INGENIERIA DE SISTEMAS MODELOS LINEALESCLASE NO: 1 TEMA: Introducción. Funciones y Modelos Lineales.

FECHA: Agosto 13 -2007 Profesor: Lic. Juan Pablo Llinás C.

Modelos Lineales.Introducción: Funciones y modelos lineales

Tópicos: Funciones y dominios | Intervalos | Gráfica de una función | Funciones lineales | Rectas | Gráfica de una función lineal | Modelos lineales | Interpretación de

la pendiente | Costo, ingreso y utilidad | Demanda y ingreso | Regresión lineal

Funciones y dominios

Una función real f de una variable es una regla que asigna a cada número real x en un conjunto especificado de números reales llamado el dominio de f, un número real único f(x).

La variable x se llama la variable independiente. Si y = f(x) llamamos a y la variable dependiente.

Una función puede ser especificado:

numéricamente: por medio de una tabla algebráicamente: por medio de una formula gráficamente: por medio de una gráfica.

Nota acerca de los dominios El dominio de una función no es siempre explícitamente especificado; cuando no se especifica algún dominio para una función f, supondremos que el dominio está el conjunto más grande de los números x para los cuales tiene sentido f(x). Esta "dominio más grande posible" se le llama a veces el dominio natural.

Ejemplos

Función especificado numéricamente Sea f la función especificada por la siguiente tabla:

x 0 1 2 3

f(x) 3.01 -1.03 2.22 0.01

Entonces, f(0) = 3.01, f(1) = -1.03, y así sucesivamente.

Función especificado algebráicamente: Sea f la función especificada por f(x) = 3x2 - 4x + 1. Entonces

f(2) = 3(2)2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5, f(-1) = 3(-1)2 - 4(-1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8.

Como f(x) se defina para toda x, el dominio de f es el conjunto de todos números reales.

Función especificado gráficamente: Sea f la función especificada por la siguiente gráfica.

Entonces, f(0) = 1, f(1) = 0, y f(3) = 5.

Intervalos

El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos números reales x tal que a ≤ x ≤ b.

El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < b.

El intervalo (a, ∞) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < +∞, y (-∞, b) es el conjunto de todos números reales x tal que -∞ < x < b.

Tenemos tembién intervalos medios abiertos de la forma [a, b) y (a, b].

Ejemplos

Intervalo

Dibujo Descripción

[-1, 6) -1 ≤ x < 6

(2, 4) 2 < x < 4

(-∞, 0] -∞ < x ≤ 0

Gráfica de una función

La gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos (x, f(x)) en el plano-xy, tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f.

La siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:

Prueba de la recta vertical Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe intersecarse con la gráfica en un solo punto.

Ejemplo

Para obtener la gráfica de

f(x) = 3x2 - 4x + 1     Forma de función con dominio restringido a [0, + ∞), sustituimos f(x) por y, y obtenemos la ecuación

y = 3x2 - 4x + 1.     Forma de ecuación Entonces obtenemos la gráfica por trazando puntos, donde restringimos a x al estar en [0, + ∞), y obtenemos el siguiente dibujo:

No hay nada a la izquierda del eje-y, pues hemos restringido a x al estar ≥ 0.

Funciones lineales

Una función lineal es una función de la forma

f(x) = mx + b

    Notación de función

y = mx + b     Notación de ecuación

donde m y b son números fijos (los nombres 'm' y 'b' son tradicionales).

Papel de m: Si y = mx + b, entonces:  (a) y cambia en m unidades para cada cambio de x en una unidad.  (b) Un cambio de Δx unidades en x resulta en un cambio de Δy = mΔx unidades en y.  (c) Despejando a m, se obtiene

m =Δy

Δx=

Cambio en y

Cambio en x

Papel de b: Cuando x = 0, y = b (forma de ecuación), o f(0) = b (forma de función)

Ejemplos

La función

f(x) = 5x - 1es una función lineal donde m = 5 y b = -1.

Las siguientes ecuaciones se puede solucionar para y como funciones lineales de x.

3x - y + 4 = 0

  y = 3x 4

4y = 0 y = 0

3x + 4y = 5 y = -(3/4)x + 5/4

Rectas

La gráfica de una ecuación lineal es una recta. El pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2) es se expresa por la formula

La gráfica de la función lineal

f(x) = mx + b

 

Forma de función

o   y = mx + b  

Forma de ecuación

es una recta con pendiente m y intersección en y igual a b.

Dibujando la gráfica de una función lineal

Hay dos métodos buenos para dibujar la gráfica de una función lineal.

(a) Escriba la función en la forma y = mx+b, y después dibuje la recta con intersección en y igual a b y pendiente igual a m.

(b) Calcule las intersecciones en x y y, y después dibuje la recta que pasa por aquellos dos puntos. Para calcular la intersección en x de una recta, establezca y = 0 en su ecuación y despeje a x. Para calcular la intersección en y, establezca x = 0, y despeje a y. Este método sirva solo cuando la recta no pasa por el origen. En este caso, tendrá que trazar un punto adicional o usar el primero método.

Ejemplos

Aquí son estas técnicas aplicadas a la recta con ecuación 2x - 3y = -6.

(a) Despejando a y, obtenemos y = 2x/3 + 2. Entonces, el pendiente es 2/3 y la intersección en y es 2. La siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la gráfica.

Paso 1Empiece con la intersección en y.

Paso 2Dibuje una recta con la pendiente que se da.

Intersección-y =2 Pendiente = 2/3

(b) Para obtener la intersección en x, establezca y = 0. La ecuación se convierte a 2x - 3(0) = -6 y obtenemos x = -3. Esta es la intersección en x. Para obtener la intersección en y, establezca x = 0, y obtenemos 2(0) - 3y = -6, entonces y = 2. La siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la gráfica. Paso 1Empiece con las intersecciones en x y en y.

Intersección-x = -3Intersección-y = 2

Paso 2Dibuje la recta que pasa por las dos intersecciones.

Ajustando una ecuación lineal a datos: Como hacer un modelo lineal

Formula punto-pendiente:

Una ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m es

y = mx + b

   

donde

b = y1 - mx1

Cuando aplicar la formula punto-pendiente

Aplique la formula punto-pendiente para determinar la ecuación de una recta siempre que tiene información acerca un punto y la pendiente de la recta. La formula no se aplica si la pendiente es indefinida.

Si ya sabe la pendiente m y la intersección b en y, entonces puede sencillamente escribir la función lineal como     y = mx + b. Esta formula se llama la formula pendiente-intersección.

Rectas verticales y horizontales

Una ecuación de la recta horizontal que pasa por (x1, y1) es

y = y1.

Una ecuación de la recta vertical que pasa por (x1, y1) es

x = x1.

Ejemplos

Una ecuación de la recta que pasa por (1, 2) con pendiente -5 es

y = -5x + b,donde

b = y1 - mx1 = 2 - (-5)(1) = 7

entonces

y = -5x + 7.

Una ecuación de la recta horizontal que pasa por (3, -4) es

y = -4.

Una ecuación de la recta vertical que pasa por (3, -4) es

x = 3.

Interpretación de la pendiente en aplicaciones

La pendiente de la recta y = mx + b es la razón de cambio de y para cada cambio de x en una unidad. Las unidades de medida de la pendiente son unidades de y por unidad de x

Si y es desplazamiento y x es tiempo, entonces la pendiente representa la velocidad. Sus unidades son unidades de medida de desplazamiento por unidad de tiempo (por ejemplo, metros por segundo).

Si y es costo y x es el número de artículos, entonces la pendiente representa costo marginal. Sus unidades son unidades de costo por artículo (por ejemplo, euros por artículo).

Ejemplo

El número de páginas web en este sitio se puede expresar por la ecuación

n = 1.2t + 200,donde t es tiempo en semanas desde 1 de junio, 1997. La pendiente es m = 1.2 páginas web por semana. Entonces, el número de páginas está creciendo a una tasa de 1.2 páginas por semana.

Costo, ingreso y utilidad

Una función (de) costo C especifica el costo C(x) como una función del número de artículos x.. Una función costo lineal tiene la forma

C(x) = mx + b,

donde m es el costo marginal, y b es el costo fijo. Una función ingreso R especifica el ingreso R(x) que resulta de la venta de x artículos. Una función

utilidad P especifica la utilidad (ingreso neto) P(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula

P(x) = R(x) - C(x).

Equilibrio se ocurre cuando

P(x) = 0

o, equivalentemente, cuando

R(x) = C(x). Ejemplo

Si el costo fijo es $400, y si el costo marginal es $40 por artículo, y si se vende los artículos a $60 cada uno, entonces

C(x) = 40x + 400 R(x) = 60x P(x) = R(x) - C(x)   = 60x - (40x + 400)   = 20x - 400.

Para equilibrio, P(x) = 0 20x - 400 = 0,

entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio.

Demanda y ingreso

Una función lineal (de) demanda tiene la forma q = mp + b, donde q es la demanda (número de artículos vendidos) y p es el precio por artículo. Se puede construir una ecuación demanda lineal a saber la demanda a dos precios distintos. El ingreso que resulta es

R = pq (Precio por cantidad).

Se puede especificar ingreso como una función de p solo si se usa la ecuación demanda para sustituye por q.

Ejemplo

Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 por semana cuando se baja el precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es

q = -50p + 600     Ecuación de recta por (10, 100) y (8, 200)Entonces, la función ingreso relacionada es

R = pq = p(-50p+600)     = -50p2 + 600p.

Regresión lineal

Valores observados y pronosticados

Supongamos que tenemos un conjunto de puntos de datos (x1, y1), ..., (xn, yn). Las n cantidades y1, y2, ..., yn se llaman los valores observados y. Si se modela estos datos con una ecuación lineal

y=mx + b      y

  representa y "estimada" o "pronosticada".

entonces los valores de y que se obtiene por sustituir x en la ecuación por los valores dados de x se llaman los valores y pronosticados:

y1

=

mx1 + b

    Sustituya x por x1

y2

=

mx2 + b

Sustituya x por x2

    . . .  

yn

=

mxn + b

Sustituya x por xn

Residuos y error suma de cuadrados, (SSE)

Si modelamos un conjunto de datos (x1, y1), ... , (xn, yn) con una ecuación lineal como más arriba, entonces los residuos son los n cantidades (Valor actual - valor pronosticado):

     (y1 - y1),

     (y2 - y2),

. . .   ,

   (yn - yn)

El error suma de cuadrados (SSE) es la suma de cuadrados de los residuos:

SSE =

         (y1 - y1)2

+

        (y2 - y2)2

+. . .   +

        (yn - yn)2

+

Recta de regresión

La recta de regreión (recta de mínimos cuadrados, recta de mejor ajuste) relacionada con los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn) es la recta que se minimiza el valor de SSE.

La recta de regresión se representa por

y = mx + b

donde

m =n(Σxy) - (Σx)(Σy)

n(Σx2) - (Σx)2

b =Σy - m(Σx)

n

n =número de puntos de datos

Ejemplos

Valores observados y pronosticados

Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6), los valores observados de y son y1 = 2, y2 = 5, y y3 = 6. Si modelamos estos datos con la ecuación

y =2x + 1.5

entonces los valores pronosticados se obtiene por sustituir x en la ecuación de la recta por los valores dados de x:

Principio del formulario

y1

=

2x1 + 1.5 = 2(0) + 1.5 = 1.5

y2

=

2x2 + 1.5 =

 

y3

=

2x3 + 1.5 =

 

Residuos y error suma de cuadrados, (SSE)

Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6) y el modelo lineal 2x + 1.5 que se muestra más arriba, los residuos son:

Principio del formulario 

y1 - y1 =2 - 1.5 = 0.5

 y2 - y2 =  

 y2 - y2 =  

El error suma de cuadrados se obtiene por cuadrar y sumar las respuestas:

SSE = (0.5)2 + (-0.5)2 + (-3.5)2 = 12.75