MODOS NORMALES

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UNA ESFERA HOMOGÉNEA Y LÍQUIDA

• En la clase pasada encontramos las soluciones para la presión en una esfera homogénea y líquida. Haciendo un simil con la Tierra líquida, vimos que las soluciones, efectivamente, se separaron en las coordenadas esféricas y escribimos las soluciones como:

• p(r, θ,φ,t) = ∑n ∑l ∑m Anlm Jl+1(nωl r/c)/(√ r) Pl�m� (cos θ) eimφ cos(nωl t)

• n=1,.., ∞ ; l=0,1,.., ∞ i ; m=-l,...0,..l

• Observa que cada frecuencia nωl tiene (2l+1) diferentes eigenfunciones (una para cada m). Esto se llama degeneración o, que las eigenfrecuencias se degeneran.

• Las eigenfunciones son ortogonales en el sentido:

•

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FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE, PL�M� (COS Θ)• θ = colatitud, y por eso θ ∈ [0,π] y cos θ ∈ [-1,1]

• La función Pl�m� (cos θ) tiene l-m ceros en el intervalo θ ∈ [0,π].

• La función Pl�m� (cos θ) es nula en los polos, sino, m=0.

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U ⋅ Ř = YLM(Θ,Φ) COS(NΩLT)

l=5,m=0

l=5,m=3 l=5,m=4

l=5,m=1 l=5,m=2

l=5,m=57

TIERRA SNREI

• (¡Afortunadamente!) La Tierra es sólida y queremos saber los desplazamientos en lugar de la presión. Pero, el desplazamiento es un vector, no un escalar como la presión, y por eso, todo se complica.

• Una Tierra SNREI (Spherical - NonRotating - Elastic - Isotropic) tiene la misma simetría y por eso vamos a ver los factores Ylm(θ,φ) = Pl�m� (cos θ) eimφ en las soluciones para la Tierra sólida.

• Si la Tierra no cumple con las condiciones de SNREI, las eigenfrequencias nωl van a estar un poquito diferentes para cada m. Esto se llama división de modos (mode splitting).

Armónicos esféricos vectoriales

Con l=0, y m=0, Ylm(θ,φ) = constante. Estos modos se llaman

modos radiales

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• Ejemplo de Lay & Wallace.

• Los ejemplos que van a tener ustedes son mejores...

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