades iguales. Cul es el menor?

12.El exceso de un nmero sobre el triple de exceso de ste sobre 40 es 10. Halla el nmero.

13.La suma de tres nmeros es 175. Si el mayor excede al intermedio en 37 y el menor en 49, indica el mayor de ellos.

14.Five times a number is 10 units more than the triple from the same number. Find the quadruple from the number.

15.Ken is 14 years old less than Ana and both ages add 56 years old. How old is Ken?

MDULO N 09: ECUACIONES E INECUACIONES

I. OBJETIVOS ESPECFICOS:

1.Define una inecuacin correctamente.2.Enuncia las propiedades de la inecuacin con precisin.3.Aplica las propiedades de la inecuacin sin equivocarse.II.ACTIVIDADES:

A.INICIALES:

B.DESARROLLO DE CONTENIDOS:

INECUACIN: Es un enunciado abierto que expresa una desigualdad. Ejemplos:a.x + 6 > 10

c. 3x - 1 > 14

b.5x < 20

d. x + 9 < 2x - 3

PROPIEDADES DE LA INECUACIN:

PRIMERA PROPIEDAD: Si se suma o se resta el mismo nmero a ambos miembros, el sentido de la inecuacin no cambia. Ejemplos:

1.Si: 2x + 1 < 7 ( 2x + 1 + 5 < 7 + 5

2.Si: x - 4 > 2 ( x - 4 - 2 < 2 - 2

x - 6 < 0

CONSECUENCIA: Se puede transponer cualquier trmino de un miembro a otro, cambiando de signo. Ejemplos:

1. 5x - 5 < 3x + 1

5x - 3x < 1 + 5

2x < 6

SEGUNDA PROPIEDAD: El sentido de una inecuacin no cambia si ambos miembros se multiplican o dividen por un mismo nmero positivo. Ejemplos:

1.Si: x < 5 ( 2x < 2.5

2.Si: y > 9 ( >

TERCERA PROPIEDAD: Si ambos miembros de una inecuacin, se multiplican o dividen por un mismo nmero negativo, el sentido de la inecuacin cambia. Ejemplos:

1.- x > -5 ( (-1)(-x) < (-5)(-1)

2.3x < 6 ( >

-x > -2

RESOLUCIN DE UNA INECUACIN: Es hallar su conjunto solucin, es decir, el conjunto de todos los valores de x que conviertan el enunciado abierto en una proposicin verdadera.

Se resuelve en forma similar a las ecuaciones de primer grado, slo teniendo cuidado con el sentido de la desigualdad.

Ejemplos: Halla el conjunto solucin de las inecuaciones siguientes:

1. 7x + 6 > 5x - 12

transponiendo trminos, se tiene

7x - 5x > -12 - 6

reduciendo trminos semejantes

2x > - 18

dividiendo entre dos

x > -

x > -9

C.S. = {-9; -8; -7; -6; ...}

2. x - 5 < 2x - 6

transponiendo trminos:

x - 2x < -6 + 5

reduciendo trminos semejantes

- x < -1

multiplicando ambos miembros por 1

(-x)(-1) < (-1)(-1)

x > 1

C.S. = {2; 3; 4; 5; ...}

3.2(x + 1) + 4 > 5(x - 2) + 7

efectuando las multiplicaciones

2x + 2 + 4 > 5x - 10 + 7

transponiendo trminos

2x - 5x > -10 + 7 - 2 - 4

reduciendo trminos semejantes

-3x > -9

multiplicando ambos miembros por -1

(-3x)(-1) > (-9)(-1)

3x < 9

dividiendo entre 3

x 5x + (x + 4)efectuando las multiplicaciones

-14 - 12x + 6 > 2x + 3x + 12transponiendo trminos

-12x - 5x - 3x > 12 + 14 - 6

reduciendo trminos semejantes

-20x > 20

multiplicando ambos miembros por -1

(-20x)(-1) > (20)(-1)

20x < -20

x < -

x < -1

C.S. = {...; -3; -2}

C.COMPROBACIN:

Halla el conjunto solucin de las inecuaciones siguientes:

1.9x + 12 > 2x - 2

2.9 - 5x + 10 < 7 - 3x + 6

3.8 + 9x + 10 < 11 + 12x + 13

4.5x - 6 < 12 + x

5.-26 + 3x - 8 < 2x - 3

6.Obtener el mayor entero tal que cinco ms siete veces el entero sea menor que 40.

7.7x + 2x - 1 < 7 + 2 - x

8.4 + 3(x + 1) > 5 + 4(x - 1)

9.3( x + 2) + 1 > 22

10.Halla el mayor entero tal que cinco ms siete veces el entero sea menor que 40.

11.Which is the greater natural number than it verifies the following inecuacion: 7(x 2) ( 4(5x 9) 4?

12.If: x + 7 ( 0. Which is the smallest whole value of x + 15?

D.FIJACIN:

Resuelve los siguientes problemas:

1.Resuelve: 2 3x ( 9 4x

2.Halla el conjunto solucin de: 3x 4 < 2x + 6

3.Determina el conjunto solucin y grafcalo en la recta numrica: x + (x + 1) + (x + 2) < 26

4.Cul es el menor nmero natural que verifica la inecuacin: 7(4x 5) > 23x - 5

5.Calcula el mayor nmero natural que verifica la inecuacin: 7(x 2) ( 4(5x 9) - 4

6.Grafica en la recta numrica el conjunto solucin de la inecuacin: 9x + 18 > -6 + 15x

7.La cantidad de pelotas que hay en mi casa es tal que, uno ms el triple de dicho nmero es menos de 46, y uno ms su cudruple es ms que 53; si se me extrava una. Cuntas pelotas me quedan?

8.Mi abuelo fue gran profesor de Matemtica, cuando le pregunto su edad, me dice: El doble de mi edad aumentado en uno es menor que 161; mientras que el triple disminuido en 2 es ms que 232. Cul ser la edad de mi abuelo dentro de 2 aos?

9.The quintuple from the number of brothers that I have diminished in 1, is minor who the square of 7; and seven times this number, increased in 8, exceeds to the square of 8. How many brothers are we in total?

10.Half of two plus the triple of certain number, is minor to 19, while the third part from the quadruple of this number diminished in 4 exceeds to 12. Calculate this number.

AUTOEVALUACIN N 07I.INSTRUCCIN: Halla el conjunto solucin de las ecuaciones y marca con un aspa la letra de la respuesta correcta.1)Resuelve: 32 9x + 12 = 2x + 76 15x

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 11

2)Resuelve: 3x (2x 1) 7x = (-x + 24) (3 5x)

a) 4

b) -3

c) 2

d) 3

e) -2

3)Resuelve: 0,25x 0,75 + 2,25x = 1

a) 0,7

b) 0,6

c) 0,4

d) 0,5

e) 0,1

4)Resuelve:

a) 2

b) 1

c) -2

d) -1

e) -3

5)Resuelve:

a) 13

b) -12

c) -9

d) -13

e) 12

6)Resuelve: 7x + 6 > 5x 12

a) x > 6b) x > 7c) x > 5d) x > 9e) x > 17)

a) x < -2b) x < 2c) x < 3d) x < -1e) x < -4

8)Resuelve: 4 6(2x 1) > 3(x + 4)

a)

b)

c)

d)

e) N.A.9)

a) x > 8b) x < 4c) x < 8d) x > 4e) x < 5

10)

Resuelve: 0,6x + 0,2 ( 1,1 0,1x

a)

b)

c) x ( 7d) x ( 9e)

II.INSTRUCCIN: Resuelve los problemas y escribe la respuesta en el lugar que se te indica.

1)Cul es el nmero que sumado con 10 nos da 28?

Rpta: ____________________2)Halla el nmero cuyo triple del nmero aumentado en 2 es igual a 48. Rpta: ____________________3)Cul es el nmero cuyos , aumentado en 2 es igual a sus disminuidos en 2.

Rpta: ______________________

4)Un padre tiene 37 aos y su hijo 7 aos. Dentro de cuntos aos la edad de padre ser el cudruplo de la edad del hijo?

Rpta: ____________________5)Gast 4 soles, luego los del resto, quedndome todava la quinta parte de lo que tena al principio. Cunto tena?

Rpta: ___________________6)Halla el mayor entero tal que cinco ms siete veces el entero sea menor que 40.

Rpta: ______________________

7)Halla el menor par de nmeros naturales consecutivos tales que un quinto del nmero menor sumado a un sexto del nmero mayor excede a 2.

Rpta: ____________________8)Cul es el menor nmero natural que satisface la inecuacin: 7(4x 5) > 23z 5?Rpta: ______________________

9)Cul es el mayor valor entero que satisface la inecuacin: ?Rpta: ______________________

10)Manuel compra dos veces el nmero de cuadernos de s/. 5 que el de s/. 8. Si no tiene ms de s/. 360 para gastar en cuadernos. Cul ser el nmero mximo de cuadernos de s/.5 que puede comprar?

Rpta: ______________________

Observa las siguientes desigualdades: 8 + 6 > 4 + 2 ; 5 < 8 + 3

Un enunciado donde intervienen los smbolos >