Universidad los Ángeles de Chimbote Facultad de Ingeniería Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas Asignatura: Investigación de Operaciones

Los Modelos en la Investigación de Operaciones

Definición de Modelos.

Un modelo es una representación ideal de un sistema real y de la forma cómo opera o funciona. Un modelo es una abstracción selectiva de la realidad.

El modelo, se define como una función objetivo con restricciones que se expresan en términos de las variables (alternativas) de decisión del problema.

El objetivo de un modelo es analizar el comportamiento del sistema, o bien predecir su comportamiento futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las porciones más relevantes del mismo.

No habría ventaja alguna de utilizar modelos si estos no simplificaran la situación real. En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que, mediante letras, números y operaciones, representan variables, magnitudes y sus relaciones.

Un modelo de decisión debe considerarse como un vehículo para resumir un problema de decisión, en forma tal de que haga posible la identificación y evaluación sistemática de todas las alternativas de decisión del problema. Después se llega a una decisión seleccionando la alternativa óptima, que será la mejor entre todas las opciones o soluciones disponibles.

Una solución a un modelo, no obstante, de ser exacta, no será útil a menos que el mismo modelo ofrezca una representación adecuada de la situación real de la decisión verdadera.

Un Analista de Investigación de Operaciones debe elegir el plan de acción más efectivo para lograr las metas de la organización, debiendo seleccionar un conjunto de medidas o indicadores, utilizar una unidad monetaria y tomar decisiones; debe seguir un proceso general de solución, en cualquier situación, durante la toma de decisiones.

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Deben establecerse los criterios de tomas de decisiones (Costos, Beneficios, etc.), seleccionar las alternativas, determinar un modelo y evaluarlo, integrar la información cuantitativa obtenida para luego decidir. Muchas veces, para tomar una decisión, hay que incorporar los factores cualitativos tales como, el ánimo y el liderazgo en la organización, problemas de empleo, contaminación, etc., u otras de responsabilidad social.

Representación del modelo

La representación del modelo puede ser de la siguiente manera:

• Conceptual

Cuando se representa la situación real por una descripción cualitativa bien organizada, que permite la medición de sus factores.

• Matemático

Se refiere a una representación numérica por aspectos lógicos y estructurados con aspectos de la ciencia matemática. Pueden ser números, letras, imágenes, símbolos. Por ejemplo si se refiere a un modelo gráfico de matemáticas, se observan imágenes y gráficas matemáticas, que representan a un modelo numérico y de ecuaciones, los cuales son expresiones visuales basadas en aspectos cuantificables y de la ciencia matemática.

• Físico

Basado en aspectos de la ciencia física, de aquellos movimientos de los cuerpos, y que además es cuantificable. Estos modelos generalmente representan el fenómeno estudiado utilizando las mismas relaciones físicas del prototipo, pero reduciendo su escala para hacerlo manejable. Por ejemplo, pertenecen a este tipo de modelo las representaciones a escalas reducidas de presas hidráulicas, puertos, o de elementos de estas obras, como un vertedero o una escollera, etc.

Clasificación de ModelosLos modelos matemáticos pueden clasificarse de la siguiente manera.

a) Modelo Determinísticos: Cuando se conoce los datos de manera puntual y la forma del resultado, no hay de incertidumbre. Es decir, todos los datos son conocidos. Se aplica a los siguientes tipos de problemas de: Programación lineal, programación entera, programación no lineal, teoría de redes, transporte, de asignación, programación por metas, teoría de inventarios, etc.

b) Modelo Probabilístico o Estocástico: Cuando no se conoce el resultado esperado, sino su probabilidad y existe por lo tanto incertidumbre. Se aplica a los siguientes tipos de problemas, como: Cadenas de Markov, teoría de juegos, líneas de espera, inventarios con demanda probabilística, etc.

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Tipos de modelos

a) En función del origen de la información utilizada para construirlos

Dependiendo de la fuente de información utilizada para la construcción de un modelo podemos distinguir dos tipos de modelos: heurísticos y empíricos.

• Modelos heurísticos: Del griego euriskein, (significa: hallar, inventar). Los modelos están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.

• Modelos empíricos: Del griego empeiricos (significa: experiencia, experimento). Son los modelos que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado.

b) En función de su campo de aplicación

Los modelos matemáticos encuentran distintas denominaciones en sus diversas aplicaciones. A continuación veremos algunos tipos de modelos en los que se puede adecuar algún modelo matemático de interés.

• Modelo matemático de optimización

Los modelos matemáticos de optimización son ampliamente utilizados en diversas ramas de la ingeniería para resolver problemas que por su naturaleza son indeterminados, es decir presentan más de una solución posible o factible.

Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión.

La definición de cual de las múltiples opciones se debe utilizar, se hace con el auxilio de una función objetivo. La función objetivo generalmente tiene un carácter económico.

Los algoritmos matemáticos usados para optimizar funciones objetivo son, entre otros: la programación lineal, la programación dinámica.

• Modelo de Simulación:

Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las relaciones entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. Un modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementales que después se enlazan entre sí vía relaciones lógicas bien definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos pasaran de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.

Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos matemáticos; ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos; pero esta flexibilidad no está libre de inconvenientes. La elaboración de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos.

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Este tipo de modelo, se basa en la división del sistema en módulos básicos o elementales que se enlazan entre sí, mediante relaciones lógicas bien definidas.

• Modelo de Control

Modelo que se aplica para saber con precisión como está algún aspecto en una organización, investigación, área de operación, etc.

• Un modelo mixto operacional estadístico:Es una teoría o situación causal de hechos y expresado con símbolos de formato matemático. Por ejemplo, las tablas de contingencia. De hecho, los modelos matemáticos se construyen con varios niveles de significación y con diferentes variables.En los problemas complejos pueden aparecer variables exógenas o variables externas, importantes para el problema de decisión, y que están condicionadas por factores fuera del control de la persona que decide, tales como: condiciones económicas, acciones de los competidores, precios de las materias primas y otros factores.

Las restricciones, en algunos casos, pueden considerar ciertas políticas definidas por la empresa tales como: adquirir los materiales a determinados proveedores, mantenerse ciertos niveles de calidad, etc.

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Modelo Matemático Un modelo matemático es producto de la abstracción de un sistema real, eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes; se aplica una técnica matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo.

Un modelo matemático consta al menos de tres elementos o condiciones básicos:

1. Variables de decisión y parámetros

Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar.

Las variables de decisión se representan por: X1, X2, X3,…, Xn ó Xi , i = 1, 2, 3, …, n

2. Función Objetivo

La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Es la medición de la efectividad en función de las variables. Determina lo que se va optimizar (Maximizar o Minimizar).

Por ejemplo, si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión.

La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo; para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir, hay que determinar las variables x1, x2, x3,..., xn que optimicen el valor de Z = f(x1, x2, x3,..., xn) sujeto a las restricciones de la forma g(x1, x2, x3,..., xn) b. Donde x1, x2, x3,..., xn son las variables de decisión; Z es la función objetivo, f es una función matemática.

3. Restricciones

Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles.

Las restricciones del modelo limitan el valor de las variables de decisión. Son los recursos disponibles limitados. Incluye la Restricción de No Negatividad de las Variables de decisión, o sea: Xi ≥ 0.

Por ejemplo, si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativo.

O también, si una de las variables es la cantidad de mesas a fabricar, su valor solamente podrá ser igual a 0 (cero) o mayor que cero, o sea positivo.

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Producto M

Producto N

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Programación LinealEs una técnica utilizada para desarrollar modelos matemáticos, diseñada para optimizar el uso de los recursos limitados en una empresa u organización.

Es la interrelación de los componentes de un sistema, en términos matemáticos (en forma ecuaciones o inecuaciones lineales) llamado Modelo de Programación Lineal.

Lo Modelos Matemáticos de Programación Lineal pueden ser: de Maximización o de Minimización, indicados en la Función Objetivo del Modelo.

• MODELO P. L. MAXIMIZACIÓN: Cuando se desea maximizar o incrementar: las Utilidades, Producción, Ventas, Beneficios, Rentabilidad, etc.

• MODELO P. L. MINIMIZACIÓN: Cuando se desea minimizar o disminuir: los Costos, Pérdidas, Paradas, Desperdicios, distancias, etc.

Ejemplo de aplicación:

1). Una fábrica produce dos productos: M y N, los costos de producción de ambos productos son $3 para el producto M y $5 para el producto N. Si el tiempo total de producción está restringido a 500 horas; y el tiempo de producción son de 8 horas/unidad para el producto M y de 4 horas/unidad para el producto N.

Formule el Modelo matemático que permita determinar la cantidad de productos M y N a producir, y que optimice (o minimice) el Costo total de producción de los dos productos.

Representación del Problema mediante un Organizador Gráfico o Esquema:

Proceso

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8 hr/unid

4 hr/unid

Disponibilidad de tiempo:500 horas

Costo prod. M: $ 3

Costo prod. N: $ 5

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Definición de Variables:

Se desea formular un modelo matemático para determinar la cantidad a producirse por cada producto, por lo tanto tendremos dos variables.

Sean: x1 = Cantidad a producirse del producto M

x2 = Cantidad a producirse del producto N

Función Objetivo: Minimizar el Costo total de producción de los productos M y N

Costo total de producción de M = (Costo unitario del producto M) (Cantidad a producirse del producto M)

Costo total de producción de M = ( 3 $ / unidad ) ( x1 unidades ) = 3 x1 $

Costo total de producción de N = (Costo unitario del producto M) (Cantidad a producirse del producto N)

Costo total de producción de N = ( 5 $ / unidad ) ( x2 unidades ) = 5 x2 $

La Función objetivo es Minimizar: Costo total de producción M + Costo total de producción N

Matemáticamente tenemos: Minimizar: C = 3 x1 + 5 x2

Definición de Restricciones:

Restricción del tiempo de producción: Máximo disponible 500 horas (lado derecho)

( t. unitario prod. de M) (Cant. prod. de M) + (t. unitario prod. de N) (Cant. prod. de N) ≤ 500

Matemáticamente tenemos: 8 x1 + 4 x2 500

La Condición de No negatividad: x1 0 y x2 0.

Luego resumiendo, tenemos el siguiente Modelo matemático de Programación Lineal:

Minimizar: C = 3 x1 + 5 x2

Sujeto a: 8 x1 + 4 x2 500

x1 0 y x2 0

Hemos formulado un modelo matemático con dos variables y una restricción; estando listo para aplicar un método de solución.

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