Modelos de procesos y linealizaciónmaria/modelado.pdf · ISA, UVA 2 Modelos • Representación...

ISA, UVA 1

Modelos de procesos y linealización

Prof. María Jesús de la FuenteDpt. Ingeniería de Sistemas y Automática

Univ. De Valladolid

ISA, UVA 2

Modelos

• Representación aproximada de la realidad• Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos

y relaciones que son de interés.• Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,…• Usos de los modelos: diseño, entrenamiento,

que pasa si…., decisiones,...• ¿Como generarlos, resolverlos, utilizarlos,

validarlos?

ISA, UVA 3

¿Qué es un modelo matemático?

• Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de interés del proceso y representan adecuadamente su comportamiento

• Siempre son aproximaciones de la realidad• Distintos modelos para distintos objetivos y

tipos de procesos• Compromiso entre facilidad de uso y

exactitud

ISA, UVA 4

RepresentaciRepresentacióón adecuadan adecuada

Proceso

u

tiempo

y

tiempo

Modelo

ym

tiempo

ISA, UVA 5

Procesos continuos y de eventos discretos

q

h

Procesos continuos:Las variables evolucionancontinuamente en el tiempoy pueden tomar cualquier valor en un rango dado

Procesos de eventos:Las variables solo cambianen instantes discretosy pueden tomar solo un número finito de valores

ISA, UVA 6

Procesos Continuos / Eventos• Procesos Continuos

– Descritos principalmente por DAEs o PDE.– Interés fundamental: la trayectoria de algunas

variables• Procesos de eventos discretos

– Descritos principalmente por secuencias de actividades.

– Interés fundamental: el comportamiento estadístico de algunas variables.

ISA, UVA 7

Modelos estáticos y dinámicos

q

h

A d hd t

q k hρ ρ= −

q k h= ρ

Modelo estático: Relaciona las variables en unestado de equilibrio

Modelo dinámico:Relaciona las variables alo largo del tiempo

ISA, UVA 8

Respuesta dinRespuesta dináámicamica

tiempo

q

h

ISA, UVA 9

Modelos estáticos y dinámicos• Modelos estáticos

– Representan situaciones de equilibrio– Descritos mediante ecuaciones algebraicas– Orientados a diseño

• Modelos dinámicos en tiempo continuo– Representan la evolución temporal– Descritos mediante DAE y PDE– Uso mas general: control, entrenamiento,...

ISA, UVA 10

Modelos para control por computador

ProcesoOrdenador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)

modelos en tiempo discretodeben relacionar las variables de entrada y salidaen los instantes de muestreo kT

• Ecuaciones en diferencias y((k+1)T)=f(y(kT),u(kT))

y(t)

ISA, UVA 11

¿Como obtener modelos?

Mediante razonamientos,usando leyes físicas,químicas, etc

Mediante experimentacióny análisis de datos

ISA, UVA 12

Modelos de conocimiento

• Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa, energía, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicación

• Tienen validez general• Requieren conocimiento profundo del

proceso y de las leyes fisico-químicas

ISA, UVA 13

IdentificaciónEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso

tt

YUU

Y

Proceso

Modelo

ISA, UVA 14

Modelos de conocimientoMetodología de modelado:

⌦Establecer los límites y objetivos del modelo⌦Establecer las hipótesis básicas⌦Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicación⌦Estimar el valor de los parámetros⌦Validar el modelo

ISA, UVA 15

Tipos de modelos

• Parámetros concentrados• Parámetros distribuidos• No-lineales• Lineales• Tiempo• Frecuencia• ….

ISA, UVA 16

Conservación de masaAcumulación de masa en el sistema por unidad de tiempo =

Masa que entra al sistema por unidad de tiempo -

Masa que sale del sistema por unidad de tiempo +

Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo -

Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo

CGFFtdmd

0i −+−=

m

Fi F0G C

ISA, UVA 17

Ejemplo: DepósitoConservación de masa

Acumulación=flujo entrada q - flujo salida F

m masa en el depósitoA sección del depósitoρ densidad, k constante

q

h

F

hkqtdhdA

hkF ghpp

ppSkSvF hAm

Fqtdmd

01

011

ρ−ρ=ρ

=ρ+=

−==ρ=

ρ−ρ=

p0

p1

ISA, UVA 18

Ejemplo: DepósitoConservación de masa

Acumulación=flujo entrada q - flujo salida F

m masa en el depósitoA sección del depósitoρ densidad, k constante u posición de la válvula

q

h

F

Ecuación diferencial no-lineal

AhV hukqtdhdA

hukF hAm

Fqtdmd

=−=

=ρ=

ρ−ρ=

Ecuación algebraica

u

ISA, UVA 19

Modelos en variables de estado

)),(),(,()(

)),(),(),(()(

ttvtuxgty

ttvtutxfdt

txd

=

=

Variables manipuladas

Respuestas observables

u yx

x Estados

perturbacionesv

ISA, UVA 20

SimulaciónIntegrando numéricamente el modelo pueden obtenerse los valores del volumen de líquido en función de los valores de q

q

h

F AhV hAukq

A1

tdhd

=−=

Integración numérica mediante el método de Euler

t)t(hA

k)t(u)t(qA1)t(h)tt(h Δ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=Δ+

ISA, UVA 21

Causalidad

q

h

FCausalidad física: causas y efectos

q h F

hkF

FqtdhdA

=

−=Causalidad computacional: orden de cálculo de las variables

q h F

El uso del modelo (¿Quépasa si..? Control, etc.) requiere una determinada causalidad computacional.

ISA, UVA 22

Hipótesis

q

h

F

q

h

F

ci

c

Fcqctd

Vcdi −=

Mezcla perfecta Flujo pistón

)FVt(c)

AvAht(c)

vht(c)t(c iii −=−=−=

ISA, UVA 23

Formulación

q

h

F

ci

c

)cc(qtdcdV

Fcqc)Fq(ctdcdV

FcqctdVdc

tdcdV

VVcc

FqtdVd

Fcqctd

)Vc(d

i

i

i

i

−=

−=−+

−=+

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

−=

Mezcla perfecta

ρ constante

Volumen V

Concentración ci

ISA, UVA 24

Computabilidadq1

h1

F1

h2

F2

0q hh0 hh)hhsgn(kF

hkF ?hh hhkF

FFqdt

dhA Fqdt

dhA

imaxi212111

222212111

2122

2111

1

≥≤≤−−=

=<−=

−+=−=

q2

Leyes + restricciones

ISA, UVA 25

Reactor Químico Isotermo

Reactor

FT

AT

Productos

Materia prima

Reacción:

A

A, B

A B

ISA, UVA 26

Modelo Matemático

A ⇒ B

F

CA CB T

CAi , Ti

Producto AHipótesis:

•Mezcla perfecta en el reactor

•Temperatura T constante

•Volumen constante V

Balance másico del producto ABalance másico del producto B

Vd cd t

Fc Fc Vke cAAi A

ERT

A= − − −

Vd cd t

Fc Vke cBB

ERT

A= − + −

ISA, UVA 27

Presión en un recipiente

2f

2vi

2f

2vii

ppaCFtdpd

RTVM

isotermo que tanRTM

p Vm

ppaCFFFtdmd

−−=

ρ=ρ=

−−=−= Fi

Fa

p

pf

ISA, UVA 28

Conservación de energía

T temperatura, V voltajem masa en el depósitoH entalpia, ce calor específicoA sección del depósitoρ densidad, R resistencia

q


RcV)TT(q

tdTdAh

Ahm TcH si

RVHqHq

td)mH(d

e

2

i

e

2

i

ρ+−=

ρ==

+ρ−ρ=

V R T

Hipótesis:

T uniforme en el depósito Aislamiento perfecto densidad constante

Ti

ISA, UVA 29

Conservación del momento

∑

∑

=

=

i2

2

i

Ftdxdm

Ftd

)mv(d

xm

F Sistema de referencia

∑

∑

=θ

=ω

i2

2

i

Ttd

dI

Ttd

)I(d

ISA, UVA 30

q

Δpv

a h

Δp0

ghq)AfL

Ca1(p

tdqd

AL

Avq ALm qCa1p

gAhvAfLpApAtd

mvd

222

v2

0

22v

2v

2v0

−+−ρ

Δ=

=ρ=ρ=Δ

ρ−ρ−Δ−Δ=

Flujo en una tuberíaConservación de cantidad de movimiento


ISA, UVA 31

Válvula de regulación

Aire

Aire abre

Aire

Aire abre

Muelle

Diafragma

Líquido

Fricción

2

0 v v2

vv

d x dxm (p p )A p S kx kdt dt

pxq CL

= − + Δ − −

Δ=

ρ

x desplazamiento desdela posición de equilibrio

L carrera de la válvula

p presión de aire

x

p

ISA, UVA 32

Procesos distribuidos

Δx

Ti F

ISA, UVA 33

Proceso distribuido

Δx

Ti Ti+1Ti-1

Ts

F

Se divide el proceso en celdas de ancho Δx en las que T pueda considerarse uniforme

Balance de energía en un elemento

Limite cuando Δx → 0

T(x,t)

x

ISA, UVA 34

Proceso distribuido

Δx

Ti Ti+1Ti-1

Ts

FT(x,t)

e

s2

e

is

0x

i1i

0x2i

0x

e

isi1i2

i

isie1ieie

2

cr))t,x(TT(U2

x)t,x(T

rF

t)t,x(T

cr)TT(U2

limx

)TT(lim

rF

tdTd

lim

cr)TT(U2

x)TT(

rF

tdTd

)TT(xUr2TcFTcFtd

Tcxrd

ρ−

+∂

∂π

−=∂

∂

ρ−

+Δ−

π=

ρ−

+Δ−

π=

−Δπ+ρ−ρ=ρΔπ

→Δ

−

→Δ→Δ

−

−

r

Balance energético

Ecuaciones en derivadas parciales

ISA, UVA 35

Modelos de conocimiento

• Formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no lineales

• Utiles para muchos fines• Requieren ciertos conocimientos• Difíciles de manipular matemáticamente• Se resuelven mediante simulación

ISA, UVA 36

Simulación: EcosimPro

• Lenguaje de Modelado / Simulación• ¿Qué pasa si…?• Basado en tecnología orientada a objetos• Métodos numéricos y funcionalidades avanzadas• ESA: Agencia Europea del Espacio• Generador de código C++ con un entorno de

desarrollo y ejecución• Librería / Componente / Partición / Experimento• Abierto

ISA, UVA 37

EcosimPro

ISA, UVA 38

Entorno Gráfico

ISA, UVA 39

Simulación

ISA, UVA 40

Modelos linealizados• Aproximaciones lineales de las ecuaciones

no-lineales• Mas fáciles de manipular matemáticamente

pero su rango de validez es limitado

hkqtdhdA −= hq

tdhdA Δα−Δβ=Δ

ISA, UVA 41

Linealización

Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operación u0, y0, z0, ….

...)zz(zf)yy(

yf)uu(

uf)z,y,u(f)z,y,u(f

0)z,y,u(f 0)z,y,u(f

00

00

00

000

000

+−∂∂+−

∂∂+−

∂∂+=

==

zzz yyy uuu 0zzfy

yfu

uf

000000

−=Δ−=Δ−=Δ=Δ∂∂+Δ

∂∂+Δ

∂∂

Ecuación lineal en las nuevas variables Δu, Δy, Δz

ISA, UVA 42

Modelo Linealizado del Depósito

q

h

F

Ecuación diferencial lineal

0qhh2

kdt

hdA

1qf

h2k

hf A

hf

0)qq(qf)hh(

hf)hh(

hf

q,h,h 0)q,h,h(f

0hkqtdhdA

0

0000

00

00

00

000

=Δ−Δ+Δ

−=∂∂=

∂∂=

∂∂

=−∂∂+−

∂∂+−

∂∂

=

=+−

&

&&&

&&

Variables desviación

Δh = h - h0

Δq = q - q0

ISA, UVA 43

Simulación

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0

0 10 20 30 40TIME

hh_l

5.0

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

0 10 20 30 40TIME

q

4

5

6

7

8

0 10 20 30 40TIME

hh_l

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

0 10 20 30 40TIME

q

Respuestas del modelo no –lineal y linealizado para 2 saltos en q

ISA, UVA 44

Modelo Linealizado del Depósito

q

h

F

El valor de los coeficientes depende del punto de linealización

kh2

K k

h2A

qKhdt

hd

qkh2

hdt

hdk

h2A

0qhh2

kdt

hdA

00

00

0

==τ

Δ=Δ+Δτ

Δ=Δ+Δ

=Δ−Δ+Δ

Variables desviación

Δh = h - h0

Δq = q - q0

ISA, UVA 45

Modelos linealizados

tt

YUU0

UY0

Y

las variables u e y soncambios sobre un punto de operación U0 , Y0

El rango de validez está limitado a un entorno del punto de operación

Proceso

)t(Y)t(Y)t(y)t(U)t(U)t(u

0

0

−=−=

ISA, UVA 46

q

Δpv

a h

Δp0

0)())((

)()(

0),,,(

)1(

00

00000

00

00

0

2222

0

=−∂∂

+Δ−ΔΔ∂∂

+

+−∂∂

+−∂∂

=Δ

−+−Δ

=

aaafpp

pf

qqqfqq

qf

apqqf

ghqAfL

Cap

tdqd

AL

v

&&&

&

ρ

Flujo en una tuberiaEcuación diferencial no-lineal

ISA, UVA 47

Modelo linealizado del flujo

aK)p(Kqtdqd

]aqCa2)p([

q2)AfL

Ca1(

1

qtdqd

q2)AfL

Ca1(

LA

1

]aqCa2qq2)

AfL

Ca1()p([

LA

tdqd

]ghq)AfL

Ca1(p[

LA

tdqd

201

0

22v

30

022

v2

022

v2

0

22v

30

22v

20

222

v2

0

Δ+ΔΔ=Δ+Δτ

Δ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ρ+ΔΔ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+ρ=

=Δ+Δ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

Δ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+Δ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−ρΔΔ=Δ

−+−ρΔ=

ISA, UVA 48

Cambios del punto de operación

02

2v

22v

22

022

v2

201

)A

CfLa1Ca(a

qK q2)

AfL

Ca1(

LA

1

aK)p(Kqtdqd

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++β=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++β=τ

Δ+ΔΔ=Δ+Δ

τ

q

t

τ crece en puntos de operación con apertura alta K2 decrece en puntos de operación con apertura alta

ISA, UVA 49

Modelo linealizado

q

0)VV(Vf)qq(

qf)TT(

Tf)TT(

Tf

0)V,q,T,T(f

cte.h y T si Rc

V)TT(qtdTdAh

00

00

00

00

ie

2

i

=−∂∂+−

∂∂+−

∂∂+−

∂∂

=

=ρ

+−=

&&&

&

V R T

TiV

RcV2q)TT(Tq

tdTdAh

e

00i0 Δ

ρ+Δ−+Δ−=Δ

VKqKTtdTd

VRqcV2q

q)TT(T

tdTd

qAh

21

0e

0

0

0i

0

Δ+Δ=Δ+Δτ

Δρ

+Δ−=Δ+Δ

ISA, UVA 50

Semejanza formal

q

V R T

Ti

VKqKTtdTd

21 Δ+Δ=Δ+Δτ

q

Δpv

a h

Δp0

aK)p(Kqtdqd

201 Δ+ΔΔ=Δ+Δτ

ISA, UVA 51

Modelo linealizado del reactor

A ⇒ B

F

CA CB T

CAi Producto AVd cd t

Fc Fc Vke cAAi A

ERT

A= − − −

Vd cd t

Fc Vke cBB

ERT

A= − + −

Dos ecuaciones

0)F,c,c,c(f0)c,F,c,c(f

ABB2

AiAA1

==

&

&

F

ISA, UVA 52

Modelo linealizado (1)

Ai00A0AiART

E

0A cFF)cc(c)VkeF(

tdcdV 0 Δ+Δ−+Δ+−=Δ −

Punto de operación:0Ai0B0A0 c,c,c,F

Valor calculado en el punto de operación

Vd cd t

Fc Fc Vke cAAi A

ERT

A= − − −

Desarrollando en serie de Taylor.....

Ai00A0Ai

ART

E0A c

VFF

V)cc(c)ke

VF(

tdcd

0 Δ+Δ−+Δ+−=Δ −

Ai1111A11A cdFbca

tdcd Δ+Δ+Δ=Δ

ISA, UVA 53

Punto de linealización

0cVkeFcFctd

cdV ART

E

AAiA =−−=

−

0cVkeFctd

cdV ART

E

BB =+−=

−

Si el punto de linealización corresponde a una operación en equilibrio:

Si cAi0 = 8 y cA0 = 0.8 ⇒ cB0 = 7.2

Si F0 = 26.66 y V = 80 ⇒ ke-E/RT = 2.999

Ai00A0AiART

E

0A cFF)cc(c)VkeF(

tdcdV 0 Δ+Δ−+Δ+−=Δ −

AiAAi00A0Ai

ART

E0A c333.0F09.0c332.3c

VFF

V)cc(c)ke

VF(

tdcd

0 Δ+Δ+Δ−=Δ+Δ−+Δ+−=Δ −

ISA, UVA 54

Modelo linealizado (2)

F09.0c333.0c999.2FV

ccVFcke

tdcd

BA0B

B0

ART

EB 0 Δ−Δ−Δ=Δ−Δ−Δ=Δ −

Fbcacatdcd

21B22A21B Δ+Δ+Δ=Δ

Vd cd t

Fc Vke cBB

ERT

A= − + −

Mediante un desarrollo en serie en torno al punto de operación:

Ai1111A11A cdFbca

tdcd Δ+Δ+Δ=Δ

ISA, UVA 55

Modelo en variables de estado

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

Ai21

1211

B

A

2221

11

B

A

cF

0bbb

cc

aa0a

tdcdtdcd

Fbcacatdcd


Ai1211A11A cbFbca

tdcd Δ+Δ+Δ=Δ

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

=ΔB

AB c

c10c

Cxy

BuAxtdxd

=

+=

ISA, UVA 56

Reactor isotermo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

AiB

A

B

A

cF

009.0333.009.0

cc

33.03033.0

tdcdtdcd

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

=ΔB

AB c

c10c

A ⇒ B

F

CA CB T

CAi

Producto A

F

Reactor isotermo

ISA, UVA 57

q1qa

)p(KKq1

tdqd

aK)p(Kqtdqd

021

201

Δ=Δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔΔ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ττ+Δ

τ−

=Δ

Δ+ΔΔ=Δ+Δ

τ


h.1h

qhdt

hd

qA1h

hA2k

dthd

0

Δ=Δ

Δβ+Δα=Δ

Δ+Δ−=Δq

h

qah

Δp0

Cxy

BuAxtdxd

=

+=

ISA, UVA 58


DuCxy

BuAxtdxd

+=

+=x variables de estado: conocido su valor en el instante inicial y los valores de u(t) a lo largo del tiempo, puede determinarse el valor de las salidas a lo largo del tiempo

∫ ττ+= τ−−t

t

tAttA dBuetxetx0

0 )()()( )(0

)(Solución analítica:

ISA, UVA 59

Equivalencia

Cxy

BuAxtdxd

=

+= u y

zPCy

PBuz)P(PAtdzd

zP xPxz

1-

1-

1-

=

+=

== [ ] [ ]

[ ] zCPy

uPB zPAPtdzd

1-

1-

=

+=

Existen muchas representaciones equivalentes entrada-salida

ISA, UVA 60

Autovalores

Cxy

BuAxtdxd

=

+= [ ] [ ]

[ ] zCPy

uPB zPAPtdzd

1-

1-

=

+=

0IA =λ−

0IA

0PIAP

0P)IA(P

0PPPAP

0IPAP

1

1

11

1

=λ−

=λ−

=λ−

=λ−

=λ−

−

−

−−

−

Los autovalores son invariantes en representaciones equivalentes

ISA, UVA 61

Modelo de Respuesta Impulsional

)t(gBCed)(BCey(t)

:nulo es inicial estado ely unitario impulsoun esu si

d)(BuCe)0(xCe)t(y

Att

0

)t(A

t

0

)t(AAt

==ττδ=

ττ+=

∫

∫

τ−

τ−

g(t)δ(t) ∫ τττ−=t

0

d)(u)t(g)t(y

respuesta impulsional

∫∞

τττ−=0

d)(u)t(g)t(y

ISA, UVA 62

Modelo de Respuesta Impulsional

g(t)δ(t)

∫ τττ−=t

0

d)(u)t(g)t(y

∫ σσ−σ=

⎩⎨⎧

=σ⇒=τ=σ⇒=τ

σ−=τσ=τ−

t

0

d)t(u)(g)t(y

0tt0dd t

∫∞

τττ−=0

d)(u)t(g)t(y

∫∞

σσ−σ=0

d)t(u)(g)t(y

ISA, UVA 63

Transformada de Laplace

[ ]

Laplace de compleja le variabjs

dte)t(f)s(F)t(f0

st

ω+σ=

== ∫∞

−L

f(t) función temporal

f(t) = 0 para t < 0t

f(t)

[ ] [ ])s(G)s(F

)t(g)t(f)t(gf(t) si

===

LL Cambio de variable t ⇒ s

ISA, UVA 64

Transformada de Laplace

[ ] [ ])s(G)s(F

)t(g)t(f)t(gf(t) si

===

LLCambio de variable t ⇒ s

Resolución del problema en el dominio s X(s)

Interpretación y expresión de la solución en el dominio t

Cambio de variable s ⇒ t

[ ] ∫∞

∞−

− ==j

j

st1 dse)s(X)s(X)t(x L

ISA, UVA 65

Ejemplo

[ ]sk

sekdtkedte)t(f)s(F)t(f

0

st

0

st

0

st =−====∞−∞

−∞

− ∫∫L

f(t) función salto

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = k para t >= 0t

f(t)=k

Tablas de transformadas de las funciones mas comunes

ISA, UVA 66

Tabla de Transformadas

ISA, UVA 67

Tabla de transformadas

ISA, UVA 68

Propiedades de la T. Laplace[ ]

[ ]

[ ]

)s(G)s(Fd)t(g)(f

)s(sFlim)t(flim)s(Fe)dt(f

)0(fdt

)0(dfs)s(Fsdt

)t(fd)0(f)s(sFdt

)t(df

)s(bG)s(aF)t(bg)t(af

dte)t(f)s(F)t(f

0

0st

sd

22

2

0

st

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ττ−τ

==−

−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+=+

==

∫

∫

∞

→∞→

−

∞−

L

L

LL

L

L

[ ] ∫∞

∞−

− ==j

j

st1 dse)s(F)s(F)t(f L

Transformada inversa

ISA, UVA 69

Propiedades I

[ ]

[ ] [ ] )s(bG)s(aFdte)t(gbdte)t(fadte)t(bg)t(af)t(bg)t(af

)s(bG)s(aF)t(bg)t(af

0

st

0

st

0

st +=+=+=+

+=+

∫∫∫∞

−∞

−∞

−L

L

[ ] )s(sF)0(fdtse)t(f)t(fedtedt

)t(dfdt

)t(df

dtsedu)t(fveudtdt

)t(dfdvduvuvdvu

dtedt

)t(dfdt

)t(df)0(f)s(sFdt

)t(df

0

st

00

stst

stst

0

st

+−=+==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−==⇒==−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∫∫

∫ ∫

∫

∞−

∞∞−−

−−

∞−

L

LL

[ ] ∫∞

−==0

stdte)t(f)s(F)t(fL

ISA, UVA 70

Propiedades

[ ]

)s(Fs1d)(f

d)(fsd)(fd)(fsdt

d)(fd

)s(F)t(fdt

d)(fd)t(f

dt

d)(fd

t

0

t

0

0

0

t

0

t

0

t

0

t

0

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ττ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ττ=ττ−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ττ=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ττ

==⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ττ=

ττ

∫

∫∫∫∫

∫∫

L

LLL

LL

ISA, UVA 71

Propiedades II[ ]

[ ]

)s(Fede)(fedee)(fde)(fdte)dt(f

t;d0tdtdte)dt(f)dt(f

)s(Fe)dt(f

sd

0

ssd

0

ssd

d

)d(s

0

st

0

st

sd

−∞

τ−−∞

τ−−∞

−

+τ−∞

−

∞−

−

=ττ=ττ=ττ=−

∞=τ⇒∞=−=τ⇒=τ=−−=−

=−

∫∫∫∫

∫L

L

)(f)0(f)0(f)(f)0(f)t(f

)0(fdttd

)t(fd)0(fdtetd

)t(fdlim)s(sFlim

)0(fdtetd

)t(fd)s(sF)s(sFlim)t(flim

0

00

st

0s0s

0

st

0st

∞=+−∞=+=

=+=+=

+==

∞

∞∞−

→→

∞−

→∞→

∫∫

∫

ISA, UVA 72

Propiedades III

)s(G)s(Fde)(gde)(f

de)(gde)(fde)(gde)(f

dde)(g)(fdtde)t(g)(fdted)t(g)(f

t;0tt

dted)t(g)(fd)t(g)(f

)s(G)s(Fd)t(g)(f

0

s

0

s

s

0

ss

0

s

0

)(s

0 0

st

0

st

0

0

st

00

0

=αα⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ττ=

=αα⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ττ=αα⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ττ=

=α⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τατ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ττ−τ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ττ−τ

∞=α⇒∞=τ−=α⇒=α=τ−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ττ−τ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ττ−τ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ττ−τ

∫∫

∫∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫

∫

∞α−

∞τ−

∞

τ−

α−∞

τ−∞

τ−

α−∞

τ−

∞

τ−

∞τ+α−

∞ ∞−

∞−

∞

∞−

∞∞

∞

L

L

ISA, UVA 73

Resolución de LODES

( ) ( )

[ ]

tiomindosiomindotiomindo

......2s

11s2s

5.0sL)s(YL)t(y

2s1

1s2s5.0s)s(Y

2s1)s(U)s(U

1s2s5.0s)s(Y

)s(U5.0s1s2s)s(Y)s(U5.0)s(sU)s(Y)s(sY2)s(Ys

u5.0tdudLy

tdyd2

tdydL

0 tpara e)t(u;0td

)0(yd;0)0(yu5.0tdudy

tdyd2

tdyd

211

22

22

2

2

t22

2

⇒⇒

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+++−

==

+++−

=+

=++

−=

−=++−=++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

≥===−=++

−−

−

Ejemplo:

ISA, UVA 74

Descomposición en fracciones simples

[ ]( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )ttt2

21

222

2

2

22

21

211

te5.1e5.2e5.21s5.1

1s5.2

2s5.2L)t(y

5.2bb25.5c2b2a5.00sa5.22sc5.11s

)2s(1s)2s(c

)2s()1s()2s)(1s(b

)2s(1s1sa

2s1

1s5.0s

1sc

1sb

2sa

2s1

1s5.0s

2s1

1s5.0sL

2s1

1s2s5.0sL)s(YL)t(y

−−−−

−−−

−+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

++

++

−=

=⇒+−=++=−⇒==−⇒−==−⇒−=

+++

+++++

+++

+=

++−

++

++

+=

++−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+++−

==

ISA, UVA 75

Función de Transferencia

∫ σσ−σ=t

0

d)t(u)(g)t(y

Tomando transformadas de Laplace:

[ ]

[ ] [ ] )s(U)s(Gu(t)g(t)

d)t(u)(gy(t))s(Yt

0

==

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡σσ−σ== ∫

LL

LL

U(s)Y(s)G(s) )s(U)s(G)s(Y == s variable

compleja

ISA, UVA 76


Cxy

BuAxtdxd

=

+= Tomando transformadas de Laplace, con condiciones iniciales nulas:

[ ]

[ ] [ ][ ] [ ])t(gBAsICG(s) )s(U)s(G)s(Y

)s(BUAsIC(s) Y)s(BUAsI)s(X

)s(CX)s(Y)s(BU)s(XAsI )s(BU)s(AX)s(sX

1

11

L=−==

−=−=

==−+=

−

−−

ISA, UVA 77


G(s) es una función racional en la variable s

[ ] BAsICG(s) 1−−=

[ ]01

1n1n

nn

011m

1mm

m1

asa...sasabsb...sbsbBAsICG(s)

++++++++=−= −

−

−−−

Solo contiene operaciones racionales +-*/

)s(D)s(N

asa...sasabsb...sbsbG(s)01

1n1n

nn

011m

1mm

m =++++++++= −

−

−−

ISA, UVA 78

Representaciones matemáticas de modelos linealizados

)s(D)s(N


1n1n

nn

011m

1mm

m =++++++++= −

−

−−

Cxy

BuAxtdxd

=

+=∫ σσ−σ=t

0

d)t(u)(g)t(yVariables de estado

Respuestaimpulsional

Función de transferencia

ISA, UVA 79

Matriz de Transferencia

En un proceso con varias entradas y salidas (MIMO) G(s) es una matriz de funciones de transferencia

[ ] BAsICG(s) 1−−= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)s(U)s(U

)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G

)s(Y)s(Y)s(Y

2

1

3231

2221

1211

3

2

1

u1

u2

y1

y2

y3

ISA, UVA 80

Depósito. Modelo en FT

q

h

Fkh2

K k

h2A

qKhdt

hd

00 ==τ

Δ=Δ+Δτ

Tomando Transformadas de Laplace:

[ ]

( )

1sKG(s) G(s)Q(s)H(s) )s(Q

1sK)s(H

)s(KQ1s)s(H )s(KQ)s(H)s(sH

qKhdt

hd

+τ==

+τ=

=+τ=+τ

Δ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ+Δτ LL 1s

K+τ

Q(s) H(s)

ISA, UVA 81

Circuito RC. Modelo en FTR

I1

CV EI1 ∫

∫

=

+=

dtIC1E

dtIC1RIV

1

11

)s(ICs1)s(E

)s(ICs1R)s(I)s(V

1

11

=

+=

)s(V1RCs

1)s(ICs1)s(E

)s(ICs

)1RCs()s(ICs1R)s(I)s(V

1

111

+==

+=+=

1sK+τ

V(s) E(s)

Tomando Transformadas de Fourier, con C.I. Nulas:

ISA, UVA 82

Flujo. Modelo en FTqa

Δp0

aK)p(Kqtdqd

201 Δ+ΔΔ=Δ+Δτ

Tomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:

Q(s)1s

K1

+τ

1sK2

+τ

P(s)

A(s)[ ]

)s(A1s

K)s(P1s

K)s(Q

)s(AK)s(PK)1s)(s(Q)s(Q)s(sQ

aK)p(Kqtdqd

21

21

201

+τ+

+τ=

+=+τ=+τ

Δ+ΔΔ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ+Δτ LL

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+τ+τ=

)s(A)s(P

1sK

1sK)s(Q 21

ISA, UVA 83

Temperatura. Modelo en FT

[ ]

)s(V1s

K)s(Q1s

K)s(T

)s(VK)s(QK)1s)(s(T)s(T)s(sT

VKqKTtdTd

21

21

21

+τ+

+τ=

+=+τ=+τ

Δ+Δ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ+Δτ LL


T(s)1s

K1

+τ

1sK2

+τ

Q(s)

V(s)

q

V R T

Ti

VKqKTtdTd

21 Δ+Δ=Δ+Δτ

ISA, UVA 84

Reactor Isotermo. Modelo en FT

Fbcacatdcd


Ai1211A11A cbFbca

tdcd Δ+Δ+Δ=Δ


A ⇒ B

F

CA CB

CAiA

[ ]

)s(Cas

b)s(Fas

b)s(C

)s(Cb)s(Fbas)s(C)s(Cb)s(Fb)s(Ca)s(sC

Ai11

12

11

11A

Ai121111A

Ai1211A11A

−+

−=

+=−++=

[ ]

)s(Fas

b)s(Cas

a)s(C

)s(Fb)s(Caas)s(C)s(Fb)s(Ca)s(Ca)s(sC

22

21A

22

21B

21A2122B

21B22A21B

−+

−=

+=−++=

ISA, UVA 85

Diagrama de bloques

A ⇒ B

F

CA CB

CAiA

)s(Cas

b)s(Fas

b)s(C Ai11

12

11

11A −

+−

=

)s(Fas

b)s(Cas

a)s(C22

21A

22

21B −

+−

=

CAi(s)

F(s)

CA(s) CB(s)11

11

asb−

22

21

asb−

11

12

asb− 22

21

asa−

ISA, UVA 86

Diagrama de bloques

( )( ) ( )( ) )s(Casas

ba)s(Fasas

abbasb

)s(Cas

bas

a)s(Fas

bas

bas

a

)s(Fas

b)s(Cas

b)s(Fas

bas

a)s(C

Ai1122

1221

1122

1121112121

Ai11

12

22

21

22

21

11

11

22

21

22

21Ai

11

12

11

11

22

21B

−−+

−−−+=

=−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−−

=

=−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−−

=

CAi(s)

F(s) CB(s)( )( )1122

1221

asasba−−

( )( )1122

1121112121

asasabbasb

−−−+

ISA, UVA 87

Reactor Isotermo

CAi(s)

F(s) CB(s)111.0s666.0s

12 ++

111.0s666.0s24.0s09.0

2 +++−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

AiB

A

B

A

cF

009.0333.009.0

cc

33.03033.0

tdcdtdcd

A ⇒ B

F

CA CB

CAi

A

ISA, UVA 88

Bloques en serie

G1(s) G2(s)U(s) Y(s)X(s)

Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s)

G (s) Y(s)U(s)

G(s) = G2(s)G1(s)

ISA, UVA 89

Función de transferencia de un PID

)s(E)s(R)s(EsT

1sTsTTK)s(U

)s(E)sTsT

11(K))s(sET)s(EsT

1)s(E(K)s(U

)td

)t(edTd)(eT1)t(e(K)t(u

i

i2

idp

di

pdi

p

d

t

0i

p

=++

=

++=++=

+ττ+= ∫

R(s)U(s)E(s)

ISA, UVA 90

Entradas Normalizadas

u y

t

u

tu t

u

t

u

impulso

salto

rampat=0

t=0

t=0

t=0

seno

ISA, UVA 91

Polos y ceros

)s(D)s(N


1n1n

nn

011m

1mm

m =++++++++= −

−

−−

Ceros de G(s) = raíces de N(s) = 0

Polos de G(s) = raíces de D(s) = 0

0.382- ,618.2sen polos 01s3s3sen cero 03-s

)382.0s)(618.2s(3s

1s3s3sG(s)

2

2

−==++

==++

−=

++−

=

ISA, UVA 92

¿Por qué son importantes los polos(y los ceros)?

• Como se verá mas adelante, el tipo de respuesta temporal a una determinadaentrada depende de las posiciones de los polos (y ceros) del sistema.

• Igualmente la estabilidad está ligada a lasposiciones de los polos

ISA, UVA 93

Ganancia

t

Δu

y

u

Δy

)0(G)s(sU)s(sYlimK

uyK

0s==

ΔΔ

=

→

equilibrio en

)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(K)s(G

n21

m1

+τ+τ+τ+β+β=

tiempode constante K. gananciay 1- ceros , 1- polos formato τβτ

ISA, UVA 94

Polos y Autovalores

[ ])s(D)s(NBAsICG(s) 1 =−= −

[ ] [ ][ ]BAsIdet

AsIadjCBAsICG(s) 1

−−=−= −

[ ] 0AsIdet =−

Autovalores de A = polos de G(s) (salvo cancelaciones polo/cero)

Polos: raices de D(s) = 0

Autovalores: raices de

ISA, UVA 95

Realizabilidad Física

q

h

1sK)s(G+τ

=

Sistema físico continuo

Existe

Dada una función de transferencia G(s)

¿Puede existir un sistema físico cuya función de transferencia sea G(s)?

ISA, UVA 96

Realizabilidad

Para que G(s) sea fisicamente realizable: m ≤ n

)s(D)s(N


1n1n

nn

011m

1mm

m =++++++++= −

−

−−

En caso contrario:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=

+++=

)s(U2s

1dt

)t(du)t(y

)s(U2s

1s)s(U2s

1s2s)s(Y2

1-L

Para una entrada en salto en u(t) tendría que dar una y(t) infinita

ISA, UVA 97

Un proceso con retardo (de transporte)

TTu

uq

(1-u)q

Tc

Tf

q , Te

L, vol

T

m

)t(TT)t(u)TT(dt

)t(TdqV

qvol

vALA

vL)t(Tcq)t(Tcq

dt)t(TcVd

T))t(u1(T)t(u)t(TTcq))t(u1(Tcq)t(u)t(Tcq

ffc

eeee

fcefeceee

−+τ−−=

===τρ−τ−ρ=ρ

−+=⇒ρ−+ρ=ρ

Suponiendo ρ, ce ctes.

u: señal en tanto por uno

ISA, UVA 98

Mezcla con retardo

TTu

uq

(1-u)q

Tc

Tf

q , Te

L, vol

T

m

00

fc

0f0fc0

ffc

u)t(u)t(uT)t(T)t(T

)t(T)t(u)TT(dt

)t(TdqV

TTu)TT(dtTd

qV

)t(TT)t(u)TT(dt

)t(TdqV

−=Δ−=Δ

Δ−τ−Δ−=Δ

−+−=

−+τ−−=

T0 , u0 punto de operación estacionario

ISA, UVA 99

Mezcla con retardo

TTu

uq

(1-u)q

Tc

Tf

q , Te

L, vol

T

m

)t(Cx)t(y

)t(Bu)t(Axdt

)t(xd

)t(T.1)t(T)t(uV

)TT(q)t(TVq

dt)t(Td

)s(U1s

qV

)TT(e)s(T)t(u)TT()t(Tdt

)t(TdqV

fc

fcs

fc

=

τ−+=

Δ=Δτ−Δ−

+Δ−=Δ

+

−=⇒τ−Δ−=Δ+

Δ τ−

Modelo con retardo a la entrada

ISA, UVA 100

Retardo a la salida

TTu

uq

(1-u)q

Tc

Tf

q , TeL, volT

m

)t(Cx)t(y

)t(Bu)t(Axdt

)t(xd

)t(T.1)t(T)t(uV

)TT(q)t(TVq

dt)t(Td

)t(T)t(T)t(u)TT()t(Tdt

)t(TdqV

mfc

mfc

=τ+

+=

Δ=τ+ΔΔ−

+Δ−=Δ

Δ=τ+ΔΔ−=Δ+Δ

Modelo con retardo a la salida

Tm

ISA, UVA 101

Retardoq

V R T

Ti TT

)vLt(T)dt(T)t(Td −=−=

L

)s(V1s

Ke)s(Q1s

Ke)s(Te)s(T1

2ds

1

1ds

dsd +τ

++τ

==−−

−

)s(V1s

K)s(Q1s

K)s(T1

2

1

1

+τ+

+τ=

)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(Ke)s(G

n21

m1ds

+τ+τ+τ+β+β=

−

t

y

u

td

ISA, UVA 102

Aproximación de Pade

( )

( )12dss

2d1

12ds

2ds1

e 2

2

ds

++

+−=−

G(s) con un retardo d no es racional. Si se necesita, puede aproximarse el retardo por una expansión en serie:

)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(Ke)s(G

n21

m1ds

+τ+τ+τ+β+β=

−

s2d1

s2d1

e ds

+

−≈−

Aproximación de Pade de primer orden

Aprox. de 2º orden:

resppade

ISA, UVA 103

Control de procesos por computador

Proceso

Transmisor

u(t)

y(t)

4-20 mA

4-20 mA

Ordenador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)w

Regulador digital

Actuador

Las señales que recibe y procesa el ordenador son de naturaleza distinta: digitales y solo cambian en ciertos instantes de tiempo

ISA, UVA 104

Señales

Procesou(t)

y(t)Ordenador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)

wt

u(t)

t

y(kT)

t

y(t)

tT

La información en el ordenador se actualiza cada T unidades de tiempo (periodo de muestreo)

ISA, UVA 105

Modelo discretizado

u(t)

y(t)Ordenador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)

wt

u(t)

t

u(kT)Cxy

BuAxtdxd

=

+=

Encontrar un modelo y(kT) = f( u(kT) ) tal que y(kT) = y(t) en los instantes de muestreo

ISA, UVA 106

Modelo discretizado

DuCxy

BuAxtdxd

+=

+=

Tomando como tiempos de inicio y final los instantes kT y (k+1)T de un periodo de muestreo:

∫+

σ−+ σσ+=+T)1k(

kT

)T)1k((AAT d)(Bue)kT(xe)T)1k((x

∫ ττ+= τ−−t

t

tAttA dBuetxetx0

0 )()()( )(0

)(

ISA, UVA 107

Modelo discretizado

)kT(Bude)kT(xe)T)1k((x

-dd ,-1)T(k : variablede cambio

)kT(Bude)kT(xe

d)(Bue)kT(xe)T)1k((x

T

0

AAT

T)1k(

kT

)T)1k((AAT

T)1k(

kT

)T)1k((AAT

∫

∫

∫

τ+=+

σ=τσ+=τ

σ+=

=σσ+=+

τ

+σ−+

+σ−+

u(t)Durante un periodo de muestreo u(t) es constante e igual a u(kT)

ISA, UVA 108

Modelo discretizado

Bdee

)kT(Cx)kT(y)kT(u)kT(x)T)1k((x

T

0

AAT ∫ τ=Γ=Φ

=Γ+Φ=+

τDuCxy

BuAxtdxd

+=

+=

u(t) Para este tipo de entradas, el modelo discretizado da los mismos valores en los instantes t = kT que el modelo continuo. (Partiendo del mismo estado inicial y aplicando las mismas entradas)

Ecuación en diferenciasMatlab c2d

y(t)

y(kT)

ISA, UVA 109

Modelo discretizado

Bdee


T

0

AAT ∫ τ=Γ=Φ

=Γ+Φ=+

τCxy

BuAxtdxd

=

+=

)k(Cx)k(y)1k(u)1k(x)1k(x

=−Γ+−Φ=+

Notación simplificada:

k se refiere al primer, segundo, tercer, etc. periodo de muestreo

ISA, UVA 110

Ejemplo: Depósito

h.1h

uhdt

hd

Δ=Δ

Δβ+Δα=Δ

Bdee


T

0

AAT ∫ τ=Γ=Φ

=Γ+Φ=+

τ

)kT(u)1e()kT(he)T)1k((h

)1e(dee

TT

TT

0

T

Δ−αβ

+Δ=+Δ

−αβ

=βτ=Γ=Φ

αα

αατα ∫

Modelo discretizado: Ecuación en diferencias

Si Δq = 0:

ISA, UVA 111

Ejemplo: Depósito

h.1h

uhdt

hd

Δ=Δ

Δβ+Δα=Δ )kT(Cx)kT(y

)kT(u)kT(x)T)1k((x=

Γ+Φ=+

)kT(u)1e()kT(he)T)1k((h TT Δ−αβ

+Δ=+Δ αα

Modelo discretizado: Ecuación en diferencias

Si Δq = 0:

5.0T

167.0A

hk

252.1hA2ku

0

0

0

=

−=−

=β

−=−

=α

)5.0k(u062.0)5.0k(h535.0)5.0)1k((h Δ−Δ=+ΔSi

ISA, UVA 112

Respuesta temporal

)k(Cx)k(y)k(u)k(x)1k(x

=Γ+Φ=+ Condiciones iniciales: x(0)

[ ]

[ ]

∑∑−

=

−−−

=

−− ΓΦ+Φ=ΓΦ+Φ=

Γ+ΦΓ+ΓΦ+Φ=

=Γ+Γ+ΦΓ+ΦΦ=Γ+Φ=

Γ+ΦΓ+Φ=

=Γ+Γ+ΦΦ=Γ+Φ=Γ+Φ=

1k

0i

1ikk1k

0i

1ikk

23

2

2

)i(uC)0(xC)k(y)i(u)0(x)k(x

.......)2(u)1(u)0(u)0(x

)2(u)1(u)0(u)0(x)2(u)2(x)3(x)1(u)0(u)0(x

)1(u)0(u)0(x)1(u)1(x)2(x)0(u)0(x)1(x

ISA, UVA 113

Respuesta impulsional pulsada∑−

=

−− ΓΦ+Φ=1k

0i

1ikk )i(uC)0(xC)k(y

T

u(k) ZOH+Proceso

T

y(k)t

T

Impulso unitario en t = 0

1

Respuesta partiendo de condiciones iniciales nulas

∑

∑−

=

−−

=

−−

−=

=ΓΦ=ΓΦ+Φ=

1k

0i

1k1k

0i

1ikk

)i(u)ik(h)k(y

)k(hC)i(uC)0(xC)k(y

h(k)

Modelo de respuesta impulsional

ISA, UVA 114

Modelo respuesta impulso

t

h(k)

∑

∑

=

−

=

−=

=−+−++−+=

=−=

k

1j

1k

0i

)jk(u)j(h

)1k(u)1(h)2k(u)2(h...)1(u)1k(h)0(u)k(h

)i(u)ik(h)k(y

Como h(i) = 0 para i ≤ 0 y para condiciones inociales nulas: u(i) = 0 para i < 0 :

∑∑∞

=

∞

=

−=−=1j0i

)jk(u)j(h)i(u)ik(h)k(y

La salida es una combinación lineal de valores pasados de la entrada

ISA, UVA 115

Ejemplo: Mezcla

TTu

uq

(1-u)q

Tc

Tf

q , Te

L, vol

T

m

)2k(u75.4)k(T905.0)1k(T

75.4)1060(204de905.0ee

min144)t(u

V)TT(q)t(T

Vq

dt)t(Td

5.0

0

2045.0

204

AT

fc

−+=+

=−τ=Γ===Φ

==ττ−Δ−

+Δ−=Δ

∫τ−−

Para q=4 l/min, V=10 l, Tc=60ºC, Tf=10ºC, vol=4 l, periodo = 0.5 min.

ISA, UVA 116

Operador desplazamiento q-1

[ ][ ][ ] )k(uqIC)k(y

)k(uqI)k(x

)k(u)k(xqI)k(u)k(x)k(qx)1k(x

)1k(z)k(qz)1k(z)k(zq

1

1

1

ΓΦ−=

ΓΦ−=

Γ=Φ−Γ+Φ==+

+=−=

−

−

−

[ ]n

11n

1n1

nm

11m

1m1

m01

aqa...qaqbqb...qbqbqIC

)k(u)k(y

++++++++

=ΓΦ−=−

−−

−−

Función racional de q

ISA, UVA 117

Función de transferencia pulsada[ ]

mnd

)k(uqaqa...qa1

)qbqb...qbb(q

)k(u]aqa...qaq[q

]bqb...qbqb[q

)k(uaqa...qaq

bqb...qbqb)k(uqIC)k(y

nn

1n1n

11

mm

1m1m

110

)mn(n

11n

1n1

nnm

11m

1m1

m0

nn

11n

1n1

nm

11m

1m1

m01

−=++++

++++=

=++++++++

=

=++++++++

=ΓΦ−=

−+−−

−

−+−−

−−−

−−−

−−−

−−

−−

−

)k(uqaqa...qa1

)qbqb...qbb(q)k(u)q(A)q(B)k(y n

n1n

1n1

1

mm

1m1m

110

d

1

1

−+−−

−

−+−−

−−

−

−

++++++++

==

ISA, UVA 118

Función de transferencia pulsada

)mdk(ub...)1dk(ub)dk(ub)nk(ya...)2k(ya)1k(ya)k(y)mdk(ub...)1dk(ub)dk(ub

)nk(ya...)2k(ya)1k(ya)k(y)k(u)qb...qbb(q)k(y)qa...qaqa1(

)k(u)q(B)k(y)q(A

)k(uqa...qaqa1

)qb...qbb(q)k(u)q(A)q(B)k(y

m10

n21

m10

n21

mm

110

dnn

22

11

11

nn

22

11

mm

110

d

1

1

−−++−−+−++−−−−−−−=

−−++−−+−=−++−+−+

+++=+++

=

+++++++

==

−−−−−−

−−

−−−

−−−

−

−

La salida es una combinación lineal de valores pasados de la salida y de la entrada al proceso

ISA, UVA 119

Ejemplo: Depósitoq

h

F u

)5.0k(u062.0)5.0k(h535.0)5.0)1k((h Δ−Δ=+Δ

[ ]

[ ]

)k(uq535.01q062.0)k(u

535.0q062.0

)k(u)062.0(535.0q1

)k(uqIC)k(u)q(A)q(B)k(y

1

1

1

11

1

−

−

−

−−

−

−−

=−−

=

=−−=

=ΓΦ−==

T = 0.5

Polo = Autovalor = 0.535

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