EJERCICIOS TOMADOS DEL LIBRO DE ECUACIONES DIFERENCIALES A TRAVES DE GRAFICAS, MODELOS Y DATOS. DAVID LOMEN, DAVID LOVELOCK CECSA.

MODELOS A PARTIR DE DATOS La ecuación de Gompertz Las observaciones sobre el crecimiento de tumores animales indican que el tamaño y(t) del tumor al tiempo t puede describirse mediante la ecuación diferencial y’=-ky ln(y/b), donde k y b son constantes positivas. Esta ecuación diferencial en ocasiones se conoce como ley de crecimiento de Gompertz. a) Con ayuda del software winplot, construya campos de pendientes de la ecuación para

diversos valores de b y k. b) Haga uso del análisis gráfico para determinar las regiones en las cuales las soluciones e

la ecuación diferencial aumentan, disminuyen, tienen concavidad hacia arriba o concavidad hacia abajo. Confirme qué puntos de inflexión se presentan a lo largo de la recta . 1y be−=

c) ¿Tiene esta ecuación diferencial soluciones de equilibrio? Si es así, ¿Cuáles son? Si no, explique la razón.

d) Resuelva esta ecuación diferencial sujeta a la condición inicial y(0)=y｡, y｡> 0. e) Demuestre que el punto de inflexión 1y be−= se presenta cuando t = (1/k) ln[ -ln (y｡/b)

]. Encuentre una relación entre y｡y b tal que la gráfica de y contra t no tenga puntos de inflexión.

f) La solución de la ecuación logística, y’=ay(b-y), se dio como by｡/ [ b - y｡) e¯ª + y｡], donde y(0)=y｡. Demuestre que si esta solución y la de la ecuación de Gompertz tienen la misma condición inicial, la misma capacidad de transporte y el mismo tiempo para el punto de inflexión, entonces k = ab ln [ -ln (y｡/b)] / ln((b-y｡)/y｡). Sobre la figura, trace la gráfica de la solución de la ecuación logística y la solución de la ecuación de Gompertz con la misma condición inicial, la misma capacidad de transporte y el mismo tiempo para el punto de inflexión. Describa las semejanzas y diferencias entre las dos gráficas. Proporcione algunas sugerencias generales sobre cuándo sería más apropiado utilizar un modelo u otro.

(

2. Crecimiento de las hojas La tabla muestra el área total de las hojas de una planta como función del tiempo. Se afirma que la ecuación de Gompertz describe adecuadamente este fenómeno. Investigue esta afirmación.

3. Tamaño de la colonia de bacterias

Tiempo Area (días) ( cm² )

0 9 20 39.7 40 92.5 60 142.7 80 186.6

100 209.7 120 230.5 140 235.4

3. La población de Botswana

Mediante los valores de C y k obtenidos en el modelo exponencial de crecimiento de la población de Botswana, demuestre que el modelo logístico también podía aproximar la población de Botswana con muchas diferentes capacidades de transporte. Año Población en millones 1975 0.755 1980 0.991 1985 1.078 1990 1.285

4. Bacterias La tabla muestra el tamaño de una colonia de bacterias como función del tiempo. ¿Cuánto se ajustará el modelo logístico a este conjunto de datos? Tamaño de la colonia de bacterias

Tiempo Area (días) ( cm² )

0 0.24 1 2.78 2 13.53 3 36.3 4 47.5 5 49.4

5. Tiempo de elevación

Considere una función creciente f(t), que está acotada a medida que t ∞, de modo que el lim ( )t f t M→∞ = , el valor limite de f(t). El tiempo de elevación, TR, es aquel valor de t después del cual f(t) se encuentra dentro del 1% de su valor límite M. Es decir, M - f(t) < 0.01M para t > TR. a) Haga uso de la solución explícita para determinar el tiempo de elevación para el

crecimiento de los girasoles.

b) Utilice solución explícita para determinar el tiempo de elevación para la dispersión de rumores.

c) Utilice la solución explícita para hallar el tiempo de elevación para la adaptación

de tecnología. d) Emplee la solución explícita del problema de las Bacterias para hallar el tiempo de

elevación para el crecimiento bacterial. 6. Palomas collarín

Durante la primera mitad del siglo XX, la paloma collarín se extendió a lo largo y ancho de Europa. Esta ave era muy rara en Gran Bretaña antes de 1955, tan rara que ni siquiera estaba incluida en 1952 Checklist of the Birds of Great Britain and Ireland. De este modo, la diseminación de la paloma collarín en Gran Bretaña desde 1955 era de gran interés para los observadores de aves. En consecuencia, existen muy pocos buenos registros de su diseminación por Gran Bretaña desde 1955 hasta 1964, cuando la paloma abundaba tanto que no se le prestaba mucha atención. Se cree que la población de la paloma collarín es directamente proporcional al número de lugares donde estaba residiendo. La tabla muestra el número de lugares donde residía cada año. ¿Cuánto se ajusta el modelo logístico a este conjunto de datos?.

Número de ubicaciones de la paloma collarín

Año Total 1955 1 1956 2 1597 6 1958 15 1959 29 1960 58 1961 117 1962 204 1963 342 1964 501

7. La peste de Bombay

La tabla muestra el número de muertes en Bombay provocadas por peste diseminada por ratas durante el periodo de diciembre de 1905 a julio de 1906. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo logístico a este conjunto de datos? Datos peste de Bombay

Semana Muertes Semana Muertes Semana Muertes 1 4 12 900 23 8129 2 14 13 1290 24 8480 3 29 14 1738 25 8690 4 47 15 2379 26 8803 5 68 16 3150 27 8868 6 99 17 3851 28 8920 7 150 18 4547 29 8971 8 203 19 5414 30 9010 9 300 20 6339 31 9043 10 425 21 7140 11 608 22 7720

8. Crecimiento de frijoles

a) Un estudiante colocó frijoles en un recipiente, los cubrió con una ligera capa de tierra y los humedeció con regularidad. A los diez días brotaron los retoños y desde ese momento empezó a medir cuidadosamente la altura (aproximada al octavo de pulgada más próximo) como función del tiempo (en días). La tabla muestra la altura aproximada de los frijoles. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo logístico a este conjunto de datos?

b) Lleve a cabo su propio experimento, cultivando sus propios frijoles y registrando la altura como función del tiempo. ¿Cuánto se ajusta el modelo logístico a este conjunto de datos?

Altura de los frijoles Tiempo Altura Tiempo Altura (días) (pulgadas) (días) (pulgadas)

10 0.125 18 7.000 11 0.250 19 9.000 12 0.750 20 10.000 13 1.125 21 10.500 14 1.500 22 11.000 15 2.500 23 11.250 16 4.000 24 11.500 17 5.500 40 12.000