MODELOS ESTOCÁ STICOS

5/8/2018 MODELOS ESTOCÁ STICOS - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/modelos-estoca-sticos 1/5

MODELOS ESTOCÁSTICOS

Un modelo es una representación simplificada de la realidad manipulable para mejorar la

visión que se tiene de esta.

Modelos estocasticos o de series temporales.- carecen de bases fisicas, y expresan en

terminos de probabilidad el resultado de procesos altamente aleatorios.

El desarrollo de la hidrología estocástica, aunque tiene algunos antecedentes a principios

del siglo, se ha producido fundamentalmente a partir de los trabajos de Thomas y Fiering

en 1962 con la aplicación de modelos autoregresivos para caudales anuales y estacionales.

A partir de aquí ha ido apareciendo un gran número de modelos estocásticos de

simulación que se pueden clasificar según el proceso de generador y las hipótesis de base

(según Llamas, 1993) en

y Modelo de regresión lineal

y Modelo autoregresivo

y Modelos de ruido fraccionario

y Modelos de línea segmentada

y Modelo ARIMA.

La generación sintética de valores, así como también el pronóstico son utilizados

en diversas ramas: desde el planeamiento de la elaboración de cierto producto, la

determinación de la cantidad de pasajes aéreos previstos para la próxima

temporada, la demanda futura de cierto producto, o el volumen de agua que se

espera ingresará en un embalse el próximo mes. En base a la información

histórica de una variable medida cronológicamente se puede identificar su patrón

de comportamiento y utilizar éste para reproducir la variable en forma sintética, es decir,

producir una serie de datos de la variable estadísticamente indistinguible de la seriehistórica que le dio origen. La serie de datos generada a futuro tiene la

misma probabilidad de ocurrir y es utilizada para mejorar la toma de decisiones.

Un PROCESO ESTOCASTICO es la observación secuencial de un fenómeno

caracterizado por propiedades estadísticas que involucran aleatoriedad. Casi

todos los procesos hidrológicos pueden ser tratados como estocásticos o como

una combinación estocástico - determinística debido a la complejidad de los

factores que lo producen. Así por ejemplo, el caudal de un río es el resultado de

un proceso complejo de precipitación- infiltración-escurrimiento. Los valores de

este proceso ordenados secuencialmente (por ejemplo caudal mensual de un río) pueden ser tratados mediante modelos estocásticos.

Estos modelos tienen por finalidad:

1) la generación sintética de datos

2) el efectuar pronósticos.



ESTACIONARIEDAD.

Un proceso aleatorio { X t } será considerado estacionario débil , o simplemente

estacionario cuando:

1.- E { X t } = m x

2.- Var { X t } = x 2

3.-Cov { Xt , X t + k } = k

Las ecuaciones (1) y (2) significan que el v alor esperad o y la v arianza de las

variables aleatorias (VA) del proceso son ind epend ientes d el tiempo.

La ecuación (3) significa que la cov arianza entre dos VA del proceso d epend e solamente del rezago d el tiempo (k) entre las dos VA y no del tiempo en si

mismo.

La covarianza entre dos VA de un proceso aleatorio se llama autocov arianza. La

FUNCION DE AUTOCOVARIANZA en la ecuación (3) del proceso X t es en

función del rezago de tiempo k . Se tiene evidentemente que:

k = k

El coeficiente de correlación entre dos VA de un proceso aleatorio se denomina

coeficiente d e autocorrelación.

La FUNCION DE AUTOCORRELACION O CORRELOGRAMA del proceso es el

coeficiente de autocorrelación del proceso en función del rezago de tiempo k :



k = k / x 2

k = -k , 0 = 1

Si la traslación en el tiempo no afecta al momento d e 1er or d en y 2d o or d en de

las VA del proceso, se dice que el mismo es estacionario d e 2d o or d en osimplemente estacionario. Análogamente, se puede definir estacionaridad de

tercer, cuarto orden, etc.

Se tiene un proceso estrictamente estacionario cuando la distribución de { X t }

no depende del tiempo y cuando todas las distribuciones simultáneas de las VA

del proceso dependen solamente del rezago (lapso de tiempo k ) entre ellas. Un

proceso estrictamente estacionario puede ser considerado estacionario de orden

infinito.

Un PROCESO NORMAL O GAUSSIANO es un proceso no necesariamente

estacionario en el cual todas las VA del proceso están distribuidas según la ley

Normal y del cual todas las distribuciones simultáneas de VA del proceso son

normales. Cuando un proceso aleatorio Gaussiano es estacionario débil, estoimplica que es también estrictamente estacionario puesto que la distribución

Normal está completamente caracterizada por el 1er y 2do momento.

Uno de los procesos estacionarios más simples es el PROCESO ESTACIONARIO

NO CORRELACIONADO Z t . Donde las correlaciones (y por consiguiente las

covarianzas) entre diferentes VA del proceso son cero:

E { Z t } = 0

Var { Z t } = z2

Cov { Z t , Z t + k } = 0 para k ¹ 0

{ Z t } ~ N ( 0, z

2

)

La última expresión significa que Z t está normalmente distribuído, con media cero y

varianza z2

Su función de autocovarianza será:

Y la función de autocorrelacion,



Este proceso recibe la denominación de RUIDO BLANCO. El término esta

restringido a veces al caso de un proceso estrictamente estacionario de variablesaleatorias estocásticamente independientes.

PROCESOS AUTOREGRESIVOS O PROCESOS AR Se denomina proceso autoregresi v o d e or d en p al proceso estacionario { X t }definido como sigue:

X t = Z t - a1 * X t - 1 - a2 * X t - 2 - ....... - a p *X t - p donde { Z t } es un proceso estacionario no correlacionado.

Utilizando el operador hacia atrás B, la expresión puede ser escrita de la

siguiente manera :

X t = Z t - a1 * B * X t - a2 * B2* X t -.......- ap * B

P* X t

a [B] X t = Z t ; con a0 = 1 a[B] = ai BI

Esta última expresión es un polinimio de or d en p en B. De esta expresión se

puede establecer que { Z t } constituye el output (salida) del filtro a [B] al introducir { X t }

en dicho filtro. Se puede probar que este filtro es invertible; su inverso se

expresa: { a [B] } -1 el cual es denominado F iltro Autoregresi v o o F iltro AR.Este es un filtro de convolución cuya función de transferencia es { a [B] } -1

Consideremos ahora el PROCESO AR(1) (p = 1):

X t = Z t - a1 * X t 1Este proceso significa que el valor actual de la variable analizada, caudal anual de

un río por ejemplo, depende del caudal observado un año antes. En la práctica se

aplica este modelo a las desviaciones de la variable respecto a su media.

MODELOS AUTOREGRESIVOS AP LICADOS A HIDROLOGIALas series hidrológicas, en particular secuencias de caudales observados,

muestran un cierto grado de PERSISTENCIA. Ello significa que el valor del caudal en el período t podría estar fuertemente influenciado por los valores de períodos

precedentes t - 1 , t - 2 , etc. Este tipo de comportamiento puede ser representado

por PROCESOS MARKOVIANOS.

Para una serie particular, se podría evidenciar que el valor del período presente

está influenciado por el valor del período inmediatamente anterior, entonces se

tiene un proceso markoviano de primer orden: AUTOREGRESIVO DE PRIMER



ORDEN: AR(1)Aplicaciones del Modelaje en Hidrología

El modelaje de series de tiempo en Hidrología tiene dos aplicaciones globales:

1. Para la generación de series hidrológicas de tiempo sintéticas.

2. Para la predicción de series hidrológicas de tiempo futuras.

Se requiere la generación de series sintéticas en los siguientes casos:

a) Para dimensionamiento de reservorios.

b) Para planear expansiones de la capacidad de sistemas de su ministro.

c) Para determinar el riesgo de fa11 a de suministro de agua para irrigaciones.

d) Para determinar el riesgo de fa11a de capacidades confiables de centrales

hidroeléctricas.

Se requiere la predicción de series de tiempo futuras en los siguientes casos:

1) Para planeamiento a corto plazo de operación de reservoríos.

2) Para planeamiento de operación durante sequías.

MODELOS ESTOCÁ STICOS

Documents

Transcript of MODELOS ESTOCÁ STICOS