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Curso: Modelos matemáticos y funciones

Sesión 1: Modelos matemáticosMagister en enseñanza de las ciencias,

mención matemática

Universidad de Talca Profesores: Juanita Contreras S

Instituto de Matemática y Física Claudio del Pino O

Modelos matemáticos

Año Población1995 872

1996 881

1997 889,8

1998 898,4

1999 906,9

2000 915,2

2001 922,8

2002 930,3

2003 937,7

Población VII Región (Chile)

860

870

880

890

900

910

920

930

940

950

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

años

p o b l a c i ó n

Actividad: Leer los siguientes comentarios que diversos autores han expresado sobre la temática de modelación en matemática. A continuación redactar un párrafo explicando, en sus propias palabra

lo que entiende por modelo matemático.

¿Cómo podemos explicar

que las matemáticas,

un producto de la mente humana

independiente de la experiencia,

encajen tan bien

en los objetos y elementos

de la realidad?.Albert Einstein, 1938.

La Modelación Matemática es un proceso de

elegir características que describen

adecuadamente un problema de origen no

matemático, para llegar a colocarlo en un

lenguaje matemático. La Modelación es un

proceso iterativo en que una etapa devalidación frecuentemente lleva a

diferencias entre las predicciones basadas

en el modelo y la realidad. Tim O’Shea, John Berry, 1982.

Un modelo matemático es una estructura

matemática que describe

aproximadamente las características de

un fenómeno concreto.

Frank Swetz , 1992.

A Modelación matemática es un proceso

dinámico de busca de modelos adecuados,

que sirvan de prototipos

de alguna situación. Rodney Bassanezi ,

1994.

Un conjunto de símbolos e relaciones

matemáticas que traducen, de alguna

forma, un fenómeno particular o un

problema de la realidad

Maria Salett Biembengut , 1998.

El modelaje es

"el arte de aplicar las matemáticas

a la vida real".Mogen Niss, 1991.








Un primer ejemplo: Alumbrado Público

El consejo municipal ha decidido poner un reflector en un pequeño parque triangular de maneque éste ilumine todo el parque. ¿Dónde debería ubicarse el reflector?

Este problema, de carácter social, se puede resolver siguiendo la estrategia general que aplican l

matemáticos, es decir, a través de la matematización del problema. La matematización consta cinco aspectos:

a) Se parte de un problema del mundo real: Establecer la ubicación óptima para un reflector en u

parque.

b) Se formula el problema en términos de conceptos matemáticos: El parque se puede represent

como un triángulo, y la iluminación como un círculo con el reflector en el centro.

c) Gradualmente se abstrae de la realidad a través de procesos tales como hacer supuestos sobcuáles aspectos del problema son importantes, la generalización del problema y

formalización (estos permiten transformar el problema real en un problema matemático qu

representa la situación en forma fehaciente). El problema se convierte en ubicar el centro de u

círculo que circunscriba el triángulo.

d) Se resuelve el problema matemático: basándose en el hecho de que el centro de un círculo qu

circunscribe un triángulo yace en el punto de intersección de los bisectores perpendiculares dlos lados del triángulo, construir los bisectores perpendiculares de dos de los lados del triángul

El punto de intersección de los bisectores es el centro del círculo.

e) Se hace conciencia de la solución matemática en términos de la situación rea Relacionar este hallazgo con el parque real. Reflexionar sobre la solución y reconocer, p

ejemplo, que si una de las tres esquinas del parque fuera un ángulo obtuso, está solución n

funcionaría, pues el reflector quedaría por fuera del parque. Reconocer que la localización

tamaño de los árboles del parque son otros factores que afectan la utilidad de la solució

matemática.








Un ejemplo clásico: Ley de enfriamiento de Newton

La expresión general de la función que modela la “Ley de enfriamiento de Newton” es

( ) kt e AT AT −−+= 0

siendo:

T=T(t) temperatura (en grados) como función del tiempo t (en minutos).

A= temperatura del medio ambiente

T0= temperatura inicial del elemento que se enfría (agua en este caso).








Esquema general del proceso de modelización

(1) Presentación de una situación simplificada del mundo real.

(2) Traducción de la situación en terminología matemática y obtención del modelo.

(3) Trabajar sobre el modelo y resolución del problema.

(4) Presentación de la solución (en términos no matemáticos).

SITUACIÓN DEL MUNDO

MODELO DEL MUNDO REAL

MODELO MATEMÁTICO

CONCLUSIONES

(4) Solución

(1) Simplificación

(2) Traducciónmatemática

(3) Aplicación de

métodos matemáticos

Prob l em a s i mp l i f i cado

Ecuac ión , fun c ión , s i s tema, …

Resolver , gr af icar , …

Prob lema








Ejemplos de modelos

a) Crecimiento de poblaciones

En el año 1980 la población de una ciudad era de 2500 y en 1990 de 3350. Suponiendo que población crece a un ritmo constante proporcional a la población existente en cada moment

estimar la población para el año 2010.

Modelo del problema: Si N = N (t ) es la función que representa el tamaño de la población en instante t, entonces la relación matemática que modela esta situación es:

kN dt

dN =

.Contenido matemático: ecuaciones diferenciales.

b) El Problema del Carpintero

Durante un par de sesiones de tormenta de ideas con un carpintero (nuestro cliente), éste ncomunica que sólo fabrica mesas y sillas y que vende todas las mesas y las sillas que fabrica en u

mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación.

El objetivo es determinar cuántas mesas y sillas debería fabricar para maximizar sus ingresos neto

Comenzamos concentrándonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, pa

revisar nuestra solución semanalmente, si fuera necesario. Para saber más acerca de este problem

debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que sucede y medir lo que necesitamos paformular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximiz

sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente.

El problema del carpintero se trata de determinar cuántas mesas y sillas debe fabricar por seman

pero primero se debe establecer una función objetivo.La función objetivo es: 5X1 + 3 X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5

3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en pesos o cientos de pesos) de la venta de una mes

y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior, solas limitaciones de la mano de obra (esta limitación proviene de la familia del carpintero) y l

recursos de materia prima (esta limitación proviene de la entrega programada). Se miden ltiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del día y calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 4

La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. E

abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, es

situación viene modelada por:








Maximizar

5 X1 + 3 X2

Sujeta a: 2 X1 + X2 ≤ 40

X1 + 2 X2 ≤ 50

X1 ≥ 0X2 ≥ 0

Contenido matemático: programación lineal.

c) Un modelo para mezclas

Un farmacéutico debe preparar 15ml de gotas especiales para un paciente con glaucoma. Lsolución debe tener 2% de ingrediente activo, pero sólo tiene disponibles soluciones al 10% y

1%. ¿Qué cantidad de cada solución debe usar para completar la receta?

Para ayudar a entender el problema, se traza un esquema, como el siguiente.

Sea x = cantidad de ml de la solución al 10%

A B C

Cantidad de ml en cada caso x 15-x 15

Cantidad de ingrediente activo

en cada caso

0.1x 0.01(15-x) 15020 ⋅.

Luego, la situación presentada queda modelada por:

( ) 150201510 ⋅=−+ . x x.

Contenido matemático: ecuaciones lineales.

d) Problema de los 7 puentes de Koenigsberg

"En la ciudad de Koenigsberg, en Prusia, hay una isla A, llamada Kneiphof, rodeada por los d

brazos del río Pregel. Hay siete puentes, a, b, c, d, e, f y g, que cruzan los dos brazos del río. L








cuestión consiste en determinar si una persona puede realizar un paseo de tal forma que cruce ca

uno de estos puentes una sola vez".

Contenido matemático: Teoría de grafos1.

e) Un problema de distribución Una compañía maderera tiene un contrato con una distribuidora local para proveerles de madera d

tres variedades: A (lodgepole pine), B (spruce) y C (Douglas fir). Mensualmente debe entregar, d

la primera variedad 1000m3, de la segunda 800m3 y de la última 600m3. La compañía maderedispone de tres regiones plantadas con las variedades de maderas solicitadas. En la siguiente tab

se detalla, por región, los porcentajes disponibles de cada variedad (densidad), junto al volum

total de madera disponible por hectárea.

Región Vol/Há(en m3) A (en %) B (en %) C (en %)Oeste 330 70 20 10

Norte 390 10 60 30Este 290 5 20 75

¿Cuántas hectáreas se deben cortar en cada región para entregar exactamente el volumen requeridde cada variedad de madera?

Sean: x= Número de hectáreas aserradas en la región Oeste.

y= Número de hectáreas aserradas en la región Norte.

z= Número de hectáreas aserradas en la región Este.Luego el problema queda modelado por:

0.7x+0.1y+0.05z=1000

0.2x+0.6y+0.2z =8000.1x+0.3y+0.75z=600

Contenido matemático: Sistema de ecuaciones lineales.

1 Este tema será desarrollado en el curso: Matemática discreta.

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