Modelos de grandes escalas en problemas de flujo y...

Modelos de grandes escalas en problemas de flujo y transporte en

aguas subterráneas

Modelos de grandes escalas en problemas de flujo y transporte en

aguas subterráneas

Álvaro Aldama y Miguel Mejía

Instituto Mexicano de Tecnología del Agua

Roger Beckie

University of British Columbia

Álvaro Aldama y Miguel Mejía

Instituto Mexicano de Tecnología del Agua

Roger Beckie

University of British Columbia

Los medios porosos naturales comúnmente exhiben un alto grado de heterogeneidad en sus propiedades materiales. Dicha heterogeneidad genera gran variabilidad en las variables de flujo y transporte. Ahora bien, resulta prácticamente imposible conocer con precisión la estructura espacial de dichas propiedades, particularmente la asociada con escalas pequeñas, debido al alto costo y a la complejidad involucrados en la caracterización de dichos medios. Por tanto, la modelación de flujo y transporte en medios porosos enfrenta la doble dificultad de lidiar con un problema de incertidumbre y uno de escala.

Motivación

La heterogeneidad natural de un depósito de arena y grava en Suiza (fotografía tomada por E. Trüeb)

Permeabilidad y porosidad medidas a partir de núcleos tomados del acuífero de Mount Simon en Illinois (Bakr, 1976)

Porosidad (%) permeabildad (md)

Prof

undi

dad

(ft)

Tasa de infiltración en la superficie de un suelo aluvial cerca de Socorro, Nuevo México (Gelhar et al., 1983)

distancia (m)

100

1

.10 400

10tasa de

infiltración

(cm/hr)

800

Un número considerable de investigadores (Dagan, Gelhar, Neuman, Kitanidis, sus colaboradores, y otros) han abordado el problema de escala y de incertidumbre en forma simultánea, empleando métodos estocásticos, en los que se obtienen ecuaciones diferenciales parciales no sólo para las variables de flujo y transporte, sino también para ciertos estimadores de su variabilidad, como covariancias (en el espacio físico), así como espectros y espectros cruzados (en el espacio de Fourier).

No obstante, los métodos estocásticos se basan en la hipótesis de ergodicidad, cuya inaplicabilidad ha sido señalada por Dagan (1994) y Fitts (1995). Adicionalmente, en dichos métodos se supone que las ecuaciones que rigen a las escalas grandes (que por ergodicidad se suponen iguales a las esperanzas matemáticas) tienen la misma forma que aquéllas que rigen a los fenómenos de interés a escala pequeña. Dicha suposición implica que toda la responsabilidad de representar tanto los efectos de las escalas pequeñas no resueltas, como de la incertidumbre, recaiga en parámetros efectivos, cuya estimación es sumamente difícil. Los inconvenientes señalados limitan la utilidad de los métodos estocásticos en la práctica.

Métodos estocásticos

El hecho de que la información acerca de las propiedades materiales (y de las variables de interés, en caso de que se pretenda hacer validaciones) sólo exista en unos cuantos sitios de un acuífero, introduce enmascaramiento (aliasing) de las escalas intermedias y pequeñas, por lo que sólo es posible obtener información apropiada para escalas grandes.

Por otra parte, las ecuaciones de flujo y transporte en medios porosos son resueltas numéricamente. Tanto por la falta de información acerca de las escalas pequeñas, como por limitaciones de índole computacional, las mallas numéricas empleadas en la práctica son relativamente gruesas. Por lo anterior, la discretización espacial (y temporal) de las variables de interés necesariamente introduce un efecto de filtrado, por lo que, una vez más, sólo es posible obtener resultados confiables para las escalas grandes.

El problema de escala

Efecto de filtrado de aproximaciones discretas

Aproximación de diferencias centrales para una derivada:

Donde B es un filtro de caja definido por:

xxxFxxF

dxdF

∆∆−−∆+≈

2)()(

∫∫∞

∞−

∆+

∆−

−=∆

=∆

∆−−∆+ ξξξξξ dFxBdxddF

dxd

xxxxFxxF xx

xx

)()()(2

12

)()(

,2

1)(x

xB∆

=− ξ

,0)( =− ξxB

xx ∆≤− ξ

xx ∆>− ξ

Ecuaciones dinámicas con términos cuadráticosComúnmente las ecuaciones dinámicas de interés en las aplicaciones involucran variables (o parámetros) como F=F(x,t), G=G(x,t) y H=FG, en la forma siguiente:

L (F, G, H) = 0

donde L () es un operador diferencial espacio-temporal lineal. Ejemplos de lo anterior son las ecuaciones de Navier-Stokes:

νρ

+ = − +, , , ,1( )i t i j j t i i jjU U U p U

la ecuación de flujo de agua subterránea:

(Kij H,j),i = 0

y la ecuación de advección-difusión:

C,t + (Uj C),j = D C,jj

Teoría de filtrado espacialLa teoría de filtrado espacial se ha aplicado exitosamente en el contexto de la simulación de escalas grandes en flujos turbulentos, en el que es conocida como large eddy simulation o LES (vgr. Aldama, 1990). En el marco de dicha teoría, las escalas grandes son definidas explícitamente, a través de una integral de convolución en el espacio físico:

∫ ′′′−=∗= xxxxx dtFGFGtF λλ ),()(),(

[ ] ),(ˆ)(ˆ),( λ tFGtF kkk =∧

donde Gλ representa una función de filtrado, que depende paramétrica-mente del ancho del filtro λ. En el espacio de Fourier la expresión anterior adopta la foma:

El circunflejo representa la transformada de Fourier y k, el vector de número de onda. Evidentemente si [Gλ]^→0 para valores grandes de k, lascomponentes de alto número de onda presentes en F, serán eliminadas de

.F

Ejemplos de funciones de filtrado en una dimensión

Filtro de caja

(H ( • ) = función de Heaviside)

Filtro ideal

Filtro gaussiano

)2ksin(k)(2(k) )];

2λ(x)

2λ(x[1(x) 1 λλ

λ−=+−−= λλ GHHG

)2()2( )( );x2sin(x)((x) 1

λπkH

λπkHkGππG λλ +−−== −

λ

−=

−

=

24exp)( ;6exp 6(x)

2222

1

2kλkG)

λx(

πλG λλ

Filtro de caja adimensional en espacio físico

LONGITUD ADIMENSIONAL

FILT

RO

AD

IME

NS

ION

AL

Filtro de caja en espacio de FourierFI

LTR

O

NÚMERO DE ONDA ADIMENSIONAL

Filtro ideal en espacio físicoFI

LTR

O A

DIM

ENSI

ON

AL


Filtro ideal en espacio de FourierFI

LTR

O


Filtro gaussiano adimensional en espacio físicoFI

LTR

O A

DIM

ENSI

ON

AL


Filtro gaussiano en espacio de FourierFI

LTR

O


Interacción de escalas en el espacio físicoLas escalas pequeñas (ep) se definen como la diferencia entre la variable primitiva y la escala grande (eg):

fgGfgFGFFGH +++==

FFf −=

Interacción de escalas:

donde:

ep-ep ninteraccióeg-ep ninteraccióep-eg ninteraccióeg-eg ninteracció

==

=

=

fgGfgFGF

Interacción de escalas en espacio de Fourier

Espacio físico:

H(x,t)=F(x,t)G(x,t)

Espacio de Fourier:

Donde ∫ representa una integral de Legesgue sobre un dominio infinito.

Evidentemente, la interacción de escalas cobra mayor importancia cuando F y G poseen espectros de banda ancha.

kkkkk dtGtFtH ),'(ˆ),'()(2 ),(ˆ -3 −= ∫π

Escalamiento dinámico y el problema de cerraduraEcuación primitiva:

L (F,G,FG) = 0

Problema de escalamiento dinámico:

=

Encontrar una ecuación para las escalas grandes,

de la forma ( , ) 0F F G

Ecuación primitiva espacialmente filtrada:

Problema de cerradura y localización:

. y de términos en a Expresar GFFG

=( , , ) 0L F G FG

Investigaciones previas (1)

• Referencias: Aldama (1990), Aldama and Harleman (1990), Aldama (1992), Beckie et al. (1996a, 1996b), Aldama (1996).

• Filtro gaussiano:

Par de Fourier

• Expansión en serie de Taylor del filtro gaussiano:

[ ]

6)(

6expˆ ; )(exp

222

23

2

=

=−

=

γ

γλ

λγπλγ

λλ

kx GG

...166

16

expˆ2

442222

++−=

=

γλ

γλ

γλ

λ

kkkG

Investigaciones previas (2)• Solución aproximada al problema de cerradura:

Se puede demostrar que la expresión anterior es asintótica en ε = λ/Λ <<1.

• Aun cuando Aldama (1992), Beckie et al. (1996), y Aldama y Beckie (1996) han encontrado resultados muy alentadores al aplicar la anterior teoría a la ecuación de Burgers’ y a la ecuación de flujo en medios porosos altamente heterogéneos, la tasa observada de aproximación no coincidió con la predicha teóricamente. Esto puede obedecer a que el filtro gaussiano en el espacio de Fourier, que es una función positiva-definida de k, es aproximado por una serie de Taylor truncada, que no es positiva-definida, lo que ocasiona reversiones de amplitud y efectos de amplificación espurios.

[ ] [ ] [ ])( )(8

)()(2

)(1 2

426 GFGFOGFFG ∇∇⋅∇∇+∇⋅∇++=

γλ

γλε

Filtros de Butterworth

Familia de filtros positivos-definidos, monotónicamente decrecientes:

N es un número natural que representa el orden del filtro, y kc es un número de onda de corte.

El decaimiento del filtro está relacionado con el parámetro ηN, en el sentido de que:

Se puede demostrar que cuanto mayor sea el valor de N, el filtro de Butterworth del orden correspondiente será una mejor aproximación al filtro ideal. También se puede demostrar que todas las derivadas de todos los órdenes de los filttros de Butterworth se anulan en el infinito.

[ ] 122)( )(1)(ˆ −+= N

cNN kkkG η

)1(1)(ˆ 2)(

N

N

c kGkk η+<⇒>

Investigaciones recientesSelección de parámetros:

N = 1, ( η1 / kc )2 = λ2/4γ

Dicha selección fue motivada por el hecho de que la función de filtrado resultante:

Redefinición de escalas grandes:Espacio físico

γλ 411)(ˆ

22

)1(

kkG

+=

puede ser considerada como el aproximante de Padé (0,2) del filtro gaussiano en el espacio de Fourier.

Espacio de Fourier∫ −= dxtFGtF ),'()(),( )1( xxxx

[ ] ),(ˆ)(ˆ),( )1( tkFGtF kk =∧

Solución exacta del problema de cerradura

Relaciones entre las variables de escala grande y primitiva:

La expresión anterior es exacta. El término proporcional a λ6 tiene un carácter integrodiferencial y, por tanto, no local. Su desprecio implicaría tener una tasa de aproximación esperada de O (ε6).

Empleando un procedimiento de sustitución iterada, se puede demostrar que se obtiene la siguiente expresión exacta para los términos cuadráticos filtrados en espacio físico:

[ ] [ ] FFFFF 2222 )4(41ˆ ∇−=⇒+= ∧ γλγλ k

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] GFGFGFGFGFFG 22222

42

:2:4162

∇∇∇∇+∇∇∇∇+∇∇+∇⋅∇+=γ

λγ

λ

( ) ( ) ( )( )[ ]GFFGGFGF 22222463

6

64

∇∇∇+∇+∇∇+∇+γ

λ

Comprobación experimental de la teoría: campo de conductividades log10 K

Epsilon

Nor

ma

del e

rror

L2

Comprobación experimental de la teoría: tasa de aproximación observada para flujo de agua subterránea

Existe evidencia de que la conductividad hidráulica y otras propiedades materiales frecuentemente exhiben un comportamiento fractal autosimilar, en el sentido de que su espectro decae de acuerdo con una potencia negativa del número de onda.

Medios autosimilares

Espectro de la conductividad en un pozo del acuífero de Mount Simon. La línea recta representa un espectro autosimilar

Geoestadística fractal

Las distribuciones fractales se caracterizan por variogramas con leyes de potencia, de la forma: γ(rl) = γ(l)r2H.

Las distribuciones que siguen una ley de potencia se conocen como estadísticamente autosimilares, dado que la variabilidad en cualquier escala está relacionada con la variabilidad en la escala l .

Una interpolación fractal que reproduce la correlación de una distribución autosimilar puede ser realizada mediante sucesivas adiciones aleatorias. En este método, los valores se interpolan linealmente en el punto medio de un intervalo y una variación aleatoria es añadida. Este procedimiento se repite sucesivamente en intervalos menores y menores, hasta la resolución deseada. La relación entre los valores en las diferentes escalas se obtiene por medio de la codimensión fractal H.

Interpolación fractal (1)

K3 K2K4K1

Iteración 1

K3 = ( K1 + K2) / 2 +

H20

1 2σσ =

1σ ρ

Iteración 2

K4 = ( K1 + K3) / 2 +

es un número aleatorio con distribución normal, media cero y variancia unitaria.

H21

2 2σσ =

2σ ρ

ρ

Interpolación fractal (2)

El procedimiento descrito está condicionado a los valores medidos, debido a que la distribución interpolada forzosamente pasa por ellos, pero preservando la estructura espectral observada.

Como un ejemplo de aplicación, considérese un campo primitivo de conductividades hidráulicas, que posee heterogeneidad significativa (σ2

logK=6.3). El espectro de energía del campo primitivo, obtenido mediante el muestreo de solamente el 11% de los datos se emplea para ajustar una línea recta a la gráfica doblemente logarítmica del espectro, obteniéndose una pendiente negativa con magnitud β=2H+1=1.6. Por tanto, la codimensión fractal resultó ser: H = 0.3. De este modo, se generó un campo de conductividades interpolado fractalmente, con sólo el 11 % de los datos originales.

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1Número de onda adimensional

Espe

ctro

de

ener

gía

11 % de los datosCampo primitivoPendiente = -1.6

Espectro de energía

Campo primitivo y campo fractalmente interpolado.

La teoría de filtrado espacial basada en el uso de filtros de Butterworth y el procedimiento de interpolación fractal pueden usarse conjuntamente en forma ventajosa para resolver los problemas de escala y de incertidumbre. En efecto, en medios porosos altamente heterogéneos con pocas observaciones para la conductividad hidráulica, se puede obtener un campo interpolado de valores, los cuales se emplean para estimar valores filtrados de la conductividad. Dichos valores se usan en las ecuaciones filtradas, cuya solución proporciona información confiable acerca de las escalas grandes, en un marco de simulaciones de Montecarlo. Todo un conjunto de estadísticos puede ser calculado, sin tener que depender de la hipótesis ergódica.

Solución conjunta de los problemas de escala e incertidumbre

Aplicación a problemas de flujo y transporte en mediosporosos saturados altamente heterogéneos (1)

Ecuación de flujo en aguas subterráneas:

donde

K, el campo de conductividades fractalmente interpolado

H, la carga piezométrica

, el vector de posición

0)( ,, =jjKH

jx

Aplicación a problemas de flujo y transporte en mediosporosos saturados altamente heterogéneos (1)

Ecuación de transporte:

,

donde

C, concentración

, la velocidad de Darcy

t, tiempo

Los términos de dispersión se introducen a través del escalamiento.

0)( ,, =+ jjt CVC

jV

Ecuación de flujo en medios porosos para escalas grandes

Esta ecuación es exacta, pero no local, ya que posee un carácterintegrodiferencial.

jmlmljmmlljlljj xxxH

xxK

xxxH

xxK

xxH

xK

xHK

x ∂∂∂∂

∂∂∂

+∂∂∂

∂∂∂

∂+

∂∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂ 32432422

14457612λλλ

∂∂

∂∂∂∂∂∂∂

+

∂∂∂∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

∂+

jnnmmlljmmlljmmll xHK

xxxxxxxxxxH

xK

xxH

xxxK 664234

13824288λλ

∂∂∂∂

+∂∂

∂∂∂

∂∂∂∂∂

+jnnjnnmmll xxx

HKxH

xxK

xxxx

324

0322

=

∂∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

jnnmmll xxxH

xxK

xx+

Solución de las ecuaciones de flujo y transporte (1)

Expandiendo la carga piezométrica filtrada en una serie perturbatoria:

donde y es la escala dominante de las variables de escala grande.

Sustituyendo la expansión asintótica en la ecuación para las escalas grandes, genera los siguientes problemas de orden cero, uno y dos:

)()()()()( 32

210 εεε OxHxHxHxH llll +++=

00 =

∂∂ HK

( ) 1/ 2 <<= Λλε Λ

∂∂ jj xx

jlljj xxH

xK

xHK

x ∂∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂ 0

221

12Λ

Solución de las ecuaciones de flujo y transporte (2)

∂∂∂∂∂

∂∂

+

∂∂∂

∂∂∂∂Λ

+

∂∂∂∂

∂∂∂Λ

+∂∂∂

∂∂∂

∂Λ+

∂∂∂

∂∂Λ

−=

∂∂

∂∂

jmmlljmmll

jmlmljmmlljlljj

xxxxH

xK

xxH

xxxK

xxxH

xxK

xxxH

xxK

xxH

xK

xHK

x

0

4

0

234

0

324

0

324

1

22

2

288

14457612

Las expresiones anteriores se pueden resolver sucesivamente, sujetas a apropiadas expansiones asintóticas de las condiciones de frontera.

La ecuación de transporte se resuelve en forma similar.

• Se empleó un dominio cuadrado bidimensional Ω=[0,500]X [0,500] , con condiciones de frontera de carga constante en dos lados opuestos ( H=1 en un lado y H=0 en el otro) y de flujo nulo ( Hx=0 ) en los otros lados.

• Se empleó un campo heterogéneo de conductividades con un espectro de banda ancha.

• Para calcular los campos de escala grande “verdaderos”¨, se empleó una solución de malla fina que se filtró con un ancho de filtro λ= 20.

• La ecuación de flujo se resolvió para 30 realizaciones con diferentes valores de tamaño de malla, empleando el método de volumen finito.

• Se utilizó una teoría de segundo orden para resolver las ecuaciones escaladas de flujo y transporte, con el objeto de comparar las cargas, flujos y concentraciones filtrados o de escala grande con los valores “verdaderos”.

• La condición inicial para la ecuación de transporte fue un valor nulo para la concentración en todo el dominio y una condición de frontera del tipo C(0,y,t)=1, para valores positivos del tiempo.

• La ecuación de transporte se resolvió para las mismas 30 realizaciones del flujo de Darcy, aplicando el método modificado de las características.

Validación

Soluciones aproximadas y exactas para flujo ( ∆x=1)

0.E+00

2.E-03

4.E-03

6.E-03

8.E-03

1.E-02

1.E-02

1.E-02

2.E-02

2.E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Y

Qx

ExactApproximate


0.E+00

5.E-03

1.E-02

2.E-02

2.E-02

3.E-02

3.E-02

4.E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Y

Qx

ExactApproximate


0.E+00

1.E-02

2.E-02

3.E-02

4.E-02

5.E-02

6.E-02

7.E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Y

Qx

ExactApproximate


0.E+00

2.E-02

4.E-02

6.E-02

8.E-02

1.E-01

1.E-01

1.E-01

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Y

Qx

ExactApproximate

Soluciones aproximadas y exactas para transporte

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 100 200 300 400 500 600

Con

cent

raci

ón

exactapproximate

Y

Comentarios finales

Se ha presentado una enfoque basado en la combinación de las fortalezas de un esquema de interpolación fractal y una teoría de filtrado espacial, que permite abordar la solución de problemas de flujo y transporte en medios porosos altamente heterogéneos. Se ha demostrado numéricamente que es posible obtener excelentes resultados para las escalas grandes de flujo y transporte con solamente el 11% de la información.

Se espera extender este enfoque a acuíferos libres y medios no saturados.

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