DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICACARRERA DE ING. EN ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN

PROCESOS ESTOCÁSTICOS

Unidad III

TEMA: MODELOS AUTORREGRESIVOS

Hrs. de la asignatura4 Hrs

Catedrático:Ing. Álvarez

Estudiante:Emily Tobar

Fecha de entrega: 27 de febrero del 2015

Modelos autorregresivos

En estadística y procesamiento de señales, un modelo autorregresivo (AR) es una representación de un tipo de proceso aleatorio, que como tal, describe ciertos procesos variables en el tiempo. El modelo autorregresivo especifica que la variable de salida depende linealmente de sus propios valores anteriores.

Definimos un modelo como autorregresivo si la variable endógena de un período t es explicada por las observaciones de ella misma correspondientes a períodos anteriores añadiéndose, como en los modelos estructurales, un término de error. En el caso de procesos estacionarios con distribución normal, la teoría estadística de los procesos estocásticos dice que, bajo determinadas condiciones previas, toda Yt puede expresarse como una combinación lineal de sus valores pasados (parte sistemática) más un término de error (innovación).

Los modelos autorregresivos se abrevian con la palabra AR tras la que se indica el orden del modelo: AR(1), AR(2),....etc. El orden del modelo expresa el número de observaciones retasadas de la series temporal analizada que intervienen en la ecuación. Así, por ejemplo, un modelo AR(1) tendría la siguiente expresión:

Y t=ϕ0+ϕ1Y t−1+a t

El término de error de los modelos de este tipo se denomina generalmente ruido blanco cuando cumple las tres hipótesis básicas tradicionales mencionadas al principio del texto:

- media nula

- varianza constante

- covarianza nula entre errores correspondientes a observaciones diferentes

La expresión genérica de un modelo autorregresivo, no ya de un AR(1) sino de un AR(p) sería la siguiente:

Y t=ϕ0+ϕ1Y t−1+ϕ2Y t−2+…+ϕpY t−p+at

pudiéndose escribir de forma abreviada como:

ϕ p (L )Y t=ϕ0+at

donde Φp(L) es lo que se conoce como operador polinomial de retardos:

ϕ p (L )Y t=1−ϕ1L−ϕ2L2−…−ϕ p L

p

y donde, a su vez, el término L es lo que se conoce como operador retardo tal que, aplicado al valor de una variable en t, dé como resultado el valor de esa misma variable en t-1:

LY t=Y t−1

y aplicado sucesivamente p veces retarda el valor en p períodos

LpY t=Y t−p

Normalmente, se suele trabajar con modelos autorregresivos de órdenes bajos: AR(1) o AR(2), o bien con órdenes coincidentes con la periodicidad de los datos de la serie analizada (si es trimestral AR(4), si es mensual AR(12)....).

En la práctica, la información disponible para poder estimar los modelos y luego predecir con ellos son las propias observaciones de la serie. Por ello, vamos a exigir que los modelos AR sean invertibles. La propiedad de invertibilidad establece que el valor presente de yt pueda expresarse como una combinación lineal convergente de observaciones pasadas. En el caso concreto del modelo AR(1) esto significa que θ1<1.

En general, en un modelo AR(q), la condición de invertibilidad viene dada porque las soluciones de la siguiente ecuación sean

1+θ1 x+…+θq xq=0

mayores que uno en módulo. Como caso particular, podemos ver que para el modelo AR(1), la ecuación es

1+θ1 x=0

Por lo que su solución es:

x=−1/θ1

La ecuación diferencia que describe un filtro AR es y [n ]+A1 y [n−1 ]+A2 y [n−2 ]+…+AN y [n−N ]=x [n], lo que da lugar a una función de transferencia

H ( z )= 1

1+A1 z−1+A2 z

−2+…+AN z−N

De donde se denotan las siguientes características:

La función de transferencia contiene solo polos.

El filtro es recursivo ya que la salida depende no solo de la entrada actual sino además de valores pasados de la salida (Filtros con realimentación).

El término autorregresivo tiene un sentido estadístico en que la salida y[n] tiene una regresión hacia sus valores pasados.

La respuesta al impulso es normalmente de duración infinita, de ahí su nombre.